Потраекторно-детерминированный подход к исследованию стохастических моделей управляемых систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Исмагилов, Нияз Салаватович

• Исмагилов, Нияз Салаватович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Исмагилов, Нияз Салаватович

Оглавление

Введение

1 Постановка задачи

1.1 Общая постановка задачи

1.2 Модель управления намоткой провода при случайных возмущениях коэффициента трения

1.3 Оптимизация расходов при планировании производства

1.4 Модель оптимизации инвестирования и потребления на рынке

с одним рискованным активом

2 Разработка аналитических методов исследования

2.1 Необходимые сведения

2.1.1 Некоторые сведения из стохастического анализа

2.1.2 Симметричный интеграл и дифференциальные уравнения с симметричным интегралом

2.1.3 О детерминированной задаче оптимального управления

2.1.4 О детерминированной задаче оптимального импульсного управления

2.2 Потраекторно-детерминированный подход к исследованию стохастических моделей управляемых систем с управляемым сносом

2.2.1 Сведение стохастической задачи к классической детерминированной задаче оптимального управления

2.2.2 Модификация детерминированной задачи и неупрежда-емость решений

2.2.3 Некоторые обобщения

2.2.4 О стохастическом подходе к задачам с потраекторным дифференциальным ограничением

2.3 Потраекторно-детерминированный подход к исследованию стохастических моделей с управляемой диффузией

2.3.1 Сведение стохастической задачи к потраекторно-детерминированной задаче оптимального импульсного управления

2.3.2 Модификация детерминированной задачи и неупрежда-емость решений

2.3.3 Обобщение результатов

3 Численно-аналитическое решение и моделирование тестовых примеров

3.1 Моделирование траекторий винеровского процесса

3.2 Численно-аналитическое решение задачи моделирования управления намоткой провода

3.3 Численно-аналитическое решение задачи моделирования планирования производства

3.4 Численно-аналитическое решение задачи моделирования оптимального инвестирования и потребления

Заключение

Список литературы

Приложение. Листинги программ

127

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Потраекторно-детерминированный подход к исследованию стохастических моделей управляемых систем»

Введение

Актуальность темы

В различных сферах человеческой деятельности встречаются физические, химические, биологические, экономические и иные системы, состояние которых изменяется со временем. При моделировании таких процессов, для описания динамики изменения состояния применяют дифференциальные уравнения. Обычно в роли таковых выступают обыкновенные дифференциальные уравнения, которые могут описать гладкое, либо кусочно-гладкое движение. Существует класс систем, которые могут быть подвержены управляемому внешнему воздействию, изменяющему состояние системы и характер ее эволюции. Наличие возможности воздействия порождает естественную задачу выбора такого воздействия, которое бы давало наилучший в каком-либо смысле результат. Иными словами, возникает задача оптимального управления. Решение задачи оптимального управления позволяет максимизировать извлекаемую из поведения системы выгоду или минимизировать возможные потери, например, максимизировать прибыль финансовой организации, максимизировать пройденное расстояние средством передвижения, минимизировать энергетические либо финансовые затраты предприятия, минимизировать время достижения объектом конечной цели и так далее.

В реальности, однако, часто встречаются системы, динамика эволюции которых зависит от случайных факторов и носит негладкий характер, поэтому плохо поддается описанию обыкновенными дифференциальными уравнениями, либо не поддаются таковому вообще. Кроме того, и величина приносимого выигрыша от управления является случайной величиной. В большинстве случаев зависимость от случайных факторов носит характер «шума» и такие системы называют «зашумленными». Зашумлеппые системы имеют негладкие траектории фазовых координат, которые зачастую могут быть описаны стохастическими дифференциальными уравнениями. Так как будущее пове-

дение стохастической системы заранее не известно, то и приносимый эффект носит вероятностный характер. Поэтому в задаче стохастического оптимального управления целыо ставится поиск управляющего воздействия, которое минимизирует среднее значение потерь ([4, 8]).

В настоящей работе исследуются модели, описывающие стохастические управляемые системы и методы достижения оптимума в этих моделях.

Несмотря на то, что термин теория оптимального управления возник в конце 50-х, задачи, имеющие ту же природу, начали исследоваться намного раньше. Вариационное исчисление, которое считается предшественником теории оптимального управления, возникло в XVII в. В 1685 г. Ньютон исследовал задачу движения тела вращения в «редкой среде» с наименьшим сопротивлением (аэродинамическая задача Ньютона). Задача о брахистохроне, которая была поставлена Бернулли в 1696 г., решена Лейбницом, Ньютоном и самим Бернулли. Сам термин вариационное исчисление был введен Эйлером в 1756 г. В дальнейшем исследованием задачи вариационного исчисления занимались такие ученые, как Эйлер, Лагранж, Гамильтон, Якоби, Вейерштрасс, Мейер, Больца. Считается, что к середине XX в. классическая теория вариационного исчисления была завершена [45].

Современная теория оптимального управления возникла после Второй мировой войны. В это время две независимые группы исследователей в США и СССР во главе с Р. Беллманом и Л.С. Понтрягином начали интенсивные исследования в области дифференциальных игр и теории управления. В результате были получены два метода решения задач оптимального управления: метод динамического программирования Беллмаиа [5] и принцип максимума Понтриягина [27].

Задачи, содержащие вероятностные составляющие, начали исследоваться еще на ранних стадиях развития современной теории оптимального управления. Возможно, первой работой, посвященной задаче стохастического управ-

ления, является статья Беллмана [32]. Позже принцип динамического программирования был перенесен на задачи со стохастическими дифференциальными уравнениями (в дальнейшем просто СДУ) Ито [57].

Долгое время динамическое программирование оставалось доминирующим инструментом в исследовании задач оптимального управления стохастическими дифференциальными уравнениями. К ранним результатам по переносу принципа максимума на стохастические задачи относятся работы В.И. Аркина, И.В. Евстигнеева [2], В.И. Аркина, М.Т. Саксонова [3], H.J. Kushner [56], A. Bensoussan [33], U.G. Haussmann [47]. Одним из недостатков указанных работ было то, что они были применимы только для невырож-дающихся коэффициентов диффузии. В 1991 г. в работе S. Peng [64] удалось получить принцип максимума для задач с вырождающейся управляемой диффузией. Результат Peng был дополнен и улучшен в работах X.Y. Zhou [78], A. Cadenillas, I. Karatzas [38].

Оба представленных подхода содержат задачи, которые часто оказываются довольно сложными для разрешения. В методе динамического программирования таковым является уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана, которое зачастую не имеет классического гладкого решения. Более того, функция выигрыша может оказаться недифференцируемой функцией. В принципе максимума сложность вызывает система прямых и обратных стохастических дифференциальных уравнений.

