Принцип усреднения для дифференциальных уравнений с переменным главным членом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Соболевский, Евсей Павлович

• Соболевский, Евсей Павлович
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Соболевский, Евсей Павлович

ВВЕДЕНИЕ

§ I. Метод "параметрикс" и метод "коммутант"

ГЛАВА I. ИССЛЕДОВАНИЕ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ КОШ

§ 2. Полугруппы exp{-zF(t,t)}

§ 3. Операторы KCt.t) и K^VO.

§ 4. Оператор Ц (t,t).

§ 5, Линейное уравнение.

§ б. Квазилинейное уравнение

§7. Дополнительные оценки гладкости

§ 8. Оператор tl(i,^) в шкале пространств

ГЛАВА II. ПРИНЦИП УСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ КОИМ

§ 9. Принцип усреднения для линейного однородного уравнения.

§10. Принцип усреднения и устойчивость

§11. Принцип усреднения для квазилинейного уравнения.

§12. Принцип усреднения и нелокальная разрешимость квазилинейного уравнения

ГЛАВА III. ПРИНЦИП УСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ КОШ

§13. Резольвента дифференциального оператора

§14. Дифференциальные операторы в шкале Гёльдера

§15. Коммутанты дифференциальных операторов

§16. Задача Коши для параболических уравнений

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Принцип усреднения для дифференциальных уравнений с переменным главным членом»

Настоящая диссертация посвящена принципу усреднения для параболических уравнений. Поэтому более подробно остановимся на работах, в которых исследуется принцип усреднения для уравнений такого типа. Первой, повидимому, была работа [9], где исследована задача Коши а ч

Os-tsT, хеИЛ) Щх)=о°(х) CxeR*), со * О для слабо нелинейной параболической системы, содержащей большой параметр СО . Установлена равномерная по (*fc, X) сходимость при (0-*-+00 решений ^("t^OR) задачи /I/ к решению l)^ (t7SC.) усреднённой задачи Коши

0«t«T, хеЦл), tr(0,oc)=:tf0(x) (леЯ*).

Здесь "Р (Х,<Т) определена формулой

Х)1У)=: llm 4" \ F Ct,ac,ir) oLt. /з/

Исследование опирается на метод интегральной непрерывности, впервые применённый в работе [ю] и развитый в работе [il] для уравнений с ограниченными операторами.

В работах [l2,I3] была изучена общая начально-краевая задача для квазилинейного параболического уравнения вида

I - ) оС jV cot,x,o;Dir) xeQ) /4/ в ограниченной области . Установлена сходимость bLp(Q) норме при любом р>1 , равномерная по*Ьб[0,Т] , нр только решений ^("t^) этой задачи, но и их производных вплоть до старшего порядка |jf|-2lTl к соответствующим производным решения усреднённой задачи. Исследование опирается на метод дробных степеней операторов, изложенный в [14], и метод интегральной непрерывности. Отметим, что [13] - это первая работа, в которой установлена сходимость старших производных поX.

В работе £15] впервые были изучены параболические уравнения, коэффициенты которых при старших производных по X содержат большой множитель при временной переменной. В ней изучена задача Коши для параболического уравнения air л , ^ , float = Д- 14. wt,»y+ X a.(cot,x)g^ + с,1-1 о ь 4 * £(cot,x) <0*-Ь«Т,хеЯ* со^О). /5/

Установлена сходимость в её решений к решению усреднённой задачи с помощью методов теории вероятностей.

Систематическое исследование принципа усреднения на временной оси для параболических уравнений, содержащих большой множитель при "t в коэффициентах при старших производных, было проведено в работах [l6,I7] /см. также [18]/. В них разработана теория абстрактных уравнений такого вида, названных в [1б] уравнениями с переменным главным членом. В приложении к линейным параболическим уравнениям произвольного порядка 2 Ш дивергентного вида эта террия позволила установить слабую сходимость в L2 /точнее в /-норме производных решений по X до порядка 1П к соответствующим производным решения усреднённого уравнения. Эта теория позволила исследовать также квазилинейные параболические уравнения второго порядка дивергентного вида и установить сходимость в С -норме решений этих уравнений к решениям усреднённых уравнений.

