О разрешимости квазилинейных смешанных задач для параболических уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Магомедова, Елена Сергеевна

• Магомедова, Елена Сергеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Магомедова, Елена Сергеевна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПОСТРОЕНИЯ

§ 1. Постановка проблемы и рассмотрение соответствующей краевой задачи.

§ 2. Асимптотическое представление для функции Грина.

§ 3. Формула интегрального преобразования, разложения в ряды Фурье.

§ 4. Леммы об основных интегралах, связанных с задачей (1)-(3).

§ 5. Решение задачи (1)-(3) в случае однородного уравнения (1).

ГЛАВА II. СВЕДЕНИЕ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

§ 1. Интегро-дифференциальное уравнение для задачи (1)-(3).

§ 2. Система интегральных уравнений.

§ 3. Решение системы интегральных уравнений.

§ 4. Дифференцируемость решений системы (38) и заключительные теоремы.

ГЛАВА III. ЗАДАЧИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.

§ 1. Многомерная смешанная задача для квазилинейной параболической системы.

§ 2. Задача о поперечных колебаниях упругого стержня.

ГЛАВА IV. СЛУЧАЙ ПЛОСКОЙ КВАЗИЛИНЕЙНОЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННОЙ

СТАРШЕЙ ЧАСТЬЮ.

§ 1. Постановка проблемы и вспомогательная граничная задача.

§2. Асимптотическое представление матрицы Грина и её полюсы.

§3. Формула интегрального преобразования.

§4. Сведение к интегральным уравнениям и основная теорема.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О разрешимости квазилинейных смешанных задач для параболических уравнений»

Изучению смешанных, иначе начально-краевых, задач для линейных дифференциальных уравнений и систем посвящено большое число работ [1],

2], [10], [14], [22], [26], [36], [38], [39], [42], [47]. При этом естественно возникают различные методы решения, отражающие в свою очередь развитие математической науки. Это - метод разделения переменных Фурье, методы интегральных преобразований, операторные методы, метод характеристик, метод Галеркина, метод конечных разностей и другие.

Одно из центральных мест принадлежит методу Фурье, модификация которого используется в нашей работе и с которым связан большой математический аппарат, являющийся удобным и мощным инструментом исследования задач математической физики.

Впервые метод Фурье получил строгое обоснование в работах Стеклова В.А. [41], рассмотревшего смешанные задачи для уравнения колебания неоднородной струны и охлаждения неоднородного стержня.

Для многомерной смешанной задачи где 5/ - самосопряженный оператор, порожденный выражением метод Фурье обоснован Ладыженской О.А. [24].

Исчерпывающие результаты по обоснованию метода Фурье для смешанных задач гиперболического и параболического типов в случае разделяющихся переменных получены Ильиным В.А. [15].

Для случая несамосопряженности пространственного оператора задачи обоснование метода Фурье приводит к исследованию разложимости и суммируемости функций в ряды по главным функциям оператора (либо пучков операторов), [7], [28].

Применение метода Фурье к уравнениям с неразделяющимися переменными приводит к значительным трудностям, связанным с исследованием бесконечных систем дифференциальных уравнений, из которых определяются коэффициенты разложения в ряд для неизвестного решения. Отметим в этом направлении работы Халилова З.И. и Коробейника Ю.Ф. и их учеников [13], [17]-[21], [43], [44], в которых использован обобщенный метод Фурье, примененный Бернштейном С.Н. в работе [5], относящейся к смешанной задаче для одного нелинейного гиперболического уравнения.

Дальнейшее развитие обобщенный метод Фурье получил в работах [11], [12], [36], [45], относящихся к нелинейным задачам.

Отметим повышенный интерес к таким задачам в последнее время и значительное продвижение в их исследовании, особенно для параболических уравнений, что отчасти вызвано многочисленными приложениями в вопросах моделирования процессов диффузии и химических превращениях, при моделировании биологических процессов, процессов теплообмена и других областях, [3], [48], [49], [50]. Отметим важные фундаментальные исследования Ладыженской O.A., Солонникова В.А., Уральцевой H.H. и их учеников [24]-[2 7] по квазилинейным параболическим уравнениям общего вида метода априорных оценок.

