Метод квазиклассической функции Грина в мезоскопической физике тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Коган, Вадим Романович

• Коган, Вадим Романович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Коган, Вадим Романович

Введение

1 Баллистическая <т модель для пространственно-коррелированного беспорядка.

1.1 Введение.

1.2 Баллистическая а модель: постановка проблемы и вывод.

1.3 Корреляционные функции.

1.4 Свойства модели на разных масштабах.

2 Баллистическое движение частиц в случайном магнитном поле

2.1 Квазиклассическое приближение. Вывод баллистической сг модели и ее свойства.

2.2 Движение частиц в области Ляпунова.

3 Квантовый биллиард

4 Электронно-дырочный дисбаланс в мезоскопических структурах сверхпроводник/нормальный металл

4.1 Общая идея и теория

4.2 Электронно-дырочный дисбаланс в крестообразной S/N структуре.

4.3 Аномальная термоЭДС в S/N структурах.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод квазиклассической функции Грина в мезоскопической физике»

Проблематика работы. Понятие мезоскопическая система было введено в физику конденсированного состояния в начале 80-х годов [1] и означает систему, размеры которой больше атомных, но меньше, чем характерная длина неупругих процессов, разрушающих квантовую когерентность. Обычно эти размеры лежат в пределах 10-1000 нм. Особенность мезоскопических систем в том, что достаточно большие размеры таких структур позволяют наблюдать в них явления, связанные с движением большого числа частиц. С другой стороны, неупругие процессы, разрушающие в макроскопических образцах фазовую когерентность, оказываются в них несущественными. Это обстоятельство приводит к качественно новой физике. Физика мезоскопических систем в настоящее время является быстро развивающейся областью теории конденсированного состояния. Несколько новых и ставших уже самостоятельными разделами теории проблем обязаны своим происхождением исследованию этих структур. Самые известные среди них: слабая локализация и локализация Андерсона, квантовый эффект Холла, сверхпроводящие структуры, туннельные приборы и т.п.

Одним из средств, широко используемых в теории конденсированного состояния, является метод функций Грина, основанный на том, что через функцию Грина удобно выражаются многие важные физические характеристики. К сожалению, в большинстве задач эта функция не может быть точно найдена. Поэтому становится важным поиск различных приближенных методов. Одним из таких методов, обеспечивающих проведение аналитического исследования при весьма общих условиях, является метод квазиклассической функции Грина.

Метод квазиклассической функции Грина впервые был применен в теории сверхпроводимости и стал одним из самых используемых в этой теории математических средств [2], [3]. Благодаря общности метода можно ожидать, что он найдет успешное применение при исследовании новых задач и в других разделах физики конденсированного состояния и мезоскопических систем.

Один из примеров такого применения - вывод баллистической нелинейной а модели в теории неупорядоченных систем, рассмотрен в первой части диссертации.

Первые неупорядоченные системы стали изучаться в 30-х годах. Основными методами, которые применялись до начала 80-х годов и применяются до сих пор были теория возмущений и теория случайных матриц [4]. Однако оба метода имеют ограниченную область применения. Заимствованный в конце 70-х - начале 80-х годов из теории поля метод нелинейной а модели, сформулированный вначале в рамках метода реплик, а затем на основе суперсимметричной техники, позволил значительно расширить круг задач, которые могут быть исследованы аналитически. Преимущество метода состоит в том, что он, будучи непосредственно основан на конкретном модельном гамильтониане, является столь же универсальным, как и стандартная теория возмущений, не требует каких-либо дополнительных предположений феноменологического характера и в то же самое время позволяет производить расчет эффектов, для рассмотрения которых теории возмущений недостаточно.

Первая нелинейная а модель (в литературе ее часто называют стандартной) была получена в теории неупорядоченных металлов при двух предположениях: 1) ^-коррелированный примесный потенциал; 2) изучаемые масштабы больше длины свободного пробега, [5]. Оба допущения справедливы для достаточно "грязных"образцов. Благодаря заметному успеху, достигнутому в нанотехнологии, стало возможно производить очень чистые образцы с размерами, не превышающими длину свободного пробега [6]. Движение электронов в подобных образцах является баллистическим, а не диффузионным. Поэтому был поставлен вопрос о новой и модели, которая могла бы правильно описывать систему в баллистическом режиме. Эту модель принято называть баллистической а моделью.