В последние годы интерес математиков привлекают задачи многомерного усреднения. Исследуются уравнения, коэффициенты которых содержат большие множители не только у *fc , но и у X . Принцип усреднения и более общее понятие G -сходимость для линейных эллиптических и параболических уравнений произвольного порядка 2 №> дивергентного вида исследованы в работах [l9,20,2l]. В этих работах имеется также подробная библиография предшествующих работ по (i -сходимости и принципу усреднения.

Приведём результат из работы [21*], касающийся одномерного усреднения и имеющий непосредственное отношение к данной диссертации /теорема 7 из[21]/. Рассматривается задача Коши f1 [a, MrtVl=i

0Ъ loCl Iftlfim Л oCjV > x

6/ tr(0,x)=tfo(x) (xe^l.

Предполагается, что коэффициенты равномерно непрерывны по совокупности переменных; существуют такие константы Jto>05JJL>0, что выполнены неравенства a^ (lodjjrUm, t*0, хеТС), и при каждом xeU существует предел . i<

CL & rtx)dt.

Ар -N J oCjV4 >

Задаче /6/ сопоставляется усреднённая задача Коши

M,ljH«m « /7/

0«t«T, жеТП <Г(0,х)=<Го(х) (асеТГ).

Изучаются обобщённые решения (*Ь,Х) и ^Ct,X) задач /б/ и /7/ соответственно, т.е. решения изЬ2([0,Т])^ГЧ[Я,г])П^^ССО^^СЯ"]). В частности, это означает,что обобщённые решения имеют /обобщённые/ производные по X до порядка из],2((3), Q=[0,¥] *Ца. Установлена /при СО00 / слабая^ в L^GD-HopMe сходимость обобщённых градиентов и Ij/O^Ct^X) к D^O^ (t,0C) при |оСИ Ш .

В работах

22,23] изучена задача Коши g^y —EL, а > Я-it

Я"" 5 ач (t>x) э^ " S с

0«t«T, oceTT), ir(0,x)=o'ocx^ CxeUa), и установлено неравенство коэрцитивности в -нормах. Особенность этих результатов в том, что нормы старших производных решения задачи /8/ оцениваются величиной, не зависящей от модулей непрерывности коэффициентов по \ . Поэтому эти результаты применимы к исследованию принципа усреднения для задач /б/ и /7/ при IUrl /и при дополнительных предположениях о гладкости коэффициентов по X /. С помощью этих результатов и сформулированного выше результата из [2l] можно установить, что вместе с производными по X до второго порядка включительно елабо сходятся к соответствующим производным iT^ ("Ь,Л} в Lp(Q)-норме при любом р > 1 , и при каждом фиксированном "fc сходятся равномерно по X из любого компакта И . На работы [22,23] обратил моё внимание В.В.Жиков.

Из приведенного обзора литературы видно, что для уравнений с переменным главным членом /по терминологии [16*]/ актуально построение теории, которая позволила бы в приложениях исследовать квазилинейные параболические уравнения произвольного порядка 2 (TV общего вида и установить оценки скорости сходимости в С -норме решений неусреднённых уравнений и их производных по пространственным переменным до порядка 2. ГЦ включительно к соответствующим решению и производным усреднённого уравнения. Изучению этих проблем и посвящена данная работа.

В банаховом пространстве исследуется задача Коши для квазилинейного дифференциального уравнения первого порядка с переменным главным членом. Для указанного класса уравнений получена теорема существования и единственности в предположении одной лишь непрерывности операторных коэффициентов по t и ограничений на некоторые коммутанты. В качестве приложения получена теорема существования и единственности классического решения для квазилинейного параболического уравнения порядка 2т общего вида с одним пространственным переменным в предположении непрерывности коэффициентов по "Ь и гёльдеровости по X . Отметим, что ранее существование классических решений в предположении лишь гёльдеровости коэффициентов по X было установлено для нелинейных параболических уравнений только второго порядка [23]. Для линейных параболических уравнений высокого порядка и систем существование классических решений доказано в предположении гладкости коэффициентов по совокупности переменных /см. [24] и [25]/.

