Проблема Варинга с почти равными слагаемыми для четвертых степеней тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Азамов, Аслиддин Замонович

• Азамов, Аслиддин Замонович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Азамов, Аслиддин Замонович

Обозначения.

Введение

1 Короткие тригонометрические суммы Г. В ей ля четвертой степени

1.1 Вспомогательные леммы.

1.2 Оценка коротких тригонометрических сумм Вейля четвертой степени в множестве первого класса.

1.3 Среднее значение коротких тригонометрических сумм Г.Вейля четвертой степени.

2 Асимптотическая формула в проблеме Варинга для четвертых степеней с почти равными слагаемыми

2.1 Основная теорема

2.2 Известные леммы.

2.3 Доказательство основной теоремы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Проблема Варинга с почти равными слагаемыми для четвертых степеней»

Настоящая диссертация является исследованием в аналитической теории чисел, относящимся к области аддитивной теории чисел. Основной задачей аддитивной теории чисел является вопрос о представлении некоторой последовательности натуральных чисел суммой ограниченного количества слагаемых заданного вида. Исторически первыми примерами подобных задач стали:

• тернарная проблема Гольдбаха (1742 г.) о представлении нечетных чисел суммой трех простых слагаемых;

• проблема Эйлера (1742 г.)( или бинарная проблема Гольдбаха) о представлении четных чисел в виде суммы двух простых;

• теорема Лагранжа о представлении натуральных чисел суммой не более четырех квадратов натуральных чисел;

• обобщение теоремы Лагранжа, предложенное Варингом [1] в 1770 г., которое утверждает, что последовательность, образованная фиксированной степенью п чисел натурального ряда, образует в нем базис конечного порядка G{n), т.е., что каждое достаточно большое натуральное число N может быть представлено в виде sj + *!? + . + = W, (1) где Ж1, Ж2,. •, хг — натуральные числа и количество слагаемых г не превосходит фиксированной величины G(n), называемой порядком базиса последовательности {хп}, или функцией Харди; есть для числа решений диофантова уравнения (3) с условиями N

Pi Я, Я = Ne+£ решении соответственно при

0 = 63/64 + 5, 279/308 + е, 2/3 + е, 5/8 +е.

Китайские математики Jianya Liu и Tao Zhan [47, 48, 49, 50] доказали теорему Хуа JIo Гена о представимости достаточно большого натурального числа N, N = 5(mod24) в виде суммы пяти квадратов простых чисел в случае, когда эти слагаемые почти равны. Они показали, что достаточно большое натуральное число N, N = 5(mod24) можно представить в виде W

Pj Я, Я > N%+£

Рахмонов З.Х.[51] и Шокамолова Дж.А. [52] исследовали уравнение Эстер-мана

Р1+Р2 + ГП2 = И, (5) где Р1, Р2 — простые числа, т — натуральное число с более жесткими условиями, а именно, когда слагаемые почти равны, и вывели асимптотическую формулу для числа решений (5) с условиями N

Pi ~ Я; % = 1,2 5 т2 — N Я; Я > N3/4 In2 N.

Рахмонов З.Х. и Шозиёева С.П. [53] нашли асимптотическую формулу для более редкой последовательности с почти равными слагаемыми, то есть когда в уравнении Эстермана квадрат натурального т заменяется на его куб. Они доказали асимптотическую формулу для количества представлений натурального числа N,N>N03 виде суммы простых чисел р\, рч и куба натурального га с условиями N

Pi Я; г = 1,2, га3 N Я; Я > N5/6ln3N.

В работе [54] исследована проблема Варинга для девяти кубов с почты равными слагаемыми, а именно доказана асимптотическая формула для количества представления достаточно большого натурального числа N в виде суммы девяти кубов натуральных чисел Х{, г — 1,9 с условиями

Диссертационная работа состоит из двух глав и посвящена оценке сумм Вей-ля четвертого порядка, переменное суммирование которых принимает значения из коротких интервалов, среднему значению шестнадцатой степени модуля таких сумм и выводу асимптотической формулы в проблеме Варинга для семнадцати четвертых степеней при условии, что все слагаемые почти равны. * Первый параграф первой главы носит вспомогательный характер, где приведены известные леммы, которые в последующих параграфах применяются. Второй параграф второй главы посвящен коротким тригонометрическим суммам Вейля четвертой степени.

