Оптимальное ограниченное управление и анализ стохастических колебательных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.00.00, кандидат физико-математических наук Юрченко, Д.В.

• Юрченко, Д.В.
• кандидат физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Юрченко, Д.В.

Оглавление

Аннотация

Предисловие

Оглавление

Перечень рисунков

Перечень таблиц

Список обозначений

1. Введение

2. Оптимальное управление

2.1 Теория стохастического оптимального управления

2.1.1 Введение

2.1.2 Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана

2.1.3 Существующие решения уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана

2.2 Задача Майера для системы с одной степенью свободы

2.2.1 Постановка задачи

2.2.2 Аналитическое решение уравнения ГЯБ во "внешней" области

2.3 Задача Лагранжа для системы с одной степенью свободы

2.3.1 Постановка задачи

2.3.2 Аналитическое решение уравнения ГЯБ

2.3.3 Аналитическое решение уравнения ГЯБ для задачи Больца

2.4 Численное решение уравнения ГЯБ во внутренней области

2.4.1 Численный метод

2.4.2 Результаты численного анализа для задачи Майера

2.4.3 Результаты численного моделирования для задач Лагранжа и Больца

2.5 Задача Майера для систем со многими степенями свободы

2.5.1 Постановка задачи

2.5.2 Аналитическое решение уравнения ГЯБ во внешней области

2.6 Задача Лагранжа для систем со многими степенями свободы

2.6.1 Формулировка задачи

2.6.2 Аналитическое решение уравнения ГЯБ во внешней области

2.7 Оптимальность закона сухого трения при установившихся колебаниях

2.8 Заключение

3. Нелинейные, случайные колебания кусочно-консервативных систем

3.1 Кусочно-консервативные системы

3.2 Метод Баланса Энергии

3.3 Анализ кусочно-консервативных виброударных систем

3.3.1 Метод Баланса Энергии

3.3.2 Субгармонические колебания виброударной системы

3.3.3 Колебания вторичных структур виброударных систем

3.4 Кусочно-консервативные системы: система с управляемым моментом инерции

3.5 Кусочно-консервативные системы: система с управляемой жесткостью

3.6 Кусочно-консервативные системы: маятник с управляемой длиной

3.7 Метод Баланса Энергии для систем с сухим трением

3.8 Надежность систем с сухим трением

3.9 Заключение

4. Основные результаты диссертации

5. Рекомендации к дальнейшей работе

Литература

Перечень рисунков

Рисунок 1. Вычислительная область для численного анализа уравнения ГЯБ

точка

Рисунок 4. Линии уровня Я(х,,х2,г) = 1 для // = 2.121 и различных моментов времени х : 0 - сплошная, я/Л - пунктирная, я/2 - точка-тире, я-точка

х : 0 - сплошная, я/А- пунктирная, я¡2 - точка-тире, я- точка

Рисунок 6. Относительная разница 8 = {Нсуб -#)/# для // = 1.5

Рисунок 7. Сравнение линий переключения для задач Майера - сплошная, Лагранжа - тире и г = я¡2; задач Майера - точка-тире, Лагранжа - тире -

точка-точка и т -я

Рисунок 8. Сравнение линий переключений для задач Майера - сплошная,

Лагранжа - тире, Больца - точка-тире и х = тт

Рисунок 9. Управление в исходных координатах

Рисунок 10. Результаты численного моделирования для разных углов: 0 -сплошная, 15° - тире, 30° - точка-тире, 45° - точка-точка, 80° - тире-точка-

точка

Рисунок 11. Абсолютный процент отклонения аналитических результатов от численных для средней энергии системы

Рисунок 12. Использование аш для задач субгармонических колебаний виброударных систем. Сплошная линия - отслеживание удара с г = 0.8, а = 0, пунктирная линия - без удара с а = аа5 = 0.069870

Рисунок 13. Использование ащ для задачи колебаний вторичной структуры.