Сущность метода, использованного в работах [11], [12], [36], [46], состоит в том, что решение разыскивается в виде ряда по собственным функциям линейного пространственного оператора задачи с неопределенными коэффициентами. При нахождении этих коэффициентов приходят к бесконечной системе интегральных уравнений. Разрешимость полученной системы исследуется в определенных банаховых пространствах, при этом необходимым условием является самосопряженность указанного линейного оператора.

В нашей диссертации используется метод решения, предложенный Вагабовым А.И. [8], являющийся дальнейшим развитием обобщенного метода Фурье из предшествующих работ, его комбинирования с методом интегральных преобразований типа Лапласа. Мы целиком основываемся на аналитическом аппарате решения задачи и сводим ее к решению системы двух нелинейных интегральных уравнений особого вида. Простота схемы решения позволяет глубже вникнуть в содержание задачи и значительно увеличить диапазон рассматриваемых задач, в частности, отпадает существенность условия самосопряженности линейного пространственного оператора.

Дадим краткое изложение содержания работы, отметив ее существенные стороны. Предметом исследования первых двух глав является квазилинейное параболическое уравнение а2у / д\Л ,1Ч с(х)—= —т + / *,х,у,— , (1)

81 дхх дх

О <х<1, 0<1<т, с двумя граничными условиями с вещественными коэффициентами и^Ыос, — + ату)\х=о + (Д — + Д0у)|^=1 = 0, (2) и с начальным условием у(0,х) = М/(4 (3)

При решении задачи (1)-(3) мы ставим вопрос в принципиальном плане о возможности переноса метода работы [8] на случай параболических уравнений с переменными коэффициентами в старшей части. Для этого в главах 1 и 2 на простой модели разрабатывается соответствующая теория, приложимая и к более широким классам параболических уравнений.

К данным задачи (1)-(3) предъявляются следующие требования:

1)с(х)>0, с(х)<=С3[0,1]-,

2) /(/,х, V, \у) - непрерывно дифференцируемая функция в замкнутой области £>: 0<t<T <сс, 0<х<1 < 0, где - решение задачи (1)-(3) при / = 0, 0>О константа;

3) а^^Щ + аД

4)н/(х)еС3[0Д =0, 1 = 0,1,2.

I х=0,1

По поводу условия 2) заметим, что решение нелинейной задачи естественно искать в окрестности решения соответствующей линейной задачи.

XV

ЭФ дх

В случае с(х) = 1 и простейших граничных условий = у(/,7) = О задача рассмотрена в [8]. Простота этого случая определяется элементарностью резольвенты линейной части задачи и возможностью точных вычислений, связанных с нею.

В нашей ситуации положение меняется. Так, вспомогательное уравнение у" - }^с{х)у = 0 уже не имеет решений элементарного вида. Таким образом, при изменении главной линейной части задачи картина исследования может существенно меняться.

В § 1. гл. I дана постановка проблемы и введена в рассмотрение краевая задача с комплексным параметром X: у"-Х2с(х)у = 0, 0<х<1, (4) и1(у) = 0, 17 2 (у) = 0. (5)

Приведена теорема о наличии экспоненциально асимптотических по К фундаментальных решений уравнения (4) в правой (левой) X полуплоскости: 1

С[х) 4 е где (6) а]=а + 0 Г

Лу

Решения (6) представляют основу всех последующих построений, в частности, при построении функции Грина в этом же параграфе.

В теореме 2 найдена асимптотика нулей знаменателя функции Грина (спектр задачи (4)-(5)), указаны свойства этих нулей.

В теореме 3 получено экспоненциально убывающее при Х^юэ асимптотическое представление функции Грина G(x,^,X) задачи (4)-(5). Опираясь на это представление, в теореме 4 доказана формула

-1 2 1 h{x) = lim — ¡XeeX dX fG(x, X)c{^)h{^, (7) eio ni L 0

0<x<l,

L = = H,\argX\ < || U > H,argX = ±-j j,H » 1, предельного интегрального представления для любой непрерывной на [0,l] функции h(x).

На основании теоремы 4 получена теорема 5 о разложимости функции h(x) в ряд Фурье по собственным и присоединенным функциям задачи (4)-(5). Сумма ряда понимается в смысле суммирования по Абелю порядка 2. Указан естественный способ объединения слагаемых ряда в скобки по четыре, основанный на их «родстве» по четырем соответствующим собственным значениям Х%к.

