Развитие теории метода усреднения для квазилинейных параболических начально-краевых задач тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Александров, Владимир Юрьевич

• Александров, Владимир Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Александров, Владимир Юрьевич

Введение.

Глава 1. Обоснование метода усреднения для параболических уравнений с нестационарной линейной главной частью.

§1. Абстрактные параболические уравнения с начальными условиями

§2. Полулинейные начально-краевые задачи второго порядка

§3. Полулинейные начально-краевые задачи произвольного порядка

Глава 2. Обоснование метода усреднения для параболических уравнений с нелинейной главной частью.

§1. Абстрактные параболические уравнения с начальными условиями

§2. Квазилинейные начально-краевые задачи.

Глава 3. Асимптотическое интегрирование параболических начально-краевых задач.

§ 1. Полулинейные задачи

§2. Квазилинейные задачи.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Развитие теории метода усреднения для квазилинейных параболических начально-краевых задач»

Метод усреднения - один из важнейших асимптотических методов интегрирования дифференциальных уравнений. История его зарождения уходит в XVIII век и связана с работами по небесной механике. Так, идеи метода усреднения встречаются в работах А. Клеро, Ж. Лагранжа, С. Лапласа, К. Гаусса. В начале XX века этот метод активно развивал Ван-дер-Поль, при этом ни он, ни тем более его предшественники вопросами его математического обоснования не занимались. Впервые корректность использования метода усреднения была обоснована в работах П. Фату (1928 г.) и Л. И. Мандельштама и Н. Д. Папалекси (1934 г.), связанных с нормальными системами дифференциальных уравнений с начальными условиями и периодическими по времени правыми частями.

Систематическое развитие теории метода усреднения связано с именами Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова, которые исследовали определенные широкие классы систем дифференциальных уравнений с малым параметром. Их результаты получили дальнейшее развитие в трудах многочисленных исследователей, причем изучались не только обыкновенные дифференциальные уравнения, но и интегральные уравнения, уравнения в частных производных, разностные уравнения и другие.

Прежде чем перейти к обзору результатов по методу усреднения, наиболее близких к теме диссертации (то есть относящихся к параболическим задачам), отметим некоторые книги по теории этого метода. Это монографии И. Н. Боголюбова, Ю. А. Митропольского [1], Ю. А. Митропольского [2], В. М. Волосова, Б. И. Моргунова [3], В. Ф. Журавлева, Д. М. Климова [4], И. Б. Симоненко [5], В. Б. Левенштама [6].

В работе И. Б. Симоненко [7] (см. также [5]) метод усреднения обоснован для абстрактных параболических уравнений с1и = Аи + /О, ш), а> » 1 (0.0.1) ш в банаховых пространствах с линейной, вообще говоря, неограниченной стационарной главной частью А, порождающей аналитическую полугруппу, и подчиненной (в определенном смысле) ей быстро осциллирующей нелинейностью f{u, т), обладающей средним по т n 1

F(u, t) = lim —

ДГ->оо N f(u, t, r)dr.

Здесь рассмотрена задача Коши и задача о периодических решениях, последняя — в окрестности стационарного невырожденного решения усредненного уравнения. В работе [8] указанные результаты перенесены на широкие классы полулинейных параболических уравнений с не зависящими от времени старшими коэффициентами и с краевыми условиями в ограниченных пространственных областях: $11 = У aa{x)Dau + ip(x, д2к~1и, t, cot) at ¿—I

W=2* (0.0.2) ^T bpj(x)lfu = 0, xedQ, j=l,.,k IP\<mj

Здесь 62k~[u - вектор-функция, естественным образом составленная из всевозможных частных производных и по х до порядка 2к — 1 включительно. В той же работе [8] метод усреднения обоснован для задачи конвекции в поле быстро осциллирующих по времени сил. В работах [9],[10] предложена и обоснована одна схема построения асимптотики решения задачи Коши для упоминавшихся выше абстрактных параболических уравнений и начально-краевой задачи для параболических уравнений.

В работе В. Б. Левенштама [11] метод усреднения обоснован для абстрактных параболических уравнений (0.0.1) в случае общих ограниченных и почти периодических по времени решений. Аналогично [8] этот результат перенесен на широкие классы полулинейных параболических задач с краевыми условиями в ограниченных областях. В [12] - [14] разработаны эффективные алгоритмы построения асимптотик решений для широких классов полулинейных параболических уравнений с не зависящими от времени старшими коэффициентами и краевыми условиями.

В работе В. В. Жикова [15] метод усреднения обоснован для абстрактных параболических уравнений вида с1и = А(Ш)и + /(и, а){) ш с линейной главной, вообще говоря, неограниченной частью А(т) и подчиненной ей нелинейностью /(и,т), где А(т) и /(и,т) обладают средним по т. В публикации [16] этот метод обоснован для некоторого класса полулинейных параболических уравнений с зависящими от быстрого времени старшими коэффициентами. В [15], [16] речь идет о задаче на всей временной оси (а не с начальным условием). Нелинейная часть параболических уравнений, к которой применимы результаты [15], [16], подчинена довольно жестким (например, по сравнению с требованиями к нелинейностям в данной диссертации, где главная часть уравнений зависит от t, но не от Ш, со » 1) ограничениям.

