Асимптотическая формула в проблеме Варинга-Гольдбаха со сдвинутыми простыми числами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Рахмонов, Фируз Заруллоевич

• Рахмонов, Фируз Заруллоевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Рахмонов, Фируз Заруллоевич

Обозначения.

Введение

1 Оценка тригонометрических сумм с простыми числами

1.1 Известные леммы.

1.2 Оценка тригонометрических сумм с простыми числами на множестве первого класса.

1.3 Оценка квадратичных тригонометрических сумм с простыми числами.

2 Исследование особого ряда в проблеме Варинга—Гольдбаха со сдвинутыми простыми числами

2.1 Формулировка результатов.

2.2 Вычисление 9(2,

2.3 Вычисление ЛГ), р > 2.

2.4 Вычисление <5(ЛГ) и ее оценка снизу.

3 Асимптотическая формула в проблеме Варинга—Гольдбаха со сдвинутыми простыми числами

3.1 Основная теорема

3.2 Оценка вспомогательных тригонометрических сумм с простыми числами.

3.3 Доказательство основной теоремы 3.1.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотическая формула в проблеме Варинга-Гольдбаха со сдвинутыми простыми числами»

Настоящая диссертация является исследованием в области аналитической теории чисел. Основным предметом исследований, составляющих ее содержание, является изучение поведения тригонометрических сумм с простыми числами и вывод асимптотической формулы для количества представлений натурального числа в виде суммы пяти квадратов сдвинутых простых чисел.

И.М. Виноградов [1]-[12] создал метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами. Он обнаружил, что суммы по простым числам могут быть составлены путем только сложений и вычитаний из сравнительно небольшого числа других сумм (решето Виноградова), хорошие оценки которых могут быть получены с помощью метода оценок двойных сумм и средств, не имеющих какого-либо отношения к теории функции или Ь-рядов (метод сглаживания двойных сумм). Пользуясь этим методом, он впервые получил нетривиальную оценку линейной тригонометрической суммы

Полученная оценка для 5(а, х) в соединении с теоремами о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях позволила вывести асимптотическую формулу для числа представлений нечетного N в виде N — Рг + Р2 + Рз 5 следствием которого является тернарная проблема Гольдбаха о представлении нечетного натурального числа как суммы трех простых чисел.

В 1937 г. И.М.Виноградов с помощью указанного соображения с последующим применением метода Г.Вейля получил оценку суммы = Ее (/(р))' = ++ • • •+

Ю.В.Линник [13]-[18] с помощью идей Г.Харди и Д.Литтлвуда [19]—[20], применявшихся ранее в проблеме Гольдбаха и плотностых теоремах для нулей Ь - рядов Дирихле, дал новый вариант нетривиальной оценки тригонометрической суммы х). Тем самым Ю.В.Линником было дано новое доказательство теоремы И.М.Виноградова о трех простых числах (проблема Гольдбаха).

Н.Г. Чудаков [21]-[22] также предложил подобный метод исследования тригонометрических сумм ¿>(а, х) с помощью оценки средних значений функций Чебышева, получение которой в свою очередь основывается па распределении нулей ¿-рядов Дирихле в критической полосе.

В 1938 г. Хуа Ло Геи [23], пользуясь оценкой И.М.Виноградова для суммы £>"(/), при п = 2, доказал асимптотическую формулу для числа представлений достаточно большого натурального числа N в виде суммы пяти квадратов простых чисел и показал, что особый ряд этой формулы больше абсолютной положительной постоянной при N = 5(тос124:). Тем самым Хуа Ло Ген доказал, что всякое достаточно большое натуральное число N = Ь(то(12А) является суммой пяти простых квадратов.

А в 1948 -1956 гг. И.М.Виноградов, используя вместо метода Г.Вейля свой метод тригонометрических сумм, доказал общую теорему об оценке суммы 5'(/). С помощью этой теоремы и упрощенной верхней границы в теореме о среднем он нашел асимптотическую формулу в проблеме Гольдбаха - Ва-ринга, о том, что каждое достаточно большое натуральное N может быть представлено в виде где Р1,Р2, • • • ,Рк — простые числа.

Если в асимптотической формуле И.М.Виноградова особый ряд а = а(к] А/") отличен от нуля, то из этой формулы при фиксированном значении к следует представимость достаточно больших натуральных чисел N суммою ограниченного количества слагаемых вида рп, то есть полное решение проблемы Гольдбаха - Варинга. Наименьшее число /с, при котором а — а(к; А/") > 0 обозначается символом У(п) [24] и называется функцией Виноградова. Эта функция подобна функции Харди - Литтлвуда С(п) в проблеме Варинга. Вопросы о существовании функции У{п) и ее верхней оценки в зависимости только от значений параметра п до 2009 г. оставался открытым и, следовательно, проблема Гольдбаха - Варинга в полном объеме до самого последнего времени оставалась нерешенной.