Установлен принцип усреднения, обеспечивающий сходимость решений неусреднённой задачи Коши к решению усреднённой задачи в различных нормах, причём установлен не только факт сходимости, но получены оценки быстроты этой сходимости через величины, характеризующие скорость усреднения коэффициентов. Главный результат здесь состоит в том, что получены оценки скорости сходимости в норме, определяемой старшим операторным коэффициентом. Абстрактная теория применена к исследованию задачи Коши для квазилинейного параболического уравнения порядка 2т с одним пространственным переменным, и получены оценки скорости сходимости в норме

С([0,Т],СЫ(иЛ)).

Отметим, что установлена не только сходимость решений для индивидуальных входных данных, а сходимость операторов сдвигами получены оценки скорости этой сходимости. Это позволило исследовать связь устойчивости по Ляпунову для усреднённых уравнений с таким же свойством неусреднённых уравнений и, главное, установить принцип усреднения не только для линейных, но и для общих квазилинейных уравнений.

Результаты диссертации получены с помощью метода "коммутант", впервые применённого в работе [2б] при построении оператора сдвига задачи Коши для линейного однородного параболического уравнения порядка 2.ГП с переменными коэффициентами. В [2б] этот метод позволил построить оператор сдвига без предположений о гладкости коэффициентов по t , но при большой гладкости их по X . Это дало возможность применить метод "коммутант" в работах автора [27,28] к исследованию принципа усреднения для квазилинейных уравнений с линейным переменным главным членом. В данной работе предложен новый вариант метода "коммутант"t позволивший в приложениях требовать от коэффициентов лишь некоторой гёльдеровости по X , что дало возможность применить его к общим квазилинейным уравнениям.

2. Перейдём к обзору содержания диссертации.

В вводном § I даётся постановка задачи Коши для абстрактного квазилинейного дифференциального уравнения первого порядка в банаховом пространстве с переменным главным членом; описывается схема метода "параметрикс" и поясняется его непригодность для исследования принципа усреднения; приводится схема метода "коммутант". В главе I исследуется абстрактная задача Коши.

В § 2 изучаются некоторые свойства аналитических полугрупп, порождаемых зависящими от параметров неограниченными операторами. По тройке банаховых пространств (0 и ^ с непрерывными и плотными вложениями 1 и по функции BCS)

S£0) со значениями в Howell] определяется её усреднение

-fc >Л) » порождающее в "JjJ аналитическую полугруппу exp{-z1?(i,^)} U»0) • Устанавливается связь между оценками этих полугрупп и их коммутантов (J, с оператором В(5) и оценками резольвент операторов и соответствующих коммутантов rv

CJ, . При этом используется известная из теории полугрупп связь между полугруппой и резольвентой её производящего оператора, устанавливаемая с помощью преобразования Лапласа /см. напр. [29]/. Здесь накладываются основные для дальнейшего ограничения E*MUUa, ш «миГ1 для некоторого jf€ [^,1*] , показывающие, что нормы ^ должны определённым образом стремиться к нулю при стремлении модуля спектрального параметра А к бесконечности. Отсюда выводятся соответствующие оценки для ty . Эти оценки позволяют изучить гладкость полугрупп exp-f-zTfyt^)} и коммутантов (J, по параметрам /леммы 1-4, стр. 24, 25/, а также получить оценки разности полугрупп /лемма 5, стр.28/. Оценки § 2 позволяют исследовать в § 3 ЯДР° KCfc»^) интегрального уравнения, служащего для определения оператора сдвига tlCfc,^) линейной однородной задачи Коши. Устанавливается непрерывность К("Ь,^) при в Hoin[El}E^] и цикл оценок норм KCW /лемма I, стр.30/. Важнейшей является оценка в Нот[2,11] » показывающая, что ядро имеет суммируемую особенность. Это позволяет в § 4 построить оператор сдвига llCt,^) как решение интегрального уравнения

•k i

Ufltf )=Фсь><о+ $U(i,s)K(3fl) As, ФсЬ£)=ехр{-$ВфА?}, /ю/ г эвристический вывод которого дан в § I. Оценки §§ 2,3 позволяют в § 4 доказать непрерывность li ("fc/D) в Нот [Я,U] и её дифференци-руемость по -fe в Нот ПРИ "t ^ /леммы 1,2, стр. 33,36/.

