Применение уравнения Пугачёва-Свешникова к исследованию существенно нелинейных интегральных функционалов от траекторий некоторых диффузионных процессов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Березин, Сергей Васильевич

• Березин, Сергей Васильевич
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Березин, Сергей Васильевич

Оглавление

Введение

1 Интегральные функционалы и диффузионные процессы

1.1 Нелинейные задачи стохастической динамики

1.2 Нелинейные стохастические дифференциальные системы

1.2.1 Случайные процессы

1.2.2 Стохастические дифференциальные уравнения

1.2.3 Существенная нелинейность в стохастических дифференциальных системах

1.2.4 Классы кусочно-линейных стохастических систем

1.3 Интегральные функционалы, заданные па траекториях диффузионных процессов

1.3.1 Понятие интегрального функционала

1.3.2 Существенно нелинейные интегральные функционалы

1.3.3 Метод расширения фазового пространства. Редукция к СДУ

1.4 Некоторые специальные стохастические системы

2 Аналитические методы анализа нелинейных функционалов от траекторий диффузионных процессов

2.1 Прямое уравнение Колмогорова

2.1.1 Теория систем, включающих гладкие нелинейности

2.1.2 Теория систем с негладкими ненинейностями. Условия сопряжения

2.2 Обратное уравнение Колмогорова и уравнении Фейнмана-Каца

2.3 Некоторые точные решения

2.3.1 Обобщённые гамильтоповы системы

2.3.2 Случай кусочно-линейных систем

2.4 Некоторые приближённые методы

2.5 Уравнение B.C. Пугачёва

3 Стохастическая динамика существенно нелинейных систем и уравнение B.C. Пугачёва

3.1 Вывод уравнения Пугачёва

3.1.1 Прямой вывод

3.1.2 Вывод с помощью формулы Ито

3.1.3 Уравнение Пугачёва дня случая систем с локальным временем

3.2 Аналитические свойства характеристической функции

3.3 Приближённые методы решения и фильтрация но Пугачёву

3.3.1 Приближённые методы

3.3.2 Оптимальная фильтрация но Пугачёву

3.4 Уравнение Пугачёва-Свешникова

3.4.1 Случай иолислоёв

3.4.2 Случай четверть-пространств

4 Аналитические методы решения уравнения Пугачёва^Свешникова

4.1 Общая идея

4.2 Краевая задача Римапа

4.2.1 Случай полуплоскостей

4.2.2 Случай бшюлуилоскоетей

4.3 Основное уравнение в случае полупространств

4.3.1 Сведение уравнения Пугачёва-Свешникова к краевой задаче Римапа

дня полуплоскостей

4.3.2 Сведение задачи Римапа к основному уравнению

4.4 Основное уравнение в случае иолислоёв

4.4.1 Сведение уравнения Пугачёва-Свешникова к специальной краевой задаче Римапа

4.4.2 Сведение задачи Римапа к основному уравнению

4.5 Основное уравнение в случае четвертей пространства

4.5.1 Сведение уравнения Пугачёва-Свешникова к задаче Римапа для бино-луилоскоетей

4.5.2 Сведение задачи Римапа к основному уравнению

5 Классы аналитически разрешимых задач

5.1 Кусочно линейные системы. Случай полупространств

5.1.1 Задача Кренделла о перемещениях незакреплённого тола па подвижном основании при ограниченной длительности случайного воздействия

5.1.2 Нахождение точных выражений дня моментов с помощью уравнения Пугачёва-Свешникова

5.1.3 Точное выражение дня изображения характеристической функции пройденного пути

5.2 Кусочно-линейные системы. Случай четверть-пространств

5.2.1 Вспомогательные факты дня функциональных уравнений

5.2.2 Фрикционное торможение незакреплённого тола при наличии управляемого демпфера сухого трения

5.2.3 Задача об управляемом фрикционном торможении при наличии сухого трения. Сведение к интегральному уравнению

5.3 Кусочно линейные системы. Случай нолислоёв

5.3.1 Фрикционное торможение при наличии управляемого демпфера сухого трения. Другой метод решения

5.3.2 Время пребывания процесса Кохи-Динза на отрезке

5.4 Системы, включающие локальное время

5.4.1 Лок&лыюе время процесса Кохи-Динза

5.4.2 Задача Бакстера дня скошенного броуновского движения со сносом , ,

Заключение

Список литературы

Список иллюстраций

А Некоторые теоремы из теории функций комплексного переменного

В Вспомогательные леммы, относящиеся к интегралам типа Коши

С Решение некоторых задач с помощью метода статистической линеаризации (МСЛ)

С.1 Задача о фрикционном торможении при наличии управляемого демпфера сухого трения

С,2 Задача Бакстера дня скошенного броуновского движения

С,2,1 Случай пулевого сноса

С,2,2 Случай ненулевого сноса

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение уравнения Пугачёва-Свешникова к исследованию существенно нелинейных интегральных функционалов от траекторий некоторых диффузионных процессов»

Введение

Исследователи, работающие в различных прикладных областях, таких как физика, механика, биология, химия и техника, часто встречаются с задачами, постановка которых даётся в терминах стохастических дифференциальных уравнений (последние в некоторых приклад-пых областях называют также уравнениями Лапжевепа), В диссертации внимание будет сосредоточено исключительно па таких стохастических дифференциальных уравнениях, которые задают некоторый непрерывный марковский, или иными словами диффузионный случайный процесс. Стохастические уравнения, обладающие такого рода решениями, являются естественным обобщением обыкновенных дифференциальных уравнений па тот случай, когда динамическая система подвергается воздействию тех или иных нерегулярных, случайных возмущений, Стохастичпость возмущений может быть обусловлена как отсутствием информации о состоянии некоторых частей системы и невозможностью учесть большое количество влияющих па неё факторов, так и фундаментальными физическими соображениями |364|,

Повышение эффективности современного оборудования, сопровождающееся повышением пагружеппости, скорости, а также передаваемой мощности, часто приводит к необходимости использования экстремальных рабочих режимов, отвечающих нелинейным участкам основных характеристик 13011, Это приводит к необходимости описания соответствующих систем с помощью нелинейных математических моделей. Среди всех нелинейных систем математически самыми сложными и, одновременно, весьма интересными дня приложений являются существенно нелинейные, то есть системы описываемые негладкими неаналитическими пе.нипейпостями (в их число входят и некоторые неоднозначные нелинейности). Объекты такого рода могут моделировать такие практически интересные эффекты как переключение различных режимов работы системы, явление гистерезиса и ряд других, подобных перечисленным. Исследованию именно таких систем и посвящена настоящая диссертационная работа.

К сожалению, полное и детальное исследование всего класса существенно нелинейных систем затруднительно прежде всего в связи с отмеченной выше исключительной сложностью соответствующих математических задач. По этой причине разумно ограничиться таким более узким классом систем, который с одной стороны был бы достаточно интересным и представительным с точки зрения приложений, а с другой стороны допуска;: бы возможность систематического теоретического изучения. Таким классом задач в настоящей диссертации бы,;: избран класс кусочно-линейных систем. Они довольно естественно возникают в нрило-

жепиях, а также являются именно тем «...тонким слоем между тривиальным и недоступным,,,» |276|, в котором возможно получение практически значимых научных результатов.

Наряду с исследованием существенно нелинейных стохастических систем, моделирующих реальные технические системы, на практике часто возникает и задача исследования некоторых специальным образом построенных числовых характеристик этих систем, а именно интегральных функционалов. Такие объекты могут возникать как в связи с содержательной постановкой соответствующей задачи (например, путь, пройденный материальным толом за заданное время, является интегральным функционалом от траектории случайного процесса скорости тола), так и но причине невозможности непосредственной экспериментальной регистрации самого изучаемого процесса,

В соответствии с целевой установкой диссертационной работы, мы сосредоточим внимание на изучении существенно нелинейных интегральных функционалов, среди которых выделим функционалы с кусочно-линейными ядрами, С одной стороны целый ряд важных прикладных задач приводит именно к ним, а с другой — такой выбор делает разрабатываемую в диссертации теорию .логически замкнутой1.

При анализе стохастических систем и функционалов от траекторий их фазовых координат стандартным аппаратом является аппарат уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК), а также альтернативный аппарат уравнения Фейнмана-Каца (ФК), С помощью них но,лучено большое число важных научно-прикладных результатов для гладких стохастических систем и .лишь некоторые единичные результаты для существенно нелинейных стохастических систем. Между тем, последние, как уже было сказано, часто вызывают наибольший содержательный интерес, а их но,лучение сопряжено с наибольшими трудностями. Сложность получения решения в рассматриваемом классе задач обусловлена необходимостью учитывать некоторые дополнительные, нестандартные в математическом отношении соотношения (так называемые условия сопряжения), которые должны выполняться на тех гиперповерхностях, на которых коэффициенты соответствующих существенно нелинейных систем теряют гладкость.

Специфика такого рода задач приводит к необходимости для каждого частного случая разрабатывать свой собственный индивидуальный подход, что является чрезвычайно неудобным с прикладной точки зрения. Именно но этой причине возникает устойчивый интерес не только к расчёту характеристик каких-то конкретных практически значимых стохастических систем, но и к разработке общих методов решения стохастических задач для более широких классов существенно нелинейных систем. Разработке общих методов, пригодных для определенного, более точно описываемого далее класса задач, и посвящена диссертация. При решении конкретных существенно нелинейных задач, ввиду их сложности, инженеры и практики часто применяют некоторые приближённые или эвристические методы (нанри-

1 Исследование существенно нелинейных функционалов с кусочно-линейными ядрами от траекторий кусочно-линейных стохастических систем сводится к анализу некоторой расширенной кусочно-линейной стохастической системы.

мер, метод статистической линеаризации в различных его модификациях), однако, строго говоря, проверка качества соответствующих численных схем настоятельно требует наличия некоторого набора модельных аналитических решений, который на настоящий момент является явно недостаточным. Более того, знание точных аналитических решений существенно нелинейных стохастических задач позволяют лучше уяснить как специфику этих задач, так и общие свойства их решений. Сказанное определяет основной подход, реализуемый в настоящей диссертации, который является аналитическим. Все результаты в настоящей работе по возможности доводятся до финальных явных аналитических выражений, а затем и до числовых результатов.

Математический аппарат, который позволяет вывести методы решения существенно нелинейных задач на новый уровень как с точки зрения технологии получения решений для целых классов систем, так и с точки зрения расширения набора явных аналитических решений модельных задач, основан на использовании уравнения Пугачёва. Последнее является некоторым аналогом уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова, причём в терминах характеристической функции случайного процесса, а не в терминах плотности вероятности,., как это имело место для случая уравнения ФПК, Именно подход, использующий уравнение Пугачёва, позволяет по единообразной методике решить целый ряд новых задач, которые другими методами решить затруднительно.

