Прогнозирование предельной несущей способности балок при чистом изгибе с учетом разупрочнения материала тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Бахарева, Елена Александровна

• Бахарева, Елена Александровна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Бахарева, Елена Александровна

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

ВВЕДЕНИЕ

1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ МЕХАНИКИ РАЗУПРОЧНЯЮЩИХСЯ МАТЕРИАЛОВ (ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР) И ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧ ИССЛЕДОВАНИЯ

2. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ПАРАМЕТРОВ РАВНОВЕСИЙ И УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ БАЛОК ИЗ РАЗУПРОЧНЯЮЩЕГОСЯ МАТЕРИАЛА С СИММЕТРИЧНОЙ ДИАГРАММОЙ РАСТЯЖЕНИЯ И СЖАТИЯ ПРИ ЧИСТОМ ИЗГИБЕ

2.1. Формулировка задачи и определяющие соотношения

2.2. Условия существования решения уравнения равновесия

2.3. Определение зависимости изгибающего момента от кривизны (итерационная схема Ньютона-Канторовича)

2.4. Определение зависимости изгибающего момента от кривизны (схема простой итерации)

2.5. Основная и корректирующая задачи. Механический смысл схемы простой итерации

2.5.1. Партипластический материал

2.5.2. Упругопластический материал

2.5.3. Упругохрупкий материал

2.6. Устойчивость процесса деформирования (общие положения)

2.7. Устойчивость по линейному приближению

2.8. Выводы по второй главе

3. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ПАРАМЕТРОВ РАВНОВЕСИЙ И УСТОЙЧИВОСТЬ БАЛОК С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ

СЕЧЕНИЕМ, СИММЕТРИЧНЫМ ОТНОСИТЕЛЬНО ВЕРТИКАЛЬНОЙ

ОСИ, ИЗ РАЗУПРОЧНЯЮЩЕГОСЯ МАТЕРИАЛА С СИММЕТРИЧНОЙ

ДИАГРАММОЙ РАСТЯЖЕНИЯ И СЖАТИЯ ПРИ ЧИСТОМ ИЗГИБЕ

ЗЛ. Постановка задачи

3.2. Устойчивость процесса деформирования (общие положения)

3.3. Расчет параметров всех равновесий (итерационный метод Ньютона-Канторовича)

3.4. Определение зависимости изгибающего момента от кривизны и отклонения нейтральной линии от оси симметрии (схема простой итерации)

3.5. Основная и корректирующая задачи. Механический смысл схемы

простой итерации

3.5.1. Партипластический материал

3.5.2. Упругопластический материал

3.5.3. Упругохрупкий материал

3.6. Устойчивость по линейному приближению

3.7. Выводы по третьей главе

4. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ КРИТИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ БАЛОК ИЗ РАЗУПРОЧНЯЮЩЕГОСЯ МАТЕРИАЛА ПРИ ЧИСТОМ ИЗГИБЕ

4.1. Метод расчета критической нагрузки балок из разупрочняющихся материалов при чистом изгибе

4.2. Примеры расчета критической нагрузки балок из разупрочняющегося материала при чистом изгибе

4.3. Выводы по четвертой главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ А. Акт использования результатов работы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Прогнозирование предельной несущей способности балок при чистом изгибе с учетом разупрочнения материала»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы Одним из основных направлений технического прогресса в машиностроении и строительстве является повышение прочности, надежности и живучести элементов конструкций. Это достигается как использованием новых материалов, так и включением в практику проектирования свойств конструкционных материалов, ранее не принимаемых во внимание. Обычно расчет конструкций на прочность проводится по допускаемым напряжениям, за которые, как правило, принимаются напряжения, отвечающие пределу прочности материала, что приводит к неоправданно высоким запасам прочности, увеличению материалоемкости изделий и, как следствие, занижению величины предельной нагрузки. Одним из возможных подходов, позволяющих увеличить точность расчетов, является учет стадии разупрочнения материала, которая начинается после достижения напряжениями предела прочности и характеризуется тем, что при росте деформаций напряжения падают.

В экспериментальных и теоретических работах российских и зарубежных ученых, среди которых С.Д. Волков, И.С. Воронюк, В.А. Ибрагимов, Ю.В. Када-шевич, Д.В. Клюшников, В.В. Новожилов, A.A. Лебедев, Н.Г. Чаусов, Л.В. Никитин, Е.И. Рыжак, В.В. Стружанов, В.П. Радченко, В.Э. Вильдеман, Z.P. Bazant, J. Bobinski, М. Brocca, D.C. Drucker, R.H. Evans, E. Smith, R.Y. Xiao и другие была установлена принципиальная возможность экспериментального построения полной диаграммы деформирования с падающей до нуля ветвью, характеризующей разупрочнение материала, и установлен, по крайнем мере, на качественном уровне эффект от включения в рассмотрение закритической стадии деформирования (разупрочнения), заключающийся в уточнении значения предельной несущей способности и напряженно-деформированного состояния, предшествующего разрушению. Однако общая теория, позволяющая прогнозировать расчеты элементов конструкций с учетом разупрочнения еще не построена. Данное обстоятельство определяется тем, что деформирование материала при разупрочнении является

неустойчивым, и поэтому краевые задачи механики деформируемого твердого тела, учитывающие закритическую стадию деформирования материала, не удовлетворяют условиям корректности Адамара, то есть они могут иметь несколько решений, в том числе и неустойчивых. Отсюда актуальным является решение конкретных задач для простых механических систем, которые могут стать, в том числе, модельными примерами для общей теории и установить связи между теорией и практикой. Такие примеры позволят наглядно продемонстрировать подходы и методы решения задач механики деформируемого твердого тела с учетом разупрочнения материала и исследовать эффекты, скрытые при общем рассмотрении. Кроме того, построенные методы и алгоритмы уже на данном этапе исследования проблемы разупрочнения могут быть включены в практику проектирования.

Целью диссертационной работы является разработка методов прогнозирования напряженного состояния и реального предельного изгибающего момента при чистом изгибе балочных элементов конструкций с поперечным сечением, симметричным относительно вертикальной оси, из материалов, обладающих эффектом деформационного разупрочнения.

Для достижения указанной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Исследовать устойчивость процесса деформирования балок и сформулировать критерии потери устойчивости.

2. Развить эффективные математические численные методы расчета параметров всех положений равновесия, в том числе и неустойчивых, в применении к рассматриваемой механической системе.

3. Создать и реализовать на конкретных примерах методику прогнозирования предельной несущей способности балок при чистом изгибе на основе результатов исследования устойчивости.

Научная новизна заключается в следующем: 1. Получены критерии потери устойчивости процесса активного деформирования балок с произвольными сечениями, симметричными относительно вертикальной

оси, с учетом деформационного разупрочнения материала с помощью аппарата современной математической теории катастроф.

2. Предложена оригинальная схема метода упругих решений и установлено, что начало расходимости итерационного процесса отвечает моменту потери устойчивости чистого изгиба балок.

3. Получены критерии потери устойчивости чистого изгиба балок из упругопла-стических, упругохрупких и частично пластических разупрочняющихся материалов в результате применения метода исследования устойчивости по линейному приближению.

4. Впервые применен метод Ньютона-Канторовича для расчета параметров устойчивых и неустойчивых равновесий рассматриваемых балок из разупрочняющихся материалов при активном мягком нагружении. Предложена оригинальная численная процедура выбора начального приближения в итерационной схеме Ньютона-Канторовича.

Теоретическая значимость исследований обоснована тем, что доказана связь разрушения балок из упругопластических и упругохрупких разупрочняющихся материалов с моментом потери устойчивости процесса чистого изгиба, который определяется методами теории катастроф и совпадает с началом расходимости последовательных приближений в методе простых итераций (модифицированная схема метода упругих решений), что вносит вклад в расширение представлений о разрушении балочных элементов конструкций.

