Численное моделирование задач обтекания сечений крыла несжимаемым потоком на основе метода Галеркина тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, доктор технических наук Нугманов, Зуфар Хуснутдинович

• Нугманов, Зуфар Хуснутдинович
• доктор технических наук
• 1997

Оглавление диссертации доктор технических наук Нугманов, Зуфар Хуснутдинович

При расчете обтекания крыловых профилей плоскопараллельным потоком идеальной несжимаемой жидкости часто используются методы теории функций комплексного переменного. Обтекание профиля определяется полностью, если известен комплексный потенциал течения.

Но точное выражение комплексного потенциала найдено только для цилиндра. А для крыловых профилей комплексный потенциал можно получить лишь с помощью конформного отображения круга на профиль. При этом отображающая функция в общем случае находится приближенно и, следовательно, решение задачи об обтекании профиля также получается приближенным. В некоторых частных случаях (пластина, дуга окружности, эллипс, двуугольник, профили Жуковского) были найдены точные отображения функции, что позволяет точно определить их аэродинамические характеристики. В настоящее время широко применяются приближенные численные способы расчета обтекания профиля, крыла и летательного аппарата, базирующиеся на методе гидродинамических особенностей.

Для оценки точности приближенных методов используются решения, полученные для теорегических профилей методом конформных отображений. В работе приведены формулы для расчета контура и аэродинамических характеристик пластины, эллипса, дуги окружности, двуугольника и профилей Жуковского-Чаплыгина [116, Д.1].

В.1.ПЛАСТИНА

Профилем тонкой плоской пластины бесконечного размаха является отрезок прямой. На этом основании говорят об обтекании отрезка прямой, как об обтекании пластины.

Простейшие конформные преобразования внешности круга во вспомогательной плоскости на внешность профиля в физической плоскости могут быть получены с помощью преобразующей функции Жуковского-Чаплыгина. Она имеет вид:

- = (В.1) или в более симметричной форме „ , (В.2) г + е

С помощью функции (В.1) окружность радиуса К = в с центром в начале координат плоскости £ преобразуется в отрезок длиной 4£ плоскости 2 (рис.В.1).

Уравнение окружности с центром в точке О* имеет вид откуда следует: г = к(^+е~^) = 2Ясозв1 х = 2Ясовв, у=0. (В.4)

Формулы (В.4) представляют собой уравнения отрезка /7^ в параметрической форме. Полному обходу окружности 0< в<2к соответствует двойной обход отрезка /Т^ справа налево по верхне поверхности пластины и слева направо по нижней поверхности. Из (В.1) имеем: = (В.5)

Видно: что в точках £*= ±£ производные /'(¿) обращаются в нуль. В этих точках нарушается конформность отображения - сохранение углов между касательными к исходному и преобразованному контуру.

Ушам я-в точках Г и/) в плоскости С соответствуют углы 2тг в точках Г И в плоскости 2 (рис.В.1).

Для пластины с единичной хордой (4£ = 1) и началом координат в носке профиля имеем х = 0,5(1 + сов??), 7 = 0, Су = 2 жат а, К -1- 0,25, -0,25;тп2а; (В.5) где т2- коэффициент момента относительно передней кромки.

На рис.В.2 приведены результаты расчета распределения давления на пластине при различных углах атаки.

В.2. ЭЛЛИПС

Окружность радиуса К>£, концентрическая с основной окруж-ностыо Ц}, с помощью выражения (В.1) преобразуется в эллипс с фокусами Жт (рис.В.З).

Действительно, уравнение окружности с центром в точке О радиуса Л можно записать в виде [В.1]:

Подстановка этого выражения в (В.1) дает откуда следует, что х = аса$ <9,

I . л (В.7)

У = 05 ИЩ где а и Ъ - полуоси эллипса

2 , л е а = К + —, Ь = К-—. (В.В)

К К '

Из выражения (В.8) имеем:

280 a2, - b2 = 4<в2,

Угол#4« = 0, так как точкам An В пересечения эллипса Ц с осью х $ $ $ соответствуют точки А и В пересечения круга Lj с осью

Если принять 2а—1 и начало координат поместить в носке эллипса точка В), то на основании общих формул легко получить

Я = 0,25(1 +с), х - 0,5(l-f cos#), 7 = 0,5с sin

СУа - 2 1 + с) sin а, (В-Ю) тг = -0,25я( 1 + с)~ sin2а,

0,5(1 + с) sin 0cos а+(l -cos ¿9)sin a где х - -0,5sin#, j = 0,5с cos с

Примеры распределения давления по контуру эллипса для различных относительных толщин с и углов атаки а приведены на рис.В.4-В,5.

В.З. ДУГА ОКРУЖНОСТИ

Рассмотрим отображение с помощью функции (ВЛ) внешней области относительно окружности Ь* радиуса К с центром в точке 0^0,1/) плоскости £"на плоскость г (рис.В.6). Полагая, что из выражения (ВЛ) получим: г + ■ cos/, sin/.

Радиус окружности L равен

Уравнение окружности íJ имеет вид

R2 = г2 + /2 -2rf sin/.

Из него, учитывая (В. 12), находим r2 -2rf sin/.

Отсюда

В. 12)

В.13)

В. 14) г — /sin/ + V/ sinx Г + t

В.15)

-= Jf- sin2 l + f-f sin/.

Формулы (B.l 1) с учетом (В.15) могутбытъ записаны так: х = 2cos/-iJ/2 sin2 / + ¿2,

В. 16) y = 2f úvft.

Видно: что при любом t координата у>0, то есть отображение окружности L лежит в верхней полуплоскости z. Из уравнений (В. 16) имеем х2 + у2 - 4/2 sin2 / + 4£2 eos2 / - 4 Если учесть, что

2+{f2~t2) Sin2/

• 2 V surr = —. то предыдущее выражение может быть представлено в виде х2 + у* - 4t

Л J Ii2 -- л О2- L J-2 j

Рассматрвая рис.В.9, легко установить, что

В Л 7) f-f^R? sin — — eos —

-R2 eos j3.

Используя это равенство, приведем уравнение (В. 17) к виду

RcosjS

• г? sm —

В Л 8) sin—^ —, R = Jf~+£2, 2£ = 1. 2 ii w

Это выражение редсгавляет собой уравнение окружности I^ радиус центром в точке cosy? sm-2 }

Таким образом, преобразование (ВЛ) переводит окружность Ь радиуса R в дугу окружности Ь, лежащую в верхней полуплоскости г. Окружность Ь пересекает оси координате точках х = 0; y = 2Rsin^ = 2f

0 4 х = ±2JRcos— = ±2£; у = О

Чтобы вычислить аэродинамические характеристики дуги по общим формулам, необходимо найти координаты хиу как функции параметра <9. На основании (В. 1) имеем

В Л 9) i + if

Если учесть, что £ = Rcosв, 7]- rfr+f-Rsinв+ /, то из формул (В Л 9) получим

2R2(R+ f$m9) х =-=-- cos в,

2 f(Rsm&+ ff

В,20) rx=Rr +2/sin¿9+ / f f -arcsin— < 6< 2«r-arcsin™.

Коэффициент подъемной силы С и коэффициент момента тангажа относительно передней кромки т2 подсчитываются по формулам:

СУ I \ й-[1 + Ху)со8а+уу8та т„ — т

-аш>т^, Л^2*/2, £ = 0,5, сов #

--» >7 = / + .? «V = -0,25яят2^

Величина скорости определяется из выражени [116] 2К сов л(вт в~ ЯШ вА*) - вШ «(сов в-С08 ), (В. 22) дк 2К2[4.К +/ ът.О)$т0+/ соь2 0\ 2 Я2(к + /вш0)со8 0.

X — —" ~ " ~' ~ " ■ -« У ду 4/(Д8И10+/)Лсо80 2/(П$тО+/) ов гх т\ г ¡=28/сов й

После некоторых преобразований с использованием предыдущих формул выражение (В.22) принимает вид

Дяп0+ /| т[с08 «(БШ 0- в4*) - 8И1 «(сОБ 0- СОБ )

С08 & / бит +

Ч 2 / л ^] ^ СОв /япбЧ +2{Квтв+ /)'со$20А*

В. 23) где Ь = 2.

В формуле (В.23) независимыми параметрами являются кривизна/ и угол атаки а.

Если начало координат поместить в носке профиля, то есть в передней точке дуги, и хорду Ъ принять равной 1, то х =--0,5(1 + *), у = 0,5у, (В. 24) где х и у - координаты носка профиля в системе координат с началом в средине хорды профиля при Ь~2.

В.4. ДВУУГОЛЬНИК

Чтобы рассчитать обтекание двуугольника, отобразим круг 1* с центром в точке 0*

§'Л/) плоскости ¿Г на плоскость г (рис.В.7).

Функция конформного преобразования окружности Ь радиуса в двуугольник Ь с хордой 2п£ имеет вид ®. ®Эта функция явялется частным случаем функции вида для так называемых обобщенных профилей Жуковского-Чаплыгина где ^¡ = Ке , Я = + п-2-—, т - угол заострения, из (В.25) получим

Х = М—у = -(В. 26)

Здесь р1 = я(к + £соб 8+ / $т б>), р2 = ^2Я{Я - £со8 6+ /$\пв), Ту = + - 2/^/5 со8 л( у/2 - у/1), , . /г^т*?* / ясо$@+е п1-1, Бт^=-—, сое у/х --,

Бти( щ - ц^) = йт р± — - —

С084 - = ~С08^/?± |~ л „ . / . Rsin0 \ f Reos в I р= 2arcsm—, ¡sin y/2 —-eos щ7 =-----,

R Pi " fh y/2 - y/x = +0,5яг- 0.5Д

В последней формуле знак плюс относится к верхнему обводу профиля, а знак минус - к нижнему.

Исключив параметр в из выражений (В.26) получим уравнения верхней и нижней частей контура двуугольника sjl- х2 sin2 Dn - cos D Ф - x2 sin2 DH - cos DH si пД

B.27) sinZ)„ = sini — + /mresin— T f sinD„ - sinl —1 + waresin— V 2 R

Аэродинамические характеристики двуугольника подсчитываются по формулам:

Cv -ATIRÚH m,z=mj + 0,5С + лу )cos а+ vf sin а mf --ttR(R + Ax)sin2(

Xf = ~(R + yíjeos 0At yj =(R + Al) sin 6A + /,

R + A^)sm2a

B.28) хл = /tgacos asm

1 - —•

Ътс) r

Скорость в любой точке (х, у) контура можно подсчитать по фор

V* +у $ж0- $тв ф А У сое а - со8 0- со8 0 *

§т а , (В.29)

2п{р2п~1г% - п2п~1п~ I Лп лп

Г 'А-РГ 7>2) р?-р?

2п-1 ^ ! "1 л ,„} 1 * , -П— 1 • п !

Г^2п{р'{° 7?1+/>Г *р2)-2ПЩ 'РхР2+Р2 -р2р-{)

Я(-£ят0+ / совв) . Я(£& т0+/со8 0) Р\=--> Р2~

Р\ Рг

После некоторых преобразований формула для скорости на контуре профиля принимает вид

V = Я

Я + —сое 0+ / ьтв + Л—сое 0+ / 8Ш 0 п ] \ п

2 Л яи! 0+ / сое /3±. т т 2 2 ж, соео^вт0-вт0 ^-Бта

С08 0- СОЗ

Лет 0+ /

К=гф2 + /2\ £:

При хорде Ь = 1 значения координат х, у с началом осей в носке профиля подсчитываются по формулам х = 0,5(1 + х), где х, у- координаты точки в системе координат с началом в середине хорды при Ъ — 2.

Независимыми параметрами в вышеприведенных формулах являются /, т, а. При/= 0 получаем симметричный двуугольник, при т ~ 0 -дугу окружности, а при/= т = 0 - пластину.

На рис.В.8 дан пример расчета распределения давления по двуугольнику с параметрами — = 0,125, / = 0,08, п£ = 1.

В.5. ПРОФИЛИ ЖУКОВСКОГО-ЧАПЛЫГИНА

Для определения геометрических и аэродинамических характеристик профиля Жуковского-Чаплыгина [С.1] с острой или с закругленной задней кромкой необходимо знать параметры f = 0 О0, £=О1О0, S-HD, £ = 0 А а также 2т- число расчетных точек. Обозначения этих параметров приведены на рис.В.9.

Вычислим радиус окружности с центром в точке Oq и радиусы окружностей Lj и ¿J с центром в точке О*:

JRo=slf2 + £2~, + R2=R0 + e+S.

