Проекционные методы для многомерных операторов свёртки с компактными коэффициентами и операторов с анизотропно однородными ядрами компактного типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Лукин Александр Васильевич

• Лукин Александр Васильевич
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Лукин Александр Васильевич

1.1 Локальный метод

1.2 Многомерные свёртки с компактными коэффициентами

1.3 Подпространства, порождённые проекторами, и обратимость операторов в таких пространствах

1.4 Представление пространства в виде тензорного произведения

ГЛАВА 2 Проекционный метод для многомерных операторов

свёртки с компактными коэффициентами

2.1 Локальная структура в алгебрах, порождённых операторами с компактными коэффициентами

2.2 Критерий обратимости операторов с компактными коэффициентами в конусах

2.3 Квазиэквивалентность в алгебрах, порождённых операторами с компактными коэффициентами

2.4 Основная теорема

2.5 Критерий применимости проекционного метода

2.6 Достаточные условия применимости приближённых методов

ГЛАВА 3 Проекционный метод для многомерных операторов с

анизотропно однородными ядрами компактного типа

3.1 Операторы с анизотропно однородными ядрами

3.2 Критерий применимости проекционного метода

3.3 Достаточные условия применимости приближённых методов

3.4 Схема применения проекционного метода к оператору свёртки с компактными коэффициентами вида I + И 0 Т и подобному

ему оператору с анизотропно однородным ядром

3.4.1 Решение уравнения для оператора с анизотропно однородным ядром путём редукции к оператору свёртки с компактными коэффициентами

3.4.2 Решение уравнения для оператора с анизотропно однородным ядром без редукции к оператору свёртки с компактными коэффициентами

3.4.3 Вычисление символа оператора с анизотропно однород-

ным ядром, подобного оператору свёртки вида I + И 0 Т

3.5 Построение оператора свёртки с компактными коэффициентами и подобного ему оператора с анизотропно однородным ядром общего вида

3.6 Схема применения проекционного метода к оператору свёртки с компактными коэффициентами общего вида и подобному ему оператору с анизотропно однородным ядром

3.6.1 Решение уравнения для оператора с анизотропно однородным ядром путём редукции к оператору свёртки с компактными коэффициентами общего вида

3.6.2 Решение уравнения для оператора с анизотропно однородным ядром общего вида без применения редукции к оператору свёртки с компактными коэффициентами

3.6.3 Вычисление символа оператора с анизотропно однородным ядром

Заключение

ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ СОКРАЩЕНИЙ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Проекционные методы для многомерных операторов свёртки с компактными коэффициентами и операторов с анизотропно однородными ядрами компактного типа»

Введение

Актуальность темы. Методы функционального анализа являются важным инструментом для построения и изучения приближённых методов решения дифференциальных, интегральных, интегро-дифференциальных и иных видов функциональных и операторных уравнений. Проекционные методы являются важным подклассом приближённых методов. Впервые идеи проекционных методов появляются в работах И. Г. Бубнова [1] и Б. Г. Галёркина [2]. Значительный вклад в развитие проекционных методов внесли М.В. Келдыш [3], Л. В. Канторович [4], М. А. Красносельский, Г. М. Вайникко, П. П. За-брейко и другие исследователи (см. [5] и цитируемые там источники). Современное состояние теории проекционных методов отражено в работах [6-10].

Значимым для приложений направлением теории проекционных методов, получившим интенсивное развитие во второй половине двадцатого века, является теория проекционных методов решения уравнений типа свёртки. Операторы типа свёртки позволяют моделировать многие процессы реального мира, решение уравнений для данного типа операторов представляет большой практический интерес. Первые значимые результаты в теории проекционных методов для уравнений типа свёртки были получены В. В. Ивановым и Е. А. Карагодовой [11] и Г. Бэкстером [12]. В дальнейшем И. Ц. Гохбергом и И.А.Фельдманом были получены критерии применимости проекционного метода и метода Галёркина к широкому классу одномерных уравнений типа свёртки (см. [13] и цитируемые там источники). Условия применимости проекционного метода к многомерным уравнениям в полупространстве получены Л. С. Гольденштейном [14].

В середине 1960-х годов И. Б. Симоненко создал локальный метод, позволяющий исследовать нётеровость широкого класса линейных операторов, названных операторами локального типа [15-19]. Впоследствии А. В. Козак разработал аналогичный локальный метод для исследования сходимости проекционных методов [20, 21]. Благодаря данной модификации им был получен

ряд результатов о применимости проекционных методов к широкому классу операторов типа свёртки [22-24]. Теория А. В. Козака также успешно применялась для исследования эллиптических псевдодифференциальных операторов [25]. В работах [6, 8, 9, 26] отражено современное состояние обозначенной теории и представлен ряд её обобщений, появившихся в последние годы.

Впервые одномерные интегральные операторы с однородными степени (—1) ядрами в пространствах суммируемых с р-ой степенью функций были рассмотрены в работах Г. Харди и Дж. Литтлвуда [27]. Многомерная ситуация оказывается сложнее и нуждается в иных подходах. Изучение многомерных интегральных операторов с однородными степени (-п) ядрами было начато Л. Г. Михайловым в связи с исследованием дифференциальных уравнений в частных производных с сингулярными коэффициентами (см. [28-30] и цитируемые источники). Дальнейшее развитие теория интегральных операторов с однородными ядрами получила в работах Н. К. Карапетянца, С. Г. Самко, О. Г. Авсянкина, В.М. Деундяка [31-49]. В большинстве вышеназванных исследований на ядра интегральных операторов, помимо условий однородности, накладывалось дополнительное условие инвариантности относительно группы вращений пространства

Впоследствии В. М. Деундяку удалось отказаться от условия инвариантности ядер относительно группы вращений и рассмотреть более широкий класс однородных ядер интегральных операторов, названных им ядрами компактного типа. При исследовании данного нового класса однородных ядер значимую роль играет пространственный изоморфизм подобия операторов с однородными ядрами компактного типа и операторов свёртки с компактными коэффициентами [50-52]. В работе [53] В. М. Деундяком и Е. И. Мирошниковой рассмотрен новый класс ядер, удовлетворяющих условию анизотропной однородности, и определён новый класс интегральных операторов с такими ядрами, названных операторами с анизотропно однородными ядрами компактного типа. Для обозначенных операторов были получены условия ограниченности, а также критерий их обратимости и фредгольмовости в терминах символа [54-56]. В

последние годы интегральные операторы с однородными ядрами рассматривались в пространствах ВМО [57, 58], гранд-пространствах Лебега [59, 60], пространствах Морри [49], а также на группах Гейзенберга [61, 62].

