Проектирование, аэродинамический расчет и оптимизация проницаемых крыловых профилей в неограниченном потоке и вблизи экрана тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Марданов, Ренат Фаритович

• Марданов, Ренат Фаритович
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Марданов, Ренат Фаритович

Используемые аббревиатуры и обозначения.

Введение.

I. Оптимизация аэродинамических характеристик проницаемых контуров крыловых профилей

§1. Расчет крылового профиля с распределенным отсосом пограничного слоя.

§2. Улучшение аэродинамических характеристик крылового профиля путем введения распределенного отсоса пограничного слоя.

§3. Максимизация циркуляции скорости при обтекании гладкого контура с источниками и стоками.

II. Проектирование профиля крыла экраноплана с выдувом реактивной струи

§4. Обратная краевая задача аэрогидродинамики для профиля крыла экраноплана с выдувом реактивной струи.

§5. Расчеты, анализ, выводы.

§6. Пересчет на другие режимы обтекания и работы устройства выдува реактивной струи.

III. Приближенный метод проектирования многоэлементных крыловых профилей

§7. Приближенный подход к проектированию крылового профиля вблизи экрана.

§8. Приближенный подход к проектированию многоэлементных крыловых профилей.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Проектирование, аэродинамический расчет и оптимизация проницаемых крыловых профилей в неограниченном потоке и вблизи экрана»

Диссертация посвящена разработке точных и приближенных методов аэродинамического проектирования и оптимизации крыловых профилей в неограниченном потоке и вблизи экрана. В настоящее время, несмотря на бурное развитие вычислительной техники и программных средств, позволяющих делать расчет течения вязкого сжимаемого газа, для решения задач проектирования по прежнему широко используется модель идеальной несжимаемой жидкости (ИНЖ), дающая хорошее приближение описания течения маловязких жидкостей, к которым можно отнести воздух, воду и т.п. При установившемся движении ИНЖ потенциал скорости <р(х,у) и функция тока ф(х,у) удовлетворяют уравнениям Коши-Римана, то есть являются гармонически сопряженными, и можно ввести в рассмотрение в физической плоскости z = х + гу аналитическую функцию комплексного потенциала потока w(z) = (f(x,y) + iip(x, у) (см., например, [34]). В свое время это дало мощный толчок дальнейшим теоретическим исследованиям в гидромеханике, так как аппарат аналитических функций комплексного переменного к тому времени был уже хорошо развит.

При решении задач проектирования крыловых профилей можно выделить два подхода: прямой и обратный. Первый состоит в многократном решении прямой задачи обтекании заданного крылового профиля, то есть определении его аэродинамических характеристик и распределения давления или скорости по его поверхности и подборе таким образом формы контура крылового профиля, обладающего свойствами, близкими к требуемым. Второй подход состоит в решении обратной краевой задачи аэрогидродинамики (ОКЗА) по заданному заранее распределению скорости или давления как функции дуговой абсциссы s (см., например, монографию A.M. Елизарова, Н.Б. Ильинского, А.В. Поташева [17]) , декартовой координаты х (см., например, работы Р.Б. Салимова [45,46]) , параметра 7 в канонической области (см., например, работу M.J. Lighthill'a [71]) и т.п. Аэродинамические характеристики искомого профиля при этом в большинстве случаев можно определить еще до решения задачи. Поэтому методы, основанные на теории ОКЗА для аналитических функций, получили широкое распространение при решения задач построения крыловых профилей.

История развития ОКЗА насчитывает уже более 70 лет. Первые постановки и решения таких задач были даны в 30-40 годах прошлого столетия в работах F. Weinig'a [79,80], C.Schmiden'a [77], A.Betz'a [64], W. Mangler'a [75], Jl.А. Симонова [47,48], Г.Г. Тумаше-ва [53], M.J. Lighthill'a [71,72]. Как оказалось, в большинстве случаев эти задачи являются некорректными, что объясняется большим произволом в задании исходных данных. Для получения решения задачи в нужном классе (искомый контур должен быть замкнутым, простым, то есть однолистным, и скорость на бесконечности, определяемая в ходе решения задачи, должна совпадать с заданной) необходимо потребовать выполнения специальных условий, которые получили название условий разрешимости ОКЗА. Первые способы удовлетворения этих условий предложены в работе W. Mangler'a [75].