В.Н.Чубариков [24]—[27] создал теорию кратных тригонометрических сумм с простыми числами, являющуюся дальнейшим развитием метода оценок тригонометрических сумм с простыми числами И.М.Виноградова и решил проблему Гильберта - Камке в простых числах. В.Н.Чубариков указал арифметические условия, позволяющие свести эту проблему к исследованию разрешимости в р - адических числах при всех р < 2п некоторой системы уравнений варинговского типа. Использование подобных арифметических условий разрешимости позволили ему полностью решить и проблему Гольдбаха - Варинга. Он доказал

Теорема (В.Н. Чубариков). Пусть п > 2 — фиксированное натуральное число, Р1,Р2, ■ ■ ■ ,Рк ~ пробегают значения простых чисел, превосходящих 2п. Тогда существует функция У(п) такая, что при к < У(п) для всех достаточно больших N имеет место представление где функция а — а(п,р) определяется из соотношения ра\\п, (р — 1) | п. Первая глава диссертации посвящена исследованию поведения тригоно

Более того, справедливы неравенства п + М(п) < У(п) < М(п) + Сі (п) - 1,

Сі(п) < 4п\пп + 161п 1пп + 8п, ра+1, если п - четное; если п - нечетное, метрических сумм с простыми числами вида

Sm(a-,x,k) = ^A(n)e(a(n + A;)m), п<х а = - + Л, (а, q) = 1, |Л| < —, 1 < q < т, q qr и состоит из трех параграфов. В первом параграфе приведены известные результаты, которые используются в последующих параграфах.

Во втором параграфе этой главы изучается поведение тригонометрических сумм с простыми числами Sm{a\ х, к), когда а приближается рациональным числом с маленьким знаменателем и устанавливается их связь с плотност-ными теоремами для нулей L - рядов Дирихле в коротких прямоугольниках критической полосы.

Определение. Пусть с > 2, 9 < 1 и В > 1 абсолютные постоянные,

Т >Т0 > 0; Н >Т°, тогда оценка вида

YlW&T + H^-NfaT^x)] « (qT)^-a\lnqT)B (1) называется плотностной теоремой в коротких прямоугольниках критической полосы для нулей L - рядов Дирихле по модулю q.

Теорема 1.1 Пусть х > xq, т > хт~с exp(ln0'76 х), q < х^ ехр (— In0,76 ж) , b > (В+3)(т+1) - произвольное фиксированное число, к - фиксированное натуральное число, ехр(— In4 In ж), если q < (Ina;)6,

F(q,x)=l

I (Ina:)-®4"3, если q > (Ina:)6.

Тогда справедливо равенство: X

Sm{a]x,k) = ^j^~ J eMu + kDdu + Rmfax). viq) 2

Rm(q, rc) <C xF(q, x) max

Xmodq ip{q)

Доказательство теоремы 1.1 основывается на дальнейшем развитии методов работы Ю.В.Линника [13] и Н.Г.Чудакова [28], в которых, соответственно, исследуются тригонометрические суммы с простыми числами и попадание простых чисел в короткие интервалы.

Zhan Тао [29] доказал, что соотношение (1) имеет место при с < 8/3, 0 < 1/3 и В < 216. Поэтому из теоремы 1.1 получим следующие безусловные результаты:

Следствие 1.1.1 Пусть т > хт~% ехр(1п0'76 х), д < ж* ехр (— 1п0,76 х), Ь > 220(т -Ь 1), тогда для остаточного члена теоремы 1.1 справедлива оценка: , ч ж) т

Ч>{<1)

Следствие 1.1.2 Пусть д > (1п.-г)ь7 тогда при выполнении условий следствия 1.1.1 справедлива оценка:

В третьем параграфе первой главы получена оценка сверху для модуля квадратичной тригонометрической суммы с простыми числами 5ш(сг, ж, к), т = 2, к = 1, то есть для сумм вида ж, 1) = ^ А(п)е(а(п + I)2), п<х когда а приближается рациональным числом с большим знаменателем.

Теорема 1.2 Пусть х > гго > 0; а-вещественное число, а — ^ + ф, (а, д) = 1, д > 1, < 1, тогда

32(а\х, 1) = ^Л(п)е(а(п + I)2) <С (5 + х™ Ь8, Ь = \riqx, п<х

Доказательство теоремы проводится методом оценок тригонометрических сумм с простыми числами И.М.Виноградова [1], [2], [3]. Основу доказательства составляют леммы 1.15 и 1.16 об оценке двойных тригонометрических сумм от квадратичного многочлена.

