Решение обратной краевой задачи аэрогидродинамики для двусвязных областей с использованием аппарата эллиптических функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Волков, Павел Александрович

• Волков, Павел Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Волков, Павел Александрович

Используемые аббревиатуры и обозначения.

Введение.

I. Проектирование двухэлементного крылового профиля в потоке идеальной несжимаемой жидкости

§1. Постановка задачи, её аналитическое решение.

§2. Условия разрешимости.

§3. Случай построения крылового профиля вблизи экрана.

§4. Числовые расчеты, анализ, выводы.

II. Учет сжимаемости и вязкости потока в задаче построения двухэлементного крылового профиля

§5. Построение двухэлементного крылового профиля при дозвуковом обтекании.

§6. Учет вязкости по модели пограничного слоя.

§7. Совместный учет вязкости и сжимаемости.

§8. Математическое моделирование дозвукового обтекания профиля биплана.

§9. Числовые расчеты, анализ, выводы.

III. Оптимизация двухэлементного крылового профиля в дозвуковом потоке вязкого газа

§10. Постановка задачи, метод решения.

§11. Числовые расчеты, анализ, выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение обратной краевой задачи аэрогидродинамики для двусвязных областей с использованием аппарата эллиптических функций»

Диссертация посвящена разработке численно-аналитических методов аэродинамического проектирования и оптимизации двухэлементных крыловых профилей, обтекаемых идеальной несжимаемой жидкостью или дозвуковым потоком вязкого газа. При решении задач используются методы теории обратных краевых задач для аналитических функций.

Вопрос об аэродинамическом расчете двухэлементного крылового профиля (профиля биплана) всегда привлекал внимание исследователей. Сложность проектирования таких профилей обусловлена двусвязностью области течения, а процесс решения связан с рядом специфических проблем таких, как способ параметризации исходных данных, выбор канонической области, выполнение условий разрешимости и т.д. Однако несмотря на эти трудности существует ряд работ, в которых рассмотрены как прямые, так и обратные подходы к решению этой задачи.

Под прямым подходом (см., напр., [50], [45], [17]) понимают задачу нахождения аэродинамических характеристик заданного профиля (прямая задача). Такой подход применяют и для решения задач модификации профилей, именно, исследователь подбирает форму профиля со свойствами, близкими к требуемым, путем многократного решения прямой задачи.

В [50] предложен метод решения прямой задачи обтекания многокомпонентного профиля идеальной несжимаемой жидкостью (ИНЖ), основанный на вихревой теории. Дан подробный вывод интегральных уравнений задачи. Особенностью метода является то, что удовлетворение условию

Жуковского-Чаплыгина осуществлено не в задней кромке, а в точке, отстоящей от кромки на 0.01 хорды по биссектрисе угла. Проведено сравнение с другими методами, отмечены преимущества.

В ряде случаев существенное значение приобретает учет влияния вязкости набегающего потока, позволяющий точнее определить аэродинамические характеристики профиля. Модели ИНЖ не достаточно для учета подобного влияния. При числах Рейнольдса порядка (105 — 106) теория пограничного слоя (ПС) (см., напр., [33], [42]) дает хорошие результаты, лишь незначительно усложнив решение задачи. В [45] описана итерационная процедура расчета аэродинамических характеристик многокомпонентного профиля в вязком несжимаемом потоке методами теории потенциала. При этом на каждом шаге итераций проводилось "подправление" геометрии профиля наращиванием на его контур толщины вытеснения.

В [17] рассмотрен метод расчета отрывного и безотрывного вязкого обтекания систем крыловых профилей при больших числах Рейнольдса и малых числах Маха набегающего потока. Метод основан на зональном подходе. Излагаются теоретические основы методов вязко-невязкого взаимодействия. Подробно описан квазиодновременный метод, позволяющий производить расчет не только безотрывного, но и развитого отрывного обтекания в рамках теории ПС. Расчет невязкой части течения производился панельным методом симметричных особенностей. Для расчета пограничного слоя как ламинарной его части, так и турбулентной использовались интегральные методы.