Сплошная линия - численный результат, пунктирная линия - результаты вычислений с ат

с(}

Рисунок 14. Сравнение аналитических и численных результатов. Сплошная линия - численный результат, пунктирная линия - аналитический результат с а

Рисунок 15. Сравнение результатов (£,}/сг2 для системы с управляемым

моментом инерции

Рисунок 16. Результаты метода Баланса Энергии (пунктирная линия) и численного моделирования, нормированные к результату, полученному методом стохастического усреднения: круг - 0=10, треугольник - Б=1,

квадрат - 0=0.1

Рисунок 17. Маятник с изменяемой длинной. Результаты (Я)^10сг2 как

функция Я. Метод Баланса Энергии - пунктир, численное моделирование -точки

уш

Перечень таблиц

Таблица 1. Максимальная разница шах [(НюЬ -#)/#]

Таблица 2. Безразмерное значение амплитуды / R как функция H=Rl4DQ

Список обозначений

А Матрица собственных векторов

В Матрица интенсивности белого шума

Б Матрица спектральной плотности

У Внутренняя область

Е Оператор усреднения

Е Средняя энергия реакции системы

^ Некая вещественная функция

С Внешняя область

Н Функция Беллмана для задачи с терминальным критерием

Н Расстояние до барьера

/ Единичная матрица

К Матрица жесткости

М Матрица массы

() Область вычислений

Я Коэффициент восстановления

Я Максимальное значение приложенного управления

5 Функция Беллмана для задачи с интегральным критерием

$ЪоИ2 Функция Беллмана для задачи Больца

Т Среднее время цикла системы

tf Время окончания процесса управления

Ж Средняя энергия системы со многими степенями свободы

X Перемещение системы

х Скорость системы

У Перемещение системы

у Скорость системы

осщ Коэффициент эквивалентного линейного трения

Г Внешняя область

3 Функция качества Лагранжа

(р Функция качества Майера

/и Безразмерный параметр

О Матрица собственных частот

Я Гауссов белый шум единичной интенсивности

<т Интенсивность белого шума

© Полупериод системы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимальное ограниченное управление и анализ стохастических колебательных систем»

1. Введение

Теория оптимального управления является сравнительно молодой и хорошо сформированной частью теории управления. Интенсивное развитие космической индустрии и самолетостроения в конце 1940х годов придало теории оптимального управления новый импульс. Бурное развитие военно-промышленного комплекса и запуск первого искусственного спутника Земли показали необходимость развития теории оптимального управления. В связи с тем, что ракето- и самолетостроение, а также смежные с ними области, стали первоочередными направлениями в развитии многих стран, теория оптимального управления стала одним из приоритетных направлений развития науки. Развитие техники привело к необходимости рассмотрения более сложных проблем оптимального управления. Например, в изучаемых математических моделях пришлось вводить в рассмотрение случайные нагрузки, для описания некоторых физических явлений, таких как воздействие турбулентности на летательный аппарат, флуктуации в радиотехнических приборах и прочие. В результате, было положено начало теории стохастического оптимального управления. Хотя сегодня стохастическая теория оптимального управления решает различные задачи, встречаемые в электронике, теории нейронных сетей, экономике, эволюционной биологии, медицине и прочие, в представленной диссертации будут рассмотрены только задачи стохастической динамики.

Таким образом, одной из актуальных задач, связанной со стохастическими системами, является задача стохастического управления, т.е. задача отыскания законов управления, которые вынуждают систему функционировать в заданном режиме. Приближенные аналитические методы

для задач такого типа интенсивно разрабатывались в течение последних лет. Внедрение сверх мощных, современных компьютеров послужило трамплином для развития численных методов, применяемых для решения задач стохастического управления в наши дни. Тем не менее, во многих случаях эти численные методы не позволяют отыскивать законы оптимального управления точно, поскольку в своей основе содержат многочисленные предположения, существенно упрощающие исходную математическую задачу.

Существуют два основных и принципиально отличных друг от друга, подхода для решения задач оптимального стохастического управления. Принцип максимума Понтрягина является одним из них. Математический аппарат детерминированного метода максимума Понтрягина был усовершенствован, что позволило использовать его для решения задач стохастического управления. Несмотря на это, принцип максимума Понтрягина редко применяется для решения практических задач и служит в основном инструментом для решения модельных задач. Существует ограниченное число практических задач, которые удается решить этим методом аналитически.

Альтернативным методом, служащим для решения задач стохастического оптимального управления, является метод Динамического Программирования, предложенный Беллманом. С помощью этого метода решение задачи оптимального стохастического управления сводится к решению квазилинейного уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана (ГЯБ), составленного для функции Беллмана. Решение этого уравнения позволяет получить оптимальный закон управления в поставленной задаче. Кардинальным отличием этого метода от вышеизложенного является то, что в методе Динамического Программирования поставленная задача решается для всех

начальных условий системы. Основная трудность в практическом применении этого метода заключается в необходимости нахождения решения задачи Коши для нелинейного, многомерного уравнения ГЯБ в частных производных во всем фазовом пространстве, что объясняет узкий круг задач, решенных этим методом. Существование и единственность решения уравнения ГЯБ является отдельной, строго математической задачей, изученной в основном для линейных систем с матрицей ковариации, независящей от управления [2, 10] и для систем с невырожденной матрицей ковариации. Метод Динамического Программирования используется в диссертации для построения синтеза оптимального управления.

