Численно-аналитическое решение задачи построения профиля крыла с элероном в безотрывном и отрывном потоках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Плотникова, Людмила Геннадьевна

• Плотникова, Людмила Геннадьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Плотникова, Людмила Геннадьевна

Используемые аббревиатуры и обозначения.

Введение.

I. Безотрывное обтекание

§1. Задача безотрывного обтекания пластинки с отклоненным щитком.

§2. Обратная краевая задача для профиля крыла с элероном, обтекаемого без отрыва потока.

§3. Нахождение наибольшего значения Су для пластинки со щитком и для профиля крыла с элероном.

§4. Расчеты, анализ, выводы.

И. Отрывное обтекание

§5. Отрывное обтекание пластинки с отклоненным щитком. Способ сведения к смешанной краевой задаче.

§6. Отрывное обтекание пластинки с отклоненным щитком. Способ решения с использованием области годографа скорости.

§7. Результаты числовых расчетов.

§8. Проектирование профиля крыла с элероном, обтекаемого с отрывом потока.

§9. Проектирование профиля крыла с интерцептором, обтекаемого с отрывом потока.

§10. Расчеты, анализ, выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численно-аналитическое решение задачи построения профиля крыла с элероном в безотрывном и отрывном потоках»

Диссертация посвящена разработке численно-аналитических методов аэродинамического проектирования профилей крыла с отклоненным элероном в безотрывном и отрывном потоках идеальной несжимаемой жидкости. При решении задач используются методы теории обратных краевых задач для аналитических функций.

В настоящее время, несмотря на бурное развитие вычислительной техники и программных средств, позволяющих делать расчет течения вязкого сжимаемого газа, для решения задач проектирования по прежнему широко используется модель идеальной несжимаемой жидкости (ИНЖ), дающая хорошее приближение описания течения маловязких жидкостей, к которым можно отнести воздух и воду. При установившемся движении ИНЖ потенциал скорости (р(х,у) и функция тока ф(х,у) удовлетворяют уравнениям Коши-Римана, то есть являются гармонически сопряженными, поэтому можно ввести в рассмотрение в физической плоскости z = х + гу аналитическую функцию комплексного потенциала потока w(z) — ip(x,y) + 1ф{х,у) (см., например, [15]). В свое время это дало мощный толчок теоретическим исследованиям в гидромеханике, так как аппарат аналитических функций комплексного переменного к тому времени был уже хорошо развит.

Разрабатываемые методы аэродинамического проектирования крыловых профилей можно разделить на две группы: прямые и обратные. Прямые методы позволяют при заданной форме профиля определить его аэродинамические характеристики для различных режимов обтекания. Однако для требуемых аэродинамических характеристик проектировщик вынужден во время проектирования корректировать и подбирать форму профиля, многократно решая задачу. Обратные методы используют для нахождения формы профиля по желаемым аэродинамическим характеристикам. Их эффективность определяется тем, что исследователь, выбрав исходное распределение скорости или давления на профиле с учетом заданных характеристик и требований гидродинамической целесообразности, получает возможность найти профиль с заранее заданными свойствами, так как они в основном определяются указанным распределением.

Теоретическую основу обратных методов аэродинамического проектирования профилей составляют обратные краевые задачи аэрогидродинамики (ОКЗА) (см., напр., [40], [52], [7], [29], [32], [33], [49]), являющиеся частью общей теории обратных краевых задач (ОКЗ). Неизвестная форма крылового профиля отыскивается по заданному на его контуре распределению скорости или давления как функции дуговой абсциссы я, декартовой координаты х или параметра 7 в канонической области и т.п. Аэродинамические характеристики искомого профиля при этом в большинстве случаев можно определить еще до решения задачи. Поэтому методы, основанные на теории ОКЗА для аналитических функций, получили широкое распространение при решения задач построения крыловых профилей.