Важным связующим звеном работы являются леммы параграфа 4, относящиеся к интегралам, связанным с решением основной задачи. В лемме 1 установлены формулы

Ja= ¡X2k+lel2í-XadX = l^a^I^,t>0, а*0. (8) dt vi L 2 dt t e-x2dx<^e~R2 , R>0. (9) r 2

Лемма 2 доказывает абсолютную и равномерную сходимость интегралов вида

1 -к

Js = ¡Xsel2^dX¡e < (10) ь о о

1 # ЧНИ И *

1$ = \Х"ех2^Х\Е(х,1Х)е 1о 0 > (11)

10 о

0 < х< 1, ; 8 = 0,1, где Е - ограниченная на I функция; Ь - разомкнутый контур из правой X -полуплоскости, имеющий асимптотами полупрямые аг^Х = ±1у^. При этом справедливы оценки тах|у0|,|/0|)<аатах|/|, тах^1 ¡\,\1 ¡\)< С-Лтах\/\ \/а, <а < /. 2

Лемма 3 утверждает их абсолютную и равномерную сходимость уже при всех целых 5

Также абсолютно и равномерно сходятся интегралы вида

ДсК

0 , л (12) х % ^

-М {+]

I о при любых целых ^; ¿е[/0,Г], 10>0, 0<х<1. Это утверждает лемма 4.

В лемме 5 при указанном выше условии 4) на функцию \|/(л:) доказано, что функция непрерывна вместе со своими производными по х до третьего порядка на прямоугольнике [0,Г]х[0,7], причем, дифференцирование можно производить под знаками интегралов.

Лемма 6 позволяет делать весьма удобный и существенный переход, заключающийся в равенстве:

- lim [kdX ]g(x,jfix,^ v, ^V^dx = — ГЯ^ f/ix,, (13) l о о У где Cn - концентрические окружности с центром в 0, проходящие вне полюсов функции Грина

В пятом параграфе гл.1 доказано, что функция 1

Ф(*,*) =-Ит [кеХ1Ок [(?(*, ^ДМЙуЙ)^ (14)

2т «->® ¿г ^ представляет единственное решение однородной задачи (1)-(3), (/ = #), причем это решение имеет производные любого порядка по t.

В главе II используются все построения, теоремы и леммы главы I. Она посвящена решению основной проблемы диссертации, то есть задачи (1)-(3).

В теоремах 7 и 8 доказана эквивалентность решения задачи (1)-(3) решению интегро-дифференциального уравнения:

1 1 г ( 2( \

У(/,Х) = ФМ-- ех ^т, (15) о о У ди где - указанное выше решение (14) однородной задачи (1)-(3).

В §2 сделан следующий шаг - сведение уравнения (15) к системе двух интегральных уравнений с двумя неизвестными:

В теореме 9 установлена эквивалентность вопросов разрешимости уравнения (15) и системы (16).

Необычность системы интегральных уравнений (16) относительно неизвестных V, , а вместе с тем и трудность исследования, заключаются в наличие в операторах правой части «посторонней» операции несобственного интегрирования по параметру X.

В §3 доказана теорема 10, устанавливающая однозначную разрешимость системы (16) в пространстве С?[0,1] непрерывных вектор-функций (у, при достаточно малых 1<10.

Доказательство получено путем исследования и оценок интегральных операторов правой части (16).

В §4 обоснована наиболее трудоемкая теорема 11 о непрерывной дифференцируемости по / и х решения (у, ш) системы (16), из чего становится ясным то, что первая компонента V решения системы (16) служит решением задачи (1)-(3) в классическом смысле.

Доказательство теоремы 11 требовало четкого выделения и расчета главной части операторов системы (16) с применением лемм 1, 2, 3.

16)

Наконец, в теорема 12 доказано, что при 0<1<10, где ^ - малое число, задача (1)-(3) имеет единственное решение.