Для кусочно-линейных систем уравнение Пугачёва может быть приведено к специальной форме сингулярного интегро-дифференциального уравнения типа свёртки с ядром Ко-ши, которая была предложена A.A. Свешниковым, Преобразование уравнения Пугачёва по Свешникову позволяет фактически привести менее изученное уравнения Пугачёва к виду, объединяющему черты двух хорошо известных классов уравнений математической физики: дифференциального уравнения в частных производных первого порядка и сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши, Именно применению уравнения Пугачёва-Свешникова в описанном выше классе задач и посвящена настоящая работа, В этом отношении исследование продолжает работы A.A. Свешникова и О.И. Зайца.

Основным преимуществом описанного подхода является то, что он даёт возможность решать целый ряд задач, действуя по единой схеме, причём позволяет доводить это решение до получения искомых вероятностных характеристик в явном виде. При использовании данного подхода отпадает необходимость удовлетворения упомянутым выше условиям сопряжения, поскольку последние выполняются автоматически. Кроме того, поскольку уравнение Пугачёва-Свешникова, будучи разновидностью уравнения Пугачёва, записывается относительно характеристической функции, оно даёт возможность сразу получить моменты искомого процесса простым дифференцированием. А ведь именно моменты часто представляют наибольший интерес при решении, и именно они обычно непосредственно наблюдаются на практике в эксперименте. Отметим также, что уравнение Пугачёва-Свешникова позволяет довольно просто получать и ряд других (в том числе и асимптотических) результатов, о которых более подробно речь пойдёт далее.

Дополнительным преимуществом подхода, основанного на уравнении Пугачёва, является возможность фактически находить совместные законы распределения фазовых координат исследуемого векторного случайного процесса, а также заданных на его траекториях функционалов, Кроме того, уравнение Пугачёва допускает обобщение на более широкий класс процессов (не обязательно непрерывных), В заключение отметим, что для общего уравнения Пугачёва в случае гладких нелинейноетей общего вида разработан широкий арсенал приближённых аналитических методов, для проверки точности которых также могут быть применены результаты настоящего диссертационного исследования.

Таким образом, кратко резюмируя все соображения изложенные выше, можно сказать, что целью данной работы является разработка методов решения уравнения Пугачёва-Свешникова для случая существенно нелинейных стохастических систем, принадлежащих классу кусочно-линейных систем.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

1, Осуществлён библиографический поиск и изучение имеющейся по теме диссертации литературы, результатом которых стал обзор известных работ, поевящённых анализу существенно нелинейных стохастических систем;

2, Выделены новые классы существенно нелинейных систем и функционалов, для которых уравнение Пугачёва-Свешникова допускает точное решение;

3, Выведено уравнения Пугачёва-Свешникова для всех вновь введённых классов систем;

4, Исследованы качественные свойства решения уравнения Пугачёва-Свешникова;

5, Разработан точный метод решения уравнения Пугачёва-Свешникова для выделенных классов существенно нелинейных стохастических задач;

6, Проведено численное сравнение точного решения с полученным употребительными приближёнными методами;

Методы исследования. Решение поставленных задач основывается на использовании методов теории случайных процессов, математической физики и теории функций комплексного переменного, а также специальных методов теории функциональных уравнений.

Степень достоверности. Применение строгих математических методов, проверка аналитических вычислений с помощью соответствующих математических пакетов программ, а также сравнение результатов с результатами, полученными другими авторами, обеспечивают высокую степень достоверности полученных в настоящей диссертации результатов.

Основные положения, выносимые на защиту таковы:

1, Выделены три новых класса кусочно-линейных систем, для которых уравнение Пугачёва-Свешникова допускает точное решение (класс кусочно-линейных систем, линейных в четвертях пространства; класс полислоевых систем; класс систем, включающих локальное время);

2, Доказана теорема, устанавливающая аналитичность решения уравнения Пугачёва относительно всей совокупности аргументов искомой характеристической функции;

3, Разработан общий метод точного решения уравнения Пугачёва-Свешникова для всех вновь введённых классов систем;

4, Вычислены вероятностные характеристики для целого ряда типовых существенно нелинейных стохастических систем;

5, Произведено численное сравнение найденных точных решений с приближёнными, полученными методом статистической линеаризации, а также найдена погрешность последних;

Научная новизна:

1, Введены новые классы аналитически разрешимых кусочно-линейных стохастических систем (системы, линейных в четвертях пространства, линейных в полислоях, а также включающие локальное время);

2, Доказана теорема о свойствах аналитичности решения уравнения Пугачёва-Свешникова;

3, Впервые получен общий вид уравнения Пугачёва-Свешникова для кусочно-линейных систем, линейных в четвертях пространства;

4, Впервые получен общий вид уравнения Пугачёва-Свешникова для полислоевых систем;

5, Впервые получен вид уравнения Пугачёва-Свешникова для систем, включающих локальное время;

6, Разработан оригинальный метод решения уравнения Пугачёва-Свешникова для случая кусочно-линейных систем, линейных в четвертях пространства;

7, Предложен оригинальный метод решения уравнения Пугачёва-Свешникова для случая полислоевых систем;

8, Предложен оригинальный метод решения уравнения Пугачёва-Свешникова для случая систем, включающих локальное время;

9, Впервые вычислено изображение по Лапласу для характеристической функции пройденного пути в классической задаче Кренделла о перемещениях незакреплённого тела;

10, Найден ряд ранее неизвестных практически значимых вероятностных характеристик классического процесса Кохи-Динза;

11, Впервые полностью решена задача Бакстера для скошенного броуновского движения с постоянным сносом;

Практическая и теоретическая значимость диссертационной работы состоит в том, что её результаты позволяют аналитически решить новый класс практически значимых существенно нелинейных задач. Представленные в работе методы могут быть успешно использованы дня исследования широкого класса математических моделей, описывающих различные физические, механические, биологические, экономические и другие подобные им системы, допускающие адекватную кусочно-линейную аппроксимацию.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах:

1, Городской семинар но теории вероятностей и математической статистике (ПОМП РАН, февраль 2017);

2, Семинар кафедры «Прикладная математика» СПбПУ (СПбПУ Петра Великого, январь 2017);

3, XVII International Workshop on Xew Approaches to High-Tech: Xano-Design, Technology, Computer Simulations, XDTCS-2015 (Grodno, Belarus, September 2015);

4, Научный семинар кафедры «Теоретическая механика» (СПбПУ Петра Великого, ноябрь 2015);

5, Семинар исследовательской лаборатории им, П.Л. Чебышёва СПбГУ «Теория вероятностей» (ПОМП РАН, ноябрь, апрель 2015);

6, Семинар кафедры теоретической электротехники и семинар кафедры строительной механики университета им. В, Лейбница (Университет им, Лейбница, Ганновер, октябрь 2013);

7, LUH-SPbSPU Workshop on Computational Methods and Modeling in Engeneering (Leibniz University Hannover, Hannover, April 2013);

Также но тематике диссертации автор проходи,:: стажировки па кафедре теоретической электротехники университета им. В, Лейбница, Ганновер, Германия (октябрь 2013, август-ноябрь 2014) под руководством профессора В, Матиса (Wolfgang Mathis),

Основные результаты но теме диссертации изложены в 5 печатных и электронных изданиях |19,20,191,193,254|, 2 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК |191,193|.

Личный вклад. Автор принимал личное активное и непосредственное участие при постановке задач, при их решении, а также при анализе результатов. Совместные статьи и доклады, в которых отражено содержание диссертации, писались при личном существенном участии автора. Доказательства и обоснование приведенных в диссертации положений, математические выкладки, а также численные расчеты выполнены лично автором.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и трёх приложений. Каждая глава долится па параграфы, а параграфы долятся па пункты,

которые в свою очередь делятся на подпункты, В диссертации принята тройная нумерация разделов, где первая цифра указывает на номер главы, вторая — на номер параграфа, а третья — на номер пункта. Подпункты дополнительно не нумеруются.

Во введении приводится обоснование актуальности и практической значимости рассматриваемой в диссертации темы. Даётся краткое описание поставленных целей и решаемых для их достижения задач, а также даётся библиографическое описание диссертации,

В первой главе вводится класс рассматриваемых далее нелинейных задач стохастической динамики. Вводятся основные понятия теории случайных процессов, необходимые для дальнейшего изложения, а также необходимые сведения из теории стохастических дифференциальных уравнений. Определяется понятие интегрального функционала с существенно нелинейным ядром. Задача исследования интегральных функционалов от траекторий диффузионных процессов сводится к задаче анализа расширенной стохастической системы. Очерчены классы существенно нелинейных стохастических систем, рассматриваемых в последующих главах диссертации.

Во второй главе приводится обзор наиболее употребительных современных методов анализа стохастических систем, В частности, рассматривается подход, основанный на уравнениях Колмогорова (прямом и обратном), а также на уравнении Фейнмана-Каца, Приводится обзор основных приближённых методов анализа стохастических систем, а также имеющиеся известные примеры точных решений,

В третьей главе реализуется альтернативный подход к анализу стохастических систем, основанный на использовании уравнения Пугачёва, Даётся вывод уравнения Пугачёва для различных классов систем. Исследуются основные аналитические свойства решения уравнения Пугачёва, Даётся детальный обзор приближённых методов решения уравнения Пугачёва, Приводится вывод уравнения Пугачёва-Свешникова для ряда конкретных классов кусочно-линейных систем, используемых в дальнейшем,

В четвёртой главе излагаются основные положения теории функций комплексного переменного, используемые при решении краевой задачи Римана, Разбирается задача Римана для полуплоскостей и биполуплоскостей. Кроме того, излагается метод сведения уравнения Пугачёва-Свешникова для выделенных классов кусочно-линейных систем к некоторой разновидности краевой задачи Римана, а также метод сведения этой последней задачи к основному уравнению для краевых значений интеграла типа Коши,

В пятой главе приводится исследование выбранных классов кусочно-линейных систем, которое доводится до получения явных аналитических результатов. Разработан метод решения основного уравнения, основанный на технике аналитического продолжения, С помощью этого метода решён ряд примеров исследования кусочно-линейных систем, линейных в полупространствах, линейных в четвертях пространства, линейных в полислоях, а также содержащих локальное время,

В заключении даётся краткий обзор полученных в работе результатов.

В приложениях помещена информация, которая носит вспомогательный характер и должна обеспечить замкнутое изложение в пределах диссертации, В частности, приводятся детали вычисления, относящиеся к реализации метода статистической линеаризации.

