Слабый квантовый хаос в вырожденной гамильтоновской системе: Акустический циклотронный резонанс тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Каменев, Дмитрий Иванович

• Каменев, Дмитрий Иванович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Каменев, Дмитрий Иванович

Оглавление

Введение

1. Циклотронный акустический резонанс в классической вырожденной системе. Классический и квантовый хаос

1.1. Циклотронный акустический резонанс

1.2. Циклотронный резонанс в классической вырожденной системе

1.3. Классическая теория слабого хаоса

1.4. Квантовый хаос

2. Квантовый циклотронный резонанс в вырожденной гамильтоновской системе. Резонансное приближение

2.1. Постановка задачи

2.2. Резонансная теория возмущений для Флоке-состояний при наличии вырождения

2.3. Квазиэнергетические состояния в случае точного резонанса

2.4. Квазиэнергетические состояния в невырожденной системе

2.5. Эволюция квантовых состояний в пределах одной резонансной ячейки

2.6. Сглаживание квантовых осцилляций при экспериментальном наблюдении акустического циклотронного резонанса

3. Локализация квантовых состояний по квантовым ячейкам.

Симметрия КЭ состояний

3.1. Локализация квантовых состояний по ячейкам

3.1.1. Функция Грина КЭ состояний

3.1.2. Туннелирование через квантовые П-торы

3.1.3. Локализация квантовых состояний по ячейкам

3.1.4. Осцилляции скорости туннелирования через квантовые П-торы

3.1.5. Туннелирование через квантовые КАМ-торы в

невырожденной системе (случай неточного резонанса)

3.1.6. Выводы

3.2. Симметрия квантовых состояний. Функция Усими

3.2.1. Квазиэнергетические состояния вблизи краев квазиэнергетического спектра

3.2.2. Симметрия функций Усими квазиэнергетических состояний

4. Слабый квантовый хаос в вырожденной системе

4.1. Постановка задачи

4.2. Оператор эволюции

4.2.1. Оператор эволюции за один период внешнего поля

4.2.2. Оператор эволюции за произвольное число периодов внешнего поля

4.3. Влияние нерезонансных членов на структуру матрицы оператора эволюции

4.4. Сепаратрисные квазиэнергетические состояния

4.5. Ширина квантовой'сепаратрисы

4.6. Влияние хаоса на структуру КЭ волновых функций

4.7. Квантовая диффузия по сепаратрисам

4.8. Подавление квантовой диффузии по сепаратрисам под действием слабого хаоса

4.9. Немонотонный характер зависимости скорости квантовой диффузии по сепаратрисам от амплитуды возмущения

4.10. Выводы

4.11. Возможность экспериментального наблюдения слабого квантового хаоса в условиях акустического циклотронного резонанса

Заключение

Литература

Список основных обозначений

П-торы — паутинные торы КЭ — квазиэнергетический

KAM (теорема) — (теорема) Колмогорова-Арнольда-Мозера АЦ,СЦ — КЭ волновые функции в энергетическом представлении sq — уровни энергии (квазиэнергии) Eq — безразмерная квазиэнергия

Я — гамильтониан Н — напряженность магнитного поля цг — волновая функция v0 — амплитуда возмущения

V0 — безразмерная амплитуда возмущения, параметр в квантовой модели

h — эффективная постоянная Планка, параметр в квантовой модели

со —частота волны

о)с — циклотронная частота

к — волновой вектор

t — время

х — безразмерное эффективное время Тс — циклотронный период

х — координата г — циклотронный радиус А — векторный потенциал J — функция Бесселя

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Слабый квантовый хаос в вырожденной гамильтоновской системе: Акустический циклотронный резонанс»

Введение

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. До последнего времени квантовый хаос исследовался в основном в системах полностью хаотических в классическом пределе. Для случая, когда классическая фазовая плоскость имеет сложную структуру и состоит из перемежающихся областей регулярного и хаотического движения, еще не существует адеквантовой квантовой теории. Можно назвать лишь несколько работ, где исследуются квантовые динамические системы, которые в классическом пределе имеют небольшую долю стохастических траекторий.

В настоящей диссертации изучается слабый квантовый хаос в вырожденной системе. Рассматривается регулярная и стохастическая динамика квантовой заряженной частицы в магнитном поле Н и поле продольной звуковой волны, перпендикулярной Н, в условиях циклотронного резонанса. Эта проблема сводится к исследованию системы с полутора степенями свободы, где гамильтониан зависит от одной координаты и от времени, и фактически эквивалентна задаче о движении гармонического осциллятора в поле монохроматической волны [1-3]. Рассматриваемая в диссертации модель представляет интерес для физики твердого тела и, в частности, для физики низкоразмерных структур, поскольку она может быть реализована экспериментально при исследовании квантового акустического циклотронного резонанса.

При произвольно малой амплитуде возмущения хаос в соответствующей классической системе возникает внутри стохастической паутины, которая пронизывает все фазовое пространтво, и частица, двигаясь внутри паутины, имеет принципиальную возможность уйти на бесконечность [1,2]. Явление хаоса внутри бесконечной паутины при малой амплитуде возмущения получило название "слабый хаос", [2] в противоположность явлению сильного хаоса, когда почти все траектории на фазо-

вой плоскости являются хаотическими. Структура паутины определяется типом возмущения. В случае, если линейная система находится в поле монохроматической волны, паутина в фазовом пространстве неоднородна и экспоненциально спадает при при увеличении действия и уменьшении амплитуды возмущения. В результате, несмотря на то, что паутина бесконечна, частица практически остается локализованной [2].