Длина отрезка £1= A D равна 1 =-I— + Я2 -—у/ о V *Ю Определим синус и косинус углов Р и v

• Р / Р £ sin— = —, cos—=—,

2 Ro 2 i?oJ . P . p v f+esm- v шпЦ|+!

Sin—"---—, COS—™-~-.

Пусть тъ и шн - число расчетных точек соответственно на верхней и нижней частях окружности.

По заданным значениям т^ и т^ определяем в окружности L^ центральные углы, соотвествующие точкам М* для верхней и нижней частей контура

288 V ЯЧ- V

6L -— + к--; к-0,1,2,.»%;

V тс— V в„ = я+—+к-; к = 0,1,2,.т

Уравнение окружности L¿ в системе осей координат имеет cos # ri\ - Щ sin 0. Переходя к системе осей координат %0*Т], связанной с окружностъю Цу, имеем + jpsin

Отсюда получим i + seos

TJ- Щ + /+ tfsin

В.ЗО)

Уравнение профиля Жуковского-Чаплыгина может быть представлено в виде х + (т/ = с + откуда х = £

1 +

После подстановки значений д и т] из (В.ЗО) предыдущие выражения запишутся так:

R¿ eos 0- áreos f ^ яV /

R" cos в- ársin- I

2 - у

R2 sin в-\ / 4 ¿rsin^ J

Л, sin 0+ f + ¿xos

Ry eos 0- ¿xos

Координаты хвостика <9,

Я2вж@+ / 8т носка

7нос = — I и хорда профиля подсчитываются по формулам: + £1 + 2gcos—

B.31) -^XB -^HOC ЛюС ~

Безразмерные координаты профиля берутся в связанной системе координат с началом в носке профиля х = ~ Хнос у -Ъ ' b

Значения производных х(&) = — и у(0) = —, входящие в выражение V, получаются дифференцированием величин х, у. Угол 9 ф = ^

Скорости на контуре профиля определяются формулой

У\={а2+В2)

В.32)

Л = eos а

Ш + ^)eosa-2^ щ sin а

2К2щшп

В ие -siníZ ы ~ ч? ¿ - ¿xos

Cj ¿C05>"

Щ+ f + £sin

Я г.; / + j

§ - ¿xos ^ j j Щ + /+ ssm':

D = -2t Ef - ecos

Щ + /+ tfSÍIl ffftl ' I*

2 j \2í v fj - ¿reos1;

4 & - ¿reos -v 2,

На острой задней кромке квадрат скорости определяется по форт + f + ssm. t2 {ieos а - / sin «Г

Б. 33)

Заметим, что, если $=(), то получаем обтекание профиля Жуковского-Чаплыгина с острой задней кромкой (точка возврата). Если же / = 0, то получаем обтекание симметричного профиля, при /?=*/" = 0 обтекание эллипса, при е- 8 ~ 0 - обтекание дуги окружности, а при е - / = 8- 0 - обтекание пластины.

На рис.ВЛО в качестве примера показано распределение давления по профилю Жуковского-Чаплыгина.

В.6. ОБОБЩЕННЫЙ ПРОФИЛЬ ЖУКОВСКОГО-ЧАПЛЫГИНА

Профиль с угловой точкой на задней кромке принято называть обобщенным профилем Жуковского-Чаплыгина.

Отображающая функция внешности круга на внешность обобщенного профиля Жуковского-Чаплыгина, имеющего конечный угол при задней кромке (тА ф 0), имеет вид Q - seos— + i f + ¿rsini = Rcw, R = -Jf2+£*+£, п = fi f fi Sin—= -r=--» eos

2 + f

Обозначения этих параметров даны на рис,В Л1. и В Л 2. Функцию (В.34) представим в виде: z = ni- —--(и.Зз; fa+iS^) -(S3 + iS2)

S, = Reos 0- seos— + t,

52 = f + ¿rsin~ i- R sin 0i

53 = Reos в- ecos—-í.

Величины в скобках выражения (В.35) можно записать так: inarcuÁ

S1 + iS2)"=pníe

3 т 1и

Чй »narctg-—

S3 + iS2)n=pn2e s\. l/'S'f + $2 ' Pl ~~ V '

Таким образом, найдем plCOS п Щ + /?£cOS ny/'2) + i{pisin п Щ + /7"sin п у/2)

Z — ftíi------Y—7-------г* cOS пщ- P2COS пу/2 j + p"sin n щ - p"mn n \¡f2 J

Выделяя действительную и мнимую части предыдущего выражения, получим координаты обобщенного профиля Жуковского-Чаплыгина

2и 2 п у = ni

2p"p2smn{ у/2~ Wí )

Здесь

Р\"+ Р?" 2/?"/?2cosÁ ¥2 ~ ¥\X

2=8паА

Координаты хвостика х^ и носка хнос профиля подсчитываются по формулам (В.36), если в них положить = -—, Онос-тг+~, Тогда будем иметь

Дюс = 0.

Хорда профиля равна ~ ~ хтс- (В.У7)

Безразмерные координаты профиля с началом в его носке = у=(В.38)

Скорость на контуре профиля определяется формулой 2 R \( \ í \

- -Ц sin sin ¿? * costír-j eoseos 0 * jsin

V = -- sin 0— sin 0 ф sjx" + y" |V A ) - ^-i 3111 (X

B.39)

-/ . дх . dy где sm в * = —=========• x = —, y = —. ff+e at } se

Производные x и у находятся дифференцированием выражений (B.36) MpT'WpT'pi) x = n£--——~~~rb r\ r¡

2п{рп7рЧ~1 px+ P1PVP2)sinn( щ - щ) y-n£-:i n£ 2np"p^ ~ ^cosn( V2 - Vi)

2f iplp^smni y/2 - y/x) fi=2n{pf lprvpf lp2)-Zr{pl lPiP\+ PVPIPI) x x cos /-/.( f/^2 ~ ¥\) + y/2 - ) siíl( - ^i), SXSX +

P\~ > P2~'

-Rsin в,; S2 = Reos в, S*>St — S<>Si , S/yS-\ — S'ySt

1,y , ¿л XÁ X I.y . A JЛя

Wl - ~~ 2 ' r2 - 2 • А P

Для вычисления координат и скоростей на поверхности профиля необходимо задать параметры f = Ü О0, £=(^0$, ¿ = 0 А , п = 2--и число контрольных точек.

Углы вк для нижней и верхней частей окружности найдутся по формулам:

6?в= k = 1,2,3,.,?%,

В , тс— В , л п ^ 7U+-- + K-—. к =1.2,3,./и^,

Коэффициент подъемной силы профиля

8«rsin(g-0¿) ~---1-' <В-40)

Пример распределения давления по обобщенному профилю Жуковского-Чаплыгина приведен на рис.В. 13. ш'-оргвосз прообдаошше шшшхузи крр?яо£о ншппда во тевиоото ЛЯПОЯВШЬ

Рис»В» 2. Распределение давления по поверхности пластины

Еис.В.З. Конформное преобразование внешности круга во внешность эллипса

Рис.В.4. Распределение давления по эллипсу С =0,

Рис.В. 5.

Распределение давления по эллипсу С

Рис.Б.в. Конформное преобразование внешности круга во внешность дуги ц ь 1 \ <Г А

Рис.В. 7. Конформное преобразование внешности круга во внешность двуугольника

• 3* -У

Рис3.8. Распределение давления по двуугольнику ( 0,125; £ = 0,08; ni =? I)

Еио.В.9., Конформное преобразование круга в профиль Жуковского - Чаплыгина.

-7 -5

Рис.1ЫО. Распределение давления по профилю Жуковского-Чаплыгина В = I, ^ =0,2, 6 =0,16, ^ = 0.

Рис. В.-М. Конформное преобразование круга в симметричный профиль Жуковского-Чаплыгина

Рис.в.12. Конформное преобразование круга в обобщенный профиль Жуковокого-Чашшиша

Рис.В. 4 5. Распределение давления по обобщенному профилю Жуковского-Чаплыгина 6=1, £ = 0,2, е = о,1б, г/ж = од.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование задач обтекания сечений крыла несжимаемым потоком на основе метода Галеркина»

Постоянное усовершенствование летательных аппаратов (ДА), рост их стоимости, времени разработок и внедрения достижений науки в практику инженерных расчетов в авиации и ракетостроении привели к необходимости широкого использования новых' средств разработки -систем машинного проектирования [8,25,84,137,159,173,175]. Применение вычислительной техники на различных стадиях процесса проектирования позволяет значительно сократить трудоемкость этого процесса, организован» комплексную оптимизацию ряда параметров, увеличить число рассматриваемых решений и тем самым сократить расходы на стадии проектирования [175].

В наши дни рекомендации о рациональном облике самолета могут быть сделаны только на основе комплексных проработок с участием проектировщиков различных специальностей. Трудоемкость этих процессов значительно возросла за последние годы, а время, когда конструктор мог считать себя создателем самолета нового типа, почти миновала [159]. Поскольку комплексная программа должна включать значительное число блоков ("Аэродинамика", "Прочность", "Аэроупругость", "Экономика" и т.д.), то целесообразна модульная структура программы, при которой отдельные блоки (модули) разрабатываются специалистами в данной области. При этом процесс проектирования самолета оказывается возможным лишь в условиях тесного взаимодействия различных дисциплин (рис. В.1 [213]). В частности, блок "Аэродинамика" предназначен для расчета суммарных аэродинамических характеристик с учетом эффективности органов управления для выполнения условий балансировки на всех режимах полета самолета.

Рис. В.!. Взаимодействие различных дисциплин при проектировании самолета

Кроме того, необходимо знать распределенные нагрузки по отдельным элементам самолета, которые требуются для расчета прочности и упругих деформаций конструкции самолета. При этом важно применять накопленную информацию по экспериментальными исследованиям самолета - прототипа и сочетать эту информацию с данными, полученными существующими расчетными методами [175].

Определению аэродинамических характеристик самолета, и его частей уделялось много внимания, начиная с зарождения авиации: существует много статей и книг, в которых собраны полученные результаты. Но методология аэродинамического проектирования самолета находится в развитии и еще далека от завершенного состояния [84, с.9].

На этапе начального проектирования самолета используются более простые, приближенные методы, Самолет рассматривают как совокупность отдельных частей: крыла, фюзеляжа, оперения, гондол двигателей и т.д. Определяют силы и моменты, действующие на каждую из них. При этом используют результаты* аналитических, численных и экспериментальных исследований. Силы и моменты, действующие на самолет:, .находят как суммы соответствующих сил и моментов, действующих на каждую из его частей, с учетом их взаимного влияния [8, с,96].

При аэродинамическом проектировании самолета и его частей применяют как прямой, так и обратный методы формирования конфигурации летательного аппарата,

При прямом методе задаются геометрией крыла, фюзеляжа,., самолета, а их аэродинамические характеристики рассчитываются теоретическими методами (аналитическими и численными - способами) или получают экспериментальным путем, Изменяя принятую первоначально на основе статистических данных геометрию частей самолета, и их взаимное расположение, исследования повторяют до получения аэродинамических характеристик самолета, соответствующих заданным техническим условиям (рис, В.2)

Выбор геометрии крыла, фюзеляжа, самолета.

Определение аэродинамических характеристик

Сравнение характеристик технич. условиями

Рис. В.2. Схема проектирования самолета прямым методом

Обратный метод аэродинамического проектирования самодета требует задания распределения давления или скорости, которое обеспечит желаемые характеристики крыла (самолета), причем решение обратной задачи аэродинамики может быть построено с ограничениями на геометрические и аэродинамические характеристики самолета ([173], с. 230), Схема решения обратной краевой задачи аэродинамики показана на рис. В.З.

Рис. В.З. Численная схема аэродинамическою проектирования самолета обратным методом

Среди аэродинамических характеристик самолета имеется один параметр, точная оценка которого особенно важна - это аэродинамическое качество (К = Суа/СХп - отношение подъемной силы к сопротивлению). Чем выше качество, тем большей дальности полета можно достичь при заданном относительном запасе топлива. Например, пятикратное увеличение расходов на аэродинамические исследования является выгодным, если это приводит к увеличению аэродинамического качества, на 1%[8,с.8].

Аэродинамические характеристики самолета и его частей могут быть найдены аналитически, численно или опытным путем. По-видимому, до конца XX века основным методом исследования аэродинамики останется экспериментальный, поскольку только в процессе эксперимента можно получить эталонные данные и, что особенно важно, выявить новые аэродинамические явления [8], В настоящее время все возрастающее значение приобретает численное решение уравнений, описывающих математические модели обтекания самолета и его частей. Эта область аэродинамики развивается очень бурно. Полагают, что к 2000 году можно будет рассчитывать обтекание полных конфигураций самолета как при установившемся движении, так и при маневрировании [8].