Однако, существует еще один, к настоящему моменту мало изученный, подход к решению задач стохастического оптимального управления. Основной идеей этого подхода является сведение стохастической задачи к детерминированной задаче оптимального управления. По всей видимости впервые данный подход был представлен в работе R. J.B. Wets [75], в которой исследовалась взаимосвязь детерминированной и стохастической задачами оптимизации. В работе R.Т. Rockafellar, R. J.B. Wets [67] уделено особое внима-

пие основной сложности при применении детерминированного подхода, которая заключается в необходимости обеспечения неупреждаемости решений стохастической задачи. Предложен метод, позволяющий при помощи множителей Лагранжа строить неупреждающие решения. Позже исследования в этом направлении были продолжены в работе М.Н.А. Davis [42], в которой исследованы линейные задачи с квадратичным функционалом качества. В работе М.Н.А. Davis, G. Bnrstein [41] эти результаты были распространены на случай нелинейных уравнений и общего вида функционала качества, а в М.Н.А. Davis, I. Karatzas [40] рассмотрены задачи оптимальной остановки. Несмотря на все достоинства метода, изложенного в работе [41], применение этого метода вызывает некоторые сложности. Связано это в основном с тем, что для перехода в задаче управления к дифференциальному ограничению в виде обыкновенного дифференциального уравнения (в дальнейшем ОДУ), используется предложенное в [62] разложение решения СДУ. Для анализа детерминированной оптимизационной задачи используется метод динамического программирования, и в ходе доказательства основных утверждений авторам приходится сталкиваться с уравнением Гамильтона-Якоби-Беллмана, для решения которого, приходится пользоваться результатами работ [76] и [72] по приближению решений СДУ решениями ОДУ, а также стохастический метод характеристик [55], которые приводят к довольно сложным вычислениям и сильным ограничениям.

В настоящее время существуют формулы для явного представления решения СДУ [26, 25], которые позволяют провести более простое разложение, чем упомянутое выше. При этом явная формула позволяет проделывать это и в тех задачах, в которых управляющая функция оказывает воздействие и па коэффициент диффузии. Кроме того, накладываемые на коэффициенты уравнения ограничения оказываются существенно ослабленными.

Другим преимуществом разложения решения при помощи указанных вы-

iue формул является относительная простота моделирования решении СДУ, которая обусловлена отсутствием необходимости численного решения стохастических дифференциальных уравнений.

Проблемам численного интегрирования стохастичеких дифференциальных уравнений и задачам моделирования решений стохастических дифференциальных уравнений посвящены работы Т.А. Авериной, С.С. Артемьева [1], Д.Ф. Кузнецова [22], Г.Н. Мильштейна [24], P.E. Kloeden, Е. Platen [54] и других ученых.

Как известно из [22], при численном интегрировании стохастических дифференциальных уравнений часто возникает проблема аппроксимации систем повторных стохастических интегралов Ито, разрешение которой является сложной задачей как с теоретической, так и с вычислительной точки зрения.

Таким образом, приведенные выше доводы позволяют судить о необходимости и возможности разработки новых методов исследования стохастических моделей управляемых процессов и решения задач стохастического оптимального управления.

Степень ее разработанности

Потраекторно-детерминированный подход к исследованию моделей стохастических управляемых систем был проработан в некоторой степени только для моделей с управляемым сносом. Применение разработанных ранее методов на практике вызывало определенные сложности. В данной работе рассмотрены потраекторпо-детерминированные методы исследования моделей, которые имеют управляемый снос и управляемую диффузию.

Цель работы

Целью настоящей работы является разработка методов моделирования и исследования оптимальных траекторий стохастических управляемых систем, динамика которых описываются одномерными стохастическими дифферен-

циальпыми уравнениями.

Поставленная цель достигается в результате решения следующих задач:

1. Выявление структуры решения для одномерных стохастических дифференциальных уравнений с управлением, воздействующим только па коэффициент сноса, и разработка нового аналитического потраекторио-детерминированного метода исследования стохастических моделей управления динамическими системами, основанного на этом разложении.

2. Разработка метода, позволяющего свести нелинейные стохастические модели к линейным и выявление класса управляемых моделей, для которых такое сведение осуществимо.

3. Выявление структуры решения для одномерных стохастических дифференциальных уравнений с управлением, которое, кроме коэффициента сноса, также оказывает линейное воздействие на диффузию. Разработка нового аналитического потраекторно-детерминированного метода исследования стохастических моделей управления динамическими системами, основанного на этом разложении.

4. Разработка численно-аналитического способа построения оптимальных траекторий и моделирования в стохастических моделях управления системами, которые описываются одномерными стохастическими дифференциальными уравнениями.

Научная новизна

1. Разработан новый аналитический метод исследования одномерных стохастических моделей с управляемым коэффициентом сноса, основанный на построении эквивалентной потраекторио-детерминированной модели. Представлен метод модификации потраекторио-детерминированной модели, который гарантирует неупреждаемость оптимальных траекторий.

2. Представлен новый аналитический метод, позволяющий свести нелинейные стохастические модели к линейным моделям в некотором классе од-

номерных стохастических управляемых систем.

3. Разработан новый аналитический метод исследования одномерных стохастических моделей систем с управляемым сносом и диффузией, основанный на построении эквивалентной потраекторно-детерминированной модели импульсной системы. Предложен метод модификации потраекторно-детерминированной модели, который гарантирует неуиреждаемость оптимальных траекторий.

4. Представлен новый численно-аналитический способ построения решений и моделирования процессов оптимального управления, в которых динамика процесса описывается одномерным стохастическим дифференциальным уравнением.

Теоретическая и практическая значимость

Представленная в работе структура решений фазовых траекторий стохастических моделей управляемых систем позволяет избавиться от необходимости вычислять стохастические интегралы и строить численные решения стохастических дифференциальных уравнений, тем самым упростить моделирование.

Возможность исследования детерминированных моделей управляемых систем вместо стохастических моделей существенно упрощает задачу оптимизации в моделируемых системах, так как детерминированные модели имеют более развитый набор методов построения оптимальных траекторий.

Возможность сведения нелинейных стохастических моделей к линейным или, как частный случай, к линейно-квадратичным, а также выделение класса управляемых моделей, для которых это осуществимо, позволяет упростить исследование таких моделей.

Методология и методы исследования

Аналитические исследования проводились с использованием методов теории случайных процессов, обыкновенных дифференциальных уравнений, тео-

рий стохастического и детерминированного оптимального управления, теории функций действительной переменной, функционального анализа и вычислительной математики. Для реализации программного комплекса, производящего численный расчет траекторий моделируемых процессов, использовался пакет Ма^аЬ.

Положения, выносимые на защиту

1. Новый аналитический потраекторно-детерминироваиный метод исследования стохастических моделей одномерных динамических управляемых систем, основанный па выявленной структуре решения стохастических дифференциальных уравнений, в которых управление воздействует только на коэффициент сноса.