История развития ОКЗА насчитывает более 70 лет. К настоящему времени общее число публикаций по ОКЗА измеряется многими сотнями. Первые постановки и решения таких задач для модели идеальной несжимаемой жидкости были даны в 30-40 годах прошлого столетия в работах Р. \¥еипё'а [56, 57], С. БсЬпиаеп'а [53], А. Betz'a [46], Мап^ег'а [52], Л.А. Симонова [32, 33], Г.Г. Тумашева [38], М.Л. 1^ЫЫ11'а [49, 50]. Первые результаты показали, что в большинстве случаев эти задачи являются некорректными, то есть произвольным исходным данным соответствует, как правило, физически нереализуемое решение задачи. В итоге контур получаемого профиля может оказаться незамкнутым и самопересекающимся, а заданная скорость набегающего потока может не совпадать с величиной скорости, определяемой в ходе решения задачи. Это объясняется тем, что исходные данные в ОКЗА в значительной степени произвольны и поэтому решение для них существует лишь при выполнении условий физической реализуемости решения, так называемых условий разрешимости: искомый контур должен быть замкнутым, простым, то есть однолистным, и скорость на бесконечности, определяемая в ходе решения задачи, должна совпадать с заданной. Перечисленные условия содержатся в работах A.Betz'a [46] и подробно выведены в статьях W. Mangler'a [52], M.J. Lighthill'a [50], [51] и Г.Г. Тумашева [39].

Один из способов удовлетворения условий разрешимости заключается в использовании в качестве исходных данных многопараметрических семейств распределений скорости. Так поступали, например, J.L. Van Ingen [55], M.J. Lighthill [51], Г.Ю. Степанов [35].

Другой способ состоит в целенаправленной модификации исходного распределения скорости. W. Mangier [52] в случае невыполнения условий разрешимости подбирал значения трех первых коэффициентов ряда Фурье функции S(7) = 1пг>(7),7 <Е [0, 27т], модифицировав тем самым исходное распределение скорости. Аналогичный подход использовал В. Arlinger [45], допускавший изменение исходного распределения не на всем контуре, а на части его нижней поверхности. Однако в обоих работах остался открытым вопрос о минимальности изменений, вносимых в исходные данные.

Ответ дает метод квазирешений, суть которого заключается в минимальном "подправлении" исходного распределения скорости с тем, чтобы удовлетворить условиям разрешимости. A.M. Елизаровым в [5] введено определение и доказана корректность квазирешения ОКЗ, в [6] совместно с Н.Б. Ильинским метод квазирешения применен при решении основной ОКЗА, а в монографии A.M. Елизарова, Н.Б. Ильинского, A.B. Поташева [7] этот метод обобщен на случай учета вязкости и сжимаемости.

Следующая группа работ (40-60 годы) включала исследования по учету сжимаемости по модели газа Чаплыгина, из которых можно отметить работы Г.Г. Тумашева [37], L.C. Woods'a [58, 59], Г.Ю. Степанова [34]. Позже появились результаты, связанные с учетом вязкости в ОКЗА по модели пограничного слоя (ПС) (см., например, работы Г.Ю. Степанова [35], JI.JI. Лебедева [14] и J.L. Van Ingen'a [55]). Наиболее полный учет вязкости и сжимаемости дает применение уравнений Навье-Стокса (см., напр., [47]). Построение профиля с желаемым распределением давления осуществлено в указанной работе путем коррекции геометрии некоторого исходного профиля, взятого за начальное приближение.

В ряде случаев существенное значение приобретает учет влияния вязкости набегающего потока, позволяющий точнее определить аэродинамические характеристики профиля. Модели ИНЖ недостаточно для учета подобного влияния. Значительно упростить процесс проектирования крыловых профилей можно, учтя, что обычно обтекание крыльев происходит при больших (порядка 105 — 106) числах Рейнольдса. При таком режиме обтекания вязкость будет сказываться лишь в достаточно тонком слое воздуха. Поэтому ее учет можно провести в рамках модели ПС. Согласно этой модели (см., напр., [15], [44]) распределение давления по контуру крылового профиля при обтекании его вязкой жидкостью совпадает с распределением давления при обтекании идеальной жидкостью так называемого полутела вытеснения, получаемого наращиванием на профиль толщины вытеснения. Использование этого факта позволило существенно упростить решение как прямых, так и обратных задач.