Все три подхода аэродинамики (аналитический и численный методы расчета, эксперимент) тесно связаны, взаимно дополняют и обого-щают друг друга. Так, достоверность результатов численного метода расчета обтекания сечений крыла (профиля) потенциальным потоком несжимаемой жидкости можно оценить лишь путем сравнения их с данными точных решений, полученных, например, методом конформных отображений. Правильность расчета обтекания тел с учетом вязкости и сжимаемости может быть проведена лишь с помощью физического эксперимента. Но стоимость экспериментальных исследований быстро растет, прежде всего, из-за удорожания обслуживания, из-за роста стоимости электроэнергии, а также из-за все возрастающих затрат времени, связанных с необходимостью приспосабливать имеющиеся экспериментальные установки и стенды для испытания новых моделей. Кроме того, результаты, полученные в аэродинамических трубах на моделях самолета, необходимо перенести на натурный объект. Вместе с тем наблюдается стремительное снижением стоимости проведения расчетов, обусловленное появлением более мощных ЭВМ, обеспечивающих высокую скорость, а также более эффективных методов расчета. Отмеченные тенденции роста стоимости проведения экспериментов и снижения стоимости выполнения расчетов создают чрезвычайно благоприятные предпосылки для внедрения вычислительной аэродинамики как основного средства, аэродинамического проектирования [25,84, ] 75],

При численном решении уравнений, моделирующих обтекание ДА и его частей с учетом вязкости, большинство методов основывается на так называемом зональном подходе. Согласно этому методу, область течения разбивается на две зоны: зону невязкого течения, в которой влияние вязкости не учитывается, и зону вязкого течения, обычно включающую тонкий пограничный слой у стенки и след за телом, в которых вязкость играет важную роль [43,156,189,190,203,213].

В общем случае может оказаться целесообразным получение численных решений уравнений Навье-Стокса для всей области течения, вместо локального решения этих уравнений при зональном подходе. Обзор численных методов решения уравнений Навье-Стокса. дан, например, в работах [18,84,186,216,221,237].

При практическом применении зонального подхода возникает вопрос о выборе математических моделей для описания зон невязкого и вязкого течений, иначе говоря, о выборе уравнений движения, а также вопрос о способе стыковки локальных решений для этих зон.

Наиболее эффективным методом получения решения для невязких несжимаемых течений, описываемых уравнением Лапласа, является метод наложения потенциальных потоков, В силу линейности уравнения Лапласа суммарный потенциал скорости представляют как сумму потенциалов невозмущенного потока и гидродинамических особенностей; источников, диполей и вихрей. Особенности располагают на поверхности тела или внутри него, а также в вихревом следе, Такие распределенные особенности автоматически удовлетворяют уравнению Лапласа и граничным условиям на бесконечности. Задача сводится к удовлетворению граничных условий на поверхности тела и в следе, Метод наложения потенциальных потоков является общим методом, позволяющим решать задачи о потенциальном обтекании жидкостью любого числа тел, Гйдродинамические особенности в идеальной жидкости, вообще говоря, являются фиктивными, они служат лишь средством деформации прямолинейного поступательного потока.

В общем случае доказано [152], что искомую гармоническую функцию, регулярную вне поверхности 5, можно искать как. сумму потенциалов простого и двойного слоев, расположенных на 5'. Если решается внешняя краевая задача Неймана, то возмущенный потенциал скорости может быть представлен в виде потенциала двойного слоя. Бели далее учесть эквивалентность потенциалов двойного слоя и вихревой поверхности [90], то при решении задачи Неймана достаточно пользоваться методом вихревого слоя, теория которого достаточно хорошо разработана. Для получения распределения скоростей необходимо знать лишь значения частных производных от потенциала, скорости по касательному направлению к поверхности тела. и Л X

Источники - стоки (простой слой) моделируют лишь обтекание профиля без циркуляции. Для создания подъемной силы необходимо ввести дополнительные особенности - диполи (двойной слой) или вихревой слой.

Интенсивности гидродинамических особенностей определяются из интегральных уравнений, выражающих граничное условие на поверхности обтекаемого тела (нормальная составляющая суммарной скорости равна нулю). А полное уравнение потенциала с учетом сжимаемости решается методом' поля [173], В настоящее время хорошо известны и широко описаны различные модификации численных подходов к расчету потенциальных течений, основанных на размещении внутри обтекаемого тела или на его поверхности гидродинамических особенностей (диполей, источников, вихрей). Идеи этих подходов не новы. Однако в домашинную эпоху расчет обтекания тел сложной формы наталкивался на. значительные трудности, связанные, в основном, с численной реализацией получающихся интегральных уравнений. В настоящее время в связи с увеличением мощностей ЭВМ и развитием методик эффективного решения больших систем алгебраических уравнений интерес к таким численным подходам значительно возрос [39,45,59,65,157,173].

Методы теории потенциала для численных расчетов полей течения при обтекании тел произвольной формы известны и дают хорошие результаты, (см., например, [39,59,173]. Однако точное или приближенное решение интегральных или интегро-дифференциальных уравнений для крыла с произвольным контуром связано все же с рядом трудностей. К ним относятся; особенности ядер интегральных уравнений, большое число алгебраических уравнений, обеспечение условий течения жидкости в окрестности задней кромки, на торцах крыла и изломах.

Шаг вперед в решении уравнения для потенциала в случае крыла с произвольным контуром был сделан с помощью так называемого панельного метода [39,59,141,173,213,214].

Сущность панельного метода состоит в том, что вместо непрерывного распределения особенностей по поверхности тепа задаются интенсивности их распределения на отдельных панелях. Затем решается интегральное уравнение на своей панели.

К настоящему времени разработано множество панельных методов, различающихся главным образом способом выбора типов особенностей, законом распределения их интенсивностей, способом расположения панелей и типом используемых граничных условий. Примерами панельных методов первого поколения являются работы Смита [223,224], Гесса [187], Роберта и Саариса [219,220], Вудворда [231,233], Морино [214] и др.

Используя теорию потенциала, большой вклад в развитие вычислительной аэродинамики внесли отечественные ученые: В.А. Баринов [9], С.М. Белоцерковский [10-19], М.А. Брутян [22-23], В.Н. Вернигора [26], Н.Ф. Воробьев [27-30], Ф.И. Ганиев [21,36,37], МА. Головкин [41], A.A. Дашковский [45], A.A. Зайцев [62-63], А.Г. Захаров

64-66], В.Е. Ковалев [77], Г.А. Колесников [12,78], В.Н. Котовский [13, 79], И.К. Лифанов [14], Л.А. Маслов [93-98], А.П. Мельников [99], М.И. Ништ [15-17], Г.А. Павловец [130-134], В.М. Романов [138,139], Н.Д. Са-мознаев [142], Б.К. Скрипач [18-19], Ю.Г. Степанов [156], А.Д. Хамзаев [169-170], Л.М. Шкадов [175], В.М. Шурыгин [179] и др.

В существующих методах особое внимание обращается на техни- ) ку вычислений и на использование машин. А учет физических особен- | ностей течений на изломах (корневое сечение), на концах крыла (обра- | щение нагрузки в нуль), выполнение постулата Чаплыгина-Жуковского { I на задней кромке (противоречивость решения этой фундаментальной ; проблемы) нельзя считать полностью решенными [84, с. 172; 176; 190]. I

Методы решения уравнений пограничного слоя можно разделить на два типа: дифференциальные и интегральные. В дифференциальных методах используются уравнения в частных производных, в интегральных - обыкновенные дифференциальные уравнения, получаемые из интегральных соотношений.

К настоящему времени разработано множество методов и соответствующих программ для расчета вязких течений [55,56,90,167,176,178,185 идр].

Расчеты интегральными методами требуют меньших затрат машинного времени счета и, как правило, меньшего памяти ЭВМ, но необходимость задания формы профиля скорости затрудняет проверку сложных моделей турбулентности. Кроме того, в интегральных методах не учитывается изменение давления по нормали к поверхности крыла.

При зональном подходе программу определения параметров пограничного слоя необходимо связать с программой вычисления скорости при потенциальном обтекании "эффективного" тела, получаемого добавлением толщины вытеснения пограничного слоя и следа к крылу. Давление на крыло определяется как давление на поверхность вытеснения, В результате- этого создается итерационная процедура расчета вязко-невязкого взаимодействия,

Существующие метода дают результаты, близкие к экспериментальным. В этой части также имеются нерешенные проблемы. Например, не определен аналог условия Чаплыгина-Жуковского в вязких течениях. В работе [84, с. 1.78] отмечается, что было бы весьма целесообразно обратить особое внимание на эту фундаментальную проблему вместо разработки еще одного панельного или релаксационного метода.

Существуют два основных способа расчета обтекания тела, использующие модель вязко-невязкого взаимодействия:

1. Прямая итерационная процедура (рис, 1,4);

2. Обратная итерационная процедура (рис. В,5).

В прямой итерационной процедуре сначала рассчитывается невязкое обтекание заданного тела. Затем, используя найденное распределение скоростей, определяют параметры пограничного слоя. Далее, используя толщину вытеснения § (х), корректируют граничное условие и повторяют расчет потенциального оотекания ''Эффективного'1 полу тела (рис, В.4).

Процесс продолжается до тех пор, пока отличие давлений на двух последовательных расчетах не станет достаточно малым.

Геометрия обтекаемого "Чу. j тела (полутела)

Расчет невяжого течения \jg

Ж,

Г Толщина ! Расчет

L.rtrr:.,. погр. слоя вытеснения. Г""- . J (прям, задача)

Рис. В .4. Процедура расчета вязко-невязкого взаимодействия (прямой итерационный процесс)

В обратной итерационной процедуре расчет пограничного слоя производится' для того, чтобы определить распределение, скорости на, поверхности тела ие, соответствующее заданному распределению толщины

Мп) тг вытеснения о 4 -, Кроме того, решается прямая задача невязкого течения (с учетом толщины вытеснения & ■ ') и определяется распределение ско-•тей 11е. Далее производится корректировка толщины вытеснения по

М = ¿Р> + А(й.-и) + в±(1Г-и), схеме (рис, В.5) йх где II - распределение скоростей из решения прямой задачи невязкого течения; и -• распределение скоростей из решения обратной задачи пограничного слоя; А и В - параметры; п - номер итерации.

Геометрия обтекаемого тела (иолутеаа)

Расчет пограничного сдоя (обрат, зад.) 5

Ли+П 6

Расчет невязкого теч. (прямая задача) и и V

8*(п) 4-А(и~и)+В-(и~Ц)

Рис. В.5. Процедура вязко-невязкого взаимодействия (прямо-обратная задача)

Методы, использующие прямую итерационную процедуру, более развиты, чем метода, использующие обратную итерационную процедуру. Обеспечение единственности решения задачи обтекания профиля вязким потоком является до некоторой степени искусством. -Эту проблему нельзя считать решенном (см., например, [24]). Чаще всего для этого применяют метод Картера, позволяющий корректировать толщину вытеснения в данной точке по невязке скоростей 17-11 в этой же точке [24], В работах [87,114] реализован простой метод коррекции давления по его значениям для двух итераций.

Используются два способа задания поверхности, где удовлетворяются граничные условия:

I. Путем замены обтекаемой поверхности эффективным телом, которое получается путем добавления толщины вытеснения по нормали к телу и построения ненесущей поверхности за телом (Х^). Граничное условие Неймана в этом случае имеет вид где Ф - суммарный потенциал течения.