2. Новый аналитический метод, позволяющий свести нелинейные модели к линейным в некотором классе стохастических моделей управляемых систем.

3. Новый аналитический гютраекторно-детерминированный метод исследования стохастических моделей одномерных динамических управляемых систем, основанный па выявленной структуре решения стохастических дифференциальных уравнений с управлением, которое, кроме коэффициента сноса, также оказывает линейное воздействие на коэффициент диффузии.

4. Численно-аналитический способ моделирования и построения оптимальных траекторий в стохастических моделях, которые описываются одномерными стохастическими дифференциальными уравнениями с управляемым сносом и линейно управляемой диффузией.

Степень достоверности и апробация результатов

Основные результаты диссертации были представлены и обсуждались па научных семинарах и конференциях, соответствующих профилю диссертации. В частности, были сделаны доклады:

1. на международных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (г. Москва, 2008, 2010, 2011, 2013 гг.);

2. на Большом семинаре кафедры теории вероятностей МГУ, руководитель — академик РАН, профессор Ширяев А. Н. (г. Москва, 2012, 2014 гг.);

3. на III Международной конференции «Оптимизация и приложения» (ОПТИМА-2012) (Кошта-да-Капарика, Португалия, 2012 г.);

4. на семинаре в Институте математики с ВЦ УНЦ РАН, руководитель — профессор Жибер A.B. (г. Уфа, 2014 г.);

5. на семинарах по теории вероятностей и случайным процессам кафедры математики УГАТУ, руководитель — профессор Насыров Ф. С. (г. Уфа, 20082014 гг.).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [10]—[19], [49], [50] в том числе 2 публикации в изданиях, рекомендованных ВАК, и 10 публикаций в других изданиях.

Структура, объем и краткое содержание диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, 3 глав, разбитых на параграфы, 12 рисунков, заключения, библиографического списка литературы, включающего 78 работы отечественных и зарубежных авторов, 1 приложения. Общий объем работы составляет 135 страницы.

Введение. Во введении обосновывается актуальность работы, сформулированы ее цели и задачи. Кроме того, дан краткий обзор по тематике вопроса, сформулированы основные результаты, полученные в работе, излагается описание диссертации по главам.

Глава 1. Постановка задачи. В первой главе приведены описание исследуемых в работе моделей и формулировка общей постановки задачи; сформулированы тестовые примеры, на которых в главе 3 апробированы развиваемые в основной части работы методы исследования.

Общая постановка задачи включает в себя формулировку стохастической задачи оптимального управления, которая заключается минимизации фуик-

ционала

Г f{t, Xt,Ut)dt + g(XT) .-/о

J (и) = Е

по множеству неупреждающих функций при условии

dXt = b(t, Хи UtjdL + <т(£, Хи ut)dWt, = х0.

Сформулированы определения допустимости и оптимальности управления. Приведены сходства и различия с детерминированными задачами оптимального управления и пояснение требования неуиреждаемости управляющих функций.

Первый из тестовых примеров представляет из себя модель процесса оптимальной намотки провода на катушку [4, 20]. Одним из основных требований к этому процессу является постоянство линейной скорости движения провода, которое необходимо для предотвращения провисания и обрыва провода. Регулирование скорости намотки производится входным напряжением электродвигателя (управляющая величина), для которого зависимость вращающего момента от входного напряжения линейна. В процессе намотки увеличиваются момент инерции и радиус катушки. Угловая скорость (управляемая величина) должна изменяться таким образом, чтобы сохранялась линейная скорость движения кабеля. При этом на систему воздействуют внешние силы, имеющие случайный природу и характер гауссовского шума, что отражается в колебании значения силы трения вращения.

В работе [4] показано, что состояние системы описывается стохастическим дифференциальным уравнением

dXt = {-^g-\t)Xt + xut)dt + ag-\t)XtdWu

в котором g(t) — момент инерции катушки; ф — коэффициент трения вращения; к — коэффициент пропорциональности между вращающим моментом двигателя и его входным напряжением; а — некоторая константа; Xt =

g(t)(u}(t) — cjn(L)) характеризует отклонение угловой скорости от номинального значения и является фазовой координатой; щ = U(t) — Un(t) — отклонение напряжения от номинального значения, управляющая функция. Качество управления оценивается при помощи функционала

где р — положительная константа. Первое слагаемое в последнем интеграле пропорционально кинетической энергии вращающейся катушки, а второе — электрической энергии, расходуемой электродвигателем.

В качестве второго примера рассматривается система, которая описывает процесс оптимизации расходов предприятия при планировании производства [70]. Рассматривается предприятие, выпускающее большие объемы однородной продукции и использующее систему производство-хранение для управления колебанием потребительского спроса. Такая система состоит из завода изготовителя и склада, в котором хранится готовая продукция. Завод имеет оптимальный темп производства, отклонение от которого ведет к финансовым потерям. Кроме того, хранение продукции на складе тоже ведет к затратам, но предприятие имеет желание хранить некоторый запас продукции для того, чтобы компенсировать внезапно возрастающий уровень спроса.

Для описания уровня запасов используется стохастическое дифференциальное уравнение [70]:

где Х^ — уровень запасов, фазовая координата; £ — уровень спроса, а £/г — темп производства, управляющая функция. Шум в правой части уравнения может отражать как колебания уровня спроса, так и такие явления, как порча или возврат товара. Качество управления оценивается при помощи функционала

dXt = (Ut — S)dt + (T(IWU Xq = xq,

I

■т

J = E

(c{Ut - uf + h(Xt - x)2) dt + BXT min

где с и h — некоторые положительные константы. Смысл целевого функционала заключается в том, что мы стремимся удержать уровень запасов как можно ближе к желаемому значению а; и темп производства возможно ближе к значению TL. Квадратичные члены h(Xt — х)2 и c(U — и)2 задают потери возникающие при отклонении от целевых значений.

Третий пример описывает оптимизацию процессов инвестирования и потребления на рынке с одним рисковым активом [53]. В начальный момент времени инвестор, обладая некоторым состоянием, хочет инвестировать его. Кроме того, инвестор имеет желание потреблять часть денег в течении некоторого планируемого промежутка времени (времени жизни) и иметь к концу планируемого периода возможно большую сумму денег (оставить наследство).

В расположении инвестора имеются два актива: безрисковый, изменение стоимости которого Pq описывается обыкновенным дифференциальным уравнением

dP0{t) = r(t)P0{t)dt, Р0(0) = Ро,

в котором r(t) — процентная ставка, и рисковый, стоимость Pi которого изменяется согласно модели, предложенной Мертоном [59], и подчияется стохастическому дифференциальному уравнению

dPx{t) = P^b^dt + a(t)P!(t)dWt, Pi(0) = Pl > 0,

где b(t) — коэффициент роста, a(t) — коэффициент волотильности, который отражает колебания стоимости рискового актива. Пусть инвестор вкладывает долю своих средств, равную щ, в рисковый актив, а оставшуюся долю, равную 1 — 7Lt, в безрисковый актив. В этом случае состояние инвестора Xt описывается стохастическим дифференциальным уравнением [46]

dXt = r(t)Xtdt + Xtut{b{t) - r{t)) - Ctdt + utXtcr(t)dWt,

в котором Ct — скорость потребления. Задача инвестора состоит в том, чтобы распределить свое состояние по двум видам активов и выбрать скорость

потребления так, чтобы максимизировать функционал

гТ

,7 = Е

е ^(СО^ + е-^рГг)

—> тах,

который отражает полезность от потребления в течении жизни и оставленного наследства.