В последующих работах эти методы были обобщены на случай учета сжимаемости по модели газа Чаплыгина, из которых можно отметить работы Г.Г. Тумашева [54], L.C. Woods'a [81,82], Г.Ю. Степанова [49]. В конце 60-х годов появились результаты, связанные с учетом вязкости в ОКЗА по модели пограничного слоя (ПС) (см., например, работы

Г.Ю. Степанова [52] и J.L. Van Ingen'a [78]).

В последнее время большое количество работ посвящено расширению класса решаемых задач: проектированию профилей при наличии в потоке особенностей, вблизи твердой или свободной поверхности, многокомпонентных крыловых профилей, гидродинамических решеток, профилей с устройствами активного управления потоком. Последние задачи представляют особый интерес, так как введение таких устройств позволяет значительно улучшить аэродинамические характеристики крылового профиля: увеличить коэффициент подъемной силы, уменьшить профильное сопротивление, бороться с такими нежелательными эффектами как отрыв потока и переход ламинарного течения в ПС в турбулентное.

К числу устройств активного управления потоком относятся устройства отбора потока и выдува струи, а также отсоса и выдува жидкости в ПС. В дальнейшем будем в зависимости от расхода отсасываемой жидкости выделять задачи с отбором внешнего потока, когда расход жидкости велик и отсос влияет на структуру потока в целом, и задачи с малым расходом отсасываемой жидкости, когда жидкость отсасывается только из ПС. Благодаря возможности практической реализации таких устройств и наличию простых моделей для их моделирования при теоретических исследованиях проектированию профилей с устройствами отбора (отсоса) и выдува посвящено большое количество научных работ.

Одним из простейших способов математического моделирования таких устройств являются точечные особенности, расположенные на поверхности крылового профиля. Детальное изучение вопроса об обтекании профиля Жуковского при наличии на нем источников и стоков проведено в работе А.И. Некрасова [43]. Б.С. Баевым и B.H. Журавлевым [14] также рассмотрена задача обтекания профиля при наличии на его поверхности источников и стоков. Авторы делают вывод о перспективности (с точки зрения увеличения подъемной силы) использования устройства отбора на верхней поверхности.

Обратная задача обтекания профиля с особенностями по заданному на его поверхности распределению скорости при условии нулевого суммарного расхода исследовалась в работе М.А. Копырина [30] при условии Г = 0, Г - циркуляция скорости вдоль контура профиля, и в работе Г.Г. Тумашева и М.Т. Нужина [55] в случае ненулевой циркуляции. В работе A.M. Елизарова, Н.Б. Ильинского, А.В. Поташева [18] дано решение ОКЗА с отбором через единичный сток, расположенный на верхней поверхности контура профиля. Е.Ю. Аристовой и А.В. Поташевым [13] рассмотрен случай, когда сток располагается не на самой поверхности, а в конце узкого канала, слабо наклоненного к контуру профиля.

Более приближенным к реальности, с точки зрения моделирования устройства отбора или выдува, является отбор или выдув через каналы конечной ширины. Приближенный метод решения обратной краевой задачи для профиля с выдувом струи при одинаковых плотностях и полных давлениях струи и внешнего потока рассмотрен в статье Н.Б. Ильинского и А.В. Поташева [27]. Другим способом моделирования канала конечной ширины является отбор или выдув потока через эквипотенциаль, как это сделано в работе Д.Ф. Абзалилова, JI.A. Аксентьева и Н.Б. Ильинского [2].