Одна из задач, которую можно исследовать посредством баллистической и модели это задача о случайном потенциале с большой корреляционной длиной. Система с таким потенциалом была недавно реализована на экспериментальной установке с высокомобильными гетероструктурами [7]. Помимо эксперимента задача представляет интерес также и для теории. Например, модель может оказаться полезной при изучении свойств энергетического спектра чистых систем малого объема или квантовых биллиардов, рассматриваемых в теории квантового хаоса. Характерным в этой теории является усреднение по энергетическому спектру. Можно предположить, что это усреднение эквивалентно усреднению по потенциалу с корреляционной длиной, превышающей размеры биллиарда. Последнее позволило бы обосновать непосредственное применение баллистической а модели в теории хаотических систем.

Другой областью применения баллистической а модели является задача о свойствах двумерного электронного газа, находящегося под действием случайного магнитного поля. Задача о случайном магнитном поле рассматривалась и продолжает быть предметом большого внимания как для эксперимента, так и для теории и численного счета [8]-[23]. Основным вопросом в ней является вопрос о локализации электронных состояний. К сожалению, численные данные не дают однозначного ответа на этот вопрос и приводят к противоречивым выводам, а их сравнение представляет непростую задачу с рядом технических сложностей.

Во второй части диссертации рассматриваются мезоскописческие структуры сверхпроводник/нормальный металл (далее кратко S/N) в неравновесном состоянии. Изучению неравновесных свойств S/N систем в последнее время уделяется большое внимание. В результате проведенных экспериментов был открыт ряд новых и интересных эффектов, которые могут иметь прямое практическое применение. Одним из таких эффектов является эффект изменения знака у критического тока Джозефсона в 4-х терминальной S/N системе и переход контакта в так называемое 7Г состояние [24]. Контакты с обращающимся знаком критического тока или, иначе, 7Г контакты, представляют хорошую реализацию двухуровневой системы и могут иметь в будущем применение как один из элементов квантового компьютера.

Несмотря на то, что имеется большое число экспериментальных и теоретических работ, посвященных неравновесным свойствам S/N структур, оказался почти без внимания так называемый эффект электронно-дырочного дисбаланса (англ. branch imbalance), связанный с нарушением баланса между электронными и дырочными состояниями. Этот эффект в сверхпроводящих структурах стал исследоваться с 70-х годов и наблюдался как в смешанных S/N системах, так и в однородных сверхпроводниках [25]. До недавнего времени рассмотрение электронно-дырочного дисбаланса ограничивалось его влиянием на свойства сверхпроводников. В последних экспериментах основным предметом исследования стали свойства S/N контактов. Существенной особенностью S/N контактов является возможность протекания по металлу сверхпроводящего бездиссипативного тока Джозефсона. Оказалось, что благодаря его наличию изменяются неравновесные хараткеристики нормального металла, например происходит значительное увеличение термоЭДС по сравнению с обычным термоэффектом [26], [27]. Для их полного рассмотрения становится важным учет электронно-дырочного дисбаланса.

Целью работы являлись:

1. Последовательный вывод баллистической о модели на основе подхода, использующего метод квазиклассической функции Грина;

2. Изучение масштабных свойств баллистической а модели;

3. Проблема применения баллистической а модели в теории квантовых биллиардов;

4. Применение метода нелинейной а модели в задаче о двумерном электронном газе в случайном магнитном поле;

5. Аналитическое исследование влияния электронно-дырочного дисбаланса на неравновесные свойства S/N контактов Джозефсона.