2. Путем задания "выдува" на границе заданного тела, т.е. путем модификации граничного условия без изменения формы заданного тела Ь. Граничное условие запишется в форме

Вычислительная аэродинамика обладает одним специфическим преимуществом перед экспериментальной аэродинамикой: она позволяет выполнить этапы проектирования в обратном порядке, т.е. вычислять геометрические параметры по заданному распределению давления. В этом случае решается обратная краевая задача аэродинамики с заданным на искомом контуре распределением скорости. Существует множество методов дня решения обратной задачи, аэродинамики и работы по их усовершенствованию будут продолжаться в будущем ввиду их большой, практической важности [213]. Обзор, посвященный ОКЗА, дан в монографии [53]. История развития обратных краевых задач аэродинаО мики (О КЗ А.) насчитывает более 60 лет, Основополагающие результаты получили Ф, Вейнинг, А, Бега, В, Манглер, Л.А. Симонов» Г,Г', Тума-шев, М, Лайтхилл, В.М, Шурыгин, JI. Вудс, Г.Ю. Степанов, М.Т. Ну-жин, Р. Эйлер, Ф, Вортман, Р. Либек. и др. [53], Среди отечественных исследователей значительное количество работ1 выполнено учеными ЦАРИ и Казанского университета. Основные направления приложений методов теории ОКЗ в механике сплошной среды разработаны Г,Г, Тумаше-вым, М.Т. Нужиным, Н.Б. Ильинским, О.М, Киселевым, В.В. Клоковым, A.M. Елизаровым, A.B. Потагоевым, Д.В, Максаковым [49,53,69,92,135, 1.60-164, j 75Л 85] и др. К настоящему времени разработаны обратные методы» относящиеся как методам особенностей, так. и к методам поли. Методы гидродинамических особенностей идеально приспособлены для решения ОКЗ А. Сюда относятся работы [J.30-132,141,142,149,173] и др.

Данная работа посвящена дальнейшему развитию численных методов расчета обтекания сечений крыла, идеальным и вязким потоками несжимаемой жидкости. Значительный прогресс в решении уравнения для потенциала, в случае профиля, с произвольным контуром был достигнут с помощью метода Галеркина. Коррекция распределения давления позволила однозначно определить аэродинамические характеристики профиля при заданных значениях уравнения контура >'(а), числа

Рейнольдса Re и угла атаки а.

Актуальность темы. Создание и совершенствование методов расчета аэродинамических характеристик профиля крыла конечного размаха и ЛА. с использованием ЭВМ представляют1 актуальную задачу в области вычислительной аэродинамики. Хотя экспериментальные исследования и являются наиболее достоверными, но рост стоимости проведения экспериментов и снижение стоимости выполнения расчетов создают благоприятные условия для внедрения численных методов как основного средства аэродинамического проектирования самолета, Теоретические методы позволяют проводить параметрические исследования - выявить влияние геометрических параметров крыла на ого аэродинамические характеристики, При этом экспериментальные исследования самолета - прототипа дополняются расчетными данными. Кроме того, методы решения обратных краевых задач аэродинамики позволяют найти геомезрию несущей поверхности по заданному распределению давления, что невозможно выполнить с помощью эксперимента. является: разработка более совершенного численного метода, расчета, аэродинамических характеристик сечений крыла в несжимаемой жидкости»

Теоретическое значение и научная новизна работы определяются следующим образом:

- Усовершенствован метод расчета, обтекания произвольного профиля потенциальным потоком несжимаемой жидкости. Интегральные уравнения, ж которым сводятся граничные условия, решены методом Га-леркини, Этот метод позволил снизить на порядок число алгебраических уравнений по сравнению с прямым методом. Кроме того, путем интегрирования по частям с использованием, обращения пробных, функций в нуль на концах интервала определения удалось преобразовать интегральные уравнения: изменить ядро и правую часть, Благодаря этому просто вычисляются интегралы» гювьшгаегся эффективность и точность вычислений,

- Разработан метод модификации формы профиля по распределению скорости, мало отличающемуся' от распределения скорости на изустном профиле. С помощью полиномов Якоби обеспечиваются форма, кромок профиля и замкнутость контура, Интегро-дифференциальное уравнение решено методом Галеркина.

- Решена задача расчета аэродинамических характеристик профиля с учетом вязкости в несжимаемом потоке, Учет влияния вязкости на хараюгеристики профиля выполнен в приближении пограничного слоя.

Разработан метод коррекции давления обеспечивающий завершение итерационного процесса расчета обтекания профиля .вязким потоком,,

- Результаты, подученные в теории профиля в потенциальном потоке несжимаемой жидкости, использованы при расчете аэродинамических характеристик сечений несущих поверхностей с учетом влияния границ потека и при построении теории крыла, конечного размаха.

Методика исследований Математическое моделирование основано на использовании теории потенциала для численных расчетов полей течения при обтекании от произвольной формы и интегральных методов расчета, параметров пограничного слоя. Проведенные исследования опираются на следующие положения математической физики:

- Расчет потенциального обтекания профиля сводится к решению уравнения Лапласа, Суммарный потенциал течения ищется в виде потенциала плоскопарадлельного потока и потенциала вихревого слоя. Интенсивность особенностей определяется из интегральных уравнений, которые решаются методом Галеркина,

- Использование теории потенциала для решения ОКЗА сводится к решению интегро-дафффшшального уравнения методом Галеркина. Закон восстановления давления в зоне торможения потока взят в виде функций, предложенных Г.Ю. Степановым и Б. Отрэтфордом.

- Учет влияния вязкости на. характеристики профиля выполнен в приближении пограничного слоя с использованием методов Лойцянско-го и Гарнера. Предложен метод коррекции давления в процессе вычислительной процедуры, обеспечивающий завершение итерационного процесса.

- Суммарный потенциал течения при расчете обтекания крыла конечного размаха потоком идеальной несжимаемой жидкости сзроится как сумма, потенциалов иевозмущенного потока, вихревой поверхности на 'крыле и свободной вихревой пелены за крылом.

Обоснованность и достоверность полученных результатов и вытекающих из них выводов обеспечены путем следующих сравнений:

- Распределенные и суммарные характеристики профиля в потенциальном потоке несжимаемой жидкости сравниваются с данными точных решений, полученных методом конформных отображений.

- Характеристики профиля, найденные с учетом вязкости, сравниваются с экспериментами ЦАГИ и NACA, а также с данными других авторов.

- Результаты расчета обтекания крыла конечного размаха сравниваются с данными других авторов.

Практическая значимость. Работа выполнена в рамках совместных НИР, производимых КГТУ А.Н. Туполева с АНТК А.Н. Туполева. Результаты этих исследований, изложенные в научно-технических отчетах и справках (см. [Д.2-Д.31]) используются в научно-технических разработках АНТК А.Н. Туполева. На основании полученных результатов написаны два учебных пособия [116,122]. Предлагаемый метод расчета характеристик профиля используется студентами при дипломном проектировании.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на семинарах кафедры аэродинамики КАИ (руководитель - профессор В.Г. Павлов), на Итоговых научных конференциях Казанского авиационного института, на Научных семинарах СибНИА (руководитель - к.т.н. С.Т. Кашафутдинов), на III Всесоюзной научно-технической конференции по прикладной аэродинамике в Киеве, на Научно-техническом совете МАИ (руководитель - академик Ю.А. Рыжов), на семинаре в ЦАГИ (руководитель - д.т.н. Павловец Г.А.), на Научном семинаре отдела краевых задач НИИММ имени Н.Г. Чеботарева (руководитель - профессор Н.Б. Ильинский), МГУ (руководитель - академик Г.Г. Черный), ВВИА имени Н.Е. Жуковского (руководитель - профессор М.И. Ништ).

Пубшкашш, По теме диссертации опубликованы 27 статей [87, 104-1.29], в том числе, два учебных пособия [116,122], По теме диссертации оформлены 29 научно-тежнических отчетов и справок [Д.2.-Д.31],

Структура, и объем диссертации, Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка цитированной литературы и приложения. РАСЧЕТ ОБТЕКАНИЯ ПРОФИЛЯ ПОТЕНЦИАЛЬНЫМ ПОТОКОМ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ.26

1.1. Обзор и анализ методов расчета.27

1.2. Основные уравнения потенциала вихревого слоя в теории профиля.31

1.3. Метод Галеркина.39

1.4. Применение "панельного метода".41

1.5. Вычисление аэродинамических характеристик профиля. 45

1.6. Результаты расчетов и их анализ.47

1.7. Сходимость метода координатных функций .49

1.8. К преобразованию интегральных уравнений.51

1.9. Краткий сравнительный анализ методов расчета обтекания профиля .53

1.10. Выводы rio первой главе.54

2. ПОСТРОЕНИЕ КОНТУРА ПРОФИЛЯ IIO ЗАДАННОЙ СКОРОСТИ В ПОТОКЕ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ. 91

2.1. Обзор и анализ методов решения обратной задачи.91

2.2. Постановка задачи. 93

2.3. Математическое описание контура профиля.95

2.4. Проектирование профиля по заданному распределению давления.98

2.5. Определение угла атаки.100

2.6. Проектирование профиля с учетом условия безотрывиости обтекания.101

2.7. Результаты расчета и их анализ.107

2.8. Выводы по второй главе.109

3. РАСЧЕТ ОБТЕКАНИЯ ПРОФИЛЯ ПОТОКОМ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ.125

3.1. Обзор и анализ методов расчета.127

3.2. Метод расчета на основе модели вязко-невязкого взаимодействия .130

3.3. Обеспечение единственности решения задачи обтекания профиля вязким потоком. 140

3.4. Расчет суммарных аэродинамических характеристик профиля .147

3.5. Результаты расчетов и их анализ.149

3.6. Выводы по третьей главе.151

4. ВЛИЯНИЕ ГРАНИЦ ПОТОКА НА АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКГЕРИСТИКИ ПРОФИЛЯ.178

4.1. Влияние экрана на аэродинамические характеристики профиля. 178

4.2. Влияние свободной поверхности жидкости на аэродинамические характеристики профиля.183

4.3. Проектирование профиля вблизи свободной поверхности. 190 4.3. Выводы по четвертой главе.191

5. РАСЧЕТ ОБТЕКАНИЯ КРЫЛА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА ПОТЕНЦИАЛЬНЫМ ПОТОКОМ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ. 197

5.1. Обзор и анализ методов расчета. 197

5.2. Основные уравнения метода вихревой поверхности.206

5.3. Преобразование уравнения. 213

5.4. Метод базисных функций.220

5.5. Аэродинамические характеристики крыла конечного размаха на дозвуковых скоростях.223

5.6. Результаты расчетов и их анализ.226

5.7. Выводы по пятой главе.229

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.242

АББРЕВИАТУРЫ, ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ.244

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА.246

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ИСТОЧНИКИ. 268

ПРИЛОЖЕНИЯ.272

ПРИЛОЖЕНИЕ А.272

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ В

ДИСКРЕТНЫХ ТОЧКАХ.272

ПРИЛОЖЕНИЕ В. 277

АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ПРОФИЛЕЙ.277

ВВЕДЕНИЕ.277

В.1.ПЛАСТИНА.278

В.2. ЭЛЛИПС.279

В.З. ДУГА ОКРУЖНОСТИ.280

В.4. ДВУУГОЛЬНИК.284

В.5. ПРОФИЛИ ЖУКОВСКОГО-ЧАПЛЫГИНА.287

В.6. ОБОБЩЕННЫЙ ПРОФИЛЬ ЖУКОВСКОГО-ЧАПЛЫГИНА.291

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Нугманов, Зуфар Хуснутдинович

Основные результаты и выводы диссертационной работы:

1. Разработан эффективный численный метод расчета обтекания произвольного профиля потенциальным потоком несжимаемой жидкости. Результаты расчета сравниваются с данными точных решений полученных методом конформных отображений. Расхождения между результатами численного и точного методов составляет не более 1-4-2%. Рассмотрен вопрос о сходимости метода. Универсальность и высокая степень точности метода достигнута за счет усовершенствования математической модели и математического метода решения интегральных уравнений - выбора ортогональных пробных функций и применения модифицированного метода Галеркина,

2. Решена задача модификации контура профиля по хордовой диаграмме скорости в идеальной жидкости. Получены уравнения для определения координат средней линии, полутолщины профиля и угла атаки. Коэффициенты пробного решения определяются методом Галеркина. Безотрывность обтекания в зоне с положительным градиентом давления обеспечивается путем задания законов распределения скоростей, рекомендованных Г.Ю. Степановым и Б.С. Стрэтфордом. Приведены примеры расчета (точность расчета - в пределах 1*2%).

3. Разработан метод расчета аэродинамических характеристик профиля при обтекании его потоком вязкой несжимаемой жидкости. Учет влияния вязкости на характеристики профиля осуществлен в приближении пограничного слоя. Уточнена математическая модель "вязко-невязкого" взаимодействия. Впервые разработан метод коррекции давления, обеспечивающей завершение итерационного процесса. Расчетные значения распределенных и суммарных характеристик известных профилей сравниваются с данными экспериментов ЦАГИ, NACA и с результатами расчета других авторов (расхождения между результатами численного расчета и экспериментов в пределах 5*7%).

4. Решены прямые и обратные краевые задачи аэродинамики для профиля с учетом границ потока. Здесь используется методы, разработанные для расчета профиля в неограниченном потоке.