В этих доказательствах существенно использование промежуточного пространства . В качестве следствия выводится дифференциальное уравнение для оператора Ц("t,^).

Изученные свойства оператора сдвига позволяют /§ 5/ доказать существование и единственность решения линейной задачи Коши и получить формулу для её решения. При исследовании разрешимости линейного неоднородного уравнения используется идея из [ 12]. Доказательство единственности опирается на установленную в § 3 /лемма 2, стр.32/ оценку в Hom[D,D] ядра^СЬ^) уравнения, сопряжённого /10/. Из единственности решения задачи Коши вытекает важное тождество Гюйгенса для оператора сдвига. Оно позволяет доказать дифференцируемость ИСЬ,^) по °С в Нот. [Ц,!!] . В § б исследуется квазилинейная задача Коши ir+Afr,ir]ir = f[-b,^] (t*0), tf(0)=iro, /п/

Термин "квазилинейная" оправдывается тем, что функция Act,!?) непрерывна из [0,+ов)х в Нот[ф?"Е] jf-CtjiT) непрерывна из [0>+о®]*1Й£ вЕг иЙ, - банахово пространство с непрерывными вложениями 3) С Е$ С JJ . По непрерывной при "t £ О со значениями в ТЙ^ функции Z("t) строится линейный оператор В(-t)=A[t,Z(i)] , а по нему - оператор сдвига t(2(i,T) . Этот оператор позволяет свести задачу /II/ к интегральному уравнению вольтеровского типа и доказать локальную /по t / теорему существования и единственности /теорема I, стр.47/. Отметим, что при этом существенно используются полярные оценки оператора сдвига, установленные в §4.

Следующие два параграфа подготавливают исследование принципа усреднения. В § 7 изучается гладкость Ипо % . В § 5 была установлена дифференцируемость LlCt,^) по % в Оказывается,/лемма 2, стр.51/ Uct,^) при"Ь>*£ удовлетворяет по ^ некоторым весовым условиям Гёльдера, если её рассматривать в Ноггъ["ЁэЁЗ или Нот [Ён/£] • При этом накладываются ограни

Я С чения на новый коммутант 0, • Доказательство основано на оценках g g^liCtjC) в различных нормах /лемма I, стр.50/. Эти оценки позволяют также установить неравенство /лемма 6, стр.58/ t><t,<r06D(B*)=D), /12/ характеризующее способность tiCt/t) поглощать часть неограниченного оператора Нот [D,E] » порождающего аналитическую полугруппу елр (-ZB*) (z^O ) в]£ . Здесь $ - число из /9/.

В § 8 оператор Щ^ЯС) изучается в шкале банаховых прост-ранотвЕ,*, £t=D, прежние, с непрерывными и плотными вложениямиEjpEjv при o£>jV% Для дальнейшего важно, что оС0> 1 . Предполагается, что нормы этих пространств удовлетворяют неравенству моментов /см.[14]/, и показывается /лемма I, стр.60/, что в исследуемой ситуации неравенство подчинённости /см. [14]/ обратимо. Предполагается, что B(S)€C([05+°o)j HomlX^E^]) при0^оС^оС0-1 , и на резольвенту "Р ("fc/С) и коммутант ^ накладываются такие же ограничения, как и при сС-0 . Это позволяет оценить в шкале "Ё^ полугруппы exp{-zV(-t,*£)"} и коммутант CJ, . Главное в § 8 - это оценки Ив HomfU^E^] при любых O^j$r£dC<oC0 /лемма 4, стр.62/, а не только для отдельных значений сС ш fir при Q^Jfr^oC^d . Эти оценки базируются на оценках Jtв т< 9 шкале Еес /лемма 3, стр.62/. Оценки д^КСВД позволяют исследовать гладкость 11 ("Ь,1X) по ^ /леммы 6,9, сир.63,64/ и способность КСЬ,^) поглощать часть неограниченного оператора /леммы 7,8,с.63/.

