Оптимальное управление и математическое моделирование в стохастических задачах механики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Юрченко, Даниил Вадимович

• Юрченко, Даниил Вадимович
• доктор физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Юрченко, Даниил Вадимович

Введение

1 Основы теории случайных колебаний

11 Случайные процессы, их своисч на и харакiеристики

1 2 Теория марковских процесс он

1 3 Теория управления диффузионными процессами.

1 4 Аналитичес кие методы теории случайных колебаний

1 5 Численные моюды теории случайных колебаний

1 6 Ос обенности анализа виброударных систем

2 Гибридный метод решения уравнения Гамильтона - Якоби - Беллмана в задачах оптимального стохастического управления движением осциллятора

2 1 Посхановка задачи и ее особенное iи

2 2 Задача Больца для сисхем с гауссовым возмущением.

2 3 Махематичес кое обоснование i ибридною метода решения . . . 81 2 4 Задача оптимальною управления для сии ем с гауссовс ким и пуассоиовским шумами

2 5 Численное решение уравнения Гамильтона - Якоби - Беллмана

3 Применение гибридного метода для решения задач стохастической оптимизации

3 1 Управление системой со многими степенями свободы.

3 2 Управление системой с бесконечным числом степеней свободы

3 3 Задача оптимальною слежения

3 4 Управление системой пухем изменения момента инерции

3 5 Управление системой nyiем изменения жесткости.

3 6 Задача оптимальною управления нелинейными сис1емами

4 Анализ стохастических систем с сухим трением

4 1 Квазиошимальность закона сухого трения.

4.2 Стохастический анализ сис Iем с сухим трением

4 3 Срашюиие систем ( oi рапиченным и neoi раниченным управлением

4 4 Надежность си( 1ем с сухим трением

4 5 Идентификация систем с сухим iрением

5 Анализ параметрически управляемых стохастических систем

5 1 Метод баланса энергии . . . . . . . 158 5 2 Стохастический анализ систем с управляемой жес 1косхью . 160 5 3 Стохапический анализ систем с управляемым моментм инерции

5 4 Стохж гический анализ систем типа качели . . . . 173 5 5 Численный метод оценки плотности распределения переменных состояния кусочно - консерва1ивных систем

5 6 Плотное п, распределения вероятное 1и переменных состояния кусочно консервативных с и( 1ем

6 Анализ стохастических виброударных систем

6.1 Существующие результаты 1еории стохас!ических виброударных систем

6 2 Спектральная плотность переменных с ос юяния систем с ynpyi им ударом

6 3 Задача о достижении заданных границ.

6 4 Метод баланса анергии для систем с неупругим ударом . . . . 210 6 5 Плотность вероятности и сиек1ральная илотость переменных сосюяния системы ( неупругим ударом

6 6 Узкополос иое возбуждение виброударных (истем

6.7 Виброударные системы с двумя степенями свободы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимальное управление и математическое моделирование в стохастических задачах механики»

И}учеиие колебанчьных процессом имеет фундаментальное значение Невозможно преде твить себе современную, реальную физическую систему или механим без хорошо спланированных, грамотных инженерных расчетов Несмотря на бурное раз-ви1ие вычислительной техники и численных методов, теоретический анали будь то точный или приближенный, остается основным инс фументом исследования реальных физических явлений и синем. Теоретические исследования важны не юлько как ин-струмеш для получения iочных или приближенных результатов, изучения влияния разных параметров на поведение системы, но и как аппара: для апробирования новых моделей и меюдов, их правомерности и точности

Ис следование любой реальной физической системы, как правило, фебует нексно-рой идеализации. Одной и* тких идеализации может служить рассмотрение систем с конечным числом степеней свободы Такая идеализация удобна, так как позволяем не только ynpoci игь исходную задачу, но и сохрани ib важную информацию о характерных свойствах сисн'мы В зависимое ih oi целей посчанленной задачи ее можно упростить путем уменьшения числа с ieiieneft свободы Таким обраюм, в юй или иной степени, подавляющее большинство действующих динамических chcicm можно моделировать с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих поведение копсфукции с конечным числом степеней свободы

Hoc Iроение и изучение детерминированных моделей 1акже являемся идеализацией более сложных явлений, оказывающих прямое или косвенное влияние па работу динамических chcicm. Так, например, при изучении движения обьекта в турбулепшой среде необходимо учитывать влияние случайных турбулентных сил. Для этою в уравнение динамической модели вводи 1ся случайный процесс с заданными статистическими характерие шками, описывающий неопределенное!и, возникающие в системе. Очевидно, что испольювапие случайных процессов при моделировании динамических chcicm продиктовано целым рядом факторов или их комбинацией Природным источником случайных нагрузок является действие Beipa (в особенности на высошые сооружения и подвесные моим), сейсмическая активность, воздейивие морских волн на суда и платформы Случайные колебания могус возникать во время движения по неоднородной поверхности доро! и, в результате процесса горения в двшагелях ракет, флук1уаций в радиотехнических приборах. Отметим, что $ачастую параметры самой системы или ширужепия moi ут быть известны не точно, чю может быть компенсировано введением в модель случайных функций Наконец, в задачах управления ошибки измерений и наблюдении приводят к неопределенностям, котрые необходимо учишвап. при расчетах. Приведенные выше примеры говорят о необходимости изучения с тхапических динамических сисн'м, i е динамических систем подверженных действию некоюрых случайных на1руиж Динамическое моделирование 1аких систем проводится с помощью стохастических дифференциальных уравнений

Одной из насущных проблем стохастической динамики является проблема оптимального стохас i ичес кою управления. Целью mhoi oinai ового процесса оптима-льпою стохастического управления являсмся выбор такой последслшельности решений, для которой некоторая функция параметров состояния сис 1емы достигает экстремального значения В отличие oi задач управления детерминированными системами, 1де оптимальная иранчия может строиться в виде программы, в задачах стохас iичссkoiо управления ыкои подход оказывается менее эффекшвпым Как правило, для решения задач оптимальною с тохастического управления использусчся друюй подход, а именно, метод динамического npoi раммирования. Последний своди1 тдачу отыскания оптимальных с тратегий управления к носi роению решения задачи Коши для некоторого вырожденного многомерною нестационарного нелинейного уравнения параболическою типа относительно функции Беллмана Это уравнение iiochi название уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмапа

Круг задач, решение коюрых можно построить точно с помощью метода динами-ческо1 о программирования, весьма oi рапичен В большинстве с воем это либо задачи не имеющие прямого практического применения, либо некие математические модели не существующих на практике систем К последним, например, относятся модели в которых ковариационная матрица возбуждения предпола1ае1ся невырожденной, чею не может произойти в реальных динамических сипемах, 1ак как случайное возмущение в тких системах, уравнение движения коюрых записано в фазовых переменных, входит все1да юлько во второе уравнение К другим, редко виречающимся на практике предположениям, относятся нормальное распределение выходною сишала сильно нелинейной системы, выпуклость минимизируемою функционала по управлению. Мпо1ие проблемы стохастическою управления, такие как задача быстродейс пшя, задача управления с вероятностным критерием, юдача оптимальной коррекции и прочие не упомянуты здесь ввиду того, чю они лежат за пределами облас ш задач, исследуемых в диссертации

Исключением является хорошо изученная липсйпо-квадра1ичная задача управления, коюрая формулируется для линейной сисюмы с выпуклым функционалом, те. квадратичным функционалом качества как по фазовым переменным, так и по управлению В качестве функции качества здесь может выступам, средняя энергия системы или среднеквадратичное снклопспие ее фазовых переменных oi заданной величины Такая постановка идачи hmcci прямой физический смысл и практическое применение, гак как своей целью сыиш минимизацию, например, средней ^нер1ии системы на конечном интервале времени К задачам ткого рода относятся задачи демпфирования колебаний транспортных среди в, перемещающихся по неровной поверхности, гашение колебаний спутниковых антенн, уменьшение вибраций руки робота манипулятора, а также другие Фундаментальное значение имеет то, что линейно-квадра1 ичпая задача стохастического управления позволяет построить точное аналитическое решение, что помогает глубже поняп. процесс формирования синтеза оптимальною управления и использовать его в качечтве модельпою примера

Несмотря на все сказанное выше, липейпо-квадратичная задача управления имеет существенный недостаюк, сосюящий в том, что на управляющее воздействие не накладывается никаких ограничений Дру1 ими словами, найденная оптимальная стратегия представляет собой управление по принципу обратной связи, но в то же время управление остается неограниченным по абсолюшой величине Такая постановка задачи не всегда является оправданной в приложении к динамическим системам Разумеется, невозможно создать неограниченную по абсолюшой величине силу или момеш. Кроме того, мно1ис детали и механизмы, с помощью которых осуществляется управление сисчсмой, имеют конструкционные связи, ограничивающие их движения. Существующие примеры, среди которых характерным является ограниченное движение элеронов и рулей управления летательного аппарата, являются лучшим подтверждением сказанною выше. Следует также вспомнить о проблеме насыщения актюаторов, с помощью которых создается управляющее воздействие Известно, чю любой актюагор имеет верхнюю и нижнюю 1раницы, в пределах которых он функционируем в рабочем режиме, а это приводи! к смраничснию полезной силы актюатора по абсолютной величине. Развитие новых млк'риалои также послужило толчком для рассмофепия задач с oi раниченнмм по абсолютной величине управлением. Дело в юм, ню такие материалы имеют, как правило, два устойчивых состояния, и способны резко переходить и? одною состя-ния в друюе, изменяя свои физические свойства под влиянием внешних воздействий Именно это: принцип был положен в основу идеи гашения колебаний в некоюрых динамических сисюмах. Становится очевидным, что расс мотрение проблем ошимального стохас 1ичоскою управления с oi рапиченным по абсолютной величине управляющим воздействием продиктовано новыми требованиями к управляемым сииемам и развитием новых юхнологий