5. Усовершенствован математический метод расчета обтекания крыла конечного размаха идеальной жидкостью за счет выбора ортогональных пробных функций и за счет преобразования интегральных уравнений. Уменьшено количество решаемых алгебраических уравнений относительно коэффициентов пробного решения.

Разработанные в диссертации методы реализованы в виде прикладных программ, которые используются в научно-технических разработках АО АНТК им. А.Н. Туполева и в учебном процессе.

АББРЕВИАТУРЫ, ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

ЛА - летательные аппараты

ОКЗ - обратные краевые задачи

ОКЗА - обратные краевые задачи аэрогидродинамики

Г1КЗА - прямые краевые задачи аэрогидродинамики

MBH - метод взвешанных невязок

Сх - коэффициент аэродинамической продольной силы

- коэффициент лобового сопротивления

Cv - коэффициент аэродинамической нормальной силы Су - коэффициент аэродинамической подъемной силы К = CyJCXa - аэродинамическое качество р V2 --------- - скоростной напор невозмущенного потока ср - {р- pSi/^oo - коэффициент давления

- плотность невозмущенного потока р - давление а - геометрический угол атаки а0 - угол атаки (при Су = 0)

2кр - критический угол атаки (при Суа ~ Суатях)

Г = - циркуляция скорости

Су" - dCvJda - градиент изменения СУл

С„ - коэффициент подъемной силы в идеальной жидкости ст - коэффициент момента тангажа относительно передней кромки профиля ПС - пограничный слой Re = VJbf v - число Рейнольдса

Vrj0 - скорость невозмущенного набегающего потока b - хорда профиля v - кинематический коэффициент вязкости S - толщина пограничного слоя - толщина вытеснения пограничного слоя

- толщина потери импульса пограничного слоя " - толщина потери энергии пограничного слоя Нуу ~ $/г - параметр пограничного слоя Н32 = о /о - параметр пограничного слоя

Уе - распределение скоростей на внешней границе пограничного слоя

Су - местный коэффициент трения

5 - площадь крыла

Ь - хорда крыла с - стах/Ь - относительная толщина профиля /тя%/Ь - относительная вогнутость профиля сшах - максимальная толщина профиля

Лшх - максимальная вогнутость профиля хс - абсцисса точки максимальной толщины профиля

Ху - абсцисса точки максимальной вогнутости профиля

Хра - абсцисса аэродинамического фокуса по угулу атаки

- размах крыла

Л = £2/$ - удлинение крыла

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Применение современных ЭВМ на различных стадиях проектирования самолетов позволяет значительно сократить трудоемкость этого процесса, организовать комплексную оптимизацию ряда параметров, увеличить число рассматриваемых решений и тем самым сократить расходы на стадии проектирования. При этом задача аэродинамического проектирования самолетов решается на основе теоретических (аналитических и численных) и экспериментальных исследований.

Диссертационная работа посвящена дальнейшему развитию и усовершенствованию математической модели и математических методов решения прямых и обратных краевых задач аэродинамики в теории крыла. Математическое моделирование невязких течений основано на использовании метода гидродинамических особенностей, а численная реализация - метода В.Г. Галеркина, Учет влияния вязкости основан на зональном подходе. Параметры пограничного слоя рассчитываются интегральными методами Л.Г. Лойцянского и Г.К. Гарнера.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Нугманов, Зуфар Хуснутдинович, 1997 год

1. Авхадиев Ф.Г. Однолистные решения обратных краевых задач гидромеханики // Тр. семинара по краевым задачам, -Казаны Казан, ун-т. -1990, -Вып.24. -С.3-14.

2. Авхадиев Ф.Г., Аксентъев Л,А., Елизаров A.M. Признаки однолистности решений прикладных обратных краевых задач, I. II // Тр. сем, по краев, задачам. -Казань: Казан, ун-т. -1987, -Вып. 23. -С, 6-24; -1990, -Вып. 24. -С. 14-38,

3. Авхадиев Ф.Г., Елизаров A.M., Фокин Д.А. Максимизация критического числа маха для несущих крыловых профилей // Изв.РАН.Механика жидкости и газа, -1992, Ks 3. -С. 115-162,

4. Аксентъев Л,А., Ильинский Н.Б., Нужин М.Т., Салимов Р.Б., Тума-шев Г.Г, Теория обратных краевых задач для аналитических функций и ее приложения // Сб. Итоги науки и техники, ВИНИТИ АН СССР. Математический анализ. ~М,: -1980, -Т. 18, -С, 67-124,

5. Аржаников B.C., Мальцев В.Н. Аэродинамика, -М: Оборонгиз. -1956, -484 с.

6. Аржаников Н.С., Садекова Г.С. Аэродинамика летательных аппаратов, -М.: Машиностроение, -1984. -359 с.

7. Аэрог идромеханика / E.H. Бондарев, В,Т. Дубасов, Ю.А.Рыжов и др. -М.: Машиностроение. 1993, -608 с.

8. Аэродинамика летательных аппаратов: Учебник для вузов по специальности "Самолетостроение" / Г,А, Колесников. В,К. Марков, A.A. Михайлюк и др. -М.: Машиностроение. -1993. -544 с.

9. Баринов В.А. Обратная задача пограничного слоя и условия оптимизации профиля в несжимаемой жидкости //Учен, зап, ЦАГИ. -1977, Т.8. -Nq 2. -С.26-32.

10. Белоцерковский С,М. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа // -Мл Наука, -1965. -244 с.1Л"7I

11. Белоцерковский C.M. Расчет обтекания крыльев произвольной формы в плане в широком диапазоне углов атаки // Изв. АН СССР. МЖГ. -1968. 4. -С.3-12.

12. Белоцерковский С.М., Колесников Г.А. Расчет воздействия порыва на крыло сложной формы в плане при дозвуковых скоростях // Изв. АН СССР. МЖГ. -№>:. -С.28-32.

13. Белоцерковский С.М., Котовский В.Н., Ништ М.И., Федоров P.M. Математическое моделирование нестационарного отрывного обтекания кругового цилиндра// Изв. АН СССР. МЖГ.-1983.-№4.-С. 138-147.

14. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. -М.: Наука, 1985. -253 с.

15. Белоцерковский С.М., Ништ М.И. К расчету срывного нестационарного обтекания тонкого профиля // Изв. АН СССР. МЖГ. -1972. -№ 3. -С. 3-9.

16. Белоцерковский С.М., Ништ М.И. Нестационарная нелинейная теория тонкого крыла произвольной формы в плане // Изв. АН СССР. МЖГ. -1974. -Ко 4. -С. 12-17.

17. Белоцерковский С.М., Ништ М.И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью // Под ред. С.М. Белоцер-ковского. -М.: Наука, 1978. -210 с.

18. Белоцерковский С.М., Скрипач Б.К. Аэродинамические производные летательного аппарата и крыла при дозвуковых скоротях. -М.: Наука, 1975. -424 с,

19. Белоцерковский С.М., Скрипач Б.К., Табачников В.Г. Крыло в нестационарном потоке газа. -М.: Наука, 1971. -203 с,

20. Бокарева А.Я., Майкапар Г.И. Приближенное построение тонкого профиля по заданному давлению/Лр.ЦАГИ,-1948. -Вып.663. -С.31-38.

21. Бушуев В.И., Ганиев Ф.И., Локтев Б.Е. и др. Аэродинамическая компоновка и характеристики летательных аппаратов. М.: Машиностроение. -1991. -201 с.

22. Брутян М.А. Влияние вязкости на аэродинамические характеристики профиля, обтекаемого несжимаемой жидкостью при больших числах Re//Тр. ЦАГИ. -1974. -Вып. 1565. -20 с.

23. Брутян М.А. Исследование симметричного дозвукового обтекания профиля при турбулентном отрыве пограничного слоя // Тр. ЦАГИ. -1978. -Вып. 1946. -С.3-15.

24. Васильев В.И., Хохлов С.В., Шальман Е.Ю. Применение теории пограничного слоя для расчета отрывных течений // Тр. ЦИАМ. -1990. -№ 252. -С.60-83.

25. Вермель В.Р. Оперативный банк данных автоматизированной системы формирования облика самолета // Тр. ЦАГИ. -1982. -Вып. 2140. -С.3-23

26. Вернигора В.Н., Ираклионов B.C., Павловец Г.А. Расчет потенциальных течений около крыльев и несущих конфигураций крыло-фюзеляж // Тр. ЦАГИ. -1976. -Вып. 1803. -23 с.

27. Воробьев Н.Ф. О решении задач обтекания крыла конечного размаха в линейной постановке // Изв. АН СССР. МЖГ. -1979. 5. -С. 13-23.

28. Воробьев Н.Ф. Метод интегральных уравнений решения задач аэродинамики несущих поверхностей Автореф. дис. д-ра. физ.-мат. наук 01.02.05. -Казань. -1987. 30 с.

29. Воробьев Н.Ф. Аэродинамика несущих поверхностей в установившемся потоке. -Новосибирск: Наука, 1985. -237 с.

30. Воробьев Н.Ф., Шашкина Г.Н. Метод расчета обтекания профилей несжимаемым потоком. -Исследование обтекания тел численным методами. -Новосибирск IIИТПМ СО АН СССР. -1976. -С.66-76.

31. Воронин В.В., Цехохо В.А. Численное решение интегрального уравнения I рода с логарифмической особенностью методы интерполяции и коллокаций //ЖВМ и МФ.-1981. -Т.№ 21. -№ 1. -С.3-11.

32. Габдулхаев Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач -Казань: Казан, ун-т. -1980. -232 с.

33. Габдулхаев Б.Г., Душков Г1.Н. О прямых методах решения интегральных уравнений первого рода // Изв. вузов. Математика. -1973. -№ 3. -С. 12-24.

34. Гадецкий В.М. Исследование аэродинамических характеристик профиля с механизацией // Тр. ЦАГИ. 1970. Вып. 1256. -С.3-16.

35. Гадецкий В.М. Влияние формы профиля на аэродинамические характеристики крыла вблизи экрана // Тр. ЦАГИ. -1985. -Вып. 2304. -22 с.

36. Ганиев Ф.И. Метод расчета продольных, боковых и перекрестных аэродинамических производных летательного аппарата на дозвуковых скоростях// Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. -1978. -№ 2. -С. 15-21.

37. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. -М.: Наука, 1977. -640 с.

38. Герасимов С.В., Глушков H.H. Применение панельного метода к расчету обтекания сложной компоновки ЛА с гондолами ТВД, установленными на крыле // Тр. ЦАГИ. -1995. -Вып. 2562. 16 с.

39. Глауэрт Г. Основы теории крыльев и винта. -М.ТНТИ. -1931.-163 с.

40. Головкин М.А. Метод решения задачи об отрывном обтекании идеальной несжимаемой жидкостью произвольно движущегося трехмерного тела//Уч. зап-ки ЦАГИ. 1977. Т. VIII. -№> 2. -С.15-19.

41. Голубев В.В. Лекции по теории крыла. -М, Л.:ГИТТЛ, -1949. -480 с.

42. Гурьянов И.А., Котовский В.Н., Ништ М.И. Математическое моделирование нестационарного обтекания вязким потоком телесного крыла конечного размаха // Учен. зап. ЦАГИ. -1991. -Т. 22. № 3. -С.35-41.

43. Гюнтер Н.М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. -М.: ГИТТЛ, 1953. -390 с.

44. Дашковский A.A. Расчет панельным методом обтекания крылового профиля потоком несжимаемой жидкости // Тр. ЦАГИ. -1980. -Вып. 41.-С, 3-18.

45. Дубасов В .Т., Рыжов Ю.А., Семенников Н.В. Аэродинамика тонких тел. М.: МАИ. 1980. -89 с.

46. Дубасов В.Т., Семенников И.В. Теория потенциального течения несжимаемой среды. Под ред. д-ра техн. наук проф. Ю.А. Рыжова. -М.: МАИ.-1978. -93 с,

47. Елизаров A.M. О квазирешениях внешней обратной краевой задачи // Изв. вузов. Математика. -1984. -Ш 10. -С.42-50.

48. Елизаров A.M. Регуляризация и оптимизация решений обратных краевых задач аэрогидродинамики. Автореф. дне. д-ра физ. мат. наук. 01.02.05. -Казань.-1991.-31 с.

49. Елизаров A.M., Ильинский Н.Б. Метод квазирешений в обратной краевой задаче гидродинамики II Изв. вузов. Математика. -1984. ~№ 10. -С, 50-59.

50. Елизаров A.M., Ильинский II.Б., Поташов A.B. Построение крыловых профилей методом квазирешений обратных краевых задач // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. -1988. № 3. -С.5-13.