Несмотря на очевидные достоинства, прямой подход имеет свои недостатки. Так, например, для выбора подходящей формы контура профиля необходим значительный опыт в проектировании, а сам процесс требует значительных затрат вычислительных средств.

Обратный подход основан на теории обратных краевых задач аэрогидродинамики (ОКЗА) (см., напр., [40], [54], [24], [47], [9], [22]). Неизвестная форма крылового профиля отыскивается по заданному на его контуре распределению давления или скорости как функции дуговой абсциссы s, декартовой координаты х или полярного угла окружности 7 в канонической области, причем в зависимости от способа параметризации исходных данных методы решения ОКЗА различны. Особенностью ОКЗА является их конструктивный характер, так как в этих задачах требуется найти такую форму границы, при которой обтекание обладало бы нужными свойствами. Другой особенностью ОКЗА является тот факт, что эти задачи являются некорректными, то есть произвольным исходным данным соответствует, как правило, физически нереализуемое решение задачи. В итоге контур получаемого профиля может оказаться незамкнутым и самопересекающимся, а заданная скорость набегающего потока может не совпадать с величиной скорости, определяемой в ходе решения задачи.

Условия замкнутости искомого контура и условие совпадения заданного значения скорости со значением, определяемым в процессе решения, называются условиями разрешимости. Названные условия по-существу содержатся в работах А.Бетца [44] и подробно выведены в статьях В. Ман-глера [54], М. Лайтхилла [52] и Г. Г. Тумашева [39].

Один из способов удовлетворения условий разрешимости заключается в использовании в качестве исходных данных многопараметрических семейств распределений скорости. Так поступали, например, Дж. Ван Ин-ген [58], М. Лайтхилл [53], Г.Ю. Степанов [37].

Другой способ состоит в целенаправленной модификации исходного распределения скорости. В. Манглер [54] в случае невыполнения условий разрешимости подбирал значения трех первых коэффициентов ряда Фурье функции S(i) — In V(7), 7 G [0,27г], модифицировав тем самым исходное распределение скорости. Аналогичный подход использовал Б.Арлингер [43], допускавший изменение исходного распределения не на всем контуре, а на части его нижней поверхности. Однако в обоих работах остался открытым вопрос о минимальности изменений, вносимых в исходные данные.

Ответ на этот вопрос дает метод квазирешений, суть которого заключается в минимальном "подправлении" исходного распределения скорости с тем, чтобы удовлетворить условиям разрешимости. В [20] введено определение и доказана корректность квазирешения ОКЗ, в [21] метод квазирешения применен при решении основной ОКЗА, а в [24] этот метод обобщен на случай учета вязкости и сжимаемости.

В настоящее время методы, основанные на теории ОКЗА для аналитических функций, получили широкое распространение при решении задач построения крыловых профилей. Большое количество работ посвящено проектированию многокомпонентных крыловых профилей, и в частности профилей биплана.

В одном из первых исследований [35], в котором на искомых профилях биплана задавалось распределение скорости в виде функции дуговой абсциссы искомого контура, области течения ставилась в соответствие внешность двух дуг единичной окружности во вспомогательной плоскости. Задача Дирихле решалась путем сведения к двум задачам Римана. В [40] предложен несколько иной путь решения, а именно, в качестве вспомогательной области выбирался прямоугольник. Вид комплексного потенциала брался из монографии [36]. Функция Мичела-Жуковского восстанавливалась по формуле Вилля. Однако вопрос о способах выполнения условий разрешимости задачи в [35, 40] остался открытым.

В [37] решена задача построения решеток бипланов по методу годографа скорости. Комплексный потенциал искомого течения в физической плоскости находился как аналитическая функция комплексной скорости в заданной области годографа скорости. Замкнутость профилей обеспечивалась вариацией исходного годографа скорости и свободных параметров.