Практическая значимость работы. Разработана методика расчета предельной несущей способности балок, изготовленных из разупрочняющихся материалов и подверженных чистому изгибу, позволяющая прогнозировать начало разрушения в процессе деформирования. Методика может быть использована в качестве руководства и практического пособия для расчета истинной несущей способности балок, материал которых обладает эффектом деформационного разупрочнения в процессе деформирования, при чистом изгибе.

Предложенные методы могут быть использованы для дальнейшего развития теории разупрочняющихся материалов и разработки методов расчета различных конструкций, которые вследствие учета разупрочнения позволяют полностью использовать ресурс материала.

Результаты исследований внедрены в учебный процесс и составляют содержание некоторых разделов спецкурса «Устойчивость деформируемых тел из разупрочняющихся материалов» магистерской программы «Механика деформируемого твердого тела», направление 010800 - Механика и математическое моделирование в Институте математики и компьютерных наук Уральского федерального университета имени первого Президента России Б.Н. Ельцина.

Исследования, представленные в диссертационной работе, выполнялись при поддержке грантов РФФИ (проекты 10-08-00135, 10-01-96018-р_Урал_а, 13-0800186) и молодежного научного проекта Президиума УрО РАН № 11-1-НП-532.

Методология и методы исследований. При проведении исследований использовался аппарат математической теории катастроф, теории особенностей дифференцируемых отображений, функционального анализа и механики деформируемого твердого тела. Методологическую основу диссертационной работы составляют труды научного руководителя д.ф.-м.н., профессора В.В. Стружанова.

Положения, выносимые на защиту:

1. Итерационные методы расчета параметров всех равновесий балок произвольного поперечного сечения, симметричного относительно вертикальной оси, из упру-гопластических и упругохрупких разупрочняющихся материалов под действием чистого изгиба (мягкий и жесткий типы нагружения).

2. Методы исследования устойчивости процесса деформирования рассматриваемой механической системы.

3. Методика расчета предельной несущей способности (предельного изгибающего момента) балки произвольного сечения, симметричного относительно вертикальной оси, из разупрочняющегося материала под действием чистого изгиба.

4. Результаты численных экспериментов по определению предельной несущей способности балок с произвольными сечениями из разупрочняющихся материалов при чистом изгибе и сравнение результатов расчетов с традиционными методиками.

Достоверность и обоснованность научных результатов обеспечивается строгой математической постановкой задачи, использующей минимальное число допущений, корректным применением при ее решении математического аппарата и законов механики деформируемого твердого тела, а также проведением тестовых расчетов.

Установлено качественное совпадение результатов, полученных в работе, с результатами, представленными в публикациях других исследователей по растяжению стержневых систем с разупрочняющимися элементами и кручению круглых стержней из разупрочняющегося материала. Результаты расчетов напряженного состояния балок при чистом изгибе по приведенным в диссертации методам при учете только упрочнения материала полностью совпадают с результатами расчетов С.П. Тимошенко по теории неупругого изгиба.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Всероссийских школах-конференциях молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках» (г. Пермь, 2008-2011), Всероссийских конференциях с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2009, 2010, 2011, 2013), Всероссийских Зимних школах по механике сплошных сред (г. Пермь, 2009, 2011, 2013), IV и V Всероссийских научно-технических конференциях «Ресурс и диагностика материалов и конструкций» (г. Екатеринбург, 2009, 2011), VI Всероссийской конференции «Механика микронеоднородных материалов и разрушение» (г. Екатеринбург, 2010), Всероссийской конференции «Безопасность критичных инфраструктур и территорий» (г. Екатеринбург, 2009, 2011, 2012), VI Международной научной конференции «Прочность и разрушение материалов и конструкций» (г. Оренбург, 2010), 2-й Всероссийской конференции «Проблемы оптимального проектирования сооруже-

ний» (г. Новосибирск, 2011), Международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика» (Новосибирск, 2011), X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (г. Нижний Новгород, 2011), XV Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (г. Ростов-на-Дону, 2011), Международной научной конференции по механике «Шестые Поляховские чтения» (г. Санкт-Петербург, 2012), XI молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» (г. Казань, 2012), XX Петербургских чтениях по проблемам прочности (г. Санкт-Петербург, 2012), XI Казанской летней школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (г. Казань, 2012), Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (г. Тула, 2013), VII Всероссийской конференции по механике деформируемого твердого тела (г. Ростов-на-Дону, 2013), Third International Conference on Mathematical Physics and Its Applications (Samara, Russia, 2012), International Conference «Mathematical and Informational Technologies, М1Т-2013» (X Conference «Computational and Informational Technologies for Science, Engineering and Education») (Vrnjacka Banja, Serbia, Budva, Montenegro, 2013).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 30 печатных и электронных работ, из которых 5 статей в журналах из перечня ВАК и 3 работы в рецензируемых источниках.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 165 источников, и приложения. Работа составляет 139 страниц, содержит 39 рисунков и 3 таблицы.

Первая глава посвящена анализу научных публикаций по основным проблемам механики разупрочняющихся тел. Приведен обзор существующих экспериментальных методик построения полных диаграмм деформирования и некоторых теоретических моделей, описывающих явление разупрочнения материала. Рассмотрены методы расчета предельной несущей способности элементов кон-

струкций, применяемые в инженерной практике, и обоснована необходимость учета в расчетах закритической стадии деформирования для определения истинных параметров прочности. На основе литературного обзора сформулированы цели и задачи диссертационной работы.

Вторая глава посвящена задаче о чистом изгибе прямоугольной балки из разупрочняющегося материала, подверженной чистому изгибу по мягкой (приложен изгибающий момент) и жесткой (фиксируется кривизна) схемам нагружения. Свойства материала считаем одинаковыми как при растяжении, так и при сжатии. Приведена классификация материалов и определяющие соотношения. В этом случае в задаче о чистом изгибе прямоугольной балки одному параметру управления будет соответствовать один параметр состояния. Разработаны и применены на конкретном примере итерационные методы расчета параметров всех равновесий. В частности, применены метод простых итераций и метод Ньютона-Канторовича. Также предложен модифицированный метод упругих решений для определения напряженно-деформируемого состояния прямоугольной балки при чистом изгибе для мягкого и жесткого нагружений. Приводится математическая интерпретация метода. Исследуется сходимость методов. Проводится анализ устойчивости чистого изгиба прямоугольной балки посредством аппарата математической теории катастроф и классического метода исследования устойчивости по линейному приближению.

В третьей главе рассматривается задача о чистом изгибе балки произвольного поперечного сечения, симметричного относительно вертикальной оси, из разупрочняющегося материала. В этом случае параметру управления будет соответствовать два параметра состояния балки (дополнительно появляется параметр отклонения нейтральной плоскости, где нулевые напряжения и деформации, от горизонтальной плоскости симметрии). Распространены результаты, полученные во второй главе о чистом изгибе прямоугольной балки, на задачу о чистом изгибе балки произвольного поперечного сечения, симметричного относительно вертикальной оси. Формируются итерационные методы расчета параметров равнове-

сий: метод простых итераций, метод Ньютона-Канторовича и метод последовательных приближений. Исследуется сходимость методов. Для реализации метода Ньютона-Канторовича предлагается оригинальная процедура выбора начальных приближений, отвечающих числу решений уравнений равновесия. Проводится исследование устойчивости чистого изгиба балки произвольного сечения посредством аппарата математической теории катастроф и метода исследования устойчивости по линейному приближению.

В четвертой главе рассмотрены балки с произвольными поперечными сечениями, симметричными относительно вертикальной оси, из разупрочняющихся материалов, подверженных чистому изгибу посредством приложения изгибающего момента. Разработана методика расчета критической нагрузки, при достижении которой балка начнет разрушаться. Также приводится аналогичная методика для балок с тремя осями симметрии (в этом случае имеет место только один параметр состояния). Методики продемонстрированы на ряде примеров расчета конкретных балок с заданными свойствами материала. Проведено сравнение результатов расчетов с решением задачи традиционным методом теории неупругого изгиба, в соответствии с которым разрушение в процессе деформирования произойдет в крайних, наиболее растянутых волокнах балки при достижении деформации предела прочности.