51. Елизаров A.M., Ильинский Н.Б., Поташов A.B. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Сер. мех. жидкости и газа. -Т. 23. -М.: -1989. -С.3-115.

52. Елизаров A.M., Ильинский Н.Б., Поташов A.B. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики: Теория и методы проектирования и оптимизации формы крыловых профилей -М.: Наука. -1994. 436 с.

53. Елизаров A.M., Фокин Д.А. Построение крыловых профилей, обтекаемых безотрывно в заданном диапазоне изменения углов атаки // Изв. АН ССР. Механ. жиж. и газа. -1990. -Mb 3. -С. 157-164.

54. Емельянова Г.Н. Численный метод решения уравнений плоского турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости с продольным градиентом давления // Тр. ЦАГИ. -1975. -Вып. 1543.

55. Емельянова Г.Н., Прозоров А.Г. Расчетное и экспериментальное исследование пограничного слоя в переходной области II Тр. ЦАГИ. -1975. -Вып. 1707.

56. Ермоленко С.Д., Рягузов Е.А. Применение метода дискретных вихрей к расчету потенциального обтекания профиля механизированного крыла в присутствии экрана //Изв. вузов. Авиац. техника. -1984. -№ 4. -С. 25-31.

57. Ермоленко С.Д., Рягузов Е.А. Расчет аэродинамических характеристик объемных крыльев конечного размаха обтекаемых потенциальным несжимаемым потоком // Изв. вузов. Авиац. техника. -1986. -№ 4. -С.43-48.

58. Жилин Ю.Л., Лободина Л.Ф. Вычисление потенциала возмущений скорости в усовершенственном панельном методе // Тр. ЦАГИ. -1989. -Вып. 2442. -47 с.

59. Жилин Ю.Л., Лободина Л.Ф., Савчук В.Д., Фридман Б.М. Вычисление поля скоростей в панельных методах // Тр. ЦАГИ. -1989. -Вып. 2442. -С.25-38.

60. Зайцев А.А., Комаров А.М. Применение квадратурной формулы кубических сплайнов для расчета потенциального обтекания системы аэродинамических профилей // Вестник московского ун-та. -Серия I. Математика и механика. -1983. -№ 5.

61. Зайцев A.A., Хамзаев А.Д. Расчет обтекания крыла конечной толщины идеальной жидкостъю//Изв.АН СССР.МЖГ. -1981.-№6.-С. 124-131.

62. Захаров А.Г. Применение панельного метода к решению задачи обтекания тонкого крыла со свертывающимся следом в стационарном потоке несжимаемой жидкости // Тр. ЦАГИ. -1980. -Вып. 2025. -15 с.

63. Захаров А.Г. Аэродинамический расчет комбинации толстое крыло -фюзеляж оперение панельным методом при дозвуковых скоростях // Тр. ЦАГИ. -1984. -Вып. 2251.

64. Захаров А.Г., Назаров Б.В. Применение панельного метода для расчета аэродинамических характеристик самолета и его элементов при до и сверхзвуковых скоростях//Тр.ЦАГИ. -1978. -Вып. 1942. -С. 16-32.

65. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к чис-ленноу решению сингулярных интегральных уравнений. -Киев: Нау-кова думка. 1968. -238 с.

66. Ивантеева Л.Г., Коновалов С.И., Павловец Г.А. Расчет аэродинамических характеристик профиля вблизи экрана при заданных значениях его геометрических параметров //Ученые записки ЦАГИ. -1980. -Т. 11. -No 2. -С. 3-6.

67. Ильинский Н.Б., Поташов A.B. Решение обратной краевой задачи аэрогидродинамики с учетом пограничного слоя // Изв. АН СССР. -Механ. жидк. и газа. -1989. -Mb 4. -С. 28-32.

68. Ильинский Н.Б., Поташов A.B., Фокин Д.А. Построение крыловых профилей в дозвуковом потоке газа методом квазирешений обратных краевых задач // Уч. зап. ЦАГИ. -1989. -Т. 30.-№ 4.-С. 98-101.

69. Ираклионов B.C., Павловец Г.А. Приближенный расчет распределения на стреловидном трапецевидном крыле в несжимаемой жидкости // Тр. ЦАГИ. -1974. -Вып. 1585. -25 с.

70. Калинин А.И. Суммарные и распределенные аэродинамические характеристики изолированных поверхностей при малых дозвуковых скоростях //Тр. ЦАГИ. -1973. -Вып. 1503. -31 с.

71. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. -М.: Физматгиз. -1962. -708 с.

72. Карафоли Б. Аэродинамика крыла самолета. -М.: АН СССР. -1956. -480 с.

73. Кашафутдинов С.Т., Моисеева Р.В. Атлас аэродинамических характеристик планерных крыловых профилей. -М.: Машиностроение. -1966. -49 с.

74. Кларк Р.В., Джеймс P.M. Новый подход к решению уравнений с заполненными матрицами большой размерности // Ракетная техника и космонавтика. -1981. -т.19, -№ 3. -С. 72-81.

75. Ковалев В.Е. Расчет аэродинамических характеристик профиля с учетом вязкости в несжимаемой жидкости // Тр. ЦАГИ. -Вып. 2089. -1980. -С. 32-49.

76. Колесников Г.А., Михайлюк A.A. Аэродинамика летательных аппаратов -М.: МАИ. -1985. -68 с.

77. Котовский В.Н., Ништ М.И., Федоров P.M. Математическое моделирование на ЭВМ стационарного и нестационарного обтекания телесных профилей и решеток идеальной несжимаемой жидкостью // Докл. АН СССР. -1980. -Т. 252. -№ 6. -С. 1341-1345.

78. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. 4.1. -М.: Физматгиз. -1963. -583 с.

79. Краснов Н.Ф. Основы аэродинамического расчета: Аэродинамика тел вращения, несущих и управляющих поверхностей. Аэродинамика летательных аппаратов. -М.: Высшая школа. -1988. -352 с.

80. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Интегральные уравнения. -М.: Наука. -1976. -213 с.

81. Краснов Н.Ф., Кошевой В.Н., Калугин В.Т. Аэродинамика отрывных течений / Под ред. Н.Ф. Краснова. -М: Высш.школа. -1988. -351 с.

82. Кюхеман Д. Аэродинамическое проектирование самолетов. Пер. с англ. / Пер. H.A. Благовещенский, Г.И. Майкапар, Под ред. Г.И. Майкапара. -М.: Машиностроение. -1983. -656 с.

83. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. -М.: Наука. -1973. 416 с.

84. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. Л. Механика сплошных средств. М.: ГИТТЛ. -1954. -796 с.

85. Латыпова Э.И., Левширбанов С.Р., Нугманов З.Х., Овчинников В.А. Метод расчета обтекания произвольного профиля при наличии отрыва потока // Изв. вузов. Авиац. техника. -1992. -С. 33-37.

86. Лебедев A.A., Чернобровкин Л .С. Динамика полета. -М.: Машиностроение. -1973. -616 с.

87. Ляпунова C.B., Шепникова О.Л. Расчет нелинейных несущих характеристик крыльев большого удлинения //Учен. зап. ЦАГИ. -1994. Т. 25. -№ 2. -С. 3-13.

88. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. -М.:Наука, -1973. -848с.

89. Майкапар Г.И. Особенность плотности вихрей у задней кромки профиля крыла//Тр. МАИ. -1977. -Вып. 385. -С. 30-31.

90. Маклаков Д.В. Плоские нелинейные задачи безотрывного, кавита-ционного и волнового обтекания препятствий однородными и двухслойными потоками. Автореф. дис. д-ра физ. мат. наук. 01.02.05. -Казань.-1995. -34 с.

91. Маслов Л.А. Произвольное движение продолговатого тела в идеальной жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. -1966. -№ 6.

92. Маслов Л.А. Расчет давления на поверхности толстого крыла малого удлинения в идеальной жидкости //Тр. ЦАГИ. -1970. -Вып. 1225.

93. Маслов Л.А. Потенциальное обтекание идеальной жидкостью крыла малого удлинения с произвольным профилем по размаху // Тр. ЦАГИ. -Вып. 1567.

94. Маслов Л.А., Юшин В.П. Расчет давлений на поверхности трехмерного фюзеляжа с крылом в идеальной жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ.-1977. -№ 3.

95. Маслов Л.А. К расчету циркуляционного обтекания телесного крыла малого удлинения идеальной жидкостью // Тр. ЦАГИ. -1979. -Вып. 2005.

96. Маслов Л.А., Тимербулатов A.M. Расчет давлений на поверхности произвольной комбинации фюзеляжа с несущим крылом при малых скоростях //Тр. ЦАГИ.-1979. -Вып. 2005. -С. 21-33.

97. Мельников А.П. Вихревой метод и его применение к построению потенциального обтекания крылаУ/Тр. КВВИА. -1949. -Вып. 27. -С. 3-53.

98. Михайлов Ю.С. Метод и результаты расчета аэродинамических характеристик профиля с механизацией вблизи экрана // Ученые записки ЦАГИ. -1985. -Т. 26. -№ 1. -С.93-97.

99. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. -М.: Наука. -1970. -512 с.

100. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения // -М.: Наука.-1968. -511 с.

101. Мхитарян А. М. Аэродинамика. -М: Машиностроение. 1976. -448 с.

102. Нугманов З.Х. Решение интегрального уравнения вихревого метода с помощью рядов Фурье // Изв. вузов. Авиац. техника. -1974. -№4. -С.80-85.

103. Нугманов З.Х. Вихревой метод расчета профиля любой формы // Изв. вузов. Авиац. техника. -1975. 2. -С. 78-83.

104. Нугманов З.Х. Решение сингулярного интегрального уравнения для произвольного профиля // Изв. вузов. Авиац. техника. -1976. -№ 2. -С.74.78.

105. Нугманов З.Х. Аппроксимация поверхности крыла ортогональными полиномами. Вопросы проектирования летательных аппаратов. -Межвузовский сборник // Казань: КАИ. -1977. -Вып. I. -С. 24-29.

106. Нугманов З.Х. Метод расчета скорости на поверхности произвольного крыла в идеальной жидкости // Изв. вузов. Авиац. техника. -1979. -№ 4. -С. 35-40.

107. Нугманов З.Х. Математическое описание поверхности произвольного крыла. Вопросы проектирования летательных аппаратов -Межвузовский сб. //Казань: КАИ. -1979. -Вып. 2. -С. 49-53.

108. Нугманов З.Х. Вихревая теория крыла конечного размаха // III Всесоюзная научно-техническая конференция по прикладной аэродинамике. Тезисы докладов. -Киев. -1973. -С. 124.

109. Нугманов З.Х. Экспериментальное исследование влияния продольной струи воздуха на аэродинамические характеристики крыла II Изв. вузов. Авиац. техника. -1974. -Вып.1. -С. 122-123.

110. Нугманов З.Х. О методе Галеркина для решения обратной краевой задачи аэродинамики//Изв.РАН.Механика жидкости и газа. В печати.

111. Нугманов З.Х. О методе Галеркина для решения краевой задачи аэродинамики IIИФЖ (в печати).

112. Нугманов З.Х. Определение коэффициента коррекции давления при расчете обтекания профиля // Изв. вузов. Авиац. техника. -1997. (в печати).

113. Нугманов З.Х., Овчинников В.А. Приближенный метод расчета обтекания профиля крыла с учетом вязкости // Изв. вузов. Авиац. техника. -1989. -№ 4. -С. 81-83.

114. Нугманов З.Х., Овчинников В.А. Численный метод расчета обтекания профиля вязким несжимаемым потоком II Казань: Казан. Гос. Техн.Унив.-1993.-140 с.

115. Нугманов З.Х., Овчинников В.А. Численный метод расчета обтекания профиля вблизи экрана // Изв. вузов. Авиац. техника, (в печати).

116. Нугманов З.Х., Овчинников В.А., Павлов В.Г. Расчет обтекания профиля потоком вязкой несжимаемой жидкости // Изв. вузов. Авиац. техника. -1987. -№ 1. -С. 112-113.

117. Нугманов З.Х., Овчинников В.А., Павлов В.Г. Расчет отрывного обтекания профиля потоком несжимаемой жидкости.-Аэродинамика летательных аппаратов и их систем // Куйбышев: КуАИ. -1987. -С. 18-25.

118. Нугманов З.Х., Овчинников В.А., Павлов В.Г. Аэродинамическое проектирование профиля с учетом условия безотрывности // Изв. вузов. Авиац. техника. -1985. -№ 3. -С. 47-50.

