Анализ напряженного состояния и предельных нагрузок стержневой системы с элементом из разупрочняющегося материала при трехосном растяжении тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Бурмашева, Наталья Владимировна

• Бурмашева, Наталья Владимировна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Бурмашева, Наталья Владимировна

Оглавление

Введение

Глава 1. Актуальные проблемы механики разупрочняющихся материалов (литературный обзор) и формулировка задач исследования . 13 Глава 2. Свойства элементарного куба из разупрочняющегося материала при трехосном активном растяжении

2.1 Образ процесса деформирования

2.2 Особые точки кривой деформирования

2.3 Признаки деформационных состояний

2.4 Инкрементальные определяющие соотношения

2.5 Потенциальное поле

2.6 Построение единого потенциала

2.7 Свойства, определяемые единым потенциалом

2.8 Выводы по второй главе

Глава 3. Метод Ньютона-Канторовича в задаче о расчете параметров

равновесий стержневой системы, реализующей трехосное растяжение элементарного куба из разупрочняющегося материала

3.1 Механическая система

3.2 Общий подход: складывающиеся отображения и число решений системы нелийных уравнений

3.3 Методика применения метода Ньютона-Канторовича

3.4 Уравнения равновесия механической системы и отображение пространства состояний в пространство управляющих парамет-

ров

3.5 Жесткое нагружение системы, реализующей трехосное растяжение куба из разупрочняющегося материала

3.6 Мягкое нагружение

3.7 Выводы по третьей главе

Глава 4. Предельные параметры нагружения

4.1 Теоретические основы методики определения предельных нагрузок

4.2 Жесткое нагружение системы, реализующей трехосное растяжение куба из разупрочняющегося материала

4.3 Мягкое нагружение

4.4 Нагружение двумя перемещениями и одной силой

4.5 Смешанное нагружение одним перемещением и двумя силами

4.6 Выводы по четвертой главе

Заключение

Литература

Приложение А. Акт использования результатов диссертационной работы!

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ напряженного состояния и предельных нагрузок стержневой системы с элементом из разупрочняющегося материала при трехосном растяжении»

Введение

Актуальность темы исследований. Современные технические системы зачастую работают в экстремальных условиях при ненормативных внешних нагрузках. Обеспечение их прочности, долговечности, надежности и живучести возможно только при учете свойств материалов, не учитываемых в классических теориях сопротивления материалов, например, свойства материалов, проявляющиеся в наличии ниспадающих участков на диаграмме деформирования — стадии разупрочнения.

Необходимость исследования закритического поведения систем обосновывается тем, что знание свойств тел на закритической стадии деформирования позволяет полнее использовать имеющиеся прочностные резервы, что приводит в итоге к повышению безопасности механических систем, включающих тела, для которых осуществимо закритическое деформирование. При этом стадия разупрочнения характеризуется накоплением в материале микротрещин и возникновением магистральной трещины, которая в результате является основной причиной снижения нагрузки.

Принципиальная возможность экспериментального построения диаграммы деформирования с падающей до нуля ветвью, отражающей все стадии деформирования, в том числе и неустойчивые, была установлена в экспериментальных и теоретических работах российских и зарубежных ученых, среди которых Лебедев A.A., Вильдеман В.Э., Стружанов В.В., Рад-ченко В.П., Новожилов В.В., Рыжак Е.И., Никитин Л.В., Волков С.Д., Ка-дашевич Ю.И., Чаусов Н.Г., Bazant Z.P., Drucker D.C., Kolari К., Karstunen М., Bobinski J. и другие. На качественном, физически интуитивном уровне

и при решении простых модельных примеров установлено влияние стадии разупрочнения материала на величину предельной несущей способности.

Закритическое деформирование заведомо неустойчиво, но неустойчивые состояния материала могут быть реализованы, если этот материал находится в составе устойчивой механической системы. Осуществимость неустойчивых состояний существенно связана с неодномерностью тел и не имеет одномерных аналогов.

Использование закритических характеристик связано не только с трудностями экспериментального характера, но и с математическими проблемами, не характерными для традиционной механики деформируемого твердого тела. Это в основном неединственность и неустойчивость решений нелинейных уравнений равновесия. Такие задачи не удовлетворяют условиям корректности Адамара. Поэтому постулат Друккера, выполнение которого гарантирует корректность задач, являлся, да и является, условием для отбраковки моделей. Однако, как показано в некоторых работах Стру-жанова В.В., Вильдемана В.Э. и др., невыполнение постулата Друккера не препятствует решению отдельных задач механики. Кроме того, показано, что учет разупрочнения может позволить расчитывать предельную нагрузку, близкую к реальности. Дальнейшее распространение выдвинутых предположений требует решения конкретных неодномерных задач, на которых возможно было бы выяснить все особенности теории разупрочняющегося тела. Такие примеры наглядно бы демонстрировали постановки задач, подходы и методы их решения и позволяли бы исследовать эффекты, скрытые при общем рассмотрении. Теоретические разработки влияния эффекта деформационного разупрочнения на расчетные значения предельных нагрузок уже на данной стадии разработки могут быть включены в практику проектирования ответственных изделий машиностроения.

Целью данной диссертационной работы является разработка методов анализа напряженного состояния и расчета предельных нагрузок гра-

диентной дискретной механической системы, моделирующей деформационное поведение и разрушение при трехосном растяжении в упругой среде элемента из разупрочняющегося материала (элементы толстостенных труб и сферических сосудов большого диаметра при внутреннем давлении), и общих принципов, позволяющих уже на данной стадии внедрять в практику проектирования эти методики для решения аналогичных задач, возникающих при проектировании конструкций.

Для достижения указанной цели были поставлены следующие задачи:

1. Описать упрочнение и разупрочнение материала при его трехосном деформировании единым выпукло-вогнутым потенциалом, позволяющим на обеих стадиях записать связь между напряжениями и деформациями в виде конечных соотношений.

2. Развить эффективные численные методы расчета параметров всех положений равновесия, в том числе и неустойчивых, в применении к рассматриваемой механической системе.

3. Разработать методику, позволяющую находить предельные значения нагрузок, близкие к реальности, без решения систем нелинейных уравнений равновесия.

Научная новизна заключается в следующем:

1. Показана возможность построения выпукло-вогнутого потенциала, который с единых позиций описывает свойства материала при его упрочнении и разупрочнении в результате активного трехосного растяжения.

2. Установлено, что данный потенциал определяет конечную зависимость между деформациями при активном нагружении и напряжениями, которую можно трактовать как дифференцируемое отображение пространства деформаций в пространство напряжений, обладающее особенностями. Эти особенности связаны с вырождением матрицы Якоби потенциала, при-

чем точки вырожденности соответствуют пограничному состоянию материала (переход от упрочнения к разупрочнению).

3. Выписана потенциальная функция для всей механической системы, и установлено, что порождаемые ею уравнения равновесия имеют несколько решений. Приведена методика определения числа решений (положений равновесия) для заданной внешней нагрузки.

Теоретическая значимость исследований обоснована тем, что предложенные методы и подходы могут быть использованы для дальнейшего развития теоретических положений механики разупрочняющихся материалов и разработки эффективных методов расчета на прочность и живучесть различных конструкций, которые вследствие учета стадии разупрочнения позволят полностью использовать ресурс материала.

Практическая значимость работы. Разработана численная процедура выбора необходимого числа начальных приближений для реализации итерационной схемы метода Ньютона-Канторовича к задаче об определении параметров всех равновесных состояний исследуемой механической системы.