Результаты работы:

1. Представлен последовательный вывод баллистической а модели, применимой вплоть до масштабов порядка длины волны. В рамках предложенного вывода возможно рассмотрение неупорядоченных систем с малой и большой длиной корреляций примесного потенциала;

2. Изучены свойства баллистической а модели на разных масштабах. Рассмотрена ее связь с другими а моделями: столкновительной, диффузионной и нуль-мерной;

3. Представлен последовательный вывод а модели для задачи о двумерном электронном газе в случайном магнитном поле, справедливой на масштабах, превышающих длину волны. Обсуждено отличие найденной модели от а модели, выведенной для случайного потенциала, существенное на малых масштабах, и показана их эквивалентность на больших масштабах, на которых система переходит в столкновительный режим. Рассмотрена задача о рассеянии двух частиц в случайном магнитном поле в квазиклассическом пределе и получена оценка для времени, в течение которого частицы движутся в одном поле;

4. На основе нелинейной а модели вычислена корреляционная функция уровень-уровень для квантовой хаотической системы и получена стандартная формула Гутцвиллера. Исследована и разрешена проблема повторений;

5. Рассмотрена 4-х терминальная крестообразная S/N структура; вычислен ток через контакт Джозефсона с учетом эффекта электронно-дырочного дисбаланса и электрическое поле, возникающее в N-элементе контакта, когда структура выведена из равновесия посредством пропускания тока между N-резерву арами. Найдена осциллирующая поправка к дифференциальной проводимости цепи, соединяющей N резервуары;

6. Рассмотрен эффект аномальной термоЭДС в S/N структуре, обусловленный протеканием тока Джозефсона и электронно-дырочным дисбалансом. Проведена аналитическая оценка для случая слабого эффекта близости и построена температурная зависимость ЭДС при разных отношениях энергии Таулеса к критической температуре.

Научная ценность. Представленный в первой части диссертации новый метод вывода баллистической о модели позволяет устранить ряд трудностей, возникавших в раннее предлагавшихся схемах, и лучше понять область применимости этой модели для различных задач в теории неупорядоченных систем, квантового хаоса и т.п.

Вторая часть диссертации является дальнейшим развитием аналитических методов исследования неравновесных свойств S/N структур, обусловленных электронно-дырочным дисбалансом. Несколько эффектов, которые могут наблюдаться на эксперименте получены в этой части диссертации впервые.

Структура диссертации. В главе 1 рассмотрена неупорядоченная система с пространственно-коррелированным случайным потенциалом и поставлена проблема вывода баллистической а модели. Представлен последовательный вывод модели, основанный на квазиклассическом приближении, сформулированном для эффективной функции Грина. Показано, что в квазиклассическом приближении она удовлетворяет уравнению типа уравнения Эйленбергера и приведено доказательство, что решение можно представить в виде функционального интеграла, определяющего некоторую суперсимметричную а модель. На основе полученной сг модели выведены уравнения для корреляционных функций 2-го и 4-го порядков. Исследованы свойства модели на разных масштабах и продемонстрирована ее связь с а моделями, полученными раннее в столкновительном и диффузионных пределах. Обсужден также вопрос о переходе к нуль-мерной а модели.

В главе 2 рассмотрена задача о двумерном электронном газе, помещенном в поперечное неоднородное постоянное магнитное поле. На основе подхода, развитого в главе 1, выведена и построена а модель, применимая на масштабах, превышающих длину волны электронов. Показано и обсуждено ее отличие от аналогичной а модели, полученной в главе 1 для системы со случайным потенциалом. Посредством процедуры пространственного огрубления получена эффективная модель, применимая в режиме столкновений. Показана ее эквивалентность с эффективной столкновительной а моделью для системы с пространственно коррелированным потенциалом.В конце главы рассмотрена также задача о квазиклассическом рассеянии пары частиц в случайном магнитном поле.

В главе 3 рассмотрена проблема применения баллистической а модели для описания спектров чистых ограниченных систем или квантовых биллиардов. Обсуждены вопрос о достаточности усреднения по спектру биллиарда для формулировки квазиклассического предела и проблема повторений. Представлен расчет корреляционной функции двух уровней. Расчет проведен с использованием двух подходов, основанных, первый - на разложении а модели по флуктуациям вблизи ее минимума (пертурбативный подход), второй - на точном обратном сведении а модели к задаче о корреляциях двух уровней для одномерного электронного газа на кольце. Показано, что первый метод находится в противоречии с ответом, полученным на основе формулы Гутцвиллера, и приводит к проблеме повторений, в то время как второй дает ответ, согласующийся с этой формулой. Расчет корреляционной функции двух уровней для одномерного газа на кольце и ее связь с баллистической а моделью приведен отдельно в приложении А.