Метод динамического программирования, как уже было сказано ранее, сводит поставленную задачу к проблеме нахождения решения задачи Коши для нелинейного вырожденною параболического уравнения, причем поиавлепная задача ведет к сильной нелинейности юна сш нум-функции Вви^ сложности нос твленной задачи и отсутствия стрсних математических меюдов решения вырожденных нелинейных уравнений в частных производных параболическою типа, точное решение подавленной задачи на сеюдняшпий день остается не найденным В качспве одного из возможных подходов было предложено использовать меюд возмущений, 1де малым параметром считалась интенсивность шума или абсолюшая величина управления Отметим, что продвинуться дальше нулевого приближения во многих случаях практически не удается из-за сложноеIи исходного уравнения в частных производных. Использование классических численных методов, таких как метод сеток, для решения соотво1с1вующего уравнения Гамилыопа-Якоби-Беллмана ткже не преде ывляется возможным, ввиду того, что асимшошческое поведение функции Беллмана неизвестно. Следовательно, неизвестными являются краевые условия, фебуемые для численного решения уравнения параболическою 1ипа в слраниченной вычислительной облас1и Известны работы, в которых эIи условия выбрались на основе некоторых, чисчо интуитивных соображений, что не даем право рассчитывать на высокую точность иолучепного резулыата и даже говорить о ею правомерность С друюй стороны, наличие такою рода задач не только в облас 1и ошимальною управления ведет к развитию новых численных методов способных справиться с описанными труднос!Ями Хочекя еще раз подчеркнуть, чю на данный момент не сущесгвуо1 точных методов решения задач сюхастическою управления с ограниченным по абсолюшой величине управляющим воздейс!вием.

Отсутствие шчного результата приводиi к тому, что невозможно проверим, юч-носп, юго или иною нового метода Более того, предложение использовать некоторый пеошимальный закон управления не позволяет оцепип, cieneiib неоптимальиости последнею Следовательно, актуальной на сегодняшний день является попытка нахождения оптимальных законов < юхапического управления для модельных задач, i о задач с конечным числом степеней свободы, включая самые прос ше - линейные стохас гиче-ские системы с одной степенью свободы. Отметим, что задача минимизации средней с)нер1ии линейной, недемпфированной системы, находящейся под действием внешнею гауссовою случайного возбуждения и oiрапиченного по модулю внешнего управления, к конечному, фиксированному моменту времени, остается нерешенной. Действительпо, сформулированная задача стохастическою управления приводит к следующей задаче Кош и. ди ди да о2 д2и дт 12 дх\ Хг Ох? 2 дх\ u(xux2,0)=l-({l2x\ + xl), те [О, Г] ди дхо

Здесь xi,x2- перемещение и скорость системы, записаппые в фазовых переменных, - собственная частота, о1 - интенсивность гауссовою белого шума, R - oiрапичепие на величину управляющею воздействия

Именно такие актуальные и прикладные проблемы on i имального стохастическою управления с ограниченным по абсолютной величине управляющим воздействием рассмотрены в предложенной рабсме В линейных системах управление является внешним, тогда как в билинейных задачах управление происходит засчет изменения параметров системы, те является параметрическим Исследованы задачи Майера (минимизация целевой функции к заданному, фиксированному момешу времени), Лагранжа (минимизация целевой функции на заданном интервале времени) и Больца (линейная комбинация вышеуказанных критерием} качества). Во всех задачах, за исключением задачи оптимального слежения, в качес ibc целевой функции выбрана средняя энергия системы, I е. функционал является выпуклым по фазовым переменным и не содержит управления. В задаче оптимального слежения роль целевой функции итрает среднеквадратичное отклонение перемещения системы от заданной траектории.

Вви^ сложности задач оптимального стохас шчсскою управления, а гакже трудностей, связанных с реализацией таких законов на практике, часто приходится применян, неоптимальные или квазиоптимальпыс стратегии управления. Предложить такой закон управления, удовлетворяющий хогя бы час i ичпо предъявленным требования, оказывается не менее сложной задачей. Разумеется, выбор квазиошимального закона управления, в первую очередь, основываем на пропою ею применения к реальным физическим сис юмам. Как будет показано в рабою, 1аким квазиош имальным законом служит закон тесно связанный с сигнум-функцией В задачах с внешним управлением таким законом выступает закон сухою трения, i е. закон пропорциональный си!пум-функции скоропи системы, а для задач с парамирическим управлением квазиоптимальным законом может служип> закон пропорциональный сиг нум-функции oi произведения перемещения и скорости сипемы.

Хотя применение квазиоптимальных с фатегий сущепвепно упрощай реализацию сишеза оптимальною управления, появление таких сильных нелинейноеjей - нели-нейпопей типа сигнум-функции делает сложным анализ получаемых динамичес ких си-с юм. Желание проанализировать поведение квазиоптимальных систем с целью предсказания их поведения является вполне спественным и приводит к необходимости рассмотрения и изучения нелинейных задач стохастической механики Анализ таких сисюм затруднен ввиду юю, что в резулыаю возникают похастические сипемы с разрывными правыми чааями, причем ква шоптимальное управление завис и i юлько oi юкущего состояния фазовых переменных сипемы Такие сипемы в рабою имену-ююя сильно нелинейными Существующие локальные методы анализа стохас шческих систем, а также меч оды усреднения, не способны дать надежных результатов, хак как базируются на предположении о малой нелинейности, входящей в уравнение движения или малых изменениях амплитуды (энергии) системы за период.

Применение квазиошимальиою управления в системах с внешним управлением приводиI к рассмотрению с юхапических систем с сухим трением, а в системах с на-рамприческим управлением - к рассмотрению еще более сложных стохастических си-с юм с мгновенно изменяющимися параметрами Заметим, что вви^|у свойств сш нум-функции, потери в парамсчричсски управляемых псвозмущенных сип омах происходя1 в дис крппые моменты времени, правда, заданные движением самой с истемы. В связи с таким характерным поведением, эти сипемы образуки класс кусочно-консервативных сисюм. Появление сильно нелинейных систем, как резулыат применения квазиоптимальных страю1ий, поднимает целый ряд вопросов касающихся надежности иших систем, возможности получения оценки средней энер1ии системы, вычисления плотности распределения фазовых переменных состояния Попытки пен iроения некоюрых из перечисленных оценок приводи I к необходимое i и развития новых методов анализа таких сии ом, как аналитических, 1ак и численных. Интересно, чю прямое численное моделирование уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова по oiношению к плошости распределения вероятности перехода для соотвсюнзующей системы не предиаиляет-ся возможным. Объясняется эю тем, что в уравнении появляйся дельта функция, как резулыа1 дифференцирования сигнум-функции. Таким образом, численное пои роение плотное 1и распределения верояшости требует модификации сущей вующих численных методов или разработки новых подходов

Заметим, чю класс кусочно-консервативных систем включаем в себя не только параметрически управляемые сииемы, но и сис юмы, сильная нелинейность которых обусловлена их физическими евойс гвами К таким относятся виброударные сис юмы с доминирующими энергетическими потерями при ударе, те иедемифированиые системы с neyiipyiHM ударом Виброударные режимы виречаются во miioi их динамических системах, специально сконс фуированных для виброударной работы. К их числу относятся пружинный молот, виброударные инструмсчпы и ручные машины ударной) действия для строительной, горнорудной и металлообрабатывающей отраслей С друюй стороны, виброударные режимы как нежелательные явления можно встретить при работе зубчаюй коробки передач, движении колеса ваюна на стыках и стрелках и прочие Сущее 1вующие методы анализа стохастических виброударных сисюм позволяю! получить приемлемые результаты только в случае малых ударных поюрь Случай немалых потерь IребусI развития новых аналитических мемодов.

Резюмируя, данная работа носвящена изучению поведения стохастических линейных и нелинейных динамических сисюм, находящихся иод действием внешних случайных naipy30K Представленная диссертация состоит из трех основных частей 1) изучение проблем стохастическою оптимальною управления линейными и билинейными, полной ыо наблюдаемыми сии омами с ограниченным по мо^лю управлением; 2) аналитический и численный анализ нелинейных стохаиических систем, возникающих в результате применения законов управления, 3) аналиюческий и численный анализ стохастических виброударных систем с поведением качеивспно схожим с параметрически управляемыми еисюмами.