Глава 2. Разработка аналитических методов исследования. Во

второй главе приведены необходимые сведения и основные теоретические результаты данной работы.

В §2.1 изложены основные сведения, на которые опирается построение теоретического аппарата главы 2. Приводятся определения виперовского процесса, семимартингала относительно заданного потока, определения согласованности процесса с потоком и неупреждаемости относительно потока. Приведены формулы, связывающие стохастические интегралы Ито и Стратонови-ча. Приведена формула Ито в форме с интегралом Стратоновича для сас1^ семимартингалов. Определены понятия стохастического дифференциального уравнения и решения задачи Коши. Для последней сформулирована теорема существования и единственности. Кроме того, вводится определение симметричного интеграла, приводятся условия его существования, а так же аналог формулы Ито для симметричных интегралов.

Сформулирована детерминированная задача классического оптимального управления. Приведена теорема существования и единственности задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью. Определены понятия допустимости и оптимальности управляющего процесса. В форме теоремы сформулирован принцип максимума Понтрягина.

Приведена постановка детерминированной задачи оптимального импульсного управления и связанные с ней основные понятия. В виде теоремы приведена формулировка принципа максимума для оптимальных импульсных процессов.

В §2.2 приведены основные теоретические результаты, касающиеся по-

строения детерминированных задач оптимального управления, которые эквивалентны стохастическим задачам управления с управлением, сконцентрированным на коэффициенте сноса.

Рассматривается задача управления процессом, заданным одномерным стохастическим дифференциальным уравнением в форме Стратоновича

dXt = b{t, Xt, ut)dt + a{t, Xt) о dWt, X0 = x0, (1)

где Xt — фазовая координата, щ — управляющая функция, одномерный стохастический процесс. Целью управления является минимизация функционала потерь

Ед{Хт) -> inf (2)

ueN

по множеству всех неупреждающих процессов Л/".

Теорема 1. Пусть ж, и) = b(t, х, и) +1a'x(t, x)cr(£, х) и a(t, х) — функции удовлетворяющие условиями Липшица и линейного роста, т.е.

\b*{t,x,u)\ + \a(t,x)\^C(l + \x\),

|&*(£,х, и) - b*(t, у, u)| + |o-(t, ж) - a(t, у)I ^ СIж - у|,

d/u ж, у G R, £ G [0,Т]. Пусть, кроме того, а дважды непрерывно дифференцируема и отделена от нуля, то есть существует константа С > О такая, что |cr(i,x)| > С. Тогда решение стохастического дифференциального уравнения

dXt = b(t, Xt, ut)dt + о dWt,

с начальным условием Xq = xo имеет вид

Xt = yt + Wt),

где Ф(t,v) есть произвольное решение параметризованного ОДУ

a yt является решением потраекторной задачи Когии для ОДУ

dyt = bjt, yt + Wt),ut) - yt + Wt) dt ait^it,yt + Wt)) ' U

2/o = xq).

Здесь x) — функция обратная к Ф(t,v) по v.

Теорема 1 предоставляет явную формулу для решения уравнения (1), позволяя заменить дифференциально ограничение, заданное этим уравнением на ограничение, задаваемое обыкновенным дифференциальным уравнением (3), и тем самым получить эквивалентную задачу

dyt bit, Ф(г, yt + wt),ut) - Ф£(*, yt + wt) .

dt ait^Xt,yt + Wt))

у0 = ф-\0,х0).1 (4)

Е</(м) = Е<?(Ф(Т, уТ + I¥т)) -> т/ . (5)

Лемма 1. Пусть т£не,д ./(и) ограничен снизу и достигается на некоторой измеримой функции и. Тогда справедливо равенство

= ^и). (6)

иеЛ и€Л

Лемма 1 утверждает, что минимизация среднего значения функционала равносильна усреднению потраекторного минимума в том случае, когда минимизация проводится по множеству всех измеримых функций Л = {и(Ь, ио) : [0, Т] х О, —>- К}. Теорема 1 совместно с леммой 1 позволяет записать потраекторно-детерминированную задачу оптимального управления

д^Т,ут + \¥т))^Ы (7)

и£Л

при условии

dyt _ b(LMt,yt + Wtlut) - Ф'^ш + Wt)t уо = ф_1(01Жо)5

dt aitM^Vt + Wt))

решение которой на неупреждающих функциях совпадает с решением задачи (1)"(2).

Для достижения неупреждаемости решений задачи (7)-(8) строится модифицированная задача оптимального управления, которая имеет вид

гр

д(Ф{Т,-ут + УУт))+ [ (9)

Jo иеЛ

^ = ЗЛ) = Ф-1(0,х0). (Ю)

Здесь

+ Щ)

Приведена явная формула для множителя А(£):

дВ

А(*) = Ф(г) —(¿,м)

и доказано, что при таком выборе множителя решение задачи (9)—(10) является неупреждающим.

В пункте 2.2.3 параграфа 2.2 приведены обобщения результатов для задач, в которых функционал качества имеет интегральное слагаемое; задачи, в которых источником шума выступает не винеровский процесс, а произвольный семимартингал; детерминированные задачи, в которых нерегулярность в правой части уравнения обусловлена наличием слагаемого, представляющего из себя симметричный интеграл по некоторой непрерывной функции неограниченной вариации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Исмагилов, Нияз Салаватович, 2014 год

Список литературы

[1] Аверина Т. А. Некоторые вопросы построения и использования численных методов для решения систем стохастических дифференциальных уравнений / Т. А. Аверина, С.С. Артемьев. — Новосибирск: Изд. Вычислительного центра СО АН СССР, 1987. — 33 с.

[2] Аркин В.И. Вероятностные модели управления и экономической динамики / В. И. Аркин, И. В. Евстигнеев. — М.:Наука, 1979. — 176 с.

[3] Аркин В.И. Необходимые условия оптимальности для стохастических дифференциальных уравнений / В. И. Аркин, М. Т. Саксонов // Доклады АН СССР. - 1979. - Т. 224. С. 11-15.

[4] Афанасьев, В. Н. Математическая теория конструирования систем управления / В. Н. Афанасьев, В. Б. Колмановский, В. Р. Носов. — М.: Высшая Школа, 2003. - 614 с.

