Прямые и обратные краевые задачи аэрогидродинамики с особенностями в потоке тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Варсегова, Евгения Владиславовна

• Варсегова, Евгения Владиславовна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Варсегова, Евгения Владиславовна

Используемые аббревиатуры и обозначения.

Введение.

I. Расчет аэродинамических характеристик обтекаемой пластинки с точечной особенностью в потоке (вихреисточник, источник, сток, вихрь)

§ 1. Постановка задачи и метод решения, формулы определения аэродинамических характеристик.

§ 2. Расчеты, анализ, выводы.

II. Построение крылового профиля с точечной особенностью в потоке

§ 3. Постановка задачи, аналитическое решение, квазирешение, формулы определения аэродинамических характеристик.

§ 4. Результаты числовых расчетов и их анализ.

III. Построение крылового профиля с несколькими особенностями в потоке

§ 5. Постановка и решение обратной задачи аэрогидродинамики с вихреисточниками в потоке.

§ 6. Результаты и анализ числовых расчетов.

IV. Оптимизация аэродинамических характеристик крыловых профилей с точечной особенностью в потоке

§ 7. Задача максимизации подъемной силы окружности с вихрем в потоке.

§8. Максимизация подъемной силы гладкого профиля с вихрем в потоке.

§9. Оптимизация формы профиля с целью увеличения подъемной силы путем оптимального выбора расположения вихреисточника.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Прямые и обратные краевые задачи аэрогидродинамики с особенностями в потоке»

Диссертация посвящена разработке численно-аналитических методов аэродинамического проектирования и оптимизации крыловых профилей, обтекаемых потоком идеальной несжимаемой жидкости (ИНЖ) при наличии в потоке точечных особенностей (вихреисточников, источников (стоков), вихрей). При решении задач используются методы теории обратных краевых задач для аналитических функций.

В настоящее время, несмотря на наличие программных средств, которые позволяют делать расчет течения вязкого сжимаемого газа, для решения задач проектирования по прежнему широко используется модель ИНЖ, дающая хорошее приближение описания течения маловязких жидкостей, к которым можно отнести воздух и воду. При установившемся движении ИНЖ потенциал скорости ср(х,у) и функция тока \|/(х, у) удовлетворяют уравнениям Коши-Римана, то есть являются гармонически сопряженными, и можно ввести в рассмотрение в физической плоскости г-х + 1у аналитическую функцию комплексного потенциала потока = + (см., например, [28]). В свое время это дало мощный толчок дальнейшим теоретическим исследованиям в гидродинамике, так как аппарат аналитических функций комплексного переменного к тому времени был уже хорошо развит.

Современные методы аэродинамического проектирования и модификации крыловых профилей можно разделить на два типа: прямые и обратные. Суть прямого метода состоит в последовательном многократном решении прямой задачи с последующей модификацией формы профиля для достижения свойств, близких к требуемым. Однако эти методы часто трудоемки и позволяют находить характеристики уже готового объекта. Многие трудности, связанные с применением прямых методов, удается преодолеть, применяя обратные методы проектирования, которые базируются на теории обратных краевых задач и представляют собой процесс непосредственного восстановления формы профиля по заданным аэродинамическим характеристикам (например, по заданному распределению скорости или давления на профиле).

Теоретическую основу обратных методов аэродинамического проектирования крыловых профилей составляют обратные краевые задачи аэрогидродинамики (ОКЗА) (см., например, [18], [32], [34], [35], [39], [48], [51]), являющиеся частью общей теории обратных краевых задач (ОКЗ). В отличие от прямых краевых задач, в которых требуется найти функцию, удовлетворяющую в заданной области некоторому дифференциальному уравнению, а на границе области - заданному условию, в ОКЗ граница области и функция в этой области определяется по дополнительному краевому условию на границе.

В классической постановке ОКЗА неизвестная форма крылового профиля определяется по заданному на его контуре распределению скорости или давления как функции дуговой абсциссы s (см., например, монографию А.М. Елизарова, Н.Б. Ильинского, A.B. Поташева [18]), декартовой координаты х (см., например, работы Р.Б. Салимова [32, 33]), параметра у в канонической области (см., например, работу M.J. Lighthill'а [48]) и т.п. Аэродинамические характеристики искомого профиля при этом в большинстве случаев можно определить еще до решения задачи. Поэтому методы, основанные на теории ОКЗ для аналитических функций, получили широкое распространение при решении задач построения крыловых профилей.