В заключении сформулированы основные выводы по результатам работы. В приложении приводится акт об использовании результатов исследований.

1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ МЕХАНИКИ

РАЗУПРОЧНЯЮЩИХСЯ МАТЕРИАЛОВ (ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР) И ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧ ИССЛЕДОВАНИЯ

Постоянное ужесточение требований, предъявляемых к качеству элементов конструкций, требует внедрения в практику проектирования все более совершенных методов расчета их прочности, долговечности, надежности и живучести. Создание новых методов базируется на введении в рассмотрение свойств материалов, не учитываемых в традиционных теориях механики деформируемого твердого тела.

При проектировании деталей машин и элементов конструкций расчет, как правило, проводится по допускаемым напряжениям, соответствующим высшей точке диаграммы деформирования [1-3], поскольку характеристикой разрушения считают напряжения в высшей точке диаграммы деформирования. Однако теперь ясно, что эта точка является критическим состоянием, соответствующим потери устойчивости тела с трещинами. Разрушение заканчивается тогда, когда магистральная трещина полностью пересекает тело или образец при усилии, снижающемся до нуля [4].

Схема одновременного отрыва соответствует бесконечно большой скорости разрушения, то есть в этом случае разрушение является мгновенным актом, что, является идеализацией процесса разрушения. В реальных телах зарождение и развитие трещины происходит во времени на закритической стадии деформирования, когда напряжения снижаются до нуля при росте деформаций [4]. Исследование кинетики разрушения образцов при растяжении показали, что сначала происходит разрыхление материала, образуются микропоры и микротрещины, то есть происходит рассеянное накопление поврежденности в материале на уровне микроструктуры [5]. Этот процесс можно рассматривать как деформационное разупрочнение материала.

Состояние материала на заключительной (закритической) стадии деформирования характеризуется падающим участком полной диаграммы деформирования. В настоящее время разработаны методики экспериментального построения полных диаграмм при различных видах испытаний: растяжение, сжатие, кручение, изгиб. Все эти экспериментальные методики основаны на увеличении жесткости испытательных машин путем последовательного или параллельного включения в силовую цепь последовательных упругих элементов [6-22]. Полную диаграмму можно также получить, используя сервоуправляемую испытательную машину, управление которой осуществляется автоматически с помощью электрического сигнала от датчика деформаций, прикрепленного к образцу. В этом случае реализуется быстродействующая обратная связь, позволяющая балансировать на грани безопасных напряжений для поврежденного образца [23-30].

Однако во время испытаний не учитывается, что на этапе развития трещин появляется шейка, где образуется зона сосредоточенной деформации. Изменение геометрии образца, связанной с образованием шейки, и распространении трещин в материале приводит к тому, что напряженно-деформированное состояние образца становится не одномерным (все компоненты тензора напряжений не равны нулю). Поэтому испытания на одноосное растяжение не могут достоверно описать закритическую стадию деформирования. Одним из возможных вариантов решения этой проблемы заключается в пересчете диаграммы деформирования из диаграммы, полученной при испытаниях на чистый изгиб прямоугольных балок. При чистом изгибе напряженно-деформированное состояние образца остается одномерным до полного его разрушения [2]. В работе [31] предложена методика численного построения полной диаграммы растяжения по результатам механических испытаний прямоугольных образцов на чистый изгиб, который может быть физически смоделирован четырехточечным изгибом. Методика заключается в решении, так называемой, обратной задачи, когда по известным параметрам механической системы необходимо найти характеристики материала через уравнения равновесия. В этом случае уравнение равновесия представляет собой инте-

гральное уравнение Вольтерры первого рода, которое является некорректной задачей в смысле Адамара. Решение ищется, используя понятие квазирешения и метод подбора [32].

Непосредственное использование характеристик ниспадающей ветви, полученных в эксперименте, связано в большей степени с определением их взаимосвязей с особенностями кинетики образования и развития трещин, с кинетикой разрушения на стадии упрочнения, с параметрами трещиностойкости материала [18, 20, 33-35]. Интерпретация же имеющихся многочисленных данных по закритиче-скому деформированию в терминах присущего материалу свойства разпрочнения иногда встречает возражения [36-38], которые, в основном, сводятся к следующему: 1. падающая диаграмма является динамической характеристикой системы «образец - испытательная машина»; 2. закритическое деформирование заведомо неустойчиво и, поэтому однородное квазистатическое деформирование образца, необходимое для определения связи напряжений и деформаций, принципиально не может быть обеспечено. Эти возражения обусловлены двумя моментами: 1. интуитивным убеждением в применимости к реальным неоднородным телам тех выводов об устойчивости и неустойчивости, которые получены с помощью традиционных одномерных моделей сплошной среды; 2. отсутствием строгих результатов такого же рода для тех конфигураций и граничных условий, которые могли бы быть хоть сколько-нибудь сопоставимы с реальными условиями проводимых испытаний.

Контраргументы данных соображений приведены в ряде экспериментальных и теоретических работ [9-51], в которых утверждается, что неустойчивые состояния материала могут быть реализованы, если этот материал находится в составе устойчивой механической системы. Осуществимость неустойчивых состояний существенно связана с неодномерностью тел и не имеет одномерных аналогов. Кроме того, полные диаграммы возможно построить, исходя из рассмотрения некоторых модельных структурных представлений твердого тела [52-57], что также показывает осуществимость неустойчивых состояний материала. Особо

отметим работы [31, 58], в которых сформулирована обратная некорректная задача по восстановлению полной диаграммы деформирования материала по диаграмме чистого изгиба балки прямоугольного поперечного сечения и по диаграмме кручения цилиндрического образца, нагружаемых по жесткой схеме (контролируется радиус кривизны), и разработана методика решения этих задач. Здесь напрямую используется принцип, утверждающий возможность существования неустойчивых состояний материала в устойчиво деформируемом теле. Изложенная в публикациях [31, 58] методика открывает новые возможности для определения свойств материалов, находящихся в состоянии разупрочнения.

В отличие от экспериментальных задач значительно меньшее внимание уделяется построению определяющих соотношений для разупрочняющейся среды, постановке краевых задач и их решению. Это объясняется тем, что на стадии разупрочнения не выполняется постулат Друккера. Данное обстоятельство служило основанием для отбраковки моделей, допускающих работу материала на за-критической стадии деформирования (стадии разупрочнения). Однако постулат Друккера, как это неоднократно подчеркивал сам автор [59, 60], не вытекает из законов термодинамики. На требование его выполнения следует смотреть, как на определение класса устойчивых материалов [59].

Наиболее удобным для описания в терминах закритического деформирования являются существенно структурно-неоднородные материалы такие, как композиты, геоматериалы и бетон. Кроме того, грузонесущие элементы породных массивов эксплуатируются чаще всего в режиме заданных деформаций, при котором реально появление зон разупрочнения. Предложен ряд моделей таких материалов, учитывающих запредельное деформирование, и разработаны некоторые приемы расчетов на прочность [37, 61-71]. При этом в определяющих соотношениях для геоматериалов и бетона используется только один тангенциальный модуль, определяемый касательной к полной диаграмме деформирования, полученной либо при сжатии, либо при сдвиге. Зачастую в качестве тангенциального мо-

дуля на закрнтической стадии используется постоянный модуль спада, если принимается линейная аппроксимация падающего участка.

Также полная диаграмма растяжения применяется при,моделировании процесса продвижения трещин, когда предполагается существование тонкой полосы у вершины трещины, в которой материал может переходить на стадию разупрочнения при одноосном растяжении [72-78].

Наиболее естественным является применение полных диаграмм с падающими ветвями в атомарных моделях. В простейшем случае кристаллическое тело моделируется некоторой решеткой, задаются массы частиц, помещенные в узлы решетки, закон силового взаимодействия между ними и записываются уравнения движения частиц. Непосредственное использование решеточных моделей позволяет с единых позиций рассматривать процессы деформирования, зарождения и накопления трещин, их дефектов и их развития. Исследования проводят методами статики и динамики. Как правило, используют потенциалы взаимодействия между атомами Леннарда-Джонса и Морса, из которых зависимость сил растяжения от увеличения расстояния между атомами представляется полной диаграммой [7984].