До последнего времени слабый квантовый хаос в основном исследовался в рамках модели осциллятора с толчками [4,5]. Было показано, что время классического описания квантовых средних значительно возрастает в случае слабого хаоса по сравнению со случаем сильного и проанализирована роль симметрии квазиэнергетических функций [4]. В работе [5] исследован эффект подавления квантовой диффузии внутри стохастической паутины. Квантовый хаос внутри паутины также интенсивно изучается в рамках обобщенной модели Харпера с толчками [6,7]. ЦЕЛЬЮ НАСТОЯЩЕЙ ДИССЕРТАЦИИ является изучение слабого квантового хаоса в вырожденной гамильтоновской системе — заряженная частица, движущаяся в постоянном однородном магнитном поле Н и поле продольной (звуковой) монохроматической волны, распространяющейся перпендикулярно направлению Н. Для изучения квантового хаоса была построена квантовая резонансная теория возмущений. Система подробно изучена в основном, резонансном, приближении, когда на классической фазовой плоскости хаос отсутствует, а также при наличии хаоса. Для численного исследования хаотического режима был развит метод, позволяющий получить и использовать оператор эволюции за произвольное целое число периодов. Кроме того обсуждаются наиболее общие вопросы, касающиеся природы слабого квантового хаоса. В частности вопрос о том, как слабый квантовый хаос может быть обнаружен экспериментальное условиях, когда лишь небольшая доля собственных

состояний оператора Гамильтона или оператора эволюции претерпевает изменения под действием хаоса. НАУЧНАЯ НОВИЗНА ДИССЕРТАЦИИ.

1. Построена квантовая теория циклотронного резонанса в вырожденной системе. Для изучения рассматриваемой модели развита теория возмущений для Флоке-состояний при наличии вырождения.

2. В основном — резонансном — приближении аналитически и численно показано, что квантовая система разбивается на квантовые резонансные ячейки, которые являются квантовым аналогом классических резонансных ячеек на фазовой плоскости. Исследована динамика системы при различных начальных условиях в пределах одной ячейки.

3. В резонансном приближении изучена симметрия функции Усими квазиэнергетических состояний на плоскости (рх,х) для различных номеров резонанса £ {(о-£(ос), которая совпадает с симметрией классической сепаратрисной сетки.

4. Установлено, что спектр квазиэнергий является дискретным, а квазиэнергетические состояния — локализованными. Исследовано туннелиро-вание между ячейками и показано, что в изучаемой системе реализуется особый тип локализации — локализация по квантовым резонансным ячейкам. Рассчитана длина локализации.

5. Построен оператор эволюции за произвольное целое число периодов, который используется при изучении динамики в резонансном приближении и в присутствии слабого хаоса.

6. Показано, что в случае, если начальное состояние выбрано вблизи квантовой сепаратрисы (границы квантовой резонансной ячейки), эффект туннелирования между ячейками возрастает на насколько порядков, причем плотность распределения в основном сосредоточена вблизи кванто-

вых сепаратрис. Это явление названо нами квантовой диффузией по сепаратрисам. Рассчитана ширина квантовой сепаратрисы.

7. Исследовано явление слабого квантового хаоса, который является квантовым аналогом классической стохастической динамики внутри бесконечной стохастической паутины на фазовой плоскости. Рассмотрено влияние хаоса на процесс диффузии по квантовым сепаратрисам. Показано, что присутствие хаоса приводит к немонотонной зависимости скорости диффузии от амплитуды возмущения. Рассмотрен переход от чисто квантовой диффузии, обусловленной явлением туннелирования, к диффузии, являющейся аналогом классической стохастической динамики внутри стохастических слоев сепаратрисной сетки.

8. Установлено соответствие классической и квантовой системы в квазиклассическом пределе.

9. Рассмотрены условия экспериментального наблюдения квантового акустического циклотронного резонанса в 20 электронном газе. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при экспериментальном изучении квантового хаоса в металлах и полупроводниковых гетероструктурах в условиях акустического циклотронного резонанса. В главах II и IV обсуждается возможность таких экспериментов. Развитый в диссертации метод расчета динамики квантовой системы с использованием оператора эволюции за произвольное число периодов позволяет рассчитывать эволюцию квантовой системы с периодическим возмущением, не интегрируя уравнение Шредингера в течение этого периода.

НА ЗАЩИТУ ВЫНОСЯТСЯ.

1. Построена квантовая теория акустического циклотронного резонанса в металлах и полупроводниковых гетероструктурах. Установлено соответствие в поведении квантовой и классической систем в квазиклассической области параметров.

2. Построена квантовая теория возмущений для Флоке-состояний при наличии вырождения.

3. Установлена симметрия квантрвых состояний (функций Усими) при различных номерах резонанса.

4. Открыт новый тип локализации квантовомеханических состояний — локализация по квантовым резонансным ячейкам в вырожденной га-мильтоновской системе.