В [24] для выполнения условий разрешимости обратной краевой задачи аэрогидродинамики применен способ квазирешения некорректных задач математической физики. Однако учитывая, что этот способ разработан лишь для односвязных областей, один из профилей, в частности, закрылок, заменялся системой вихрей. В результате подобного предположения решение задачи удалось получить лишь в случае, когда размеры одного профиля малы по сравнению с размерами основного профиля.

В [49] предложен метод решения, основанный на интегральных соотношениях для функции Мичела-Жуковского в кольце. Существенным является то, что на искомых профилях биплана задано распределение скорости в виде функции полярного угла окружности 7 в канонической области. Решение задачи сведено к быстрому преобразованию Фурье. Выполнение условий разрешимости достигалось вариацией коэффициентов ряда Фурье.

Предложенный в работе [56] метод решения обратной задачи для системы к профилей может быть рассмотрен в каком-то смысле как обобщение метода, развитого Манглером [54] и Лайтхиллом [52] для случая изолированного профиля. Канонической областью выбрана внешность к окружностей. Аналогично [49] распределения скорости вдоль искомых контуров профилей заданы функциями полярного угла окружности. В качестве вспомогательной взята функция, предложенная В. Манглером [54]. Функция комплексной скорости в канонической области, а также вспомогательная функция записаны в виде степенного ряда. Решение задачи, заключающееся в нахождении конформного отображения канонической области на внешность искомых профилей, сведено к нахождению неизвестных коэффициентов разложения. Приведены условия разрешимости.

В [48] описан численный метод проектирования многоэлементных крыловых профилей. Для достижения заданной точности использован итерационный процесс, использующий комбинацию прямого и обратного методов и реализующий решение обратной задачи для каждого из профилей по отдельности с последующим пересчетом распределений скоростей для системы профилей путем решения прямой задачи. Вариацией свободных параметров исходных распределений скорости изолированных профилей удается добиться совпадения значений скорости многоэлементного профиля на отдельных сегментах со значениями, заданными пользователем.

Очень часто требуется найти форму профиля крыла с оптимальными аэродинамическими характеристиками (максимальной подъемной силой, минимальным сопротивлением,максимальным аэродинамическим качеством и т.п.). Один из подходов к оптимизации профилей основан на решении прямых краевых задач (см., напр., [55]). Суть подхода заключается в определении оптимального контура среди многопараметрического семейства контуров определенного типа (например, с ограничениями на толщину, кривизну) за счет подбора свободных параметров.

Вследствие того, что оптимальное решение ищется в заданном классе, искомые профили получаются замкнутыми, без точек самопересечения. Как правило, методы, основанные на этом подходе, используются для модификации форм уже существующих профилей.

Другой подход базируется на теории ОКЗ. Первый способ оптимизации формы профилей заключается в решении вариационных ОКЗА, в которых одно из граничных условий заменяется оптимизационным. Термин "вариационные обратные задачи" был введен JI.A. Аксентьевым [8]. Постановки и решения вариационных ОКЗА были даны в работах М.А. Лаврентьева [31], В.И. Зубова [30], A.M. Елизарова, Н. Б. Ильинского, А. В. Поташе-ва [24], Д.А. Фокина [46], и др. Из последних работ можно отметить работы Д. Ф. Абзалилова, Н. Б. Ильинского, Р. Ф. Марданова [6], А. М. Елизарова, А. Н. Ихсановой, Д. А. Фокина [25], В. Г. Леонтьева, А. В. Поташева [32].

Второй способ оптимизации методами ОКЗ состоит в оптимальном выборе исходного распределения скорости. В [51] приведен обзор работ и изложен метод построения высоконесущего крылового профиля, суть которого заключается в подборе распределения скорости с максимальной площадью эпюры вдоль верхней поверхности профиля. В качестве исходного было выбрано полочное распределение Стрэтфорда, обеспечивающее безотрыв-ность обтекания. Для обеспечения замкнутой формы профиля найденное распределение было модифицировано.