Впервые способ учета влияния вязкости по модели ПС при решении ОКЗА предложил Г.Ю. Степанов [35]. Им решена ОКЗА по годографу скорости, причем найденное в потоке ИНЖ полутело вытеснения утоньшено на величину толщины вытеснения, полученную из расчета ПС по заданному распределению скорости и числу Рейнольдса на бесконечности.

В настоящее время исследования по ОКЗА также активно развиваются, большое количество работ посвящено расширению класса решаемых задач: проектированию многокомпонентных крыловых профилей, гидродинамических решеток, профилей при наличии в потоке особенностей, вблизи экрана, профилей с устройствами активного управления потоком. Последние задачи представляют особый интерес, так как введение таких устройств позволяет улучшить аэродинамические характеристики крылового профиля: увеличить подъемную силу, уменьшить профильное сопротивление, бороться с такими нежелательными эффектами как отрыв потока и переход ламинарного течения в ПС в турбулентное.

Трудности расчетного исследования течений вязкой жидкости (существенно возрастающие с ростом числа Рейнольдса и особенно с переходом к турбулентности) вынуждают обращаться к упрощенным моделям, в первую очередь к моделям и схемам плоских течений невязкой (идеальной) жидкости, имеющим прекрасно разработанный аналитический аппарат и множество приложений [31]. Классическая схема сплошного безотрывного потенциального течения успешно используется для расчета потока около хорошо обтекаемых тел, когда отрыв не возникает или его наличием можно пренебречь. Сопротивление таких тел определяется в основном сопротивлением трения, которое при достаточно больших числах Рейнольдса с практически достаточной точностью рассчитывается с помощью пограничного слоя. Однако сопротивление давления в этой схеме отсутствует (парадокс Эйлера-Даламбера).

К числу устройств активного управления потоком относятся щиток, ин-терцептор, элерон (подвижная задняя часть крыла). Отклонением этих устройств можно добиваться увеличения подъемной силы. Эти вопросы изучались подробно В.В. Голубевым [3], С.А. Чаплыгиным совместно с Н.С. Аржаниковым (см., напр., [2], [41]). В.В. Голубев в работе [2] рассмотрел безотрывное обтекание пластинки с отклоненным щитком в потоке идеальной несжимаемой жидкости. В работе [8] также была решена полностью задача безотрывного обтекания пластинки с отклоненным щитком. Сопротивление в этом случае определить не удается, так как рассматривается невязкая жидкость.

Отклонение элерона может привести к отрыву потока на профиле и изменению аэродинамических характеристик. Поэтому учет отрыва имеет большое значение для получения достоверных результатов. К отрывным течениям в широком смысле слова относятся любые течения, в которых имеются замкнутые на тело линии тока или с поверхности тела сходят вихри, образующие границы изолированных свободных областей потока. Вопросу отрывных течений посвящены работы П. Чжена [43], Г.Ю. Степанова [34]. Одним из путей исследования отрывных течений является применение струйных и вихревых моделей невязкой жидкости с использованием дополнительных гипотез. Теория струй, кроме того, позволяет определить одну из важнейших характеристик профиля - силу сопротивления, что не удается сделать при безотрывном обтекании.

Исторически первая схема отрывного обтекания в рамках модели невязкой жидкости - струйная схема Кирхгофа (1869г.), в которой за телом постулируется бесконечная "застойная" область с давлением р = Роо, ограниченная вихревыми линиями разрыва скорости и расширяющаяся по закону у ~ \[х. Сопротивление тела в этой схеме зависит от выбора положения точек отрыва (схода струй), но всегда значительно меньше наблюдаемого. Для кругового цилиндра при выполнении условия Бриллуэна-Вилла о конечной кривизне струи в точке отрыва Сх = С^тах ~ 0.50; в эксприменте же при всех режимах обтекания Сх > 0.50; для поперечно обтекаемой пластинки при сходе струй с ее кромок по Кирхгофу Сх = 27т/(4 + 7г) = 0.8798 вместо Сх > 1.9.