Разработана методика расчета предельных нагрузок, позволяющая избежать решения систем нелинейных уравнений равновесия. Методика основана на использовании сепаратрисы потенциальной функции механической системы.

Изложенные результаты вносят необходимую ясность о целях и путях дальнейшего использования стадии разупрочнения при практических расчетах. Кроме того, рассмотренная механическая модель уже сейчас может быть применена для анализа разрушения в отдельных элементах ответственных систем, таких как трубы большого диаметра и сферические сосуды.

4

Результаты исследований внедрены в учебный процесс и составляют содержание некоторых разделов спецкурса "Устойчивость деформируемых

тел из разупрочняющихся материалов"магистерской программы "Механика деформируемого твердого тела", направление 010800 — Механика и математическое моделирование в Институте математики и компьютерных наук Уральского федерального университета имени первого Президента России Б.Н.Ельцина.

Исследования, представленные в диссертационной работе, выполнялись при поддержке грантов РФФИ (проекты 10-08-00135, 10-01-96018-р_Урал_а, 13-08-00135) и молодежного научного проекта Президиума УрО РАН № 11-1-НП-539.

Методология и методы исследований. Для решения поставленных задач применяются подходы механики деформируемого твердого тела, аппарат теории особенностей дифференцируемых отображений и функционального анализа, а также общие положения теории катастроф. Численное моделирование осуществлено с помощью программ, специально написанных на языке Си++ с использованием пакета Wolfram Mathematica. Методологические основы исследования составляют положения, изложенные в трудах научного руководителя, д.ф.-м.н., профессора В.В. Стружанова.

Положения, выносимые на защиту:

1. Методика построения единого выпукло-вогнутого потенциала, описывающего при активном трехосном растяжении материала его свойства как на стадии упрочнения, так и на стадии разупрочнения.

2. Метод определения числа решений нелинейных уравнений равновесия градиентной механической системы.

3. Применение метода Ньютона-Канторовича для вычисления неединственных решений. Процедура выбора необходимого числа начальных приближений для реализации итеррационной схемы Ньютона-Канторовича.

4. Численный метод построения сепаратрисы потенциальной функции механической системы и методика определения предельных значений нагрузок.

Достоверность и обоснованность научных результатов обеспечивается минимальным числом допущений, сделанных при постановке задачи исследования, корректным применением выбранного математического аппарата, а также качественным совпадением результатов моделирования с результатами известных теоретических исследований других авторов, занимающихся исследованием систем с элементами, выполненными из разу-прочняющегося материала.

Личный вклад автора. Постановки задач и рекомендации по выбору методов решения принадлежат научному руководителю профессору В.В.Стружанову. Все аналитические исследования поставленных задач и основные результаты принадлежат автору диссертационной работы.

Апробация работы. Результаты, составившие основу диссертационной работы, обсуждались и докладывались на следующих семинарах и конференциях: 16-ая, 17-ая, 18-ая, 19-ая Всероссийская школа-конференция молодых учёных «Математическое моделирование в естественных науках» (г. Пермь, 2006-2009); XV,XVI Всероссийская зимняя школа по механике сплошных сред (г. Пермь, 2009, 2011); III, IV, V Российская научно-техническая конференция «Разрушение, контроль и диагностика материалов и конструкций» (г. Екатеринбург, 2007, 2009, 2011), четвёртая, пятая, шестая, седьмая Всероссийская конференция с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2007-2010), Всероссийская научно-техническая конференция «Проблемы безопасности критичных инфраструктур территорий и муниципальных образований» (г. Екатеринбург, 2007-2009); V Всероссийская конференция «Механика микронеоднородных материалов и разрушение» (г. Екатеринбург, 2008); 37th International Summer School «Advanced Problems in Mechanics» (Russia, St. Petersburg (Repino), 2011); Международная конференция по математической теории управления и механике (г. Суздаль, 2011, 2013); Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим си-

и

стемам (г. Суздаль, 2012); Всероссийская молодежная конференция "Современные проблемы механики"(Екатеринбург, 2010-2012).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 19 работ (не считая тезисов докладов), из них 5 статей в ведущих рецензируемых научных изданиях, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы, включающего 151 источник, и приложения. Работа содержит 23 рисунка и 4 таблицы. Общий объем диссертации составляет 115 страниц машинописного текста.

Первая глава посвящена анализу научных публикаций по основным проблемам механики разупрочняющихся сред. Приведен обзор существующих экспериментальных методов построения полных диаграмм деформирования, обладающих падающей ветвью, характеризующей стадию разупрочнения, и некоторых теоретических моделей материала, описывающих явление разупрочнения материала. Обоснована необходимость учета в расчетах предельной несущей способности элементов конструкций закритической стадии деформирования для определения близких к реальности параметров прочности. На основе литературного обзора сформулированы цели и задачи диссертационной работы.

Вторая глава посвящена описанию свойств кубического элемента при трехосном его деформировании в одной стержневой механической системе градиентного типа. Выписаны критерии деформационных состояний материала единичного куба. При деформировании его в силовом потенциальном поле приведены конечные определяющие соотношения, связывающие напряжения и деформации. Разработана процедура построения потенциала напряжений, с единых позиций описывающего свойства материала как на стадии упрочнения, так и на стадии разупрочнения. Исследованы свойства материала кубического элемента при различных путях деформирования.

В третьей главе рассмотрено применение метода Ньютона-Канторовича для вычисления параметров неединственных положений равновесия механической системы, реализующей трехосное растяжение элементарного кубического элемента из разупрочняющегося материала, свойства которого исследованы во второй главе. Разработана методика определения числа решений уравнений равновесия, использующая свойства складывающихся отображений, к которым принадлежит отображение, осуществляемое системой нелинейных уравнений равновесия. Построен алгоритм для выбора начальных приближений, число которых соответствует числу решений, для реализации итерационной схемы Ньютона-Канторовича. Проведены численные расчеты.

В четвертой главе сформулированы численные построения сепаратрисы потенциальной функции, описывающей поведение рассматриваемой в диссертации градиентной механической системы, и методика определения предельных параметров нагружения для заданного пути деформирования. Разрушение идентифицируется как момент потери устойчивости процесса деформирования. Алгоритм расчета предельной несущей способности продемонстрирован для мягкого, жесткого и смешанного нагружения системы.

В заключении сформулированы основные выводы по результатам работы.

Глава 1. Актуальные проблемы механики разупрочняющихся материалов (литературный обзор) и формулировка задач исследования

Условием технического прогресса в машиностроении и строительстве является повышение прочности, надежности и живучести элементов конструкций. Повышение данных характеристик возможно при включении в рассмотрение свойств, ранее не принимаемых во внимание. Одним из таких свойств является деформационное разупрочнение материала, т.е. возможность нести нагрузку при снижающемся сопротивлении при росте деформаций. Таким образом, включаются в рассмотрение характеристики материала, проявляемые после достижения предела прочности.

Схема мгновенного разрушения является идеализацией процесса. В реальных телах зарождение и развитие повреждений, образование и рост трещин происходит в течение некоторого конечного промежутка времени. После достижения напряжениями предела прочности материала начинается процесс разрушения, который заканчивается тогда, когда напряжения обращаются в ноль [1]. Это связано в основном с уменьшением площади эффективного сечения и появлением на диаграмме деформирования в координатах условное напряжение - деформация падающего участка, отражающего свойство разупрочнения [2].