Полный объем диссертации составляет 206 страниц с 19 рисунками. Список литературы содержит 388 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

Глшзв

Интегральные функционалы и диффузионные процессы

1.1 Нелинейные задачи стохастической динамики

Множество задач, с которыми исследователи сталкиваются на практике, относится к изучению эволюции во времени каких-либо физических объектов или их совокупностей. Такую эволюцию удобно описывать в рамках понятия динамической системы. Пусть состояние физического объекта с течением времени меняется по определённому закону и однозначно определяется некоторым набором переменных. Тогда множество всех состояний называют фазовым, пространством, а указанные выше переменные — фазовыми координатами. Фазовое пространство, а также закон, по которому меняются фазовые координаты, и составляют в совокупности динамическую систему. Изменяющемуся во времени состоянию физического объекта отвечает некоторая траектория в фазовом пространстве, которую во многих практических задачах можно считать непрерывной. Также предполагается, что через заданную точку фазового пространства проходит одна и только одна фазовая траектория.

Последнее означает, что, зная текущее состояние динамической системы, можно однозначно предсказать её состояние по прошествии некоторого времени. Существуют, однако, такие реальные физические системы, в функционирование которых вовлечены разнообразные факторы неопределённости и случайности (шумы, погрешности измерений и т.д.). Для таких систем имеет смысл говорить не о строго фиксированном, детерминированном прогнозе, а о предсказании в некотором вероятностном смысле будущего состояния системы по текущему. Последние соображения приводят к более общему толкованию термина «динамическая система», при котором фазовые координаты в любой момент времени уже являются случайными величинами, а эволюция системы определяется некоторым случайным процессом, Причём по смыслу самого понятия динамической системы указанный процесс должен являться марковским, или процессом без последействия, то есть таким процессом, будущее состояние которого не зависит от прошлого при фиксированном настоящем и которое опреде-

ляется этим настоящим в некотором вероятностном смысле. Первый из упомянутых подходов к определению понятия динамической системы далее мы будем назвать детерминистским, а второй, более общий, — стохастическим,. Как и раньше, можно считать, что фазовые траектории стохастической динамической системы являются непрерывными, откуда следует, что указанный выше марковский процесс является непрерывным. Непрерывные марковские процессы принято называть диффузионными, поскольку они в определенном смысле описывают диффузию частиц в фазовом пространстве и но своим основным свойствам аналогичны классическим процессам диффузии, хорошо известным в физике.

Стохастический подход в задачах физики начал активно развиваться в начало XX века в связи с рассмотренном тепловых и, вообще, молекулярных явлений и достиг своего апогея uoc.no открытия квантовой механики, когда стало ясно, что в квантовых системах неустранимые неопределённости играют фундаментальную роль |364|, Поскольку диссертация целиком посвящена именно такому подходу, далее мы будем пользоваться термином «динамическая система» именно в стохастическом смысле.

При изучении поведения динамических систем большой интерес представляет не только состояние системы в данный конкретный момент времени, но и разнообразные интегральные характеристики фазовых траекторий этой системы, вычисленные за определённый заданный промежуток времени, или, иначе говоря, интегральные функционалы. Эти объекты занимают центральное место в настоящей диссертации. Примерами таких функционалов в механике могут служить перемещение и путь материального тела, энергия, затраченная этим тоном на трение при движении но шероховатой поверхности, в химии — расход вещества при протекании некоторой реакции, а, скажем, в биологии — количество нищи, съеденное особями какой-либо популяции животных, и т.д. Легко понять, что интегральные функционалы от траекторий системы (или соответствующего процесса) представляют собой некоторые случайные величины, зависящие от выбранного промежутка времени. В заключение отметим, что далее исследование интегральных функционалов от траекторий заданной динамической системы часто будет сводится к анализу некоторой другой (расширенной) динамической системы, в некотором смысле более удобной дня исследования. Поэтому целесообразно остановиться на классификации динамических систем, выделив основные их разновидности.

В классе всех динамических систем прежде всего необходимо особо выделить подкласс линейных систем, который хорошо изучен. Разработке соответствующей теории посвящено большое количество литературы, и, на настоящий момент, указанную теорию можно считать практически завершённой. Решение линейных задач даётся в рамках корреляционной и спектральной теорий. Однако необходимо заметить, что линейные системы являются только первым приближением к тем реальным системам, которые фактически встречаются на практике и, как правило, содержат те или иные нелинейности. А именно последние являются крайне важными дня приложений и часто определяют суть рассматриваемой задачи. К сожалению, нелинейные задачи изучены намного хуже, чем линейные, что связано прежде всего с их математической сложностью. В рамках диссертации мы будем интересоваться тремя

разновидностями нелинейных стохастических задач: либо будет считаться, что сама динамическая системы является нелинейной, либо таковым является исследуемый интегральный функционал, заданный на её траекториях, либо и то и другое. Отметим, что расширенная динамическая система, к которой осуществляется переход при исследовании нелинейного интегрального функционала в любом из случаев всегда будет нелинейной.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Березин, Сергей Васильевич, 2017 год

Список литературы

1. Abundo M. First-passage time of a stochastic integral process trough a linear boundary // International Journal of Applied Mathematics. — 2012. — Vol. 25, no. 1. — P. 41-49.

2. Abundo M. On first-hitting time of a linear boundary by perturbed Brownian motion // The Open Mathematics Journal. — 2014. — Vol. 7. — P. 6-8.

3. Abundo M. On the distribution of the time average of a jump-diffusion process // International Journal of Applied Mathematics. — 2008. — Vol. 21, no. 3. — P. 447-454.

4. Ahmadi G. Stochastic earthquake response of structures on sliding foundation // International Journal of Engineering Science. — 1983. — Vol. 21, no. 2. — P. 93-102.

5. Akizuki K., Tada F. The analysis of relay control systems with coloured noise inputs // International Journal of Control. — 1977. — Vol. 25, no. 6. — P. 949-963.

6. Anulova S.V. Diffusion processes with singular characteristics // Lecture Notes in Control and Information Sciences. — 1980. — Vol. 25. — P. 264-269.

7. Appuhamillage T., Bokil V., Thomann E., Waymire E., Wood B. Occupation and local times for skew Brownian motion with applications to dispersion across an interface // Annals of Applied Probability. - 2011. - Vol. 21, no. 1. - P. 183-214.

8. Atar R., Budhiraja A. On the multi-dimensional skew Brownian motion // Stochastic Processes and their Applications. — 2015. — Vol. 125, no. 5. — P. 1911-1925.

9. Atkinson J.D., Caughey T.K. Spectral density of piecewise linear first order systems excited by white noise // International Journal of Non-linear Mechanics. — 1968. — Vol. 3, no. 2. — P. 137-156.

10. Baccelli F., Fayolle G. Analysis of models reducible to a class of diffusion processes in the positive quarter plane // Journal on Applied Mathematics. — 1987. — Vol. 47, no. 6. — P. 1367-1385.

11. Baldeaux J., Platen E. Functionals of multidimensional diffusions with applications to finance. — Switzerland : Springer, 2013. — 425 p.

12. Bass R.F. Stochastic differential equations with jumps // Probability Surveys.— 2004.— no. 1. — P. 1-19.

13. Bass R.F., Pardoux E. Uniqueness for diffusions with piecewise constant coefficients // Probability Theory and Related Fields. - 1987. - Vol. 76, no. 4. - P. 557-572.

14. Basu B., Gupta V.K. Wavelet-based analysis of the non-stationary response of a slipping foundation // Journal of Sound and Vibration. — 1999. — Vol. 222, no. 4. — P. 547-563.

15. Baule A., Cohen E.G.D., Touchette H. A path integral approach to random motion with nonlinear friction // Journal of Physics A. — 2010. — Vol. 43, no. 2. — P. 025003.

16. Baxter G. Wiener process distributions of the arc-sine law type // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1956. — Vol. 7. — P. 738-741.

17. Beaman J.J. Accuracy of statistical linearization // New Approaches to Nonlinear Problems in Dynamics. — Philadelphia : SIAM, 1980. - P. 195-207.

18. Beghin L., Nikitin Y., Orsinger E. How the sojourn time distributions of Brownian motion are affected by different forms of conditioning // Statistics & Probability Letters. — 2003. — Vol. 65.- P. 291-302.

19. Berezin S.V., Zayats O.I. On energy dissipation in a friction-controlled slide of a body excited by random motions of a foundation // Proceedings of Sixteenth International Workshop on New Approaches to High-Tech: Nano-Design, Technology, Computer Simulations, NDTCS-2015. — Grodno : Yanka Kupala State University, 2015. — P. 117-119.

20. Berezin S., Zayats O. On energy dissipation in a friction-controlled slide of a body excited by random motions of a foundation // arXiv:1509.08063. — 2015. — P. 1-6.

21. Bergman L.A., Spencer B.F. First passage of a sliding rigid structure on a frictional foundation // Earthquake Engineering & Structural Dynamics. — 1985. — Vol. 13, no. 3. — P. 281291.

22. Berman S.M. Sojourns and extremes of stationary processes // The Annals of Probability. — 1982.-Vol. 10, no. 1.-P. 1-46.

23. Berman S.M. Sojourns and extremes of stochastic processes. — London : Taylor & Francis, 1992.- 320 p.

24. Bingham N.H., Doney R.A. On higher-dimensional analogues of the arc-sine law // Journal of Applied Probability. — 1988. — no. 25. - P. 120-131.

25. Booton R.C. The analysis of nonlinear control systems with random imputs // Proceedings of the Symposium on Nonlinear Circuit Analysis. — 1953. — no. 2. — P. 369-391.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36

37

38

39

40

Buguin A., Brochard F., de Gennes P.-G. Motions induced by asymmetric vibrations // The European Physical Journal E. — 2006. — Vol. 19, no. 1. — P. 31-36.

Caughey T. K., Dienes J. K. Analysis of a nonlinear first-order system with a white noise input // Journal of Applied Physics. — 1961. — Vol. 32, no. 11. — P. 2476-2479.

Chaudhury M.K., Mettu S. Brownian motion of a drop with hysteresis dissipation // Lang-muir. - 2008. - Vol. 24, no. 12. - P. 6128-6132.

Chen Y. Dynamical properties of piecewise-smooth stochastic models. Ph. D. thesis. — London : Queen Mary University of London, 2014. — 147 p.

Chen Y., Baule A., Touchette H., Just W. Weak-noise limit of a piecewise-smooth stochastic differential equation // Physical Review E. - 2013. — Vol. 88, no. 5. — P. 052103.

Cho W.S.T. Nonlinear random vibrations: Analytical techniques and applications. — London : Taylor & Francis, 2012. - 291 p.

Coffman E.G., Fayolle G., Mitrani I. Sojourn times in a tandem queue with overtaking: reduction to a boundary value problem // Communications in Statistics. Stochastic Models. — 1986. — Vol. 2, no. 1. - P. 43-65.

Cohen A. Numerical methods for Laplace transform inversion. — USA : Springer, 2007. — 252 p.

Cohen J.W., Hooghiemstra G. Brownian excursion, the M/M/1 queue and their occupation times // Mathematics of Operations Research. — 1981. — Vol. 6, no. 4. — P. 608-629.