Отбор и выдув жидкости через прямолинейные и круговые каналы с постоянными скоростями на стенках, уходящих на другие листы ри-мановой поверхности, рассмотрен в монографии В.М. Шурыгина [63] и в работе Г.Ю. Степанова [50]. ОКЗА для крылового профиля с отбором жидкости через круговой канал решена в работах Д.Ф. Абзалилова, Н.Б. Ильинского, Г.Ю. Степанова [8-10]. Здесь распределение скорости выбиралось без участков падения, что гарантирует отсутствие отрыва потока. Решение задачи проектирования симметричного крылового профиля с круговыми каналами отбора и выдувом в задней кромке приведено в статье Г.Ю. Степанова [51].

Гораздо более сильное влияние на обтекание профиля оказывает выдув реактивной струи, когда полное давление и плотность струи отлична от полного давления и плотности внешнего потока. При обдуве поверхности профиля реактивной струей проявляется ряд эффектов: эффект Коанда, эффект "суперциркуляции", эффект "жидкого закрылка". Это позволяет увеличить в несколько раз диапазон безотрывного обтекания крылового профиля, значительно повысить коэффициент подъемной силы, рассматривать схемы обтекания, в которых точка разветвления потока уходит в поток. Подтверждением этому может служить экспериментальная работа Ю.Г. Жулева и С.И. Иншакова [23]. При решении соответствующей обратной задачи происходит существенное усложнение метода решения. Задача о построении профиля с выдувом и образованием реактивного закрылка в линейном приближении решена JI.M. Котляром [31]. Решение задачи проектирования крылового профиля с устройством выдува реактивной струи изложено в работе Д.Ф. Абзалилова, Н.Б. Ильинского [6].

Многочисленные исследования и эксперименты показали большую эффективность управления ПС на крыловых профилях, в частности отсоса жидкости из ПС [59,70]. Благодаря отсасыванию уменьшается толщина ПС и, как следствие этого, значительно уменьшается сопротивление давления. Отсасывание является эффективным способом предотвращения отрыва ПС. Если отсасывание производится вблизи задней кромки, то поток продолжает прилегать к поверхности крыла при значительно больших углах атаки, чем в обычных условиях, вследствие чего максимальная подъемная сила значительно повышается. Наконец, отсасывание стабилизирует ламинарный ПС (ЛПС) и предотвращает или затягивает переход ЛПС в турбулентный ПС (ТПС). Опытным путем было показано, что уменьшение сопротивления получается значительным даже в том случае, если в измеренные коэффициенты сопротивления включить энергию, затраченную на отсасывание [76].

При моделировании устройства отсоса для предотвращения отрыва ПС, перехода ЛПС в ТПС и минимизации профильного сопротивления перед конструктором встает ряд проблем. Необходимо выбрать расположение проницаемого участка на поверхности крылового профиля и подобрать распределение скорости отсасывания ПС так, чтобы устройство отсоса работало эффективно при наименьших энергетических затратах.

В настоящее время в этой области ведутся большие исследования. В работе R. Eppler'a [67] рассмотрена задача моделирования устройства распределенного отсоса ПС. Скорость отсасывания ПС выбрана так, чтобы на профиле отсутствовал отрыв и переход ПС. Кроме этого, рассмотрено течение непосредственно в капиллярах проницаемой поверхности крыла. Приведены уточнения критериев отрыва и перехода ПС и формулы для учета потерь в устройстве отсоса ПС. В монографии Т. Lutz'a [73] также рассмотрены проблемы влияния распределенного отсоса ПС на характер течения и аэродинамические характеристики профиля: описан уточненный метод Р. Эпплера расчета ПС, выполнены сравнительные расчеты; приведены результаты решения задач оптимизации устройств распределенного отсоса ПС. В работах Д.Ф. Абзалилова и Н.Б. Ильинского [3,4] решены обратные задачи для профилей с малым щелевым отсасыванием и с распределенным отсосом ПС. Решение задачи о ЛПС на непроницаемой и проницаемой подвижной поверхности изложено в работах В.Г. Шахова [60,61].

Другим важным классом являются задачи проектирования профилей вблизи экрана и многоэлементных крыловых профилей. Основная сложность здесь заключается в многосвязности области течения.