Позже было предложено множество более общих схем отрывного обтекания применительно к задачам кавитационных течений жидкости с заданным в паровой или газовой каверне числом кавитации; наиболее известные из них можно найти, например, в работах М.И. Гуревича [4], Л.В. Гогиша, Г.Ю. Степанова [1],. Такие схемы обтекания, в которых предполагается существование кавитационной области как области минимального давления называют схемами кавитационного обтекания. В этих схемах отрывная область имеет конечные размеры, след отсутствует, но сила сопротивления, интеграл давлений по всей поверхности тела (с постоянным давлением за точками отрыва) имеет вполне определенную величину.

Схемы различаются по виду "замыкания" каверны; все они при нулевом числе кавитации переходят в схему Кирхгофа. По схеме Рябушин-ского каверна заканчивается на некоторой твердой стенке, например, пластинке, установленной ортогонально к оси х. В схеме Жуковского-Рошко эта пластинка предполагается горизонтальной и соответственно бесконечной. В схеме Кузнецова [12] замыкание происходит на прямую стенку бесконечной щели, уходящей на второй лист плоскости течения. В схеме Тулина-Терентьева [36, 54] границы каверны заканчиваются спиралевидными бесконечно-листными завитками вокруг предельных точек. В теории кавитационных течений важна схема Эфроса-Гильбарга с возвратной струйкой, уходящей на второй лист плоскости течения; эта схема удачно моделирует струйку, периодически возникающую в реальных кавитационных течениях.

Большинство кавитационных схем неудовлетворительно в части замыкания каверны. Более реальны схемы, дающие плавное полубесконечное тело вытеснения с непрерывным изменением вдоль его границы 1пг>(5) до 1пг>оо. Первой схемой такого типа была схема Ву [60, 61]. В других подобных схемах изменение скорости на теле вытеснения определялось заданием достаточно простой области в плоскости годографа скорости, допускающей аналитическое решение задачи построения течения. Такова, например, схема Седова-Гуревича [4] с годографом скорости в виде инверсии эллипса.

Дальнейшее уточнение формы тела вытеснения требует учета вязкости жидкости в следе за телом. Такой расчет турбулентных отрывных течений был разработан Г.Ю. Степановым совместно с Л.В. Гогишем [1]. По схеме Гогиша-Степанова за точкой установившегося отрыва турбулентного ПС реализуется изобарическая область, ближний след и дальний след.

Для расчета следа были использованы простейшие интегральные соотношения и формула Прандтля для турбулентного трения, а также (для расчета отрывного обтекания гладких тел) полуэмпирические формулы локальной теории отрыва. Четыре неизвестные функции в следе: логарифм скорости и угол ее наклона в потенциальном потоке на границе тела вытеснения, его толщина 5*(£) и формпараметр т(£) однопараметри-ческого профиля у(г]) в следе находятся из четырех уравнений:

1) формулы Келдыша-Седова [31], связывающей функцию 1п ?;(£), постоянную на границе изобарической области, и угол ее наклона о;(£) в полуплоскости параметрического переменного £ = £ + щ

2) уравнения сильного взаимодействия следа с внешним потоком;

3) уравнения импульсов (Кармана) для следа;

4) диссипативного уравнения (энергии-Лейбензона или движения на оси следа).