Comtet A., Desbois J., Texier C. Functionals of Brownian motion, localization and metric graphs // Journal of Physics A. - 2005. - Vol. 38, no. 37. - P. R341.

Constantinou M., Gazetas G., Tadjbakhsh I. Stochastic seismic sliding of rigid mass supported through non-symmetric friction // Earthquake Engineering & Structural Dynamics. — 1984. - Vol. 12, no. 6. - P. 777-794.

Constantinou M., Tadjbakhsh I. Response of a sliding structure to filtered random excitation // Journal of Structural Mechanics. — 1984. — no. 3. — P. 401-418.

Corns T.R.A., Satchell S.E. Skew Brownian Motion and Pricing European Options // The European Journal of Finance. — 2007. — Vol. 13, no. 6. — P. 523-544.

Crandall S.H. Distribution of maxima in the response of an oscillator to random excitation // The Journal of the Acoustical Society of America. — 1970. — Vol. 47. — P. 838-845.

Crandall S.H. Zero crossings, peaks, and other statistical measures of random responses // The Journal of the Acoustical Society of America. — 1963. — Vol. 35. — P. 1693-1699.

41. Crandall S.H., Lee S.S., Williams J.H. Accumulated slip of a friction-controlled mass excited by earthquake motions // Journal of Applied Mechanics. — 1974. — Vol. 41, no. 4. — P. 10941098.

42. Daniel S., Chaudhury M.K., de Gennes P.-G. Vibration-Actuated Drop Motion on Surfaces for Batch Microfluidic Processes // Langmuir. — 2005. — Vol. 21, no. 9. — P. 4240-4248.

43. Darling D.A., Kac M. On occupation times for Markoff processes // Transactions of the American Mathematical Society. — 1957. — Vol. 84. — P. 444-458.

44. Dashevsky M.L. Algorithmization of the semiinvariant method of studing nonlinear dynamic systems // Problems of Control and Information Theory. — 1978. — Vol. 7, no. 5. — P. 305316.

45. Davis R.A. Maximum and minimum of one-dimensional diffusion // Stochastic Processes and their Applications. — 1982. — Vol. 13. - P. 1-9.

46. de Gennes P.-G. Brownian motion with dry friction // Journal of Statistical Physics.— 2005.-Vol. 119, no. 5-6.-P. 953-962.

47. Desbois J. Occupation times for planar and higher dimensional Brownian motion // Journal of Physics A. - 2007. - Vol. 40, no. 10. - P. 2251.

48. Dimentberg M., Hou Z., Noori M. Spectral density of a non-linear single-degree-of-freedom system's response to a white-noise random excitation: A unique case of an exact solution // International Journal of Non-Linear Mechanics. — 1995. — Vol. 30, no. 5. — P. 673-676.

49. Eglin M., Eriksson M.A., Carpick R.W. Microparticle manipulation using inertial forces // Applied Physics Letters. - 2006. - Vol. 88, no. 9. - P. 2172401.

50. Engelbert H.-J., Peskir G. Stochastic differential equations for sticky Brownian motion // An International Journal of Probability and Stochastic Processes. — 2014. — Vol. 86, no. 6. — P. 993-1021.

51. Ernst P., Shepp L. On occupation times of the first and third quadrants for planar Brownian motion // Journal of Applied Probability. — 2017. — Vol. 54, no. 1.

52. Evans C.L., Gariepy R.F. Measure theory and fine properties of functions. — London : Taylor & Francis, 2015.-313 p.

53. Fayolle G., Iasnogorodski R., Malyshev V. Random walks in the quarter-llane. Algebraic Methods, boundary value problems and applications. — Berlin : Springer-Verlag, 1999. — 156 p.

54. Fayolle G., King P.J.B., Mitrani I. The solution of certain two-dimensional Markov models // Advances in Applied Probability. - 1982. - Vol. 14, no. 2. - P. 295-308.

55. Feller W. Two singular diffusion problems // Annals of Mathematics. — 1951.— Vol. 54, no. 1. — P. 173-182.

56. Feynman R. P. Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics // Reviews of Modern Physics. - 1948. - Vol. 20, no. 2. — P. 367-387.

57. Figalli A. Existence and uniqueness of martingale solutions for SDEs with rough or degenerate coefficients // Journal of Functional Analysis. — 2008. — Vol. 254, no. 1. — P. 109-153.

58. Fleishman D., Asscher Y., Urbakh M. Directed transport induced by asymmetric surface vibrations: Making use of friction // Journal of Physics: Condensed Matter.— 2007.— Vol. 19, no. 9. - P. 096004.

59. Fuller A.T. Analysis of nonlinear stochastic systems by means of Fokker-Planck equation // International Journal of Control. — 1969. — Vol. 9, no. 6. — P. 603-655.

60. Fuller A.T. Exact analysis of a first-order relay control system with a white noise disturbance // International Journal of Control.— 1980. — Vol. 31, no. 5. — P. 841-867.

61. Fuller A.T. Optimization of a saturating control systems with Brownian motion input // Nonlinear stochastic control systems. — London, New York : Taylor & Francis, Barnes & Noble, 1970. - P. 325-332.

62. Fusai G. Corridor options and arc-sine law // Annals of Applied Probability.— 2000.— Vol. 10, no. 2. - P. 634-663.

63. Gapeev P.V., Rodosthenous N. Perpetual American options in a diffusion model with piecewise-linear coefficients // Statistics & Risk Modeling. — 2013. — Vol. 30. — P. 1-20.

64. Geman D., Horowitz J. Occupation densities // The Annals of Probability. — 1980. — Vol. 8, no. 1. — P. 1-67.

65. Geman D., Horowitz J. Occupation times for smooth stationary processes // The Annals of Probability. - 1973. - Vol. 1, no. 1. - P. 131-137.

66. Gnoli A., Petri A., Dalton F., Pontuale G., Gradenigo G., Sarracino A., Puglisi A. Brownian ratchet in a thermal bath driven by Coulomb friction // Physical Review Letters. — 2013. — Vol. 110, no. 12.- P. 120601.

67. Gnoli A., Puglisi A., Touchette H. Granular Brownian motion with dry friction // Euro-physics Letters. - 2013. - Vol. 102, no. 1. - P. 14002.

68. Goohpattader P.S., Chaudhury M.K. Diffusive motion with nonlinear friction: Apparently Brownian // The Journal of Chemical Physics. — 2010. — Vol. 133, no. 2. — P. 3460530.

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

Goohpattader P.S., Mettu S., Chaudhury M.K. Stochastic rolling of a rigid sphere in weak adhesive contact with a soft substrate // The European Physical Journal E. — 2011. — Vol. 34, no. 120.- P. 1-11.

Graversen S., Shiryaev A.N., Yor M. On the problem of stochastic integral representations of functionals of the Brownian motion. II // Theory of Probability & Its Applications. — 2007. - Vol. 51, no. 1. - P. 65-77.

Gray A.H. Stability and related problems in randomly excited systems. Ph. D. thesis. — Pasadena : California Institute of Technology, 1964. — 126 p.

Grebenkov D.S. Residence times and other functionals of reflected Brownian motion // Physical Review E. - 2007. - Vol. 76. - P. 041139.

Halidias N., Kloeden P.E. A note on strong solutions of stochastic differential equations with a discontinuous drift coefficient // Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis. — 2006. - Vol. 2006. - P. 1-6.

Hayakawa H. Langevin equation with Coulomb friction // Phisica D.— 2005.— Vol. 205, no. 1. — P. 48-56.

Hooghiemstra G. On explicit occupation time distributions for Brownian processes // Statistics & Probability Letters. - 2002. - Vol. 56. - P. 405-417.

Hooghiemstra G. On the occupation time of Brownian excursion // Electronic Communications in Probability. — 1999. — Vol. 4. — P. 61-64.

Hopf E., Wiener N. Uber eine Klasse singularer Integralgleichungen // Sitzungsber Berliner Akademie der Wissenschaften. — 1931. — B. 31. — S. 696-706.

Ito K., McKean H.P. Brownian motion on a half-line // Illinois Journal of Mathematics.— 1963.-Vol. 7.-P. 181-231.

Iwan W.D., Moser M.A., Paparizos L.G. The stochastic response of strongly nonlinear systems with Coulomb damping elements // Nonlinear Stochastic Dynamic Engineering Systems: IUTAM Symposium Innsbruck/Igls, Austria, June 21-26, 1987. — Berlin, Heidelberg : Springer, 1988. - P. 455-466.

Janson S., Louchard G. Tail estimates for the Brownian excursion area and other Brownian areas // Electronic Journal of Probability. - 2007. - Vol. 12. - P. 1600-1632.

Janson S., Peterson N. The integral of the supremum process of Brownian motion // Journal of Applied Probability. - 2009. - Vol. 46, no. 2. - P. 593-600.

Kac M. On distributions of certain Wiener functionals // Transactions of the American Mathematical Society. — 1949. — no. 65. — P. 1-13.

83. Kac M. On some connections between probability theory and differential and integral equations // Proceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability. - 1951. - P. 189-215.

84. Karatzas I., Shreve S. Brownian motion and stochastic calculus.-- New York : SpringerVerlag, 1998. — 470 p.

85. Kasahara Y., Yano Y. On a generalized arc-sine law for one-dimensional diffusion processes // Osaka Journal of Mathematics. — 2005. — Vol. 42. — P. 1-10.

86. Kearney M.J., Martin R.J. Airy asymptotics: the logarithmic derivative and its reciprocal // Journal of Physics A. — 2009. — Vol. 42, no. 42. — P. 425201.

87. Khasminskii R. Arcsine law and one generalization // Acta Applicandae Mathematicae. — 1999. — Vol. 58. - P. 151-157.

88. Klebaner F.C. Introduction to stochastic calculus with applications.-- Singapore : World Scientific, 2012. — 431 p.

89. Knight F.B. Random walks and a sojourn density process of brownian motion // Transactions of the American Mathematical Society. — 1963. — Vol. 109, no. 1. — P. 56-86.

90. Kolmogoroff A.N. Uber die analytischen Methoden in Wahrscheinlichkeitsrechnung // Mathematische Annalen.- 1931.- B. 104, H. 1.— S. 415-458.

91. Kopytko B.I., Portenko M.I. The problem of pasting together two diffusion processes and classical potentials // Theory of Stochastic Processes. — 2009. — Vol. 15(31), no. 2. — P. 126— 139.

92. Kopytko B.I., Portenko N.I. Analytical methods of pasting together of diffusion processes // Probability Theory and Mathematical Statistics: Proceedings of the Fourth USSR - Japan Symposium, held at Tbilisi, USSR, August 23—29, 1982. — Berlin, Heidelberg : Springer, 1983.-- P. 320—326.

93. Koralov L.B., Sinai Y.G. Theory of probability and random processes.— Berlin : SpringerVerlag, 2007. — 358 p.

94. Kozlova M., Salminen P. An occupation time identity for reflecting Brownian motion with drift // Periodica Mathematica Hungarica. — 2005. — Vol. 50, no. 1-2. — P. 189—198.