Цель работы. Целью настоящей работы является создание комплексною подхода, состоящего из аналитических и численных меюдов, служащих для математического моделирования и анализа задач стохастическою оптимальною управления, а также исследования сильно нелинейных стохастических систем Конкретно с твились следующие цели

1 Поиск эффективною метода для решения задач синтеза оптимальною стохастическою управления полностью наблюдаемыми, линейными и билинейными системами с внешним широкополосным случайным возмущением.

2 Создание вычислительных npoipawM с целыо установления оптимальных и квазиоптимальных стратегий управления для рассмотренных классов линейных и билинейных систем

3 Разработка аналитических методов, позволяющих эффективно проводить анализ сильно нелинейных стохастических сис юм

4 Разработка и усовершенствование численных методов, а также с оздание на их базе комплекса вычислительных программ, служащих для анализа с ильно нелинейных с юхастических систем

Методы исследований. В диссертации использованы методы функционального анализа, теории дифференциальных уравнений в частных производных, теории обыкновенных стохастических дифференциальных уравнений, теории численных меюдов, теории случайных процессов и теории управления

Научная новизна полученных результатов. Все результаты, включенные в диссертацию, получены впервые Научная новизна результатов, представленных к за-щи ie состоит в следующем*

1. Предложен численно-аналитический метод решения уравнения Гамильтона - Яко-би - Беллмапа С помощью эюю метода построен сип юз оптимальною управления для класса задач стохастической оптимизации с ограничением на абсолютную величину управляющего воздействия.

2 I loci роен алгоритм, позволяющий применим, разработанный метод решения уравнения Гамилыона - Якоби - Беллмана для динамичес ких систем с конечным числом степеней (нободы, а также систем с пуассоновским внешним возбуждением

3 Разработаны вычислительные программы, позволяющие строим, оптимальные стратегии управления линейными сис 1смами с внешним управлением

4. Получены квазиоптимальпые законы управления линейными и билинейными системами, находящимися в режиме установившихся колебаний

5 Проведено численно-аналитическое исследование задачи надежности квазионти-мально управляемых сис icm

6 Результаты численною моделирования показали, что закон управления в виде сухою Iрения явлжчся наилучшим в классе линейно - ограниченных управлений

7. Разработан численно-аналитический метод идентификации параметров стохастических систем с одной степенью свободы и нелинейным трением

8 Разработан аналитический метод баланса энергии для оценки средней энер1ии кусочно - консервативных сисicm.

9. Предложен ряд усовершенствований численного метода интсч рирования вдоль траекюрий, который леч в основу комплекса вычислительных программ, созданных для построения пломюсти распределения вероя1Ности переменных сос юяния сильно нелинейных сис icm.

Обоснованность выводов диссертации. Дос юверность полученных результа-юв обеспечивается выбором апробированных исходных моделей, cipoiостью применения математического аппарата и формализмом механики, сравнением аналитических результатов с результатами численного моделирования; использованием модельных задач при численном моделировании и сравнением резулыатов с результатами, полученными дру1 ими авторами независимыми мемодами исследования подобных задач

Практическая ценность работы В диссертации рассмотрен целый ряд модельных задач стохастическою управления Полученные в диссертации результаты могут найти применение при решении многочисленных задач управления с обратной связью колебагельными процессами в системах, подверженных случайным нагрузкам, при заданном ограничении па абсолютную величину управляющем о воздействия Кроме тою, представленные результаты могут служи1ь эталоном для апробации новых методов в теории опшмалыюю стохастическою управления В рабою исследован ряд задач, имеющих иракшческое значение, среди которых задача идентификации нелинейных характерис ihk сюхастических сис юм, задача исследования надежности управляемых систем, задача о возникновении субгармонических колебаний океанских плак[)орм. Предложен ряд законов управления, кснорые могут быть использованы в машинах и механизмах для гашения нежелательных вибраций. Разработпиые вычислительные моIоды и нро1раммы Moryi паЙ1и применение в задачах, где проведение эксперимен-ia може1 оказаться слишком дороюстоящим Аналитические методы MoiyT использо-вахься в учебном процессе при изложении теории управления и динамики нелинейных сюхас1ических систем

Апробация работы. Результат диссертации докладывались на научных семинарах кафедры "Механика и процессы у правления", СП6ГГ1У, на кафедре "Прикладная механика и управление", МГУ; на кафедре "Кибернетика", МИЭМ, в Иппихуте проблем машиноведения РАН (С -Пеюрбур1), в Инстихую проблем механики РАН (Москва), па Инженерном департамент Университета Майами (США), на Инженерном департамент Института Иллинойса в Урбана Шампейи (США), на департаменте Прикладной маюматики ГУ Тронхейма (Норвехия), на Инженерном департамент Ву-стерского полиюхпическот института (США) Представленные результаты докладывались на всесоюзных и международных конференциях. Stochastic Structural Dynamics 1998, (Нотер Дам, США), EUROMECH 386,1998, (Берлин, Германия), ASME'99 (Блакс-бург, США), ENOC99 (Коппенгаген, Дания), EURO- DYN99 (Poiордам, Нидерланды), EUROMECH 413, 2000, (Палермо, Италия), ЮТАМ 2000 (Чикаю, США), NOLCOS 2001 (С-Петербур1), СОС 2000 (С-Петербург), VIII Всероссийский сьезд по теорсчи-ческой и прикладной механике (Пермь, 2001), АРМ 2001 (С-IIomp6ypi), АРМ 2002 (С-Петербург), ENOC02 (Москва), XIV Симпозиум но виброударным и сильно нелинейным системам (Звенигород 2003), ЕСС'ОЗ (Камбридж, Ашлия), ICOSSAR'()5 (Рим, Ихалия), ENOC'05 (Эйшховен, Голандия), XV Симпозиум по виброудариым и сильно нелинейным системам (Звепиюрод 200G).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 48 научных фудов

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения Работа (одержит 278 страниц, включая 93 рисунка и списка лите-paiypu состоящею из 303 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Юрченко, Даниил Вадимович

Заключение

Диссертация посвящена маюмашчоскому моделированию и исследованию целого класса задач стохастической динамики Во всех исследованных задачах ошимальпо-го стохас гическото управления рассмотрено управление ограниченное по абсолютной величине. Показано, что применение ыких законов управления в динамических системах ведет к образованию сильно нелинейных систем с нелинейностью типа сишум-функция Системы с отраниченным по модулю параметрическим управлением можно объединить в класс кусочно - консервативных систем. К этому классу также относятся виброударные недемпфированные системы с пеупругим ударом Аналитический и численный анализ таких систем оказывается далеко не тривиальной задачей, требующей новых подходов и мемодов, которые приведены в диссертации С целыо анализа сильно нелинейных систем создан комплекс программ, позволяющий получать плотность распределения вероятности и спектральную плотность переменных сос тяния системы, а также другие данные, характеризующие поведение сильно нелинейных стохастических систем. Результаты диссертции совпадают с результатами, полученными друтими авторами альтернативными аналитическими и численными методами Более конкретно, получены следующие результаты

1. Предложен численно-аналитический метод решения уравнения Гамильтона - Якоби - Беллмана С помощью этого метода пос ipoen синтез оптимальною управления для класса задач с юхастической оптими зации с ограничением на абсолютную величину управляющею воздействия.

2 Построен алгори i м, позволяющий применить разработанный метод решения уравнения Гамильтона - Якоби - Беллмана для динамических систем с конечным числом степеней свободы, а 1акже систем с пуассоповским внешним возбуждением.

3. Разработан комплекс вычислительных пренрамм, позволяющий строить оптимальные стратегии управления линейными системами с внешним отраниченным управлением.

4. Доказано, что закон сухого трения являеюя квазиоптимальным в линейных системах без трения, подверженных действию внешнею 1ауссовского возбуждения при минимизации средней энергии сисюмы, находящейся в режиме установившихся колебаний Для системы с несколькими степенями свободы законом квазиоптимального управления являем с я закон сухою трения по соответствующей обобщенной координате скорости

5 Доказано, что в билинейных системах закон пропорциональный сигнум - функции от произведения переменных состояния системы является квазиоптимальным при минимизации средней энергии системы, находящейс я в режиме установившихся колебаний

6 Численно - аналитическое исследование задачи надежности сис iем с внешним квазиоптимальпым управлением показало, что такие системы менее надежны, чем системы с линейным i рением.

7 Численный анализ показал, что функционал качества сущес i венно возрастает при замене от раничепнем о закона управления на линейно - ограниченный, что характеризует первый, как наилучший из всевозможных линейно - ограниченных законов управления

8 Разработан численно-аналитический метод идентификации параметров с юхас ih-ческих сис 1ем с одной с ieneiibio свободы и нелинейным трением

9 Предложен и разработан аналитический меюд баланса энергии для оценки средней энергии кусочно - консервативных систем, к которым относятся параметрически управляемые системы и недемпфированные виброудариые системы с неупру-I им ударом.

10 Предложен ряд усовершенствований численного метода интегрирования вдоль траекюрий, который лег в основу комплекса вычислиюльных программ, созданных для построения плотности распределения вероятности переменных состояния сильно нелинейных систем.