Теорема 13 завершает главу II и утверждает представимость найденного в теореме 12 решения в виде ряда Фурье по собственным элементам задачи (4)-(5). При этом коэффициенты Фурье этого ряда получены нелинейным «возмущением /» из коэффициентов Фурье решения соответствующей линейной задачи.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Магомедова, Елена Сергеевна, 2003 год

1. Аболиня В.Э., Мышкис А.Д. О смешанной задаче для линейной гиперболической системы на плоскости. //Уч. записки Латв. гос. университета, 1958, Т.20. Вып.З. С.87-104.

2. Агранович М.С. Граничные задачи для систем псевдодифференциальных операторов 1-го порядка. //УМН, 1969. Т.24. №1. С.61-125.

3. Акрамов Т.А., Вишневский М.П. Некоторые качественные свойства системы реакция-диффузия. //Сибирский математический журнал. 1995. Т.36. №1.

4. Березанский Ю.М. Разложения по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев: Hayкова думка. 1965 798 с.

5. Бернштейн С.Н. Об одном классе функциональных уравнений с частными производными. //Изв. АН СССР. Сер. математ. 1940. Т.4. С. 17-26.

6. Вагабов А.И. Корректность задачи Коши для одного класса систем линейных дифференциальных уравнений. //Учен, записки Азерб. гос. ун-та, серия физ.-мат. и хим. наук. 1964. №3. С. 10-13.

7. Вагабов А.И. Условия корректности одномерных смешанных задач для гиперболических систем. //Докл. АН СССР 1964. Т. 155. №6. С. 1247-1249.

8. Вагабов А.И. Обобщенный метод Фурье решения смешанных задач для нелинейных уравнений. //Дифференциальные уравнения. 1996. Т.32. №1. С.90-100.

9. Гусейнов А.И. Худавердиев К.И. О решении методом Фурье одномерной смешанной задачи для квазилинейных гиперболических уравнений второго порядка.//ДАН СССР. 1963. Т.148. №3. С.496-500.

10. Дедушев A.B. Обобщенный метод Фурье в уравнениях с частными производными //Дисс. канд. физ.-мат. наук. Ростов н/д 1987. 149 с.

11. Загорский Т.Я. Смешанные задачи для систем дифференциальных уравнений с частными производными параболического типа. Львов. 1961.-213 с.

12. Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболических и параболических уравнений. //УМН. 1960. Т.15. №2. С.97-154.

13. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функции и функционального анализа. М.: Наука. 1972. 496 с.

14. Коробейник Ю.Ф. Бесконечные системы дифференциальных уравнений: Диссертация кандидата физико-математических наук. Ростов-на-Дону. 1955. 204 с.

15. Коробейник Ю.Ф. Решение смешанной задачи методом Фурье для интегро-дифференциального уравнения // Докл. АН СССР 1957. Т.114 С.14-17.

16. Коробейник Ю.Ф. О решении операторных уравнений методом Фурье // Труды семинара по функц. анализу. Воронеж. 1957. С.71-86.

17. Коробейник Ю.Ф. О решении уравнений гиперболического типа методом Фурье // Учен, записки Ростовского гос. ун-та, серия механико-математическая. Орджоникидзе: 1959. Т. LXVI. №7. С.77-116.

18. Коробейник Ю.Ф., Дедушев A.B. Решение смешанной задачи методом Фурье // Изв. СКНЦ ВШ, серия естеств. науки. 1980. №1. С.11-16.

19. Костюченко А.Г., Оразов М.Б. Задача о колебаниях упругого полуцилиндра и связанные с ней самосопряженные квадратичные пучки.//Труды семинара им. Петровского. 1981. Вып.1. С.97-146.

20. Крылов А.Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложения в технических вопросах. Изд-во АН СССР, Ленинград. 1932. 473 с.

21. Ладыженская O.A. Смешанная задача для гиперболического уравнения. М.: ГИТТЛ. 1953. 279 с.

22. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука. 1967. 736 с.

23. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: ГИФМЛ. 1973. 407 с.

24. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Обзор результатов по разрешимости краевых задач для равномерно эллиптических и параболических квазилинейных уравнений второго порядка, имеющих неограниченные особенности. //УМН. 1986. Т.41. Вып.5. С.59-83.

25. Лидский В.Б. Разложения в ряд Фурье по главным функциям несамосопряженного эллиптического оператора. //Матем. сб. 1962. Т.57. №2. С.137-150.