При проектировании профиля крыла экраноплана в работе М.И. Галя-утдинова, Д.В. Маклакова [21] решение задачи опирается на классический (в двухсвязной области) аппарат эллиптических функций. Для выполнения нелинейного в этом случае условия замкнутости искомого крылового профиля рассматривается модифицированная управляющая функция. Избавиться от двухсвязности можно также посредством введения фиктивного плоскопараллельного потока ИНЖ под экраном, как это сделано в статье А.Н. Ильинского, Н.Б. Ильинского, Д.В. Маклакова и А.В. Поташева [25]. В этом случае экран будет линией разрыва скорости, и комплексный потенциал течения становится кусочно аналитической функцией. Для решения задачи организован итерационный процесс, в котором отыскивается функция разрыва скорости на экране и образ экрана в канонической плоскости. Решение прямой задачи для крылового профиля экраноплана с устройством выдува реактивной струи дано в работе М.И. Галяутдинова, Д.В. Маклакова [20], в которой сделан вывод о том, что при выдуве реактивной струи на поверхность профиля экранный эффект начинает проявляться на отстояниях от экрана, в несколько раз превышающих отстояния в случае непроницаемого профиля, что несомненно увеличивает безопасность полетов экранопланов. Исследование ПС, возникающего на экране в следствие движения вблизи него крылового профиля, и оценка влияния этого ПС на сопротив ление профиля крыла экраноплана проведены в работе Д.В. Маклакова, Н.Б. Ильинского, В.Г. Шахова [74]. В работах С.И. Филиппова [56,57] решены близкие по тематике задачи обтекания подводного крыла. Здесь учтена весомость жидкости и поверхностное натяжение на свободной поверхности.

При проектировании крылового профиля с бесконечно тонким и телесным закрылком задача решена А.В. Поташевым [44] путем введения в поток особенностей, распределенных вдоль некоторой линии. В случае проектирования двухэлементного крылового профиля решение задачи с использованием аппарата эллиптических функций содержится в работах [41,55,69]. В качестве исходных данных используются распределения скорости, заданные как функции дуговых абсцисс каждого элемента. Схема решения задачи при проектировании трехэлементного крылового профиля изложена в монографии Г.Г. Тумашева и М.Т. Ну-жина [55]. Здесь в качестве канонической области выбрана внешность трех дужек, расположенных на окружности единичного радиуса. Задачу удается решить благодаря использованию комплексного потенциала течения в такой области, построенного С.А. Чаплыгиным [58] в аналитической форме. A.M. Казбан [29] (см. также Г.Г. Тумашев, М.Т. Ну-жин [55, стр. 212-215]) предложил метод решения основной ОКЗА для многоэлементного крылового профиля, основанный на отображении заданной области в плоскости комплексного потенциала на верхнюю полуплоскость и представлении искомой функции в виде интеграла Коши с неизвестной плотностью. Этот метод им обобщен на случай гидродинамической решетки.

Особый интерес ученых вызывают задачи проектирования крыловых профилей, обладающих оптимальными аэродинамическими характеристиками. Для этого решают вариационные ОКЗА, в которых одно из граничных условий заменяется оптимизационным. Постановки таких задач восходят по-существу к работе М.А. Лаврентьева [32], который показал, что среди дуг известной длины и заданного максимума кривизны дужка окружности является наилучшей в смысле величины подъемной силы при ее безотрывном обтекании плоскопараллельным потоком ИНЖ с заданной на бесконечности скоростью. Улучшение константы (ограничения на кривизну) в этой задаче дано в работе С.Р. Насырова [42].

В статье В.И. Зубова [24] сказано, что из вариационных формул Лаврентьева для конформных отображений (см., например, [33]) следует, что максимальной подъемной силой среди замкнутых контуров заданного периметра обладает окружность при режиме обтекания с совпадающими точками разветвления и схода потока. Полное исследование этой задачи приведено в работе A.M. Елизарова [16]. В статье Д.Ф. Абзалилова и Н.Б. Ильинского [5] показано, что решением задачи нахождения формы гладкого замкнутого контура фиксированной длины, обладающего максимальной циркуляцией, со стоком заданной интенсивности, также будет окружность с совпадающими точками разветвления и схода потока. Отмечено, что наличие стока позволяет увеличить максимальную циркуляцию до значений, не достижимых на непроницаемом контуре. В работе Н.Б. Ильинского и Н.Д. Якимова [28] решена задача о максимизации подъемной силы дужки со стоком, оптимальной также получилась дужка окружности.