Лемма 1.15 Пусть М > 1 и N > 1 произвольные положительные числа, М < N, МЫ < х, ат и Ьп функции натурального аргумента такие, что

Г |ат|2«МЬс% £ \Ъп\2 «С Л/ХСь, С1 = 4с* + 4О, + 9

М<т<2М ЛГ<п< 2ДГ

Тогда справедлива оценка а™ Ьпе{а(тп+1)2) МЫ + Лг1 + М~* + ^(МАГ)-*) Ьс\

М<т<1М к<п< 2М тп<х

Лемма 1.16 Пусть М > 1 и N > 1 произвольные положительные числа, М < N, МN < х, ат функция натурального аргумента, \ат\ < 1пт. Тогда для суммы

IV = ^ ат 52 е(а(тп + 1)2)

М<т<2М N <п<2М тп<х справедлива оценка

IV С ((МДГ)д-з + + х/АШ^) Ь5'5.

Теоремы 1.1 и 1.2 являются уточнением соответствующего результата И.М.Виноградова для тригонометрической суммы -£'(/) соответственно для многочленов вида /(п) = (п + к)т и /(п) = (п + I)2.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию особого ряда оо 9=1 а,д)=1 у(п,9) = 1

Суть этого исследования заключается в следующем:

• показано, что особый ряд & = (5(ТУ) абсолютно сходится, является вещественным числом и равен бесконечному произведению по простым числам р функций

• найдены точные значения числовых рядов ТУ), из которых следует арифметическое условие, при выполнении которого особый ряд & = (5 (ТУ) больше абсолютной положительной постоянной, зависящей только от N.

Теорема 2.1 Справедливо соотношение где с(ІУ) - абсолютная полоэюительная постоянная, зависящая только от

Основу доказательства теоремы 2.1 составляют теорема 2.2 о точном значении ряда 3~(2, ТУ), ее следствие 2.2.1 об оценке снизу 3^2, N) при огс12 (ТУ) > 2 и теорема 2.3 о точном значении ряда 3(р,Ы) со своими следствиями 2.3.1, 2.3.3, 2.3.5, в которых соответственно получены оценки снизу для /У) сю если ТУ = 0(тос14); если ТУ ф 0(гаос£4),

N, и при р > 7, 5(3, ТУ), ^(5, ТУ).

Теорема 2.2 Пусть огд= ¡3, огс?2(Л^ -2 ^ — 5) = г), тогда справедлива формула

О, если (3 < 1;

26 15

--1---21-5(/31)+3, если В > 2 и В - четное, г? Ф 2;

7 28

26 13

----21-5(р-1)+3 если в>2 и (3 - четное, г] = 2;

7 28 г-н , ,

26 15 + — • 2-1,5^-1)+3 если ¡3 > 3 и ¡3 - нечетное.

Следствие 2.2.1 При огв,2(-/V) > 2, справедливо неравенство ^ „ч 26 13%/2 13,, 65

Теорема 2.3 Пусть р - нечетное простое число, огс1р(М) = (3, тогда справедлива формула

Ф(р, ТУ) = -г^ (—Ср(ЛГ - 5) - Ю^рсДУУ - 3)

-5р2Ср(М - 1) + - 4) + 10еЛ(ЛГ - 2)р2 + др(АГ)р3) ,

О,

Р5 ~Р

1(р,Ю = { р - I)5 (р - 1)5(р3 - 1) V р1'5^-1) у '

1 если ¡3 = 0;. если /3 > 1 - нечетное; (р-1)4(р3-1) (Р + 1)2 \ 1 + ер5р(Ю р1,Б(/9-2)+4 у (р 1)5р1,509-2) ' если /3 >2 - четное.

Следствие 2.3.1 При р >7 справедливо неравенство зг(р,ло>1- 10 р2(р)

Следствие 2.3.3 Справедливо неравенство

Э~(3, ./V) > 1 - 2~4.

Следствие 2.3.5 Справедливо неравенство

Доказательства теорем 2.2 и 2.3 в свою очередь опираются на точные значения суммы Ф(а. ра), которые найдены соответственно в леммах 2.2, 2.3, 2.4 при р — 2 и в леммах 2.7, 2.8, 2.9, 2.10 при р > 3.

Третья глава диссертации посвящена выводу асимптотической формулы для количества представлений достаточно большого натурального числа N в виде суммы пяти квадратов сдвинутых простых чисел вида р + 1:

N = (Р1 + I)2 + (ра + I)2 + Срз + I)2 + (Р4 + I)2 + (Р5 + I)2, и нахождению арифметического условия, при выполнении которого особый ряд задачи больше абсолютной положительной постоянной, зависящей только от N.