95. Kratz M. F. Level crossings and other level functionals of stationary Gaussian processes // Probability Surveys. — 2006. — no. 3. — P. 230—288.

96. Krylov N.V. On weak uniqueness for some diffusions with discontinuous coefficients // Stochastic Processes and their Applications.-- 2004.-- Vol. 113, no. 1. — P. 37—64.

97. Kuczma M., Choczewski B., Ger R. Iterative functional equations. — Cambridge : Cambridge University Press, 1990. — 552 p.

98. Ladas G.E., Lakshmikantham V. Differential equations in abstract spaces. — New York and London : Academic Press, 1972.

99. Le Gall J.F. One-dimensional stochastic differential equations involving the local times of the unknown process // Lecture Notes in Mathematics. — 1984. — Vol. 1095. — P. 51-82.

100. Lejay A. On the constructions of the skew Brownian motion // Probability Surveys.— 2006.-no. 3.-P. 413-466.

101. Lejay A. Simulation of a stochastic process in a discontinuous layered medium // Electronic Communications in Probability. — 2011. — Vol. 16, no. 67. — P. 764-774.

102. Leobacher G., Szolgyenyi M., Thonhauser S. Skew Brownian Motion and Pricing European Options // Electronic Communications in Probability. — 2015. — Vol. 20, no. 6. — P. 1-14.

103. Leonard A. Two-dimensional quater space problems in one-speed transport theory // Journal of Mathematical Physics. - 1971. - Vol. 12, no. 5. - P. 754-766.

104. Levy P. Sur certains processus stochastiques homogenes // Compositio Mathematica. — 1939.-no. 7.-P. 283-339.

105. Li B., , Wang S., Zhou X., Zhu N. Diffusion occupation time before exiting // Frontiers of Mathematics in China. — 2014. — Vol. 9, no. 4. — P. 843-861.

106. Li B., Zhou X. The joint Laplace transforms for diffusion occupation times // Advances in Applied Probability. - 2013. - Vol. 45, no. 4. - P. 1049-1067.

107. Lindenberg K., West B.J. The first, the biggest, and other such considerations // Journal of Statistical Physics. - 1986. - Vol. 42, no. 1/2. - P. 201-243.

108. Ling T.G. Study of some functionals of standard and fractional Brownian motions with applications in quantitative finance and statistics. Ph. D. thesis. — Sydney : Institute of Technology, 2014. - 148 p.

109. Lyuu Y.-D. Financial engineering and computation. — Cambridge : Cambridge University Press, 2001.- 627 p.

110. Majumdar S.N. Brownian functionals in physics and computer science // Current Science. — 2005. - Vol. 76. - P. 2076-2092.

111. Majumdar S.N., Comtet A. Airy distribution function: from the area under a Brownian excursion to the maximal height of fluctuating interfaces // Journal of Statistical Physics. — 2005.-Vol. 119, no. 3/4.-P. 777-826.

112. Majumdar S.N., Comtet A. Local and occupation time of a particle diffusing in a random medium // Physical Review Letters. - 2002. - Vol. 89, no. 6. - P. 060601.

113. Majumdar S.N., Randon-Furling J., Kearney M.J., Yor M. On the time to reach maximum for a variety of constrained Brownian motions // Journal of Physics A.— 2010.— Vol. 41, no. 36.- P. 1751-8113.

114. Majumdar S.N., Rosso A., A. Zoia. Time at which the maximum of a random acceleration process is reached // Journal of Physics A. — 2010. — Vol. 43, no. 11. — P. 115001.

115. McKean H.P. Brownian local times // Advances in Mathematics. — 1975. — no. 15. — P. 91111.

116. Menzel A.M. Velocity and displacement statistics in a stochastic model of nonlinear friction showing bounded particle speed // Phisical Review E. — 2015. — Vol. 92. — P. 052302.

117. Menzel A.M., Goldenfeld N. Effect of Coulombic friction on spatial displacement statistics // Phisical Review E. - 2011. - Vol. 84. - P. 011122.

118. Mettu S., Chaudhury M.K. Stochastic relaxation of the contact line of a water drop on a solid substrate subjected to white noise vibration: roles of hysteresis // Langmuir. — 2010. — Vol. 26, no. 11.- P. 8131-8140.

119. Meyre T., Werner W. On the occupation times of cones by Brownian motion // Probability Theory and Related Fields. - 1995. - Vol. 101. - P. 409-419.

120. Mignolet M.P., Fan G.W. Non-stationary response of some first-order non-linear systems associated with the seismic sliding of rigid structures // International Journal of Non-Linear Mechanics. — 1993. — Vol. 28, no. 4. — P. 393-408.

121. Moser M.A. The response of stick-slip systems to random seismic excitation. Ph. D. thesis. — Pasadena : California Institute of Technology, 1987. — 151 p.

122. Moser M.A., Iwan W.D. Response of a Coulomb system to stochastic excitation // Journal of Sound and Vibration. - 1992. - Vol. 159, no. 2. - P. 223-235.

123. Nikitin Y., Orsinger E. The intermediate arc-sine law // Statistics & Probability Letters.— 2000. - Vol. 49. - P. 119-125.

124. NIST digital library of mathematical functions. — http://dlmf.nist.gov/, Release 1.0.13 of 2016-09-16.- 2016.- F. W. J. Olver, A. B. Olde Daalhuis, D. W. Lozier, B. I. Schneider, R. F. Boisvert, C. W. Clark, B. R. Miller and B. V. Saunders, eds. URL: http://dlmf. nist.gov/.

125. Noda T. Asymptotic arc-sine laws for finite-dimensional interacting diffusions // Osaka Journal of Mathematics. - 2007. - Vol. 47. - P. 335-350.

126.

127.

128.

129.

130.

131.

132.

133.

134.

135.

136.

137.

138.

139.

Oshima Y. Some singular diffusion processes and their associated stochastic differential equations // Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete. — 1982. — Vol. 59, no. 2. - P. 249-276.

Pechtl A. Distributions of occupation times of brownian motion with drift // Journal of Applied Mathematics & Decision Sciences. — 1999. — Vol. 3, no. 1. — P. 41-62.

Pechtl A. Some applications of occupation times of Brownian motion with drift in mathematical finance // Journal of Applied Mathematics & Decision Sciences. — 1999.— Vol. 3, no. 1.-P. 63-73.

Pemantle R., Peres Y., Pitman J., Yor M. Where did the Brownian particle go? // Electronic Journal of Probability. — 2001. — Vol. 6, no. 10. — P. 1-22.

Perestyuk M., Mishura Yu., Shevchenko G. On the distribution of integral functionals of a homogeneous diffusion process // Modern Stochastics: Theory and Applications. — 2014. — Vol. 1, no. 2.- P. 109-116.

Pitman J. The distribution of local times of a Brownian bridge // Lecture Notes in Mathematics. - 1999. - Vol. 1709. - P. 388-394.

Pitman J. The SDE solved by local times of a Brownian excursion or bridge derived from the height profile of a random tree or forest // The Annals of Probability. — 1999. — Vol. 27, no. 1.- P. 261-283.

Protter P.E. Stochastic integration and differential equations. — Berlin : Springer-Verlag, 2004.- 415 p.

Pugachev V.S. Finite-dimensional distributions of processes defined by a stochastic differential equation and their application to control problems // Problems of Control and Information Theory. - 1981. - Vol. 10, no. 2. - P. 95-114.

Pugachev V.S., Sinitsyn I.N. Stochastic differential equations. Analysis and filtering. — New York : Wiley, 1987. - 570 p.

Rajabpour M.A. Area distribution of an elastic Brownian motion // Journal of Physics A. — 2009. - Vol. 42, no. 48. - P. 485205.

Ray D. Sojourn times of diffusion processes // Illinois Journal of Mathematics. — 1963. — Vol. 7, no. 4. - P. 615-630.

Revuz D., Yor M. Continuous martingales and Brownian motion. — Berlin : Springer-Verlag, 1999.- 602 p.

Riedo E., Gnecco E. Thermally activated effects in nanofriction // Nanotechnology. — 2004. — Vol. 15, no. 4. - P. S288-S292.

140. Rogers L.C.G., Williams D. Diffusions, Markov processes, and martingales. Vol. 2: Ilo calculus. — Cambridge : Cambridge University Press, 2000. — 475 p.

141. Rootzen H. Extreme value theory for moving average processes // Annals of Probability.— 1986.-Vol. 14.-P. 231-232.

142. Rootzen H., Leadbetter M.R. Extreme value theory for continuous parameter stationary processes // Zeitschrift fur Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete. — 1982. — Vol. 60. - P. 1-20.

143. Rootzen H., Lindgren G. Extreme values: theory and technical applications // Scandinavian Journal of Statistics. - 1987. - Vol. 14. - P. 241-279.

144. Rutkowski M. Stochastic differential equations with singular drift // Statistics & Probability Letters. - 1990. - Vol. 10. - P. 225-229.

145. Rutkowski M. Strong solution of stochastic differential equation involving local times // Stochastics. - 1987. - Vol. 22. - P. 201-218.

146. Sabhapandit S., Majumdar S.N., Comtet A. Statistical properties of functionals of the paths of a particle diffusing in a one-dimensional random potential // Physics Review E. — 2006. — Vol. 73, no. 5.-P. 051102.

147. Salminen P. On Russian options // Theory of Stochastic Processes. — 2000.— Vol. 6(22), no. 3/4.- P. 161-176.

148. Salminen P., Yor M. Perpetual integral functionals as hitting and occupation times // Electronic Journal of Probability. — 2005. — Vol. 10, no. 11. — P. 371-419.

149. Sano T.G., Hayakawa H. Roles of dry friction in the fluctuating motion of an adiabatic piston // Physical Review E. - 2014. - Vol. 89, no. 3. - P. 032104.

150. Sarracino A., Gnoli A., Puglisi A. Ratchet effect driven by Coulomb friction: The asymmetric Rayleigh piston // Physical Review E. - 2013. - Vol. 87, no. 4. - P. 040101.

151. Sericola B. Occupation times in Markov processes // Communications in Statistics - Stochastic Models. - 2000. - Vol. 16, no. 5. - P. 1-33.

152. Sharp N.J., Johnson P.V., Newton D.P., Duck P.W. A new prepayment model (with default): An occupation-time derivative approach // The Journal of Real Estate Finance and Economics. - 2009. — Vol. 39, no. 2. — P. 118-145.

153. Shin V.I. Decomposition of non-linear stochastic systems described by differential equations // Problems of Control and Information Theory. — 1982. — Vol. 11, no. 6. — P. 414-453.

154.

155.

156.

157

158.

159.

160.

161

162

163

164.

165.

166.