В работе [55] этот метод был обобщен на случай двухэлементного профиля. В отличие от [51] форма профиля биплана, соответствующая оптимальному распределению скорости, определяется итеративно путем вариации геометрии начального приближения - произвольного двухэлементного профиля. Процесс завершается при совпадении распределения скорости, найденного из решения прямой задачи, с оптимальным. В случае, если сходимость итеративного процесса неудовлетворительная, необходимо поменять начальное приближение.

Работа [24] содержит математическое обоснование применения отмеченного способа оптимизации. В частности, доказано, что полочные распределения являются экстремальными в задаче максимизации площади эпюры распределений скорости с заданными значениями формпараметра. Доказано, что при фиксированном значении скорости в задней кромке профиля среди полочных распределений существует единственное, максимизирующее площадь эпюры. Для случая полностью турбулентного ПС указана оптимальная функция скорости. Решена задача максимизации подъемной силы для диапазона углов атаки.

Целью настоящей диссертации является развитие численно-аналитических методов аэродинамического проектирования двухэлементных крыловых профилей, обтекаемых как идеальной несжимаемой жидкостью, так и дозвуковым потоком вязкого газа; поиск двухэлементных профилей с максимальным аэродинамическим качеством; составление на основе разработанных методов вычислительных алгоритмов и их программная реализация.

Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих одиннадцать параграфов, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Волков, Павел Александрович

Заключение

В диссертации развиты численно-аналитические методы аэродинамического проектирования и оптимизации двухэлементных крыловых профилей, обтекаемых идеальной несжимаемой жидкостью и дозвуковым потоком вязкого газа. При решении задач используются методы теории обратных краевых задач для аналитических функций.

Решена задача построения двухэлементного крылового профиля по заданным на искомых контурах профиля распределениям скорости или давления как функций дуговой абсциссы этих контуров, зависящих от конечного числа параметров. Записаны условия разрешимости задачи, для удовлетворения которых предложено варьировать введенные в исходные распределения скорости свободные параметры. Показано, что приближение основного профиля к закрылку по вертикали приводит к заметному увеличению скорости на диффузорном участке и в задней кромке основного профиля, что позволяет получать более высокие значения коэффициента подъемной силы для основного профиля и для системы профилей в целом.

Проведен тестовый расчет профиля экраноплана. Экранный эффект моделировался методом зеркального отражения профиля относительно экрана. Задача сведена к расчету обтекания двух симметрично расположенных профилей, периметры контуров которых одинаковы. Выполнено сравнение с результатами, полученными ранее другим методом.

Задача построения двухэлементного крылового профиля обобщена на случай учета вязкости и сжимаемости потока. Вязкость учитывалась по модели пограничного слоя, сжимаемость - по модели газа Чаплыгина. Исходные распределения приведенной скорости взяты из класса гидродинамически целесообразных распределений, что обеспечивает безотрывное обтекание профилей в рамках принятой схемы плавного обтекания. Приведен ряд расчетов, демонстрирующий влияние вязкости и сжимаемости на изменение аэродинамических и геометрических характеристик профиля с закрылком. Выполнено сравнение с результатами, полученными путем решения прямой задачи.

Изучено влияние числа Рейнольдса на положение точки перехода ламинарного течения в турбулентное. Показано, что с ростом числа Рейнольдса наблюдается тенденция к смещению точки перехода вверх по потоку по направлению к точке минимума давления.

Решена задача оптимизации формы двухэлементного крылового профиля, обладающего максимальным аэродинамическим качеством при обтекании дозвуковым потоком вязкого газа. Использован обратный подход, заключающийся в оптимальном выборе исходного распределения скорости. С целью приближения теоретических результатов решения к практическим, выполнен совместный учет вязкости и сжимаемости набегающего потока. Обеспечивается безотрывность обтекания. Приведен пример расчета оптимального профиля с закрылком.