A.M. Елизаров и Е.В. Федоров [19] рассмотрели задачи численной оптимизации путем решения задачи нелинейного программирования с ограничениями в виде равенств и неравенств. Для получения безотрывности обтекания авторы проводили расчет ПС по методу Кочина-Лойцянского. В работе Д.Ф. Абзалилова [1] приведено решение задачи оптимизации распределенного отсоса ПС на диффузорном участке, основанного на теории оптимального управления Понтрягина.

Целью настоящей диссертации является развитие точных и приближенных численно-аналитических методов проектирования непроницаемых профилей, профилей с отсосом ПС, отбором и выдувом потока как в неограниченном потоке, так и вблизи экрана; поиск оптимальных параметров устройств отсоса ПС и отбора внешнего потока; составление на основе разработанных методов вычислительных алгоритмов и их программная реализация; анализ влияния устройств управления потоком на форму, геометрические и аэродинамические характеристики крыловых профилей.

Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих восемь параграфов, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Марданов, Ренат Фаритович

В диссертации развиты точные и приближенные численно аналитические методы проектирования и оптимизации одиночных и мно гоэлементных крыловых профилей в неограниченном потоке и над экра ном.Исследована задача оптимизации распределенного отсоса ПС через проницаемый участок с целью уменьшения профильного сопротивления в диапазоне для заданных крайних углов атаки. На числовых примерах показано, что при наличии отрыва его удается ликвидировать во всем диапазоне.Решена задача максимизации циркуляции скорости при обтекании гладкого контура с источниками и стоками. Показано, что оптималь ным контуром является окружность; выписаны соотношения, определя ющие оптимальное положение особенностей на окружности. Максималь ное значение циркуляции скорости в три раза превосходит циркуляцию по сравнению с непроницаемым контуром.Разработан метод проектирования профиля крыла экраноплана с устройством выдува реактивной струи. Показано, что выдув реактив ной струи на поверхность крылового профиля вблизи экрана значительно увеличивает коэффициент подъемной силы. Экранный эффект для таких профилей начинает проявляться на отстояниях, соизмеримых с хордой профиля.Разработан приближенный метод проектирования крыловых профилей экранопланов и в общем случае проектирования многоэлементных кры ловых профилей. Проведенное сравнение результатов расчетов с извест ными точными решениями показало хорошую точность разработанного метода.Все решенные задачи снабжены примерами расчетов, результаты про иллюстрированы в виде графиков, рисунков и таблиц.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Марданов, Ренат Фаритович, 2003 год

1. Абзалилов Д. Ф.Оптимизация распределенного отсоса турбулентного пограничного слоя / / Авторефераты докладов участников. - М.: ОАО "ОКБ Сухого", - 2002. - 6-13.

2. Абзалилов Д. Ф., Аксентьев Л.А., Ильинский И. Б. Обратная краевая задача для профиля со щелевым отсосом / / Прикладная математика и механика. - 1997. - № 1. - 80-87.

3. Абзалилов Д.Ф., Ильинский Н.Б. Построение крыловых профилей с малым щелевым отсасыванием пограничного слоя / / Известия ВУЗов. Авиационная техника. - 1996. - № 2. - 50-56.

4. Абзалилов Д.Ф., Ильинский Н.Б. Построение крыловых профилей с распределенным отсосом пограничного слоя / / Известия ВУЗов. Авиационная техника. - 1998. - № 3. - 33-38.

5. Абзалилов Д. Ф., Ильинский Н. Б. Об одной экстремальной задаче обтекания потоком идеальной несжимаемой жидкости гладкого контура со стоком / / Доклады Академии наук России. - 1997. - Т. 354. - № 1. - 43-46.