Полные диаграммы деформирования с падающими ветвями при растяжении неоднократно фиксировались на "мягких" машинах, при применении различных способов увеличения жесткости путем последовательного или параллельного включения в силовую цепь упругих элементов [3-16]. Полную диаграмму можно также получить при испытании образцов на сер-воуправляемой испытательной машине, в которой обеспечивать равновесное деформирование вплоть до разрушения [17-22].

Особенно ярко падающая диаграмма проявляется при испытании существенно неоднородных геоматериалов [23-29]. Кроме того, имеется ряд структурных моделей материала, которые указывают на то, что в процессе деформирования материал переходит на стадию разупрочнения, характеризуемую ниспадающей ветвью диаграммы деформирования [30-36].

Анализ литературных источников, посвященных закритическому деформированию, позволяет сделать вывод о том, что интерпретация деформирования в закритической области в терминах свойства разупрочнения материала иногда встречает возражения [37-39]. Суть этих возражений заключается в том, что падающая диаграмма существенно зависит от жесткости испытательной машины, и в факте неустойчивости закритического деформирования. Основанием этих возражений является то, что получаемые выводы об устойчивости или неустойчивости одномерных моделей полностью применимы к реальным неодномерным телам. Однако, в неодномерных элементах конструкций часть нагрузки может быть перераспределена. В этом случае элементы, соседние с разупрочняющимся элементом, принимают на себя нагрузку, которую уже не может нести этот элемент.

Контраргументы данных соображений приведены в работах, в которых показана возможность работы материала на спадающей ветви деформирования [40-53]. Особенно отметим работы [52,53], в которых сформулирована обратная некорректная задача по восстановлению полной диаграммы деформирования материала по диаграмме чистого изгиба балки прямоугольного поперечного сечения и по диаграмме кручения цилиндрического образца и разработана методика решения этих задач. Здесь напрямую реализуется положение о том, что существование неустойчивых состояний материала возможно в устойчиво деформируемом теле. Изложенная в публикациях [52,53] методика открывает новые возможности получения характеристик материала на стадии разупрочнения. Она основана на пересчете

экспериментальных данных по деформированию элемента конструкции на свойства материала.

В отличие от экспериментальных работ по получению полной диаграммы растяжения, падающая ветвь которой характеризует свойства материала на стадии разупрочнения, построению определяющих соотношений при неодномерном напряженном состоянии для разупрочняющейся среды, постановке краевых задач и разработке методов их решения уделяется значительно меньшее внимание. Это объясняется тем, что широко используемый постулат Друккера исключает модели, допускающие работу материала на стадии разупрочнения. Однако, как неоднократно подчеркивал Друккер [54,55], требование выполнения постулата определяет только класс устойчивых материалов [54].

Полными диаграммами с падающими ветвями описываются, в частности, процессы деформирования, зарождения и накопления дефектов в решеточных атомарных моделях. Например, с помощью расположенных в узлах решетки частиц и известного закона силового взаимодействия между ними моделируются кристаллические тела. В качестве указанного закона обычно берут потенциал Морса или Леннарда-Джонса [56-59].

Полные диаграммы применяются также в задачах о разрушении некоторых стержневых континуальных систем [60-63], в задачах оценки способностей материала противостоять развитию трещин [64-66]. Предпринимались неоднократные попытки ввести разупрочнение в определяющие соотношения, как это требуется в механике деформируемого твердого тела [67-99]. Особенно необходимо отметить работы З.Бажанта [100,101], обобщенные в монографии [102].

Из анализа литературных источников следует, что процесс деформирования материала в результате повреждения микродефектами может привести (и, как правило, приводит) к зависимости между напряжениями и деформациями, соответствующей разупрочнению, при котором напряжения

падают, а деформации (закритические) растут. При этом не выполняется постулат устойчивости Друккера, и разупрочненный материал является реологически неустойчивым. С континуальной точки зрения этот эффект характеризуется падающей ветвью полной диаграммы деформирования, построенной для жесткого одноосного растяжения [61,74].

При учете стадии разупрочнения материала возникают две проблемы. Первая заключается в усовершенствовании моделей материала с целью описания его деформирования на закритической стадии и построении соответствующих определяющих соотношений для неодномерного нагружения. Вторая связана с разработкой математических методов анализа устойчивости процесса деформирования (потеря устойчивости может быть интерпретирована как разрушение) [103]. Потеря устойчивости ассоциируется при этом с переходом части материала в деформируемом твердом теле или части элементов конструкций механической системы на стадию неустойчивого деформирования (разупрочнения). В связи с этим возникает необходимость в установлении единственности решения краевых задач определения напряженно-деформированного состояния твердых тел и записи уравнений равновесия механической системы с разупрочняющимися элементами, а также в создании численных методов и эффективных итерационных процедур решения нелинейных задач такого рода.

Устранение первой проблемы требует разработки специальных экспериментальных и теоретических методов для адекватного описания свойств материалов на закритической стадии деформирования. Для решения второй проблемы и апробации соответствующих математических методов и численных процедур необязательно иметь в распоряжении определяющие соотношения для реальных материалов. Допускается использование гипотетических моделей, которые на качественном уровне отражают основные свойства разупрочняющегося материала.

Данная диссертационная работа посвящена исследованию некоторых математических аспектов проблем, возникающих при включении в рассмотрение стадии разупрочнения материала. Используется идея профессора С.Д. Волкова о том, что условия разрушения имеют нелокальный характер и определяются как свойствами среды, так и механическими характеристиками системы. Последняя может играть роль жесткого "удерживающего" окружения, стабилизирующего процесс накопления дефектов, либо, напротив, "подпитывать" процесс повреждения запасенной упругой энергией [87,104].

Глава 2. Свойства элементарного куба из разупрочняющегося материала при трехосном активном растяжении

В данной главе исследуются свойства элементарного куба при активном деформировании растяжением на всех стадиях деформирования. Основные результаты опубликованы в работах [105-108].

2.1. Образ процесса деформирования

Упорядоченные системы из трех вещественных чисел {£1,£2>£з} можно рассматривать как элементы трехмерного евклидова пространства деформаций Kg. В прямоугольной системе координат эти числа представляют собой компоненты радиус-векторов е точек, расположенных в пространстве 0£i£2£3- Будем вести деформирование образца изотермически с чрезвычайно малой скоростью (квазистатически), жестко контролируя величины деформаций (жесткое нагружение), то есть задавая значения £1,62 и £3. В этом случае конец радиус-вектора е (точка Y с координатами (£1,£2?£з)) будет перемещаться по некоторой непрерывной пространственной, в общем случае, кусочно-гладкой кривой >с. Кривую х естественно называть кривой деформирования или образом процесса деформирования, а точку Y — изображающей точкой процесса.

Деформирование осуществляется под действием трех сил(напряжений) 01,02 и 03. Упорядоченные системы вещественных чисел {01,02,03} являются элементами евклидова пространства напряжений М^ . Посредством некоторого отображения х, заданного функциями

ai = /3(£Ь £2, £з),(г = 1,3)

(2.1)

точкам кривой х ставятся в соответствие точки в пространстве R^, совокупность которых образует кривую нагружения, причем эта кривая, вообще говоря, может не обладать свойством непрерывности. Отметим, что на кривой к должна существовать точка, после достижения которой отображение (2.1) вырождается, то есть о\ = сг2 = сгз = 0 для любых значений Эта точка отвечает разрушению материального элемента. Перенесем вектор р с компонентами {cri,<72,03} в пространство Rg и поместим его в изображающую точку Y. Тогда в результате проведенной схематизации процесс деформирования представляется медленным (квазистатическим) движением изображающей точки по заданной траектории к под действием силы р.