11. Получено точное аналитическое выражение для спектральной плотности перемещения параметрически возбуждаемых систем, подверженных действию neiaycco-вою делыа - коррелированною белою шума

12. Решена задача о достижении заданных i раниц для кусочно - консервативных систем. Аналитические и численные результаты показали, что наличие аддитивного шума может вести к существенному уменьшению эффективного периода системы.

13. Получены аналитические выражения для оценки средней энергии виброударных систем с зазором, натягом и систем с двухсторонним ограничителем при иеупрутом ударе.

14. Основываясь па результатах численного моделирования получены эмпирические формулы для среднего и среднеквадратичного перемещения виброударных систем с зазором или натягом при неунругом ударе.

15. Изучены свойства виброударных систем, подверженных действию узкополосного, случайного процесса и дана оценка возможности возникновения в таких системах субгармонических режимов колебаний.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Юрченко, Даниил Вадимович, 2006 год

1. Аверина ТА , Артемьев С С Новое семейство численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений // ДАН СССР. 1986. - 288, N 4, С 777 - 780

2. Андерсон Д , Таннехилл Дж , Шкччер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. 2 I. М Мир, 1990 728 с.

3. Андреев Н.И. Теория статистически оптимальных систем управления. М • Наука, 1980 - 415 с.

4. Андреева Е А., Колмановский В.Б , Шайхсч JI Е Управление системами ( последействием. М. Физматлит, 1992 336 с

5. Андриевский Б.Р., Фрадков A.JI Избранные главы теории автоматического управления (примерами па языке MATLAB С Пб Наука, 2000 - 475 с.

6. Андронов А А , Понтрягин JI.C., Витт А А О статистическом рассмотрении динамических систем // ЖЭТФ 1933 - 3, N 3 - С 165-180

7. Артемьев В М. Статистический анализ нелинейных систем с использованием теории марковских случайных процессов Минск МВИЗРУ ПВО, 1969. 144 с

8. Артемьев С.Е., Демидов Г.В. Определение плотности распределения решенеия дифференциального уравнения с помощью сплайнов // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск. 1984 15, N 4 - С. 3-10.

9. Астапов ЮМ, Медведев ВС. Статистическая теория систем автоматическою регулирования и управления. М.: Наука, 1982. - 304 с

10. Афанасьев В Н., Колмановский В Б., Носов В Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1989. 574 с.

11. Бабицкий В.И. Теория виброударных систем: приближенные методы. М Наука, 1978. 352 с

12. Бабицкий В.И., Крупенин B.JI. Колебания в сильно нелинейных системах. М Наука, 1985. - 320 с.

13. Батков Ф.М , Александров В.М., Мишулина А.О , Староверов А.Н., Щукин Б А Методы онгимизациив < iai истических задачах управления. М.: Машиноведение, 1974 240 с

14. Беллман Р Динамичекое npoi раммирование. М. Из-во иносгр лит., 1960 -400с.

15. Боголюбов Н Н , Мшропольский Ю А Асимптотичес кие методы тоории нелинейных колебаний М . Наука, 1974 - 504 с

16. Болотин В В Случайные колебания ynpyi их систем М Наука, 1979. 335 с

17. Болотин В В Методы теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений М Стройиздат, 1982. - 351 с

18. Болотин В В Прогнозирование ресурса машин и конструкций. М : Машиностроение, 1984 - 312 с

19. Борцайкин С М ,Све1 ушков Н Н. О фундаментальном решении уравнения Фок-шра Планка - Колмогорова с особенностями в ко )ффициентах. // МАИ М. 1986 Юс (Деп в ВИНИТИ, N 2744-В86)

20. Bpaiycb А С Метод малого параметра для построения приблгшенной стратегии в классе задач дифференциальных игр. // Прикладная матема! ика и механика 1975 39. N 6 - С 1006-1016.

21. Братусь А.С. Приближенное решение одной задачи оптимального управления с веротностным критерием // Прикладная математика и механика. 1977 41. N 1. - С. 13-23

22. Братусь А С , Иванова А П. Локальные решения уравнения Гамилгтона Якоби- Беллмана и их применение к задаче оптимального управления колебаниями упругих рас пределенных систем // Изв Ак Наук Теория и системы управления- 2004 N 2 - С. 52-61

23. Братусь А.С., Юрченко Д В., Менальди /К Л. Локальные решения уравнения Гамильтона Якоби - Беллмана в стохастических задачах оптимального управления // ДАН. 2006 - 409, N 1, С. 30 - 33

24. Булычев Ю.Г., Погонышев С.А. Методы численного интегрирования многомерного уравнения Фоккера Планка на основе усеченных алгоритмов быстрого преобразования Фурье //Радиотехника и электроника - 1989 34 N 6. - С 1241-1249

25. Бунимович В.И. Флкшуационные процессы в радиоприемных устроствах. М.: Советское радио, 1951 - 360 с.

26. Вап-Кампен Н.Г Стхастические процессы в физике и химии. М.: Высшая школа, 1990 376 с

27. Вершинский С.В., Данилов В Н , Хусидов В Д Динамика вагона М Транис-порт, 1991 - 359 с.

28. Волконский В А. Случайная замена времени в строго марковских процессах // Теория верояшостей и ее применения. 1958 3, N 3. - С 332 - 35031| Гардипер К В. Стохастические задачи в естественных науках. М : Мир, 1986 -526 с.

29. Гельфанд И М., Фомин С М Вариационное исчисление. М.: Физматгиз, 1961. -228 с.

30. Гикхман И.И Скороход А В. Введенеие в теорию случайных процессов М. Наука, 1977 - 568 С.

31. Гикхман И.И Скороход А В. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. Киев: Наукова думка, 1982. 611 с.

32. Гнеденко Б.В Курс теории вероятности. М.: Наука, 1965. - 400 с.

33. Голдстейн Дж Полугруппы линейных операторов и их приложения. К.: Вища школа, 1989. 347 е.

34. Горяипов В Т, Журавлев А.Г., Тихонов В И Сышсхическая радиоюхпика М.: CoBoicKoe радио, 1980 544 с.

35. Градштейн И С., Рыжик И М. Таблицы инте1ралов, сумм, рядов и произведений- М . Наука, 1971. 1108 с

36. Гюнтер Н М Ишегрировапие уравнений первою порядка в час шых производных- М ОНТИ, 1934. 320 с

37. Дашевский М JL, Липпер Р.Ш Приближенный анализ нестационарных динамических (истем // АиТ 1967 - 8. - С 32-43

38. Дашевский М Л. Приближенный анализ точности нестационарных нелинейных систем методом семиинвариантов // АиТ. 1967 11 - С. 62-81.

39. Дашевский МЛ. У^швиения семиинвариантов нелинейных динамических си-(гпем И АиТ. 1968 - 10 С 63-71.

40. Дашевский М JI. Техническая реализация момитно семиинвариантного метода анализа случайных процессов // АиТ 1976 - 10. - С. 23-26.44| Демух В.И Приближенный метод анализа точности нелинейных систем. // АиТ. 1965. - 6. - С 1021-1025.

41. Ден-Гарю! Дж П. Механические колебания М Физматгиз, 1960 - 580 с

42. Диментбер1 М.Ф. Определение нелинейной диссипативной характсристики системы с одной степенью свабоды на основании испытаний при вынулс денных колебаниях // Изв АН СССР. МТТ. 1976 2 - С. 32-34.

43. Димен1бер1 М.Ф Точное решение одной задачи о колебаниях системы со случайным параметрическим во i6y.)tc дс нием. // ПММ. 1980. 44. - С. 1140-1142

44. Дименгберг М Ф. Точное решение уравнения Фоккера Планка - Колмогорова для некоторых динамических систем. // ПММ. - 1983. 47 - С. 555-558.

45. Диментберг М Ф Случайные процессы в динамических системах с переменными параметрами. М. Наука, 1989. 176 с.

46. Дынкин Е Б. Марковские процессы М. Физмат из, 1963 - 859 с

47. Евланов ЛГ, Консташинов В.М Сисчемы со случайными параметрами М. Наука, 1976. - 568 с

48. Ермаков С М Мсчоды Монте-Карло и смежные вопросы М. Наука, 1971. 327с.

49. Журавлев В Ф Метод анализа виброуданых систем с помощью специальных функций // Изв АН СССР. МТТ 1976 11. - С. 23-27

50. Журавлев В Ф., Климов ДМ Прикладные меюды в 1сории колебаний М.-Наука, 1988 326 с.

51. Заяц О И. Решение уравнения Фоккера Планка - Колмогорова в задачах стати стической динамики систем релейного типа // ЛПИ Л 1987 Доп. в ВИНИТИ 10 07 87, N 4938-В87 С 1-36.

52. Иванов А.П. Динамика систем с механическими ударами. М.: Межд Обр., 1997.336 с.

53. Казаков И Е Статистические методы проектирования систем управления М : Машиностроение, 1969. 262 с.

54. Казаков И.Е , Гладков Д И. Методы оптимизации стохастических систем. М : Наука, 1987 304 с.