119. Нугманов З.Х., Овчинников В.А., Романов В.М. Расчет обтекания произвольного профиля с механизацией. -Вопросы проектирования летательных аппаратов // Казань: КАИ. -1982. -С. 59-65.

120. Нугманов З.Х., Овчинников В.А., Павлов В.Г., Романов В.М. Численные методы расчета обтекания профиля идеальным несжимаемым потоком: Учебное пособие. -Казань: КАИ. -1986. -64 с.

121. Нугманов З.Х., Овчинников В .А., Романов В.М. Методы расчета обтекания телесного крыла конечного размаха идеальной несжимаемой жидкостью // Вопросы авиационной науки и техники. Новосибирск: СибНИА.-1988. -Вып.З. -С. 10-13.

122. Нугманов З.Х., Романов В.М. Улучшение точности решения интегральных уравнений при определении скорости на поверхности профиля. -Устойчивость и управление И Казань: КАИ. -1977. -С. 61-68.

123. Нугманов З.Х., Романов В.М. О решении задачи обтекания крыла конечного размаха//Изв. вузов. Авиац. техника. -1988.-NbI.-C. 108-109.

124. Нугманов З.Х., Романов В.М. О решении интегральных уравнений при расчете обтекания произвольного профиля методом вихревого слоя / КАИ. -Казань. -1978. -15 с. Рукопись деп. в ЦНТИ "Волна". Д03684.

125. Нугманов З.Х., Романов В.М. Численный метод расчета обтекания произвольного профиля // Всесоюзная конференция по устойчивости движения, колебания механических систем и аэродинамике. МАИ. -1978. -С. 67-68.

126. Нугманов З.Х., Павлов В.Г., Шарафеев М.Г. Проектирование профиля по заданному распределению давления // Гидрогазодинамика летательных аппаратов и их систем. Куйбышев: КуАИ. -1984. -С.8-15.

127. Нугманов З.Х., Овчинников В.А. Особенности решения интегрального уравнения теории крыла методом Галеркина // Изв. вузов. Авиац. техника. -1997. -№ 2.

128. Павловец Г.А. Методы расчета обтекания сечений крыла идеальным несжимаемым потоком // Тр. ЦАГИ. -1974. -Вып. 1344. -С.3-72.

129. Павловец Г.А., Вернигора В.Я., Талышева Т.А. Обратная задача для профиля в системе стреловидного крыла в несжимаемой жидкости // Тр. ЦАГИ. -1974. -Вып. 1631.-17 с.

130. Павловец Г.А., Ираклионов В.Р., Петров A.C. Особенности применения итерационного метода решения интегрального уравнения для скоростей на поверхности крылового профиля II Тр. ЦАГИ. -1973. -Вып. 1530. -С. 3-18.

131. Павловец Г.А., Самознаев Н.Д. Численный метод построения контура крылового профиля по заданному распределению скоростей на его поверхности //Тр. ЦАГИ. -1970. -Вып. 1271. -С. 3-16.

132. Павловец Г.А. Потенциальное обтекание профиля с конечной толщиной задней кромки // Ученые записки ЦАГИ. 1979. т. 10.

133. Поташев A.B. Аэродинамическое проектирование профилей крыльев и гидродинамических решеток методами обратных краевых задач. Автореф. дис. д-ра физ.-мат. наук. 01.02.05. -Казань. -1995. -32 с.

134. Прандтль Л. Гидроаэромеханика. -М.: ИЛ. -1951. -575 с.

135. Проблемы оптимального аэродинамического проектирования / В.Н. Жигулев и др. -Тр. ЦАГИ.-1977. -Вып. 1842. -С. 84.

136. Романов В.М. Проекционные методы расчета обтекания крыла конечного размаха потоком идеальной несжимаемой жидкости. Казань: КАИ. -1987. -63 с. Деп. в ВИНИТИ 3.11.87. № 8312-87. Деп.

137. Романов В.М. Метод расчета обтекания крыла конечного размаха потоком идеальной несжимаемой жидкости вблизи экрана И Изв. вузов. Авиац. техника. -1995. -№ 2. -С. 64-69.

138. Рыбалко Е.В. Аэродинамический расчет элементов летательных аппаратов // Механика деформируемых сред. -1985. 9. -С. 61-67.

139. Рягузов Е.А. Разработка метода расчета аэродинамических характеристик сложных аэродинамических компоновок с работающей силовой установкой. Автореф. дис. канд. техн. наук 01.02.05. -Новосибирск. -1997. -22 с.

140. Самознаев Н.Д. Построение контура профиля по заданному распределению скорости или давление на его поверхности вблизи земли // Тр. ЦАГИ. -1973. -Вып. 1463. -С. 3-11.

141. Свирский И.В. Методы типа Бубнова-Галеркина и последовательных приближений. -М.: Наука. -1968. -305 с.

142. Себиси Т., Брэдшоу П. Конвективный теплообмен. -М.: "Мир". -1987. -592 с.

143. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. -М.: Наука. -1980. -448 с.

144. Серебрийский Я.М. Обтекание крыловых профилей произвольной формы // Инженерный сборник. -1946. -Т. 3. -Вып. I. -С. 3-11.

145. Сидоров О.П. Некоторые осесимметричные потенциальные течения несжимаемой жидкости // Изв. вузов. Авиац. техника. -1958. -№ I. -С. 37-42.

146. Симонов Л.А. Расчет обтекания крыловых профилей и построение профиля по данному распределению скоростей на его поверхности // Тр. ЦАГИ. -1945. -Вып. 576.

147. Слуцкий А.И. Применение метода источников к решению задачи обтекания симметричного профиля и к задаче построения симметричного профиля по заданному распределению давления // Тр. ЦАГИ. -1948. -Вып. 663. -С. 1-25.

148. Смирнов В.И. Курс высшей математики.-М.:ГИТТЛЛ 953.627 с.

149. Сорокин Ю.С. Методика расчета обтекания комбинации крыло-фюзеляж дозвуковым потоком идеального газа // Современные задачи аэродинамики летательных аппаратов. -М.: МАИ. -1985. -С. 28-35.

150. Сретенский П.Н. Теория Ньютоновского потенциала.-М.: ГИТТЛ. -1946. -318 с.

151. Степанов Г.Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. -М.: Физмат-гиз. -1962. -512 с.

152. Степанов Г.Ю. Об основных модельных представлениях механики жидкости и газа в теории крыла // Некоторые вопросы механ. сплош. среды. -М.: МГУ. -1978. -С. 5-28.

153. Степанов Г.Ю. Построение плоских каналов и решеток турбомашин с безотрывным течением // Изв. РАН. МЖГ. -1993. -№4. -С. 30-42.

154. Степанов Ю.Г. Расчет отрывного обтекания крылового профиля при малых скоростях на больших углах атаки // Тр. ЦАГИ. -1980. -Вып. 2089. -С. 19-31.

155. Теперин Л.Л., Шустова Л.И. Панельный метод высокого порядка для расчета обтекания тел типа фюзеляжа //Учен. зап. ЦАГИ -1992. -Т. 23. -№ 2. -С. 3-10.

156. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. -М.: ГИТТЛ.-1953. -679 с.

157. Торенбик Э. Проектирование дозвуковых самолетов: Пер. с англ. / Пер. Е.П. Голубков. -М.: Машиностроение. -1983. -648 с.

158. Тумашев Г.Г. Определение формы границ потока жидкости по заданному распределению скорости или давления // Ученые записки Казанского университета. -1952. -Кн. 112. -№ 3. -С. 3-42.

159. Тумашев Г.Г. Нахождение формы профиля по заданному распределению скорости с учетом сжимаемости жидкости // Изв. Казан, физ. -мат. об-ва. -1945. -Т. 13. -Сер. 2. -С. 127-132.

160. Тумашев Г.Г. Построение профиля по заданному распределению скоростей //Тр. Каз. авиац. ин-та. -1946. -Вып. 17. -С. 19-22.

161. Тумашев F.F., Нужин М.Т. Обратные краевые задачи // Уч. зап. Казан, ун-та. -1955. -Т. 115. -М> 6.-167 с.

162. Тумашев F.F., Нужин М.Т. Обратные краевые задачи и их приложения. -Казань: Казан, ун-т. -1965. -333 с.

163. Ушаков Б.А., Красильщиков П.П. Волков А.К., Грегорожевский A.M. Атлас аэродинамических характеристик профилей крыльев. -Изд. Бнт НКАП при ЦАГИ. -1940. -340 с,

164. Фабрикант Н.Я. Аэродинамика. -М.: Наука, -1964. -816 с.

165. Федяевский К.К., Гиневский A.C., Колесников A.B. Расчет- турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости. -Л.: Судостроение. -1973. -256 с.

166. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркика. -М.: Мир.-1988.-346 с.

167. Хамзаев А.Л. Численный метод расчета аэродинамических характеристик и проектирование телесных крыльев конечного размаха в до-критическом потоке идеального газа. Препринт ЦАГИ. -JNb 16. -1990. -47 с.

168. Хамзаев А.Л. Численные методы исследования аэродинамических характеристик сложных пространственных конфигураций и оптимизации профилировок их несущих элементов. Автореф. дис. д-ра физ.-мат. наук. 01.02.05. -Москва. -1991. -49 с.

169. Чжен II. Отрывные течения. T.I-III. -М.: МИР, 1972, 1973. -299 е.; 280с.; 333 с.

170. Чжен П. Управление отрывом потока. Пер. с англ. / Под ред. Бондарева E.H.: Мир. -1979. -551 с.

171. Численные методы в динамике жидкостей. Пер. с англ. / Джеймсон Э., Мюллер Т., Боллхауз У. и др.: Под ред. Вирц Г., Смолдерн Ж.М.: Мир.-1981.-407 с.

172. Чумаков О.В., Павловец Г.А. К расчету потенциального обтекания произвольного плоского тела вблизи свободной границы или свободной струе // Тр. ЦАГИ. 1970. Вып. 1268. -С.3-9.

173. Шкадов Л.М., Андронов А.С., Буханова Р.С. Основные принципы построения системы проектирования самолета с использованием ЭВМ //Тр. ЦАГИ.-1979. -Вып. 2021. -С. 3-36.

174. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. -М.:Наука. 1969. 742 с.

175. Шлихтинг Г., Трукенбрдг Е. Аэродинамика самолета. Часть В. Аэродинамика крыла / Пер. ОНТИ ЦАГИ. -1975. -99 с.

176. Штейнхер Дж. Методы расчета пограничного слоя и их применение при решении аэродинамических задач // Рефераты ЦАГИ. -1978. -Вып. 543. -С. 1-37.

177. Abbott J.H., Von Doenhoff А.Е., Stivers L.S. Summary of airloil data // NACA Report. -1945. -№> 824.

178. O. .Anderson W.K., Bonhaus D.L., Meghee R.J., Walker B.S. Navier-Stokes computarions and experimantal comparisons for multielement airfoil configurations // J. Aircraft/-1995. -32. -№ 6. -P. 1235-1246/

179. Bergeron D.M., Zing D.W. Viscous airfoil computations using the fortified Navier-Stokes appoach // AIAA Pap. -1994. -№ 2360. -P. 1-10.

180. Edwordz Т.Е. Anapprofimate numerical method for optimization of slap design for maximum lift coefficient // University of Illinoia at arbana-champaign Ph. D. 1975. 140 p.

181. Eppler R. Ergebnisse gemeinsamer Anwendung von Grenzschicht -und Profiltheorie // Z. Flugwiss. -1960. -Bd.8. -№ 9. -S.247-260.

182. Eppler R. Turbulent airfoils for general aviation // I. Aircratt. -1978. -V. 15. -M>2. -P.93-99.

183. Eppler R. Airfoil design and data. -Berlin: Springer-Verlag. 1990. -562p.

184. Eyi S., Lee K.D., Rogers S.E., Kwak D. High-lift design optimization uzing the Navier-Stokes equations // AIAA Pap. -1995. -M> 0477. -P. 1-12.

185. Giessing LP. Potential Flow aboat 2-dimensional Airfoils // Douglas Aircraft Division report no. LB 31946, 1965.

186. Glaucrt M.B. The application of the exact method of aerfoil design. // Aeronaut. Res. Couns.Repts. and Mem. -1947. -Mb 2683. -45p.

187. Hayashi, M. and Endo O.E. Performance calculation for Multi-Element Airfoil Sections With Separation // Trans. Japan So. Aero. Space. Sci.1977. Vol.20. Mb 49. P.151-164. P.113-114.

