О разрешимости квазилинейных смешанных задач для параболических уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Магомедова, Елена Сергеевна

• Магомедова, Елена Сергеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Магомедова, Елена Сергеевна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПОСТРОЕНИЯ.

§ 1. Постановка проблемы и рассмотрение соответствующейкраевой задачи.

§ 2. Асимптотическое представление для функции Грина.

§ 3. Формула интегрального преобразования, разложения в ряды Фурье.

§ 4. Леммы об основных интегралах, связанных с задачей (1)-(3).

§ 5. Решение задачи (1)-(3) в случае однородного уравнения (1).

ГЛАВА II. СВЕДЕНИЕ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

§ 1. Интегро-дифференциальное уравнение для задачи (1)-(3).40.

§ 2. Система интегральных уравнений.

§ 3. Решение системы интегральных уравнений.

§ 4. Дифференцируемость решений системы (38) и заключительные теоремы.

ГЛАВА III. ЗАДАЧИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.

§ 1. Многомерная смешанная задача для квазилинейной параболической системы.

§ 2. Задача о поперечных колебаниях упругого стержня.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О разрешимости квазилинейных смешанных задач для параболических уравнений»

Изучению смешанных, иначе начально-краевых, задач для линейных дифференциальных уравнений и систем посвящено большое число работ [2], [3], [13], [17], [18], [22], [26], [35], [38], [39], [42], [47]. При этом естественно возникают различные методы решения, отражающие в свою очередь развитие математической науки. Это - метод разделения переменных Фурье, методы интегральных преобразований, операторные методы, метод характеристик, метод Галеркина, метод конечных разностей и другие.

Одно из центральных мест принадлежит методу Фурье, модификация которого используется в нашей работе и с которым связан большой математический аппарат, являющийся удобным и мощным инструментом исследования задач математической физики.

Впервые метод Фурье получил строгое обоснование в работах В.А.Стеклова [40], рассмотревшего смешанные задачи для уравнения колебания неоднородной струны и охлаждения неоднородного стержня. Для многомерной смешанной задачи dj&x}+ S1u{t,x)^f(t,x), ot где Sj - самосопряженный оператор, порожденный выражением Z / ' аЛх)^~ +с(х)и, i,k=l c)xj ^ охк J метод Фурье обоснован О.А. Ладыженской [24].

Исчерпывающие результаты по обоснованию метода Фурье для смешанных задач гиперболического и параболического типов в случае разделяющихся переменных получены В.А.Ильиным [19].

Для случая несамосопряженности пространственного оператора задачи обоснование метода Фурье приводит к исследованию разложимости и суммируемости функций в ряды по главным функциям оператора (либо пучков операторов), [10], [17], [28].

Применение метода Фурье к уравнениям с неразделяющимися переменными приводит к значительным трудностям, связанным с исследованием бесконечных систем дифференциальных уравнений, из которых определяются коэффициенты разложения в ряд для неизвестного решения. Отметим в этом направлении работы З.И.Халилова и Ю.Ф.Коробейника и их учеников [16], [21], [43], [44], в которых использован обобщенный метод Фурье, примененный С.Н.Бернштейном в работе [8], относящейся к смешанной задаче для одного нелинейного гиперболического уравнения.

Дальнейшее развитие обобщенный метод Фурье получил в работах [14], [15], [34], [45], относящихся к нелинейным задачам.

Отметим повышенный интерес к таким задачам в последнее время и значительное продвижение в их исследовании, особенно для параболических уравнений, что отчасти вызвано многочисленными приложениями в вопросах моделирования процессов диффузии и химических превращениях, при моделировании биологических процессов, процессов теплообмена и других областях, см. [4], [48], [49], [50]. Отметим важные фундаментальные исследования О.А. Ладыженской, В.А.Солонникова, Н.Н.Уральцевой и их учеников, [24]-[27] по квазилинейным параболическим уравнениям общего вида метода априорных оценок.

Сущность метода, использованного в работах [14], [15], [34], [45], состоит в том, что решение разыскивается в виде ряда по собственным функциям линейного пространственного оператора задачи с неопределенными коэффициентами. При нахождении этих коэффициентов приходят к бесконечной системе интегральных уравнений. Разрешимость полученной системы исследуется в определенных банаховых пространствах, при этом необходимым условием является самосопряженность указанного линейного оператора.