Одной из наиболее изученных на сегодняшний день задач стохастического оптимального управления является линейно-квадратичная задача [10], сформулированная для линейных систем, находящихся под действием внешнего, случайного возбуждения в виде белого шума. Решение стохастических, линейно-квадратичных задач находится тем же методом, что и решение соответствующих детерминированных задач, за исключением того, что для стохастической системы приходится решать "стохастический" аналог уравнения Риккати. В этом случае получаемое управляющее воздействие не является ограниченным по абсолютной величине, что делает трудным, а зачастую невозможным его практическое применение.

Исходя из выше изложенного, в диссертации рассматриваются и решаются задачи с ограниченным по абсолютной величине, внешним управляющим воздействием. Подобные задачи даже в своей наиболее простой формулировке являются чрезвычайно трудными с точки зрения отыскания аналитического или численного решения. С другой стороны такая постановка

задачи позволяет точнее отразить суть практической задачи в теоретической модели.

Применение ограниченного по абсолютной величине управления приводит к тому, что оптимально-управляемая, стохастическая система становится сильно нелинейной (нелинейность типа "81§пшп"). Динамический анализ таких стохастических систем при помощи существующих асимптотических методов приводит к неточным, а иногда и ошибочным результатам, так как все существующие аналитические методы разработаны для систем со "слабой" нелинейностью. Сильно нелинейные стохастические системы такого вида можно объединить в новый класс систем. Действительно, можно показать на примере не демпфированной, стохастической системы с оптимально изменяемой жесткостью, что её средняя энергия постоянна везде за исключением положений, в которых происходит переключение. Именно эта характерная черта нелинейных систем с оптимальным управлением дала название новому классу - классу кусочно-консервативных систем. Другими словами, этот класс объединяет в себе системы, в которых диссипация энергии происходит только в дискретные моменты времени, благодаря своевременным переключениям. Для анализа такого класса систем в диссертации специально разработан новый метод - метод Баланса Энергии. Этот метод позволяет оценить среднюю энергию кусочно-консервативных систем при их стационарном режиме работы и дает точную аналитическую формулу для средней энергии системы, как функции среднего времени между переключениями. Это время можно найти, решив задачу о достижении заданных границ. Последняя состоит в нахождении решения обратного уравнения Колмогорова, являющегося многомерным, дифференциальным

уравнением в частных производных. Разумеется, это весьма трудная задача и её приближенное решение предложено отыскивать методом малого параметра.

Целью настоящей работы является создание новых подходов для решения задач стохастической механики. Две основные цели диссертации можно сформулировать в следующем виде. Во-первых, разработать эффективный подход для решения задач стохастического оптимального управления. Во-вторых, предложить метод для анализа оптимально управляемых, сильно нелинейных, стохастических систем.

В диссертации для решения поставленных задач использованы методы функционального анализа, теория дифференциальных уравнений в частных производных, теория численных методов, теория случайных процессов и теория управления. Достоверность полученных результатов обеспечивается выбором апробированных исходных моделей и последующей строгостью применения математического аппарата и формализмом механики; сравнением аналитических результатов и результатов численного моделирования; использованием модельных задач при численном моделировании и сравнением найденных результатов с результатами, полученными учеными независимыми методами исследования подобных задач.

Новизна диссертации состоит в разработке двух новых методов, служащих для анализа задач стохастической механики. Первый, "гибридный" метод служит для решения задач стохастического оптимального управления и является аналитически-численным методом. Сначала строится аналитическое, а затем численное решение задачи оптимального стохастического управления. С помощью этого метода был построен синтез оптимального управления для линейных систем с ограниченным управлением. Метод Баланса Энергии,

являющийся аналитическим, служит для анализа сильно нелинейных, кусочно-консервативных, стохастических систем. Этот метод был применен для анализа стохастических, виброударных систем и систем с управляемыми параметрами. В работе, наряду с упомянутым выше, рассмотрены задачи надежности оптимально-управляемых систем, систем с "сухим" трением и показано, что последние менее надежны, по сравнению с системами с линейным трением.