Теорема 3.1. Для числа 1) представлений N суммою пяти квадратов сдвинутых простых чисел вида р-\-1 справедлива асимптотическая формула:

А ; 31п N \ 1п6ЛГ ) где &(Ы) - особый ряд абсолютно сходится, и справедливо соотношение

Следствие 3.1.1. Существует такое Щ, что касисдое натуральное число N, N > Ы0 N = 0(тос14■) есть сумма пяти квадратов сдвинутых простых чисел вида р + 1.

Доказательство теоремы проводится круговым методом Харди - Литтл-вуда - Рамануджаиа в форме тригонометрических сумм И.М.Виноградова. Основу доказательства составляют теорема 1.1 о поведении суммы когда а приближается рациональным числом с маленьким знаменателем, теорема 1.2 об оценке сверху модуля квадратичной тригонометрической суммы с простыми числами 82(0:', х, 1), когда а приближается рациональным числом с большим знаменателем, и теорема 2.1 об арифметическом условии, при выполнении которого особый ряд задачи <5(іУ) > с(АГ), где с(Ы) -абсолютное положительное постоянное, зависящее только от N.

В заключении автор выражает глубокую благодарность профессору В.Н.Чубарикову за научное руководство, постоянное внимание и помощь в работе. если N = 0(гпос14); если N ф 0(тое£4),

5ш(о;; х, к) = п< X

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Рахмонов, Фируз Заруллоевич, 2011 год

1. Виноградов И.М. Избранные труды. —М.: Изд-во АН СССР, 1952.

2. ВИНОГРАДОВ И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. — М:, Наука, 1980, 144 с.

3. ВИНОГРАДОВ И.М. Особые варианты методов тригонометрических сумм. — М.: Наука, 1976.

4. ВИНОГРАДОВ И.М. Основы теории чисел. — М.: Наука, 1981.

5. ВИНОГРАДОВ И.М. Об одной общей теореме Варинга // Математический сборник, 1924, т.31, №3-4, с.490-507.

6. ВИНОГРАДОВ И.М. О теореме Варинга // Известия АН СССР, ОМЕН, 1928, с.393-400.

7. ВИНОГРАДОВ И.М. Новое решение проблемы Варинга // ДАН СССР, 1934, №2, с.337-341.

8. ВИНОГРАДОВ И.М. О верхней границе в проблеме Варинга // Известия АН СССР, ОФМН, 1934, с. 1455-1469.

9. ВИНОГРАДОВ И.М. Новый вариант вывода теоремы Варинга // Труды Физико-математического института АН СССР, 1935, №9, с.5-16.

10. ВИНОГРАДОВ И.М. Виноградов И.М. Новый метод в аналитической теории чисел // Труды МИАН, 1937, т.Ю, с.5-122.

11. ВИНОГРАДОВ И.М. Общие теоремы о верхней границе модуля тригонометрической суммы // Известия АН СССР, Сер. мат., 1951, т.15, №2, с.109-130.

12. ВИНОГРАДОВ И.М. К вопросу о верхней границе для С(п) // Известия АН СССР, сер. мат., 1959, т.23, N0 5, с.637-642.

13. ЛИННИК Ю.В. Новое доказательство теоремы Гольдбаха-Виноградова // Математический сборник, 1946, т. 19, вып.1, с. 3-8.

14. ЧУДАКОВ Н.Г. On Goldbach-Vinogradof's theorem // Ann of Math.,1947, 48, p. 515-545.

15. ЧУДАКОВ Н.Г. Введение в теорию L-функций Дирихле. — М.-Л.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1947.

16. ЧУВАРИКОВ В.Н. Многомерная аддитивная задача с простыми числами // ДАН СССР. 1986, т.290, №4, с.805-808.

17. CHUDAKOV N.G. On the difference between two neighboring prime numbers // Mat. Sb., 1, 1936, 799 814.29. zhan tao, On the mean square of Dirichlet L functions // Acta Math Sinica, 8(1992), No 2, pp.204-224. '

18. ДЭВЕНПОРТ Мультипликативная теория чисел. — М.: Наука, 1971.

19. ПРАХАР К. Распределение простых чисел.—М.: Мир, 1967.32. карацуба A.A. Основы аналитической теории чисел. — М.: Наука, 1983, 2-ое изд.

20. Марджанишвили К.К. Оценка одной арифметической суммы // ДАН СССР, 1939, т.22, No 7, с.391 -393.

21. КОРОБОВ Н.М. Тригонометрические суммы и их приложения. — М.: Наука. 1989, 240 с.