Необходимое число постоянных находится из условия сшивки следа с изобарической областью, ограниченной слоями смешения, и условий в бесконечности. В случае фиксированных точек отрыва в теорию отрыва входят две эмпирические постоянные (связанные с турбулентным трением в следе и в слоях смешения), и еще три константы для определения точек отрыва, если их положение не задано. Эта схема позволяет рассчитать распределение скорости на поверхности полутела вытеснения за точкой отрыва, а также найти толщину вытеснения. Многочисленные расчеты отрывных течений показали вполне удовлетворительные результаты и для газа, и для несжимаемой жидкости.

Задача построения контура профиля, обтекаемого потоком жидкости с отрывом турбулентного пограничного слоя по схеме Гогиша-Степанова, была описана А.Н. Ильинским в его диссертации. Был рассмотрен случай симметричного и несимметричного обтекания.

Теория струй, изложенная М.И. Гуревичем в работе [4], рассматривает течения, ограниченные частично твердыми стенками и частично свободными поверхностями, на которых давление постоянно. В ней приняты следующие предположения: жидкость невесома, идеальна, несжимаема. Вихри отсутствуют, течение установившееся, задача плоская. Струйные течения дают удовлетворительные результаты по силе сопротивления и общему виду течения. Одной из таким схем является, например, схема Ву. Для этой схемы течение считается бесциркуляционным, границы каверны переходят в некоторые конгруэнтные линии тока. В схеме Ву не может быть выполнено условие замкнутости. Эта схема была также использована в работе [48], Д.В. Поляков и A.B. Поташев [26] применяли эту схему в обратной краевой задаче для крылового профиля с отклоненным щитком.

Впервые обратная задача для отрывного обтекания с образованием струй была поставлена и решена Г.Н. Пыхтеевым [27] и Г. Г. Тумашевым [40]. В этих работах требовалось определить форму дуги, обтекаемой безграничным потенциальным потоком идеальной жидкости с отрывом струй по схеме Кирхгофа, по заданному на дуге распределению скорости. Авторы рассмотрели случай, когда искомая дуга расположена в потоке идеальной жидкости, ограниченном параллельными стенками [27], [40]. Решению обратной задачи кавитационного обтекания дуги посвящены работы Г.Н. Пыхтеева [28] и Л.И, Мальцева [18].

В схеме отрывного обтекания полигональных препятствий точки отрыва фиксированы на острых кромках обтекаемого контура. При отрыве от гладкого контура положение каждой точки отрыва является дополнительным неизвестным параметром задачи. В теории кавитационных течений невязкой жидкости эти точки определяются условием Бриллуэна-Вилла о конечной кривизне струй в точке отрыва или задаются по экспериментальным данным.

Использую теорию струй, можно избавляться от критических точек на контуре и в потоке. С.А.Чаплыгиным в работе [42] была исследована задача обтекания плоской пластинки с застойной зоной вблизи критической точки. В дальнейшем его идея о замене критических точек застойными областями использовалась в ряде работ. Так, например, Д.В. Маклаковым и Г.М. Фридманом в статье [17] получено точное аналитическое решение задачи струйного обтекания плоской пластины с интерцептором при наличии застойной зоны вблизи интерцептора. Д.В. Маклаковым в работе [16] даны аналитические решения ряда новых экстремальных задач теории струй и кавитации. В работах [24], [25] было найдено аналитическое решение задачи об отрывном обтекании пластинки с отклоненным щитком при наличии застойной зоны вблизи стыка пластинки со щитком. В работе [25] положение точки отрыва определялось из условия гладкого отрыва Бриллуэна-Вилла. Такой подход отрывного обтекания позволяет найти и подъемную силу, и силу сопротивления.

Целью настоящей диссертации является разработка численно-аналитических методов проектирования профилей крыла с отклоненным элероном в безотрывном и отрывном потоках; поиск оптимальных по аэродинамическим характеристикам параметров профиля и элерона; составление на основе разработанных методов вычислительных алгоритмов и их программная реализация; анализ влияния отрыва потока на аэродинамические характеристики крыловых профилей.