5. Изучен процесс квантовой диффузии по сепаратрисам (не имеющей классического аналога) в вырожденной системе.

6. Исследовано влияние хаоса на скорость диффузии по сепаратисам. Показано, что присутствие хаоса приводит к немонотонной зависимости скорости диффузии и длины локализации от амплитуды возмущения. Устанвлено, что при достаточно малой амплитуде возмущения влияние хаоса приводит не к усилению, а к подавлению диффузии по сепаратрисам.

АПРОБАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ. Основные результаты диссертации были доложены на на семинарах кафедры теоретической физики ННГУ, ИФМ РАН, семинаре центра международного сотрудничества г. Карнавака (Мексика), на международных конференциях "Dynamic and stochastic wave phenomena" (Nizhny Novgorod, 1994), International School in Nonlinear Science (Nizhny Novgorod, 1995), на юбилейном семинаре "Уроки квантовой интуиции" (Дубна, 1996), семинаре, посвященном 40-летию открытия циклотронного резонанса Азбеля-Канера (Харьков, 1996), а также на международной конференции, посвященной 80-й годовщине академика Ильи М. Лифшица "Problems of condenced matter theory" (Moscow. 1997).

Основные положения диссертации опубликованы в работах [4649,67,68,71,72].

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из Введения, четырех глав, Заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 112 страниц, включая 19 рисунков. Список литературы содержит 82 наименования.

В Главе 1: (а) Дан краткий обзор теории слабого хаоса в классических вырожденных системах. В обзор вошли работы Чирикова [1], Заславского, Сагдеева и др. [2] и т.д. (б) Приведены основные сведения из теории квантового хаоса, относящиеся к теме диссертации.

Во второй Главе квантовый циклотронный резонанс рассматривается в рамках резонансной теории возмущений для Флоке-состояний (квазиэнергетических (КЭ) состояний) при наличии вырождения. Эта теория является квантовым аналогом классической резонансной теории возмущений [3]. Изучена структура КЭ состояний в основном — резонансном — приближении. Найденные таким образом КЭ состояния, используются для описания динамики системы при различных начальных условиях. Показано, что гильбертово пространство квантовых состояний разбивается на бесконечное число квантовых резонансных ячеек, которые являются аналогом классических резонансных ячеек на фазовой плоскости. Изучена структура КЭ состояний в случаях точного и неточного резонансов. Установлено, что спектр квазиэнергий является дискретным, что приводит к локализации КЭ волновых функций. Аналитически и численно обнаружено, что расстояния между КЭ уровнями вблизи краев КЭ спектра отдельной ячейки (КЭ состояния отдельных ячеек Являются относительно независимыми) в квазиклассическом пределе совпадают с частотой малых колебаний вблизи центра соответствующего классического резонанса на фазовой плоскости (2.19), а точка сгущения в КЭ спектре соответствует классической сепаратрисе. Получено условие для определения числа квантовых резонансных ячеек в случае неточного резонанса (2.21), когда система является невырожденной (справелива тео-

рема KAM). Полученный результат в квазиклассическом пределе совпадает с соответствующим классическим условием. Были обсуждены условия экспериментального изучения квантового циклотронного резонанса. Предсказано, что присутствие звуковой волны должно приводить к сглаживанию и размыванию осцилляций в эффектах де Гааза-ван Апьфена и Шубникова-де Гааза. Показано, что для наблюдения нелинейного квантового циклотронного резонанса необходимо использовать акустические (а не световые) волны в связи с тем, что взаимодействие заряженных частиц со световыми волнами, вследствие большой длины волны последних, носит линейный характер.

Третья Глава посвящена изучению динамики различных начальных состояний в резонансном приближении. Однако, в отличие от второй Главы, где рассмотрена эволюция в пределах одной резонансной ячейки, здесь изучается туннелирование между ячейками. При изучении эффекта туннелирования расчет динамики проводился с использованием собственных функций оператора эволюции (КЭ собственных функций), которые в резонансном приближении приближении совпадают с собственными функциями гамильтониана Флоке. В изучаемой вырожденной системе обнаружен особый тип локализации — локализации по квантовым резонансным ячейкам. Рассчитана длина локализации. Были изучены осцилляции скорости туннелирования через квантовые П-торы в зависимости от величины, обратной эффективной постоянной Планка 1//юсН, где Н — напряженность магнитного поля, и рассчитан период этих осцилляций. В случае неточного резонанса изучено явление тунеллирования через квантовые КАМ-торы в невырожденной системе, величина которого оказалась намного порядков меньше скорости тунеллирования через П-торы в вырожденной системе.

В третьей Главе в резонансном приближении также была рассмотрена симметрия функций Усими КЭ состояний на плоскости (рх ,х). Было

показано, что симметрия квантовых состояний соответствует симметрии сепаратрисной сетки на классической фазовой плоскости, при этом сепа-ратрисная сетка имеет аксиальную симметрию, а резонансы расположены в ячейках, разделенных 21 лучами, исходящими из центра.