Г.Вейль [55] впервые получил нетривиальную оценку тригонометрических сумм вида

Т(ат, ат-ъ ., ац) = ^ е (/(п)), /(*) = а1ПЬт + 1 + . + которые в его честь И.М.Виноградов [6] назвал суммами Вейля. Основная идея метода Вейля состоит в сведении суммы Т(ат, ат-1,., ах) степени к к оценке суммы т — 1 - степени и в конечном счете к использованию оценки линейной тригонометрической суммы

Я > ДГ3/10+£. п<х

У^ е(ап) < тт (ж, ||о;||).

Из оценки Г.Вейля следует закон распределения дробных частей многочлена /(£) в отрезке [а, Ъ] С [0,1), следствием которого является их равномерное распределение по модулю 1.

И.М. Виноградов [5] в 1934 г. создал новый метод оценок тригонометрических сумм, несравненно более точный, чем метод Г. Вейля. Этим новым методом И. М. Виноградов получает принципиально более сильные результаты в проблеме распределения дробных долей многочленов, в проблеме Варинга, в проблеме приближения вещественного числа дробной долей целого многочлена и др. В то же самое время этот метод с успехом был применен в теории дзета-функции Римана (Н. Г. Чудаковым [56]), в проблеме Гильберта - Камке (К. К. Марджанишвили [57]), в разнообразных смешанных аддитивных проблемах.

Метод тригонометрических сумм И.М. Виноградова опирается на оценку величин типа \Т(аП7., . Позже И.М.Виноградов заменил сложную оценку сумм степеней |Т(ап,., с^, ]У)|2А: более простой оценкой интеграла

1 1

J{N] п, к) = \Т{ап,.,(Х1,М)\2к<1а1 о о то есть оценкой этой суммы "в среднем" по всем с^х,. ап и поэтому теорема об оценке J(N•, п, к) носит название теоремы И.М.Виноградова о среднем значении. В дальнейшем И.М.Виноградов неоднократно улучшал и уточнял эту теорему. Он получил асимптотически точную оценку величины J(N] п, к) вида

Отметим, что оценками тригонометрических сумм по методу И.М. Виноградова занимался также Хуа Ло-ген[31, 32]. В частности, он в явной форме выделил оценку среднего значения тригонометрической суммы из общего метода оценки индивидуальных тригонометрических сумм. В 1942 году Ю.В.Линником [58] было найдено доказательство теоремы о среднем значении, использующее свойства сравнений по модулю степеней простого числа р. Другое р-адическое доказательство, т.е. использующее свойства сравнений по модулю простого числа р, теоремы о среднем значении было получено А.А.Карацубой на основе разработанного им в шестидесятых годах двадцатого века нового р-адического метода [59]. В дальнейшем его метод, помимо других приложений, позволил не только значительно прояснить и упростить доказательство теоремы о среднем значении, но и получить новые существенные результаты, в частности, вывести нетривиальные оценки величины J(N] п, к) при малых значениях к (см. работы [60], [61], [62], [63], [64], [65], [66], [67]).

И.М.Виноградов поставил проблему оценки сверху кратных тригонометрических сумм [18]. Данная задача была решена Г.И.Архиповым[68] в начале 70-х годов прошлого века. Г.И.Архипов получил первые оценки двукратных сумм Вейля для многочленов общего вида. В 1975г. Г.И.Архипов и В.Н.Чубариков [69], [70] дали обобщение реультатов Г.И.Архипова на кратный случай. В 1976г. В.Н.Чубариков[71, 72, 73] получил оцеики кратных тригонометрических интегралов и кратных полных рациональных тригонометрических сумм. В течение 80-х годов прошлого столетия Г.И.Архипов, А.А.Карацуба и В.Н.Чубариков [74, 75] продолжили исследования и получили первые оценки кратных тригонометрических сумм Вейля, равномерные по всем параметрам (по длинам интервалов изменения переменных суммирования, по степени осреднения и по степени многочлена). В 1987 г. результаты всех исследований по кратным тригонометрическим суммам Вейля составили содержание монографии "Теория кратных тригонометрических сумм" [76]. В середине 80-х годов прошлого века В.Н.Чубариков получил первые оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами с многочленом общего вида в экспоненте [35, 36].