Результаты приведенных численных расчетов представлены в диссертации в виде рисунков, графиков и таблиц.

Абзалилов Д.Ф., Волков П.А. Решение обратной краевой задачи для двухэлементного крылового профиля // VIII Четаевская международная конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением": Тезисы докладов. Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та. - 2002 - С. 227

Abzalilov D.F., Volkov P.A. The solution of an inverse boundary value problem for a two-element airfoil //Гидродинамика больших скоростей: Тезисы докладов Международной летней научной школы. - Чебоксары: 2002. - С. 187-188.

Абзалилов Д.Ф., Волков П.А. Решение обратной краевой задачи для двухэлементного крылового профиля // Сб. тезисов II Международной научно-технической конференций молодых ученых и специалистов "Современные проблемы аэрокосмической науки и техники". -Жуковский: ЦАГИ - 2002. - С. 8-9.

Абзалилов Д.Ф., Волков П.А., Ильинский Н.В. Решение обратной краевой задачи для двухэлементного крылового профиля // Сб. тр. XI всерос. науч.-техн. семин. по управлению движением и навигации летательных аппаратов. - Самара: Изд-во СГАУ. - 2003. - С. 234-237.

Абзалилов Д.Ф., Волков П.А., Ильинский Н.В. Решение обратной краевой задачи аэрогидродинамики для двухэлементного крылового профиля // Изв. РАН. МЖГ. - 2004. 3.- С. 16-24.

Абзалилов Д. Ф., Ильинский Н. В., Марданов Р. Ф. Задача максимизации циркуляции скорости при обтекании гладкого контура с источниками и стоками // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2000. - Т. 40, - № 1. - С. 82-90.

7. Аксентъев JI.А. Построение оператора Шварца методом симметрии// Труды семинара по краевым задачам. - 1966. - № 3. - С. 11-24.

8. Аксентъев Л.А. Об однолистной разрешимости обратных краевых задач // Труды семинара по краевым задачам.- Казань: Казанск. ун-т.

- 1973. - Вып.10 - С. 11-24; 1974.- Вып.11 - С. 9-18.

9. Аксентъев Л. А., Ильинский Н Б., Нужин М.Т} Салимое Р.Б., Тума-^ шее Г. Г. Теория обратных краевых задач для аналитических функций

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Волков, Павел Александрович, 2005 год

1. Абзалилов Д.Ф., Волков П.А. Решение обратной краевой задачи для двухэлементного крылового профиля VIII Четаевская международная конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением": Тезисы докладов. Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та. 2002.- 227 2. АЬгаШо1) Б.Р., Уо1коь Р.А. ТЬе зо1и1;юп оГ ап туегзе Ьоипйагу уа1ие ргоЫет Гог а 1;\\го-е1етеш; а1гйл1 //Гидродинамика больших скоростей: Тезисы докладов Международной летней научной школы. Чебоксары: 2002. 187-188.

2. Абзалилов Д.Ф., Волков П.А. Решение обратной краевой задачи для двухэлементного крылового профиля Сб. тезисов II Международной научно-технической конференций молодых ученых и специалистов "Современные проблемы аэрокосмической науки и техники". Жуковский: ЦАГИ.- 2002. 8-9.

3. Абзалилов Д.Ф., Волков П.А., Ильинский Н.Б. Решение обратной краевой задачи для двухэлементного крылового профиля Сб. тр. XI всерос. науч.-техн. семин. по управлению движением и навигации летательных аппаратов. Самара: Изд-во СГАУ. 2003. 234-237.

4. Абзалилов Д.Ф., Волков П.А., Ильинский Н.Б. Решение обратной краевой задачи аэрогидродинамики для двухэлементного крылового профиля Изв. РАН. МЖГ. 2004. 3.- 16-24.