Глава 4 посвящена изучению неравновесных свойств двух мезоскопических структур сверхпроводник/нормальный металл с учетом эффекта электронно-дырочного дисбаланса. Расчет проводится на основе квазиклассического приближения и уравнения Узаделя, сформулированных на языке неравновесной техники Келдыша. Решение кинетических уравнений, выведенных для рассматриваемых структур из уравнения Узаделя, находится в приближении слабого эффекта близости. На основе полученных функций распределения вычислен максимальный или критический ток через S/N контакт в четырех-терминальной структуре и построена его зависимость от напряжения, приложенного в нормальной цепи. Показано, что вследствие электронно-дырочного дисбаланса в сверхпроводящей цепи должно возникать электрическое поле, падающее на S/N контакте. Вычислена также осциллирующая с разностью конденсатных фаз поправка к дифференциальной проводимости для нормальной цепи. Аналитический расчет равновесных функций Грина для структуры в пределе слабого эффекта близости вынесен в приложение В. Во второй структуре произведен аналитический расчет вклада в термоэффект, обусловленного эффектом дисбаланса. Показано, что вклад должен превосходить обычный термоэффект, имеющий место и в нормальных металлах. Построена зависимость найденной термоЭДС от температуры.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Коган, Вадим Романович

Основные результаты диссертации:

1. Рассмотрена неупорядоченная система с примесями, имеющими большую и малую длины корреляций. На основе квазиклассического приближения представлен последовательный вывод сг модели, применимой на масштабах, превышающих длину волны. Обсуждается обоснованность полученной о модели. Предложен метод нахождения на основе модели точных соотношений для корреляционных функций. На основе метода выведены уравнения для корреляционных функций 2-го и 4-го порядков. Исследованы масштабные свойства полученной сг модели, обсуждено значение длины Ляпунова. Посредством стандартной процедуры пространственного огрубления продемонстрирована связь модели со столкновительной и диффузионной а моделями. Обсужден вопрос о переходе к нуль-мерной а модели.

2. Рассмотрена задача о двумерном электронном газе в постоянном случайном магнитном поле. Обобщен вывод а модели, использованный в задаче со случайным пространственно коррелированным потенциалом. Обсуждено отличие сг моделей, полученных в обоих задачах. Рассмотрено возбуждение, имеющее вихреобразную пространственную структуру, и показано, что в отличие от случайного потенциала имеет место рассеяние возбуждения в случайном магнитном поле. Проведена процедура огрубления пространственных масштабов и получена эффективная сг модель, применимая в столкновительном режиме. Показана ее эквивалентность с эффективной столкновительной а моделью для случайного потенциала. Рассмотрена задача о квазиклассическом рассеянии двух частиц в слабом случайном магнитном поле. Получена оценка для времени, которое проводят частицы после столкновения, двигаясь в одном магнитном поле.

3. Рассмотрена проблема применения баллистической а модели в теории спектров квантовых биллиардов. Обсужден вопрос о достаточности усреднения по спектру для применения квазиклассического приближения. На примере формального вывода баллистической а модели для одномерного идеального газа на кольце явно показано, что усреднение по спектру эквивалентно квазиклассическому усреднению и приводит к сглаживанию квантовых флуктуаций. На основе а модели проведено вычисление функции корреляций двух уровней. Для демонстрации свойств модели использованы два метода: пертурбативный и точный. Показано, что первый приводит к выражению, находящемуся в противоречии с формулой Гутцвиллера, в то время как второй дает согласующийся с ней результат. Разрешена проблема повторений.

4. Исследовано влияние электронно-дырочного дисбаланса на неравновесные свойства S/N структур. Рассмотрена структура, состоящая из двух N и двух S резервуаров, соединенных перекрестным образом двумя проволоками в нормальном состоянии. Показано, что после приложения к N резервуарам электрического напряжения в сверхпроводящей цепи должно возникать электрическое поле, падающее на S/N контактах. В случае слабого эффекта близости найдена его величина, а также ток через S/N контакты и вычислена осциллирующая с разностью конденсатных фаз сверхпроводников поправка к дифференциальной проводимости цепи, соединяющей N резервуары. При двух температурах построена зависимость от напряжения между N резервуарами максимального тока через S/N контакты и его части, соответствующей току Джозефсона.