167

Shiryaev A.N., Yor M. On the problem of stochastic integral representations of functionals of the Brownian motion. I // Theory of Probability & Its Applications.— 2004.— Vol. 48, no. 2.- P. 304-313.

Siluyanova I.D. The finite-dimensional distributions of the outputs of one class of non-linear systems // Problems of Control and Information Theory. — 1982. — Vol. 11, no. 6. — P. 407418.

Simpson D.J.W., Kuske R. The influence of localized randomness on regular grazing bifurcations with applications to impacting dynamics // Journal of Vibration and Control. — 2016.-Vol. 0, no. 0.- P. 1077546316642054.

Simpson D.J.W., Kuske R. Mixed-mode oscillations in a stochastic, piecewise-linear system // Phisica D. - 2011. - Vol. 240. - P. 1189-1198.

Simpson D.J.W., Kuske R. The positive occupation time of Brownian motion with two-valued drift and asymptotic dynamics of sliding motion with noise // Stochastics and Dynamics. — 2014.-Vol. 14, no. 4.-P. 1450010.

Simpson D.J.W., Kuske R. Stochastic perturbations of periodic orbits with sliding // Journal of Nonlinear Science. - 2015. - Vol. 25, no. 4. - P. 967-1014.

Simpson D.J.W., Kuske R. Stochastically perturbed sliding motion in piecewise-smooth systems // Discrete and Continuous Dynamical Systems Series B. — 2014.— Vol. 19, no. 9.— P. 2889-2913.

Soize C. The Fokker-Planck equation for stochastic dynamical systems and its explicit steady state solutions. — Singapore : World Scientific, 1994. — 340 p.

Song S., Wang S., Wang Y. First hitting times for doubly skewed Ornstein-Uhlenbeck processes // Statistics & Probability Letters. — 2015. — no. 96. - P. 212-222.

Song S., Xu G., Wang Y. On first hitting times for skew CIR processes // Methodology and Computing in Applied Probability. — 2014. — no. 273. — P. 1-12.

Su L., Ahmadi G., Tadjbakhsh I.G. Comparative study of base isolation systems // Journal of Engineering Mechanics. — 1989. — Vol. 115, no. 9. - P. 1976-1992.

Su L., Orabi I.I, Ahmadi G. Nonstationary earthquake response of a sliding rigid structure // International Journal of Engineering Science. — 1988. — Vol. 26, no. 9. — P. 1013-1026.

Takacs L. On certain sojourn time problems in the theory of stochastic processes // Acta Mathematica Hungarica. — 2005. — Vol. 8, no. 1-2. — P. 169-191.

Takanobu S. On the existence of solutions of stochastic differential equations with singular drifts // Probability Theory and Related Fields. - 1987. - Vol. 74, no. 2. - P. 295-315.

168. Takanobu S. On the uniqueness of solutions of stochastic differential equations with singular drifts // Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences.— 1986.— Vol. 22.- P. 813-848.

169. Talbot J., Wildman R.D., Viot P. Kinetics of a frictional granular motor // Physical Review Letters. - 2011. - Vol. 107, no. 13. - P. 138001.

170. Touchette H., Van der Straeten E., Just W. Brownian motion with dry friction: Fokker-Planck approach // Journal of Physics A. — 2010. — Vol. 43, no. 44. — P. 445002.

171. Tuckwell H.C., Wan F.Y.M. First-passage time of Markov processes to moving barriers // Journal of Applied Probability. — 1984. — Vol. 21. — P. 695-709.

172. Uchiyama K. Brownian first exit from and sojourn over one sided moving boundary and application // Zeitschrift fur Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete. — 1980. — Vol. 54, no. 1.- P. 75-116.

173. Wang S., Song S., Wang Y. Skew Ornstein-Uhlenbeck processes and their financial applications // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2015. — no. 273. — P. 363-382.

174. Watanabe S., Yano K., Yano Y. A density formula for the law of time spent on the positive side of one-dimensional diffusion processes // Journal of Mathematics of Kyoto University. — 2005. - Vol. 45, no. 4. - P. 781-806.

175. Wedig W. The integration of nonlinear stochastic systems with applications to the damage and ambiguity identification // Zeitschrift für angewandte Mathematik und Mechanik. — 1981. — B. 61, H. 1.-S. 7-20.

176. Wiener N. Differential space // Journal of Mathematical Physics. — 1923. — no. 2. — P. 131— 174.

177. Wong H.Y., Kwok Y.-K. Multi-asset barrier options and occupation time derivatives // Applied Mathematical Finance. — 2003. — Vol. 10. - P. 245-266.

178. Yor M. Exponential functionals of Brownian motion and related processes. — Berlin, Heidelberg : Springer, 2001.— 206 p.

179. Younis C., Tadjbakhsh I. Response of sliding rigid structure to base excitation // Journal of Engineering Mechanics. — 1984. — Vol. 101, no. 3. — P. 417-432.

180. Zhang H. Occupation times, drawdowns, and drawups for one-dimensional regular diffusions // Advances in Applied Probability. — 2015. — Vol. 47, no. 1. — P. 210-230.

181. Zhu W.Q., Cai G.Q. Nonlinear stochastic dynamics: A survey of recent developments // Acta Mechanica Sinica. — 2002. — Vol. 18, no. 6. — P. 551-556.

182. Zhu W.Q., Cai G.Q., Lin Y.K. Stochastic excited Hamiltonian systems // Nonlinear Stochastic Mechanics: IUTAM Symposium, Turin, 1991.— Berlin : Springer, 1992. — P. 543-552.

183. Zhu W.Q., Yand Y.Q. Exact stationary solutions of stochastically excited and dissipated integrable Hamiltonian systems // Journal of Applied Mechanics. — 1996. — Vol. 63, no. 2. — P. 493-500.

184. Zirbel C.L. Mean occupation times of continuous one-dimensional Markov processes // Stochastic Processes and their Applications. — 1997. — Vol. 69, no. 2. — P. 161-178.

185.

IUnn В.И. Модифицированные квазимоментные и моментно-еемиинвариантные методы анализа многомерных стохастических процессов и их программная реализация // Системы и средства информатики. — 1992. — № 2. — С. 160-171.

186. Антосик П., Микусинский Я., Сикорский Р. Теория обобщенных функций. Секвенциальный подход. — М. : Мир, 1976. — 311 с.

187. Анулова С.В., Веретенников А.Ю., Крылов Н.В., Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Стохастическое исчисление // Итоги науки и техники. Серия современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — М. : ВИНИТИ, 1989. — Т. 45. — С. 5-253.

188. Баррет Дж. Применение уравнения Колмогорова для исследования систем автоматического управления со случайными возмущениями // Труды I Международного конгресса IIФА К. - М. : Издательство АН СССР, 1961. - Т. 3. - С. 84-97.

189. Бартлетт М.С. Введение в теорию случайных процессов. — М. : Иностранная литература, 1958. — 354 с.

190. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований, — М. : Наука, 1970. 328 с.

191. Березин С.В. Об аналитических свойствах характеристической функции процесса, заданного системой стохастических дифференциальных уравнений // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. — 2016. — Т. 2(242). — С. 108-115.

192. Березин С.В. Применение уравнения Пугачёва-Свешникова к исследованию стохастических систем, кусочно-линейных в четвертях пространства. Магистерская диссертация. — СПб : СПбГПУ, 2010. - 82 с.

193. Березин С.В., Заяц О.И. Применение уравнения Пугачёва-Свешникова к решению задачи Бакстера о длительности выбросов // Информатика и её применения. — 2015. — № 9(2).- С. 39-49.

194. Богачев В,И,, Крылов Н.В., Рёкнер М.. Шапошников C.B. Уравнения Фоккера-Иланка-Колмогорова, — М.. Ижевск : НИЦ РХД, 2013, — 592 с,

195. Болотин В,В, Прогнозирование ресурса машин и конструкций, — М, : Машиностроение, 1984.- 312 с.

196. Болотин В.В. Случайные колебания упругих систем. - М. : Наука, 1979. - 336 с.

197. Бородин А.Н. Броуновское локальное время // Успехи математических наук. — 1989. — Т. 44, № 2(266). - С. 7-48.

198. Бородин А.Н. Варианты формулы Фейнмана-Каца // Записки научных семинаров ПОМИ. - 1997. - Т. 244. - С. 46-60.

199. Бородин А.Н. О распределении некоторых функционалов от броуновского локального времени // Записки научных семинаров ПОМИ. — 2003. — Т. 298. — С. 22-35.

200. Бородин А.Н. Распределение интегральных функционалов от локальных времен бееее-левского процесса // Записки научных семинаров ЛОМИ. — 1989. — Т. 177. — С. 8-27.

201. Бородин А.Н. Распределение интегральных функционалов от процесса броуновского движения // Записки научных семинаров ЛОМИ. — 1982. — Т. 119. — С. 19-38.

202. Бородин А.Н. Распределение функционалов от броуновского локального времени. I // Теория вероятностей и ее применения. — 1989. .V" 3. С. 433-450.

203. Бородин А.Н. Распределение функционалов от броуновского локального времени. II // Теория вероятностей и ее применения. — 1989. — JV2 4. — С. 636-649.

204. Бородин А.Н. Случайные процессы: Учебник. — СПб : Лань, 2013. — 640 с.

205. Бородин А.Н., Ибрагимов И.А. Предельные теоремы для функционалов от случайных блужданий // Труды МИАН СССР. - 1994. - Т. 195. - С. 3-285.

206. Бородин А.Н., Салминен П. Справочник по броуновскому движению, — СПб : Лань, 2000. - 640 с.

207. Вру л ян В.К. Некоторые вопросы применения марковских процессов к исследованию нелинейных автоматических систем. — Ереван : Издательство Ереванского университета, 1974. - 197 с.

208. Вру л ян В.К. Определение плотности вероятности на выходе автоматической системы с ограниченными зонами линейности и нечувствительности в цепи обратной связи // Еритасард гитатхатог Бнакан гитутюннер. Молодой научный работник. Естественные науки. - 1974. - № 2(20). - С. 12-19.

209. Вагурина И,В, Распределения аддитивных функционалов от броуновского движения, остановленного в моменты максимума и минимума из случайных времен // Записки научных семинаров ПОМИ, — 2003, — Т. 298, — С, 36-53,

210. Вагурина И,В, Распределения аддитивных функционалов от броуновского движения, остановленного в различные случайные моменты времени / / Записки научных семинаров ПОМИ. - 2002. - Т. 294. - С. 55-76.

211. Владимиров B.C. Уравнение математической физики. — М. : Наука, 1981. — 512 с.

212. Владимиров B.C., Дрожжинов Ю.Н. Обобщенная задача Коши для ультрапараболического уравнения // Известия АН СССР. Серия математическая. — 1967. — Т. 31, JVS 6. — С. 1341-1360.

213. Володин H.H. Совместное распределение максимума и минимума траектории винеров-ского процесса // Учёные записки КГУ. — 1962. — Т. 122, № 4. — С. 39-52.

214. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. — М. : Мир, 1986. — 528 с.

215. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. — М. : Наука, 1977. — 640 с.

216. Гахов Ф.Д., Черский ЮЛ I. Уравнения типа свёртки. — М. : Наука, 1978. — 296 с.

217. Гиреанов И.В. О решении некоторых краевых задач для параболических и эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами // Доклады АН СССР. — 1960. — Т. 135, № 6,- С. 1311-1313.

218. Гихман И,И,, Скороход A.B. Введение в теорию случайных процессов, — 2 изд. — М, : Наука, 1977. — 568 с.

219. Гихман И.И., Скороход A.B. Стохастические дифференциальные уравнения, — Киев : Наукова Думка, 1968, — 356 с,

220. Гихман И,И,, Скороход A.B. Теория случайных процессов. Том 1, — М, : Наука, 1971, — 664 с.

221. Гихман И.И., Скороход A.B. Теория случайных процессов. Том 3. — М. : Наука, 1975. — 496 с.

222. Гришин Д.П. Об одной задаче определения надежности системы управления // Автоматика и телемеханика. — 1972. — № 7. — С. 64-69.

223. Давыдов Ю.А. Локальные времена для многопараметрических случайных процессов // Теория вероятностей и ее применения. — 1978. — Т. 23, JVS 3. — С. 594-605.

224. Давыдов Ю, А, О локальных временах для случайных процессов // Теория вероятностей и ее применения, — 1976, — Т. 21, № 1, — С, 172-179,

225. Давыдов К).Л.. Лифшиц М.А, Метод расслоений в некоторых вероятностных задачах // Итоги науки и техники. Серия теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика 1984, — М, : ВИНИТИ, 1984, — Т. 22, — С, 61-157,

226. Давыдов Ю.А., Лифшиц М.А,, Смородина Н.В, Локальные свойства распределений стохастических функционалов, — М, : Наука, Физматгиз, 1995, — 256 с,

227. Давыдов Ю.А., Розин А,Л, О локальных временах пребывания для функций и случайных процессов // Теория вероятностей и ее применения, — 1978, — Т. 23, 3, — С. 650-654.

228. Давыдов Ю.А., Сянь-Го С. Об абсолютной непрерывности распределений времён пребывания // Записки научных семинаров ПОМП. — 1994. — Т. 216. — С. 20-32.

229. Дашевский М.Л. Приближенный анализ точности нестационарных нелинейных систем методом семиинвариантов // Автоматика и телемеханика. — 1967. — 11. — С. 62-81.

230. Дашевский М.Л. Семиинвариантный метод замыкания уравнений для моментов в задачах анализа нелинейных систем // Проблемы управления и теория информации. — 1975. - № 4. - С. 317-326.

231. Дашевский М.Л. Техническая реализация моментно-семиинвариантного метода анализа случайных процессов // Автоматика и телемеханика. — 1976. — 10. — С. 23-26.

232. Дашевский М.Л. Уравнения семиинвариантов нелинейной динамической системы // Автоматика и телемеханика. — 1968. — № 10. — С. 63-71.

233. Дашевский М. Л., Липцер Р. Ш. Приближенный анализ нелинейных нестационарных динамических систем // Автоматика и телемеханика. — 1967. .V" 8. С. 32-43.

234. Диментберг М.Ф. Нелинейные стохастические задачи механических колебаний. — М. : Наука, 1980. - 368 с.

235. Дуб Дж.Л. Вероятностные процессы. — М. : Издательство иностранной литературы, 1956. - 605 с.

236. Дёмух В.И. Анализ точности нелинейных систем методом неопределенных параметров // Труды I Всесоюзного симпозиума по статистическим проблемам в технической кибернетике. Нелинейные и оптимальные системы. — М. : Наука, 1971. — С. 229-234.

237. Дёмух В.И. Приближенные методы анализа точности нелинейных систем // Автоматика и телемеханика. — 1965. — Т. 26, № 6. — С. 1021-1025.

238. Дёч Г, Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования, — М, : Наука, 1971, — 288 с,

239. Евланов Л,Г., Константинов В.М, Системы со случайными параметрами, — М, : Наука, 1976. - 586 с.

240. Егоров В. А. О распределении времени пребывания // Записки научных семинаров ЛОМИ. - 1989. - Т. 177. - С. 51-54.

241. Заяц О.И. Аналитическое решение задачи Кренделла // Международная конференция «Средства математического моделирования». Тезисы докладов. — СПб : СПбГТУ, 1997.

242. Заяц О.И. Об аналитических свойствах решения уравнения B.C. Пугачёва в форме A.A. Свешникова. - Л. : ЛИИ, 1987. - С. 1-16. - Деп. в ВИНИТИ 30.06.1987, .V"7 I01-B87.

243. Заяц О.И. Об аналитической разрешимости некоторых существенно нелинейных стохастических задач, - Л. : .11111. 1980,- С. 1-15,- Деп. в ВИНИТИ 15.07.1980, №3090-80ДЕП.

244. Заяц О,И, Об аналитическом исследовании существенно нелинейных систем методами теории марковских процессов, — Л, : ЛПИ, 1982, — С, 1-14, — Деп, в ВИНИТИ 05,08,82, №4326-82ДЕП.

245. Заяц О.И. Об аналитическом решении задачи Феллера о длительности выбросов // Труды СПбГТУ. Прикладная математика. — 1996. — № 461. — С. 92-100.

246. Заяц О.И. Об уравнении Пугачёва-Свешникова // Вероятностные методы исследования динамических систем. — СПб : ИТМО, 1992. — С. 23-31.

247. Заяц О.И. Применение уравнения Пугачева-Свешникова к исследованию кусочно-линейных стохастических систем, линейных в полупространствах / / Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. — 2013. — № 4(182)-1,- С. 128-142.

248. Заяц О,И, Решение задачи Кренделла о фрикционном торможении // Научно-технические ведомости СПбГТУ, — 2007, — № 1, — С. 244-252.

249. Заяц О.И. Решение задачи Феллера для винеровского процесса с постоянным сносом // Труды СПбГТУ. Прикладная математика. — 1999. — № 477. — С. 67-72.

250. Заяц О.И. Решение уравнения B.C. Пугачёва в форме A.A. Свешникова для одной релейной системы. - Л. : ЛИИ, 1987. - С. 1-21. - Деп. в ВИНИТИ 23.10.1987, .V"7 I02-B87.

251. Заяц О.И. Решение уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова в задачах статистической динамики систем релейного типа (обзор). — Л. : ЛПИ, 1987. — С. 1-36. — Деп. в ВИНИТИ 10.07.87, Ж938-В87.

252. Заяц О,И, Случайные колебания нелинейных механических систем релейного типа. Кандидатская диссертация, — СПб : СПбГТУ, 1995,

253. Заяц О,И, Статистическая динамика систем релейного типа и уравнение Пугачёва-Свешникова // Известия вузов. Приборостроение, — 1992, — № 1/2, — С, 8-16,

254. Заяц О,И,, Березин C.B. Применение уравнения Пугачёва-Свешникова к исследованию кусочно-линейных стохастических систем, линейных в четвертях пространства // Научно-технические ведомости СПбГПУ, Информатика, Телекоммуникации, Управление. - 2013. - № 6(186). - С. 87-101.

255. Заяц О.П., Ильин И.Ю. Об одной нелинейной стохастической задаче механики твёрдого тела // Труды СПбГТУ, Прикладная математика. — 1999. — JVS 477. — С. 72-84.

256. Заяц О.И., Свешников A.A. Об одной нелинейной задаче прикладной теории гироскопов // Известия АН СССР. Механика твёрдого тела. — 1977. .V" 0. С. 9-15.

257. Заяц О.П., Шилова Е.В. Спектральный анализ случайных процессов в кусочно-линейных системах и уравнение Пугачёва-Свешникова // Труды СПбГТУ. Прикладная математика. — 2002. — № 485. — С. 55-69.

258. Звонкин А.К. Преобразование фазового пространства диффузионного процесса, уничтожающее снос // Математический сборник. — 1974. — Т. 93(175), JVS 1. — С. 129-149.

259. Ито К., Маккин Г. Диффузионные процессы и их траектории. — М. : Мир, 1968. — 395 с.

260. Казаков П.Е. Алгоритм определения функции плотности вероятности фазовых координат нелинейной стохастической системы // Автоматика и телемеханика. — 1969. — № 5. - С. 54-66.

261. Казаков H.H. Исследование законов распределения координат нелинейных замкнутых систем // Труды I Всесоюзного симпозиума по статистическим проблемам в технической кибернетике. Нелинейные и оптимальные системы, — М, : Наука, 1971,— С, 278289.

262. Казаков П.Е. Об одном развитии метода статистической линеаризации // Автоматика и телемеханика. — 1998. — JVS 11. — С. 220-224.

263. Казаков П.Е. Определение законов распределения переменных нелинейной стохастической системы // Автоматика и телемеханика. — 1965. — Т. 26, JVS 11. — С. 1926-1937.

264. Казаков П.Е. Приближенный вероятностный анализ точности работы существенно нелинейных автоматических систем // Автоматика и телемеханика. — 1956. — Т. 17, № 5. - С. 385-409.

265. Казаков 11.1]. Приближённый метод статистического исследования нелинейных систем // Труды Высшей военной инженерной академии им, 11.1]. Жуковского, — 1954, — № 394.

266. Казаков 11.1]. Статистическая динамика систем с переменной структурой. — М, : Наука, 1977. - 416 с.

267. Казаков И.Е. Статистическая теория систем управления в пространстве состояний. — М. : Наука, 1975. - 432 с.

268. Казаков И.Е. Статистические методы проектирования систем управления. — М, : Машиностроение, 1969. — 264 с,

269. Казаков И.Е,, Мальчиков C.B. Анализ стохастических систем в пространстве состояний. — М. : Наука, 1983. — 384 с.

270. Какичев В.А. Краевые задачи линейного сопряжения для функций голоморфных в бицилиндрических областях // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. - 1967. - № 5. - С. 37-58.

271. Какичев В.А. Методы решения краевых задач линейного сопряжения для функций голоморфных в бицилиндрических областях // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. — 1971. — № 14. — С. 3-15.

272. Камынин Л.И. О существовании решения краевых задач для параболического уравнения с разрывными коэффициентами // Известия АН СССР. Серия математическая. — 1964. - Т. 28, № 4. - С. 721-744.

273. Кашкарова А.Г., Шин В.И. Модифицированные семиинвариантные методы анализа стохастических систем // Автоматика и телемеханика. — 1986. — № 2. — С. 69-79.

274. Кашкарова А.Г., Шин В.И. Приближенный метод определения законов распределения фазовых координат нелинейных автоматических систем // Автоматика и телемеханика. - 1990. - № 1. - С. 43-52.