В Главе 4 впервые изучено явление слабого квантового хаоса в вырожденной гамильтоновской системе с неоднородной стохастической паутиной в квазиклассическом пределе — заряженная частица в магнитном поле и поле монохроматической волны при условии (точного) циклотронного резонанса. Путем решения нестационарного уравнения Шре-дингера был построен оператор эволюции за период внешнего поля (4.3), диагонализация которого позволила определить КЭ собственные функции и КЭ собственные значения. КЭ состояния были использованы для построения оператора эволюции за произвольное целое число периодов (4.13), с помощью последнего производился расчет динамики квантовых состояний. В случае, если начальное состояние было выбрано вблизи сепаратрисы наблюдалось аномально большое туннелирование между ячейками — квантовая диффузия по сепаратрисам. Показано, что это явление обусловлено наличием делокализованных по нескольким резонансным ячейкам сепаратрисных состояний. Определена ширина квантовой сепаратрисы, которая оказалась не зависяшей от параметров системы и положения сепаратрис.

При исследовании слабого хаоса в диссертации рассматривается его влияние на диффузию по сепаратрисам. Показано, что при достаточно малой амплитуде возмущения, когда амплитуда волны у0 меньше некоторого значения , у0 < присутствие хаоса приводит не к усилению, а к подавлению диффузии по сепаратрисам. В области у0 > увеличение амплитуды у0 приводит к усилению диффузии. В диссертации

установлено, что немонотонный характер диффузии по сепаратрисам связан с перестройкой КЭ функций под действием возмущения.

В четвертой Главе показано, что используемые в расчетах параметры соответствуют возможностям реального эксперимента и даны краткие рекоммендации для экспериментального наблюдения слабого хаоса в условиях акустического циклотронного резонанса. Дан краткий обзор последних экспериментальных работ, в которых акустические волны используются для наблюдения квантовых эффектов в двумерном электронном газе.

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Каменев, Дмитрий Иванович

4.10. Выводы

Пользуясь результатами данной Главы, сделаем несколько общих замечаний о явлении слабого квантового хаоса. В резонансном приближении изучемая квантовая вырожденная система разбивается на слабо взаимодействующие квантовые резонансные ячейки, каждая с почти независимым спектром и набором КЭ волновых функций. Пользуясь терминологией теории твердого тела, можно сказать, что случайное пересечение уровней различных ячеек (которое можно ассоциировать с перекрытием КЭ волновых функций) со значениями Ед « У0 приводит к образованию дальнего порядка во взаимодаействии состояний различных ячеек. Динамически это проявляется в аномально высокой скорости тун-нелирования между ячейками по квантовым сепаратрисам. Нерезонансные члены при достаточно большом значении амплитуды возмущения У0 (что эквивалентно малым частотам осциллирующих членов) можно рассматривать как добавочное случайное возмущение, которое расстраивает дальний порядок и квантовую диффузию по сепаратрисам. После того, как амплитуда возмущения превысит некоторый порог, квантовая диффузия восстанавливается, однако теперь это явление имеет совершенно другую природу. Туннелирование вдоль квантовых сепаратрис в резонансном приближении — это чисто квантовый эффект так как классическая частица в этом приближении не имеет возможности переходить из ячейки в ячейку. С другой сторны при больших значениях амплитуды возмущения мы наблюдаем аналог классической дифузии по сепаратрисам внутри стохастической паутины на фазовой плоскости. Это было продемонстрировано сравнением ширин квантовой и классической стохастических слоев.

Структура КЭ состояний, обеспечивающих диффузию по сепаратрисам в двух обсуждаемых случаях также имеет принципиальные различия. В резонансном приближении лишь малая часть сепаратрисных КЭ волновых функций, имеющих регулярную структуру на рис. 4.2 (нижняя часть), обеспечивает диффузию, в то время как при больших значениях У0 диффузия обеспечевается за счет среднего увеличения длины локализации всех КЭ состояний. Таким образом показано, что немонотонный характер диффузии по сепаратрисам обеспечивается немонотонной зависимостью длины локализации делокализованных КЭ состояний от амплитуды возмущения.

4.11. Возможность экспериментального наблюдения слабого квантового хаоса в условиях акустического циклотронного резонанса

Покажем, что выбранные для расчетов параметры соответствуют реальным физическим величинам, которые осуществимы экспериментально в двумерном электронном газе в полупроводниковых гетеро-структурах в условиях, когда звуковая волна распространяется перпендикулярно направлению постоянного однородного магнитного поля. Для наблюдения изучаемых явлений необходимо, чтобы время релаксации электрона г было достаточно большим, так чтобы выполнялось неравенство юсХ »1. При этом условии и при условии циклотронного резонанса оказывается возможным выбрать такие параметры, которые позволяют расположить уровень Ферми пР на границе между ячейками, а именно: аргумент у функции Бесселя Jl(kas¡2nF) должен совпадать с положением нуля (в нашем случае первого) функции Бесселя Предлагаемые экспериментальные параметры имеют следующие значения: частота звуковой волны ¿» = 10 Ггц, напряженность магнитного поля о $

Н = 2х 10 эрстед, эффективная электронная масса т =0.1те, электронная концентрация Ее =10п см"2. Эти значения дают в нашем случае к = 0.4, п0 = пР = 20. Значение параметра У0 определяется деформацией с1п/(и) ос кщ , где щ — амплитуда акустической волны. Так значение

0=№ соответствует деформации ки0 ос10~4-т-10"5. В случае, когда предложенные параметры реализованы экспериментально становится возможным обнаружить влияние квантового хаоса на коэффициент затухания волны.