Интерес к интегральным операторам с однородными ядрами обусловлен тем, что класс таких операторов содержит различные классические операторы, такие как операторы Харди, оператор Гильберта, весовые потенциалы Рисса, мажоранты коммутаторов сингулярных операторов Кальдерона — Зигмунда. Также отметим естественную связь таких операторов с операторами мультипликативной свёртки [9, 17, 55, 63]. Теория операторов с однородными, анизотропно однородными и однородно-разностными ядрами находит применение при решении задач со сложными особенностями (В. С. Рабинович [64]), в задачах механики (Р. В. Дудучава [65], В. Н. Беркович [66]), в теории операторов, инвариантных относительно растяжений (И. Б. Симоненко).

В представленной диссертационной работе изучаются многомерные операторы свёртки с компактными коэффициентами, операторы с анизотропно однородными ядрами компактного типа, условия применимости проекционных и других приближённых методов к решению уравнений с такими операторами.

Цели и задачи работы. Целями данного диссертационного исследования являются изучение операторов многомерной свёртки с компактными коэффициентами и операторов с анизотропно однородными ядрами компактного типа, получение условий применимости проекционных методов к операторам из обозначенных двух классов, получение достаточных условий применимости других приближённых методов решения уравнений к операторам из указанных классов.

Для достижения указанных целей необходимо решить следующие задачи:

• построить новую локальную структуру типа Козака — Симоненко для алгебры операторов, порождённой операторами с компактными операторными коэффициентами, и исследовать свойства такой структуры;

• применить построенную локальную структуру для получения критериев применимости проекционных методов к операторам многомерной свёртки

с компактными коэффициентами и операторам с анизотропно однородными ядрами компактного типа.

Объектом исследования являются операторы многомерной свёртки с компактными коэффициентами и операторы с анизотропно однородными ядрами компактного типа.

Предметом исследования выступают необходимые и достаточные условия применимости проекционных и других приближённых методов к операторам многомерной свёртки с компактными коэффициентами и операторам с анизотропно однородными ядрами компактного типа.

Методы исследования. В диссертационной работе используются методы функционального анализа и теории операторов, в частности, локальный метод, методы теории банаховых алгебр, а также проекционные методы.

Научная новизна исследования. Выносимые на защиту результаты являются новыми и получены автором самостоятельно.

Теоретическое значение работы состоит в том, что её результаты относятся к области фундаментальных исследований.

Практическая значимость. Результаты диссертационной работы могут быть использованы при численном решении уравнений для операторов многомерной свёртки с компактными коэффициентами и операторов с однородными и анизотропно однородными ядрами компактного типа при помощи ЭВМ.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Представлена конструкция новой локальной структуры для алгебры Ах, порождённой ограниченными в Ьр(Шк) операторами с компактными операторными коэффициентами. При помощи построенной локальной структуры доказывается, что элементы из алгебры Ах, порождённые операторами свёртки с компактными коэффициентами, являются элементами локального типа.

2. Получены необходимые и достаточные условия обратимости ограниченного оператора с компактными операторными коэффициентами в конусе через локальную обратимость его представителя в нуле.

3. Получены необходимые и достаточные условия применимости проекци-

онного метода к операторам многомерной свёртки с компактными коэффициентами.

4. Получены необходимые и достаточные условия применимости проекционного метода к операторам с анизотропно однородными ядрами компактного типа.

5. Получены достаточные условия сходимости нового приближённого метода решения уравнений для операторов многомерной свёртки с компактными коэффициентами и операторов с анизотропно однородными ядрами компактного типа.

6. На типовых примерах общего характера реализована схема приближённого решения уравнения для операторов свёртки с компактными коэффициентами и для операторов с анизотропно однородными ядрами компактного типа.

Степень достоверности и апробация результатов. Результаты диссертационного исследования были представлены на следующих конференциях:

1) международная научная конференция «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения» (Ростов-на-Дону, 2013, 2014, 2015);

2) XII международная научная конференция «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» (Цей, 2015);

3) международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2016).

Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение 14.А18.21.0356 «Теория функциональных пространств, операторов и уравнений в них», а также Регионального научно-образовательного математического центра ЮФУ, соглашение Минобрнауки России № 075-02-2022-893.

Публикации и личный вклад автора. Основные результаты диссертационного исследования изложены в 11 научных публикациях [67-77]. Ста-

тьи [69, 75, 77] входят в перечень научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертаций, защищённых в диссертационных советах ЮФУ, из них статья [77] входит в базы данных международных индексов научного цитирования Scopus и Web of Science. Статьи [67, 70, 74] опубликованы в других сборниках научных трудов.

Работы [67, 69, 70, 77] опубликованы в соавторстве. В этих работах соавтору В. М. Деундяку принадлежат постановка задач, указание методов исследования и общее руководство работой. Автору диссертации принадлежат получение формулировок всех утверждений и проведение подробных доказательств.

Структура и объём диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения, перечня условных сокращений и списка использованных источников. Объём исследования составляет 137 страниц, включая список источников, содержащий 97 наименований.

Первая глава диссертации состоит из 4 разделов. В разделе 1.1 вводятся базовые понятия и результаты теории локального метода для произвольных банаховых алгебр. Вводится новое понятие слабой квазиэквивалентности двух элементов банаховой алгебры. Доказываются две леммы о свойствах квазиэквивалентности для подотображений, которые затем будут использоваться при доказательстве квазиэквивалентности элементов из алгебр Am и Акх в разделе 2.3.

В разделе 1.2 вводятся базовые объекты, используемые в диссертации, такие, как весовые пространства Лебега, тензорные произведения таких пространств, тензорные произведения операторов и алгебр операторов в данных пространствах.

В разделе 1.3 вводятся семейства проекторов, для которых затем в разделе 2.5 будет доказан критерий применимости проекционного метода к оператору свёртки с компактными коэффициентами. Исследуется обратимость операторов на подпространствах, порождённых такими проекторами. Доказывается модификация леммы Симоненко об обратимости операторов на вы-

шеназванных подпространствах (лемма 1.3.2). Приводятся две леммы об аппроксимации ограниченных операторов с компактными коэффициентами. В конце раздела доказываются необходимое условие обратимости оператора с компактными коэффициентами и лемма о представлении функции, заданной на подпространстве в виде кусочной функции. Эти леммы будут использоваться в разделе 2.2 при доказательстве критерия обратимости ограниченного оператора с компактными коэффициентами в конусе.