[5] Беллман, Р. Динамическое программирование / Р. Беллман. — Издательство иностранной литературы: Москва, 1960. — 400 с.

[6] Булинский, А. В. Теория случайных процессов / А. В. Булинский,

A. Н. Ширяев. — М.: Физматлит, 2005. — 408 с.

[7] Васильев, Ф.П. Методы оптимизации / Ф.П. Васильев. — М.: Факториал Пресс, 2002. 824 с.

[8] Егоров, А. И. Основы теории управления / А. И. Егоров. — М.: Физматлит, 2004. - 504 с.

[9] Дыхта, В. А. Оптимальное импульсное управление с приложениями /

B. А. Дыхта, О. Н. Самсонюк — М.: Физматлит, 2000. — 256 с.

[10] Исмагилов, Н. С. О детерминированном методе оптимального решения стохастической модели инвестирования и потребления / Н. С. Исмагилов // "Современные проблемы теории функций и их приложения". Материалы 17-й междунар. Саратовской зимней школы. — Научная книга Саратов, 2014. - С. 108-110.

[11] Исмагилов, Н. С. О детерминированном подходе к задаче стохастического оптимального управления / Н. С. Исмагилов, Ф. С. Насыров // Вестник УГАТУ. - 2013. - Т. 17, № 5. - С. 38-43.

[12] Исмагилов, Н. С. О задаче потраекторного оптимального управления процессами диффузионного типа / Н. С. Исмагилов // Материалы Международного молодежного научного форума «JIOMOHOCOB-2012» / Отв. ред. А.И. Андреев, A.B. Андриянов, Е.А. Антипов, М.В. Чистякова. [Электронный ресурс] — М.: МАКС Пресс, 2012. — 1 электрон, опт. диск (DVD-ROM); 12 см.

[13] Исмагилов Н. С. О новом методе решения потраекторных задач стохастического оптимального управления / Н. С. Исмагилов // XII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (осенняя сессия) (Сочи, 1-8 октября 2011 г.), Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2011. — 19, № 5 - С. 776-777.

[14] Исмагилов, Н. С. О решении одного класса одномерных дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа с возмущенными коэффициентами / Н. С. Исмагилов // Материалы докладов XV Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» / Отв. ред. И.А. Алешковский, П.Н. Костылев, А.И. Андреев. [Электронный ресурс] — М.: Издательство МГУ; СП МЫСЛЬ, 2008. — 1 электрон, опт. диск (CD-ROM); 12 см.

[15] Исмагилов, Н.С. Об одном детерминированном методе в модели стохастического оптимального управления производством / Н. С. Исмагилов // Труды 45-ii Международной молодежной школы-конференции, посвященной 75-летию В.И. Бердышева. — Екатеринбург: ИММ УрО РАН, — 2014 г. - С. 170-171.

[16] Исмагилов, Н. С. Об одном классе обратных стохастических дифференциальных уравнений / Н. С. Исмагилов // Материалы Международного молодежного научного форума «J1OMOHOCOB-2013» / Отв. ред. А.И. Андреев, A.B. Андриянов, Е.А. Антипов, К.К. Андреев, М.В. Чистякова. [Электронный ресурс] — М.: МАКС Пресс, 2013. — 1 электрон, опт. диск (DVD-ROM); 12 см.

[17] Исмагилов, Н.С. Одномерные стохастические дифференциальные уравнения: потраекторный подход / М.А. Абдуллин, Н.С. Исмагилов, Ф. С. Насыров // Уфимский математический журнал. — 2013. — Т. 5, № 3 — С. 3-16.

[18] Исмагилов, Н. С. Оптимальное управление стохастическим дифференциальным уравнением и принцип максимума Поптрягина / Н. С. Исмагилов // Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2010» / Отв. ред. И.А. Алешковский, П.Н. Косты-лев, А.И. Андреев, A.B. Андриянов. [Электронный ресурс] — М.: МАКС Пресс, 2010. — 1 электрон, опт. диск (CD-ROM); 12 см.

[19] Исмагилов, Н. С. Потраекторное оптимальное управление стохастическими дифференциальными уравнениями / Н. С. Исмагилов // Материалы Международного молодежного научного форума "JIOMOHOCOB-2011"/ Отв. ред. А.И. Андреев, A.B. Андриянов, Е.А. Антипов, М.В. Чистякова. [Электронный ресурс] — М.: МАКС Пресс, 2011. — 1 электрон, опт. диск (DVD-ROM); 12 см.

[20] Квакернаак, X. Линейные оптимальные системы управления / X. Ква-кернаал, Р. Сиван. — М.: Мир, 1977. — 650 с.

[21] Крылов, Н. В. Управляемые процессы диффузионного типа / Н.В. Крылов. - М.: Наука, 1977. - 400 с.

[22] Кузнецов Д. Ф. Стохастические дифференциальные уравнения: теория и практика численного решения / Д. Ф. Кузнецов. — СПб: Изд-во Политехи. ун-та, 2009. — 800 с.

[23] Миллер, Б. М. Оптимизация динамических систем с импульсными управлениями / Б. М. Миллер, Е. Я. Рубинович — М.: Наука, 2005. — 429 с.

[24] Милыптейн Г.Н. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений / Г.Н. Милыптейн — Свердловск: Изд-во Уральского ун-та, 1988. - 225 с.

[25] Насыров, Ф.С. Локальные времена, симметричные интегралы и стохастический анализ / Ф.С. Насыров. — М.: Физматлит, 2011. — 212 с.

[26] Насыров, Ф.С. Симметричные интегралы и стохастический анализ / Ф. С. Насыров // Теория вероятностей и ее применение. — 2006. — Т. 51, № 3. - С.496 517.

[27] Понтрягин, Л. С. Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. — М.:Наука, 1983. - 392 с.

[28] Флеминг, У. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами / У. Флеминг, Р. Ришел. — М: Мир, 1978. — 316 с.

[29] Akella, R. Optimal control of production rate in a failure-prone manufacturing system / R. Akella, P. R. Kumar // IEEE Ttrans. Auto. Control. - 1986. — Vol. 31. P. 116-126.

[30] Arutyunov, A.V. On Constrained Impulsive Control Problems / A.V. Arutyunov, D.Yu. Karamzin, F. L. Pereira // Journal of Mathematical sciences. - 2010. - Vol.156, № 6. - P. 654-688.

[31] Arutyunov, A. V. Pontryagin's maximum principle for constrained impulsive control problems / A. V. Arutyunov, D. Yu. Karamzin, F. Pereira // Nonlinear Analysis. - 2012. - Vol.75, № 3. - P. 1045-1057.

[32] Bellman, R. Dynamic programming and stochastic control process / R. Bellman // Inform. & Control, 1958. - Vol. 1. - P. 228-239.

[33] Bensoussan, A. Stochastic maximum principle for distributed parameter system / A. Bensoussan //J. Franklin Inst. - 1983. — Vol. 315. — P. 387-406.