В последние годы акустические волны широко применяются для исследования квантовых эффектов в 20 электронном газе в полупроводниковых гетероструктурах. В работе [79] было показано, что электроны наиболее интенсивно взаимодействуют с акустической волной (с частотами до 300 МГц) в режиме целочисленного квантового эффекта Холла к когда фактор заполнения нижнего уровня Ландау д = —п8 {к — постоев янная Планка, В — вектор магнитной индукции, е и пв — заряд и поверхностная плотность электронов) равен целому числу. В этом случае наблюдалось резкое уменьшение проводимости сгхх и увеличение коэффициента затухания акустической волны. В работах [64,80] поверхностные акустические волны с частотой у> 2 Ггц были использованы при изучении дробного квантового эффекта Холла. В случае, когда фактор заполнения д = — нижнего уровня Ландау д был равен наблю

4 2 дался циклотронный резонанс, что свидетельствует о существовании ферми-поверхности в изучаемой 20 электронной системе. Как было показано в работе [81] сильновзаимодействующие электроны при помощи калибровочного преобразования Черна-Саймонса удается представить как газ невзаимодействующих квазичастиц, подчиняющихся статистике

Бозе в случае нечетного q и статистике Ферми в случае четного q. Использование акустического циклотронного резонанса позволило определить наличие поверхности Ферми в случае четного q и подтвердить правильность сделанных теоретических предположений. В работе [80] Ферми-поверхность была обнаружена и при других факторах заполнения 13 13' д = —. Было также показано, что резонанс исчезает при увеличении температуры и уменьшении частоты звука до значений ниже 1 Ггц. В работе [82] изучался эффект увлечения 3D фононов с частотой порядка 150 ГГц в 2D электронном газе. Данные о спектре фононов позволили определить положение уровня Ферми sF = к\ /2те 2D электронного газа (а следовательно и поверхностную концентрацию электронов п5, где kF = (4). В настоящей диссертации акустический циклотронный резонанс с частотой звука порядка 10 ГГц предлагается использовать для изучения слабого квантового хаоса. Предложены параметры для проведения такого эксперимента и с использованием этих параметров проведено численное моделирование динамики изучаемой системы в режиме слабого хаоса.

103

Заключение

В заключении сформулируем основные результаты диссертации. 1. Квантовый циклотронный резонанс рассматривается в рамках резонансной теории возмущений для Флоке-состояний (квазиэнергетических (КЭ) состояний) при наличии вырождения. Эта теория является квантовым аналогом классической резонансной теории возмущений [3]. Изучена структура КЭ состояний в основном — резонансном — приближении и в присутствии слабого хаоса. Найденные таким образом КЭ состояния используются для описания динамики системы при различных начальных условиях. Подробно рассмотрены случаи точного и неточного резонан-сов. Описаны квантовые резонансные ячейки — аналоги классических резонансных ячеек. Установлено, что спектр квазиэнергий является дискретным, что приводит к локализации КЭ волновых функций. Аналитически и численно обнаружено, что расстояния между КЭ уровнями вблизи краев КЭ спектра отдельной ячейки (КЭ состояния отдельных ячеек являются относительно независимыми) в квазиклассическом пределе совпадают с частотой малых колебаний вблизи центра соответствующего классического резонанса на фазовой плоскости (2.19), а точка сгущения в КЭ спектре соответствует классической сепаратрисе. Получено условие для определения числа квантовых резонансных ячеек в случае неточного резонанса (2.21), когда система является невырожденной (справелива теорема KAM). Полученный результат в квазиклассическом пределе совпадает с соответствующим классическим условием. Были обсуждены условия экспериментального изучения квантового циклотронного резонанса. Предсказано, что присутствие звуковой волны должно приводить к сглаживанию и размыванию осцилляций в эффектах де Гааза-ван Аль-фена и Шубникова-де Гааза. Показано, что для наблюдения нелинейного квантового циклотронного резонанса необходимо использовать акустические (а не световые) волны в связи с тем, что взаимодействие заряженных частиц со световыми волнами, вследствие большой длины волны последних, носит линейный характер.

2. Изучено туннелирования между ячейками через динамические барьеры, которые в классическом пределе соответствуют сепаратрисам вырожденной гамильтоновской системы. В изучаемой вырожденной системе обнаружен новый эффект — локализация по квантовым резонансным ячейкам. Показано, что при некоторых значениях эффективной постоянной Планка h квантовые динамические барьеры становятся непрозрачными и туннелирование в соседние ячейки становится невозможным.

3. Рассмотрена симметрия КЭ состояний зависимости от номера резонанса t с использованием функции Усими. Показано, что симметрия функции Усими соответствует симметрии сетки сепаратрис в координатах {рх,х) на классической фазовой плоскости.

4. Для расчета динамики квантовой системы в резонансном и хаотическом режимах был развит метод, использующий оператор эволюции за произвольное число периодов (4.13) который является обобщением оператора эволюции за один период внешнего поля (4.3) (см. напр. [25]).