В разделе 1.4 доказывается ряд вспомогательных результатов о представлении пространства Ь™(Шк), т,к ^ 1, в виде тензорного произведения.

Вторая глава диссертации состоит из 6 разделов. В разделе 2.1 для алгебры Ах, порождённой ограниченными операторами с компактными коэффициентами, конструируется локальная структура (лемма 2.1.2) и доказывается, что элементы из алгебры Ах, порождённые операторами свёртки с компактными коэффициентами, являются элементами локального типа (теорема 2.1.1).

В разделе 2.2 доказывается критерий обратимости ограниченного оператора с компактными коэффициентами в конусе (теорема 2.2.1). Этот критерий важен для доказательства основной теоремы главы (теорема 2.4.1).

В разделе 2.3 в алгебре А^к строится изоморфизм специального вида, при помощи которого затем доказывается ряд результатов о квазиэквивалентности элементов из алгебр А^к, Ам и Акх. Доказывается несколько результатов о связи алгебры операторов с компактными коэффициентами и алгебры многомерных матричных операторов, рассмотренной в статье [21]. Полученные в данном разделе квазиэквивалентности являются базовым инструментом доказательства основной теоремы главы (теорема 2.4.1). В конце раздела описываются свойства операторов сдвига в изучаемых пространствах.

В разделе 2.4 представлен ключевой результат главы — доказывается критерий обратимости оператора свёртки с компактными коэффициентами, редуцированного на замкнутую ограниченную область. Следствием является критерий применимости проекционного метода к оператору свёртки с компактными коэффициентами, доказанный в разделе 2.5.

В разделе 2.5 доказывается критерий применимости проекционного метода по системе проекторов на замкнутое ограниченное множество М в ^ к оператору свёртки с компактными коэффициентами через обратимость такого оператора в конусах на границе множества М. Также доказывается критерий применимости проекционного метода к произвольному ограниченному оператору с компактными коэффициентами по определённой системе проекторов.

В разделе 2.6 предлагается приближённый метод решения уравнений для операторов свёртки с компактными коэффициентами и операторов свёртки с компактными коэффициентами в конусах с вершиной в нуле. Устанавливаются достаточные условия сходимости приближённых методов решения уравнений с такими операторами.

Третья глава диссертации состоит из 6 разделов. В разделе 3.1 определяется алгебра операторов с анизотропно однородными ядрами компактного типа, а также приводятся другие понятия и результаты, которые затем будут использоваться в третьей главе. Описывается связь между операторами свёртки с компактными коэффициентами и операторами с анизотропно однородными ядрами компактного типа посредством изоморфизма подобия. Для алгебры операторов с анизотропно однородными ядрами компактного типа определяется символ.

В разделе 3.2 доказывается критерий применимости проекционного метода к операторам с анизотропно однородными ядрами компактного типа путём редукции к аналогичному критерию для операторов свёртки с компактными коэффициентами из второй главы.

В разделе 3.3 предлагается приближённый метод решения уравнений для операторов с анизотропно однородными ядрами компактного типа и операторов с анизотропно однородными ядрами компактного типа в конусах с вершиной в нуле. Устанавливаются достаточные условия сходимости приближённых методов решения уравнений с такими операторами.

Раздел 3.4 состоит из трёх подразделов. В подразделе 3.4.1 приводится пример оператора с анизотропно однородным ядром, изоморфного оператору

свёртки с компактными коэффициентами вида I + И 0 Т. Для уравнения с оператором предлагается схема приближённого решения путём редукции к оператору матричной свёртки в ограниченной области. В подразделе 3.4.2 предлагается схема приближённого решения уравнения с оператором при помощи проекционного метода из раздела 3.2 без применения редукции к оператору свёртки. В подразделе 3.4.3 вычисляется символ оператора .

В разделе 3.5 строится оператор с анизотропно однородным ядром компактного типа, для которого изоморфный оператор свёртки с компактными коэффициентами не допускает представления в виде линейной комбинации тензорных произведений операторов скалярной свёртки и компактных операторов. Попутно доказывается несколько вспомогательных утверждений общего характера о финитных непрерывных функциях.

Раздел 3.6 состоит из трёх подразделов. В подразделе 3.6.1 для уравнения с оператором W, который был построен ранее в разделе 3.5, предлагается схема приближённого решения путём редукции к оператору матричной свёртки в ограниченной области. В подразделе 3.6.2 предлагается схема приближённого решения уравнения с оператором W при помощи проекционного метода из раздела 3.2, без применения редукции к оператору свёртки. В подразделе 3.6.3 вычисляется символ оператора W.

Благодарности. С чувством глубокой признательности автор посвящает данную работу памяти своего учителя

В. М. Деундяка,

при активном

участии и под руководством которого были получены представленные в диссертации результаты. Автор также выражает благодарность О. Г. Авсянкину, оказавшему значительную помощь в улучшении некоторых доказательств, а также оформлении разрозненных результатов в единый связный и структурированный текст.

ГЛАВА 1

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1.1 Локальный метод

Пусть Л — банахова алгебра с единицей е, X — хаусдорфов компакт, Sx — борелевская а-алгебра подмножеств пространства X. Говорят, что отображение р : Sx ^ Л порождает в алгебре Л локальную структуру над пространством X, если выполняются условия:

1) р(Х) = е;

2) Уи, v Е Sx р(и П v) = p(u)p(v);

3) Уи, v Е Sx, если и П v = 0, то р(и U v) = р(и) + p(v);

4) sup < оо.

uetix

Пусть задано некоторое отображение р : Sx ^ Л, порождающее в Л локальную структуру над X. Элемент а(Е Л) называется элементом локального типа, если для любых двух замкнутых непересекающихся множеств и, v(e Sx) выполняется равенство p(u)ap(v) = 0.