6. Абзалилов Д.Ф., Ильинский Н.Б. Построение крыловых профилей с выдувом реактивной струи / / Известия РАН. Механика жидкости и газа. - 1999. - № 3. - 134-143.

7. Абзалилов Д. Ф., Ильинский Н. Б., Марданов Р. Ф. Задача максимизации циркуляции скорости при обтекании гладкого контура с источниками и стоками / / Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2000. - Т. 40, - № 1. - 82-90. р>

8. Абзалилов Д. Ф., Ильинский И. Б., Степанов. Г.Ю. Построение крылового профиля с отбором внешнего потока / / Известия РАН. Механика жидкости и газа. - 1996. - № 6. - 23-28.

9. Абзалилов Д. Ф., Ильинский И. Б., Степанов. Г.Ю. Построение безотрывно обтекаемого крылового профиля с отбором внешнего потока в некотором диапазоне углов атаки / / Известия РАН. Механика жидкости и газа. - 2000. - № 4.

10. Абзалилов Д. Ф., Ильинский Н. Б. Построение и оптимизация высоконесущих крыловых профилей с отбором внешнего потока / / Ученые записки ЦАГИ. - 1998. - Т. XXIX. - № 3-4.

11. Абзалилов Д.Ф., Марданов Р.Ф. О максимизации подъемной силы гладкого контура с источником и стоком / / Материалы Всероссийской молодежной научной школы-конференции по математическому моделированию, геометрии и алгебре. Казань: - 1997. - 9-15.

12. Аристова Е.Ю., Поташев А.В. Построение крыловых профилей с тангенциальным отсосом или вдувом / / Известия ВУЗов. Авиационная техника. - 1991. - № 4. - 8-11.

13. Баев Б.С, Журавлев В.Н. Обтекание крылового профиля при наличии на поверхнсти системы источников и стоков / / Труды 1 Республиканской конференции по аэрогидомеханике, теплообмену и массообмену. - Киев: Изд-во Киеве. ГУ, - 1969. ПО

14. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. - М.: Мир, - 1982. - 583 с.

15. Елизаров А. М. Некоторые экстремальные задачи теории крыла / / Известия ВУЗов. Математика. - 1988. - № 10. - 71-74.

16. Елизаров А. М., Ильинский Н. Б., Поташев А. В. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики. - М.: Наука, - 1994. - 440 с.

17. Елизаров A.M., Ильинский Н.Б., Поташев А.В. Обратная краевая задача для ламинарного профиля с отсосом / / Труды семинара по краевым задачам. - Казань: Казан, ун-т, - 1987. - Вып.23. - 61-69.

18. Елизаров A.M., Федоров Е.В. Решение вариационных обратных краевых задач аэродинамики методами численной оптимизации / / Прикладная механика и техническая физика. - 1993. - №2. - 73-80.

19. Галяутдинов М.И., Маклаков Д.В. Движение крылового профиля с выдувом реактивной струи вблизи плоского экрана / / Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. - Казань: Изд-во Унипресс, - 2000. - Т.7. - 71-80.

20. Галяутдинов М.И., Маклаков Д.В. Проектирование крыловых профилей, обтекаемых вблизи твердого экрана / / Известия ВУЗов. Авиационная техника. - 1994. - № 3. - 3-7.

21. Гуревич М. И. Теория струй идеальной жидкости. - М.: Наука, - 1979. - 536 с.

22. Ильинский Н.Б., Якимов Н.Д. О подъемной силе аэродинамического профиля типа дужки со стоком / / Прикладная механика и техническая физика. - 2001. - Т. 42. - № 4.

23. Казбан A.M. Построение многорядной решетки профилей по заданному на них распределению / / Труды семинара по краевым задачам. Казанск. ун-т, - 1964, - № 1, - 65-71.

24. Копырин МЛ. Решение обратной задачи аэродинамики при наличии на контуре источников и стоков / / Труды КАИ. - 1949. - Вып. 24.

25. Котляр Л.М. Построение тонкого профиля с реактивным закрылком по заданному распределению скорости / / Труды семинара по обратным краевым задачам. - Казань: Казан, ун-т, - 1964. - Вып. 1. - 53-59.