5. Рассмотрен аномальный термоэффект в S/N структуре, обусловленный протеканием тока Джозефсона. Представлен аналитический расчет его величины в приближении слабого эффекта близости и построена температурная зависимость при 8 разных отношениях энергии Таулеса к критической температуре.

Автор выражает благодарность научным руководителям: профессору К. Б. Ефетову и профессору А. Ф. Волкову за научное руководство при выполнении работы, ценные советы и наставления. Автор признателен также чл.-корр. РАН В. В. Лебедеву, д.ф.м.н. М. В. Фейгельману и к.ф.м.н Ю. С. Барашу за организационную помощь и содействие. Автор также благодарен коллективам Института теоретической физики III университета г. Бохум, Германия, и Института теоретической физики им. JI. Д. Ландау РАН, совместный труд в которых оказал большую помощь в работе над диссертацией.

Работа над диссертацией проходила при финансовой поддержке программы Graduirtenkolleg 384 "Nanoelektrische, mikromechanische und mikrooptische Systeme", Германия.

Публикации автора по теме диссертации

1. V. R. Kogan, V.V. Pavlovskiy A. F. Volkov, Electron-hole imbalance in superconductor/normal-metal mesoscopic structures, Europhys. Lett. 59(6), 875 - 881 (2002).

2. К. B. Efetov, V. R. Kogan, Nonlinear a model for long-range disorder and quantum chaos, Phys. Rev. В 67, 245312-245332 (2003).

3. К. В. Efetov, V. R. Kogan, Ballistic electron motion in a random magnetic field, Phys. Rev. В 68, 245313-245322 (2003).

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Коган, Вадим Романович, 2004 год

1. N.G. van Kampen, Stochastic processes in physics and chemistry, North-Holland, Amsterdam (1981).

2. G. Eilenberger, Z. Phys. 214, 195 (1968).

3. А. И. Ларкин, Ю. H. Овчинников, ЖЭТФ 55, 2262 (1968).

4. M. L. Mehta, Random matrices (Academic Press, New York, 1991).

5. К. B. Efetov, Supersymmetry in Disorder and Chaos (Cambridge Univ. Press, 1997); Adv. Phys. 32, 53 (1983);

6. L. P. Kouwenhoven, С. M. Marcus, P. L. McEuen, S. Tarucha, R. M. West-ervelt, N. C. Wingreen, Mesoscopic electron transport, под ред. L. L. Sohn, L. P. Kouwenhoven and G. Schon, Kluwer (1997).

7. D. K. Ferry, S. M. Goodnick, Transport in nanostructures, Cambridge University, Cambridge (1997).

8. A. Geim, S. Bending, I. Grigorieva, Phys. Rev. Lett. 69, 2252 (1992).

9. A. Smith и сотр., Phys. Rev. В 50, 14726 (1994).

10. F. B. Mancoff и сотр., Phys. Rev. В 51, 13269 (1995).

11. Т. Sugiyama, N. Nagaosa, Phys. Rev. Lett. 70, 1980 (1993).

12. D.K.K. Lee, J.T. Chalker, Phys.Rev.Lett. 72, 1510 (1994).

13. M. Batsch, L. Schweitzer, B. Kramer, Physica B, 251, 792 (1998).

14. V. Kalmeyer, D. Wei, D.P. Arovas, S. Zhang, Phys.Rev. В 48,11095 (1993).

15. Y. Avishai, Y. Hatsugai, M. Kohmoto, Phys. Rev. В 47, 9561 (1993).

16. Т. Kawarabayahi, Т. Ohtsuki, Phys. Rev. В 51, 10897 (1995).

17. D.Z. Liu, X.C. Xie, S. Das Sarma, S.C. Zhang, Phys. Rev. В 52, 5858 (1995); X.C. Xie, X.R. Wang, D.Z. Liu, Phys. Rev. Lett. 80, 16, 3563 (1998).