Отметим, что полная диаграмма деформирования при растяжении применялась для решения задач о разрушении некоторых стержневых и континуальных механических систем [85-88].

В работах [43, 44, 62, 64, 68, 86, 89-104] изложены некоторые подходы к построению определяющих соотношений разупрочняющихся сред. Однако методы описания свойств материалов на стадии разупрочнения еще не разработаны так, как это имеет место в теории течения и деформационной теории пластичности.

Разупрочнение материала - есть внутренняя неустойчивость. Развитие зон разупрочнения приводит к потери устойчивости процесса деформирования всего тела. Однако в многочисленных исследованиях устойчивости механических систем и деформируемых тел не используются понятия деформационного разупрочнения материала [105-112]. Как привило, применяется подход Эйлера к определе-

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бахарева, Елена Александровна, 2013 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Серенсен С. В. Несущая способность и расчет деталей машин на прочность [Текст] / С. В. Серенсен, В. П. Когаев, Р. М. Шнейдерович - 3-е изд. - М.: Машиностроение, 1975. - 488с.

2. Тимошенко С. П. Механика материалов [Текст] / С. П. Тимошенко. - М.: Мир, 1976.-669 с.

3. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твёрдого тела [Текст] / Ю. Н. Работнов. - М.: Наука, 1979. - 744 с.

4. Фридман Я.Б. Механические свойства металлов. Ч. 1. Деформация и разрушение [Текст] / Я. Б. Фридман. - М.: Машиностроение, 1974. - 472 с.

5. Шин Р. Г. Механизмы деформирования микронеоднородной среды [Текст] / Р. Г. Шин, В. Л. Катков // Проблемы прочности. - 198/. - №10. - С.72-74.

6. Баклашов И. В. Деформирование и разрушение породных массивов [Текст] / И. В. Баклашов. - М.: Недра, 1988. - 271 с.

7. Введение в механику скальных пород [Текст] / Под. ред. X. Бока. - М.: Мир, 1982. 276 с.

8. Экспериментальные функции сопротивления легированной стали при растяжении и кручении [Текст] / С. Д. Волков, Ю. П. Гуськов, В. И. Кривосницкая, В. И. Миронов, Ю. П. Соковкин, П. С. Соколов // Проблемы прочности. - 1979. -№1. - С. 3-6.

9. Горев Б. В. К описанию ниспадающего участка кривой деформирования "напряжение-деформация" по кинетическим уравнениям со скалярным параметром поврежденности [Текст] / Б. В. Горев, И. А. Банщикова // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2008. - №2(17). - С. 110-117.

10. Гудман Р. Механика скальных пород [Текст] / Р. Гудман. - М.: Стройиздат, 1987.-232 с.

11. Лебедев А. А. Методика построения полных диаграмм деформирования листовых материалов [Текст] / А. А. Лебедев, Н. Г. Чаусов, Ю. П. Евецкий // Проблемы прочности. - 1986. - №9. - С. 29-32.

12. Лебедев А. А. Установка для испытания материалов с построением полностью равновесных диаграмм деформирования [Текст] / А. А.Лебедев, Н. Г. Чаусов // Проблемы прочности. - 1981. - №12. - С. 104-106.

13. Миронов В. И. Свойства материала в реологически неустойчивом состоянии [Текст] / В. И. Миронов // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. -2002. - Т. 68. - № 10. - С. 47-52.

14. Установка для определения механических свойств материалов на стадии разупрочнения [Текст] / В. И. Миронов, В. И. Микушин, А. П. Владимиров и др. // Заводская лаборатория. - 2001. - Т.67, № 3. - С. 48-52.

15. Reinhardt H.W. Tensile test and failure analysis of concrete [Текст] / H. W. Reinhardt, H. A. W. Cornelissen, P. A. Hordijk // J. Struct. Eng. - 1986. - V. 112, № 11.-P. 2462-2477.

16. Torrenti J. M. Some remarks upon concrete softening [Текст] / J. M. Torrenti // Mater, et. constr. - 1986. - V. 19, № 113. - P. 391-394.

17. Wewarsik W. R. Post-failure behavior of a granite and diabase [Текст] / W. R. Wewarsik, W.F. Brace // Rock. Mech. - 1971. - V. 3, № 3. - P. 61-85.

18. Исследование кинетики разрушения материалов на заключительной стадии деформирования [Текст] / А. А. Лебедев, О. И. Марусий, Н. Г. Чаусов, Л. В. Зайцева // Проблемы прочности. - 1982. - №1. - С. 12-18.

19. Дубровина Г. И. К теории накопления повреждений [Текст] / Г. И. Дубровина, Ю. П. Соковнин, Ю. П. Гуськов // Проблемы прочности. - 1975. - №2. - С 21-24.

20. Лебедев А. А. Кинетика разрушения листовой аустеничной стали на заключительной стадии деформирования [Текст] / А. А. Лебедев, Н. Г. Чаусов, О. И. Марусий // Проблемы прочности. - 1982. - № 1. - С. 12-18.

21. Разработка экспресс-метода для контроля свойств вагонных сталей [Текст] / В. И. Миронов, И. Г. Емельянов, А. В. Якушев, О. В. Лукащук // Транспорт Урала. -2012.-№2(33).-С. 13-17.

22. Миронов В. И. Метод полных диаграмм в расчете элементов подвижного состава [Текст] / В. И. Миронов, А. В. Якушев // Транспорт Урала. - 2007. № 2 (13).-С. 60-64.

23. Деформирование квазипластичных соляных пород при различных условиях нагружения. Сообщение 1. Закономерности деформирования соляных пород при одноосном растяжении [Текст] / В. М. Жигалкин, О. М. Усольцева, В. Н. Семенов, П. А. Цой // ФТПРПИ. - 2005. - №2. - С. 1-13.

24. Лабораторное исследование деформирования соляных пород [Текст] / В. А. Асанов, А. А. Барях, В. М. Жигалкин, и др. // Физическая мезомеханика. - 2008. -№ 11.-С. 14-18.

25. Яблонко В. Я. Жёсткость и быстродействие машин с обратной связью при испытании на растяжение [Текст] / В. Я. Яблонко, В. В. Богуцкий. - М.: Труды НИКИМП.- 1978.-С. 216-219.

26. Burbash J. Eine Zerreismaschinemitbesonders grosser Federconstante [Текст] / J. Burbash // Techniscle Mitteilungen Krupp. Forsch. Ber. - 1966. - V. 24, №3. - S. 7989.

27. Kreiskorte H. Die Simulation einer «harten» Werkstofфшfmaschine [Текст] / H. Kreiskorte, W. Funk // Materialprüfung. - 1970. - V. 12, № 1. - P. 1-6.

28. Вильдеман В. Э. Экспериментальное исследование закономерностей деформирования и разрушения материалов при плоском напряженном состоянии [Текст] / В. Э. Вильдеман, Т. В. Санникова, М. П. Третьяков // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2010. - № 5. - С. 106-111.

29. Третьяков М. П. Деформационное разупрочнение материалов в условиях плоского напряженного состояния [Текст] / М. П. Третьяков, В. Э. Вильдеман // Вестник ПНИПУ. - 2012. - №2. - С. 190-203.

30. Третьяков М. П. Исследование развития трещин при сложных режимах нагружения методом корреляции цифровых изображений [Текст] / М. П. Третьяков, В. Э. Вильдеман // Заводская лаборатория. - 2012. - Т. 78, № 6. - С. 54-58.

31. Стружанов В. В. Восстановление диаграммы деформирования материала по диаграмме чистого изгиба [Текст] / В. В. Стружанов // Весн. Сам. Гос. Ун-та. Естествен. Сер. - 2008. - № 6. - С. 322-329.