В работах В. Б. Левенштама [17], [18] указанные выше жесткие ограничения сняты для полулинейных параболических уравнений с зависящими от быстрого времени главными коэффициентами, но для задач во всем пространстве. При этом в [17] рассматривается задача Коши, а в [18] - задача об ограниченных и почти периодических по времени решениях.

Отметим еще цикл работ В. Б. Левенштама [19]-[21], где обоснован метод усреднения, и построена и обоснована асимптотика решения для различных классов полулинейных параболических уравнений с не зависящими от времени старшими коэффициентами, содержащих высокочастотные нелинейности с амплитудами, пропорциональными положительным степеням частоты.

Упомянутые работы [7], [8] стимулируют обоснование метода усреднения для задач видов (0.0.1) - (0.0.2) в тех случаях, когда А и аа(х) не являются стационарными, то есть зависят и от t. Отметим еще, что с помощью результатов [7], [8], [5] не представляется возможным обосновать метод усреднения для квазилинейных параболических задач даже со стационарной главной частью, то есть для задач вида (0.0.2) с аа = аа(х,б2к~1и). В диссертации квазилинейные параболические задачи исследованы в главе 2.

Приступим к описанию результатов диссертации.

В первом параграфе главы 1 метод усреднения обоснован для абстрактных параболических уравнений с переменной главной частью вида du = A{t)u + f(u, t, cot), со » 1, t e [0, T] dt в случае задачи Коши. Здесь A(t) - действующий в банаховом пространстве линейный, вообще говоря, неограниченный оператор, имеющий не зависящую от t область определения и при каждом / порождающий аналитическую полугруппу, а /(и, t, cút) — подчиненная в определенном смысле оператору А(0) нелинейность.

Во втором параграфе главы 1 результаты первого параграфа применены для параболических уравнений второго порядка в случае первой начально-краевой задачи вида л т „2 >п л v V" / N ° v / ч/ \

Q~t ~ 2^1 a¿j Х'дх дх- + Щ ~дх- + а = i,7=1 1 J Í—1 1 íp(x, óv, t, cút), x e Q, t e (0, T], v (x, t) = 0, xedQ, t g [0, T], v (x, 0) = vq (x), x e Q,

В третьем параграфе главы 1 результаты первого параграфа перенесены на широкий класс начально - краевых задач для полулинейных параболических уравнений вида ди \—1 <37 1 = > аа(х, t)Dau + ip{x, 8 и, t, Ш) ot а|=2 к bpj(x)DPu = 0, xedQ, j = 1,. Д

J3Hnij и(х, 0) = uq(x), t е [0, Т]

Отметим, что при доказательстве результатов данной и следующей глав широко используются результаты, идеи, методы и подходы, представленные в работах И. Б. Симоненко [5] и П. Е. Соболевского [22].

В первом параграфе главы 2 метод усреднения обоснован для абстрактных параболических уравнений вида du = А(и, t)u + /(и, t, cot), te [0, Т]. dt

Здесь оператор А(и, I) при фиксированных и, t порождает аналитическую полугруппу, а отображение / того же типа, что и в главе 1.

Во втором параграфе главы 2 результаты первого параграфа перенесены на широкий класс начально-краевых задач для квазилинейных параболических уравнений вида дм = У аа(х, 82k~lu, l)Dau + tp(x, 82k~lu, t, aot). ot ¿—i a\=2k

Третья глава диссертации посвящена построению и обоснованию полной асимптотики решения первой параболической начально-краевой задачи произвольного порядка. В первом параграфе коэффициенты в главной эллиптической части зависят от пространственных и временной переменных, а во втором параграфе еще и от неизвестной функции. При доказательстве результатов этой главы существенно используются методика построения старших приближений и ее обоснование, разработанные В. Б. Левенштамом (см., например, [21]) для параболических начально-краевых задач с не зависящей от времени главной частью.

Перейдем к подробному описанию полученных результатов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Александров, Владимир Юрьевич, 2011 год

1. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. Москва: Наука, 1974.

2. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев: Науковадумка, 1971.

3. Волосов В. М., Моргунов Б. И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. Москва: изд-во МГУ, 1971.

4. Журавлев В. Ф., Климов Д. М. Прикладные методы в теории колебаний. Москва: Наука, 1988.

5. Симоненко И. Б. Метод усреднения в теории нелинейных уравнений параболического типа с приложением к задачам гидродинамической устойчивости. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1989.

6. Левенштам В. Б. Дифференциальные уравнения с большими высокочастотными слагаемыми. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2008.

7. Симоненко И. Б. Обоснование метода осреднения для абстрактных параболических уравнений//Матем.сб. 1970. Т. 81(123), № 1. С. 53-61.