18. K. Yang, R.N. Bhatt, Phys.Rev. В 55, R1922 (1997).

19. D.N. Sheng, Z.Y. Weng, Europhys.Lett. 50, 776 (2000).

20. H. K. Nguyen, Phys.Rev. В 66, 144201 (2002).

21. J. Miller, J. Wang, Phys. Rev. Lett. 76, 1461 (1996).

22. A. Furusaki, Phys. Rev. Lett. 82, 3, 604 (1999).

23. V. Z. Cerovski, Phys. Rev. В 64, 161101R (2001).

24. J.J.A. Baselmans, A. Morpurgo, B.J. van Wees, Т. M. Klapwijk, Nature, 397 (1999) 43; J. J. A. Baselmans, B.J. van Wees, T.M. Klapwijk, Phys.Rev. В 65, 224513 (2002).

25. J. Clarke, Phys. Rev. Lett., 28, 1363 (1972).

26. J. Eom, C.-J. Chien, V. Chandrasekhar, Phys. Rev. Lett. 81, 437 (1998).

27. A. Parsons, I.A. Sosnin, V.T. Petrashov, Phys. Rev. В 67, 140502 (2003).

28. О. Bohigas, M. J. Giannoni, C. Schmidt, Phys. Rev. Lett. 52, 1 (1984); J. Physique Lett. 45, L1615 (1984).

29. F. Wegner, Z. Phys. B: Condens. Matter 35, 207 (1979).

30. К. Б. Ефетов, А. И. Ларкин, Д. E. Хмельницкий, ЖЭТФ 79,1120 (1980).

31. L. Schafer, F. Wegner, Z. Phys. B: Condens. matt. 38, 113 (1980).

32. А. А. Абрикосов, Л. П. Горьков, И. Е. Дзялошинский, Методы квантовой теории поля в статистической физике, Физматгиз, 1962г.

33. A.V. Andreev, О. Agam, B.D. Simons, B.L. Altshuler, Phys. Rev. Lett. 76, 3947 (1996); Nucl. Phys. В 482, 536 (1996)

34. M. R. Zirnbauer, J. Phys. A 29, 7113 (1996).

35. A. Altland, C.R. Offer, B.D. Simons, Supersymmetry and Trace formulae, под ред. I.V. Lerner, J.P. Keating, D.E. Khmelnitskii, NATO ASI Series В (Kluwer Academic, Dordrecht, 1999), Vol.370, стр. 17.

36. M.R. Zirnbauer, Supersymmetry and Trace formulae, под ред. I.V. Lerner, J.P. Keating, D.E. Khmelnitskii, NATO ASI Series В (Kluwer Academic, Dordrecht, 1999), Vol.370, стр. 153.

37. D. Taras-Semchuk, К. B. Efetov, Phys. Rev. Lett. 85, 1060 (2000); Phys. Rev. В 64, 115301 (2001).

38. А. В. Зайцев, ЖЭТФ 59, 1015 (1984).

39. Fradkin E., Field theories of condensed matter systems, Addison-Wesley, 1991.

40. I.L. Aleiner, A.I. Larkin, Phys. Rev. В 54, 14423 (1996).

41. I.V. Gornyi, A.D. Mirlin, J. Low Temp. Phys. 126 (3-4), 1339 (2002).

42. D. Ruelle, Phys. Rev. Lett. 56, 405 (1986).

43. M. Pollicot, Ann. Math. 131, 331 (1990).

44. Ya. Blanter, A.D. Mirlin, B.A. Muzykantskii, Phys. Rev. В 63, 235315 (2001).

45. V. Kalmeyer, S.-C. Zhang, Phys. Rev. В 46, 9889 (1992); В. I. Halperin, P. A. Lee, N. Read, Phys. Rev. В 47, 7312(1993).

46. L. B. Ioffe, A. I. Larkin, Phys. Rev. B, 39, 8988 (1989); N. Nagaosa, P. A. Lee, Phys. Rev. Lett. 64, 2450 (1990); Phys. Rev. В 45, 966 (1992).

47. A. G. Aronov, A. D. Mirlin, P. Wolfle, Phys. Rev. В 49, 16609 (1994).

48. P. Wiegmann, Statistical Field Theories, под ред. A. Cappelli, G. Mussardo, стр. 337-349, Kluwer Academic Publishers, 2002.

49. E. M. Лившиц, Л. П. Питаевский, Статистическая физика, М.: Наука, 1978.

50. Л. В. Келдыш, ЖЭТФ 47, 1515 (1964).