26. Лаврентьев М. Л. Об одной экстремальной задаче в теории крыла аэроплана / / Труды ЦАГИ. - 1934. - № 155, - 41 с.

27. Лаврентьев М. Л., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, - 1987. - 688 с.

28. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. - М.: Наука, - 1987. - 840 с.

29. Маклаков Д.В. Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами. - М.: Янус-К, - 1997. - 280 с.

30. Марданов Р.Ф. О одном подходе к проектированию профиля крыла вблизи экрана / / Известия ВУЗов. Авиационная техника. - 2003, - № 2 .

31. Марданов Р.Ф. Приближенный метод проектирования многоэлементных крыловых профилей / / Модели и методы аэродинамики. Материалы Третьей Международной школы-семинара. - М.: МЦНМО, - 2003. - 71-72.

32. Марданов Р.Ф. Об одном подходе к проектированию многоэлементного крылового профиля / / Аэромеханика и газовая динамика. -2003. - № 2.

33. Насыров P.M. Определение формы биплана по заданному распределению скорости по поверхности профилей, его составляющих / / Ученые записки казанского ун-та. - 1953. - Т. 113, - Кн. 10, - 31-41.

34. Насыров СР. К экстремальной задаче М.А. Лаврентьева о подъемной силе при обтекании дужки малой кривизны / / Доклады академии наук. - 1999. - Т. 365. - № 5. - 625-627.

35. Некрасов А.И. Обтекание профиля Жуковского при наличии на профиле источника и стока / / Прикладная математика и механика. - 1947. - Т.П. - № 1. - 41-54.

36. Поташев А.В. Построение крылового профиля с закрылком конечных размеров / / Известия РАН. Механика жидкости и газа. - 1995. - № 1. - 173-180.

37. Салимое Р.Б. Определение формы профиля по заданной хордовой диаграмме, близкой к диаграмме известного профиля / / Ученые записки Казанского университета. - 1957. - № 9. - 55-59.

38. Салимое Р.Б. Некоторые основные задачи об изменении контуров теории аналитических функций и их приложения в механике жидкости. - Казань: - 1970. - 364 с.

39. Симонов Л.А. Построение профилей по годографу скоростей / / Прикладная математика и механика. - 1940. - Т. 4. - № 4. - 97-116.

40. Симонов Л.А. Расчет обтекания крыловых профилей и построение профиля по распределению скоростей на его поверхности / / Прикладная математика и механика. - 1947. - Т.П. - № 1. - 69-84.

41. Степанов Г.Ю. Построение решетки с распределением скорости, заданным на окружности решетки кругов / / Прикладная математика и механика. - 1953. - № 6. - 727-734.

42. Степанов Г.Ю. Построение плоских каналов и решеток турбома- шин с безотрывным течением / / Известия РАН. Механика жидкости и газа. - 1993. - № 4. - 30-42.

43. Степанов Г.Ю. Построение безотрывно обтекаемых тел в комплексе с движителем / / Проблемы современной механики. - М.: Изд-во Московского ун-та, - 1998. - 109-117.

44. Степанов Г.Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. -М.: Физ- матгиз, - 1962. - 512 с.

45. Тумашев Г.Г. Нахождение формы профиля по заданному распределению скорости с учетом сжимаемости жидкости / / Известия Казанского физико-математического общества. - 1945. - Т. 13. -Сер. 2. - 127-132.

46. Тумашев Г.Г. Построение профилей по заданному распределению скорости / / Труды Казанского авиационного института. - 1946. -Вып. 17. - 19-22

47. Тумашев Г.Г., Нужин М.Т. Обратные краевые задачи и их приложения. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, - 1965. - 333 с.

48. Филиппов СИ. Капиллярно-гравитационные волны при циркуляционном обтекании подводного контура / / Известия РАЕН. Математика. Математическое моделирование. Информатика и управление. - 2001, - № 3.

49. Филиппов СИ. Обтекание подводного профиля двухслойным потоком весомой жидкости / / Известия ВУЗов. Авиационная техника. - 2000, - № 3. - 27-30.