Пусть М(X) — банахова алгебра ограниченных, необязательно измеримых комплексных функций, определённых на X, с обычными операциями и нормой, определяемой равенством ||/1| = sup |/(ж)|, f Е М(X). Пусть

хЕХ

F(X)(= {1и}иЕ^х) — семейство характеристических функций множеств и(Е Sx), S(X) — минимальная подалгебра М(X), содержащая F(X). В работе [21, с. 59] утверждается, что S(X) содержит банахову алгебру С(X) непрерывных вещественных функций на X. Отметим, что функции из S(X) измеримы.

Теорема 1.1.1 ([21]). 1. Существует единственный непрерывный гомоморфизм т: S(X) ^ Л такой, что т(1М) = р(и) для любого u(e Sx). 2. Множество всех элементов локального типа в Л совпадает с коммутантом множества т(С(X)) в Л.

Элемент а(Е Л) называется локально обратимым слева (справа) в точке

х(£ X), если существуют окрестность и(с X) точки х и элемент Ь(£ А) такие, что bap(u) = р(и) (p(u)ab = р(и)). Элемент а(£ А) называется локально обратимым в точке х(£ X), если он локально обратим слева и справа в х.

Теорема 1.1.2 ([21]). Для того чтобы элемент локального типа был обратим слева (справа) в алгебре А, необходимо и достаточно, чтобы он был локально обратим слева (справа) в каждой точке х(£ X).

Элементы а,Ь(£ А) будем называть эквивалентными в точке х(£ X), если для любого е(> 0) существует окрестность и(с X) точки х такая, что ||(а — Ь)р(и)\\ < £ и \\р(и)(а — Ь)\\ < е. Сокращённо будем писать а Ь.

Лемма 1.1.1 ([21]). Пусть и £ Sx, тогда р(и)Ар(и) образует банахову подалгебру алгебры А (возможно, без единицы).

Так как равенство = 1 может не выполняться, то р(и) может не

быть единицей в алгебре р(и)Ар(и).

Если U и V — произвольные множества, 'ф : U ^ V — произвольное отображение, U С U, то через ^Ifj будем обозначать ограничение 'ф на U.

Лемма 1.1.2. Пусть X(с X) — компакт, А — банахова подалгебра алгебры А с единицей ё, для которой корректно определено отображение р = : S^ ^ А (то есть для любого w(£ S^) p(w) £ А) и выполняется условие р(Х) = ё. Тогда отображение р порождает в А локальную структуру.

Доказательство. Рассмотрим на X индуцированную из X топологию. Рассмотрим произвольные множества w\, w2(£ S^). Согласно замечанию из [78, с. 53], для w\ и w2 справедливы представления w\ = XHw'l, w2 = Xnw'2, где w[, w'2 £ Sx. Так как X замкнуто в X, то X £ Sx и w\, w2 £ Sx. Таким образом, выполняется равенство p(w\ П w2) = p(w\)p(w2), а при дополнительном предположении w\ Пw2 = 0, также и равенство p(w\ Uw2) = p(w\)+ p(w2). Ясно, что

sup Hi?(w)\\ = sup ^ sup < го.

w£Tijr w£Tijr w£^x

□

Определение 1.1.1 ([21]). Пусть Л, В — банаховы алгебры с локальными структурами над компактами X и У, порождёнными отображениями р : ^ Л и р' : £у ^ В, а(е Л) и Ь(е В) — элементы этих алгебр, х(е X) и у(е У) — фиксированные точки. Пусть существуют окрестности и(с. X) и у(с. У) точек х и у, гомеоморфизм р : и ^ V и изоморфизм Т : р(и)Лр(и) ^ р'(у)Вр'(у), удовлетворяющие следующим условиям:

1) = У,

2) Уу) е Т(р(п)) = р'(ф))),

3) Т(р(и)ар(и)) р'(у)Ьр'(у).

Тогда говорят, что элемент а в точке х квазиэквивалентен элементу Ь в точке у. Сокращённо будем писать а Ь. Если нужно отметить отобра-

жения р и Т, то будем писать а ~х ~у Ь.

Замечание 1.1.1. Любое множество и из борелевской а-алгебры можно рассматривать как топологическое подпространство компакта X с индуцированной из X топологией (см. [79, с. 33]).

Определение 1.1.2. Пусть Л, В — банаховы алгебры с локальными структурами над компактами X и У, порождёнными отображениями р : ^ Л и р' : ^ В, а(е Л) и Ь(е В) — элементы этих алгебр, х(е X) и у(е У) — фиксированные точки. Пусть существуют множества и(е ) и у(е ^у) такие, что х е и, у е у, гомеоморфизм р : и ^ у и изоморфизм Т : р(и)Лр(и) ^ р'(у)Вр'(у), удовлетворяющие следующим условиям:

1) = У,

2) Уу) е Т(рИ)= р'(ф))),

3) Т(р(и)ар(и)) р'(у)Ьр'(у).

Тогда будем говорить, что элемент а в точке х слабо квазиэквивалентен элементу Ь в точке у. Сокращённо будем писать а Ь. Если нужно отметить отображения р и Т, то будем писать а Ь.

Теорема 1.1.3 ([21]). Пусть а е Л — элемент локального типа, Ь е В, х е X, у е У и а Ь. Если элемент а локально обратим слева (справа)

в точке х, то элемент Ь локально обратим слева (справа) в точке у.

Лемма 1.1.3. Пусть а ~х <р,Т ~у Ь и существуют подмножества й(с и) и й(с у) такие, что х Е й, у Е й, й Е , й Е Еу, р(и) = й и Т(р(й)Ар(и)) = р'(й)Вр'(й). Тогда

1) у = — гомеоморфизм множеств й и V;

2) Т = Т1р(й)Ар(й) : р(и)Ар(и) ^ р'(у)Вр'(у) — изоморфизм алгебр р(и)Ар(и) и р'(у)Вр'(и);

3) а (р,Т &у Ь.

Доказательство. 1. Равенство следует из утверждения 11.Л в [79, с. 67].

2. Из леммы 1.1.1 следует, что р(и)Ар(и) является подалгеброй алгебры р(и)Ар(и), р'(й)Вр'(й) является подалгеброй алгебры р'(у)Вр'(у). Используя утверждение 10.Р из [79, с. 60], можно убедиться, что сужение Т изоморфизма Т также является изоморфизмом.

3. Покажем, что для подмножеств й и й, гомеоморфизма у и изоморфизма Т выполняются три условия определения слабой квазиэквивалентности. Действительно, (р(х) = <р(х) = у. Зафиксируем произвольное ут(е 'Ей) и докажем равенство Т(р(уи)) = р'(ф(и>)). В самом деле,

Т(р(й)) = Т(р(т)р(й)р(Т)) = Т (р(и)р(й)р(Т)) = Т (р(й)).