История развития ОКЗА насчитывает около 80 лет. Первые постановки и решения таких задач были даны в 30-40 годах прошлого столетия в работах F. Weinig'a [54, 55], С. Schmiden'a [52], А. Betz'a [44],

W. Mangier'a [51], JI.A, Симонова [34, 35], Г.Г. Тумашева [41], M.J. Lighthill'a [48, 49]. Существенной особенностью ОКЗА является тот факт, что в большинстве случаев эти задачи являются некорректными, то есть произвольным исходным данным соответствует, как правило, физически нереализуемое решение задачи. В итоге контур получаемого профиля может оказаться незамкнутым и самопересекающимся. Это объясняется тем, что исходные данные в ОКЗА в значительной степени произвольны и поэтому решение для них существует только при выполнении условий физической реализуемости решения, так называемых условий разрешимости: искомый контур должен быть замкнутым и скорость на бесконечности, определяемая в ходе решения задачи, должна совпадать с заданной. Перечисленные условия содержатся в работах A. Betz'a [44] и подробно выведены в статьях W. Mangier'а [51], M.J. Lightill'a [49, 50] и Г.Г. Тумашева [40].

Один из простых способов удовлетворения условий разрешимости заключается во введении в исходное распределение свободных параметров, которые подбираются так, чтобы добиться замкнутой формы контура профиля. Так, например, J.L. Van Ingen [53] в основной ОКЗА задавал распределение скорости с тремя свободными параметрами. Аналогичный подход применили M.J. Lightiii [50], R. Eppler [46, 47] и Г.Ю. Степанов [36].

Другой эффективный подход к разрешению этой проблемы состоит в целенаправленной модификации исходного распределения скорости. W. Mangier [51] в случае невыполнения условий разрешимости подбирал значения трех первых коэффициентов ряда Фурье функции $(у) = In v(/), у е [0,2л-], модифицировав тем самым исходное распределение скорости. Аналогичный подход использовал В. Arlinger [43], допускавший изменения исходного распределения не на всем контуре, а на части его нижней поверхности. Однако в обеих работах остался открытым вопрос о минимальности изменений, вносимых в исходные данные.

Ответ дает метод квазирешений, суть которого заключается в минимальной коррекции исходного распределения скорости с тем, чтобы удовлетворить условиям разрешимости. A.M. Елизаровым в [21] введено определение и доказана корректность квазирешения ОКЗ, в [19] совместно с Н.Б. Ильинским метод квазирешений был применен при решении основной ОКЗА, а в монографии A.M. Елизарова, Н.Б. Ильинского, A.B. Пота-шева [18] этот метод обобщен на случай учета вязкости и сжимаемости.

Следующая группа работ (40-60 годы) включала исследования по учету сжимаемости по модели газа Чаплыгина, из которых можно отметить работы Г.Г. Тумашева [38], L.C. Woods'a [56, 57], Г.Ю. Степанова [37]. Позже появились результаты, связанные с учетом вязкости в ОКЗА по модели пограничного слоя (ПС) (см., например, работы Г.Ю. Степанова [36], J1.JI. Лебедева [27] и J.L. Van Ingen'a [53]). Наиболее полный учет вязкости и сжимаемости дает применение уравнений Навье - Стокса (см., например, [45]). Построение профиля с желаемым распределением давления осуществлено в указанной работе путем коррекции геометрии некоторого исходного профиля, взятого за начальное приближение.

В настоящее время интерес к ОКЗА сохраняется. Новые результаты теории ОКЗ, запросы практики и увеличение мощности ЭВМ стимулируют развитие работ по ОКЗА и расширение класса решаемых задач: проектирование многокомпонентных крыловых профилей, гидродинамических решеток, задач модификации крыловых профилей с целью улучшения их аэродинамических характеристик, проектирование профилей вблизи экрана, профилей с устройствами активного управления потоком, профилей при наличии в потоке особенностей. Последние задачи представляют особый интерес.

Для улучшения аэродинамических характеристик, в частности, увеличения подъемной силы крыла самолета важно обеспечить безотрывное обтекание. Предельно достижимые значения коэффициента подъемной силы Су ограничены значениями подъемной силы при потенциальном обтекании. Среди различных приспособлений, применяемых для улучшения аэродинамических характеристик крыла, часто используется крыло с предкрылком или закрылком. Основы теории механизированных крыльев заложены трудами С.А. Чаплыгина и В.В. Голубева (см., напр., [42]). С.А. Чаплыгин проводил исследование в предположении плавного обтекания без образования срыва струй в условиях плоско - параллельного течения.