Полученные в диссертации результаты могут найти применение в задачах управления с обратной связью колебательными процессами в системах, подверженных случайным нагрузкам, при заданном ограничении на абсолютную величину управляющего воздействия. В диссертации представлены задачи, имеющие практическое применение. Так, например, исследованы колебания морских платформ с целью выявления условий возникновения критических амплитуд, при субгармоническом возбуждении с фазовыми модуляциями. Разработанные в диссертации методы используются в учебном процессе при изложении теории управления и динамики нелинейных стохастических систем.

Диссертация написана по материалам семи журнальных публикаций, докладов на международных и национальных конференциях и конгрессах: Control of Oscillations and Chaos, 2000, RUSSIA, 20th International Congress of Theoretical and Applied Mechanics 2000, USA, EUROMECH 413, Colloquium on Stochastic Dynamics of Nonlinear Mechanical Systems, 2000, Italy, 3rd European Nonlinear Oscillations Conference, 1999, Denmark, а также докладов в Санкт-Петербургском Политехническом институте, Россия, Вустерском Политехническом институте, США, Университете Линкольна, США,

Государственном Университете Верджинии США, Унереситете Майями и Университет Лонгборо, Англия.

Диссертация состоит из пяти глав. Выводы уравнения ГЯБ, а также метод "гибридного" решения и его применение рассматриваются во второй главе. Алгоритм метода состоит в следующем. Первым шагом отыскивается точное, аналитическое решение соответствующего уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана (ГЯБ) в определенной внешней области. Затем, полученное аналитическое решение используется как граничное условие для отыскания численного решения уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана во внутренней области. В результате, решение уравнения ГЯБ построено во всем фазовом пространстве. Предложенный метод позволил получить важный результат для задачи о минимизации средней энергии системы при её стационарном движении.

Третья глава начинается с определения для нового класса нелинейных, кусочно-консервативных систем. Показано, что этот класс систем включает в себя: системы с управляемыми параметрами, в виде мгновенных переключений в заданные моменты времени и виброударные системы с неупругим ударом. Эти системы анализируются методом Баланса Энергии, который позволяет получить точное выражение для значения средней энергии, как функции среднего времени между переключениями, которое, в свою очередь, находится приближенно методом малого параметра. Завершает главу анализ надежности систем с оптимальным внешним управлением ("сухим" трением).

Основные результаты диссертации обобщены в четвертой главе. В заключительной пятой главе обсуждаются перспективы развития предложенных в диссертации методов.

2. Оптимальное управление

2.1 Теория стохастического оптимального управления

2.1.1 Введение

В конце 1950х годов Р. Беллман предложил новый метод для решения задач оптимального управления - метод Динамического Программирования. Согласно этому методу, задача синтеза оптимального управления сводится к проблеме отыскания решения задачи Коши для многомерного, нелинейного уравнения в частных производных для функции Беллмана - уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана (ГЯБ). Воспринятый вначале как панацея метод оказался неудобным с практической, и сложным с математической точек зрения. Как результат, очень небольшое число задач было решено с помощью метода Динамического Программирования.

В процессе применения метода Динамического Программирования для отыскания закона оптимального управления возникает ряд трудностей. Прежде всего, следует отметить, что функция Беллмана не всегда обладает той гладкостью, которая необходима при выводе уравнения ГЯБ. Соответственно, условие удовлетворения уравнению ГЯБ является лишь достаточным условием оптимальности. Кроме этого, приходится находить решение задачи Коши для многомерного, нестационарного уравнения в частных производных. Если управляющее воздействие ограничено по абсолютной величине, то уравнение ГЯБ становится нелинейным, из-за выполнения операции минимизации. Наконец, уравнение ГЯБ должно быть решено во всем фазовой пространстве, в то время как асимптотическое поведение функции Беллмана неизвестно. Это ведет к тому, что уравнение ГЯБ не может быть решено численно, из-за

отсутствия точных граничных условий. Тем не менее, преимущество метода Динамического Программирования заключается в том, что решив уравнение ГЯБ, можно построить синтез оптимального управления для всех начальных условий системы.

2.1.2 Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана

При рассмотрении задач оптимального управления со случайным возбуждением необходимо иметь в виду, что невозможно реализовать оптимальную стратегию по отношению к самой случайно меняющейся переменной. Следовательно, необходимо рассматривать некие усредненные характеристики системы в качестве функции цены, такие как средняя энергия системы, среднеквадратичное отклонение и другие.