188. Handerson M.L. Solution to the 2-d Separated Wake modeling problem and its use to predict CL max of arbitrary airfoil sections // AIAA Pap.1978. Mb 156. p. 1-7.

189. Hess J.L. Review of integral-eguation technigues for solving potential flow problems with emphasis on the Surface-Source method // Computer Methods on Applied Mech. and Eng. 1975. Vol.5. Mb 2. p.145-196.

190. Hess J.L. The problem of three dimensional Lifting potential flow and solution by means of Surface Singularity distribution // Computer methods in applied mechanics and engineering. -1975. Vol.4. Mb 4. p.283-318.

191. Hicks R.M., Hemic P.A. Wing desing by numerical optimization // J. Aircraft.-1978. -V.15. -Mb 7. -P.407-412.

192. Jacob К. Berechnung der abgelösten inkompresible Strömung um Trag-flugelprofile und Bestimmung des maximalen Auftriebs // Z. Flugwiss, vol. 17. 1969. Heft 7. p.220-230.

193. Jacob K., Schlichting H. Berechnung der in kompressiblen Strömung um dicke Tragflügel und Gitterprofile mit eckiger Lichterkante // -Z. Flugurss. 1967. Vol. 15. № 8-9. S.341-346.

194. Kennedy J.L. Marsden D.J. potentional flow design method for mul-ticomponent airfoil Sections//J. Aircraft.1978.Vol. 15, № 2. P.47-52.

195. Kennedy J.L., Marsden D.J. The development of high lift single -component airfoil sections // Aeronautical Quartery. 1979. V.30, № 1. P.343-359.

196. Kennedy J.L. Marsden D.J. Potentual flow Velocidy distributions on multy-component airfoil sections // -Canadian Aeronautics and Journal, 1076, vol.22, № 5, p.243-256.

197. Kuchemann D. Aerodynamic design // Aeronaut J. -1969. -V.73. -№ 698. -P.101-110.

198. Lee K.D., Eyi S. Tpansonic airfoil design by constrained optimization // J. Aircraft. -1993. -30. -№ 6. -P. 805-806.

199. Liebeck R.H. Optimization of Airfoils for Maximam lift // Doct. diss. Univ. III. -1968. -10 p. Dissert. Abstarc., -1969. -B.29. -№ 7. -P.2401-2402.

200. Liebeck R.H. A Class of Airfoils designed for High Lift in Incompressible flow // AIAA Pap. -1973. -№ 86. -9p. J. Aircraft. -1973. -V.10. -№10. -P.610-617.

201. Liebeck R.H. On the Design of subsonic Airfoils for High Lift // AIAA Pap.-1976. -№76406. -25 p.

202. Liebeck R.H., Ormsbee A.I. Optimiration of Airfoils for Maximum Lift // J. Aircraft. -1970. -V.7. -№10. -P.409-415; AIAA Pap.-1969. -№739. -9 p.

203. Loeve W., Sloof J.W. On the Use of Panel Methods for Predicting Subsonic Flow abaut Airfoils and Aircraft Configurations // NLP MP -71018-u, 1971.

204. Mangier W. Die Berechnung eines Tragfeugel-profiles mit Vorgeschriebener Druckverteilung // Jahrbuch der Deutschen-Luftfahrtforschung. -1938. -Bd.l. -S.46-53.

205. Martensen E. Berechung der Druckverteilung an Gitterprofilen in ebener Petentialstromung einer Fredholmschen Jntegralgleichung // ARM and A, 1959, Vol.3, №3, S.235-270.

206. Morino L.A. finite element formulation for subsonic flows around complex configuations // NASA. -1973. -CR 138142.

207. Robert J., MeChee, Willram D. Beasly Low-Speed aerodynamic characteristics of 17 pereent - thick airfoil Section designed for general aviation applications II NASA -TN-D-7428. -1973. -71 p.

208. Rogers Stuart E. Progress in high-lift aerodynamic calculations //J. Aircraft. -1994. -31.-No 6. -P. 1244-1251.

209. Prager W. Die Druckverteilung an Korper in elenen Potentialstromung. -Phy-Sikalische, 1928, №23.

210. Prandle L. Fuhrer durch die Stromungs Slehre. -Gottingen, 1942.

211. Rubbert P.E., Saaris G.R. Review and evaluation of a three di mensional lifting potential flow analysis method for arbitrary conflgyrations // AIAA, 1972, P.72-188.

212. Rubburt P.E., Saaris G.R. A General Three-dimensional Potential -Flow Method Applied to Vstol Aerodynamics // SAE paper no.680304, 1968.

213. Silva Р.Н., Sankar L.N. An inverse method for the design of transonic Wings//AIAA Pap. -1992. -№ 1025. -P. 1-11.

214. Smith A.M.O. High-lift aerodynamics // J. Aircraft. -1975. -V.12. -n.6. -P.501-530.

215. Smith A.M.O., Hess J.L. Calculation of the Nonlifting Potential Flow abaut Arbitrary Three Demensional Bodies // Douglas report E.S.40622, 1962.

216. Strand T. Exact method of designing airfoil with given Velocity distribution in incompressible flow // J. Airccaft. -1973.-V.10. -№10. -P.651-659.

217. Stratford B.S. The pudiction of separation of the turbulent boundry layer // J. Fluid Mech. -1954. -V.5. -P. 1-35 (Стратфорд B.C. Расчет отрыва турбулентного пограничного слоя II Механика. М. -1959. -№ 6.(58). -С.21-37.

218. Weber J. The calculation of the pressure distribution over the Surface of two-dimensional and Swept Wings With Symmetrical aerfoil Sections // RAE R Aero, 1953, 2497. ARC R and M., 2918, 1956.

219. Weber J. The calculation of the pressure distribution on the Surface cambered Wings and the design of Wings Wifh given pressure distribution // RAE R Aero 2548. 1995. ARC R and M., 1955. № 3026.

220. Weber J. The Shape of the centre part of a Swept-back Wing With a reguired load distribution // ARCR and M.f 1959, 3098.

221. Woodward F.A. Analysis and design of Wing-body combinations to subconic Speeds // -Journal of aircraft, 1968, Vol.5, № 6, p.528-534.

222. Woodward F.A. An improved Method for the Aerodynamic Analysis of Wing-Bodi-Tail Configurations in Subronic and Supersonic Flow // NASA, CR -2228, 1973, p.3-31.

223. Woodward F.A., Tinoco E.n., Larsen J.W. Analysis and Design of Supersonic Wing-Body Combinations, Including Properties in the Near Field // nASA, CR 73106, 1967.

224. Wortmann F.X. Ein Beitrag zum Entwurf von Laminarprofilen fur Se-gelflugzenge und Hubschranber // Z. Flugwiss. -1955. -Bd. 3. -№ 10. -S. 333-345.

225. Wortmann F.X. Fortschritte beim Entwurf von Laminarprofilen // Diss. Dokt. -I nr., Techn. Hochshule Stutgart. -1959. -34s.

226. Wortmann F.X. The quest for hign lift // AIAA. Pap. -1974.-№1018,-5p.

227. Zha G.C., Bilgon E. An efficient upwind relaxation-sweeping algorithm for three-demensional Navier-Stokess oguations // AIAA Pap. -1992. -№ 0023.-P. 1-7.1. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ИСТОЧНИКИ

228. Д. 1. Расчетно-теоретическое исследование аэродинамических характеристик крыльев конечного размаха в дозвуковом потоке. Расчет профилей Жуковского. Научно-технический отчет. -Казань: КАИ. -1977. -Ко 113 77. Новосибирск: п/я Г-4736.

229. Д.2. Создание расчетных методов проектирования механизаций крыла. Подбор геометрических и аэродинамических характеристик теоретических профилей. Научно-технический отчет. -Казань: КАИ. -1979, -№ 576 -79. П/я В2877.

230. Д.З. Создание расчетных методов проектирования механизации крыла, решение интегрального уравнения Фредгольма I рода. Научно-технический отчет. -Казань: КАИ. -1979. -Ко 537-79. П/я В2877.

231. Д.4. Создание расчетных методов проектирования механизации крыла. Научно-технический отчет. -Казань: КАИ, -1980. -Ко 544-80.

232. Д.5. Проведение сравнительных расчетов обтекания профилей по готовым программам. Научно-технический отчет. -Казань: КАИ. -1980. -№551-80.

233. Д.6. Создание расчетных методов проектирования механизации крыла. Научно-технический отчет. -Казань: КАИ. -1980. -Ко 555-80.

234. Д.7. Исследования средств механизации крыла перспективных самолетов по общей и местной аэродинамике. Научно-технический отчет. -Казань: КАИ. -1980. -Ко 558-80.

235. Д.8. Исследование и развитие численных методов проектирования механизации крыла. Решение интегрального уравнения Фредгольма II рода применительно к тонким профилям. Научно-технический отчет. -Казань: КАИ. -1981. -Ко 567-81.

236. Д.9, Исследование и развитие численных методов проектирования механизации крыла. Решение интегрального уравнения Фредгольма I родаприменительно к тонким профилям. Научно-технический отчет. -Казань: КАИ.-1981.-№ 570-81.

237. Д.10. Метод Бубнова-Галеркина в приложении к расчету обтекания профиля с механизацией потоком идеальной несжимаемой жидкости (описание метода и программы расчета). Научно-технический отчет. -Казань: КАИ. -1981. -№ 579-81.

238. ДЛ1. Построение профиля по заданному распределению давления в идеальной несжимаемой жидкости. Научно-технический отчет. -Казань: КАИ. -1982. -№ 596-82.

239. Д. 12. Исследование и развитие расчетных методов проектирования механизации крыла. Научно-технический отчет. -Казань: КАИ. -1983. 617-83.

240. Д. 13. Проектирование профиля в идеальной несжимаемой жидкости по заданному давлению в произвольных точках. Научно-технический отчет. -Казань: КАИ. -1984. -№621-84.

241. Д. 15. Расчет аэродинамических характеристик крыла конечного размаха с механизацией. Научно-технический отчет. -Казань: КАИ. -1985. -№> 641 -85.

242. Д. 16. Выполнение расчетов обтекания крыла конечного размаха и сравнение результатов с данными других методов и экспериментом. Научно-технический отчет. -Казань: КАИ. -1986. -№ 654-86.

243. Д.17. Выполнение систематических расчетов известных профилей, включая суперкритические. Сравнение теории с экспериментом и с данными других авторов. Научно-техническая справка. -Казань: КАИ. -1986. -№664-86.

244. Д. 19. Описание контура профиля с помошью полиномов. Программирование. Оценка точности метода по отклонению координат и по отклонению коэффициента давления или по теории идеальной жидкости. Научно-техническая справка. -Казань: КАИ. -1986. -№ 677-86.

245. Д.20. Описание контура через геометрические характеристики профиля по методике ЦАГИ. Программирование. Оценка точности. Научно-технический отчет. -Казань: КАИ. -1987. -№ 681-87.

246. Д.21. Расчет профиля с учетом отрыва. Обзор методов. Научно-техническая справка. -Казань: КАИ. -1987. -№ 688-87.

247. Д.22. Расчет распределенных и суммарных аэродинамических характеристик отсека крыла. Научно-техническая справка. -Казань: КАИ. -1988.-Ко 695-88.

248. Д.23. Составление программ расчета суммарных аэродинамических характеристик профиля. Научно-техническая справка. -Казань: КАИ. -1988. -№701-88.

249. Д.24. Исследование влияния геометрических параметров профиля на его распределенные и суммарные характеристики. Научно-технический отчет. -Казань: КАИ. -1988. -№ 711-88.

250. Д.25. Построение контура профиля на основании его геометрических параметров. Научно-техническая справка. -Казань: КАИ. -1990. -№ 73890.

251. Д.26. Разработка численных методов и программ для решения задач ОКБ. Научно-технический отчет. -Казань: КАИ. -1990. -№ 740-90.

252. Д.27. Метод расчета обтекания произвольного профиля при наличии отрыва. Разработка численных методов и программ для решения задач ОКБ. Научно-технический отчет. -Казань: КАИ. -1990. 747-90.

253. Д.2В. Проведение численных расчетов по модификации профиля по заданному распределению давления. Научно-технический отчет. -Казань: КАИ. -1991. -№755-91.

254. Д.29. Решение полуобратной задачи построения носка и заливки элементов механизации, при заданных ограничениях и при сохранении части обводов исходных контуров. Составление и обработка программ. Научно-техническая справка. -Казань: КАИ. -1991. -№ 759-91.

255. Д.31. Разработка математической модели обтекания стреловидного крыла с механизацией. Научно-техническая справка. -Казань: КАИ. -1992. -№ 772-92.