32. Тихонов А. Н. Методы решения некорректных задач [Текст] / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. - М.: Наука, 1986. - 288 с.

33. Лебедев А. А. К оценке трещиностойкости пластичных материалов [Текст] / А. А. Лебедев, Н. Г. Чау сов // Проблемы прочности. - 1982. - № 2. - С. 11-13.

34. Лебедев А. А. Феноменологические основы оценки трещиностойкости материалов по параметрам спадающих участков диаграмм деформирования [Текст] / А. А. Лебедев, Н. Г. Чаусов // Пробл. прочности. - 1983. - № 2. - С. 6-10.

35. Хорошун Л. П. К оценке трещипостойкости материала на основе диаграммы деформирования [Текст] / Л. П. Хорошун // Прикл. механика. - 1989. - № 2. - С. 59-66.

36. Черепанов Г. П. О закритических деформациях [Текст] / Г. П. Черепанов // Проблемы прочности. - 1985. -№8. - С. 3-5.

37. Read Н. Е. Strain softening of rock, soil and concrete. A review article [Текст] / H.E. Read, C.A. Hegemier // Mech. of Materials. - 1984. - V.3, № 4. - P. 271-294.

38. Numerical studies of the influence of microstructure on rock failure in uniaxial compression. Part 2: constraint, slenderness and size effect [Текст] / С. A. Tang, L. G. Tham, P. К. K. Lee, Y. Tsui, H. Liu // Rock Mechanics and Minind Sciences. - 2000. -V. 37, №4.-P. 571-583.

39. Вильдеман В. Э. Условия деформационного разупрочнения материала при растяжении образца специальной конструкции [Текст] / В. Э. Вильдеман, Н. Г. Чаусов //Заводская лаборатория. Диагностика материалов. - 2007. - Т. 73, № 10-С. 55-59.

40. Никитин Л. В., Об осуществимости состояний материала, соответствующих "падающему" участку диаграммы [Текст] / Л. В. Никитин, Е. И. Рыжак // Изв. АН СССР.МТТ.- 1986.-№2.-С. 155-161.

41. Никитин JI. В. Об устойчивости и неустойчивости сжатого блока, прижатого к гладкому основанию [Текст] / Л. В. Никитин, Е. И. Рыжак // Изв. РАН. МТТ. -2008.- №4. С. 42-57.

42. Райе Дж. Р. Об устойчивости дилатантного упрочнения насыщенных скальных массивов [Текст] / Дж. Р. Райе // Определяющие законы механики грунтов (Механика. Новое в зарубежной науке). - М.: Мир. - 1975. - С. 195-209.

43. Рыжак Е. И. К вопросу об осуществимости однородного закритического деформирования при испытаниях в жесткой трехосной машине [Текст] / Е. И. Рыжак // Изв. АН СССР. МТТ. - 1991. - №1. - С. 111-127.

44. Рыжак Е. И. О необходимости условий Адамара для устойчивости упру-гопластических тел [Текст] / Е. И. Рыжак // Изв. АН СССР: МТТ. - 1987. - № 4. -С. 101-104.

45. Рыжак Е. И. Об устойчивом закритическом деформировании в нежесткой трехосной испытательной машине [Текст] / Е. И. Рыжак // Докл. АН. - 1993. - Т. 330, №2.-С. 197-199.

46. Рыжак Е. И. Об устойчивом закритическом деформировании упруго-пластических образцов, стесненных обоймой конечной жесткости [Текст] / Е. И. Рыжак // Изв. РАН: МТТ. 1995. - № 3. - С. 117-135.

47. Gopalaratnam V. S. Softening response of plain concrete in direct tension [Текст] / V. S. Gopalaratnam, S.P. Shah // ACI J. - May/June 1985. - P. 310-323.

48. Li Z. New test method for obtaining softening response of unnotched concrete specimen under uniaxial tension [Текст] / Z. Li, S. M. Kulkarni, S. P. Shah // Experimental Mechanics. - 1993.-V. 3 (33)-P. 181-188.

49. Brocca M. Size effect in concrete columns: finite-element analysis with microplane model [Текст] / M. Brocca, Z. P. Bazant // J. of Structural Engineering. - 2001. -V. 127, №2.-P. 1382-1390.

50. Горбунов С. В. Математическая модель вязкоупругого разупрочняющегося материала с экспоненциальным ядром ползучести [Текст] / С. В. Горбунов // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2012. - № 1(26). - С. 150-156.

51. Горбунов С. В, Экспериментальная проверка реологической модели разупрочняющейся вязкоупругой среды с экспоненциальным ядром ползучести [Текст] / С. В. Горбунов // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. -2012.-№ 3(28).-С. 196-198.

52. Волков С. Д. О кинетике разрушения и масштабном эффекте [Текст] / С. Д. Волков // Заводская лаборатория. - 1980. - Т.26, № 3. - С. 323-329.

53. Радченко В. П. Реологическое деформирование и разрушение материалов и элементов конструкций [Текст] / В. П. Радченко, Ю. А. Еремин. - М.: Машиностроение-!, 2004. - 265с.

54. Радченко В. П. Структурная модель разупрочняющегося при ползучести материала в условиях сложного напряженного состояния [Текст] / В. П. Радченко, Е. В. Небогина, Е. А. Андреева // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2009. - № 1(18).-С. 75-84.

55. Радченко В. П. Структурная модель закритического упругопластического деформирования материалов в условиях одноосного растяжения [Текст] / В. П. Радченко, Е. В. Небогина, М. В. Басов // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2000. - №9. - С 55-65.

56. Стружанов В. В. Модификационная модель Мазинга [Текст] / В. В. Стружа-нов, В. В. Башуров // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2007. -№1(14).-С 29-39.

57. Новожилов В. В. Микронапряжения в конструкционных материалах [Текст] / В. В. Новожилов, Ю. И. Кадашевич. - JL: Машиностроение, 1990. - 223 с.

58. Стружанов В. В. Определение диаграммы деформирования с падающей ветвью по диаграмме кручения цилиндрического образца [Текст] / В. В. Стружанов // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2012. - Т. XV, № 1(49). - С. 138-144.

59. Друккер Д. Определение устойчивого неупругого материала [Текст] / Д. Друккер // Механика [сб. переводов иностр. ст.]. - 1960. - Т.2, №2. - С. 55-70.

60. Drucker D. С. A definition of stable inelastic material [Текст] / D.C. Drucker // J. Appl. Mech. ASME. - 1959. - V.26. - P.101-106.

61. Баклашов И. В. Деформирование и разрушение породных массивов [Текст] / И. В. Баклашов. - М.: Недра, 1988. - 271 с.

62. Драгон А. Континуальная модель пластически-хрупкого поведения скальных пород и бетона [Текст] / А. Драгон, 3. Мруз // Механика деформируемых твердых тел. Направления развития. - М.: Мир, 1983. - С. 163-188.

63. Фадеев А. Б. Метод конечных элементов в геомеханике [Текст] / А. Б. Фадеев. - М.: Недра, 1987. - 221 с.

64. Frantziskonis G. Constitutive model with strain-softening [Текст] / G. Frantzis-konis, C.S. Pesai // Int. J. Solids and struct. - 1987. - V. 23, № 6. - P. 733-750.

65. Anderson В. H. Analysis of a non-linear crack model [Текст] / B.H. Anderson, H. Bergkvist // J. Mech. Phys. Solids. - 1970. - Vol. 18. - P. 1-28.

66. Bazant Z. P. Continuum model for strain softening [Текст] / Z. P. Bazant, Т. В Beletschko, T.-P. Chang // J. of Engrg. Mechanics ASCE. - 1984. - V. 110, № 12. - P. 1666-1692.

67. Ma S. Y. A. The Newton-Raphson method used in the non-linear analysis of concrete structures [Текст] / S. Y. A. Ma, I. M. May // Comput. and concrete Struct. -1986. - V.24, № 2. - P.l 17-185.