В главе II исследуется принцип усреднения для абстрактной зал I со дачи Коши. В § 9 изучается оператор сдвига Ц ("t,^) линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка с операторным коэффициентом В (cO"t) . Предполагается, чтоВ("Ь) имеет среднее В в Hom[U,'E] » порождающее оператор сдвига -Mtp^'t-^yb0"} усреднённого уравнения, и исследуется разность Д tt^llt^-U'cfc/t) в шкале Е^ . Условия наВСЪ) позволяют получить равномерные по СО оценки li^Ct,^) . Оценки A^ проводятся при фиксированном Т>0 и 0<"t""cC^T . Для любого ^€.(0,%) и V оценки Д" опираются на равномерные по СО оценки гладкости И (t,t) /лемма I, с.65/. Основная трудность - в получении оценок A^Ct,^) при "fc ^ ^ . Оператор Д^ф,^) представляется в виде суммы интегралов по множествам малой меры. Каждый такой интеграл разлагается на сумму трёх интегралов, и малость первых двух получается за счёт равномерных по СО оценок гладкости 11 (t,^) . Малость третьего интеграла получается с помощью функции ^ , характеризующей скорость усреднения В Ct) /леммы 2-7, с.66-71/. Стремление A^Ctyt) к нулю при в норме Нот » равномерное по , устанавливается при jV>oC /лемма 8, с.72/. При этом доказывается не только факт сходимости, но получаются и оценки быстроты этой сходимости при всех0^°С^1 • Для приложений интересен случай оС=1 , и здесь существенно, что можно выбрать (l<J^r<,°Co) • Далее приводится пример, показывающий, что при jSr^oC равномерного стремления к нулю/1 ("Ь?ЯО > вообще говоря, нет в случае неограниченных B(-t) /пункт 3, с.73/. В общем случае оценки равномерного стремления к нулю получены для оператор-функции Д^СЬ,^) в при t.+JV-cC>0, /теорема I, с.76/, и показано, что в случае £+Jfr-oC=0 имеет место сильная сходимость, равномерная по 0<t-^T /теорема 2, с. 77/.

Хотя оценки скорости сходимости Ajft,^) при СО +оо получены при фиксированном Т > 0 и , они позволяют /§10/ исследовать связь между устойчивостью по Ляпунову нулевых решений усредненной и неусредненной линейных задач Коши при больших СО /теоремы I, 2, с.78,82/. Здесь используются весовые оценки скорости сходимости, верные при фиксированном /большом/ Т >0.

В работах автора [30 - 33] был применен новый метод доказательства равноустойчивости /одновременной устойчивости или неустойчивости/ по Ляпунову нулевых решений для квазилинейных усредненных и неусредненных уравнений с линейным постоянным главным членом. Этот метод применим и в случае квазилинейных уравнений

27, 28] , и он позволяет ослабить ограничения на гладкость нели-нейностей по сравнению с работами [l2, 34] .

В § II общей квазилинейной задаче Коши с параметром СО > О ir+Atcot^lir^ftcot^] (t*0), <r(0) = <ro, /I3/ ставится в соответствие усредненная задача Коши rl+A*ty]<r=f"[ir] (t*0),or<tn=<ro /I4/

Из равномерных по СО оценок следует существование и единственность решений O^Ct") и ^(i) задач /13/ и /14/ соответственно, определенных на некотором, не зависящем от СО , отрезке [0,"fc0 3 /теоремы I и 2, с. 85, 86/. Главный результат /теорема 3, с. 95/ состоит в оценках скорости стремления к нулю при СО

AM(t ) ^oo C"fc) . Сначала принцип усреднения доказывается в норме пространства , характеризующего степень квазилинейности /лемма 1,с.91/. По сравнению с линейным случаем /§ 9/ здесь возникают дополнительные трудности в оценках разности операторов сдвига . Кроме того, в оценках,кроме функции CJ , теперь фигурирует функция , характеризующая скорость усреднения нелинейности f (•fc,!)') . Затем принцип усреднения устанавливается в любом пространстве приоС<1 /лемма 2, с.93/. Наконец, /лемма 3, с.95/ принцип усреднения доказывается в Здесь по сравнению с предыдущими случаями в оценках появляются дополнительные логарифмические множители величины T/V • Отметим, что теорема 3 /с. 95/ устанавливает близость при больших СО решений О'щС'Ь) и IT^ C"t) , если они определены на любом фиксированном отрезке [0,"t0") и при всех "t€ [О ,"Ь0"][ принадлежат фиксированному шару пространства .