5. Изучено новое квантовое явление — квантовая диффузия по сепаратрисам, заключающаяся в аномально высокой скорости туннелирования между сепаратрисами различных ячеек. Определена ширина квантовой сепаратрисы, которая оказалась не зависящей от параметров системы и положения сепаратрис.

6. Обнаружен эффект подавления квантовой диффузии по сепаратрисам под действием слабого хаоса. Рассмотрен переход (crossover) от чисто квантовой диффузии к диффузии, которая является квантовым аналогом диффузии классической частицы по стохастической паутине. Точка перехода определяется из условия равенства ширины квантовой сепаратрисы и ширины классического стохастического слоя в квазиклассическом пределе.

7. Показано, что используемые в расчетах параметры соответствуют возможностям реального эксперимента и даны краткие рекоммендации для экспериментального наблюдения слабого хаоса в условиях акустического циклотронного резонанса. Дан краткий обзор последних экспериментальных работ, в которых акустические волны используются для наблюдения квантовых эффектов в двумерном электронном газе.

В заключении диссертации автор выражает благодарность научному руководителю профессору д-ру ф.-м.н. В .Я. Демиховскому за постоянное внимание и интерес к данной работе.

106

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Каменев, Дмитрий Иванович, 1998 год

Литература

[1] Chirikov B.V. Rhys. Rep. - 1979. - V. 52. - P. 265.

[2] Заславский Г.М., Сагдеев P.3., Усиков ДА, Черников А.А. Слабый хаос и квазирегулярные структуры. М.: Наука. 1990.

[3] Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика М.: Мир. 1984.

[4] Berman V.Yu., Rubaev А.А., Zaslavsky G.M. The problem of quantum chaos in a kicked harmonic oscillator// Nonlinearity. -1991. - V. 4. -P. 543-566.

[5] Dana I. Quantum suppression of diffusion on stochastic web // Phys. Rev. Lett. -1994. - V. 73. - P. 1609-1612.

[6] Lima R., Shepelyansky D. Fast derealization in a model of kicked rotator // Phys. Rev. Lett. -1991. - V. 67. - P. 1377-1380.

[7] Geisel Т., Ketzmerick R., Petschel G Metamorphosis of a cantor spectrum due to classical chaos // Phys. Rev. Lett. -1991. -

V. 67. - P. 3635-3638.

[8] Канер Э.А. Теория акустического циклотронного резонанса в металлах // ЖЭТФ. - 1962. - Т. 43. - вып. 1. - С. 216-226.

[9] Ахиезер А.И., Каганов М.И., Любарский Г.Я. О поглощении ультразвука в металлах // ЖЭТФ. - 1957. - Т. 32. - вып. 4. -С. 837-841.

[10] Азбель М.Я., Канер Э.А. Теория циклотронного резонанса в металлах //ЖЭТФ. - 1956. - Т. 30. - вып. 4. - С. 811-814.

[11] Азбель М.Я., Канер Э.А. Теория циклотронного резонанса в металлах // ЖЭТФ. - 1957. - Т. 32. - вып. 4, - С. 896-914.

[12] Karney C.F.F., Bers А. // Phys. Rev. Lett. - 1977. - V. 39. - P. 550.

[13] Fukuyama A., Matota H. // Phys. Rev. Lett. - 1977. - V. 38. - P. 701.

[14] Бурдов B.A., Демиховский В.Я. Магнетоакустические осцилляции

гармоник продольного звука в металлах // ЖЭТФ. - 1990. - Т. 98. -С. 340-348.

[15] Арнольд В.И. Доказательство теоремы о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона //УМН - 1963.-Т. 18. - No. 5-С. 13-40.

[16] Колмогоров А.Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона //ДАН СССР - 1954. - Т. 98. -С. 527-530.

[17] Moser J. // Nachr. Akad. Wiss. Gottingen. Math. Phys. // - 1962. - V. K1. -P. 1.

[18] Chirikov B.V., Vecheslavov V.V. The structure of weakly nonlinear resonance // препринт ИЯФ CO PAH. -1991. - Новосибирск.

[19] Brody T.A. II Lett. Nuovo Cimento. - 1974. - V. 7. - P. 482.

[20] Wigner E.P. // SIAM Review. - 1968. V. 9. P. 1.

[21] Dyson F.J. // J. Math. Phys. - 1962. - V. 3. - P. 140.

[22] Brody T.A., Flores J., French J.В., Mello P.A., Pandey A., Wong S.S.M. Random-matrix physics: spectrum and strength fluctuations // Rev.Mod.Phys. -1981. - V. 53. - P. 385-479.

[23] Izrailev F.M. // Phys. Rep. - 1990. - V. 196. - P. 299.

[24] Casati G., Izrailev F.M., Molinary M. // J. Phys. -1991. - V. 24. - P. 4755.

[25] Reichl L.E. The transition to chaos. Berlin: Springer Verlag. 1992.

[26] Берман Г.П., Коловский А.Р. Квантовый хаос при взаимодействии многоуровневых систем с полем когерентного излучения //УФН. -1994.-Т. 162. No. 4. - С. 95-141.