Согласно утверждению 1.4.0 из [80, с. 68], (р(уй) Е Ет, следовательно, Тут) Е Еу. Так как уи С Т, то (р(уй) = р(уи). Так как уи Е Еи, то Т(р(уй)) = р'(ф(и>)) = р'(<й(и>)). Следовательно, Т(р(уи)) = р'(¡й(уи)).

Покажем теперь, что Т(р(й)ар(и)) р'(у)Ър'(и). Зафиксируем произвольное е(> 0). Известно, что существует окрестность и)(с У) точки у такая, что

\\(Т(р(и)ар(и)) — р'(у)Ьр'(у))р'< е, \\р'(у))(Т(р(и)ар(и)) — р'(у)Ьр'(у))\\ < £.

Необходимо показать, что существует окрестность w(c Y) точки у такая, что

\\(Т(р(и)ар(и)) — р'(v)bp'(v))pf(w)\\ < е,

\\р'(w)(T(p(u)ap(u)) — р'(v)bp'(v))\\ < е. (1.1.1)

Известно, что существует элемент f(е р'(и)Вр'(и)) такой, что

Т (р(и)ар(и)) = р' (v)ffp' (v).

Тогда выполняется неравенство \\р'(v)(f3 — Ъ)р'(v)p'(u>)\\ < е. Следовательно,

Т(р(и)ар(и)) = Т (р(и))Т (р(и)ар(и))Т (р(и)) = р' (v)ffp' (v).

Возьмём w = w, тогда

\\(Т(р(и)ар(и)) — р'(у)Ър'(v))p'(w)\\ = \\р'(у)(Р — b)p'(v)p'(w)\\ ^

^ \\р'(у)\\\\р'(v)(f — l))p'(v)p'(w)\\\\p'(v)\\ <г sup W^'^')^ sup \|_p/(^/)\.

v'gtiy v'<e~ey

Неравенство (1.1.1) доказывается аналогично. □

Лемма 1.1.4. Предположим, что для заданных элементов а(Е А) и Ь(е В) и точек х(Е X) и у(Е Y) существуют множества и(Е Ех) и v(e Еу) такие, что х Е и, у Е v, гомеоморфизм р : и ^ v и изоморфизм Т : р(и)Ар(и) ^ p'(v)Bp'(v) такие, что а ip,T &у Ь. Пусть X(с X) и Y(с Y) — компакты такие, что х Е XX, у Е Y, и является окрестностью точки х в XX, v является окрестностью точки у в Y. Пусть А и В — банаховы подалгебры алгебр А и В с единицами ё(Е А) и ё'(Е В) такие, что а Е A, b Е В. Пусть для А и В корректно определены отображения р = : Е^ ^ А и р' = р'\%~ : Еу ^ В и выполняются условия p(X) = ё, p'(Y) = ё' и Т(р(й)Ар(и)) = р'(у)Вр'(v). Пусть Ф и Ф — банаховы алгебры с единицами еФ и e^ и отображения к : А ^ Ф, ф : В ^ Ф — непрерывные изоморфизмы, сохраняющие единицу. Тогда

1) отображения q = к,р : Е^ ^ Ф, я' = ФР' : Еу ^ Ф определяют локальные

структуры в Ф и Ф;

2) существует изоморфизм Т' : q(u^q(u) ^ q'(v)^q'(v) такой, что к,(а) —х

&Т' — ф(Ь).

доказательство. Докажем, что q и q' определяют локальные структуры в алгебрах Ф и Ф. Из леммы 1.1.2 следует, что р и р' определяют локальные структуры в А и В. Проверим для q выполнение условий определения локальной структуры. Пусть w\, w2(£ S^) — произвольные множества, тогда

q(w\ П W2) = k(p(wI П W2)) = k(P(wI))k(P(w2)) = q(w\)q(w2). Предположим дополнительно, что W\ П w2 = 0, тогда

q(wi U W2) = K,(p(w\ U W2)) = K,(p(w\)) + k(p(w2)) = q(w\) + q(w2), q(X) = к(р(Х)) = к(ё) = еФ.

Из непрерывности к следует, что существует константа Нк такая, что для любого а(£ А) выполняется неравенство ||к(а)|| ^ Д^аН. Следовательно,

sup ||g(w)|| = sup Wk(p(w))W ^ Нк sup ||i?(w)|| < ro.

Для отображения q' доказательство аналогично. Таким образом, отображения q и q' действительно определяют локальные структуры в Ф и Ф.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Лукин Александр Васильевич, 2023 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Бубнов И. Г. Отзыв о сочинениях проф. С. П. Тимошенко, удостоенных премии им. Журавского / И. Г. Бубнов // Сборник ин-та путей сообщения.

— 1913. — Вып. 81. — С. 1 - 5.

2. Галёркин Б. Г. Стержни и пластины. Ряды в некоторых вопросах упругого равновесия стержней и пластинок / Б. Г. Галёркин // Вестник инженеров.

— 1915. — Т. 1. — С. 897 - 908.

3. Келдыш М. В. О методе Б. Г. Галеркина для решения краевых задач / М.В. Келдыш // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1942. — Т. 6, № 6. — С. 309 - 330.

4. Канторович Л. В. Приближенные методы высшего анализа / Л. В. Канторович, В. И. Крылов. — М.: Физматгиз, 1962. — 708 с.

5. Красносельский М.А. Приближенное решение операторных уравнений / М.А. Красносельский, Г. М. Вайникко, П. П. Забрейко, Я. Б. Рутицкий, В. Я. Стеценко. — М.: Наука, 1969. — 456 с.

6. Böttcher A. Analysis of Toeplitz Operators / A. Böttcher, B. Silbermann. — Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verl., 1990. — 512 p.

7. Prossdorf S. Numerical Analysis for Integral and Related Operator Equations / S. Prossdorf, В. Silbermann. — Berlin: Akad. Verlag, 1991. — 542 p.

8. Hagen R. C*-Algebras and Numerical Analysis / R. Hagen, S. Roch, B. Silbermann. — New York, Basel: Marcel Dekker, 2001. — 376 p.