68. Вильдеман В. Э. Механика неупругого деформирования и разрушение композитных материалов [Текст] / В. Э. Вильдеман, Ю. В. Соколкин, А. А. Ташкинов. -М.: Наука, 1997.-288 с.

69. Nonlocal strain-softening model of quasi-brittle materials using boundary element method [Текст] / F. Lina, G. Yanb, Z. P. Bazant, F. Dingb // Engineering Analysis with Boundary Elements. - 2002. - V. 26. № 5. - P. 417-424.

70. Runesson K. Characteristics and computational procedure in softening plasticity [Текст] / К. Punesson, R. Larsson, S. Sture //J. Eng. Mech. - 1989. - V. 115. № 8. - P. 1628-1646.

71. Susuki A. A modified fraction model with a nonhardening strain region [Текст] / A. Susuki // Нихонкикайчаккайроибужю. Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. - 1986. - V. A52, №481. - P. 2294-2299.

72. Глаголев В. В. Модель процесса разделения деформируемого тела [Текст] /

B. В. Глаголев, К. А. Кузнецов, А. А. Маркин // Изв. РАН. МТТ. - 2003. - № 6. -

C. 61-68.

73. Глаголев В. В. Определение термомеханических характеристик процесса разделения [Текст] / В. В. Глаголев, А. А. Маркин // Изв. РАН. МТТ. - 2007. - № 6. С. 101-112.

74. Глаголев В. В. Оценка толщины слоя взаимодействия как универсального параметра материала [Текст] / В. В. Глаголев, А. А. Маркин // Изв. РАН. МТТ. -2006.-№5. С. 177-186.

75. Гаврилкина М. В. К решению одной задачи механики разрушения [Текст] / М. В. Гаврилкина, В. В. Глаголев, А. А. Маркин // Прикладная механика и теоретическая физика. - 2007. - № 4, Т. 48. - С. 121-127.

76. Оценка прочности сварного соединения с малой дискообразной трещиной [Текст] / А. А. Боринцев, И. Ю. Дивенгталь, Ю. А. Необердин, А. В. Швецов // Прикладная механика и теоретическая физика. - 1985. - № 2. - С. 144-150.

77. Smith Е. The size of the fully developed softening zone associated with a crack in a strain-softening material. I. A semi-infinite crack in a remotely loaded infinite solid [Текст] / E. Smith // Int. J. Eng. Sci. - 1989. - V. 27, № 3. - P. 301-307.

78. Smith E. The size of the fully developed softening zone associated with a crack in a strain-softening material. I. A semi-infmite crack in a remotely loaded infinite solid [Текст] / E. Smith // Int. J. Eng. Sci. - 1989. - V. 27, № 3. - P. 309-314.

79. Астапов H.C. Область устойчивости плотноупакованного слоя атомов [Текст] / Н.С. Астапов, В.М. Корнев // Прикладная механика и теоретическая физика. -2007. -№ 4, Т. 48.-С. 161-172.

80. Новожилов В. В. К основам теории равновесных трещин в упругих телах [Текст] / В. В. Новожилов // Прикладная математика и механика. - 1969. - № 5, Т. 33.-С. 797-812.

81. Новожилов В. В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой прочности [Текст] / В. В. Новожилов // ПММ. - 1969. - Т.ЗЗ, вып.5. - С. 212-222.

82. Корнев В. М. Достаточный дискретно-интегральный критерий прочности при отрыве [Текст] / В. М. Корнев, В. Д. Кургузов // Прикладная механика и техническая физика. - 2001. - № 2. Т. 42. - С. 161-170.

83. Корнев В. М. О критерии хрупкого разрушения тел с трещиной при наличии дефекта атомной решетки [Текст] / В. М. Корнев, Ю. В. Тихомиров // Изв. РАН. МТТ. - 1994. - № 2. - С. 185-193.

84. Гольдштейн Р. В. Моделирование процессов разрушения в рамках обобщенной модели атомистической трещины нормального отрыва [Текст] / Р. В. Гольдштейн, Г. А. Шаталов // Изв. РАН. МТТ. - 2006. - № 4. - С. 151-164.

85. Андреева Е. А. Решение одномерных задач пластичности для разупрочня-ющегося материала [Текст] / Е. А. Андреева // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2008.-№ 2 (17). - С. 152-160.

86. Стружанов В. В. Деформационное разупрочнение материалов в элементах конструкций [Текст] / В. В. Стружанов, В. И. Миронов. — Екатеринбург: УрО РАН, 1995.-190 с.

87. Ибрагимов В. А. Некоторые задачи для сред с падающей диаграммой [Текст] / В. А. Ибрагимов, В. Д. Клюшников // Изв. АН СССР. МТТ. - 1971. - № 4. - С. 116-121.

88. Pijandier-Cabot G. Finite Element Analysis of Bifurcation in Nonlocal Strain Softening Solids [Текст] / G. Pijandier-Cabot // Second World Congress on Computational Mechanics. August 27-31, 1990. Stuttgart, FDG. - P. 157-160.

89. Пежина П. Моделирование закритического поведения и разрушения дисси-пативного твердого тела [Текст] / П. Пежина // Теоретические основы инженерных расчетов. - 1984. - Т. 106. №4. - С. 107-117.

90. Волков С. Д. К теории макротрещин. Сообщение 1. Простейшие модели [Текст] / С. Д. Волков // Проблемы прочности. - 1981. - № 2. - С. 44-48.

91. Волков С. Д. К теории макротрещин. Сообщение 2. Модели класса МТ [Текст] / С. Д. Волков // Проблемы прочности. - 1981. - № 3. - С. 38-42.

92. Стружанов В. В. Ассоциированный и инкрементальный законы пластического течения для сред, проявляющих деформационное разупрочнение [Текст] /

В. В. Стружанов // Известия Уральского государственного университета. — 1998. — № 10.-С. 92-101.

93. Стружанов В. В. Свойства разупрочняющихся материалов и определяющие соотношения при одноосном напряженном состоянии [Текст] / В. В. Стружанов // Вестн. Сам. Гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2007. - №2(15). - С. 69-78.

94. Ибрагимов В. А. Некоторые вопросы разупрочняющихся сред [Текст] / В. А. Ибрагимов // Изв. АН СССР. МТТ. - 1972. - № 4. - С. 55-63.

95. Палмер А. Соотношения нормальности и выпуклости поверхностей текучести для неустойчивых материалов и элементов конструкций [Текст] / А. Палмер, Д. Майер, Д. Друккер // Прикл. механика. Серия Е. Труды американского общества инженеров механиков. - 1967. - Т. 34, № 2. - С. 232-241.

96. Franchi A. A stable / Neutral Equilibrium path for the Numerical of Solution of Elastic-Plastic-Softening Problems [Текст] / A. Franchi, F. Genna // Second World Congress on Computational Mechanics, Audust 27-31, 1990. Stuttgart, FRG, Extended Abstract of Lectures. P. 161-164.

97. Smith E. The failure of a strain-softening solid containing on internal [Текст] / E. Smith // Theoretical and Applied Fracture Mechanics. - 1990. - V. 14, № 1. - P.65-70.

98. Frantziskonis G. Constitutive model with strain-softening / G. Frantziskonis, C.S. Pesai // Int. J. Solids and struct. - 1987. - V. 23, № 6. - P. 733-750.

99. Bobinski J. FE analysis of strain localization in concrete in elasto-plasticity and damage mechanics with non-local softening [Текст] / J. Bobinski // Task Quarterly. -2007.-V. 10.-P. 353-375.

100. Evans R. H., Marathe M. S. Microcracking and stress-strain curves for concrete in tension [Текст] / R. H. Evans, M. S. Marathe // Mat. and Struct, Research and Testing. Paris: RILEM. - 1968. -V. 1 (1). - P. 61-64.

101. Shazlya M. High strain-rate behavior of ice under uniaxial compression [Текст] / M. Shazlya, V. Prakasha, B. A. Lerchb // International Journal of Solids and Structures. -2009. - V. 46. №6.-P. 1499-1515.