Поэтому указанный принцип усреднения позволяет /§ 12/ установить при больших СО нелокальную теорему существования для задачи /13/, если такая теорема справедлива дяя задачи /14/.

Третья глава диссертации посвящена принципу усреднения для параболических уравнений произвольного порядка 2m с одним пространственным переменным. Исследуется задача Коши для линейных однородных уравнений и общих квазилинейных уравнений, содержащих большой множитель при временной переменной.

В § 13 изучается резольвента обыкновенного дифференциального оператора порядка общего вида на оси с переменными коэффициентами, удовлетворяющими условию Гёльдера. Хотя функция Грина /фундаментальное решение/ (Я^Я^А) такой задачи и исследовалась ранее /см. напр.[35]/, в литературе отсутствовали нужные для дальнейшего оценки /теорема I, оценки /13.10//, полученные в работе автора [36 ] . В абстрактной теории глав I и II дифференциальные уравнения изучаются в шкале Е^ банаховых пространств.

В § 14 показывается, что в качестве такой шкалы может быть к л* C2m oC].{2moC} /<ь1ч взята шкала пространств Гёльдера t,^™ Ь ^ И

Оценки производных функции ^(X^jA) позволяют установить /теорема I, с.103/ оценки резольвенты дифференциального оператора порядка 2т в нормах Нот [Е J при любых 0 , оС-JV^l,

Ь/2.т . Здесь 6€(0,1) показатель гёльдерово-сти коэффициентов,

В § 15 устанавливаются оценки коммутантов одних дифференциальных операторов с резольвентами других /леммы 3,4,5, с.108, 109,113/. На этих оценках основан метод "коммутант". Результаты § 13- § 15 позволяют применить теорию глав I и II, что и делается в завершающем § 16. Сначала рассмотрена задача Коши для линейного однородного уравнения. Доказано существование оператора сдвига в предположении непрерывности коэффициентов по -Ь и гёльдеровости по X /теорема I, с.116/. Установлен принцип усреднения с оценками скорости сходимости /теорема 2, с.118/. Получена оценка скорости сходимости производных по X функции О'ф C"t,X) до порядка 2пг включительно. Показано, что условия абстрактных теорем можно выразить в терминах коэффициентов /лемма I, с.116/. Далее исследуется /теорема 3, с.118/ связь между устойчивостью по Ляпунову нулевых решений усреднённой и неусреднённой задач Коши. Заключительный результат /теорема 4, с.120/ относится к задаче Коши для квазилинейных параболических уравнений общего вида. Установлено, что при больших СО неусреднённая задача Коши нелокально разрешима, если этот факт справедлив для усреднённой задачи Коши. Получены оценки близости решений и их производных по X вплоть до порядка . Здесь, как и в случае линейных задач, скорость сходимости выражается с помощью функций, характеризующих скорость сходимости /нелинейных / коэффициентов. Необходимость накладываемых на коэффициенты ограничений изучена в работе автора [37] .

3. Основные результаты опубликованы в работах [27] ,[28] , [30], [38 - 45] .

По материалам диссертации автор выступал с докладами: на всесоюзной конференции по асимптотическим методам в теории сингулярно возмущённых уравнений, Алма-Ата, 1979 год; на всесоюзной школе по вычислительной математике, Красноярск, 1981 год; на научно-технической конференции Пермского политехнического института, Пермь, 1983 год; на IX школе по теории операторов в фнкциональных пространствах, Тернополь, 1984 год; на семинаре академика Ю.А. Митропольского в институте математики АН УССР, Киев, 1984 год; на научных конференциях молодых учёных ВГУ, на семинарах математического факультета и факультета прикладной математики ВГУ, на отчётных научных сессиях ВГУ.