2.2. Особые точки кривой деформирования

Якобиан I преобразования х есть матрица с компонентами 1ц —

д(т

-тр-, (г = 1,3), В точках пространства Rg, где якобиан не вырожден

OEj

(rankl = 3), отображение х есть гомеоморфизм (взаимно однозначное и взаимнонепрерывное отображение) между окрестностью точки в Rg и множеством точек {cri, сг2, сгз}, образованным значениями функции (2.1), принимаемыми в этой окрестности.

Если в некоторой точке N(£in,£2n,£3n) £ Rg якобиан вырожден (rankl < 3 или detl = 0), то согласно теореме о неявной функции решение уравнения х(е) = р в окрестности 5n этой точки не является единственным для р £ x{^n)i хотя отображение х остается однозначным. Такие точки назовем особыми точками отображения х первого типа. При их отображении в пространство R^ на кривой нагружения образуется точка возврата. Если в точке М(£1м,£2м,£зм) ^ ^е якобиан не ограничен, то есть det I~l = 0, то окрестность 5м неоднозначно отображается в R^. Такие точки назовем

особыми точками отображения х второго типа. Они соответствуют точкам разрыва на кривой нагружения.

Отметим, что на стадии упругого деформирования особые точки отсутствуют. Отображение (2.1) не зависит от пути деформирования и определяется формулами <7{ = £(({= 1,3) (Е - модуль Юнга).

Тогда

1п = 122 = /зз = Е,

1\2 = /13 = = 123 = /31 = ^32 = 0 (Е > 0).

Якобиан является положительно определенной матрицей [109], что соответствует собственной устойчивости материала.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бурмашева, Наталья Владимировна, 2013 год

Литература

1. Фридман, Я.Б. Механические свойства металлов. 4.1. Деформация и разуршение/ Я.Б.Фридман. —М.:Машиностроение, 1974. — 472с.

2. Работнов, Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела / Ю.Н.Работнов. —М.:Наука, 1979. — 744с.

3. Волков, С.Д. Экспериментальные функции сопротивления легированной стали при растяжении и кручении/ С.Д.Волков, Ю.П.Гуськов, В.И. Кривосницкая, В.И. Миронов, Ю.П. Соковкин, П.С. Соколов // Проблемы прочности. —1979. — №1. —с.З-б.

4. Горев, Б.В. К описанию ниспадающего участка кривой деформирования "напряжение—деформация "по кинетическим уравненияс со скалярным параметром поврежденности / Б.В. Горев, И.А. Банщикова // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. физ.-мат. науки.— 2008.-№2(17). - с.110-117.

5. Лебедев, A.A. Методика построения полных диаграмм деформирования листовых материалов/ A.A. Лебедев, Н.Г. Чаусов// Проблемы прочности. - 1986. — №9. — с.29-32.

6. Лебедев, A.A. Установка для испытания материалов с построением полностью равновесных диаграмм деформирования/ A.A. Лебедев, Н.Г. Чаусов// Проблемы прочности. - 1981. - №12. - с. 104-106.

7. Миронов, В.И. Свойства материала в реологически неустойчивом состоянии/ В.И. Миронов// Заводская лаборатория. Диагностика материалов. - 2002. - Т.68. - №10. —с.47-52.

8. Миронов, В.И. Установка для определения механических свойств материалов на стадии разупрочнения/ В.И. Миронов, В.И. Микушин, А.П. Владимиров и др. // Заводская лаборатория. — 2001. — Т.67, №3. - с.48-52.

9. Reinhardt, H.W. Tensile test and failure analysis of concrete/ H.W. Reinhardt, H.A.W. Cornelisson, P.A.Hordijk// J.Struct.Eng - 1986. V.112, №11.- p. 2462-2477.

10. Torrenti J.M. Some remarks upon concrete softening/ J.M. Torrenti// Mater.et.constr. - 1986. -V.19,№113. - p.391-394.

11. Wewarsik, W.R. Post-failure behavior of a granite and diabase/ W.R. Wewarsik, W.F. Brace// Rock.Mech. - 1971. - V.3, №3. - p.61-85.

12. Лебедев, А.А. Исследование кинетики разрушения материалов на заключительной стадии деформирования/ А.А, Лебедев, О.И. Марусий, Н.Г. Чаусов, Л.В. Зайцева// Проблемы прочности. — 1982. — №1. — с.12-18.

13. Дубровина, Г.И. К теории накопления повреждений/ Г.И. Дубровина, Ю.П. Соковнин, Ю.П. Гуськов и др.// Проблемы прочности. —1975. - №. - с.21-24.

14. Лебедев, A.A. Кинетика разрушения листовой аустеничной стали на заключительной стадии деформирования/ A.A. Лебедев, Н.Г. Чаусов, О.И. Марусий// Проблемы прочности. — 1982 — №1 — с.12-18.

15. Миронов, В.И. Разработка экспресс-метода для контроля свойств вагонных сталей/ В.И. Миронов, И.Г. Емельянов, A.B. Якушев, О.В. Лукащук// Транспорт Урала. - 2012. - №2(33). -с.13-17.

16. Миронов, В.И. Метод полных диаграмм в расчете элементов подвижного состава/ В.И. Миронов, A.B. Якушев// Транспорт Урала. —2007. -№2(13). -с.60-64.

17. Вильдеман, В.Э. Условия деформационного разупрочнения материала при растяжении образца в специальной конструкции/ В.Э. Вильдеман, Н.Г. Чаусов// Заводская лаборатория. Диагностика материалов. -2007. -Т.73, №10. - с.55-59.

18. Вильдеман, В.Э. Экспериментальное исследование закономерностей деформирования и разрушения материалов при плоском напряженном состоянии/ В.Э. Вильдеман, Т.В. Санникова, М.П. Третьяков// Проблемы машиностроения и надежности машин. —2010. — №5. — с.106-111.

19. Третьяков, М.П. Деформационное разупрочнение материалов в условиях плоского напряженного состояния/ М.П. Третьяков, В.Э. Вильдеман// Вестник ПНИПУ. -2012.- №2. - с.190-203.

20. Третьяков, П.М. Исследование развития трещин при сложных режимах нагружения методом корреляции цифровых изображений/ М.П.

Третьяков, В.Э. Вильдеман// Заводская лаборатория. —2012. Т.78, т. - с.54-58.

21. Burbash, J. Eine Zerreismaschine mitbesonders grosser Federconstante/ J. Burbash// Techniscle Mitteilungen Krupp. Forsch. Ber. — 1966. —V.24, №. - p.79-89.

22. Kreiskorte, H. Die Simulation einer «harten» Werkstoffprufmaschine/ H. Kreiskorte, W. Funk// materialprufung. — 1970. —V.12, №1. —p.1-6.

23. Жигалкии, B.M. Деформирование квазипластичных соляных пород при различных условиях нагружения. Сообщение 1. Закономерности деформирования соляных пород при одноосном растяжении/ В,М, Жигалкин, О.М. Усольцева, П.А. Цой// ФТПРПИ. -2005. - №. -с.1-13.

24. Kolari, К. Ice failure simulation - softening material model/ K. Kolari, R. Kouhia, T. Kama // Ice in the Environment: Proceedings of the 16th IAHR International Symposium on Ice Dunedin, New Zealand: International Association of Hydraulic Engineering and Research. — 2nd-6th December 2002.

25. Асанов, B.A. Лабораторное исследование деформирования соляных пород/ B.A. Асанов, А.А. Варях, В.М. Жигалкин и др// Физическая мезомеханика. —2008. — №11. — с.14-18.