9. Rabinovich V. S. Limit Operators and Their Applications in Operator Theory / V. S. Rabinovich, S. Roch, B. Silbermann. — Basel: Birkhauser, 2004. — 392 p.

10. Galantai A. Projectors and Projection Methods / A. Galantai. — Boston, Dordrecht, London: Kluwer Academic Publ., 2004. — 288 p.

11. Иванов В. В. Приближенное решение интегральных уравнений типа свертки методом Галеркина / В. В. Иванов, Е. А. Карагодова // Укр. матем. журн. — 1961. — Т. 13, № 1. — С. 28 - 38.

12. Baxter G. A norm inequality for a "finite-section" Wiener — Hopf equation / G. Baxter // Illinois J. Math. — 1963. — V. 7. — P. 97 - 103.

13. Гохберг И. Ц. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения / И.Ц. Гохберг, И. А. Фельдман. — М.: Наука, 1971. — 352 с.

14. Гольденштейн Л. С. Дискретный аналог многомерного интегрального уравнения Винера-Хопфа / Л. С. Гольденштейн // Матем. исследования. — 1967. — Т. 2, вып. 3. — С. 52 - 63.

15. Симоненко И. Б. Новый общий метод исследования линейных операторных уравнений типа сингулярных интегральных уравнений. I / И. Б. Симоненко // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1965. — Т. 29, вып. 3. — С. 567 -586.

16. Симоненко И. Б. Новый общий метод исследования линейных операторных уравнений типа сингулярных интегральных уравнений. II / И. Б. Симоненко // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1965. — Т. 29, вып. 4. — С. 757 -782.

17. Симоненко И. Б. Операторы типа свертки в конусах / И. Б. Симоненко // Матем. сборник. — 1967. — Т. 74, № 2. — С. 298 - 313.

18. Симоненко И. Б. Локальный метод в теории одномерных сингулярных интегральных уравнений с кусочно-непрерывными коэффициентами. Нёте-ровость / И. Б. Симоненко, Чинь Нгок Минь. — Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1986. — 60 с.

19. Симоненко И. Б. Локальный метод в теории инвариантных относительно сдвига операторов и их огибающих / И. Б. Симоненко. — Ростов-на-Дону: Изд-во ЦВВР, 2007. — 120 с.

20. Козак А. В. Локальный принцип в теории проекционных методов / А. В. Козак // Докл. АН СССР. — 1973. — Т. 212, № 6. — С. 1287 - 1289.

21. Козак А. В. Локальный принцип в теории проекционных методов / А. В. Козак // Интегральные и дифференциальные уравнения и их приложения: сб. науч. тр. — Элиста: Изд-во КалмГУ. — 1983. — С. 58 - 73.

22. Козак А. В. О проекционных методах решения двумерных сингулярных уравнений на торе / А. В. Козак, И. Б. Симоненко // Функц. анализ и его прил. — 1978. — Т. 12, вып. 1. — С. 74 - 75.

23. Козак А. В. Проекционные методы решения многомерных дискретных уравнений в свертках / А. В. Козак, И. Б. Симоненко // Сиб. матем. журн.

— 1980. —Т. 21, № 2. — С. 119 - 127.

24. Козак А. В. Обратимость операторов свертки в больших областях / А. В. Козак, И. Б. Симоненко // Матем. исследования. — 1980. — Т. 54.

— С. 56 - 66.

25. Докторский Р. Я. Об аппроксимации решений корректных задач в неограниченных областях для эллиптических псевдодифференциальных операторов / Р. Я. Докторский // Докл. АН СССР. — 1976. — Т. 229, № 6.

— С. 1303 - 1305.

26. Roch S. Non-commutative Gelfand Theories: A Tool-kit for Operator Theorists and Numerical Analysts / S. Roch, P. A. Santos, B. Silbermann. — London, Dordrecht, Heidelberg, New York: Springer Verlag, 2011. — 383 p.

27. Харди Г. Г. Неравенства / Г. Г. Харди, Дж. Е. Литтльвуд, Г. Полиа. — М.: ИЛ, 1948. — 456 с.

28. Михайлов Л. Г. Интегральные уравнения с ядром, однородным степени

— 1 / Л. Г. Михайлов. — Душанбе: Дониш, 1966. — 48 с.

29. Михайлов Л. Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами / Л. Г. Михайлов. — Труды АН ТаджССР, Т. 1, 1963. — 180 с.

30. Михайлов Л. Г. Новый класс особых интегральных уравнений / Л. Г. Михайлов // Math. Nachr. — 1977. — № 76. — С. 91 - 107.

31. Карапетянц Н.К. О необходимых условиях ограниченности оператора с неотрицательным квазиоднородным ядром / Н.К. Карапетянц // Матем. заметки. — 1981. — Т. 30, вып. 5. — С. 787 - 794.

32. Карапетянц Н. К. Полная непрерывность некоторых классов операторов типа свертки и с однородными ядрами / Н.К. Карапетянц // Изв. вузов. Матем. — 1981. — № 11. — С. 71 - 74.

33. Karapetiants N.K. Multidimensional integral operators with homogeneous kernels / N. K. Karapetiants, S.G. Samko // Fract. Calculus & Applied Analysis. — 1999. — Vol. 2, № 1. — P. 67 - 96.

34. Karapetiants N. Equations with Involutive Operators / N. Karapetiants, S. Samko. — Boston, Basel, Berlin: Birkhauser, 2001. — 427 p.

35. Авсянкин О. Г. Многомерные интегральные операторы с однородными степени (—n) ядрами / О. Г. Авсянкин, Н.К. Карапетянц // Докл. РАН. — 1999. — Т. 368, № 6. — С. 727 - 729.

36. Авсянкин О. Г. О псевдоспектрах многомерных интегральных операторов с однородными степени —n ядрами / О. Г. Авсянкин, Н. К. Карапетянц // Сиб. матем. журн. — 2003. — Т. 44, № 6. — С. 1199 - 1216.

37. Авсянкин О. Г. О вычислении индекса многомерных интегральных операторов с биоднородными ядрами / О. Г. Авсянкин, В. М. Деундяк // Докл. РАН. — 2003. — Т. 391, № 1. — С. 7 - 9.

38. Авсянкин О. Г. Проекционный метод в теории интегральных операторов с однородными ядрами / О. Г. Авсянкин, Н.К. Карапетянц // Матем. заметки. — 2004. — Т. 75, вып. 2. — С. 163 - 172.