Постановка задач оптимального управления состоит из трех частей. Первым шагом необходимо записать уравнения движения интересующей нас системы. В результате появляется система стохастических дифференциальных уравнений. Следующим шагом, необходимо определить к какому множеству принадлежит управляющее воздействие, т.е. наложены ли какие-либо ограничения на управляющее воздействие. Завершающим шагом является определение минимизируемого (максимизируемого) функционала качества или, другими словами, цели управления. Обобщая, задачей оптимального стохастического управления является задача на отыскание такого закона управления, принадлежащего заданному множеству, который доставляет экстремум функции цены и удовлетворяет уравнению движения системы. В качестве функции цены обычно служит среднеквадратичное перемещение или

скорость системы, средняя энергия системы, среднеквадратичное отклонение системы от заданной траектории и прочие.

В наиболее общем виде функция цены для задач стохастического оптимального управления записывается в виде функционала Больца (Stengel,

которая отличается от детерминированного функционала операцией усреднения Е[.] в правой части. Здесь t0<s<tf, - момент окончания процесса

управления, иф - вектор управления и х(г) - вектор переменных. Первое слагаемое в правой части является функционалом Майера или

представляет собой функционал Лагранжа или интегральный критерий качества, где функции считаются заданным. Задачи носят названия

соответствующих критериев качества. Задача Майера встречается на практике, когда необходимо доставить экстремум функционалу качества к конечному моменту времени. Примером таких задач может служить задача о минимизации среднеквадратичного отклонения от заданного конечного положения системы. В свою очередь, задача Лагранжа встречается при необходимости доставить экстремум критерию качества в течение всего интервала времени t0 <s<tf.

Задача о минимизации среднеквадратичного отклонения от заданной траектории является характерной задачей Лагранжа.

1986):

(2.1)

ч

терминальным критерием качества, тогда как второе

Продемонстрируем вывод уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана. Для этого рассмотрим задачу минимизации функционала на интервале времени [¿и*/], где tQ<tl<tf. Найдя закон оптимального управления и* на этом интервале, минимизируемый критерий качества запишется в виде:

7 = тт./1=:тт

и и

(2.2)

Предположим, что движение системы описывается системой стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) первого порядка, которую в векторной форме можно записать как:

±(0 = и(0,0+Ь(0?(0

х(0) = х0

(2.3)

где Ь-матрица возмущений шума ф), который является Гауссовым белым

шумом со следующими характеристиками:

с(*)] = 0

(2.4)

Полный дифференциал от функции Беллмана J по времени можно записать как:

= -Е [3(х(^), и * (^ ),/])]

(2.5)

С другой стороны этот дифференциал можно разложить в ряд и ограничиваясь членами второго порядка малости запишем:

си

—М Л

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Юрченко, Д.В., 2001 год

Литература

1. Anderson D., Townehill J. and Pletcher R., Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer, v. 1, Hemisphere, New York, 1984

2. Bensoussan A., Perturbation Methods in Optimal Control. John Wiley, New York, 1988.

3. Bensoussan A., Stochastic Control of Partially Observable Systems, Cambridge Universal Press, 1992.

4. Boyd S.P. and Barratt C.H.. Linear Controller Design: Limits of Performance. Prentice Hall, Edgewood Cliffs, 1991.

5. Bratus A.S, "Numerical solutions for the problems of control in a random media" (in Russian). Space Research 9 (4), 1971.

6. Bratus A.S., "Approximate solution of the HJB equation for a system under a random excitation", Journal of Applied Mathematics and Mechanics, v 39,1975.

7. Bratus A.S., "Asymptotic Solution for Certain Problems of Optimal Control with Probability", (In Russian), Journal of Applied Mathematics and Mechanics, v.41, 1977.

8. Bratus A., Dimentberg M.F. and Iourtchenko D.V., "Optimal bounded response control for a second-order system under a white-noise excitation". Journal of Vibration and Control, v 6, No 5, pp. 741-755, 2000.

9. Bratus A., Dimentberg M.F., Iourtchenko D.V. and Noori M.N., "Hybrid solution method for dynamic programming equations for MDOF stochastic systems". Dynamics and Control, v 10, No 1, pp. 107-116, 2000.

10. Chernousko F.L. and Kolmanovskii V.B.. Optimal control for systems under random excitations, (in Russian) Nauka, Moscow, 1978.