26. Яблонко, В.Я. Жесткость и быстродействие машин с обратной связью при испытании на растяжение/ В.Я. Яблонок, В.В. Богуцкий. — М.: труды НИКИМП. - 1978. - с.216-219.

27. Балашов, И.В. Деформирование и разрушение породных массивов/ И.В. Балашов. — М.:Недра, 1988. —271с.

28. введение в механику скальных пород/ Под ред. Х.Бока. —М.: Мир, 1082. - 276с.

29. Гудман, Р. Механика скальных пород / Р.Гудман. — М.: Стройиздат, 1987. -232с.

30. Шин, Р.Г. Механизмы деформирования микронеоднородной среды/ Р.Г. Шин, B.J1. Катков// Проблемы прочности. — 1987. —№10— с.72-74.

31. Волков, С.Д. О кинетике разрушения и масштабном эффекте/ С.Д. Волков// Заводская лаборатория — 1980. — Т.26, №3. — с.323-329.

32. Радченко, В.П. Реологическое деформирование и разрушение материалов и элементов конструкций/ В.П. Радченко, Ю.А. Еремин. —М.: машиностроение -1, 2004. — 265с.

33. Радченко, В.П. Структурная модель разупрочняющегося при ползучести материала в условиях сложного напряженного состояния/ В.П. Радченко, Е.В. Небогина, Е.А. Андреева// Вестн.Сам.гос.техн. ун-та. Сер. физ.-мат. науки. -2009. - №1(18). - с.75-84.

34. Радченко, В.П. Структурная модель закритического упругопластиче-ского деформирования материалов в условиях одноосного растяжения/ В.П. Радченко, Е.В. Небогина. М.В. Басов// Вестн.Сам.гос. техн. ун-та. Сер. физ.-мат. науки. — 2000.— №9.— с.55-65.

35. Стружанов, В.В. Модификационная модель Мазинга/ В.В. Стружа-нов, В.В. Башуров// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та.Сер. физ.-мат. науки. -2007. - №1(14). - с.29-39.

36. Новожилов, В.В. Микронапряжения в конструкционных материалах/ В.В. Новожилов, Ю.И. Кадашевич. — JL:Машиностроение, 1990. — 223с.

37. Черепанов, Г.П. О закритических деформациях/ Г.П. Черепанов// Проблемы прочности. — 1985. — №8. — с.3-5.

38. Read, Н.Е. Strain siftening of rock, soil and concrete. A review article/ H.E. Read, C.A. Hegemier// Vech. of Materials. - 1984. - V.3,№4. - p. 271-294.

39. Tang, C.A. Numerical studies of the influence of microstructure on rock failure in uniaxail compression. Part 2: constraint, slenderness and size effect/ C.A. Tang, L.G. Tham, P.K.K. Lee, Y. Tsui, H. Liu// Rock Mechanics and Minind Sciences. -2000. - V.37, №4. - P.572-583.

40. Никитин, JI.В. Об осуществимости состояний материала, соответствующих "падающему"участку диаграммы/ Л.В. Никитин, Е.И. Ры-жак// Изв. АН СССР.МТТ. - 1986. - №2. - с.155-161.

41. Никитин, Л.В. Об устойчивости и неустойчивости сжатого блока, прижатого к гладкому основанию/ Л.В. Никитин. Е.И. Рыжак// Изв. РАН. МТТ. - 2008. - №4. - с.42-57.

42. Райе, Дж.Р. Об устойчивости дилатантного упрочнения насыщенных скальных массивов/ Дж.Р. Райе// Определяющие законы механики

грунтов (Механика. Новое в зарубежной науке). —М.: Мир. — 1975. — с. 195-209.

43. Рыжак, Е.И. К вопросу об осуществимости однородного закритиче-ского деформирования при испытаниях в жесткой трехосной машине/ Е.И. Рыжак// Изв. АН СССР. МТТ. - 1991. - М - с.111-127.

44. Рыжак, Е.И. о необходимости условий Адамара для устойчивости упруго-пластических тел/ Е.И. Рыжак// Изв. АН СССР. МТТ. —1987. - т. - с.101-104.

45. Рыжак, Е.И. Об устойчивом закритическом деформировании в нежесткой трехосной испытательной машине/ Е.И. Рыжак// Докл. АН. - 1993. - Т.ЗЗО., т. - с.197-199.

46. Рыжак, Е.И. Об устойчивом закритическом деформировании упруго-пластических образцов, стесненных обоймой конечной жесткости/ Е.И. Рыжак// Изв. РАН.МТТ. - 1995.- №3. - с.117-135.

47. Gopalaratnam, V.S. Softening responce of plain concrete in direct tension/ V.S. Gopalaratnam, S.P. Shah// ACI J. - May/June 1985. -p.310-323.

48. Li, Z. New test method for obtaining softening responce of unnotched cocrete specomen under uniaxial tension/ Z. Li, S.M. Kulkarni, S.P. Shah// Experimental Mechanics. -1993. - V.3(33) - p.181-188.

49. Brocca, M. Size effect in concrete columns: finite-element analysis with micriplane model/ M. Brocca, Z.P. Bazant// J. of Structural Engineering. -2001. — V.127, №. - p. 1382-1390.

50. Горбунов C.B. Математическая модель вязкоупругого разупрочняю-щегося материала с экспоненциальным ядром ползучести/ C.B. Горбунов// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. физ.-мат. науки. —2012. — №1(26). - с.150-156.

51. Горбунов, C.B. Экспериментальная проверка реологической модели разупрочняющейся вязкоупругой среды с экспоненциальным ядром ползучести/ C.B. Горбунов// Вестн. Сам. гогс. техню ун-та. Сер. физ.-мат. науки. - 2012. - №3(38). - с.196-198.

52. Стружанов, В.В. Определение диаграммы деформирования с падающей ветвью по диаграмме кручения цилиндрического образца/ В.В. Стружанов// Сибирский журнал индустриальной математики. - 2012. -T. XV, №1(49). - с.138-144.

53. Стружанов, В.В. Восстановление диаграммы деформирования материала по диаграмме чистого изгиба/ В.В. Стружанов// Вестн. Сам. гос. ун-та. Естесствен. сер. — 2008. - №6. — с.322-329.

54. Друккер, Д. Определение устойчивого упругого материала/ Д. Друк-кер// Механика[сб. переводов иностр. статей]. — I960.— Т.2, №2.— с.55-70.

55. Drucker, D.C. A definition of stable inelastic material/ D.C. Drucker// J. Appl. Mech. ASME.- 1959.- V.26.- p.101-106.

56. Астапов, H.C. Область устойчивости плотноупакованного слоя атомов/ H.С. Астапов, В.М. Корнев// Прикладная механика и теоретическая физика. — 2007. - Т.48, №4. -с.161-172.

57. Новожилов, B.B. О необходимом и достаточном критерии хрупкой прочности/ В.В. Новожилов// ПММ. - 1969. — Т.ЗЗ, №5. — с.212-222.

58. Корнев, В.М. Достаточный дискретно-интегральный критерий прочности при отрыве/ В.М. Корнев, В.Д. Кургузов// Прикладная механика и техническая физика. — 2001. — Т.42, №2. —с.161-170.

59. Корнев, В.М. О критерии хрупкого разрушения тел с трещиной при наличии дефекта атомной решетки/ В.М. Корнев, Ю.В. Тихомиров// Изв. РАН. МТТ. - 1994. - №2. - с.185-193.