39. Авсянкин О. Г. Об индексе многомерных интегральных операторов с биод-нородными ядрами и переменными коэффициентами / О. Г. Авсянкин, В. М. Деундяк // Изв. вузов. Матем. — 2005. — № 3. — С. 3 - 12.

40. Авсянкин О. Г. Проекционный метод для матричных многомерных парных интегральных операторов с однородными ядрами / О. Г. Авсянкин // Владикавк. матем. журн. — 2006. — Т. 8, № 1. — С. 3 - 10.

41. Авсянкин О. Г. Многомерные интегральные операторы с биоднородными ядрами: проекционный метод и псевдоспектры / О. Г. Авсянкин // Сиб. матем. журн. — 2006. — Т. 47, № 3. — С. 501 - 513.

42. Авсянкин О. Г. Об алгебре многомерных интегральных операторов с однородными $0(п)-инвариантными ядрами и радиально слабо осциллирующими коэффициентами / О. Г. Авсянкин, В.М. Деундяк // Матем. заметки. — 2007. — Т. 82, вып. 2. — С. 163 - 176.

43. Авсянкин О. Г. Многомерные интегральные операторы с однородными ядрами и коэффициентами, осциллирующими на бесконечности / О. Г. Ав-сянкин // Дифференц. уравнения. — 2015. — Т. 51, № 9. — С. 1174 - 1181.

44. Авсянкин О. Г. Проекционный метод для интегральных операторов с однородными ядрами, возмущенных односторонними мультипликативными сдвигами / О. Г. Авсянкин // Изв. вузов. Матем. — 2015. — № 2. — С. 10 - 17.

45. Авсянкин О. Г. О С*-алгебре интегральных операторов с однородными ядрами и осциллирующими коэффициентами / О. Г. Авсянкин // Матем. заметки. — 2016. — Т. 99, вып. 3. — С. 323 - 332.

46. Авсянкин О. Г. Об интегральных операторах типа Вольтерра с однород-

ными ядрами в весовых L^-пространствах / О. Г. Авсянкин // Изв. вузов. Матем. — 2017. — № 11. — С. 3 - 12.

47. Авсянкин О. Г. Об обратимости многомерных интегральных операторов с биоднородными ядрами / О. Г. Авсянкин // Матем. заметки. — 2020.

— Т. 108, вып. 2. — С. 291 - 295.

48. Авсянкин О. Г. Об интегральных операторах с однородными ядрами и тригонометрическими коэффициентами / О. Г. Авсянкин // Изв. вузов. Матем. — 2021. — № 4. — С. 3 - 10.

49. Avsyankin O. G. On integral operators with homogeneous kernels in Morrey spaces / O.G. Avsyankin // Eurasian Math. J. — 2021. — Vol. 12, № 1. — P. 92 - 96.

50. Деундяк В. М. Многомерные интегральные операторы с однородными ядрами компактного типа и мультипликативно слабо осциллирующими коэффициентами / В. М. Деундяк // Матем. заметки. — 2010. — Т. 87, вып. 5.

— С. 704 - 720.

51. Деундяк В. М. Топологические методы в теории разрешимости многомерных парных интегральных операторов с однородными ядрами компактного типа/В. М. Деундяк//Труды МИАН. —2012. — Т. 278. — С. 59 - 67.

52. Deundyak V. M. Convolution operators with weakly oscillating coefficients in Hilbert moduli on groups and applications / V. M. Deundyak // Journal of Mathematical Sciences. — 2015. — Vol. 208, iss. 1. — P. 100 - 108.

53. Деундяк В. М. Об ограниченности и фредгольмовости интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами компактного типа и переменными коэффициентами / В. М. Деундяк, Е. И. Мирошникова // Изв. вузов. Матем. — 2012. — № 7. — С. 3 - 17.

54. Деундяк В.М. Многомерные мультипликативные свертки и их приложения к теории операторов с однородными ядрами / В. М. Деундяк, Е. И. Ми-

рошникова // Труды научной школы И. Б. Симоненко. — Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ. — 2010. — С. 67 - 78.

55. Мирошникова Е. И. Ограниченность и обратимость интегральных операторов с однородными ядрами компактного типа в некоторых весовых Ьр-пространствах / Е. И. Мирошникова // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естественные науки. — 2012. — № 2. — С. 22 - 26.

56. Мирошникова Е. И. Разрешимость многомерных интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами компактного типа / Е. И. Мирош-никова // Дисс. канд. физ.-матем. наук. — Ростов-на-Дону, 2013. — 140 с.

57. Гиль А. В. Интегральный оператор с однородным ядром в пространстве функций с ограниченной средней осцилляцией / А. В. Гиль, Н. К. Карапе-тянц // Докл. РАН. — 2004. — Т. 397, № 1. — С. 1 - 4.

58. Голубов Б. И. Об ограниченности операторов Харди и Харди-Литлвуда в пространствах Ие Н1 и ВМО / Б. И. Голубов // Матем. сборник. — 1997. — Т. 188, № 7. — С. 93 - 106.

59. Умархаджиев С. М. Односторонние интегральные операторы с однородными ядрами в гранд-пространствах Лебега / С. М. Умархаджиев // Вла-дикавк. матем. журн. — 2017. — Т. 19, № 3. — С. 70 - 82.

60. Умархаджиев С. М. Интегральные операторы с однородными ядрами в гранд-пространствах Лебега / С.М. Умархаджиев // Матем. заметки. — 2017. — Т. 102, вып. 5. — С. 775 - 788.

61. Денисенко В. В. Обратимость интегральных операторов с однородными ядрами компактного типа на группе Гейзенберга / В. В. Денисенко, В.М. Деундяк // Математическая физика и компьютерное моделирование. — 2018. — Т. 21, вып. 3. — С. 5 - 18.

62. Денисенко В. В. Фредгольмовость интегральных операторов с однородными ядрами компактного типа в Ь2-пространстве на группе Гейзенберга /

B. В. Денисенко, В. М. Деундяк // Труды МИАН. — 2020. — Т. 308. —

C. 167 - 180.

63. Пламеневский Б. А. Алгебры псевдодифференциальных операторов / Б. А. Пламеневский. — М.: Наука, 1986. — 256 с.

64. Rabinovich V. C*-algebras of singular integral operators in domains with oscillating conical singularities / V. Rabinovich, B.-W. Schulze, N. Tarkhanov // Manuscripta math. — 2002. — Vol. 108, № 1. — P. 69 - 90.