102. Volokh К. Y. Softening hyperelasticity for modeling material failure: analysis of cavitation in hydrostatic tension [Текст] / К. Y. Volokh // Int. J. Solids Struct. - 2007. V. 44 (14-15).-P. 5043-5055.

103. Xiao R. Y. Fracture and tension softening of high performance fibrous concrete [Текст] / R. Y. Xiao, C. S. Chin // The Seventh International Conference on Computational Structures Technology. - Lisbon: Civil-Comp Press, 2004. - P. 209.

104. Zhen-hai G. Investigation of complete stress-deformation curves for concrete in tension [Текст] / G. Zhen-hai, Z. Xiu-qin // ACI Materials Journal. - July-August 1987, 84-M29. - P. 278-285.

105. Болотин В. В. О понятии устойчивости в строительной механике [Текст] / В. В. Болотин // Проблемы устойчивости в строительной механике. - М.: Изд-во литературы по строительству. - 1965. - С. 6-27.

106. Клюшников В. Д. Лекции по устойчивости деформируемых систем [Текст] / В. Д. Клюшников. - М.: Изд-во МГУ, 1986. - 224 с.

107. Коробейников С. Н. Нелинейное деформирование твердых тел [Текст] / С. Н. Коробейников. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. - 262 с.

108. Хилл Р. Бифуркация и единственность в нелинейной механике сплошной среды. // Проблемы механики сплошной среды. Сб. науч. тр. [Текст] / Р. Хилл. -М.: Ан СССР, 1961. - С. 448-457.

109. Шейдаков Д. Н. О влиянии силы тяжести на устойчивость неоднородного слоя при двухосном растяжении и сжатии [Текст] / Д. Н. Шейдаков // Изв. РАН. МТТ. — 2009. - № 2. - С. 93-100.

110. Hill R. Uniqueness criteria and extremum principles in soft-adjoint problems of continuum mechanics [Текст] / R. Hill //J. Mech. Phys. Solids. - 1962. - V.10, № 3. -P. 185-194.

111. Hill R. A general theory of uniqueness and stability in elastic-plastic solids [Текст] / R. Hill //J. Mech. Phys. Solids. - 1958. - V.6, № 3. - P. 236-249. Русский перевод: Хилл P. Общая теория единственности и устойчивости для упругопла-стических тел / Р. Хилл // Механика. Сб. переводов. - 1958. - № 6 (52). - С. 81-85.

112. Hill R. On uniqueness and stability in the theory if finite elastic strain [Текст] / R. Hill //J. Mech. Phys. Solids. - 1957. - V.5, № 4. - P. 229-241. Русский перевод: Хилл P. О единственности и устойчивости в теории конечных деформаций / Р. Хилл // Механика. Сб. переводов. - 1958. - № 3 (49). - С. 53-65.

113. Carpinteri A. Softening and shap-back instability in cohesive solids [Текст] / A. Carpinteri // Int. J. Numer. Meht. Eng. - 1989. - V. 28, № 7. - P. 1521-1537.

114. Bazant Z. P. Softening instability. Part I. Localization into a planar band [Текст] / Z. P. Bazant // J. Appl. Mech. ASME. - 1988. V. 55. - P. 517-522.

115. Bazant Z. P. Stability of Structures: Elastic, Inelastic, Fracture and Damage Theories [Текст] / Z. P. Bazant, L. Cedolin. - Oxford University Press. New York, 2003. -1012p.

116. Bazant Z. P. Softening instability. Part II. Localization into ellipsoidal regions [Текст] / Z. P. Bazant // J. Appl. Mech. ASME. - 1988. - V. 55. - P. 523-529.

117. Радченко В. П. Устойчивость по Ляпунову решений эндохронной теории пластичности без поверхности текучести в условиях плоского напряженного состояния [Текст] / В. П. Радченко, Г. А. Павлова, С. В. Горбунов // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2008. - №2(17). - С. 143-151.

118. Ильюшин А. А. Пластичность. 4.1. Упруго-пластические деформации [Текст] / А. А. Ильюшин. - М.: Логос, 2004. - 388 с.

119. Победря Б. Е. О методах упругих решений [Текст] / Б. Е. Победря, С. В. Шешенин // Изв. АН СССР. МТТ. - 1987. - № 5. - С. 59-72.

120. Бригаднов И. А. О численном решении задач пластичности для малоупроч-няющихся материалов [Текст] / И. А. Бригаднов, С. И. Репин // Изв. АН СССР. МТТ. - 1990. - № 4. - С. 72-82.

121. Бригаднов И. А. Регуляризация и обобщенное решение невыпуклых краевых задач теории малых деформаций [Текст] / И. А. Бригаднов // Изв. АН СССР. МТТ. - 1996. - № 5. - С. 46-54.

122. Седов Л. И. Механика сплошной среды [Текст] / Л. И. Седов. Т. 1. - М.: Наука, 1970.-492 с.

123. Бахарева Е. А. Определение параметров равновесия при чистом изгибе балки из нелинейного материала одним итерационным методом [Текст] / Е. А. Бахарева, В. В. Стружанов // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды шестой Всеросс. научн. конф. с междунар. участием. Самара: СамГТУ. - 2009. -Ч. 1.-С. 41-47.

124. Бахарева Е. А. Метод расчета предельной нагрузки при чистом изгибе балки прямоугольного сечения [Текст] / Е. А. Бахарева, В. В. Стружанов // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды седьмой Всеросс. науч. конф. с междунар. участием. - Самара: СамГТУ. - 2010. - Ч. 1. - С. 51-54.

125. Бахарева Е. А. Метод Ньютона в задаче определения положений равновесия балки из разупрочняющегося материала при чистом изгибе [Текст] / Е. А. Бахарева, В. В. Стружанов // Прочность и разрушение материалов и конструкций : Материалы VI междунар. научн. конф. - Оренбург: ОГУ. - 2010. - С. 135-140.

126. Бахарева Е. А. Энергетический критерий устойчивости процесса чистого изгиба балки из пластичного материала [Текст] / Е. А. Бахарева, В. В. Стружанов // Проблемы оптимального проектирования сооружений: Доклады 2-й Всеросс. конф. - Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин). - 2011. - С. 53-59.

127. Бахарева Е. А. Метод простой итерации в задаче о чистом изгибе балки из материала с падающей диаграммой [Текст] / Е. А. Бахарева, В. В. Стружанов // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды восьмой Всеросс. науч. конф. с междунар. участием. - Самара: СамГТУ. - 2011. - Ч. 1. - С. 29-35.

128. Бахарева Е. А. Устойчивость по линейному приближению процесса чистого изгиба балки из разупрочняющегося материала [Текст] / Е. А. Бахарева, В. В. Стружанов // Математические методы исследования технических и экономических систем: сб. научн. тр. - Екатеринбург: Изд-во УрГУПС. - 2011. -Вып. 98 (181).-С. 45-52.

129. Бахарева Е. А. Устойчивость по первому приближению в задаче о чистом изгибе прямоугольной балки из материала с падающей диаграммой [Текст] / Е. А. Бахарева, В. В. Стружанов // Математическая физика и ее приложения: Материалы третьей междунар. конф. - Самара: СамГТУ. - 2012. - С. 50-51.

130. Бахарева Е. А. Расчет предельных нагрузок прямоугольных и двутавровых балок из разупрочняющегося материала при чистом изгибе и растяжении по критерию устойчивости [Текст] / Е. А. Бахарева, В. В. Стружанов // Математические методы и модели в теоретических и прикладных исследованиях: Сборник научных трудов - Екатеринбург: Изд-во УрГУПС. - 2012. - Вып. 4(187). - С. 6-15.

131. Бахарева Е. А. Расчет предельного изгибающего момента при чистом изгибе балок из разупрочняющегося материала с симметричной диаграммой деформирования [Текст] / Е. А. Бахарева, В. В. Стружанов // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды девятой Всеросс. науч. конф. с междунар. участием. -Самара: СамГТУ. - 2013. - Ч. 1. - С 36-41.