[27] Casati G., Chirikov B.V., Guarnery I., Shepelyansky D.L. Relevance of a clasical chaos in quantum mechanics: the hydrogen atom in a monochromatic field II Phys. Rep. - 1987. - V. 154. - P. 79-123.

[28] Izrailev F.M. Limiting quasienergy statistics for simple quantum systems //Phys. Rev. Lett. - 1986. V. 56. - P. 541-544.

[29] Casati G., Izrailev F.M., Molinari L. // Phys. Rev. Lett. - 1990. - V. 64. -P. 5.

[30] Seligman T. Verbaarschot J.J.M., Zirnbauer M.R. Quantum spectra and transition from regular to chaotic motion // Phys. Rev. Lett. -1984. -

V. 53.-P. 215-217.

[31] Feingold et al. // Phys. Rev. - 1989. - V. A39. - P. 6507.

[32] Casati G., Guarneri I., Izrailev F.M. Periodic band random matrices, curvature, and conductance in disordered media // Phys. Rev. Lett. - V. 72. - P. 2697-2700.

[33] Casati G., Chirikov B.V., Guarneri I., Izrailev F.M. Band-random-matrix model for quantum localization in conservative systems // Phys. Rev. - V. E48. - P. R1613-R1616.

[34] Fyodorov Y.V., Chubykalo O.A., Izrailev F.M., Casati G. Wigner random banded matrices with sparse structure: local spectral density of states // Phys. Rev. Lett. - 1995. - V. 76. - P. 1603-1606.

[35] Izrailev F.M., Kottos T., Tsironis G.P. Scaling properties of the localization length in one-dimensional pared correlated binary alloys of finite size // J. Phys.: Condens. Matter. - 1996. - V. 8. - P. 1-12.

[36] Fishman S., Grempel D.R., Prange R.E. Chaos, quantum resonances, and Anderson localization // Phys. Rev. Lett. - 1982. - V. 49. - P. 509-512.

[37] Izrailev F.M. Quantum localization and statistics of quasienergy spectrum in a classically chaotic system // Phys. Lett. - 1988. V. A134. - P. 13-18.

[38] Izrailev F.M. Intermediate statistics of the quasi-energy spectrum and quantum localization of classical chaos II J. Phys. - 1989. - V. A22. -P. 865-878.

[39] Benvenuto F., Casati G., Shepelyansky D.L. Rydberg stabilization of atoms in strong fields: the magnetic mountain in the chaotic sea. // Zeit. fur Physik - 1994. - V. B94. - P. 481-486.

{40] Gasati G., Guarnery I., Izrailev F.M., Scharf R. // Phys. Rev. Lett. - 1990.

- V. 64. - P. 5.;

[41] Shepelyansky D.L. Localization of quasienergy eigenfunctions in action space // Phys. Rev. Lett. - 1986. - V. 56. - P. 677-680.

[42] Casati G., Chirikov B.V., Ford J., Izrailev F.M. // Led. Notes Phys. -1979. - V. 93. - P. 334.

[43] Casati G., Guarnery I., Shepelyansky D.L.11 IEEE J. Quantum Electron.

- 1988.-V. 24.-P. 1420.

[44] Buchleitner A., Delande D. Dynamical localization in more then one dimension // Phys. Rev. Lett. - 1993. - V. 70. - P. 33-36.

[45] Galves E.J., Sauer B.E., Moorman L., Koch P.M., Richards D. Microwave ionization of H atoms: breakdown of classical dynamics for high frequencies // Phys.Rev. Lett. - 1988. - V. 61. - P. 2011-2021.

[46] Demikhovskii V.Ya., Kamenev D.I., Luna-Acosta G.A. Quantum resonance in an intrinsically degenerate system. Nonlinear cyclotron resonance // Phys. Rev. - 1995. - V. E52. - P. 3351-3357.

[47] Demikhovskii V.Ya., Kamenev D.I. Localization of quantum states at the cyclotron resonance // Phys. Lett. - 1997. - V. A228. - P. 391-398.

[48] Демиховский В.Я., Каменев Д.И., Luna-Acosta G.A. Квантовый циклотронный резонанс в вырожденной системе. Квазиэнергетические состояния. // Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика. -1995.-Т. 38.- No. 3-4. - С. 232-239.

[49] Demihkovskii V.Ya., Kamenev D.I. Quantum resonance in an intrinsical degenerate system. Nonlinear cyclotron resonance II Abstracts of the second international scientific school-seminar "Dynamic and stochastic wave phenomena". Nizhny Novgorod. Russia. 1994. - P. 55.

[50] Berman G.P., Zaslavsky G.M. // Phys. Lett. - 1977. - V. A61 - P. 295.

[51] Berman G.P., Kolovsky A.R. II Physica. - 1983. - V. D8. - P. 117.

[52] Berman G.P., Kolovsky A.R. Structure and stability of the quasi-energy

spectrum of two interacting quantum nonlinear resonances I I Phys. Lett. -1983. -V.A95. - P. 15-18.

[53] Reichl L.E., Lin W.A. Exact quantum model of field-induced resonance overlap // Phys.Rev. - 1986. - V. A33. - P. 3598-3601.

[54] Toda M., Ikeda K. Quantum version of resonance overlap // J.Phys. -

1987. - V. A20. - P. 3833-3847.