65. Дудучава Р. В. Интегральные уравнения свертки с разрывными предсим-волами, сингулярные интегральные уравнения с неподвижными особенностями и их приложения к задачам механики / Р. В. Дудучава. — Тбилиси: Мецниереба, 1979. — 135 с.

66. Беркович В. Н. Нестационарная смешанная задача динамики неоднородно упругой клиновидной среды / В.Н. Беркович // Экологический вестник научных центров ЧЭС. — 2005. — №3. — С. 17-21.

67. Деундяк В. М. Об одной комбинаторной задаче из теории проекционных методов решения уравнений дискретной свертки / В.М. Деундяк,

A. В. Лукин // Математика и её приложения: ЖИМО. — 2011. — № 1. — С. 29 - 38.

68. Лукин А. В. Об одном приближённом методе решения многомерных интегральных уравнений с анизотропно однородными ядрами / А. В. Лукин // Международная конференция «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения — III». Тезисы докладов. — Ростов-на-Дону: Изд-во СКНЦ ВШ ЮФУ. — 2013. — С. 26.

69. Деундяк В. М. Приближённый метод решения операторных уравнений свёртки на группе Rn с компактными коэффициентами и приложения /

B.М. Деундяк, А. В. Лукин // Изв. вузов Сев.-Кав. регион. Естественные науки. — 2013. — № 6. — С. 5 - 8.

70. Деундяк В. М. Приближенный метод решения уравнений для многомерных операторов с анизотропно однородными ядрами компактного типа / В.М. Деундяк, А. В. Лукин // Математика и ее приложения: ЖИМО. — 2013. — № 1. — С. 3 - 12.

71. Лукин А. В. Проекционный метод решения уравнений свертки с операторными коэффициентами / А. В. Лукин // Международная конференция «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения — IV». Тезисы докладов. — Ростов-на-Дону: Изд-во СКНЦ ВШ ЮФУ. — 2014. — С. 36.

72. Лукин А. В. О применении локального метода Симоненко — Козака в теории проекционных методов решения уравнений свёртки с операторными коэффициентами / А. В. Лукин // Международная конференция «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения — V». Тезисы докладов. — Ростов-на-Дону: Издательский центр ДГТУ. — 2015. — С. 44 - 45.

73. Лукин А. В. О конструкции квазиэквивалентности в одной абстрактной версии локального метода / А. В. Лукин // XII международная научная конференция «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования». Тезисы докладов. — Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН. — 2015. — С. 80 - 81.

74. Лукин А. В. О свойствах квазиэквивалентности в абстрактной версии локального метода / А. В. Лукин // Труды научной школы И. Б. Симоненко. Выпуск второй. — Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ. — 2015. — С. 202 - 215.

75. Лукин А. В. Применение локального подхода Симоненко — Козака в теории проекционных методов решения уравнений свертки с операторными коэффициентами / А. В. Лукин // Владикавк. матем. журн. — 2016. — Т. 18, № 2. — С. 55 - 66.

76. Лукин А. В. Локальный принцип в теории проекционных методов решения уравнений свёртки на группах с операторными коэффициентами / А. В. Лукин // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. — М.: МИАН. — 2016. — С. 126.

77. Деундяк В. М. Проекционный метод решения уравнений для многомерных операторов с анизотропно однородными ядрами компактного типа / В.М. Деундяк, А. В. Лукин // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Ком-пьют. науки. — 2019. — Т. 29, вып. 2. — С. 153 - 165.

78. Куратовский К. Топология: в 2 т. / К. Куратовский. — М.: Мир, 1966.

— Т. 1. — 594 с.

79. Виро О. Я. Элементарная топология / О. Я. Виро, О. А. Иванов, Н. Ю. Нецветаев, В.М. Харламов. — М.: МЦНМО, 2012. — 358 с.

80. Энгелькинг Р. Общая топология / Р. Энгелькинг. — М.: Мир, 1986. — 752 с.

81. Пилиди В. С. Бисингулярные операторы и операторы близких к ним классов / В. С. Пилиди // Дисс. доктора физ.-матем. наук. — Ростов-на-Дону, 1990. — 296 с.

82. Архангельский А. В. Компактность / А. В. Архангельский // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления. — 1989. — Т. 50.

— С. 5 - 128.

83. Preston C. Some Notes on Standard Borel and Related Spaces / C. Preston // arXiv:0809.3066 — 2008. — 72 p.

84. Cohn D. L. Measure Theory / D. L. Cohn. — New York, Heidelberg, Dordrecht, London: Springer, 2013. — 457 p.

85. Богачев В. И. Основы теории меры: в 2 т. / В. И. Богачев. — Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2003. — Т. 1. — 544 с.

86. Люстерник Л. А. Краткий курс функционального анализа / Л. А. Люстер-ник, В. И. Соболев. — М.: Высшая школа, 1982. — 272 с.

87. Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу / А. Я. Хелемский.

— М.: МЦНМО, 2004. — 552 с.

88. Канторович Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канторович, Г. П. Аки-лов. — М.: Наука, 1984. — 752 с.

89. Phillips N. C. Crossed Products of L Operator Algebras and the K-Theory of Cuntz Algebras on LP spaces / N. C. Phillips // arXiv:1309.6406 — 2013.

— 54 p.

90. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. — М.: Наука, 1976. — 543 с.

91. Макаров Б.М. Лекции по вещественному анализу: учебник / Б.М. Макаров, А. Н. Подкорытов. — СПб.: БХВ-Петербург, 2011. — 688 с.

92. Зорич В. А. Математический анализ: Учебник: в 2 ч. / В. А. Зорич. — М.: Наука, 1984. — Ч. 2. — 640 с.

93. Владимиров В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров.

— М.: Наука, 1981. — 512 с.

94. Мёрфи Дж. С *-алгебры и теория операторов / Дж. Мёрфи. — М.: Факториал, 1997. — 336 с.

95. Куратовский К. Топология: в 2 т. / К. Куратовский. — М.: Мир, 1969.

— Т. 2. — 624 с.

96. Треногин В. А. Функциональный анализ / В. А. Треногин. — М.: Наука, 1980. — 496 с.

97. Grafakos L. Classical Fourier Analysis / L. Grafakos. — New York: Springer, 2008. — 492 p.