Суммы Вейля при маленьких степенях т < 12 в множестве первого класса рассматривались отдельными математиками и наилучший результат принадлежит английскому математику Р.Вону [77, 78]. Короткой тригонометрической суммой Вейля называется сумма вида е(стт), у = х\ в< 1. х—у<п<х

Такие суммы при т = 2ит = 3в множестве первого класса рассматривались в работах [51, 53, 79, 80]. В этом параграфе мы будем изучать короткие тригонометрические суммы Вейля четвертой степени в множестве первого класса и воспользуемся следующими обозначениями: х > > 0, у < 0, 01ж,

Т(аг,х,у)= ^ е(шг4), х—у<п<х а = - + А, (а, д) = 1, д < т, |А| < —, Я. ЦТ

Ть{а\х,у)= ^ е!ап4--К Т(а; ж, у) = Т0(а; х, у), х—у<п<х ^ У /

Зь{а,я) = (—-—V 5(а,д) = 50(а,д). п=1 \ У /

Теорема 1.1. Пусть г > 24ж2т/; тогда при {4Аж3} < А > 0 шш-{4Аж3} > 1 — А < 0 имеет место соотношение

Т(а, х, у) = А; „) + а при выполнении условия {4Аж3} > щ, А > 0 или {4Аж3} < 1 — щ, А < 0; имеет место соотношение

Т(а, х, у) = Ё±М1Т(А; х, у) + О (д3'41п д + д1'4*1'2) .

Следствие 1.1.1 Пусть т > 24х2у и |А| < 3^3, тогда имеет место соотношение

Т(а, х, у) = |5(а, д)7(А; ж, у) + 0(д1/2+£),

0,5 т(л-х,у)= i е(л(®-| +

-0,5

Следствие 1.1.2 Пусть т > 24ж2?/ гг ^з < |А| < тогда имеет место оценка

Т{а,х,у) «^Ьд + д1/4*1/2.

Теорема 1.1 является обобщением теоремы Р. Бона [77] для коротких сумм при гп = 4.

Доказательство этой теоремы проводится методом оценки тригонометрических сумм Ван дер Корпута с применением формулы суммирования Пуассона, оценки тригонометрических сумм по величине модуля производных первого и второго порядка, оценки тригонометрических интегралов.

В третьем параграфе первой главы для среднего значения шестнадцатой степени модуля тригонометрических сумм Г.Вейля четвертой степени, переменное суммирование которых принимает значения из коротких интервалов, получена правильная по порядку оценка.

Теорема 1.2 Пусть х и у — натуральные числа, л/х < у < 0,01ж; тогда имеет место оценка 1 о

Эта теорема является обобщением следующей оценки Хуа Ло-гена

2-» а <С х2*-э+£, 1 <3<к, для тригонометрических сумм Вейля четвертой степени, переменное суммирование которых принимает значения из коротких интервалов. Заметим, что для X

771=1 кубических тригонометрических сумм Г.Вейля, переменное суммирование которых принимает значения из коротких интервалов, подобная оценка получена в работе [81].

Основу доказательства этой теоремы составляют вышеупомянутый метод Вейля и соображение о том, что интеграл от четной степени модуля суммы Вейля выражается через количество решений диофантового уравнения. Во второй главе, прилагая теорему 1.1 о поведении тригонометрических сумм Вейля четвертой степени, переменное суммирование которых принимает значения из коротких интервалов и теорему 1.2 о среднем значении шестнадцатой степени модуля таких сумм, доказываем новую теорему об асимптотической формуле в проблеме Варинга для семнадцати четвертых степеней при условии, что слагаемые почти равны.

Воспользуемся следующими обозначениями: N —достаточно большое натуральное число, е - произвольное полоэюителъное число, не превосходящее

0.0001, L = ]xlN,

ЛТ 455518671766086477 .сссо ос

N1 = ( — , В ---V173 « 45568,35.

V17/ 83691159552000

Теорема 2.1.1 Для числа J(N:H) представлений N суммою 17 четвертых степеней чисел Х{, г = 1,2, .,17 с условиями \х{ — < Н, при Н > АГ13/54+е справедлива асимптотическая формула: ве(п)Ии ( я16 \ где ©(./V)- особый ряд, сумма которого превосходит некоторое положительное постоянное.