5. Абзалилов Д. Ф., Ильинский Н. В., Марданов Р. Ф. Задача максимизации циркуляции скорости при обтекании гладкого контура с источниками и стоками Журнал вычислительной математики и математической физики. 2000. Т. 40, 1. 82-90. 95

6. Аксентъев Л.А. Об однолистной разрешимости обратных краевых задач Труды семинара по краевым задачам.- Казань: Казанск. ун-т. 1973. Вып.10 11-24; 1974- Вып.11 9-18.

7. Аксентъев Л.А., Ильинский Н Б., Нужин М.Т, Салимое Р.Б., Тумашее Г. Г. Теория обратных краевых задач для аналитических функций и ее приложения Итоги науки и техники. Матем. анализ, М.: ВИНИТИ, 1980. Т.18- 67-124.

8. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций. М.: Наука. 1970. 304 с.

9. Базара М., Шетпти К. Нелинейное программирование: теория и алгоритмы. М.: Мир. 1982. 583 с.

10. Бартеньев О.В. Фортран для профессионалов. Математическая библиотека 1М5Ь. Ч. 2. М.: Диалог-МИФИ. 2001. 320 с.

11. Волков П.А. Учет вязкости и сжимаемости потока в задаче построения двухэлементного крылового профиля Труды Математического 96

12. Материалы XVII сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды. Казань: Издательство Казанского математического общества.- 2004. 7882.

13. Волков П.А., Ильинский Н.Б. Задача аэродинамической оптимизации двухэлементного крылового профиля в дозвуковом потоке вязкого газа Модели и методы аэродинамики. Материалы Пятой Международной школы-семинара. М.гМЦНМО. 2005. 30-31.

14. Волков А.В., Ляпунов СВ. Метод расчета вязкого отрывного обтекания систем крыловых профилей Ученые записки ЦАГИ. 1998. Т. XXIX. 3-4. 7-29.

15. Галяутдинов М.И., Маклаков Д.В. Проектирование крыловых про- филей, обтекаемых вблизи твердого экрана Известия ВУЗов. Авиационная техника. 1994. 3. 3-7.

16. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. М.: Наука. 1968. 648 с.

17. Елизаров А.М. О квазирешениях внешней обратной краевой задачи Изв. вузов. Математика. 1984.- 10. 42-50.

18. Елизаров А. М., Ильинский Н. Б. Метод квазирешений в обратной краевой задаче гидроаэродинамики Изв. вузов. Математика. 1984. 10. 50-59.

19. Елизаров А. М., Ильинский Н. В., Поташев А. В. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. М.: ВИНИТИ, 1989. Т.23- 3-115.

20. Елизаров А. М., Ильинский А. Н., Ильинский Н. В., Поташев А. В., Фокин Д. А. Аэрогидродинамически целесообразные распределения 97

21. Елизаров А. М., Ильинский П. Б., Поташев А. В. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики. М.: Наука. 1994. 440 с.

22. Елизаров А. М., Ихсанова А. Н., Фокин Д. А. Вариационная обрат ная краевая задача для дозвукового течения газа Вторая научнопрактическая конференция молодых ученых и специалистов «Исследования и перспективные разработки в авиационной промышленности»: Статьи и материалы конференции. М: Изд-во МАИ, 2004. 52-57.

23. Иванов Н.Г., Николаев М.А., Тельное Д. Численное моделирование трехмерного течения и теплообмена в трансзвуковой турбинной решетке на основе модели турбулентности Спаларта-Аллмараса Проблемы газодин. и теплообмена в энергет. устан. М.: Изд-во МЭИ. 2003. Т. 2 70-73.

24. Ильинский А. И., Ильинский Н. Б., Маклаков Д. В., Поташев А. В. Метод аэродинамического проектирования крылового профиля экраноплана Известия ВУЗов. Авиационная техника. 1995. 2. 54-62.