[34] Bensoussan, A. Stochastic production planning with production constraints / A. Bensoussan, S. P. Sethi, R. Vickson, N. Derzko // SIAM J. Control & Optim. - 1984. - Vol.22. - P. 920-935.

[35] Bismut, J. M. Linear quadratic optimal stochastic control with random coefficients //SIAM Journal on Control and Optimization. — 1976. — Vol. 14. - № 3. - P. 419-444.

[36] Black, F. The pricing of options and corporate liabilities / F. Black, M.J. Scholes // Journal of Political Economy. - 1973. - Vol.81. - P. 637654.

[37] Breeden, D.T. An internal asset pricing model with stochastic consumption and investment opportunities / D.T. Breeden //J. Finn. Econ. — 1979. — Vol.7. - P. 265-296.

[38] Cadenillas, A. The stochastic maximum principle for linear convex optimal control with random coefficients/ A. Cadenillas, I. Karatzas // SIAM J. Control k Optim. - 1995. - Vol. 33. - P. 590-624.

[39] Cox, J. C. Optimal consumption and portfolio policies whet asset prices follow a diffusion process / J.C. Cox, C.F. Huang //J. Econ. Theory. — 1989. — Vol.49. - P. 33-83.

[40] Davis M. H. A. A deterministic approach to optimal stopping / M. H. A. Davis, I. Karatzas // Probability, Statistics and Optimisation (ed. FP Kelly). — John Wiley k Sons Ltd: NewYork Chichester - 1994. - P. 455-466.

[41] Davis, M.H.A. A deterministic approach to stochastic optimal control, with application to anticipative control / M. H. A. Davis, G. Burstein // Stochastics and Stochastics Reports. - 1992. - Vol. 40. - P. 203-256.

[42] Davis, M.H.A. Anticipative LQG Control / M.H.A. Davis // IMA Journal Control & Inf. - 1989. - Vol.6. - P. 259-265.

[43] Fleming, W. H. An optimal investment/consumption model with borrowing constraints / W. H. Fleming, T. Zariphopoulou // Math. Oper. Res. — 1991.

- Vol.16. - P. 802-822.

[44] Fleming, W. H. An optimal stochastic production planning problem with randomly fluctuation demand / W. H. Fleming, S. P. Sethi, H.M. Soner // SIAM J. Control & Optim. - 1987. - Vol.25. - P. 1494-1502.

[45] Goldstine, H. H. A history of the calculus of variations from the 17th through the 19th century / H. H. Goldstine. — Springer-Verlag: New York, Heidelberg, Berlin, 1980. - 410 p.

[46] Harrison, J. M. Martingales, stochastic integrals, and continuous trading / J. M. Harrison, S. R. Pliska // Stochastic Process. Appl. — 1981. — Vol.11. — P. 215-260.

[47] Haussmann, U.G. A Stochastic Maximum Principle for Optimal Control of Diffusions / U.G. Haussmann // Pitman Research Notes in Math., No.151,

— Harlow:Longman Sci. & Tech. — 1986.

[48] Holt, С. С. Planning production, inventories and workforce / С. C. Holt, F. Modigliani, J.F. Muth, H.A. Simon. — Englewood Cliffs, New Jersey:Prentice-Hall, 1960. — 419 p.

[49] Ismagilov, N. On pathwise optimality for controlled diffusion type processes / N. Ismagilov // Abstracts of 11th International Workshop on Dynamical Systems and Applications. Ankara, Turkey, 26-29 June 2012, p. 15.

[50] Ismagilov, N. Pathwise optimal control of diffusion type processes / N. Ismagilov, F. Nasyrov // Сборник трудов III Международной конференции "Оптимизация и приложения"(ОПТИМА-2012). Costa da Caparica, Portugal, September 2012. — Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Вычислительный центр им. А.А.Дородницына РАН Москва, 2012. - С. 111-115.

[51] Karatzas, I. Brownian Motion and Stochastic Calculus / I. Karatzas, S.E. Shreve. — New YorkrSpringer, 1991. — 470 p.

[52] Karatzas, I. Explicit solution of a general consumption/investment problem / I. Karatzas, J. Lehoczky, S. P. Sethi, S. Shreve // Mathematics of operation research. - 1986. - Vol.11. - P. 261-294.

[53] Karatzas, I. Optimal portfolio and consumption decisions for a "small investor" on a finite horizon / I. Karatzas, J. Lehoczky, S. E. Shreve // SIAM J. Control & Optim. - 1987. - Vol.25. - P. 1157-1186.

[54] Kloeden, P. E. Numerical solution of stochastic differential equations / P. E. Kloeden, E. Platen. - New York:Springer-Verlag, 1995. - 632 p.

[55] Kunita, H. First order stochastic partial differential equations / H. Kunita // North-Holland Mathematical Library. - 1984. - Vol. 32. - P. 249-269.

[56] Kushner, H.J. Necessary conditions for continuous parameter stochastic optimization problems / H. J. Kushner // SIAM J. Control. — 1972. — Vol. 10.

- P. 550-565.

[57] Kushner, H.J. Optimal stochastic control / H.J. Kushner // IRE Trans. Auto. Control. - 1962. - Vol. 7, № 5. - P. 120-122.

[58] Merton, R. C. Lifetime portfolio selection problem under uncertainty: the continuous-time case / R. C. Merton // Review of Economics and Statistics.

- 1969. - Vol.51. - P. 247-257.

[59] Merton, R. C. Optimum consumption and portfolio rules in a continuous time model / R. C. Merton // Review of Economics and Statistics. — 1971. — Vol.3.

- P. 272-413.

[60] Modiglian,i F. Production planning over time and the nature of the expectation and planning horizon / F. Modigliani, F. Hohn // Econometrica.

- 1955. - Vol.23. - P. 46-66.

[61] Mordukhovich, B. S. Variational Analysis and Generalized differentiation / B. S. Mordukhovich. — Berlin-Heidelberg:Springer, 2006. — 579 p.

[62] Ocone, D. A generalized Ito-Ventzell formula. Application to a class of anticipating stochastic differential equations / D. Ocone, E. Pardoux // Ann. Inst. Henry Poincare. - 1989. - Vol.25. - P. 39-71.

[63] 0ksendal, B. Stochastic differential equations / B. 0ksendal. — Berlin, Heidelberg:Springer, 2003. — 360 p.

[64] Peng, S. A general stochstic maximum principle for optimal control problems / S. Peng // SIAM J. Control & Optim. - 1991. - Vol. 28. - P. 966-979.

[65] Protter, P. Stochastic Integration and Differential Equations / P. Protter. — Berlin: Springer, 2004. — 415 p.

[66] Richard, S. Optimal consumption, portfolio, and life insurance rules for uncertain lived individuals in a continuous time model / S. Richard //J. Finn. Econ. - 1975. - Vol.2. - R 187-203.