51. I.V. Gornyi, A.D. Mirlin, P. Wolfle, Phys. Rev В 64, 115403 (2001).

52. M. V. Berry, M. Tabor, Proc. R. Soc. Lond. A 356, 375 (1977).

53. R. D. Connors, J. P. Keating, J. Phys. A 30, 1817 (1997).

54. P. Sarnak, Curr. Dev. Math., 84 (1997).

55. E. P. Wigner, Ann. Math. 53, 36 (1953).

56. Л. П. Горьков, Г. M. Элиашберг, ЖЭТФ 48, 1407 (1965).

57. Б. Л. Альтшулер, Б. И. Шкловский, ЖЭТФ 91, 220 (1986).

58. М.С. Gutzwiller, J. Math. Phys., 12, 343 (1971).

59. М.С. Gutzwiller, Chaos in Classical and Quantum Mechanics, (Springer, New York, 1990).

60. F. Haake, Quantum Signitures of Chaos, (Springer, Berlin, 1991).

61. Chaos in Quantum Physics, под ред. M.-J. Gianonni, A. Voros, J. Zinn-Justin, Les Houches, Session LII 1989 (North-holland, Amsterdam, 1991).

62. M. Sieber, F. Steiner, Phys. Rev. Lett. 67, 1941 (1991).

63. G. Tanner, P. Scherer, E. B. Bogomolny, B. Eckhardt, D. Wintgen, Phys. Rev. Lett. 67, 2410 (1991).

64. J. P. Keating, M. Sieber, Proc. R. Soc. Lond. A447, 413 (1994).

65. H. Schomerus, F. Haake, Phys. Rev. Lett. 79, 1022 (1997).

66. J.P. Keating, Supersymmetry and Trace formulae, под ред. I.V. Lerner, J.P. Keating, D.E. Khmelnitskii, NATO ASI Series В (Kluwer Academic, Dordrecht, 1999), Vol. 370, стр. 1.

67. J. H. Hannay, A. M. Ozorio de Almeida, J. Phys. A 17, 3429 (1984).

68. N. Argaman, Y. Imry, U. Smilansky, Phys. Rev. B, 47, 4440 (1993).

69. O. Agam, B. L. Altshuler, A. V. Andreev, Phys. Rev. Lett. 75, 4389 (1995).

70. E.B. Bogomolny, J.P. Keating, Phys. Rev. Lett. 77, 1472 (1996).

71. P. Cvitanovid, Supersymmetry and Trace formulae, под ред. I.V. Lerner, J.P. Keating, D.E. Khmelnitskii, NATO ASI Series В (Kluwer Academic, Dordrecht, 1999), Vol. 370, стр. 85.

72. M. Tinkham, J. Clarke, Phys. Rev. Lett. 28, 1366 (1972).

73. P. L. Carlson, A. M. Goldman, Phys. Rev. Lett. 34, 11 (1975).

74. J. Clarke, B. Fjorborge, P. E. Lindeloef, Phys. Rev. Lett. 43, 642 (1979).

75. K. L. Usadel, Phys. Rev. Lett. 25, 507 (1970).

76. M. Ю. Куприянов, В.Ф. Лукичев, ЖЭТФ 67, 1163 (1988).

77. С. J. Lambert, R. Raimondi, V. Sweeney, A. F. Volkov, Phys. Rev. В 55, 6015 (1997).

78. С. Н. Артеменко, А. Ф. Волков, УФН 22, 295 (1979).

79. A. I. Larkin, Yu. N. Ovchinnikov, Nonequilibrium superconductivity, под ред. D. N. Langenberg, A. I. Larkin (Elsevier, Amsterdam) 1984.

80. J. J. A. Baselmans, B. J. van Wees, Т. M. Klapwijk, Phys. Rev. В 65, 224513 (2002).

81. W. Belzig, R. Shaikhaidarov, V. V. Petrashov, Yu. V. Nazarov, Phys. Rev. В 66, 220505 (2002).

82. A. Parsons, I. A. Sosnin, V. T. Petrashov, Phys. Rev. В 67, 140502 (2003).

83. A. F. Volkov, H. Takayanagi, Phys. Rev. В 56, 11184 (1997).

84. N.F. Mott, H. Jones, The Theory of the Properties of Metals and Alloys (Clarendon, Oxford, 1936), 1-е изд.