Последнее утверждение теоремы о том, что сумма особого ряда (5(]У) больше некоторого положительного постоянного непосредственно следует из теоремы 4.6 монографии [78].

Следствие 2.1.1 Существует такое Щ, что каоюдое натуральное число N > N0 представимо в виде суммы 17 четвертых степеней почти равных чисел х

Доказательство теоремы 2.1.1 проводится круговым методом Харди, Литт-лвуда, Рамануджана в форме тригонометрических сумм И.М.Виноградова его основу, как уже отмечали, составляют следствия 1.1.1 и 1.1.2 теорема 1.1 и теорема 1.2.

В заключение автор выражает благодарность З.Х.Рахмонову за научное руководство, постоянное внимание и помощь в работе. г = 1,2, .,17

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Азамов, Аслиддин Замонович, 2011 год

1. Waring е. Meditationes algebraicae. Cambridge. 1770.

2. ErdOShP. On the easier Waring problem for powers of primes. I.// Proc. of the Cambridge Phil. Soc., January 1937, V. XXXIII, Part I, p. 6-12.

3. Estermann Т. Proof that every large integer is the sum of two primes and square // Proc. London math.Soc., 11(1937), pp. 501-516.

4. ВИНОГРАДОВ И.М. Представление нечетного числа суммой трех простых чисел.Ч- Докл. АН СССР, 1937, т.15, с. 291-294.

5. Виноградов И.М.Избранные труды. М.: Изд-во АН СССР, 1952.

6. ВИНОГРАДОВ И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.: Наука, 1980, -144с.

7. ВИНОГРАДОВ И.М. Особые варианты методов тригонометрических сумм. -М.: Наука, 1976.

8. CHEN J.R. On the representation of a large even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes // Kexue Tongbao, 1966, v.17, p.385-4386.

9. ROSS P.M. On Chen's theorem that each large even number has the form P1+P2 or Pl +Р2Р3 U London Math. Soc, (2).Ч 1975.4 V. 10.4 P. 5004506.

10. ГИЛЬБЕРТ Д. Избранные труды. Т.1. Теория инвариантов. Теория чисел. Алгебра. Геометрия. Основания математики. -М.: Изд-во "Факториал", 1998. 575с.

11. Hardy G.H., Littlwood J.E. Nachr. Acad. Wiss. Gettingen Math.-Phys. Kl. 1920. p.33-54. IV: Math. Z. 1922. Bd. 12. pp.161-168.

12. Виноградов И.М. Об одной общей теореме Варинга// Матем.сб., 1924, Т.31, №3-4, с.490-507.

13. Виноградов И.М. О теореме Варинга//Изв. АН СССР, ОМЕН, 1928, с.393-400.

14. Виноградов И.М. Новое решение проблемы Варинга//ДАН СССР, 1934, №2, с.337-341.

15. Виноградов И.М. О верхней границе G{k) в проблеме Варин-га//Известия АН СССР, ОФМН, 1934, с.1455-1469.

16. Виноградов И.М. Новый вариант вывода теоремы Варинга //Труды Физико-математического института АН СССР, 1935,№9, с.5-16.

17. Виноградов И.М. Виноградов И.М. Новый метод в аналитической теории чисел //Труды МИАН, 1937, Т.10, с.5-122.

18. И. М. Виноградов Общие теоремы о верхней границе модуля тригонометрической суммы// Изв. АН СССР, Сер. мат., 1951, Т.15, №2, с.109-130.

19. Виноградов И.М. К вопросу о верхней границе для G(n) // Изв. АН СССР, Сер. мат., 1959, Т.23, №5, с.637-642.

20. Карацуба А.А. О функции G(n) в проблеме Варинга// Изв. АН СССР, Сер. мат., 1985, Т.49, №5, с.935-947.

21. WOOLEY T.D. Large improvements in Waring's problem // Ann of Math., 1992, (2)135, m, pp.131-164.

22. Davenport H.Ann of Math., 1939, 40, pp.731-747.

23. Линник Ю В. О разложении больших чисел на семь кубов// ДАН СССР,1942, №35, с.179-180.25. линник Ю В. О разложение больших чисел на семь кубов// Матем. сб.,1943, Т.12(54), №2, с.218-224.