60. Андреева, Е.А. Решение одномерных задач пластичности для разу-прочняющегося материала/ Е.А. Андреева// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. физ.-мат. науки. - 2008. -№2(17). — с. 152-160.

61. Стружанов, В.В. Деформационное разупрочнение материалов в элементах конструкций/ В.В. Стружанов, В.И. Миронов. — Екатеринбург: УрО РАН, 1995. - 190с.

62. Ибрагимов, В.А. Некоторые задачи для сред с падающей диаграммой/ В,А. Ибрагимов, В.Д. Клюшников// Изв. АН СССР. МТТ. - 1971. -№4. - с.116-121.

63. Pijandier-Cabot, G. Finite Element Analisys of Bifurcation in Nonlocal Strain Softening Solids/ G. Pajandier-Cabot// Second World Congress on Computational Mechanics. August 27-31, 1990. — Stuttgart, FDG. —P. 157-160.

64. Лебедев, A.A. К оценке трещиностойкости пластичных материалов/ A.A. Лебедев, Н.Г. Чаусов// Проблемы прочности. — 1982. — 32. — с.11-13.

65. Лебедев, A.A. Феноменологические основы оценки трещиностойкости материалов по параметрам спадающих участков диаграмм деформирования/ A.A. Лебедев. Н.Г. Чаусов// Проблемы прочности. — 1983.

- №2. - с.6-10.

66. Хорошун, Л.П. К оценке трещиностойкости материала на основе диаграммы деформирования/ Л.П. Хорошун// Прикл. механика. — 1989.

- т. —м.59-66.

67. Драгон, А. Континуальная модель пластически-хрупкого поведения скальных пород и бетона/ А. Драгон, 3. Мруз// Механика деформируемых твердых тел. Направления развития. — М.: Мир, 1983. —с.163-168.

68. Фадеев, А.Б. Метод конечных элементов в геомеханике/ А.Б. Фадеев.

- М.: Недра, 1987. - 221с.

69. Протосеня, А.Г. К определяющим уравнениям состояния при деформировании горных пород в запредельной области/ А.Г. Протосеня, А.Н. Ставрогин, А.К. Черников, Б.Г. Тарасов// ФТПРТИ. - 1981.

- т. - с.33-42.

70. Frantziskinis, G. Constitutive model with strain-softening/ G. Frantziskonis, C.S. Pesai// Int. J. Solids and struct. — 1987. — V.23, №6. - P. 733-750.

71. Anderson, B.H. Analisys of nonlinear crack model/ B.H. Anderson, H. Bergkvist// J.Mech. Phys. Solids. -1970. - V.18. - P. 1-28.

72. Bazant, Z.P. Continuum model for strain softening/ Z.P. Bazant, T.B.Beletschko, T.-P. Chang// J. of Engrg. Mechanics ASCE. - 1984. -V.110, №12. - P. 1666-1692.

73. Ma, S.Y.A. The Newton-Raphson method used in the non-linear analisys of concrete structures/ S.Y.A. Ma, I.M. May// Comput. and Concrete Struct. -1986. - V.24,№. 2. - P.117-185.

74. Вильдеман, В.Э. Механика неупругого деформирования и разрушение композитных материалов/ В.Э. Вильдеман, Ю.В. Соколкин, А.А. Ташкинов. - М.:Наука, 1997. - 288с.

75. Lina, F. Nonlocal strain-softening model of quasi-brittle materials using boundary element method/F. Lina, G. Yang, Z.P. Bazant, F. Dingb// Engineering Analisys with Boundary Elements. — 2002.— V.26, №5. — P. 417-424.

76. Punesson, K. Characteristics and computational procedure in softening plasticity/ K. Punesson, R. Larsson, S. Sture/ J. Eng. Mech. — 1989. — V.115,№8.- P.1628-1646.

77. Susuki, A. A modified fraction model with a nonhardening strain region/ A. Susuki// Нихонкикайчаккайроибужю. Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. - 1986. - V.A52, №481. - P. 2294-2299.

78. Глаголев, В.В. Модель процесса разделения деформируемого твердого тела/ В.В. Глаголев, К.А. Кузнецов, А.А. Маркин// Изв. РАН.МТТ.

- 2003. - №6. - С.61-68.

79. Глаголев, В.В. Определение термомеханических характеристик процесса разделения/ В.В. Глаголев. А.А. Маркин// Изв. РАН. МТТ. — 2007. — №6. — С.101-112.

80. Глаголев, В.В. Оценка толщины слоя взаимодействия как универсального параметра материала/ В.В, Глаголев, А.А. Маркин// Изв. РАН.МТТ.- 2006. - №5. - С.177-186.

81. Гаврилкина, М.В. К решению одной задачи механики разрушения/ М.В. Гаврилкина, В.В. Глаголев. А.А. Маркин// Прикладная механика и теоретическая физика. — 2007. — Т.48, №4. — С. 121-127.

82. Боринцев А.А. Оценка прочности сварного соединения с малой дискообразной трещиной/ А.А. Боринцев, И.Ю. Дивенгталь, Ю.А. Необер-дин, А.В. Швецов// Прикладная механика и теоретическая физика.

- 1985. - №2. - С. 144-150.

83. Smith, Е. The size og the fully developed softening zone associated with a crack in a strain- softening material. I. A semi-finite crack in a remotely loaded infinite solid/ E. Smith// Int. J. Eng. Sci. - 1989. - V.27,№3. -P.301-307.

84. Smith, E. The size og the fully developed softening zone associated with a crack in a strain- softening material. II. A semi-finite crack in a remotely

loaded infinite solid/ E. Smith// Int. J. Eng. Sci. - 1989. - V.27,№3. -P.308-314.

85. Пежина, П. Моделирование закритического поведения и разрушения диссипативного твердого тела/ П. Пежина// Теоретические основы инженерных расчетов. — 1984. — Т.106, 34. — С.107-117.

86. Волков, С.Д. К теории макротрещин. Сообщение 1. Простейшие модели/ С.Д. Волков// Проблемы прочности. — 1981. — №2. — С.44-48.

87. Волков, С.Д. К теории макротрещин. Сообщение 2. Модели класса МТ./ С.Д. Волков// Проблемы прочности. — 1981. — №3. — С.38-42.

88. Стружанов, В.В. Ассоциированный и инкрементальный законы пластического течения для сред, проявляющих деформационное разупрочнение/ В.В. Стружанов/// Известия Уральского государственного университета. -1998. - №10. - С.92-101.

89. Стружанов, В.В. Свойства разупрочняющихся материалов и определяющие соотношения при одноосном напряженном состоянии/ В.В. Стружанов// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. физ.-мат. науки. — 2007. -№2(15). - С.69-78.

90. Ибрагимов, В.А. Некоторые вопросы разупрочняющихся сред/ В.А. Ибрагимов// Изв. АН СССР.МТТ. - 1972. - №4. - С.55-63.

91. Палмер А. Соотношения нормальности и выпуклости поверхностей текучести для неустойчивых материалов и элементов конструкций/ А. Палмер, Д. Майер, Д. Друккер// Прикл. Механика. Серия Е. Труды

Американского общества инженеров-механиков. — 1967. — Т.34, №2.

- С.232-241.

92. Franci, A. A stable/ neutral equilibrium path for the numerical of solution of elastic-plastic-softening problems/ A.Franci, F.Genna // Second World Congress on Covputational Mechanics.Extended Abstracts of Lectures. — Stuttgart,FRG. - August 27-31, 1990. - P. 161-164.

93. Smith, E. the failure of a strain-softening solid containing on internal/ E. Smith// Theoretical and Applied Fracture Mechanics. — 1990. — V.14,№1.