Диссертация состоит из введения, двух глав, содержащих десять параграфов, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Плотникова, Людмила Геннадьевна

Заключение

В диссертации разработаны численно-аналитические методы аэродинамического проектирования профилей крыла с отклоненным элероном в безотрывном и отрывном потоках и профиля крыла с интерцептором в отрывном потоке идеальной несжимаемой жидкости.

Детально исследована задача безотрывного обтекания плоской пластинки с отклоненным щитком. Проведены расчеты нахождения наибольшего значения коэффициента подъемной силы для данного контура и соответствующих ему геометрических параметров пластинки со щитком. Показана зависимость коэффициента подъемной силы от длины щитка и угла отклонения щитка.

Решена задача проектирования профиля крыла с элероном, обтекаемого безотрывным потоком. Решение построено по распределению скорости, полученному по контуру пластинки со щитком, с использованием метода решения обратных краевых задач аэрогидродинамики, опирающегося на квазирешение некорректных задач математической физики. На примерах показано, что величины, ограничивающие скорость в угловых точках, влияют на контур профиля и его аэродинамические характеристики. Для профиля крыла с элероном зависимость коэффициента подъемной силы от длины элерона и угла его отклонения схожа с аналогичной зависимостью для пластинки со щитком.

Исследована задача обтекания плоской пластинки с отклоненным щитком при отрыве потока за щитком и наличии дополнительной изобарической области вблизи стыка пластинки со щитком двумя методами: путем сведения к смешанной краевой задаче и с использованием области годографа скорости. Выведена формула для расчета подсасывающей силы, возникающей на передней кромке пластинки. Построены зависимости аэродинамических характеристик и параметров дополнительной изобарической области от длины щитка и угла отклонения щитка.

Решена задача проектирования профиля крыла с элероном, обтекаемого с отрывом потока за элероном и с образованием дополнительной изобарической области на нижней поверхности профиля. Решение построено по распределению скорости, полученному по контуру пластинки со щитком, обтекаемой с отрывом потока. На примерах показано, что величина, ограничивающая скорость в передней кромке, влияет на контур профиля и его аэродинамические характеристики. Выведены формулы для расчета аэродинамических сил в зависимости от вектора, соединяющего концы линий схода потока за элероном. Построены зависимости аэродинамических характеристик от длины щитка и угла его отклонения, схожие с зависимостями для пластинки со щитком.

Решена задача проектирования профиля крыла с интерцептором, обтекаемого с отрывом потока. Застойная зона образуется за интерцептором, а также дополнительная зона образуется на нижней поверхности профиля. Решение построено сведением к смешанной краевой задаче с заданным распределением скорости на поверхности профиля и значением угла отклонения интерцептора. Распределение скорости на верхней поверхности подбиралось таким образом, чтобы контур профиля получился замкнутым. Для расчета аэродинамических характеристик полученного профиля были использованы формулы в зависимости от вектора, соединяющего концы линий схода потока за интерцептором.

Рассмотрен пример поэтапного проектирования профиля крыла с элероном и профиля крыла с интерцептором от исходного контура пластинки со щитком. Показано, что моделирование отрыва потока позволяет приблизить обтекание данного контура к реальному течению и найти его аэродинамические характеристики.

Все решенные задачи снабжены примерами расчетов, а результаты проиллюстрированы в виде графиков, рисунков и таблиц.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Плотникова, Людмила Геннадьевна, 2006 год

1. Гогиш Л. В., Степанов Г. Ю. Турбулентные отрывные течения. -М.: Наука. ГРФМЛ, - 1979. -368 с.

2. Голубев В. В. Теория крыла аэроплана в плоскопараллельном потоке.- M.-Л.Тостехтеоретиздат, 1938. - 260 с.

3. Голубев В. В. Труды по аэродинамике. М.-Л.:Гостехтеоретиздат, -1957. - 980 с.

4. Гуревич М. И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука, - 1979.- 536 с.

5. Елизаров A.M. О квазирешениях внешней обратной краевой задачи // Известия вузов. Математика. 1984. - № 10. - С. 42-50.