[67] Rockafellar, R. T. Nonanticipativity and L1 martingales in stochastic optimization problems / R. T. Rockafellar, R. J.B. Wets // Mathematical Programming Study. - 1973. - Vol.6. - P. 170-187.

[68] Samuelson, P. A. Lifetime portfolio selection by dynamic stochastic programming / P. A. Samuelson // Review of Economics and Statistics. — 1969. - Vol.51. - P. 239-246.

[69] Sethi, S. P. A note on Merton's "Optimum consumption and portfolio rules in continuous time model" / S. P. Sethi, M. Taksar // Journsl of Economic Theory. - Vol.46. - P. 395-401.

[70] Sethi, S. P. Optimal control theory: application to management science / S. P. Sethi, G. L. Thompson. - New York:Springer, 2005. - 504 p.

[71] Sethi, S. P. Simple models in stochastic production planning / S. P. Sethi, G. L. Thompson // Applied Stochastic Control in Econometrics and Management Science. - 1981. — P. 295-304.

[72] Sussman, H.J. On the gap between deterministic and stochastic differential equations / H.J. Sussman // Ann. Probability. - 1978. - Vol.6. — P. 19-41.

[73] Tang S. General linear quadratic optimal stochastic control problems with random coefficients: linear stochastic Hamilton systems and backward stochastic Riccati equations / S.Tang // SI AM journal on control and optimization. - 2003. - Vol. 42. - № 1. - P. 53-75.

[74] Thompson, G. L. Turnpike horizons for production planning / G.L. Thompson, S. P. Sethi // Management Science. - 1980. — Vol.26. — P. 229-241.

[75] Wets, R. J. B. On relation between stochastic and deterministic optimization / R. J.B. Wets // Control Theory, Numerical Methods and Computer Systems Modelling. Lecture Notes in Economics and Mathematicsl Systems 107. — Berlin:Springer, 1975. - P. 350 361.

[76] Wong, E. On the relation between ordinary and stochastic differential equations / E. Wong, M. Zakai // Intern. J. Engr. Sci. — 1965. — Vol.3.

- R 213-229.

[77] Yong, J. Stochastic controls: Hamiltonian systems and HJB equations / J. Yong, X. Y. Zhou. - New York:Springer, 1999. — 438 p.

[78] Zhou, X. Y. A unified treatment of maximum principle and dynamic programming in stochastic controls / X.Y. Zhou // Stoch. & Stoch. Rep.

- 1991. - Vol. 36. - P. 137-161.

Приложение. Листинги программ

Листинг программы моделирования винеровского процесса

function w = W(T,N)

clear w dt = T/N; w = zeros (1 ,N+1); for i=2:N+l

dw — normrnd (0 , dt) ; w( i ) = w( i —1) + dw;

end

W.m

Листинг программы моделирования намотки провода

clear ;

global psi rho kappa sigma rO C gO Cl xO;

T = 10; N = 500; dt = T/N; dtt = dt/2; t = (0:N)* dt; tt = (0:2*N)*dtt;

xO = 1.1; sigma = 0.5; psi = 0.005; rho — 6; kappa = 0.01; rO = 0.01; C = 0.0005; g0 = 0.8; Cl = 200/3;

W2 = W(T,4*N) ;

W1 = W2( 1:2: length (W2)) ;

slnl = buildSolution (T.N.Wl) ; sln2 = buildSolution (T,2*N,W2) ;

% calculating error XI = slnl.X;

X2 = sln2.X(l:2. length ( sln2 .X) ) ; dX = (X2-Xl)/(2"2-l) ;

ul = si n 1 u ;

u2 = si n2 . u ( 1: 2 length ( si n 2 . u ) ) ; du = (u2-ul)/(2"2-l),

lambdal = slnl.lambda,

Iambda2 = s I n 2 . lambda ( 1: 2 : len gt h ( s I n 2 . lambda ) ) ; dlambda = ( Iambda2-lambdal )/(2*2-1) ;

X = s In 2.X, u = sln2 . u ; lambda = sln2.lambda,

max(abs(dX) ) max(a bs(du ) ) max( a bs (dlambda ) )

% drawing trajectories xwidth = 800; y width = 350;

WFig = figure (1) ; set(WFig, 'Position plot (tt ,W1) ;

XFig = figure (2) ; set (XFig , 'Position plot(tt ,X) ;

uFig = figu re (3) ; set ( uFig , 'Position plot(tt , u) ;

I Fig = figu re (4) ; set ( I Fig , 'Position plot ( tt , lambda ) ;

cable.m

[0 0 xwidth y width ]) ;

',[00 xwidth ywidth ] ) ,

',[00 xwidth ywidth ] ) ,

',[00 xwidth ywidth ] ) ;

function sin = b u i I d S o I u t i o n (T, N,W)

global psi rho kappa sigma rO C gO Cl xO ;

dt = T/N; dtt = dt/2; t = (0:N)*dt; tt = (0:2*N)*dtt; w = W( 1:2: length (W) ) ;

P = PRungeKutta (tt , dtt ,0) ;

yO = log (x0)*g(0)/sigma ; y = YRungeKutta (t , dt , yO , P, W) ;

X = exp ( sigma *(y-fw) ,/g( t)) ; u = -kappa*P(l:2:length(P)),*X/rho;

Psi = PsiEuler(t ,dt ,0 ,X,P) ; lambda = Psi *kappa . * g(t). *X/sigma ;

sin = CableSolution; sin.X = X; ■>. si n . u = u ;

<■1 sin.lambda = lambda;

„>- end

buildSolution.m

function p = PRungeKutta (t , tau , pT)

n = length (t);

p = zeros(1, n) ;

p(n) = pT;

for j=n : —1:2

k = F(t(j),P(j));

p(j -1) = p(j) - ta u *F( t (j )—ta u / 2 p(j)—tau *k/2);

end

end

function f = F(t,p)

global psi rho kappa sigma;

f = kappa"2*p"2/rho + 2*psi*p/g(t) - r(t)*2/(g(t)"2) - sigma "2*p/(g(t)

"2);

end

PRungeKutta.m

function y = YRungeKutta (t , tau , yO , P, W) n = lengt h (t) ; y = zeros(1,n); y(l) = yO; for i=l:n—1

k = B(t(i),P(2*i),y(i) ,W(2 * i));

y(i+l) = y(i) + ta u *B(t( i )+ta u/2,P(2*i+l), W(2*i+1), y(i) + tau*k /2);

end

-function b = B(t , P, y. W)

global psi rho kappa sigma;

b =-psi/sigma - kappa "2*P*g( t )/( sigma * rho ) - sigma/(2*g( t ) ) + (y-|W)*r (t)»2/(g(t)*15);

■ ■ end

YRungeKutta.m

function Psi = PsiEuler (t , tau , PsiO ,X,P) global rho kappa sigma С Cl; n = length ( t) ; Psi = zeros (1 , n) ; Psi (n) = PsiO ; for i = n : —1:2