55. Като Т. Теория возмущений линейных операторов М Мир, 1972 740 с

56. Кашкарова А Г, Шин В.И. Модифицированные семиинвариантиые методы анализа стохастических систем // АиТ. 1986 - 2 - С. 69-79

57. Каудерер Г. Нелинейная механика М.: Из-во иноетр лит., 1961 778 с.

58. Кобринский А.Е , Кобринекий А А Виброударные сис 1емы. М.: Наука, 1973 591 с

59. Ковалева А.С Управление колебаюльпыми и виброударными системами М . Наука, 1990 253 с

60. Колмоюров АН, Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М • Наука, 1968. 496 с.

61. Коловский МЗ Нелинейная теория виброзащитных сисюм. М • Наука, 1966 -320 с.

62. Колосов ГЕ , Стратонович Р JI. Ассимптотический метод решения статистических задач оптимального управления ква шгармонич( скими системами J J АиТ 1967. 2 С 45-58

63. Колосов Г.Е Об одном прибли псенном методе синтеза статистических типем оптимального управления // АиТ. 1975 - 9 - С 41-51.

64. Коршяков А А., Малаиин В.В. Об одном итерационном методе решения Фок-кера Планка - Колмогорова // Проблемы механики управляемою движения Иерархические динамические системы Пермь 1978 - С. 103-108

65. Косачев И.М , Ерошенков М.Г. Аналитическое моделирование стохас юческих систем Минск. Навука i 1эхпика, 1993 - 264 с

66. Красовский А А. Статистическая юория переходных процессов в системах управления М . Наука, 1968 - 240 с.

67. Красовский A A. Piuieuue уравнения Фоккера Планка - Колмогорова методом рядов // ДАН СССР - 1972 205 N 3. - С 550-552

68. Красовский А.А. Решение уравнения Фоккера Планка - Колмогорова для динамических систем с аналитическими характеристиками. // Изв. АН СССР. ТК.1972 N 6 - С. 200-211

69. Красовский А А Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем М . Наука, 1974. - 232 с

70. Кренделл С. Случайные колебания. М.: Мир, 1967 356 с

71. Кресип Г И О применении метода Бубнова Галеркина в теории стохастических систем. // ПМ. - 1977 13. N 2 - С 132-134

72. Крылов Н.В Управляемые процессы диффузионного типа М.: Наука, 1977 -399 с.

73. Крылов Н В. Нелинейные эллинi ические и параболические уравнения второю порядка. М Физматгиз, 1985 - 376 с

74. Кузнцов Д.Ф Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений С - Пет Санкт - Пстербурюкий Гос Тех. У нив 2001. - 712 с

75. Кушнер ГДж Стохастическая устойчивость и управление. М: Мир, 1969. 200с

76. Лавровский Э.К , Формальский A.M. Оптимальное управление раскачиванием и тормола ниш качелей //ПММ 1993. 57 N3 С 311-320

77. Ладыженская О.А , Солонников В А , Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа М.- Наука, 1967 - 736 с

78. Лапда П.С , Стратонович Р.Л К теории флуктуационных переходов различных систем из одного стационарного состояния в другое // Вестник МГУ. 19623. N 1

79. Левин Б.Р. Теоретические основы ( тистической радиотехники, i.l. М.: Советское радио,1974 - 552 с

80. Лукшин А.В , Смирнов С Н. Численные методы решения < гпохастических дифференциальных уравнений. // Математическое моделирование 1990. - 2. N 11 - С. 108-121

81. Магнус К Колебания М.: Мир, 1992 - 303 с

82. Макаров Б П Нелинейные задачи статистической динамики машин и приборов М. Машинос троение, 1983 - 264 с

83. Малании В В , Полосков И Е Случайные процессы в нелинейных динамических системах Ижевск' НИЦ "Рет^лярная и хаотическая динамика", 2001 - 160 с

84. Малахов А Н Кумулянтный анализ случайных неыуссовых процессов и их преобразований. М. Советское радио, 1978. - 376 с

85. Мелец И.О., Пыхова ТА., Усков Г В. Многомерная статистическая линеаризация функций, содержащих множители степенного, покаштельного и гпригоно-метричсског типов, а также 5 функции // АиТ. - 1967. - 12 С 65-75

86. Мерклингер К Дж Численный анализ нелинейных систем управления с помощью уравнения Фоккера Планка - Колмогорова // Труды II Международною кошресса ИФАК - М • Наука, 1966 - С 324-339.

87. Мильштейн ГН. Численное интегрирование стохас 1ических дифференциальных уравнений. Свердловск УралГУ, 1988 223 с

88. Митропольский ЮА, Коломиец В.Г Усреднение в стохастических системах // УМЖ 1971. - 23 N 1 - С 318-345

89. Митропольский Ю.А Аналитические методы исследования решений нелинейных дифференциальных уравнения Киев • Мат Инст. Укр АН УССР, 1975 - 209 с.

90. Нгуеп Д. А. Об исследовании случайных колебаний в неавтономных мсханических системах при помощи уравнения Фоккера Планка - Колмогорова. // Г1ММ. 1985 - 49 - С. 506-512.

91. Нгуеп Д.А К вопросу об интегрируемости усредненных уравнений Фоккера -Планка Колмогорова // Изв. АН СССР МТТ. - 1985 - 3 - С 45-48

92. Нес 1еров С.В Примеры нелинейных уравнений Клейна-Гордона имеющих точные решения в элементарных (функциях. // Труды МЭИ. 1978. - N. 357 - С. 68 - 70.

93. Оксендаль Б Стохастические дифференциальные уравнения Введение в теорию и приложения Пер с атнл М.: Мир, 2003. - 406 с

94. Пальмов В А Колебания упрую-пластических тел. М: Наука, 1976. 328 с

95. Пановко Я Г. Основы прикладной теории колебаний и удара Ленишрад Машиноведение, 1976 - 320 с

96. Параев Ю.И. Введение в статистическую динамику процессов управления и фильтрации М Советское радио, 1976 - 184 с

97. Первомайский А.А Случайные процессы в нелинейных автоматических системах. М : Физматгиз, 1962 352 с.

98. Полянин АД Линейные уравнения математической физики (справочник) м. ФИЗМАТЛИТ, 2001 575 с.

99. Пошрягин Л С., Болтянский В Г., Гамкрелидзе Р.В , Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969. - 384 с

100. Прохоров Ю В , Розанов Ю.А Теория вероятное iой. Основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы. М ■ Наука, 1967. 496 с

101. Пугачев B.C. Теория случайные функций и ее применение к задачам автоматического управления. М. Гостехиздат, 1957. - 884 с.

102. Пупков К.А. Статистический расчет нелинейных систем автоматическою управления М.: Машиноведение, 1965 - 403 с.

103. Розанов Ю.А Случайные процессы. М. Наука, 1971. - 288 с.

104. Светлицкий В А. Случайные колебания механических сисюм. М.: Машиностроение, 1991. - 320 с

105. Свешников А А Прикладные методы случайных функций. М Наука, 1968. -464 с.

106. Синицын И Н. Методы статистической линеаризации Обзор // АиТ 1974. -5, С. 82-94

107. Скороход А.В. Случайные процессы с независимыми приращениями. М.: Наука, 1986 320 с11.1 115116117118119120121122123124125

108. Солодовников В В Статистическая динамика, линейных сж том автоматического управления. М.: Физматгиз, 1960. 470 с.

109. Coin J1JI, Юрченко Д В Анализ стохастических виброударных систем < ш упругим ударом. // Изв Ак Наук, МТТ 2006 2, - С 180-190.

110. С1ратонович P.J1. Условные марковские процессы. М/ МГУ, 1966 350 с

111. Стратонович PJI Избранные вопросы теории флуктуации в радиотехнике М . Советское радио, 1961 558 с

112. Субботин А И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона-Якоби. М . Наука, 1991. 216 с

113. Субботина Н Н. Метод характеристик Коши и обобщенные решения уравш ния Гамильтона Якоби - Беллмана // ДАН СССР. - 1991. 320 N 3. С. 501 - 506.

114. Тердычный-Даури В.Ю Стохастическая механика М. Факториал пресс, 2001.- 464 с.

115. Тихонов В И , Миронов М.А. Марковские процессы. М. Сов. радио, 1977 408с.

116. Тихонов В.И Нелинейные преобразования случайных процессов. М Радио и связь, 1986 - 296 с

117. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж Курс современного анализа, т 1. М : Физматгиз, 1962.- 342 с.

118. Флемиш У., Ришел Р Оптимальное управление детерминированными и стохас1и-ческими системами. Пер. с англ. М.: Мир, 1978 - 317 с

119. Хазен Э.М Методы оптимальных статис тических решений и задачи оптимальней о управления М.: Советское радио, 1968 256 с.

120. Хасьминский РЗ. Устойчивость дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров М.: Наука, 1969. - 368 с.

121. Хасьминский Р.З. О случайных процисих, определяемых дифференциальными уравнениями с малым параметром // Теория вероятностей и ее применения 1966. - XI. N 2. - С. 240 - 259.