11. Dimentberg M.F. Statistical Dynamics of Nonlinear and Time-Varying Systems. Research Studies Press, Taunton, UK, 1988.

12. Dimentberg M.F and Haenisch H. G., "Pseudolinear Vibroimpact System with a Secondary Structure: Response to a White-Noise Excitation". Journal of Applied Mechanics, vol. 65, No 3., pp 772, 1998

13. Dimentberg M.F., Iourtchenko D.V. & Otto van Ewijk. "Subharmonic response of a quasiisochronous vibroimpact system to a randomly disordered periodic excitation". Nonlinear Dynamics, v 17. No 2,1998.

14. Dimentberg M.F., Haenisch H. G. & Iourtchenko D.V. "Response of a vibroimpact system with secondary structure to a white-noise excitation: case of inelastic impacts". Proceedings of the ISIFSS 98, Series B, v 14, World Scientific Publishing Co., 2000.

15. Dimentberg M.F. and Iourtchenko D.V. "Towards Incorporating Impact Losses into Random Vibration Analyses: a Model Problem". Probabilistic Engineering Mechanics, vol. 14,1999, pp.323 - 328.

16. Dimentberg M.F., Iourtchenko D.V. and Bratus A., "Optimal bounded control of steady-state random vibrations". Probabilistic Engineering Mechanics, v 15, No 4, pp. 381-386, 2000.

17. Dimentberg M.F. and Bratus A., "Bounded Parametric Control of Random Vibrations". Proceedings of the Royal Society, ser. A, 456, pp.1-13, 2000.

18. Dimentberg M.F. "On a Theory of Swings". Submitted to the Proceedings of the Royal Society, ser. A, 2000.

19. Dreyfus S.E., Dynamic programming and the calculus of variations. Academic Press, New York and London, 1965.

20. Fleming W.H and Rishel R., Deterministic and Stochastic Optimal Control. Springer-Verlag, Berlin, 1975.

21. Friedman A, Stochastic Differential Equations and Applications, Academic Press, New York, 1975

22. Gikhman I. and Skorohod A, Stochastic Differential Equations, Berlin, New York, Springer-Verlag, 1972.

23. Iourtchenko D.V., "Stochastic optimal bounded control for a system with the Boltz cost function". Journal of Vibration and Control, v 6, No 8, pp. 1195-1204, 2000.

24. Iourtchenko D.V., Dimentberg M.F. and Bratus A., "Optimal control of random vibrations by bounded stiffness variations". 20th International Congress of Theoretical and Applied Mechanics (ICTAM 2000), August 2000, Chicago, IL, USA. Published in ICTAM 2000, International Union of Theoretical and Applied Mechanics, Technical Report No 950.

25. Iourtchenko D.V. and Dimentberg M.F., "Energy balance for random vibrations of piecewise-conservative systems". Accepted to Journal of Sound and Vibration, May 2001.

26. Kolmanovskii V.B. and Shaikhet L.E. Control of systems with aftereffect. American Mathematical Society, Providence, RI, 1996.

27. Kovaleva A.S., Control of Oscillatory and Vibroimpact Systems (in Russian). Publishing House "Nauka", Moscow, 1990.

28. Lin Y.K. & Cai G.Q. Probabilistic Structural Dynamics. McGraw Hill, New York, 1995.

29. Meirovitch L., Elements of Vibration Analysis,McGraw-Hill Book Co., 1986.

30. Stengel R.F., 1986, Stochastic Optimal Control, Theory and Application, John Wiley & Sons, USA.

31. Zhu W.Q., Ying Z.G. and Sonong T.T., "Optimal nonlinear feedback control of structures under random loading", 4th International Conference on Stochastic Structural Dynamics, August 1998, Notre Dame, IN, USA. Published in Stochastic Structural Dynamics, A.A. Balkema Publisher 1999, Rotterdam, Netherlands.

32. Zhuravlev V.F. A Method for analyzing vibration-impact systems by means of special functions. Mechanics of Solids, 11,1976, pp. 23 - 27 (English translation of the Russian Journal Mekhanika Tverdogo Tela).

33. Zhuravlev V.F. and Klimov D.M. Applied Methods in Vibration Theory (in Russian). Moscow, Nauka, 1988.

34. Yoneyama T., "Adjoint processes in stochastic optimal control problems". International Journal of Control, 39 (3), 423 - 431,1984.