24. ЛИННИК Ю В. Элементарное решение проблемы Варинга по методу Шни-рельмана, Математический сборник// Матем. сб., 1943, Т.12(54),.№2, с.225-230.

25. WATSON G.L. J. London math. Soc., 1951, 26, pp.153-156.

26. VAUGHAN R.C.On Waring's problem for cubes // J. Reine Angew. Math.,1986, 365, pp.122-170.

27. VAUGHAN R.C. Sur le probl'eme de Waring pour les cubes, C. R. Acad. Sci. Paris, S'erie I 301(1985), 253-255.

28. HUA L.K. Some results in the additive prime number theory // Quart J Math (Oxford), 1938, 9: 68-80

29. Ло-КЕН Хуа. Аддитивная теория простых чисел// Труды МИАН СССР, 1947, Т, 22, с.1-179.

30. Хуа ЛО-ген Метод тригонометрических сумм. М.: Мир, 1964, -190с.

31. Чубариков В.Н.,Архипов Г.И.Авдеев Ф.С. О проблеме Варинга-Гольдбаха // Современные проблемы математики. —2009. т.З, в.1, с.13-31. МГУ им.М.В.Ломоносова, механико-математический факультет.

32. HASELGROVE С.В. Some theorems in the analitic theory of number // J.London Math.Soc.,26 (1951),273-277.

33. СТАТУЛЯВИЧУС В. О представлении нечетных чисел суммою трех почти равных простых чисел // Вильнюс, "Ученые труды университета, сер. мат., физ. и хим. н., 3 (1955), 5-23.

34. JlA CHAOHUA, Three primes theorem in a short interval (II) // International symposium in memory of Hua Loo Keng, Science Press and Springer-Verlag, Berlin, 1991, 103-115.

35. JlA CHAOHUA, Three primes theorem in a short interval (V) // Acta Math. Sin., New Series, 2(1991), 135-170.

36. Jia CHAOHUA, Three primes theorem in a short interval (VII) // Acta Math. Sin., New Series, 10(1994), 369-387.

37. Jia chaohua, Three primes theorem in a short interval (vii) // Acta Math. Sinica 4(1994), 464-473, Chinese.

38. Pan Cheng-dong, Pan Cheng-biao. Pan Cheng-dong, Pan Cheng-biao, On estimations of trigonometric sums over primes in short intervals (III) // Chinese Ann. of Math., 2(1990), 138-147.

39. ZHAN Tao, On the Representation of large odd integer as a sum three almost equal primes // Acta Math Sinica, new ser., 7 (1991), No 3, 135-170.46. zhan tao, On the mean square of Dirichlet L functions // Acta Math Sinica, 8(1992), No 2, pp.204-224.

40. J Y Liu, T zhan. On sums of five almost equal prime squares. Acta Arith, 1996, 77: 369Ц383

41. J Y LlU, T ZHAN. On sums of five almost equal prime squares (II). Sci China, 1998, 41: 710Ц722

42. J Y llu, T Zhan. Estimation of exponential sums over primes in short intervals I. Mh Math, 1999, 127: 27Ц41

43. J Y Liu, T Zhan. НиаУв Theorem on Prime Squares in Short Intervals. Acta Mathematica Sinica, English Series Oct., 2000, Vol.16, No.4, pp. 669Ц690.

44. PAXMOHOB 3.X. Тернарная задача Эстермана с почти равными слагаемыми // Мат.заметки, 2003, Т.74, Вып. 4, с.564-572.

45. ШОКАМОЛОВА Дж.А. Асимтотическая формула в задаче Эстермана с почти равными слагаемыми // Доклады АН РТ, 2010, т.53, .№5, с. 325-332.

46. PAXMOHOB З.Х.,ШозиЕЕВА С.П. Кубическая задача Эстермана с почти равными слагаемыми // ДАН РТ, 2002, Т. 44, №3-4, стр. 7-17.54. paxmohob З.Х., Мирзоавдугафуров К.И. Проблема Варинга для кубов с почти равными слагаемыми// ДАН РТ, 2008, Т.51,№2, с.83-86.