В нашей диссертации используется метод решения, предложенный А.И.Вагабовым в работе [11], являющийся дальнейшим развитием обобщенного метода Фурье из предшествующих работ, его комбинирования с методом интегральных преобразований типа Лапласа. Мы целиком основываемся на аналитическом аппарате решения задачи и сводим ее к решению системы двух нелинейных интегральных уравнений особого вида. Простота схемы решения позволяет глубже вникнуть в содержание задачи и значительно увеличить диапазон рассматриваемых задач, в частности отпадает существенность условия самосопряженности линейного пространственного оператора.

В работе [6] указанный метод использован для исследования смешанных задач в случае плоских квазилинейных гиперболических систем. Работа [1] посвящена приложению метода в исследовании плоских смешанных задач для квазилинейных параболических уравнений с постоянными коэффициентами в старшей, линейной части.

Дадим краткое изложение содержания работы, отметив ее существенные стороны. Предметом исследования первых двух глав является квазилинейное параболическое уравнение х) dw(t,x)d2\ dt дх' / t,x,v, dv дх

1)

0<х<1, 0<t<T с двумя граничными условиями с вещественными коэффициентами тт ( \ dv | 0 dv ioy\x=i=°

U2(y)=CL2v(t,0) + p2v{t,l)=0

2) и с начальным условием v(0,x)=i]/(x) . (3)

К данным задачи (1)-(3) предъявляются следующие требования: 1 )с(х)>0, с(х)еС3[0,1].

2) f(t,x,v, w) - непрерывно дифференцируемая функция в области D :, w

ЭФ дх

0<t<T <оо, 0<х<1, |у-Ф(/,х)|<0 где - решение задачи (1)-(3) при / = 0.

3) а;р2Л/ф) + а2(3/Л/40^О

4) v|/(х)бС5[0Д м/(0(х х=0,1 0, 1 = 0,1,2.

По поводу условия 2) заметим, что решение нелинейной задачи естественно искать в окрестности решения соответствующей линейной задачи.

В случае с(х) = 1 и простейших граничных условий у(t,0) = v(t,l) = О задача рассмотрена в [11]. Простота этого случая определяется элементарностью резольвенты линейной части задачи и возможностью точных вычислений, связанных с нею.

В нашей ситуации положение существенно меняется. Так вспомогательное уравнение у" - X2 с (х)у - 0 уже не имеет решений элементарного вида. Таким образом, при изменении главной линейной части задачи картина исследования существенно меняется. Целью данной работы и является развитие и приложение схемы работы [11] к решению задач в случае произвольной главной линейной части.

В § 1. гл. I дана постановка проблемы и введена в рассмотрение краевая задача с комплексным параметром X: у"-Х2с(х)у = 0, 0 <х<1 (4)

Е/7(у) = 0, U2(y) = 0 (5)

Установлена теорема о наличии экспоненциально асимптотических по X фундаментальных решений в правой (левой) X - полуплоскости: ут(х,Х)= а]-а + 0 с(х) 7 е ° (6)

Хj

Решения (6) представляют основу всех последующих построений, в частности при построении функции Грина в этом же параграфе.

В теореме 2 найдена асимптотика нулей знаменателя функции Грина (спектр задачи (4)-(5)), указаны свойства этих нулей.

В теореме 3 получено экспоненциально убывающее при X —> оо асимптотическое представление функции Грина G[x,^,X) задачи (4)-(5). Опираясь на это представление, в теореме 4 доказана формула

- 1 2 1 h(x) = lim— \Xea dX\G{x,^,X)c^)h{^)d^, (7) siO ni L Q

0<x<l,

L = ||Я| = H,|arg< !j(J > H,argX = ±H » 1, предельного интегрального представления для любой непрерывной на \0,l\ функции h(x).

На основании теоремы 4 получена теорема 5 о разложимости функции h(x) в ряд Фурье по собственным присоединенным функциям задачи (4)-(5). Сумма ряда понимается в смысле суммирования по Абелю порядка 2. Указан естественный способ объединения слагаемых ряда в скобки по четыре, основанный на их «родстве» по четырем соответствующим собственным значениям, - Х%к.