6. Елизаров A.M., Ильинский Н.Б. Метод квазирешений в обратной краевой задаче гидроаэродинамики // Известия Вузов. Математика. -1984. № 10. - С. 50-59.

7. Елизаров А. М., Ильинский И. В., Поташев А. В. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики. М.: Наука, - 1994. - 440 с.

8. Ильинский Н.Б., Плотникова Л.Г. Об одном подходе к построению профиля крыла с элероном // Известия вузов. Авиационная техника.- 2003. N 4. - С. 28-32.

9. Ильинский Н.В., Плотникова Л.Г., Поташев А.В Обтекание пластинки со щитком отрывным потоком // Модели и методы аэродинамики. Материалы Пятой Международной школы-семинара. М.: МЦНМО, - 2005. - С. 57-58.

10. Кузнецов A.B. Об одной схеме кавитационного обтекания // Труды семинара по обратным краевым задачам. Казань: Казан, ун-т, - 1964. - Вып. 1. - С. 60-64.

11. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, - 1987. - 688 с.

12. Лебедев Л. Л. Обратная задача теории ламинарного пограничного слоя // Труды семинара по обратным краевым задачам. Казань: Казан, ун-т, - 1983. - Вып. 19. - С. 103-106.

13. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, - 1987. -840 с.

14. Маклаков Д.В. Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами. -М.: Янус-К, 1997. - 280 с.

15. Маклаков Д.В., Фридман Г.М. Струйное обтекание пластины с ин-терцептором при наличии застойной зоны // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2005. - № 4. - С. 26-44.

16. Мальцев Л.И. Решение одной обратной задачи кавитационного обтекания криволинейной дуги // Журнал прикл.мех. и техн.физ. 1966. -№3.-С. 117-121.

17. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. -М.:Наука. 1968. - 511с.

18. Плотникова Л. Г. Задача обтекания отрывным потоком пластинки с отклоненным щитком // Известия вузов. Авиационная техника. -2006. N 1. - С. 61-63.

19. Плотникова Л.Г., Поташев A.B. Обтекание отрывным потоком пластинки с отклоненным щитком при наличии застойной зоны // Ученые записки Казанского университета. 2006. - Т. 148. - Кн. 2.

20. Пыхтеев Г.Н. К задаче о струйном обтекании криволинейной дуги в ограниченном и безграниченом потоке идеальной несжимаемой жидкости // Прикладная математика и механика. 1955. - Т. 19. - № 4.- С.421-432.

21. Пыхтеев Г.Н. Решение обратной задачи плоского кавитационного обтекания криволинейной дуги // Прикладная математика и механика.- 1956. Т. 20. - № 3. - С.373-381.

22. Салимое Р.В. Определение формы профиля по заданной хордовой £ диаграмме, близкой к диаграмме известного профиля // Ученые записки Казанского университета. 1957. - № 9. - С. 55-59.

23. Салимое Р. Б. Некоторые основные задачи об изменении контуров теории аналитических функций и их приложения в механике жидкости.- Казань: 1970. - 364 с.

24. Седов Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. -М.: Наука, 1980. - 448 с.

25. Симонов Л. А. Построение профилей по годографу скоростей // Прикладная математика и механика. 1940. - Т. 4. - № 4. - С. 97-116.

26. Симонов Л.А. Расчет обтекания крыловых профилей и построение профиля по распределению скоростей на его поверхности // Прикладная математика и механика. 1947. - Т.П. - № 1. - С. 69-84.

27. Степанов Г.Ю. Построение решетки с распределением скорости, заданным на окружности решетки кругов // Прикладная математика и механика. 1953. - № 6. - С. 727-734.

28. Степанов Г.Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. ~М.: Физмат-гиз, 1962. - 512 с.

29. Терентъев А.Г. К нелинейной теории кавитационного обтекания препятствий // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1976.- № 1. С. 158-161.