47. WEYL H. Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins// Math. Ann, 1916, 77, s.313-352.

48. Чудаков Н.Г. О функциях C(s) и тг(ж) // Докл. АН СССР, 1938, т.21, с. 425-426.

49. МАРДЖАНИШВИЛИ К.К. Об одновременном представлении п чисел суммами полных первых, вторых,. , п х степеней // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1937, т. 1, с. 609 - 631.58. линник Ю В. Оценки сумм Вейля// ДАН СССР, 1942, Т.34, №, с. 201203.

50. КАРАЦУБА A.A. Проблема Варинга для сравнения по модулю, равному степени простого числа//Вестник МГУ, 1962, Сер.1, №1, с.28-38.

51. КАРАЦУБА A.A. Средние значения модуля тригонометрической суммы// Изв. АН СССР, Сер.матем., 1973, Т.36, №6, с.1203-1227.

52. Архипов Г.И. О среднем значении сумм Г. Вейля// Мат. заметки, 1978, Т.23, №6, с.785-788.

53. АРХИПОВ Г.И., КАРАЦУБА A.A. Новая оценка интеграла И.М. Виноградова// Изв. АН СССР, Сер.матем., 1978, Т.42, №4, с.751-762.63. стечкин с.Б.О средних значениях модуля тригонометрический суммы// Труды МИАН им. В.А.Стеклова АН СССР, 1975, Т.134, с.283-309.

54. Коробов Н.М.О тригонометрических суммах// ДАН СССР, 1979, Т. 245, №1, с. 14-17.

55. КОРОБОВ Н.М. Тригонометрические суммы и их приложения.:- М: Наука, 1989, -240с.

56. СОКОЛИНСКИЙ В.З. О теореме о среднем при малом числе переменных// Изв. ВГПИ, 1979, Т.201, с.45-55.

57. ТЫРИНА О. В. Новая оценка тригонометрического интеграла И. М. Виноградова// Изв. АН СССР, 1987, 51,№2, с.363-378.68. архипов Г.И.Оценки двойных тригонометрических сумм// Труды МИ-АН им. В.А. Стеклова АН СССР, 1976, Т. 142, с. 46-66.

58. Архипов Г. И., Чубариков В.Н. О кратных тригонометрических суммах// ДАН СССР, 1975, Т. 222, №5, с.1017-1019.

59. Архипов Г. И., Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические сум-мы//Изв.АН СССР.Сер.мат., 1976, Т.40, с.209-220.71. чубариков В.Н. О кратных рациональных тригонометрических суммах и кратных интегралах// Мат.заметки, 1976, Т.20, №1, с.61-68 .

60. ЧУБАРИКОВ В.Н. Об одном кратном тригонометрическом < интегра-ле//ДАН СССР, 1976, Т.227, с.1308-1310.73. чубариков в.н. Асимптотическая формула среднего значения кратной тригонометрической суммы// Мат. заметки, 1978, Т.23, №6, с.799-816.

61. Архипов Г. И.,Карацуба A.A., Чубариков В.Н. Равномерные оценки кратных тригонометрических суммах// ДАН СССР, 1980, Т. 252, №6, с. 1289-1291.

62. Архипов Г. И.,Карацуба A.A., Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы и их приложения //Изв.АН СССР.Сер.мат., 1980, Т.44, с.723-781.

63. Архипов Г.И., Карацуба A.A., Чубариков В.Н. Теория кратных тригонометрических сумм. -М.: Наука, 1987, -368с.

64. VAUGHAN R.C. Some remarks in Weyl sums. Coll. Math. Soc. Janos. Bolyani, Budapest 1981.

65. МИРЗОАБДУГАФУРОВ К.И. О среднем значении коротких сумм Вейля.// ДАН РТ, 2008, Т.51,№4, с. 245-247.

66. Карацуба A.A. Основы аналитической теории чисел. 2-ое изд, М.: Наука, 1983.83. уиттекер Э.Т., ватсон Дж.н. Курс современного анализа, ч. 1. Основные операции анализа. Изд. 2-е. Перев. с англ.-М.: Физматгиз, 1963.-342с.

67. Азамов А.З. Среднее значение коротких тригонометрических сумм Г.Вейля четвертой степени// ДАН РТ, 2011, т.54, №1, с.13-17.