50. Чаплыгин СА. К теории триплана / / Труды ЦАГИ. - М.: - 1936, - Вып. 296. - 24 с.

51. Чжен П. Управление отрывом потока. - М.: Мир, - 1979. - 552 с.

52. Шахов В.Г. Приближенное решение о ламинарном пограничном слое при обтекании подвижной плоской пластины / / Известия ВУЗов. Авиационная техника. - 2002. - №4. - 44-46

53. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. - М.: Наука, - 1974. - 712 с.

54. Шурыгин В.М. Аэродинамика тел со струями. - М.: Машиностроение, - 1977. - 200 с. »

55. Betz A. Anderung der Profilform zur Erzielung einer vorgegebenen Anderrung der Druckverteilung / / Z. Luftfahrtforschung. - 1934. -Bd. 11, - № 6, - S. 158-164.

56. Eppler R. Airfoil Design and Data. - Berlin: Springer-Verlag, - 1990, - 512 p.

57. Eppler R. An empirical criterion for laminar-to-turbulent boundary- layer transition. Paper at the 25. OSTIV Congres St. Auban, France, July, 1997; Technical Soaring 23. - 1999. - P. 34-42.

58. Eppler R. Airfoils with boundary layer suction, design and off- design cases / / Aerospace Science and Technology, 1999. - V. 3, - P. 403-415.

59. Holland J.H. Adaptation in Natural and Artificial Systems. Ann Arbor: Univ. of Michigan Press. - 1975. - 183 p.

60. James R.M. The theory and design of two-airfoil lifting systems / / Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1977. - № 10. - P. 13-43.

61. Lachmann G.V. Laminarization Through Boundary Layer Control / / Aeronautical Engineering Review., - 1954. - V.13. - № 8. - P. 37-51.

62. Lighthill M.J. A new method of two-dimensional aerodynamic design / / Aeronautical Research Council, London. R&M 2112, - 1945. - 5 3 p.

63. Lighthill M.J. A mathematical method of cascade design / / Aeronautical Research Council, London. R&M 2104, - 1945. - 18 p.

64. Lutz T. Berechung und Optimierung subsonisch umstromter Profile und Rotationskorper. Dusseldorf: VDI Verlag, - 2000, - 194 p.

65. Maklakov D.V., Il'inskiy N.B., Shahov V.G. On the profile drag induced by the boundary layer on the ground / / International Summer Scientific School. High Speed Hydrodinamics. Post-meeting Volume, Cheboksary. - 2002. - P. 21-28.

66. Mangier W. Die Berechnuhg eines Tragflugelprofiles mit vorgesch- riebener Druckverteilung / / Jahrb. Deutsch. Luftfahrtforschung. - 1938. - Bd. 1. - S. 46-53.

67. Pfenninger W. Experiments on a Laminar Suction Airfoil of 17 Per Cent Thickness / / Journal of the Aeronautical Sciences, - 1949. - V. 16. - № 4, - P. 227-236.

68. Schmiden C. Die Berechnung kavitationssicherer Tragflugelprofile / / Z. Angew. Math, und Mech. - 1932. - Bd. 12. - № 5. - S. 288-310.

69. Van Ingen J.L. On the design of airfoil section utilizing computer graphics / / Ingenieur (Nederl.) - 1969. - V. 81. - № 43. - P. L110-L118.

70. Weinig F. Widerstands und Tragflugelprofile mit vorgeschriebener Geschwindgkeitsverteilung an der Oberflache / / Z. angew Math, und Mech. - 1929. - Bd. 9. - № 6. - S. 507-509.

71. Weinig F. Die stromung un die Schaufeln von Turbomachinen. Leipzig, - 1935. - 141 s.

72. Woods L.C. Airfoil design in two-dimentional subsonic compressible flow / / Aeronaut. Red. Counc. Repts and Mem. - 1952. - № 2845. - 54 p.

73. Woods L.C. The design of two-dimentional firfoil with mixed boundary conditions / / Quart. Appl. Math. - 1955. - V. 13. - № 2. - P. 139-146