275. Кендалл М,, Стюарт А. Статистические выводы и связи. — М. : Наука, 1973. — 899 с.

276. Колмогоров A.11. Звуков сердца тихое эхо... Из дневников, Под ред. А.Н, Ширяев,— М. : Физматлит, 2003. — 232 с.

277. Колмогоров А.Н. Об аналитических методах в теории вероятностей // Успехи математических наук. — 1938. — № 5. — С. 5-41.

278. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. - М. : Наука, 1972. - 496 с.

279. Корепанов Э.Р, Разработка и реализация информационной технологии синтеза фильтров Пугачева, Кандидатская диссертация, — М, : 1 II II I РАН, 1998,

280. Королюк B.C., Портенко Н.И., Скороход A.B., Турбин А.Ф, Справочник по теории вероятностей и математической статистике, — М, : Наука, 1985, — 640 с,

281. Крамер Г, Математические методы статистики, — М, : Мир, 1975, — 648 с,

282. Красовский A.A. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем, — М, : Наука, 1974, — 232 с,

283. Кузнецов П.И., Стратонович Р.Л., Тихонов В,И, Квазимоментные функции в теории случайных процессов // Доклады АН СССР, — 1954, — Т. 9, JVS 4, — С, 1615-1618,

284. Кузнецов П.И., Стратонович Р.Л., Тихонов В,И, Квазимоментные функции в теории случайных процессов // Теория вероятностей и ее применения, — 1960,— Т. 5, JVS 1,— С. 84-102.

285. Курант Р. Уравнения с частными производными. — М. : Мир, 1964. — 830 с.

286. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. — М. : Наука, 1987. - 688 с.

287. Ладохин В.И. Распределение момента достижения максимума траектории процесса Винера // Учёные записки КГУ. — 1963. — Т. 123, JVS 6. — С. 43-55.

288. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. — М. : Наука, 1967. — 376 с.

289. Леваков A.A. Стохастические дифференциальные уравнения. — Минск : БГУ, 2009. — 231 с.

290. Левин Б.Р., Фомин Я.А. Определение распределения длительности выбросов косинуса фазы нормального стационарного случайного процесса методом временной диекретеза-ции // Проблемы передачи информации. — 1968. — Т. I. .V" 1. С. 86-89.

291. Либер A.B., Смирнова В.А. О распределении функционалов от броуновского движения с линейным сносом // Записки научных семинаров ПОМП. — 1997. — Т. 244. — С. 205217.

292. Лифшиц М.А. Абсолютная непрерывность функционалов типа «супремум» от гауссов-ских процессов // Записки научных семинаров ЛОМИ. — 1982. — Т. 119. — С. 154-166.

293. Лифшиц М.А. Исследование распределений стохастических функционалов. Докторская диссертация. — СПб : СПбГУ, 1993.

294. Лифшиц M,А, Метод расслоений и его применение к изучению функционалов от случайных процессов // Теория вероятностей и ее применения,— 1982,— T, 27, № 1,— С. 67-80.

295. Лифшиц М.А. Об абсолютной непрерывности распределений функционалов от случайных процессов // Теория вероятностей и ее применения. — 1982. — Т. 27, № 3. — С. 559566.

296. Лифшиц М.А. Применение метода расслоений к изучению функционалов от процессов с независимыми приращениями // Теория вероятностей и ее применения. — 1984. — Т. 29, № 4. - С. 723-734.

297. Лоэв М. Теория вероятностей. — М. : Издательство иностранной литературы, 1962. — 719 с.

298. Лукич Е. Характеристические функции. — М. : Наука, 1979. — 424 с.

299. Люлько Я.А. О распределении максимума скошенного броуновского движения и скошенного случайного блуждания на некоторых случайных отрезках времени // Успехи математических наук. — 2013. — Т. 68, № 6(414). — С. 169-170.

300. Мазья В.Г. Граничные интегральные уравнения // Итоги науки и техники. Серия современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — М. : ВИНИТИ, 1988. - Т. 27. - С. 131-228.

301. Макаров Б.П. Нелинейные задачи статистической динамики машин и приборов. - М. : Машиностроение, 1983. — 264 с.

302. Маланин В.В., Полосков И.Е. Методы и практика анализа случайных процессов в динамических системах. — М,, Ижевск : НИЦ РХД, 2005. — 296 с.

303. Малахов A.11. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований, — М, : Советское радио, 1978, — 376 с,

304. Малышев В,А, Уравнение Винера-Хопфа в четверть-плоскости, дискретные группы и автоморфные функции // Математический сборник, — 1971, — Т. 84, № 4, — С, 499-525,

305. Малышев В.А. Уравнения Винера-Хопфа и их применение в теории вероятностей (обзор) // Итоги науки. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика. — М. : ВИНИТИ, 1976. — С. 5-35.

306. Мальчиков C.B. Определение закона распределения выходных переменных многомерной нелинейной системы // Автоматика и телемеханика. — 1973. — № 11. — С. 16-21.

307. Мальчиков C.B, Приближенный метод определения законов распределения фазовых координат нелинейных автоматических систем // Автоматика и телемеханика. — 1970. — № 5,- С. 43-51.

308. Мальчиков C.B. Приближенный метод статистического анализа динамических систем, содержащих нелинейности мультипликативного типа / / Автоматика и телемеханика. — 1973. - № 10. - С. 33-38.

309. Махно С.Я. Стохастические уравнения с локальным временем и обобщенные диффузионные процессы // Украинский математический весник. — 2007. — JVS 1. — С. 57-78.

310. Мельников A.B. О сильных решениях стохастических дифференциальных уравнений с негладкими коэффициентами // Теория вероятностей и её применения. — 1979. — Т. 24, № 1.- С. 146-149.

311. Мельц И.О., Пыхова 'ПЛ.. Усков Г.В. Многомерная статистическая линеаризация функций, содержащих множители степенного, показательного и тригонометрического типов, а также ^-функции // Автоматика и телемеханика. — 1967. — JVS 12. — С. 65-75.

312. Мерклингер К. Дж. Численный анализ нелинейных систем управления с помощью уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова // Труды II Международного конгресса ИФАК, Оптимальные системы. Статистические методы. - М. : Наука, 1965. - С. 324-339.

313. Милионщиков М.Д. К теории однородной изотропной турбулентности // Доклады АН СССР. - 1941. - Т. 32, № 9. - С. 611-614.

314. Минин A.C., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. Том 1.— М. : Наука, 1965,— 640 с.

315. Монин A.C., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. Том 2,— М. : Наука, 1967,— 720 с.

316. Мусхелишвили 11.11. Сингулярные интегральные уравнения. — М. : Наука, 1968. — 512 с.

317. Нобл Б. Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений с частными производными. — М. : Иностранная литература, 1962. — 280 с.

318. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения. — М. : Мир, 2003. — 408 с.

319. Олейник O.A. Краевые задачи для линейных уравнений эллиптического и параболического типа с разрывными коэффициентами // Известия АН СССР. Серия математическая. - 1961. - № 25. - С. 3-20.

320. Олейник O.A. Об одной задаче Г. Фикеры // Доклады АН СССР,— 1964,— Т. 157, № 6. - С. 1297-1300.

321. Олейник O.A. Об уравнениях эллиптического типа, вырождающихся на границе // Доклады АН СССР. - 1952. - Т. 87, № 6. - С. 885-888.

322. Олейник O.A. Решение основных краевых задач для уравнений второго порядка с разрывными коэффициентами // Доклады АН СССР. — 1959. — Т. 124, № 6. — С. 1219-1221.

323. Олейник O.A., Радкевич Е.В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой // Итоги науки и техники. Серия математика. Математический анализ 1969. - М. : ВИНИТИ, 1971. - С. 7-252.

324. Пискунов Н.С. Краевые задачи для уравнения эллиптико-параболического типа // Математический сборник. — 1940. — Т. 7(49), № 3. — С. 385-424.

325. Питовранов С.Е., Четвериков В.М. Статистический анализ систем с релейной обратной связью // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. — 1979. — № 4. — С. 188-190.

326. Понтрягин Л.С., Андронов A.A., Витт A.A. О статистическом рассмотрении динамических систем // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 1933. — Т. 3, № 1.-С. 165-180.

327. Портенко H.H. Обобщенные диффузионные процессы. — Киев : Наукова Думка, 1982. — 208 с.

328. Портенко И.И., Скороход A.B., Шуренков В.М. Марковские процессы // Итоги науки и техники. Серия современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — М. : ВИНИТИ, 1989. - Т. 46. - С. 5-245.

329. Птичкин В.А. Анализ нелинейных стохастических систем методами уравнений моментов. — Минск : Наука и техника, 1980. — 272 с.

330. Пугачёв B.C. Конечномерные распределения процессов, определяемых стохастическими дифференциальными уравнениями, и экстраполяция таких процессов // Доклады АН СССР. - 1980. - Т. 351, № 1. - С. 40-43.

331. Пугачёв B.C. Оценивание переменных и параметров в стохастических системах, описываемых дифференциальными уравнениями // Доклады АН СССР. — 1978. — Т. 241, № 5. - С. 1031-1034.

332. Пугачёв B.C. Оценивание состояния и параметров непрерывных нелинейных систем // Автоматика и телемеханика. — 1979. — № 6. — С. 63-79.

333. Пугачёв B.C. Применение теории марковских процессов к анализу точности автоматических систем // Известия АН СССР. OTH. Энергетика и автоматика. — 1961. .V" 3. С. 46-57.

334. Пугачёв B.C. Случайные функции определяемые дифференциальными уравнениями // Труды военно-воздушной инженерной Академии им, H.H. Жуковского, — 1944, — 118,- С. 1-36.

335. Пугачёв B.C. Теория случайных функций и её применение к задачам автоматического управления. — М, : Физматгиз, 1962. — 660 с.

336. Пугачёв В,С, Казаков U.K.. Евланов Л.Г. Основы статистической теории автоматических систем. - М. : Машиностроение, 1974. - 400 с.

337. Пугачёв B.C., Синицын I I.I 1. Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация. — М. : Наука, 1985. — 637 с.

338. Пугачёв B.C., Синицын I I.I 1. Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация. — М. : Наука, 1990. — 632 с.

339. Пугачёв B.C., Синицын П.Н. Теория стохастических систем. — М. : Логос, 2004. — 999 с.

340. Пугачёв B.C., Синицын H.H.. Синицын В.П., Чередниченко A.A., Шин В.И. Математическое обеспечение для анализа многомерных нелинейных стохастических систем / / Автоматика и телемеханика. — 1991, — №1, — С. 87-97.

341. Пугачёв B.C., Синицын П.Н,, Шин В,И, Проблемы анализа и условно оптимальной фильтрации в реальном масштабе времени процессов в нелинейных стохастических системах // Автоматика и телемеханика. — 1987. — JVS 12. — С. 3-24.