- P. 65-70.

94. Bobinsky, J. FE analisys of strain localization in concrete in elasto-plasticity and damage machanics with non-local softening/ J. Bobinsky// TASK QUARTERLY. - 2007. - V.10,№4. - P.353-375.

95. Evans, R.H. Microcracking and stress-strain curves for concrete in tension/ R.H. Evans, M.S. Marathe// Mat. and Struct., Research and Testing. Paris: RILEM. - 1968. - V.l(l). - P. 61-64.

96. Shazlya, M. High strain-rate behavior of ace under uniaxial compression/ M. Shazlya, V. Prakasha, B.A. Lerchb// Int. J. of Solids and Structures.

- 2009. - V.46,№6. - P. 1499-1515.

97. Volokh, K.Y. Softening hyperelasticity for modeling material failure: Analysis of cavitation in hydrostatic tension/ K.Y. Volokh// International Journal of Solids and Structures. - 2007. - V.44. - P. 5043-5055.

98. Xiao, R.Y. Fracture and tension softening of high performance fibrous concrete/ R.Y. Xiao, C.S. Chin// The Seventh International Conference

on Computational Structures Technology. — Lisbon: Civil-Comp Press, 2004. - P.209.

99. Zhen-hai, G. Investigation of complete stress-deformation curves for concrete in tension/ G. Zhen-hai, Z. Xiu-qin// ACI Materials Journal. - July-August 1987. - 84-M29. - P.278-285.

100. Bazant, Z.P. Softening instability. Path I. Localization into a planar band/ "Z.P. Bazant // J. Appl. Mech. ASME. - 1988. - V.55. - P.517-522.

101. Bazant, Z.P. Softening instability. Path II. Localization into ellipsoidal regions/Z.P. Bazant // J. Appl. Mech. ASME. - 1988. - V.55. - P.523-529.

102. Bazant, Z.P. Stability of Structures: Elastic, Inelastic, Fracture and Damage Theories/Z.P. Bazant, L. Cedolin. — New York: Oxford University Press, 2003. —1012p.

103. Седов, JI.И. Механика сплошное среды. Т.1/ Л.И. Седов. — М.: Наука, 1970. - 492с.

104. Волков, С.Д. К механике разрушения. Сообщение 1./ С.Д. Волков, Г.И. Дубровина// Проблемы прочности. — 1980. — №8. — С.11-15.

105. Стружанов, В.В. Об одном методе построения единого потенциала/ В.В. Стружанов, Е.Ю. Просвиряков, Н.В. Бурмашева// Вычислительная механика сплошных сред. — 2009. — Т.2,№2. — с.96-107.

106. Бурмашева, Н.В. Бифуркационные множества в задаче о трехосном растяжении элементарного куба/ Н.В. Бурмашева, В.В. Стружа-

нов// Труды 4ой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи". —Самара:СамГТУ. - 29-31 мая 2007. - 4.1. -С.54-56.

107. Стружанов, В.В. О свойствах кубического элемента при жестком трехосном деформировании/ В.В. Стружанов, Н.В. Бурмашева// Труды бой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи". — Самара:СамГТУ. - 29-31 мая 2008. - 4.1. -С.301-308.

108. Бурмашева, Н.В. Единый потенциал в задаче о трехосном растяжении элементарного куба/ Н.В. Бурмашева, В.В. Стружанов// Ресурс и диагностика материалов конструкций. Тезисы 4ой Российской научно-технической конференции. — Екатеринбург: ИМАШ УрО РАН. — 2628 мая 2009. — с. 189.

109. Хорн, Р. Матричный анализ/Р. Хорн, Ч. Джонсон. —М.: Мир,1989.— 655 с.

110. Ильин, В.А. Математический анализ,ч.1,издЗ, под ред. А.Н. Тихонова/ В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Б.Х. Сендов. М.: Проспект, 2004. — 664с.

111. Кошляков, Н. С. Уравнения в частных производных математической физики/ Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер,М. М. Смирнов. — М.: Высш.шк., 1996. — 712 с.

112. Корн, Г.А. Справочник по математике для научных работников и инженеров/ Г.А. Корн, Т.М. Корн. — М.:Наука, 1974. — 832с.

ИЗ. Беклемишев, Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры/ Д.В. Беклемишев. — М.: ФизМатЛит, 2007. — 312с.

114. Писаренко, Г. С. Сопротивление материалов деформированию и разрушению при сложном напряженном состоянии/ Г. С. Писаренко, А. А. Лебедев. — Киев: Наук.думка, 1969. — 212 с.

115. Лурье, А. И. Теория упругости./ А.И. Лурье. — М.: Наука,1970.—939 с.

116. Акивис, М. А. Тензорное исчисление./ М. А. Акивис, В. В. Гольд-берг. - М.: Наука, 1969. - 351 с.

117. Гельфанд, И.М. Лекции по линейной алгебре/ И.М. Гельфанд. — М.:Наука, 1971. - 271с.

118. Арнольд, В. И. Особенности дифференцируемых отображений. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов/ В.И. Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн—Заде. —М.: Наука, 1982.— 304 с.

119. Грантмахер, Ф.Р. Теория матриц/ Ф.Р. Грантмахер. — М.:Наука, 2-е изд., 1966. — 576с.

120. Брус, Дж. Кривые и особенности/ Дж.Брус, П. Джиблин.— М.: Мир,1988. - 262 с.

121. Гилмор, Р. Прикладная теория катастроф в 2х книгах.Кн. 1/Р. Гил-мор. -М.: Мир,1984.-350 с.

122. Родионов, С.А. Расчет и конструирование механизмов и деталей приборов/ С.А. Родионов, Е.И. Гутман. — Л.Машиностроение, 1975. — 312с.

123. Grosan, С. Multiple Solutions for a System of Nonlinear Equations/ C. Grosan, A.Abraham // International Journal of Innovative Computing, Information and Control. - 2008.- V.4. №9.- P.2161-2170.

124. Quarteroni, A. Numerical Mathematics/A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri.

— New York: Springer, 2000.

125. Ciurte, A. An algorithm for solving some nonlinear systems with applications to extremum problems/ A. Ciurte A., S. Nedevschi, I. Rasa // Taiwanese Journal of Mathematics. - 2012. - V.16. №3. - P. 1137-1150.

126. Werner, W. Iterative solution of systems of nonlinear equations based upon quadratic approximations/ W.Werner // Сотр. & Math, with Appls.— 1986.- V.12A. т.- P.331-343.

127. Приближенное решение операторных уравнений / М.А. Красносельский [и др.]- М.: Наука, 1969 — 456 с.

128. Канторович, JI.B. Функциональный анализ/JI.В. Канторович, Г.Т. Акилов.— М.: Наука,1977.— 742 с.

129. Бахвалов, Н.С. Численные методы, 8-е изд./ Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.Г. Кобельков. —М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.

- 624с.

130. Стружанов, В.В. Метод Ньютона-Канторовича в задаче об определении неединственных решений уравнений равновесия дискретных градиентных механических систем/ В.В. Стружанов, Н.В. Бурмашева// Труды Института математики и механики. — 2013. — Т.19, №1. — С.244-252.

131. Стружанов, В.В. Метод Ньютона-Канторовича в математической модели трехосного растяжения куба из материала с невыпуклым потенциалом/ В.В. Стружанов, Н.В. Бурмашева// Вестник Тамбовского университета. Серия естественные и технические науки. — 2013. — Т. 18,вып. 5-2. —С.2694-2695.