122. Хасьминский Р.З Предельная теорема для решения дис/ф ренциальных уравнений со случайной правой частью // Теория вероятностей и ее применения 1966 XI, N 3, С 444 - 462

123. Хасьминский Р.З О работе консервативной tut теми при возжейс твии малого трения и малого случайного шума // ПММ 1964 28, N 5, С 931 - 935.

124. Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических chcicm. М. Наука, 1977. - 560 с

125. Черкасов И ДО преобразовании диффузионного процесса в винеровский. // Теория вероятностей и ее применения. 1957 2, N 3, С 384 - 388

126. Черноусько Ф Л , Колмановский В.Б. Ошимальное управление при случайных возмущениях М.: Наука, 1978 352 с

127. Черноусько Ф Л , Акулепко Л Д , Соколов Б.Н. Управление колебаниями. М Наука, 1980 - 384 с

128. Черноусько Ф Л Ограниченное управление в системах с распределенными пара-мегпрами // Прикладная математика и механика 1992 56 N 5 - С. 810 -826

129. Ширяев А Н. Вероятность. М Наука, 1980 575 с

130. Юрченко ДВ Оптимальное управление маятника с вязким тпрением под действием нормального и одностороннего пуассоновского шумов. // Аннот. докл

131. VIII Всероссийский сьезд по теоретической и прикладной механике. Пермь 2001. С. 617.

132. Юрченко Д В. Параметрическое управление одной стохастической системы второго порядка // Изв Ак Наук, Теория и Сисюмы Управления 2004. - 43, N 1. - С 79-83.

133. Юрченко Д В Стохастические колебания виброударных систем. // Аннот. докл.

134. Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Н. Новгород - 2006 - т. 1 С 122

135. Юрченко Д.В. Некоторые новые результаты в динамике стохастических виброударных систем. // Труды XV симпозиума Динамика виброударных сисмтем.- Звенигород 2006 - С 323 - 328

136. Юрченко Д В Сравнение ограниченного и неограниченного управлений с обратной е вя то для стохастической линейно квадратичной шдачи // АиТ 2006 - 67, N 7 - С. 88 - 94

137. Aliyu М D S. A transformation approach for solving the Hamilton-Jae obi-Bellman equation in H2 deterministic and stochastic optimal control of affine nonlinear systems // Automatica 2003 - 39, P 1243 - 1249

138. Andrievsky В R. Computation of the excitability index for linear oscillator. Proceedings of the 44th IEEE conference on Dicision and control, Seville 2005. P 3537-3540.

139. Anh N D., Hung L X An improved criterion of Gaussian equivalent linearization for analysis of non-linear stochastic systems // Journal of Sound and Vibration. 2003- 268, P 177- 200

140. Bancora-Imbert M С , Chow P L , Menaldi J L. On the numerical approximation of an optimal correction problem // SIAM J Sci and Stat. Comp 1988. 9, P 970-991

141. Bardi M., Capuzzo-Dolcetta I. Optimal Control and Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi-Bellrnan equations. Boston Birkhauser, 1997 - 570 p

142. Barles G., Biton S., Ley O. Uniqueness for parabohcequations without growth condition and application to the mean curvature flow in R2. // Journal of Differential Equations2003 187, - P 456 - 472.

143. Bellizzi S., Bouc R. Analysis of multi-degree of freedom strongly non-linear mechanical systems with random input Part I: Non-linear modes and stochastic averacjinq. // Probabilistic Engineering Mechanics. 1999. - 14, - P 229 - 244.

144. Bensoussan A Perturbation methods in Optimal Control NY.: John Wiley, 1988. -573 p.

145. Bensoussan A. Stochastic Control of Partially Observable Systens. Cambridge University Press, 1992 352 p

146. Bergman L A , Spencer Jr BF First passage of a sliding rigid structure on a frictional foundation //Earthquake engineering and structural dynamics 1985 - 12. P. 281291

147. Bergman L A , Spencer Jr. В F First passage time for linear systems with stochastic coefficients. // Probabilistic Engineering Mechanics 1987. 2, N 1. P 46-53

148. Boyd S P., Barratt С H Linear Controller Design . Limits of Performance Prentice Hall Edgewood Cliffs 1991 416 p.

149. Bratus A S , Dimentberg M.F., Iourtchenko D.V. Optimal bounded response control for a second-order system under a white-noise excitation // J Vibration and Control. -2000 N 6. P. 741-755.

150. Bratus A., Dimentberg M., Iourtchenko D. and Noori M. Hybrid solution method for Dynamic programming equations for MDOF stochastic systems // Dynamics and Control 2000 - N 10. - P. 107-116

151. Cai G.Q.,Lin Y.K. Response spectral densities of strongly nonlinear systems under random excitation // Probabilistic Engineering Mechanics. 1997 12, - P. 41 - 47.

152. Caughey T.K On the response of non-linear oscillator to stochastic excitation // Probabilistic Engineering Mechanics 1986. 1, N 1, - P 2-4.

153. Collette F S A combined tumd absorber and pendulum unpad damper under ransom excitation. // Journal of Sound and Vibration 1998 216, N 2, - P 199 - 213

154. Corlebb M., Lcitmann G Destabilization ma active stiffness //Dynamics and Control.1997. 7 P. 263 - 268.

155. Crandall M.G , Lions P L Viscosity solutions of Hamilton Jacobi equations. // Trans A M S - 1984. - 277, P 1 - 42

156. Crandall M G , Ishn H , Lions P L User's quide to viscosity solutions of second order partial differential equations // Bull Am. Math. Soc 1992 27, - P. 1 - 67

157. Crandall S H. Is stochastic equivalent linearization a subtly flawed procedure// Probabhstic Engineering Mechanics 2001. - 16, - P. 169 - 176.

158. Crespo L G., Sun J Q Optimal control of target tracking via simple cell mappinq. // Journal of Guidance, Control and Dynamics 2000 - 24, P 1029 - 1031.

159. Crespo L G., Sun J Q. Solution of fixed final state optimal control problems via simple cell mapping // Nonlinear Dynamics 2000. 23, P 391 - 403.

160. Crespo L.G , Sun J Q Stochastic optimal control of nonlinear systems via short-time Gaussian approximation and cell mapping. // Nonlinear Dynamics. 2002 28, - P. 323 - 342

161. Crespo L G., Sun J.Q. Fixed final time optimal control via simple cell mapping // Nonlinear Dynamics 2002. - 31, - P. 119 - 131.

162. Dimetnberg M.F. An exact solution to a certain non-linear random vibration problem // Int Journal of Non-linear Mechanics. 1982 17, N 4, P. 231 - 236

163. Dimentberg M F. Statistical dynamics of nonlinear and time varying systems. NY, John Wiley к Sons Inc , 1988 - 609 p.

164. Dimentberg M.F. On a theory of swings. // Journal of Vibration and Control 2002 - 8. - P. 311 - 319.

165. Dimentberg M., Bratus A Bounded parametric control of random vibrations // Proceedings of the Royal Society. Series A 2000. - N 456 - P. 2351-2363.

166. Dimentberg MF, Haernsch H.G. Pstudo linear vibro - impact system with a secondary structure response to a white-noise excitation // Journal of Applied Mechanics. - 1998 65, - P. 772 - 774

167. Dimentberg M F , Hon Z., Noori M. Spectral density of a nonhruar system's response to a white-noise random excitation a unique case of an exact solution. // Int. Journal of Non-linear Mechanics 1995 30, - P. 673 - 676.

168. Dimentberg M F., Iourtchenko D.V., O. van Ewjik. Subharmomc response' of quasi -isochronous vibro - impact system to a randomly disordered periodic excitation // Nonlinear Dynamics - 1998 - 17, - P. 173 - 186.

169. Dimentberg M F , Iourtchenko D V , O. van-Ewjik Subharmomc response of moored systems to ocean waves Part l'lmpactmg system. // Proceeding of 4th International Conference on Stochastic Structural Dynamics University of Notre Dame. 1999 -P. 495 - 498

170. Dimentberg M F , Hou Z , Noori M , Iourtchenko D.V , Wang Y. Dynamics of structure' subjected to imperfectly periodic excitation. // Structural Dynamics EURODYN'99, A.A. Balkema Publisher 1999, Rotterdam, Netherlands Prague. 1999 P 207-212.

171. Dimentberg M F., Iourtchenko D V., Bratus A S Transition from planar to whirling oscillations in a certain nonlinear systems. // Nonlinear Dynamics. 2000 N 23.1. P 165 174.

172. Dimentberg MF, Iourtchenko D.V Instability of planar oscillations m a certain nonlinear system under random excitation // Journal of Sound and Vibration. 2000- 233 N 1 P 175 177

173. Dimentberg M F , Iourtchenko D V., Bratus A. Optimal bounded control of steady-state random vibrations //Probabilistic Engineering Mechanics 2000 15, P. 381-386.

174. Dimentberg M.F , Iourtchenko D.V , Bratus A. Optimal control of random vibration hybrid solution to dynamic programming equation // 3rd ICONNE Nonlinear Dynamics, Chaos, Control and Their Applications in Engineering Sciences. V 4. -2000 P 60-78

175. Dimentberg M F., Iourtchenko D.V. Random vibrations with impact and related control problems. // The dynamics of vibroimpact (strongly nonlinear) systems. V.2. Zvemgorod. 2001 P. 120-121.