25. Ильинский А.Н., Ильинский Н.Б., Поляков Д.В., Поташев А.В., Степанов Г.Ю. Уточнение критерия отрыва турбулентного пограничного слоя с использованием эмперических данных Препринт 98-

27. Ильинский Н.Б., Лотфуллин М.В., Маклаков Д.В., Поташев А.В. Определение формы крылового профиля, обтекаемого вблизи грани- 98

28. Зубов В. И. К вопросу об оптимальном профиле крыла в потоке идеальной несжимаемой жидкости Журнал вычислительной математики и математической физики. 1980. Т. 20. 1. 241-245.

29. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987. 840 с.

30. Марданов Р.Ф. О одном подходе к проектированию профиля крыла вблизи экрана Известия ВУЗов. Авиационная техника. 2003. №2.

31. Насыров Р.М. Определение формы биплана по заданному распределению скорости по поверхности профилей, его составляющих Ученые записки казанского ун-та. 1953. Т. 113. Кн. 10. 31-41.

32. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.;Л.: Гостехиздат. 1950. 444 с.

33. Степанов Г.Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. -М.: Физматгиз. 1962. 512 с. 99

34. Тумашев Г. Г. Определение формы границ потока жидкости по заданному распределению скорости или давления Уч. зап. казан, ун-та. 1952. Т.112. 3. 3-41.

35. Тумашев Г.Г., Нужин М.Т. Обратные краевые задачи и их приложения. Казань: Изд-во Казан, ун-та. 1965. 333 с.

36. Чаплыгин А. О газовых струях Поли. собр. соч. Л.: АН СССР. 1933. Т.2. -С. 3-90.

37. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. 712 с. 43. АгНпдег В. Ап ехасЪ теЪпос! оГ {луо-сИтепзюпа! акГоП йезщп ТесЬп. 5ААВ, Ыпкортё, Зейеп. ОсЪ. 1970. ТЫ-67. 36 р. 44. Ве1х А. Апс1егип§ с!ег РгоШГогт гиг Ег21е1ип§ етег уог§е§еЬепеп Апс1еггип§ с1ег БгискуегЪеПип 2. ЬиМапгШгзсЬищ;. 1934. Вс1. 11. 6. 3. 158-164. 45. СаНадНап З.С, ВеаНу Т.Б. А Шеоге1пса1 теЪЬос! Гог ЪЬе апа1уз1з апс! аезщп оГ тиШе1етепЪ акЫЬз

38. Аксгай.- 1972. V. 9. 12. Р. 844-848. 46. ЕНЖГОУ А. М., Рокгп В. А. Уаг1аМопа1 Ыуегзе Воипйагу Уа1ие РгоЫетз оГ АегоЬус1гос1упат1СЗ БоЫасгу РЬуз1сз. 2001. V. 46. 4. Р. 280-285. Т г а п з к Ы Ггош БоЫаау Акайети Каик. V. 377. 6. 2001. Р. 758-763.)

39. Ерркг К. А1гГоП Без1§п апс! БаЪа. ВегНп: Зрг1п§ег-Уег1а§, 1990. 512 р. 100

40. Затез К.М. ТЬе ЪЬеогу ап(1 <1ез1§;п оГ Ьдго-акГоП НШп§ зузйетз СотриЪег МеШосЬз т АррНес! МесЬап1сз апс! Еп§теепп§. 1977. 10. Р. 13-43.

41. Мапдкг IV. В1е ВегесппиЬ§ е1пез Тга§Йи§е1ргоБ1ез тН уог§езсЬг1еЬейег БгискуегеПип ЛаЬгЬ. ОеизсЬ. ЬийГаЬгогзсЬип. 1938. Вс1. 1. 5. 46-53.

42. ОгтзЪее АЛ., СНеп А. IV. МиШр1е е1етеп1; а1гой1з орт12ес1 Гог т а х т и т Ни соеЙЗаепЪ 3. оГ Агсгай. 1972. V. 10. -N0 12.- Р. 1620-1624 (рус. перевод: Ракетная техника и космонавтика 1972. Т. 10. -№12. 84-90). 101