Важным связующим звеном работы являются леммы параграфа 4, относящиеся к интегралам, связанным с решением основной задачи. В лемме 1 установлены формулы

А. А

JX е Г 6 AT ^W а ( } е~х2dx<^e~R2 , R>0. (9)

R ^

Лемма 2 доказывает абсолютную и равномерную сходимость интегралов вида т

L О

1 -X

Js = \Xser^dXje

10)

П)

2i ч 1 -N+l W t

TS = jvея {o 0 J

L 0 0

0<x<l, 0<t<T; s = 0,l, где E - ограниченная на L функция; L - разомкнутый контур из правой X -полуплоскости, имеющий асимптотами полупрямые argX = ±7y^. При этом справедливы оценки maxvJ0\,\lI\)<Cta max\f\, maxuJj\,\l f\)< Cyjtmax\f\ для

D Mill/ D

Va, -<a<7. 2

Лемма 3 утверждает их абсолютную и равномерную сходимость уже при всех целых s на \/[a,f3]cz(CU) и te(0,T).

Также абсолютно и равномерно сходятся интегралы вида

1 -ь

XseXtdX\e

XseXtdX\E{x,l,X)e х м

Ко 0 у

12) фй?С при любых целых s; te\t0,T\, t0>0, 0<х<1. Это утверждает лемма 4.

В лемме 5 при указанном выше условии 4) на функцию \|/(л;) доказано, что функция

Ф(*,х) = — \Хех2( ]g(x^X)c(£>M№ L 0 непрерывна со своими производными по х до третьего порядка на прямоугольнике [0,T]x[0,l]. Причем, дифференцирование можно производить под знаками интегралов.

Лемма 6 позволяет делать весьма удобный и существенный переход, заключающийся в равенстве:

1 r.Jc^.^Jt/. дул

--Urn [kdk \G(x£,\)dl \f \ x,Lv~ ex {t~%)dx =

2nin^c[ J dtj — JldX{G(x^l)d{f/f (13) i о о v где Cn - концентрические окружности с центром в 0, проходящие вне полюсов функции Грина G(x,

В последнем пятом параграфе гл.1 доказано, что функция

- / 2 1 ф{t,x) = — lim fkex2td\\G{x£,\)c($y{$d^ (14) представляет единственное решение однородной задачи (1)-(3), (/ = 0), причем это решение имеет производные любого порядка по t.

В главе II используется все построения, теоремы и леммы главы I. Она посвящена решению основной проблемы диссертации, то есть задачи (1)-(3).

В теоремах 7 и 8 доказана эквивалентность вопроса решения задачи (1)-(3) решению интегро-дифференциального уравнения: j 1 t / v(t,x) = €>(t,x)--fXdX jG(x,^X)d^ f/l (15)

L 0 0 \ ^У где Ф(/,х) - указанное выше решение (14) однородной задачи (1)-(3).

В §2 сделан следующий шаг - сведение уравнения (15) к системе двух интегральных уравнений с двумя неизвестными: 1 v = Ф(7, х) - — jxdk JG(x, ^ |f(z, y, w)ex {t~%)dx l l 0 0

16) dx 7iiL 0 0

В теореме 9 установлена эквивалентность вопросов разрешимости уравнения (15) и системы (16).

Необычность системы интегральных уравнений (16) относительно неизвестных v, w, а вместе с тем и трудность исследования, заключаются в наличие в операторах правой части «посторонней» операции несобственного интегрирования по параметру X.

В §3 доказана теорема 10, устанавливающая однозначную разрешимость системы (16) в пространстве непрерывных 2-вектор-функций (v,w) при достаточно малых t<t0.

Доказательство получено путем исследования и оценок интегральных операторов правой части (16).

В §4 обоснована наиболее трудоемкая теорема 11 о непрерывной дифференцируемости по / и х решения у, w системы (16). Только после этого становится полностью оправданным то, что первая компонента v решения системы (16) служит решением задачи (1)-(3) в классическом смысле.

Доказательство теоремы 11 требовало четкого выделения и расчета главной части операторов системы (16) с применением лемм 1, 2, 3.

Наконец, в теорема 12 доказано, что при 0 <t <t0, где t0 - малое число, задача (1)-(3) имеет единственное решение.