176. Dimentberg M.F., Iourtchenko D.V., Bratus A. Bounded control of random vibration hybrid solution to HJB equations. // Meccanica. 2002. - 37, - P. 129-141

177. Dimentberg M.F , Iourtchenko D V. Nonresonant response of a vibroimpact system to imperfectly periodic sinusoidal excitation // Vibroimpact and strongly nonlinear systems V.2. Zvenigorod 2003 P 24

178. Dimentberg MF, Iourtchenko D.V. Random vibrations with impacts A review // Nonlinear Dynamics 2004 36, - P. 229 - 254

179. Dimentberg M F., Iourtchenko D V Stochastic and/or chaotic response of a // vibroimpact system to imperfectly periodic sinusoidal excitation // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 2005 - 15, - P. 2057 - 2061.

180. Dimentberg M F , Iourtchenko D.V., Naess A. Coherence function of transverse random vibrations of a rotating shaft. //J of Sound and Vibrations 2006 295, -P. 983 - 986

181. Dimentberg M F , Lin Y К An exact solution for the response spectral density of a sdof system under both parametric and additive random excitations // Journal of Applied Mechanics 2002. 69, - P. 399 - 400

182. Di Paola M., Falsone G Ito and Stratcmomch integrals for delta correlated processes // Probabhstic Engineering Mechanics. 1993 8, - P. 197 - 208.

183. Dreyfus S E Dynamic Programming and Calculus of Variations. New York Academic Press, 1965 248 p.

184. Elishakoff I Stochastic linearization technique: a new interpretation and a .selective review. // The Shock and Dibration Digest 2000 32, P 179 - 188.

185. Er G K. An improved closure method for analysis of nonlinear stochastic systems // Nonlinear Dynamics 1998 - 17, - P. 285 - 297.

186. Er G.K Exponential closure method for some randomly excited non-linear systems. / / Int Journal of Non-linear Mechanics. 2000. - 35, - P 69 - 78.

187. Er G K., Iu V P A consistent and effective method for non-linear random oscillations of MDOF systems // IUTAM Symposium on Recent Developments in Nonlinear Oscillations of Mechanical Systems. 2000. - P. 85 - 94

188. Fdlbono G. Cumulant and correlations for linear systems under rum-stationary delta- correlated processes // Probablistic Engineering Mechanics 1994 9, - P. 157 -165

189. Falsone G., Elibhakoff I Modified stochastic linearization technique for colored noise excitation of Duffung oscillator // Int. J. of Non-linear Mechanics 1994 - 29, N 1,1. P 65-69

190. Feller W Diffusion process in one dimension // Тгапь of the Am Math Society -1954. 77, P 1-31.

191. Fleming WH Stochastic control for small noise intensities. // SIAM .1. Control. -1971 9, N 3, P. 473- 517

192. Fleming W.H , Soner H M Controlled Markov Processes and Viscosity Solutions -Springer-Verlag, New York, 1992. 428 p.

193. Gokcek C., Kabarnba P.T., Meerkov S.M. An LQR/LQG theory for systems with saturatinq actuators // IEEE Trans,. Auto. Contr 2001 46, N. 10, P 1529- 1542

194. Grigonu M. White noise processes // Journal of Engineering Mechanics. ASCE. -1987. 113, N. 5, - P. 757 - 765

195. Grigonu M Applied non-Gaussian processes Examples, Theory, Simulation, Linear vibration, and MATLAB solutions NJ, Prentice Hall, 1998 - 442 p

196. Hijawi M., Ibrahim R.A , Moshchuk N. Nonlinear random response of ocean structures using first-and-second order stochastic averaging // Nonlinear Dynamics. 1997. 12, - P. 155 - 197.

197. Hsu C. S. Cell-to-cell Mapping, A Method of Global Analysis for Nonlinear Systems Springer Verlag, New York, 1987. 352 p

198. Ни T , Lin Z. Control Systems with Actuator Saturations Analysis and Design -Boston: Burkhauser, 2001 392 p.

199. Huang Z.L., Zhu W.Q , Su/uki Y. Stochastic averaging of strongly non-linear oscillators under combined harmonic and white noise excitations. // Journal of Sound and Vibration. 2000 238, N 2, - P. 233 - 256

200. Huang Z L , Zhu W.Q Stochastic averaging of guasi-integrabale Hamiltonian systems under combined harmonic and white-noise excitations // Int Journal of Non-linear Mechanics 2004. 39, P 1421 - 1434.

201. Iourtchenko D.V. Subharnionic response of a vibroimpact system to narrow band random excitation MS Thesis Worcester. WPI, 1998 70 p.

202. Iourtchenko D V , Duval L., Dimentberg M.F. The damping identification for certain SDOF systems // Proceedings of 20th Southeastern Conference on Theoretical and Applied Mechanics Auburn. 2000 P. 535-538

203. Iourtchenko D V. Stochastic optimal bounded control for a system with the Boltz cost function // J Vibration and Control. 2000 N. G - P. 1195-1204.

204. Iourtchenko D V., Dimentberg M F., Bratus A S Optimal control of random vibrations by bounded stiffness variations // ICTAM 2000. Technical Report No 950 Chic ago 2000. P 178-179

205. Iourtchenko D V., Dimentberg M.F. Energy balance for random vibrations of piecewise-conservativt systems. // Journal of Sound and Vibration 2001 248, N 5, P. 913- 923

206. Iourtchenko D.V., Dimentberg M F. Analysis of piecewise conservative systems by the energy balance method // Proceeding of XXIX summer school Advanced Problems ш Mechanics. Editor D A. Indeitsev. Repino 2001. - P.322-331

207. Iourtchenko D V Method of dm ct enerqy balance for vibroimpact systems with random excitation // Proceeding of lilt Conf. Nonlinear Dynamics, Chaos, Catastrophes and Control Editor M. Zakrzhevsky. Riga 2001 - P. 39 - 42

208. Iourtchenko D.V Response spec tral density of linear systems with external and parametric поп Gaussian, delta - correlated excitation // Probabhstic Engineering Mechanics - 2003 - 18, P 31 - 36

209. Iourtchenko D V., Song L.L Method of measuring filters for determination of response power spectral density function. // Proceeding of XXXI summer school Advanced Problems in Mechanics Editor D.A. Indeitsev. Repino 2003. - P. 138 - 140

210. Iourtchenko D V., Bratus A S., Dimentberg M.F. Stochastic optimal control of dynamic systems under gaussian and poisson excitation. // Proceedings of European Control Conference MS Stochatic Systems. Cambridge. 2003. P. 28-31.

211. Iourtchenko D.V., Menaldi J.L. Optimal tracking of stochastic systems with bounded control force. // Proceedings of the Third European Conference on Structural Control, 3ECSC, Vienna University of Technology Vienna 2004 - P sl-171 - sl-174

212. Iourtchenko D V , Naess A , Mo E Probability density function of a stiffness controlled by path integration method. // Proceedings of 5th Euroinech Nonlinear Dynamcis Conference. Eindhoven 2005 P. 429 - 433

213. Iourtchenko D V , Song L L. Analytical analysis of stochastic vibroirnpact systems // Safety and reliability of engineering systems and structures Edrs. Augusti G. et al Rome 2005 P 1931 1937.

214. Iourtchenko D V , Song L L. Numerical investigation of a response probability density function of stochastic vibroirnpact systems with inelastic impacts // Int Journal of Non-linear Mechanics 2006 - 41, - P 447 - 455

215. Iourtchenko D V Random vibrations of swings // Journal of Sound and Vibration -2006 295, P 1011 - 1014.

216. Iourtchenko D.V., Naess A , Mo E. Response probability density functions of strongly nonlinear systems by the path integration method. // Int Journal of Non-linear Mechanics. 2006. 41, N 5, - P 693-705.

217. Iwankiewicz R , Nielsen S.R К Advanced methods in stochastic dynamics of non-linear systems Aalborg tekniske Universitetsforlag, 1999. - 274 p

218. Jing H S , Sheu К С. Exact stationary solutions of the random response of a smgle-deejree-of-freedom vibro-irnpact system // Journal of Sound and Vibration. 1990 141, N 3, - P. 363 - 373

219. Jing H S., Young M TRandom response of a single-dtejrte-of-freedom vibro-impact system with clearance // Earthquake Engineering and Structural Dynamics 1990 - 19, - P. 789 - 798

220. Karnopp D , Crosby Y , Harwood R A. Vibration control using semi-active force generators. // Journal of the Engineering for Industry. 1974 - 96, P. 619 - 626

221. Kloeden P.E , Platen E , Schurz H. On steady-state harmonic Vibrations of non-linear systems with many degrees of freedom // International Journal of Bifurcation and Chaos 1991 1, N 2, - P 277 - 286.