С иной точки зрения изучалась теория разрезного крыла в работе В.В. Голубева [16], где автор ставил себе задачей изучить влияние предкрылка (закрылка) на образование отрыва струй от поверхности крыла, причем предкрылок (закрылок) заменялся одним присоединенным вихрем и, следовательно, не учитывалось влияние его размера. В случае, когда размеры предкрылка или закрылка малы по сравнению с размерами основного профиля, такая замена возможна. При этом интенсивность вихря принимают равной циркуляции скорости на предкрылке или закрылке.

Задача об обтекании круга с вихрем была решена А.И. Некрасовым [30]. Так же он рассмотрел задачу обтекания бесконечно тонкого прямолинейного профиля под некоторым углом атаки и задачу обтекания бесконечно тонкого профиля, расположенного параллельно набегающему потоку при наличии в потоке вихря. В процессе решения он построил комплексный потенциал течения, нашел выражение скорости на профиле и определил силы давления, оказываемого потоком на прямолинейный профиль.

Задача об обтекании круга с вихрем была более детально исследована М.Т. Нужиным [39]. Им также была решена обратная задача о нахождении формы профиля по заданному на нем распределению скорости при наличии предкрылка или закрылка, заменяемых неподвижно связанным с профилем вихрем [39]. Было построено аналитическое решение задачи и приведены условия разрешимости. С использованием метода квазирешений задача построения профиля с закрылком, замененным одиночным неподвижно закрепленным вихрем, решена Н.Б. Ильинским и A.B. Поташе-вым [23].

Однако развитие авиационной техники требует значительно большего увеличения коэффициента Су. Прогресс в этом направлении связан с объединением систем, создающих тягу и подъемную силу. Для этого используется энергия силовой установки самолета (см., напр.,[4]). Такие установки называют энергетическими. В качестве источника энергии могут служить сжатый воздух от компрессора, струя реактивного двигателя или струя воздушного винта.

Принцип действия энергетических систем состоит не только в создании реактивных сил, но и в создании дополнительной циркуляции потока (суперциркуляции). Реактивная струя или струя воздушного винта образует своего рода жидкий закрылок, который дополнительно тормозит поток на нижней поверхности и увеличивает давление на нее. Под воздействием внешнего потока и турбулентного перемешивания траектория струи искривляется, постепенно приближаясь к направлению невозмущенного потока. В процессе искривления траектории струи давление по обе стороны от нее неодинаковы. Из-за разности давлений в поперечном сечении струи основной поток отклоняется от своего невозмущенного направления, а давление на верхней и нижней поверхностях профиля вблизи задней кромки не совпадают: на верхней поверхности давление меньше, чем на нижней. Дополнительная разность давлений на профиле, возникающая под влиянием выдуваемой струи, приводит к увеличению его подъемной силы. Приращение подъемной силы в этих условиях называют эффектом суперциркуляции.

Аналитическое исследование воздействия реактивной струи на аэродинамические характеристики обдуваемого профиля затруднительно. Одним из простейших способов математического моделирования струи являются точечные источники. Рассмотрев модельные задачи, можно получить расчетные формулы в явном виде.

Детальное изучение вопроса об обтекании профиля Жуковского при наличии на нем источников и стоков проведено в работе А.И. Некрасова [31]. Б.С. Баевым и В.Н. Журавлевым [5] также рассмотрена задача обтекания профиля при наличии на его поверхности источников и стоков. Авторы делают вывод о перспективности (с точки зрения увеличения подъемной силы) использование таких устройств.

Особый интерес ученых вызывают задачи проектирования крыловых профилей, обладающих оптимальными аэродинамическими характеристиками. Для этого решают вариационные ОКЗА, в которых одно из граничных условий заменяется оптимальным. Постановки таких задач восходят по-существу к работе М.А. Лаврентьева [25], который показал, что среди дуг известной длины и заданного максимума кривизны дужка окружности является наилучшей с смысле величины подъемной силы при ее безотрывном обтекании плоскопараллельным потоком ИНЖ с заданной на бесконечности скоростью. Улучшение константы (ограничения на кривизну) в этой задаче дано в работе С.Р. Насырова [29].