26. Магомедова Е.С., Вагабов А.И. Интегральные уравнения, для плоских нелинейных смешанных задач параболического типа. //Тезисы международ, школы-семинара памяти Н.В.Ефимова. Ростов н/д. 1998. С.183-184.

27. Магомедова Е.С., Вагабов А.И. Интегральные уравнения, относящиеся к плоским нелинейным смешанным задачам для уравнений параболического типа. //Изв. вузов Северо-Кавказского региона. Сер. естеств. и обществ, наук. 1999. №3. С. 16-21.

28. Магомедова Е.С. Построение решений смешанных задач для нелинейных уравнений теплопроводности. //Вестник ДГУ. Махачкала. 1999. №1 С.54-58

29. Магомедова Е.С. О построении решения смешанной задачи для квазилинейного уравнения теплопроводности. //Тезисы докладов конференции памяти Х.Мухтарова. Махачкала. 1999. С.48-49.

30. Магомедова Е.С. Суммируемость по Абелю интегралов и рядов Фурье непрерывной функции по обобщенным системам. //Вестник ДГУ. Махачкала. 1998. Вып.4. С.31-38.

31. Магомедова Е.С., Вагабов А.И. Представление решений смешанных задач для параболических систем интегралами Пуассона и их приложения. // Изв. вузов Северо-Кавказского региона. Сер. естеств. и обществ, наук. 2001. №4. С.13-17.

32. Магомедова Е.С., Вагабов А.И. Смешанная задача для плоской квазилинейной параболической системы второго порядка с переменной старшей частью.// Деп. в ВИНИТИ РАН № 1702-В-2002. 15с.

33. Максудов Ф.Г., Худавердиев Ф.К. Исследование многомерной смешанной задачи для одного класса нелинейных гиперболических уравнений //ДАН СССР. 1990. Т.310. №3. С.539-542.

34. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука. 1969. 526 с.

35. Петровский И.Г. О проблемах Коши для систем линейных уравнений с частными производными в области неаналитических функций.//Бюллетень МГУ, секция А. 1938. Т.1, Вып.7. С.1-72.

36. Расулов М.Л. Метод контурного интеграла. М.: Наука. 1964. - 462 с.

37. Соболевский П.Е. Об уравнениях параболического типа в банаховом пространстве. //Труды Московского математического общества. 1961. С.297-350.

38. Стеклов В.А. Основные задачи математической физики. М.: Наука. 1983. 432 с.

39. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и разложении произвольных функций в ряды. Петроград. 1917. Тип М.П.Фроловой. 308 с.

40. Тихонов А.Н. Об уравнениях теплопроводности для нескольких переменных. //Бюлл. МГУ. Секция А. 1938. Т.1. Вып. 9.

41. Халилов З.И. Решение задачи колебания конечной струны в среде с переменным коэффициентом сопротивления. //ДАН АзССР. 1952. Т.8. №7. С.333-337.

42. Хамраев К. Применение обобщенного метода Фурье и теории операторно-дифференциальных уравнений к решению некоторых смешанных задач для уравнений с частными производными. //Дисс. канд. физ.-мат. наук. Баку. 1979. 115 с.

43. Чандиров Г.И. Об одном обобщении неравенства Гронуолла и его приложения. //Уч. зап. Азерб. ун-та. Серия физ.-мат. и химических наук. 1958. №6. С.3-10.

44. Шварц Л. Анализ. М.: Мир. 1972. 811 с.

45. Эйдельман С.Д. Параболические системы. М.: Наука. 1964. 443 с.

46. Amann Н. Dynamic theory of guasilinear parabolic equations II reaction -diffusion system. //Differential Integral Equations. 1990. V.3. №1. P. 1375.

47. Crôger K. Asymptotic behavior of solutions to a class of diffusions -reaction equations. //Math. Nachr, 1983. Bd. 112. S. 19-33.

48. Struwe M.A. Counterexample in regularity theory for parabolic systems. //Gzchoclowsk Math. J. 1984. V.34. №2. P. 183-188.

49. Tamarkin J. Some general problems of ordinary linear differential equations and expansion of arbitrary function in series of fundamental functions.//Math. Zs. 1927. V.27. P.l-54.