В диссертации принята сквозная нумерация параграфов и своя нумерация теорем, лемм и формул в каждом параграфе. При ссылке на формулу или предложение другого параграфа спереди указывается номер этого параграфа.

Автор благодарен своему научному руководителю профессору Борису Николаевичу Садовскому за постоянное внимание к нему и его работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Соболевский, Евсей Павлович, 1984 год

1. Крылов Н.М., Боголюбов Н.Н. Введение в нелинейную механику.- Киев: Изд-во АН УССР, 1937. 364 с.

2. Боголюбов Н.Н. О некоторых статистических методах математической физики.- Киев: Изд-во АН УССР, 1945. -137 с.

3. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. - 501 с.

4. Митропольский Ю.А. Лекции по методу усреднения в нелинейной механике. Киев: Наукова думка, 1966. - 467 с.

5. Митропольский Ю.А., Мосеенков Б.й. Лекции по применению асимптотических методов к решению уравнений с частными производными.- Киев: Изд. Ин-та математики АН УССР, 1968. 414 с.

6. Митропольский Ю.А., Лыкова О.Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике. М.: Наука, 1973. - 512 с.

7. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике.- Киев: Наукова думка, 1971, 440 с.

8. Митропольский Ю.А., Лыкова О.Б. Лекции по методу интегральных многообразий. Киев: Изд. Ин-та математики АН УССР,1968.-416с.

9. Эйдельман С.Д.О применении принципа усреднения к квазилинейным параболическим системам второго порядка.- Сиб. мат. ж., 1962, т. Ill, Р 2, с. 302-307.

10. Гихман И.И. По поводу одной теоремы Н.Н.Боголюбова. Укр.мат. ж., 1952, т. У1, Р 2, с. 215-219.

11. Красносельский М.А., Крейн С.Г. О принципе усреднения в нелинейной механике. УМН, 1955, т. 10, в. 3 /65/, с. 147-152.

12. Симоненко И.Б. Обоснование метода осреднения для абстрактных параболических уравнений.- Матем. сб., 1970, 87 /123/, № 7, с. 53-61.

13. Симоненко И.Б. Обоснование метода осреднения для задачи конвекции в поле быстро осциллирующих сил и для других параболических уравнений. Матем. сб., 1972, 87/129/, №2, с.236-253.

14. Красносельский М.А. и др. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций.- М.: Наука, 1966. 439 с.

15. Хасьминский Р.З. О принципе усреднения для параболических и эллиптических дифференциальных уравнений и марковских процессов с малой диффузией.- Теория вероятностей и ее приложения, 1963, т. 8, Р I, с. 3-25.

16. Жиков В.В. Принцип усреднения для дифференциальных уравнений с переменным главным членом. ДАН СССР, 1973,208,№1,с.32-35.

17. Жиков В.В. Некоторые вопросы допустимости и дихотомии. Принцип усреднения.- Изв.АН СССР,сер.мат.н.,1976,40, №6, с.1380-1408.

18. Левитан Б.М., Жиков В.В, Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: МГУ, 1978. - 205 с.

19. Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник О.А. О (^-сходимости параболических операторов. УМН, 1981, 36: I, с. II-58.

20. Жиков В?В., Козлов С.М., Олейник О.А., Ха Тьвн Нгоон. Усреднение и & -сходимость дифференциальных операторов. УМН, 1979, 34: 5, с. 65-133.

21. Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник О.А. Усреднение параболических операторов. -Тр.Моск.мат.общ.,1982,т.45, с.182-236.

22. Веретенников А.Ю. Параболические уравнения и стохастические уравнения Ито с коэффициентами, разрывными во времени. -Мат. заметки, 1982, т. 31, Р 4, с. 549-557.

23. KtushW S.f^Castto A.,Lopez И. Heoista cLen^clas materrvatlcs, Vo 1, III, Not, Ш2,р 37-56.

24. Матийчук Н.И., Эйдельман С.Д. Задача Коши для параболических систем, коэффициенты которых имеют малую гладкость. Укр. мат. ж., 1970, 22: I, с. 22-36.