[55] Geisel Т., Radonis G., Rubner J. Kolmogorov - Arnold - Moser Barriers in the Quantum Dynamics of Chaotic System II Phys. Rev. Lett. -

1986.-V. 57.-P. 2883-2886.

[56] Radonis G,, Prange R E. Wave functions at the critical Kolmogorov-Arnold's-Moser surfaces // Phys. Rev. Lett. - 1988. - V. 61. -

P. 1691-1694.

[57] Brown R.C., Wyatt R.E. Quantum mechanical manifestation of cantori: wave packet localization in stochastic regions II Phys. Rev. Lett. - 1986. -V. 57.-P. 1-4.

[58] Dyrting S., Milburn G.J., Holmes C.A. II Phys.Rev. - 1993. - V. E2. -P. 969.

[59] Chernikov A.A., Sagdeev R.Z., Usikov D.A., Zaslavskii G.M. II Comput. Math. Appl. - 1989. - V. 17. - P. 17.

[60] Chernikov A.A., Sagdeev R.Z., Usikov D.A., Zakharob M.Yu., Zaslavskii G.M. // Nature - 1987. - V. 326. - P. 559.

[61] Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука. 1963. - С. 855.

[62] Kohmoto М., Hatsugai Y. Peierls stabilization of magnetic-flux states of two-dimensional lattice electrons // Phys. Rev. - 1990. - V. B41. -

P. 9527-9529.

[63] Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука. 1984-С. 259.

[64] Willet R.L., Ruel R.R., West K.W., Pfeiffer L.N. Experimental

demonstration of a Fermi surface at one-half filling of lowest Landau level // Phys. Rev. Lett. - 1993. - V. 71. - P. 3846-3849.

[65] Feinman R.P. An operator calculus having applications in quantum electrodynamics // Phys. Rev. -1951. - V. 84. - P. 108-128.

[66] Schvinger J. The theory of quantized fields // Phys. Rev. - 1953. - V. 91. -P. 713-740.

[67] Каменев Д.И. Осцилляции скорости туннелирования в вырожденной системе // Вестник Нижегородского Госуниверситета им. Н.И.Лобачевского. Сборник научных трудов аспирантов. Н.Новгород: Издательство ННГУ. 1995. - С. 69-72.

[68] Demihkovskii V.Ya.,Kamenev D.I. Tunneling phenomena in an intrinsical degenerate system // The proceedings of the international school in nonlinear science. Nizhny Novgorod. Russia. 1995. - P.105-108.

[69] Berman G.P., Kolovsky A.R. Renormalization method for the quantum system of interacting resonances // Phys. Lett. - 1987. - V. 125. - P. 188

[70] Husimi K. // Proc. Phys. Math. Soc. Jpn. -1940. - V. 22. - P. 264.

[71] Demikhovskii V.Ya., Kamenev D.I. Luna-Acosta G.A. Quantum weak chaos in a degenerate system // Phys. Rev. - 1998. - V. E58 .

No.6 (December).

[72] Demihkovskii V.Ya..Kamenev D.I. Quantum chaos in degenerate Hamiltonian system. Nonlinear cyclotron resonance // Abstracts of the international conference dedicated to 80th anniversary of academician lylya M. Lifshitz "Problems of condenced matter theory". Moscow. 1997. -p.L-07.

[73] Chernikov A.A., Natenson M.Ya., Petrovichev B.A., Sagdeev R.Z., Zaslavskii G.M. Some paculiarities of stochastic layer and stochastic web formation // Phys. Lett. - 1987. - V. A122. - P. 39-46.

[74] Dana I., Amit M. Kicked Harper models and kicked charge in a magnetic field II Phys. Rev. - 1994. - V. E51. - P. 2731.

[75] Pekarsky S., Rom-Kedar V. // Phys. Lett. - 1997. - V. A225. - P. 274.

[76] Dana I., Maty A. General approach to diffusion of periodically kicked charges in a magnetic field // Phys. Lett. - 1995. - V. A197. - P. 413-416.

[77] Geisel T., Ketzmerick R., Petschel G. New class of level statistics

in quantum systems with unbounded diffusion // Phys. Rev. Lett. -1991. -V. 66.-P. 1651-1654.

[78] Reichl L.E., Lin W.A. Uncovering spectral repulsion in extended quasienergy states // Phys.Rev. - 1989. - V. A40. - P. 1055-1062.

[79] Wixforth A., Kotthaus J.P. Interaction of surface acoustic wave with inversion electrons on GaAs in quantizing magnetic fields II Springer series in solid state sciences. - Springer Verlag, Berlin - 1989. - V.87. -P. 94-102.

[80] Willet R.L., Ruel R.R., West K.W., Paalanen M.A., West K.W., Pfeiffer L.N. Enhanced finite-wave-vector conductivity at multiple even-denominator filling factors in two-dimensional electron systems // Phys. Rev. - 1993. -V. B47. - P.7344-7347.

[81] Halperin B.I., Lee P.A., Read N. // Phys. Rev. - 1993. -V. B47. - P.7312.

[82] Rothenfusser M., Köster L., Dietsche W. Phonon-emission spectroscopy of a two-dimensional electron gas. // Phys. Rev. - 1986. - V. B34. -P.5518-5524.