132. Бахарева Е. А. Особенности потенциальной функции в задаче о чистом изгибе балок из нелинейного материала [Текст] / Е. А. Бахарева, В. В. Стружанов // Лобачевские чтения - 2013: Материалы XII молодежной научной школы-конференции. - Казань: Изд-во Казан, матем. об-во. - 2013. - Т. 46. - С. 121-122.

133. Стружанов В. В. Неустойчивые состояния материала и сопутствующие математические проблемы [Текст] / В. В. Стружанов, Е. А. Бахарева // Современные проблемы математики, механики, информатики: Материалы междунар. научн. конф. - Тула: Изд-во ТулГУ. - 2013. - С. 469-470.

134. Стружанов В. В. Итерационные процедуры расчета параметров равновесия и устойчивость чистого изгиба балок из пластичных и хрупких разупрочняющих-ся материалов [Текст] / В. В. Стружанов, Е. А. Бахарева // Вестник Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2010. -№ 1 (20). - С. 84-95.

135. Бахарева Е. А. Энергетический критерий устойчивости процесса чистого изгиба балки из упругохрупкого материала [Текст] / Е. А. Бахарева, В. В. Стружанов // Ученые записки Комсомольского-на-Амуре гос. техн. ун-та. Сер. Науки о Земле. -2012. -№ 1-1 (9).-С. 11-14.

136. Стружанов В. В. Математические методы в теории чистого изгиба прямоугольных балок из разупрочняющегося материала с симметричной диаграммой растяжения-сжатия [Текст] / В. В. Стружанов, Е. А. Бахарева // Вычислительная механика сплошных сред. - 2012. - Т. 5, № 2. - С. 158-167.

137. Жижерин С. В. Итерационные методы расчета напряжений при чистом изгибе балки из повреждающегося материала [Текст] / С. В. Жижерин, В. В. Стру-жанов, В. И. Миронов // Вычисл. технол. - 2001. - Т. 6, № 5. - С. 24-33.

138. Стружанов В. В. Модель повреждающегося материала и итерационные методы расчета напряженного состояния при кручении [Текст] / В. В. Стружанов, С. В. Жижерин // Вычисл. технол. - 2000. - Т. 5, № 2. - С. 92-104.

139. Ильин В. А. Математический анализ. Т. 1. [Текст] / В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. X. Сендов. -М.: Велби, Проспект, 2004. - 655 с.

140. Канторович Л. В. Функциональный анализ [Текст] / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. - М.: Наука, 1977. - 742 с.

141. Приближенное решение операторных уравнений [Текст] / М. А. Красносельский, Г. М. Вайникко, П. П. Забрейко, Я. Б. Рутицкий, В. Я. Стеценко. - М.: Наука, 1969.-455 с.

142. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. [Текст] / Г. М. Фихтенгольц. - М.: Наука, 1970. - 670с.

143. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа [Текст] / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. - М.: Наука, 1972. - 496 с.

144. Бахвалов Н. С. Численные методы [Текст] / Н. С. Бахвалов. М.: Наука. -1975.-632 с.

145. Березин И. С. Численные методы [Текст] / И. С. Березин, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. Изд-во: Бином. Лаборатория знаний, 2003. - 630 с.

146. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф: в 2 кн. [Текст] / Р. Гилмор. - М.: Наука, 1977. - 742 с.

147. Постон Т. Теория катастроф и ее приложения [Текст] / Т. Постон, И. Стюарт. - М.: Мир, 1976. - 669 с.

148. Арнольд В. И. Теория катастроф [Текст] / В. И. Арнольд. - 5-е изд. - М.: УРСС, 2009.- 136 с.

149. Хорн Р. Матричный анализ [Текст] / Р. Хорн, Ч. Джонсон. - М.: Мир, 1989. -655 с.

150. Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости [Текст] / Е. А. Барбашин. -М.: Наука, 1967.-224 с.

151. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости [Текст] / Б. П. Демидович. - М.: Наука, 1967. - 370 с.

152. Арсенин В. Я. Методы математической физики и специальные функции [Текст] / В. Я. Арсенин. - М.: Наука, 1974. - 431 с.

153. Качанов Л. М. Основы теории пластичности [Текст] / Л. М. Качанов. - М.: Наука, 1969.-420 с.

154. Стружанов В. В. Расчет параметров равновесия методом Ньютона-Канторовича при чистом изгибе и растяжении балки прямоугольного сечения из материала с падающей диаграммой [Текст] / В. В. Стружанов, Е. А. Бахарева // Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика: Труды междунар. конф. [Электронный ресурс]. - N0. гос. регистр. 0321101160, ФГУП НТЦ "Информрегистр". - Новосибирск. - 2011. - Режим доступа: http://conf.nsc.ru/files/conferences/niknik90/fulltext/38808/49551/ Struzhanov.pdf.

155. Бахарева Е. А. Расчет параметров равновесия балки из разупрочняющегося материала при ее чистом изгибе и растяжении методом Ньютона-Канторовича [Текст] / Е. А. Бахарева, В. В. Стружанов // Современные проблемы механики сплошной среды: Труды докладов XV междунар. конф. - Ростов-на-Дону: Изд-во Южного Федерального ун-та. - 2011. - С. 27-31.

156. Бахарева Е. А. Определение предельных параметров нагружения балки из разупрочняющегося материала при чистом изгибе и растяжении [Текст] / Е. А. Бахарева, В. В. Стружанов // Шестые Поляховские чтения: Тезисы докладов междунар. научн. конф. по механике. - Санкт-Петербург. - 2012. - С. 210.

157. Бахарева Е. А. Расчет предельных нагрузок балочных элементов конструкций из нелинейного материала при чистом изгибе и растяжении по критерию устойчивости [Текст] / Е. А. Бахарева, В. В. Стружанов // XX Петербургские чтения по проблемам прочности: Сборник материалов. - Санкт-Петербург. - 2012. - Ч. 2. - С. 67-69.

158. Бахарева Е. А. Устойчивость по линейному приближению в задаче о чистом изгибе и растяжении балочного элемента конструкции из нелинейного материала [Текст] / Е. А. Бахарева, В. В. Стружанов // Лобачевские чтения - 2012: Материалы XI молодежной научной школы-конференции. - Казань: Изд-во Казан, матем. об-во. - 2012. - Т. 45. - С. 14-16.

159. Бахарева Е. А. Итерационный метод расчета параметров равновесия при чистом изгибе балки симметричного относительно продольной оси сечения из материала с падающей диаграммой [Текст] / Е. А. Бахарева // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - 2011. - № 4 (4). - С. 1394-1395.

160. Волкова Т. А. Кинетическая поврежденность микроструктуры материалов в элементах конструкций [Текст] / Т. А. Волкова, С. С. Волков // Транспорт Урала. -2012.-№4(35).-С. 21-25.

161. Лурье А. И. Аналитическая механика [Текст] / А. И. Лурье. - М.: ГИФМЛ, 1961.-824 с.

162. Курош А.Г. Курс высшей алгебры [Текст] / А. Г. Курош. М.: Наука, 1968. -431 с.

163. Бахарева, Е. А. Численное исследование параметров закритического деформирования материала на внезапное разрушение балки [Текст] / Е. А. Бахарева, В.В. Стружанов // III Всеросс. конф. «Безопасность критичных инфраструктур и территорий»: материалы конф. - Екатеринбург: УрО РАН. - 2009. - С. 113.

164. Стружанов В. В. К расчету предельных нагрузок балочных элементов при чистом изгибе [Текст] / В. В. Стружанов, Е. А. Бахарева // Транспорт Урала. -2013.-№3 (38).-С. 39-42.

165. Лукин В. В. Конструирование и расчет вагонов [Текст] / В. В. Лукин, П. С. Анисимов, В. Н. Котуранов. - М.: ФГОУ "УМЦ", 2011. - 688 с.