25. Порпер Ф.О., Эйдельман С.Д. Двусторонние оценки фундаментальных решений параболических уравнений второго порядка и некоторые их приложения. У1Н, 1984, т.39, в.З /237/ с. 107-156.

26. Герштейн JI.M., Соболевский П.Е. Об одном подходе к исследованию разрешимости эволюционных уравнений. Дан УССР, серия "А1,1 1980, № 10, с. 9-12.

27. Соболевский Е.П. Принцип усреднения для уравнений с переменным главным членом.- Воронеж, 1979.- 32 с. Рукопись представлена Воронеж, ун-том. Деп. в ВИНИТИ I нояб.1979, Ш 4315-79.

28. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. - 464 с.

29. Соболевский Е.П. Принцип усреднения и устойчивость дифференциальных уравнений с малым параметром. "Диффер. уравнения", 1979, т. ХУ, № 8, с. II44-II49.

30. Соболевский Е.П. Принцип усреднения для уравнений с неограниченным оператором. Воронеж, 1979,- 12с.- Рукопись представлена Воронеж.ун-том. Деп в ВИНИТИ 17 янв.1979, №220-79.

31. Соболевский Е.П. Принцип усреднения для уравнений с неограниченными нелинейностями. Воронеж, 1978.- 13 е.- Рукопись представлена Воронеж, ун-том. Деп. в ВИНИТИ 17 янв.1979, Р 219-79.

32. Соболевский Е.П. Новые оценки в принципе усреднения для уравнений с неограниченными нелинейностями. В кн.: Краевые задачи. Пермь: ППЙ, 1984, с. 145-147.

33. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.-534с,

34. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. - 526 с.

35. Соболевский Е.П. Резольвента и коммутант дифференциального оператора с переменными коэффициентами.- Воронеж, 1984.- 13 с.-Букопись представлена Воронеж, ун-том. Деп. в ВИНИТИ 2 янв. 1985, Р 35-85.

36. Соболевский Е.П, Оператор суперпозиции в пространствах Гельде-ра. Материалы конференции молодых ученых ВГУ, Воронеж, 14-16 декабря 1983 г.,с. 56-60.- Представлена Воронеж, ун-том. Деп. в ВИНИТИ IP 3765-84.

37. Соболевский Е.П. Метод коммутанта для абстрактных параболических уравнений.-В кн.: Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений.Ярославль: ЯГУ,1984, с.73-81.

38. Соболевский Е.П. Оценки скорости сходимости в принципе усреднения." IX школа по теории операторов в функциональных пространствах. /13-19 сент. 1984 г./. Тез. докл./ТГПИ, ИМ СО АН СССР, ИПММ АН УССР/. Тернополь, 1984, с. I3I-I32.

39. Соболевский Е.П. Оценки некоммутируемости в принципе усреднения.- ДАН СССР, 1984, т. 278, Р 3, с. 552-555.

40. Соболевский Е.П. Близость операторов сдвига в принципе усреднения.- Материалы конференции молодых ученых ВГУ, Воронеж, 1-3 декабря 1982 г., с. 45-47.- Деп. в ВИНИТИ Р 4342-83.

41. Соболевский Е.П. Задача Коши для квазилинейных параболических уравнений с осциллирующими коэффициентами при старших производных. Воронеж, 1983.- 15 е.- рукопись представлена Воронеж, ун-том. Деп. в ВИНИТИ 16 янв. 1984, № 355-84.

42. Соболевский Е.П. Позитивность дифференциальных операторов, -Воронеж, 1984.- 12 с,- рукопись представлена Воронеж, ун-том. Деп. в ВИНИТИ 16 апр. 1984, Р 2339-84.

43. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: И.Л., 1957. - 256 с. ¥7. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными.- М.: Мир, 1966. 351 с.

44. Хилле Э., Филлипс Р. функциональный анализ и полугруппы. М.: И.Л., 1962. - 830 с.

45. Данфорд Н., Шварц Ж. Линейные операторы. Общая теория. М.: И.Л., 1962. - 895 с.