Теорема 13 завершает главу 2 и утверждает представимость найденного в теореме 12 решения в виде ряда Фурье по собственным элементам задачи (4)-(5). При этом коэффициенты Фурье этого ряда получены нелинейным «возмущением /» из коэффициентов Фурье решения соответствующей линейной задачи.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Магомедова, Елена Сергеевна, 2000 год

1. Абдусаламов Х.А. Решение плоских смешанных задач для квазилинейных параболических систем. //Дисс. канд. Физ.-мат. наук. - Махачкала. - 2000. - 71 с.

2. Аболиня В.Э., Мышкис А.Д. О смешанной задаче для линейной гиперболической системы на плоскости. //Уч. записки Латв. гос. университета, 1958, Т.20. Вып.З. С.87-104.

3. Агранович М.С. Граничные задачи для систем псевдодифференциальных операторов 1-го порядка. //УМН, 1969. -Т.24. №1. С.61-125.

4. Акрамов Т.А., Вишневский М.П. Некоторые качественные свойства системы реакция-диффузия. //Сибирский математический журнал. 1995. Т.36. №1.

5. Алиханова Р.И. Решение смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнения второго порядка с разрывными коэффициентами методом Галеркина и применения. //Функциональный анализ. Баку ЭЛМ 1971. - С. 52-60.

6. Ашурбеков К.Д. Обобщенный метод Фурье решения смешанных задач для гиперболических уравнений. //Дисс. канд. физ.-мат. наук. Махачкала. - 1999. - 72 с.

7. Березанский Ю.М. Разложения по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев: Наукова думка. 1965 - 798 с.

8. Бернштейн С.Н. Об одном классе функциональных уравнений с частными производными. //Изв. АН СССР. Сер. математ. 1940. Т.4.М С. 17-26.

9. Вагабов А.И. Корректность задачи Коши для одного класса систем линейных дифференциальных уравнений. //Учен, записки Азерб. гос. Ун-та, серия физ.-мат. и хим. Наук. 1964. №3. С. 10-13.

10. Вагабов А.И. Условия корректности одномерных смешанных задач для гиперболических систем. //Докл. АН СССР 1964. Т. 155. №6. -С. 1247-1249.

11. Вагабов А.И. Обобщенный метод Фурье решения смешанных задач для нелинейных уравнений. //Дифференциальные уравнения. 1996. Т.32. №1. С.90-100.

12. Вагабов А.И. Начально-краевая задача для нелинейного уравнения теплопроводности в п -мерной прямоугольной области. //Дифференциальные уравнения. 1998. Т.34. №5. С.782-788.

13. Вишик М.И. Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения. //Матем. сб. 1956. - Т.39. - №1. - С.51-148.

14. Гусейнов А.И., Гасанов К.К. О применимости метода Фурье к решению смешанной задачи для одного класса квазилинейных гиперболических уравнений. //ДАН СССР. 1993. Т. 148. №4. С.761-764.

15. Гусейнов А.И. Худавердиев К.И. О решении методом Фурье одномерной смешанной задачи для квазилинейных гиперболическихуравнений второго порядка. //ДАН СССР. 1963. - Т. 148. - №3. -С.496-500.

16. Дедушев А.В. Обобщенный метод Фурье в уравнениях с частными производными //Дисс. канд. физ.-мат. наук. Ростов н/д 1987. -149 с.

17. Жданович В.Ф. Решение методом Фурье несамосопряженных смешанных задач для гиперболических систем на плоскости. //Матем. сб. 1959. - Г.47. - №3. - С.307-354. - Т.48. - №4. - С.447-498. Т.49. - №3 - С.233-266.

18. Загорский Т.Я. Смешанные задачи для систем дифференциальных уравнений с частными производными параболического типа. Львов. - 1961.-213 с.

19. Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболических и параболических уравнений. //УМН. 1960. Т. 15. №2. С.97-154.

20. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функции и функционального анализа. -М.: Наука. 1972. 496 с.

21. Коробейник Ю.Ф. Бесконечные системы дифференциальных уравнений: Диссертация кандидата физико-математических наук. -Ростов-на-Дону, 1958. 204 с.

22. Костюченко А.Г., Оразов М.Б. Задача о колебаниях упругого полуцилиндра и связанные с ней самосопряженные квадратичные пучки. //Труды семинара им. Петровского. 1981. - Вып.1. - С.97-146.

23. Крылов А.Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложения в технических вопросах. Изд-во АН СССР, Ленинград. 1932. 473 с.