Psi(i-l) = Psi(i) + 2*tau*(r(t(i))/(g(t(i))*X(i))~2*sigma/g(t(i)) -Psi (i)*(2*C*Cl*r(t(i))-2/g(t(i)) + (kappa"2*P(2*i — 1) ) / rho ) );

end

)

ii end

PsiEuler. m

. classdef CableSolution properties W X u

lambda

•> end

- end

CableSolution.m

Листинг программы моделирования планирования производства

■ clear;

• global sigma В S T xO ;

• T = 10; N = 500;

-, sigma = 0.1; - xO = -0.5; В = 1; S = 0.5;

_ W4 = W(T,4*N) ; i W2 = W4(1:2: length (W4) ) ;

• dt = T/(2*N) ;

t = ( 0:2 * N)*dt ;

si n 1 = buildSolution (N ,W2) ; sln2 = buildSolution (2*N,W4) ;

XI = slnl .X;

X2 = sln2 ,X( 1:2: length (sln2 .X)) dX = (X2-X1)/(2"2-l);

ul = s I n 1 . u ;

u2 = s I n 2 . u (1:2: length ( sln2 . u)) du = (u2—ul)/(2-2 — 1);

11 = slnl . I ;

12 = s I n 2 . I (1:2: length (sln2 . I)) dl = (12—11)/(2"2 — l);

max( abs(dX)) max(abs(du )) max(a bs(dI))

xwidth = 800; ywidth = 450;

[0 0 xwidth ywidth ] ) ;

fig = figure (1) ; set ( fig , ' Position plot(t,sin2.X) ; hold all plot(t , sln2 . u) ; hold all plot (t ,W2) hold all plot (t , sln2 . I ) ;

hlegl = legend ( 'x_t' , 'u_t' , 'W_t' , ' I (t) ') ;

planning.m

function sin = buildSolution (N,W2) global sigma B S T xO ;

yO xO /sigma ; dt = T/N; t = (0:N)*dt;

y = yRungeKutta (t , dt , yO ,W2) ; X = sigma *(y4W2(l:2: length (W2))) ;

u = S + ((mu(t)-l).*X+(B-2*S)*sqrt(mu(t))) ,/(mu(t)+l)

PsiT = —B*sigma *X(N+1) ; Psi = PsiEuler(t ,dt , PsiT ,X) ;

lambda = Psi/sigma;

sin = PPIanningSIn ;

sin .X = X;

s 1 n . u - u ;

si n . 1 = lambda ;

end

buildSolution.m

function y — yRungeKutta (t , tau , yO ,W)

n = length (t) ;

y = zeros (1 ,n) ;

y(l) = yO;

for i=l:n—1

k = B( t ( i),y(i) ,W(2* i — 1)) ;

y(i+l) = y(i) + ta u *B( t ( i ) + tau /2 , y( i) + tau *k/2, W(2*i )) ;

end

end

function b = B(t ,y ,W)

global sigma B S;

m = mu(t) ;

b = ( (mu(t)-l)* sigma *( y-(W) +(B—2*S) * sq rt ( mu(t)) )/( (mu(t)+l)*sigma ) ;

end

yRungeKutta. m

function psi = PsiEu 1 er (t , tau , PsiT ,X)

global sigma;

n = length(t);

psi = zeros(1,n);

psi (n) = PsiT ;

for i = n: -1:2

psi (i —1) = psi(i) + tau *2* sigma *X( i ) ;

end

end

PsiEuler.m

classdef PPIanningSIn properties X

u I

end

end

PPlanningSln.nl

Листинг программы моделирования инвестирования и потребления

clear ;

- global Т г b sigma beta delta xO ;

T = 10; • N = 1000; dt = T/(2*N);

r = 1.1; b = 1.5; sigma = 1; beta = 1.06; delta = 0.44; xO = 0.1;

t = (0:2*N)*dt; E = ones (1 ,2*N+1) ;

gamma = 0.5 * ( ( b-r )/sigma ) " 2;

k = (beta - delta *( beta + r - gamma) + r*delta ~2)/((l-delta ) "2) e = exp( —k*(T*E-t)); p = (l-e)/k + e;

W2 = W (T,2*N) ;

W1 = W2( 1:2: length (W2) ) ;

sin2 = buildSolution (2*N,W2) ; X = sin2 .X; pi = X.* sln2 . u ; C = si n2 . C; I = s I n 2 . II ; L = s I n 2 . 12 ;

xwidth = 800; y width - 450;

figl = figure (1) ;

set(figl, 'Position', [0 0 xwidth ywidth]); plot(t,[X(:) pi(:) C(:)]);

hlegl = legend ( 'X_t u_t ', 'C_t ',' Location ' , 'Northwest'); fig2 = figure (2) ;

set ( fi g2 , 'Position', [0 0 xwidth ywidth-200]) ; plot (t ,W2) ;

fig3 = figure (3) ;

set ( fig3 , 'Position', [0 0 xwidth ywidth-200]) ,

- plot(t , I);

. fig4 = figu re (4) ; set ( f ig4 , 'Position', [0 0 xwidth ywidth -200]) ;

- plot(t,L);

InC.m

function sin = buildSolution(N ,W)

global T r b sigma beta delta xO;

dt = T/N; t = (0:N)*dt; E = ones (1 ,N+1);

gamma = 0.5*(( b-r)/sigma ) " 2;

k = (beta - delta *( beta + r - gamma) + r * d e 11 a " 2)/((1 - d e 11 a ) " 2) ; e = exp(—k*(T*E—t)); p = (l-e)/k + e;

51 = r/sigma ;

52 = (b—r) *(b—r) /( sigma *sigma*(1 — d elta )) ;

53 = 1 — 1/(2* sigma *sigma *(1—d elta )) ; S = SI + S2*S3;

P = k*(t + log ((k-l)*exp(-k*t(N+l))+l) - log (( k-l)*exp(-k*( t (N+l)-t)) +i));

y = log (xO)/sigma + S*t — P/sigma ; u = ones (1 ,N+1) *( b-r)/((1 — d el ta ) *sigma *sigma ) ; X = exp ( sigma *( y4W. * u)) ; C = X./p;

Psil = sigma* delta *exp (P(N+1)-P) . * exp(-beta *T) *(X(N + 1)) " (delta -1); Psi 2 = t*sigma*delta *W(N+1)/T*exp( — beta *T) *(X(N+1) )"(delta —1);

11 = exp(-beta *t) *delta . *(C)."( delta -1) + Psi 1 ./( sigma *X) ;

12 = -W.* Psil + Psi2 ;

sin = InCSIn ; sin .X = X; s I n . u = u ; sin.C = C; sin . II = II ; sin .12 = 12 ;

buildSolution.m

classdef InCSIn

InCSln.m