30. Тумашев Г.Г. Нахождение формы профиля по заданному распределению скорости с учетом сжимаемости жидкости // Известия Казанского физико-математического общества. 1945. - Т. 13. - Сер. 2.- С. 127-132.

31. Тумашев Г. Г. Построение профилей по заданному распределению скорости // Труды Казанского авиационного института. -1946. Вып. 17.- С. 19-22

32. Тумашев Г. Г. Определение формы границ потока жидкости по заданному распределению скорости или давления // Ученые записки Казанского университета. 1952. - Т. 112. - № 3. - С. 3-41.

33. Тумашев Г.Г., Нужин М.Т. Обратные краевые задачи и их приложения. Казань: Изд-во Казан, ун-та, - 1965. - 333 с.

34. Чаплыгин С.А. Собрание сочинений. М.: - 1948, - Т. II. - 431 с.

35. Чаплыгин C.A.K вопросу о струях в несжимаемой жидкости //Тр. отд. физ. наук о-ва любителей естествознания. 1899. - Т. 10. - N 1.- С. 35-40.

36. Чжен П. Отрывные течения. М.: Мир, - 1972-1973. - т. 1-3.

37. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, - 1974. - 712 с.

38. Arlinger В. An exact method of two-dimensional airfoil design // Techn. Note SAAB, Linkoping, Sweden. Oct. 1970. - TN-67. - 36 p.

39. Betz A. Änderung der Proiiiform zur Erzielung einer vorgegebenen Anderrung der Druckverteilung // Z. Luftfahrtforschung. 1934. - Bd. 11.- № 6. S. 158-164.

40. Hirose N., Takanashi S., Kawai N. Transonic airfoil design procedure utulizing a Navier-Stokes analysis code // AIAA J. 1987. - V. 25. -№ 3. - P. 353-359.

41. Lighthill M.J. A new method of two-dimensional aerodynamic design // Aeronautical Research Council, London. R&M 2112, 1945. - 53 p.

42. Lighthiü M.J. A mathematical method of cascade design // Aeronautical Research Council, London. R&M 2104, 1945. - 18 p.

43. Lighthill M.J. A theoretical discussion of wings with leading edge suction // Aeronautical Research Council, London. R&M 2162, 1945. -9 p.

44. Mangier W. Die Berechnuhg eines Tragflugelprofiles mit vorgeschriebener Druckverteilung // Jahrb. Deutsch. Luftfahrtforschung. 1938. - Bd. 1.- S. 46-53.

45. Schmiden C. Die Berechnung kavitationssicherer Tragflugelprofile // Z. Angew. Math, und Mech. 1932. - Bd. 12. - № 5. - S. 288-310.

46. Tulin M.P. Supercavitating flows small-perturbation Theory // J. of Ship Research. - 1964. - V. 7. - № 3. - P. 16-37.

47. Van Ingen J.L. On the design of airfoil section utilizing computer graphics // Ingenieur (Nederl.) 1969. - V. 81. - № 43. - P. L 110-L 118.

48. Weinig F. Widerstands und Tragflugelprofile mit vorgeschriebener Gesch-windgkeitsverteilung an der Oberflache // Z. angew Math, und Mech.- 1929. Bd. 9. - № 6. - S. 507-509.

49. Weinig F. Die Strömung un die Schaufeln von Turbomachinen. Leipzig,- 1935. 141 s.

50. Woods L.C. Airfoil design in two-dimentional subsonic compressible flow // Aeronaut. Red. Counc. Repts and Mem. 1952. - № 2845. - 54 p.

51. Woods L.C. The design of two-dimentional firfoil with mixed boundary conditions // Quart. Appl. Math. 1955. - V. 13. - № 2. - P. 139-146.

52. Wu T. Y. A wake model for free-streamline flow theory // Rart I.- J. Fluid Mech. 1962. - V. 13. - № 2. - P. 161-181.

53. Wu T.Y. A wake model for free-streamline flow theory // Part II J. Fluid Mech. - 1964. - V. 18. - № 1. - P. 65-93.