8. Симоненко И. Б. Обоснование метода осреднения для задачи конвекции в поле быстро осциллирующих сил и для других параболических уравнений // Матем.сб. 1972. Т. 87(129), № 2. С. 236-253.

9. Симоненко И. Б. Старшие приближения метода осреднения для абстрактных параболических уравнений//Матем.сб. 1973. Т. 92. С. 541-549.

10. Левенштам В. Б. Построение старших приближений метода усреднения для параболических начально-краевых задач методом пограничного слоя // Изв. вузов. Матем. 2004. № 3. С. 4Н5.

11. Левенштам В. Б. Асимптотическое интегрирование квазилинейных параболических уравнений с быстро осциллирующими по времени коэффициентами // Изв. вузов. Матем. 2002. № 5. С. 36-43.

12. Левенштам В. Б. О методе усреднения для квазилинейных параболических уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами // Изв. вузов. Матем. 2000. № 7. С. 22-30.

13. Жиков В. В. Некоторые вопросы допустимости и дихотомии. Принцип усреднения // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1976. Т. 40, № 6. С. 1380-1408.

14. Жиков В. В. Принцип усреднения для параболических уравнений с переменной главной частью // Докл. АН СССР. 1975. Т. 208, № 1. С. 31-35.

15. Левенштам В. Б. Принцип усреднения в случае задачи Коши для квазилинейных параболических уравнений с переменной главной частью // Сиб. матем. журн. 2000. Т. 41, № 4. С. 839-857.

16. Левенштам В. Б. Усреднение квазилинейных параболических уравнений с быстро осциллирующей главной частью. Экспоненциальная дихотомия // Изв. РАН. Сер. мат. 1992. Т. 56, № 4. С. 813-851.

17. Левенштам В. Б. Обоснование метода усреднения для параболическихуравнений, содержащих быстро осциллирующие слагаемые с большими амплитудами // Изв. РАН. Сер. матем. 2006. Т. 70, № 2. С. 174-205.

18. Левенштам В. Б. Асимптотическое интегрирование дифференциальных уравнений, содержащих быстро осциллирующие слагаемые с большими амплитудами 1,11 // Дифференциальные уравнения. 2005. Т.41, №6. С. 761-770; //№8. С. 1084-1091.

19. Левенштам В. Б. Асимптотическое интегрирование параболических задач с большими высокочастотными слагаемыми // Сиб. мат. журн. 2005. Т. 46, №4. С. 805-821.

20. Соболевский П. Е. Об уравнениях параболического типа в банаховом пространстве // Труды Моск. матем. об-ва. 1961. Т. 10. С. 297-350.

21. Функциональный анализ (под общей редакцией С. Г. Крейна). Спавочная мат. библ. Москва: Наука, 1972.

22. Agmon S. On the eigenfunctions and on the eigenvalues of general elleptic boundary value problems // Comm. Pure and Appl. Math. 1962. T. 15, № 2. C. 119-152.

23. Соломяк M. 3. Применение теории полугрупп к исследованию дифференциальных уравнений в пространствах Банаха // ДАН СССР. 1958. Т. 122, № 5. С. 766-769.

24. Красносельский М. А., Забрейко П. П., Пустыльник Е. И., Соболевский П. Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. Москва: Наука, 1966.

25. Солонников В. А. О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений общего вида // Тр. МИАН СССР. 1965. Т. 83. С. 3-162.

26. Александров В. Ю., Левенштам В. Б. Обоснование метода усреднения для абстрактных параболических уравнений с линейной нестационарной главной частью // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2010. № 2. С. 5-11.

27. Александров В. Ю., Левенштам В. Б. Усреднение параболических уравнений с нелинейной главной частью // Деп. в ВИНИТИ 14.01.2005, N 23-В2005.

28. Александров В. Ю. Асимптотическое интегрирование начально-краевой задачи для полулинейного параболического уравнения с быстро осциллирующими членами // Труды аспирантов и соискателей Ростовского государственного университета. 2004. Т. X. С. 4-6.

29. Александров В. Ю. Обоснование метода усреднения для полулинейных начально-краевых задач произвольного порядка // Труды научной школы И. Б. Симоненко. 2010. С. 30-37.

30. Александров В. Ю. Обоснование метода усреднения для абстрактных параболических уравнений с линейной нестационарной главной частью // Тезисы докладов Крымской Осенней Математической Школы-Симпозиума. 2010. С. 3.

31. Александров В. Ю. Обоснование метода усреднения для параболического уравнения второго порядка с зависящей от времени главной частью в случае первой начально-краевой задачи // Деп. в ВИНИТИ 10.02.2004, N 219-В2004.

32. Александров В. Ю. Асимптотическое интегрирование начально-краевой задачи для квазилинейного параболического уравнения с быстро осциллирующими членами // Деп. в ВИНИТИ 14.02.2005, N 207-В2005.