24. Ладыженская О. А. Смешанная задача для гиперболического уравнения. М.: ГИТТЛ. - 1953. - 279 с.

25. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уралыдева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука. 1967. -736 с.

26. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: ГИФМЛ. 1973.-407 с.

27. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Обзор результатов по разрешимости краевых задач для равномерно эллиптических и параболических квазилинейных уравнений второго порядка, имеющих неограниченные особенности. //УМН. 1986. Т.41. - Вып.5. - С.59-83.

28. Лидский В.Б. Разложения в ряд Фурье по главным функциям несамосопряженного эллиптического оператора. //Матем. сб. 1962. -Т.57. -№2. -С.137-150.

29. Магомедова B.C., Вагабов А.И. Интегральные уравнения, для плоских нелинейных смешанных задач параболического типа. //Тезисы международ, школы-семинара памяти Н.В.Ефимова. -Ростов н/д. 1998 . - С. 183-184.

30. Магомедова Е.С., Вагабов А.И. Интегральные уравнения, относящиеся к плоским нелинейным смешанным задачам для уравнений параболического типа. //Изв. вузов Северо-Кавказского региона. Сер. естеств. и обществ, наук. 1999. №3. С.16-21.

31. Магомедова Е.С. Построение решений смешанных задач для нелинейных уравнений теплопроводности. //Вестник ДГУ. -Махачкала. 1999. №1 - С.54-58

32. Магомедова Е.С. О построении решения смешанной задачи для квазилинейного уравнения теплопроводности. //Тезисы докладов конференции памяти Х.Мухтарова. Махачкала. 1999. - С.48-49.

33. Магомедова Е.С. Суммируемость по Абелю интегралов и рядов Фурье непрерывной функции по обобщенным системам. //Вестник ДГУ. Махачкала. - 1998. - Вып.4. - С.31-38.

34. Максудов Ф.Г., Худавердиев Ф.К. Исследование многомерной смешанной задачи для одного класса нелинейных гиперболических уравнений //ДАН СССР. 1990. Т.310. №3. С.539-542.

35. Мельник З.О. Общие смешанные задачи для общих двумерных гиперболических систем. //Дифференц. уравнения. 1966. - Т.2. - №7. - С.958-966.

36. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука. 1969. - 526 с.

37. Петровский И.Г. О проблемах Коши для систем линейных уравнений с частными производными в области неаналитических функций. //Бюллетень МГУ, секция А. 1938. Т.1, Вып.7. С. 1-72.

38. Расулов М.Л. Метод контурного интеграла. М.: Наука. 1964. - 462 с.

39. Соболевский П.Е. Об уравнениях параболического типа в банаховом пространстве. //Труды Московского математического общества. 1961. -С.297-350.

40. Стеклов В.А. Основные задачи математической физики. М.: Наука. - 1983.-432 с.

41. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и разложении произвольных функций в ряды. Петроград. - 1917. Тип М.П.Фроловой. - 308 с.

42. Тихонов А.Н. Об уравнениях теплопроводности для нескольких переменных. //Бюлл. МГУ. Секция А. 1938. - Т.1. - Вып. 9.

43. Халилов З.И. Решение задачи колебания конечной струны в среде с переменным коэффициентом сопротивления. //ДАН АзССР. 1952. Т.8. №7. - С.333-337.

44. Хамраев К. Применение обобщенного метода Фурье и теории операторно-дифференциальных уравнений к решению некоторых смешанных задач для уравнений с частными производными. //Дисс. канд. физ.-мат. наук. Баку. - 1979. - 115 с.

45. Чандиров Г.И. Об одном обобщении неравенства Гронуолла и его приложения. //Уч. зап. Азерб. ун-та. Серия физ.-мат. и химических наук. 1958. №6. С.3-10.

46. Шварц Л. Анализ. М.: Мир. 1972. - 811 с.

47. Эйдельман С.Д. Параболические системы. М.: Наука. 1964. - 443 с.

48. Amann Н. Dynamic theory of guasilinear parabolic equations II reaction -diffusion system. //Differential Integral Equations. 1990. Y.3. №1. P.13-75.

49. Croger K. Asymptotic behavior of solutions to a class of diffusions -reaction equations. //Math. Nachr, 1983. Bd. 112. - S. 19-33.76