132. Бурмашева, Н.В. Итерационный процесс расчета параметров равновесия при жестком нагружении системы, реализующей трехосное растяжение куба из упругопластического разупрочняющегося материала/ Н.В. Бурмашева, В.В. Стружанов// Математическое моделирование и краевые задачи. Труды 7ой Всероссийской научной конференции с международным участием. —Самара:СамГТУ. — 3-6 июня 2010. — 4.1. —С. 73-78.

133. Struzhanov, V.V. Newton-Kantorovich metho d of paramétrés' characterization of equilibrium of the system which realizes the triaxial strenght of the cube made from the nonlinear material with non-convex potencial/ V.V.Struzhanov, N.V. Burmasheva// Advanced Problems in Mechanics. Proceedings of the XXXIX Summer School-Conference. — St.Petersburg (Repino):IPME RAS. - July 1-5, 2011. - P.468-476.

134. Бурмашева, Н.В. Метод Ньютона-Канторовича расчета неединственных равновесий мёханической системы, растягивающей куб из разупрочняющегося материала при задании сил и перемещений/ Н.В. Бурмашева, В.В. Стружанов// Труды Томского государственного университета. Серия физико-математическая. II Всероссийская молодежная

научная конференция посвященная 50-летию физико-технического факультета Томского государственного университета «Актуальные проблемы современной механики сплошных сред и небесной механики». — Томск. Изд-во Томского университета. — 11-13 апреля 2012. — С. 76-80.

135. Бурмашева, Н.В. Итерационная процедура расчета параметров равновесия при жестком нагружении стержневой системы, реализующей трехосное растяжение куба/ Н.В. Бурмашева, В.В. Стружанов// Математическое моделирование в естественных науках. Тезисы докладов 17 Всероссийской конференции молодых ученых. — Пермь:Изд-во ПГ-ТУ. - 1-4 октября 2008. - С. 15.

136. Стружанов, В.В. Метод Ньютона-Канторовича при расчете устойчивых и неустойчивых равновесий градиентной системы, осуществляющей трехосное растяжение элементарного куба/ В.В. Стружанов, Н.В. Бурмашева// Механика сплошных сред как основа современных технологий» (XVII Зимняя школа по механике сплошных сред). Тезисы докладов Всероссийской конференции. — Пермь:ИМСС. — 28 февраля - 3 марта 2011. - С.301.

137. Struzhanov, V.V. Newton-Kantorovich metho d of paramétrés' characterization of equilibrium of the system which realizes the triaxial strenght of the cube made from the nonlinear material with non-convex potencial/ V.V.Struzhanov, N.V. Burmasheva// Advanced Problème in

Mechanics. Book of abstracts of the XXXIX Summer School-Conference.

- St.Petersburg (Repino):IPME RAS. - July 1-5, 2011. - P.468-476.

138. Бурмашева, H.B. Об одном методе решения систем нелинейных уравнений/ Н.В. Бурмашева, В.В. Стружанов// Современные проблемы математики. Тезисы Международной (43ой Всероссийской )молодежной школы-конференции. — Екатеринбург: ИММ УрО РАН. — 29 января - 5 февраля 2012. — С.352-353.

139. Бурмашева, Н.В. Расчет параметров равновесий одной механической системы с разупрочняющимся элементом при силовом и кинематическом нагружении методом Ньютона-Кантровича/ Н.В. Бурмашева// Материалы третьей международной конференции "Математическая физика и ее приложения". — Самара: СамГТУ. — 27 августа - 1 сентября 2012. - С.74-75.

140. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального на-лиза/ А.Н. Колмогоров, С.П. Фомин. — М.: Наука,1972. — 496 с.

141. Стружанов, В.В. Устойчивость управления градиентными системами/ В.В. Стружанов, Н.В. Бурмашева// Вестник Тамбовского университета. Серия естественные и технические науки. — 2011.— Т.16, вып.4.

- С.1183-1184.

142. Стружанов, В.В. Вычислительная процедура нахождения предельных параметров нагружения механических систем/ В.В. Стружанов, Н.В. Бурмашева// Вычислительная механика сплошных сред. — 2011.— Т4,

т. - с. 107-из.

143. Бурмашева, Н.В. Предельные значения нагрузок при силовом и кинематическом нагружении стержневой системы, реализующей трехосное растяжение куба из разупрочняющегося материала/ Н.В. Бурмашева, В.В. Стружанов// Математические методы и модели в теоретических и прикладных исследованиях: сб. научн. тр. [под научн. ред. Г.А. Тимофеевой, д-ра физ.-мат. наук и О.В. Куликовой, канд. пед. наук]. — Екатеринбург: Изд-во Ур-ГУПС. - 2012. — Вып. 4(187). - С. 22-32.

144. Бурмашева, Н.В. Итерационная схема для компьютерного анализа устойчивости трехосного растяжения кубического элемента в специальном устройстве при жестком нагружении/ Н.В. Бурмашева, В.В. Стружанов// Механика микронеоднородных материалов и разрушение. Тезисы докладов VI Всероссийской конференции. — Екатеринбург: ИМАШ УрО РАН. -24-28 мая 2010. - С. 126.

145. Бурмашева, Н.В. Алгоритм численного построения сепаратрисы стержневой системы, осуществляющей трехосное растяжение по жесткой схеме элементарного куба из нелинейного материала/ Н.В. Бурмашева, В.В, Стружанов// Математическое моделирование в естественных науках. Тезисы докладов 19 Всероссийской конференции молодых ученых. - Пермь: Изд-во ПГТУ. - 6-9 октября 2010. - С.30-31.

146. Бурмашева, Н.В. Об одной задаче управления в механике деформирования градиентных систем/ Н.В. Бурмашева, В.В. Стружанов// Современные проблемы математики». Тезисы 42ой Всероссийской моло-

дежной школы-конференции. — Екатеринбург: ИММ УрО РАН. 30 января - 6 февраля 2011. — С. 14-16.

147. Бурмашева, Н.В. Вычисление параметров нагружения для одной стержневой градиентной механической системы/ Н.В. Бурмашева, В.В. Стружанов// IV Всероссийская научно-техническая конференция X IV школа молодых ученых семинар «Безопасность критических инфраструктур и территорий», материалы конференции и школы. — Екатеринбург: УрО РАН. - 2011. - С.104.

148. Стружанов, В.В. Деформирование нелинейных градиентных систем: устойчивость, неустойчивость, бифуркации/ В.В. Стружанов, Н.В. Бурмашева// Тезисы докладов Международной конференции по математической теории управления и механике. —М.:МИАН. — 1-5 июля 2011. - С.192-193.

149. Бурмашева, Н.В. Численное построение сепаратрисы потенциальной функции механической системы, осуществляющей трехосное растяжение куба, и определение предельных значений параметров нагружения/ Н.В. Бурмашева// Тезисы докладов X Всероссийского съезда по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики и Второй Всероссийской школы молодых ученых-механиков. — Н.Новгород:Изд-во Нижегородского госуниверситета. — 24-30 августа 2011. - С. 23-24.

150. Стружанов, В.В. Устойчивость трехосного растяжения в одной стержневой системе элементарного куба с невыпуклым потенциалом напря-

жений/ В.В. Стружанов, Н.В. Бурмашева// Тезисы докладов Международной конференции по математической теории управления и механике. —М.-.МИАН. - 1-5 июля 2013. - С.39.

Постон, Т. Теория катастроф и ее приложения/ Т. Постон, И. Стюарт.— М.: Физ-матлит, 1980.— 617с.