222. Kloeden P E , Platen E , Schurz H Numerical solution of SDE through computer experiments Springer Verlag, Berlin, 1994. 292 p

223. Krerik S , Roberts J В Local Similarity m Non-linear random vibration.// Journal of Applied Mechanics 1999 66, N 1, - P. 225 - 236

224. Kushner H J , Schweppe F С The maximum principle for stochastic control system //J Math Anal and Appl 1965 8, P. 287 - 305

225. Kushner H J On the stochastic maximum principle, fixed tune of control // J. Math. Anal and Appl 1965 11, - P. 78 - 92

226. Kushner H J. On the stochastic maximum principle with "average" constraints. // J. Math. Anal and Appl 1965. - 12, P 13 - 26.

227. Kushner H J. Probability Methods for Approximations in Stochastic Control and for Elliptic Equations Academic Press, New York, 1977 - 243 p.

228. Kushner H.J Diffusion approximations to output processes of nonlinear systems with wide-band inputs and applications // IEEE Tran-s on Information Theory. 1980 -26, N 6, P. 715-725

229. Kushner H J., Dupuis P. Numerical Methods for Stochastic Control Problems in Continuous Time Springer - Verlag, New York, 2001 - 475 P.

230. Lin S.Q , Bapat C.N. Estimation of clearance and impact forces using vibroimpact response random excitation. // Journal of Sound and Vibration 1993 - 163, N 3, -P. 407- 421.

231. Lrn Y К Probabilistic theory of structural dynamics. New York, McGraw Hill, 1967. - 368 P.254/ Lin Y.K., Cai G.Q. Probabilistic Structural Dynamics Advanced Theory and Applications New York, McGraw Hill, 1995. - 477 p.

232. Lio F D., Ley 0. Uniqueness results for second order Bellrnan-Isaacs equaton under quadratic growth assumptions and applications // SIAM J Contr. Optim. 2006 -45, N 1, P. 74 106

233. Lions P.L Generalized solution of Hamilton-Jacobi equations Paris, Pitman, 1982- 317 p

234. Leung H К Stochastic transient of a noisy van der Pole oscillator Physica A -1995 221. p 340-347

235. Main S F., Ibrahim A M Response of the impact damper to stationary random excitation // The Journal of the Acoustical Society of America 1973 - 53, N 1, P 200 - 211.

236. Maiud A , Bergman LA Solution of the four dimensional Fokker-Plant к equation still a challenge // Proceesings of ICOSSAR conference Nonlinear Dynamics 4, 2005 С 328.

237. Mehkyan A A Generalized Characteristics of First Order PDEs Applications in Optimal Control and Differential Games Boston- Burkhauser, 1998. 310 p

238. Meirivitch L , Fundamentals of vibrations. New York, McGraw Hill, 2001 806 p

239. Mo E , Naess A , Iourtchenko D.V Response PDF of a controlled swing by path integration method. // Proceedings of 5th Computational stochastic mechanics conference Edt. Spanos P D. pp. 201-207, - Rhodos 2006

240. Naess A , Johnsen J.M Response statistics of nonlinear, compliant offshore structures by the path integral solution method // Probabilistic Engineering Mechanics 1993.8, N 2, P. 91 - 106

241. Naess А., Мое, V. Generalized cell mapping versus path integration // Proceechgns of Computational stochastic mechanics. Edr. Spanos P.D. Balkema 1999. Greece, 1999- P. 385 390

242. Naess А., Мое, V Efficient path integration methods for nonlinear dynamic systems // Probabilistic Engineering Mechanics. 2000. - 15, No. 2, - P. 221-231.

243. Paget A.Z. Vibration of streamturbme buckets and damping by impact // Engineering 1937. 19, N 3

244. Park J , Min К , Kim H Probabilistic bounded non-linear control alqorithm for linear structures // Probabilistic Engineering Mechanics 2005 - 20 - P 168-178

245. Pradlwarter H J. Non linear stochastic response distributions by local statistical linearization // Int. J. Non-linear Mechanics 2001. - 36, N 7, - P 1135 - 1151

246. Proppe С Exact stationary probability density functions for non-linear systems under Poisson white noise excitation // Int. J of Non-linear Mechanics 2003 38, - P. 557 - 564

247. Risken H. The Fokker Plank equation 2nd Edition. Springer - Verlag, New York, 1989 - 472 p

248. Roberts J. В The response of linear vibratory systems to random impulses //Journal of Sound and Vibration 1965. - 2, N 4, - P 375 - 390.

249. Roberts J В , Spanos P D. Random vibration and statistical linearization NY, John Wiley к Sons Inc , 1990. - 408 p

250. Roberts J. В , Spanos P D. Stochastic averaging: an approximate method of solving random vibration problems // Int. J. of Non-linear Mechanics 1986 21, N 2, - P. Ill - 134.

251. Roy R. V. Stochastic averaging of oscillators excited by colored Gaussian processes // Int. Journal of Non-linear Mechanics 1994. - 29, N 4, - P 463 - 475

252. Schueller, G I, et al. A state of-the-art report on computational stochastic mechanic s 11 Probabilistic Engineering Mechanics. 1997. - 12, N 4, - P 197-321.

253. Sniady P. Vibration of a beam due to a random stream of moving forces with random velocity 11 Journal of Sound and Vibration. 1984 97, - P 23 - 33.

254. Socha L , Pawleta M Corrected equivalent linearization of stochastic dynamic systems 11 Machine Dynm Problems 1994 - 7, - P 149-161

255. Soong T.T., Gngonu M. Random vibration of mechanical and structural systems -NJ, Prentice Hall, 1993 402 p.

256. Spanos PD., Cacciola P, Muscollino G. Stochastic averaqmg of preisach hysteretu systems // Journal of Engineering Mechanics 2004 - P. 1257 - 1267.

257. Spencer Jr. BF, Bergman LA. On the numerical solution of the Fokker-Planck equation for nonlinear stochastic systems // Nonlinear Dynamics. 1993.- 4, P. 357372.

258. Suhardio J., Spencer B.F , Sain M. К Non-linear optimal control of a duffing system // Int Journal of Noii-hnear Mechanics 1992 27, N 2, - P. 157 - 172.

259. Sun J Q , Hsu С S The generalized cell mapping method in nonlinear random vibration based upon short-time Gaussian approximation // Journal of Applied Mechanics -1990. 57, - P. 1018 - 1025.

260. Sun J.Q Random vibration analysis of a non-linear system with dry friction damping by the short-time Gaussian cell mapping method // Journal of Sound and Vibration.1995 180, - P 785 - 795.

261. Sworder D.D. On the stochastic maximum principle //J. Math Anal, and Appl. -1968 24, P. 627 - 640.

262. Thompson J M.T., Stewart H В Nonlinear Dynamics and Chaos. Chichester, John Wiley к Sons Inc., 1986. - 377 p.

263. Toinbtiyses В , Aldemir T. Continuous cell-to-cell mapping. // Journal of Sound and Vibration. 1997. 202, - P. 395 - 415

264. Vasta M. Exact stationary solution for a class of non-linear systems driven by a non-normal delta-correlated process. // Int. Journal of Non-linear Mechanics. 1995 - 30, N 4, - P. 407- 418

265. Wang J, Li R , Peng X Survey of nonlinear vibration of gear transmission systems // Applied Mechanics Reviews 2003. - 56, N 3, P 309 - 329.

266. Wojtkiewicz S.F., Spenser В F., Bergman L.A. On the cumulant-negle с t closure method in stochastic dynamics //Int. Journal of Non-linear Mechanics. 1996. 31, N 5, P. 657 684.

267. Wong E Zakai M On the relation between ordinary and stochastic differenatial equation. // Inter. Journal of Engenireening Science. 1965 3, N 2

268. Wonham W M. On a matrix Riccah eqaution of stochastic control // SIAM Journal of Control 1968. 6, N 4, P 681 - 697

269. Wonham W M., Cashman W F. A computational approach to optimal control e>f stochastic saturating systems. // SIAM Journal of Control. 1969 10, N 1, P 77 98.

270. Wu W.F., Lin Y.K Curnulant-Neglect Closure for Nonlinear Oscillators under random parametric and external excitations // Int. Journal of Non-linear Mechanics. 1984. -19, N 4, P. 349 - 362.

271. Yang J N., Li Z , Vongchavalitkul S Stochastic hybrid control of hysteretic structures // Probabilistic Engineering Mechanics 1997. 9, - P. 125-133.

272. Young J., Zhou X.Y. Stochastic control. Hamiltonian systems and HJB equations. // Springer Verlag, New York, 1999. 440 p.

273. Zhu W Q , Deng M L Optimal bounded control for minimizing the response of quasi-mteqrable Hamiltoman systems.// Int. Journal of Non-linear Mechanics . 2004 39, - P. 1535 - 1546

274. Zhu W Q., Wu Y J. Optimal bounded control of harmonically and stochastically cxcited strongly nonlinear oscillators // Probabilistic Engineering Mechanics 2005. - 20, P. 1 - 9

275. Zhu W Q , Ying Z.G , Ni Y Q , Ко J.M. Optimal nonlinear stochastic control of hystcntu systems.// Journal of Engineering Mechanics 2000 126, N 10, - P 1027- 1032

276. Zhu W Q., Ying Z G , Ni Y Q , Ко J M Optimal feedback control of strongly non-linear systems excited by bounded noise // Journal of Sound and Vibration. 2004 274,1. P 701 724