В статье В.И. Зубова [22] сказано, что из вариационных формул Лаврентьева для конформных отображений (см., например, [26]) следует, что максимальной подъемной силой среди замкнутых контуров заданного периметра обладает окружность при режиме обтекания с совпадающими точками разветвления и схода потока. Полное исследование этой задачи приведено в работе A.M. Елизарова [20]. В статье Д.Ф. Абзалилова и Н.Б. Ильинского [2] показано, что решением задачи нахождения формы гладкого замкнутого контура фиксированной длины, обладающего максимальной циркуляцией, со стоком заданной интенсивности, также будет окружность с совпадающими точками разветвления и схода потока. Отмечено, что наличие стока позволяет увеличить максимальную циркуляцию до значений, не достижимых на непроницаемом контуре. В работе Н.Б. Ильинского и Н.Д. Якимова [24] решена задача о максимизации подъемной силы дужки со стоком, оптимальной также получилась дужка окружности.

Настоящая диссертация посвящена построению крыловых профилей по заданному распределению скорости при наличии в потоке вихреисточ-ников, которые моделируют дополнительное воздействие на профиль. Случаи вихреисточника и вихрестока можно трактовать как модельные задачи, содержащие частные случаи физически возможных особенностей: сток, источник и вихрь.

Целью настоящей диссертации является разработка численно-аналитических методов проектирования профилей крыла с точечными особенностями в потоке; поиск оптимальных по аэродинамическим характеристикам форм крыловых профилей и особенности; составление на основе разработанных методов вычислительных алгоритмов и их программная реализация; анализ влияния особенностей на аэродинамические характеристики крыловых профилей.

Диссертация состоит из введения четырех глав, содержащих девять параграфов, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Варсегова, Евгения Владиславовна

Заключение

В диссертации развиты численно-аналитические методы аэродинамического проектирования и оптимизации крыловых профилей в неограниченном потенциальном потоке ИНЖ с точечными особенностями в потоке.

Исследована задача обтекания непроницаемой пластинки при наличии в установившемся потоке ИНЖ особенностей типа источник, сток, вихрь, вихреисточник, вихресток. Получено аналитическое решение, приведены формулы аэродинамических характеристик, выполнены числовые расчеты. Показана зависимость коэффициентов подъемной силы и силы сопротивления пластинки от интенсивности и положения особенности.

С использованием метода квазирешений ОКЗА решена задача^ построения крылового профиля по заданному распределению скорости вдоль искомого контура профиля при наличии в потоке особенности типа вих-реисточника. Решение построено по модифицированному распределению скорости, построенному при обтекании пластинки с вихреисточником в потоке. Случаи источника (стока) и вихря получены как частные. Численно-аналитически построены профили. На числовых примерах показано, что наличие в потоке особенности влияет на форму и аэродинамические характеристики крыловых профилей. При определенном выборе интенсивности особенности, удается увеличить коэффициент подъемной силы профиля по сравнению с профилем без особенности в потоке.

Выше изложенная задача была обобщена на случай системы вих-реисточников в потоке. Решена задача построения крылового профиля с предкралком и закрылком, заменяемыми двумя точечными- вихрями. В качестве начальных данных использовалось распределение скорости, полученное по контуру профиля ЗОЮОР. С целью оценки достоверности результатов численно-аналитических расчетов был проведен прямой расчет полученных профилей панельным методом. Проведенное сравнение результатов расчетов показало хорошую точность разработанного метода.

Исследована задача максимизации подъемной силы окружности при наличии в потоке точечного вихря. Дана математическая формулировка соответствующей оптимизационной задачи. Численно показано, что максимум подъемной силы достигается при симметричном обтекании и совпадении точек разветвления и схода потока. Задача нахождения максимума подъемной силы окружности при симметричном обтекании решена аналитически. Получена формула для коэффициента подъемной силы, из которой сделан вывод о том, что при фиксированной величине интенсивности вихря добиться увеличения коэффициента подъемной силы можно за счет приближения вихря к окружности.

Решена задача максимизации коэффициента подъемной силы при обтекании гладкого контура с точечным вихрем в потоке. Полученную задачу оптимизации удалось свести к двум более простым. Первая задача имеет аналитическое решение. Вторая задача есть задача оптимизации положения вихря в потоке. В результате решения оптимальным контуром оказалась окружность.

Выше изложенная задача максимизации коэффициента подъемной силы гладкого контура обобщена на случай вихреисточника в потоке. Решение задачи проведено численными методами многомерной оптимизации. На основе полученных результатов проведен анализ и сделаны выводы.

Все решенные задачи снабжены примерами расчетов, а результаты проиллюстрированы в виде графиков, рисунков и таблиц.