Множества достижимости управляемых систем с интегральными ограничениями: анализ и вычислительные алгоритмы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Зыков Игорь Владимирович

• Зыков Игорь Владимирович
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Зыков Игорь Владимирович

Введение

Глава 1. Вспомогательные результаты

1.1 Необходимые сведения из теории обыкновенных дифференциальных уравнений и оптимального управления

1.1.1 Существование, единственность и продолжимость решений

1.1.2 Верхнее и нижнее решение дифференциального уравнения и принцип сравнения

1.2 Принцип максимума для граничных управлений

1.3 Некоторые свойства траекторий управляемых систем

Глава 2. Граница множества достижимости управляемой системы при интегральных ограничениях на управление и траекторию

2.1 Экстремальные свойства граничных точек множеств достижимости при интегральном ограничении

2.1.1 Решение задачи на примере линейных систем

2.1.2 Экстремальные свойства граничных точек множеств достижимости аффинных управляемых систем с интегральным ограничением

2.2 Граница множества достижимости управляемой системы с несколькими изопериметрическими ограничениями

2.2.1 Вспомогательные сведения из теории многокритериальной оптимизации и постановка задачи

2.2.2 Условия оптимальности для граничных процессов

2.2.3 Необходимые условия в форме принципа максимума

2.2.4 Линейно-квадратичная задача достижимости с двумя ограничениями

2.3 Свойства границы множества достижимости по выходу при совместных интегральных ограничениях на управление и

траекторию

2.3.1 Определения и постановка задачи

2.3.2 Экстремальные свойства граничных точек проекций

множества достижимости на подпространство

Глава 3. Внешние оценки множеств достижимости

управляемых систем с интегральными ограничениями

3.1 Внешние оценки и принцип сравнения

3.1.1 Случай управления из L2

3.1.2 Обобщение на случай управления из Lp

3.2 Нестационарный случай

3.3 Численные примеры

3.3.1 Пример 1: осциллятор Дуффинга

3.3.2 Пример 2: математический маятник

3.3.3 Пример 3: модель Лотки-Вольтерра

Глава 4. Алгоритмы построения множеств достижимости для систем с интегральными и комбинированными ограничениями

4.1 Метод построения границы множества достижимости при интегральных ограничениях на основе принципа максимума

4.2 Линейные системы с двумя изопериметрическими ограничениями. Способ построения, основанный на принципе максимума

4.3 Аналог метода Монте-Карло

4.4 Множества достижимости линейных управляемых систем при разнотипных ограничениях на управление

4.4.1 Определения и постановка задачи

4.4.2 Аппроксимация множества достижимости

4.4.3 Описание алгоритма

4.4.4 Пример ограничений U(1,1,0) для системы 2-го порядка

4.4.5 Пример ограничений U(1,0,1) для системы 3-го порядка

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Приложение А. Свидетельства о государственной регистрации

программ для ЭВМ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Множества достижимости управляемых систем с интегральными ограничениями: анализ и вычислительные алгоритмы»

Введение

Актуальность и степень разработанности темы исследования.

Диссертация посвящена исследованию свойств множеств достижимости управляемых систем с интегральными и комбинированными ограничениями на управление и алгоритмов их построения. Множество достижимости, состоящее из всех состояний систем, в которые можно попасть при помощи управлений из заданного класса, либо под действием возмущений — один из классических объектов изучения в теории управления. Множества достижимости и их обобщения (альтернированный интеграл Л.С. Понтрягина, стабильные мосты H.H. Красовского, информационные множества) широко используются в теории дифференциальных игр, задачах управления в условиях неопределенности, задачах нормированных воздействий и многочисленных приложениях. Начиная с середины прошлого столетия множества достижимости изучались в работах многих авторов. В основном эти исследования относятся к управляемым системам с геометрическими ограничениями на управление (называемые также жесткими или мгновенными). Последние означают, что соответствующая величина управления почти в каждый момент должна находиться в заранее заданном непустом множестве. С помощью них учитываются конструктивные возможности управляемого устройства (нельзя отклонять рули более чем на определенный угол, двигатель не может развивать более заданного числа оборотов и т.п.). Множества достижимости для систем управления с геометрическими (поточечными) ограничениями на управление были предметом изучения во многих работах по теории оптимального управления: А.Б. Куржанский, Ф.Л. Черноусько, В.Н. Ушаков, С.М. Асеев, А.Ю. Горнов, Х.Гусейнов, Е.К. Костоусова, A.B. Лотов, М.С. Никольский, B.C. Пацко, Е.С. Половинкин, A.A. Толстоногов, Т.Ф. Филиппова, F.Lempio, I.M. Mitchell, J.-P. Saint-Pierre, J.A. Sethian, С. Tomlin, M. Quincampoix, P. Varaiya, V. Veliov, R. Vinter и др.

Различные факты о строении и свойствах множеств достижимости получены в монографиях H.H.Красовского[33], H.H.Красовского и А.И.Субботина [34], А.Б.Куржанского [36], Ф.Л.Черноусько [78], F.Schweppe [106] и S.Boyd с соавторами [102] и др.

Для линейных управляемых систем с геометрическими ограничениями на управление множество достижимости может быть построено с помощью

вычисления значений опорной функции (см., например, [6; 33; 36]) на равномерной сетке единичной сферы в Вычисление опорной функции (опорного полупространства) достаточно простая задача для типичных геометрических ограничений на управление. Пересечение опорных полупространств дает внешнюю аппроксимацию множества достижимости. Выпуклая оболочка опорных точек (граничная точка множества, через которую проходит хотя бы одна опорная гиперплоскость) аппроксимирует множество достижимости изнутри. Получение аппроксимации множества достижимости требует, особенно при большой размерности, значительного количества вычислений опорной функции [41]. Для нелинейной управляемой системы вычисление значений опорной функции гораздо более трудная задача. Кроме того, множества достижимости, как правило, невыпуклы. Поэтому пересечение опорных полупространств дает лишь внешнюю оценку множества достижимости.

Известно, что динамику во времени множеств достижимости можно описать некоторыми эволюционными уравнениями (многозначными аналогами обыкновенных дифференциальных уравнений) [28; 35; 47; 62]. Для приближенного построения множеств достижимости можно применять соответствующие разностные схемы (см., например, [100; 112]).Пиксельные методы (или методы "эйлерова типа") предполагают использование априорно заданных сеток в фазовом пространстве и проецирование на них аппроксимаций множеств достижимости в процессе расчетов [15; 43; 67; 68]. Применяемые для построения множеств достижимости методы "стохастических аппроксимаций" [10] основаны на принципе Монте-Карло и состоят из алгоритмов генерации аппроксимативных точек и алгоритмов отсечения неинформативной информации. В ряде работ при построении множеств достижимости для систем с геометрическими ограничениями применяются алгоритмы, основанные на решении вспомогательных экстремальных задач и (или) принципе максимума Понтря-гина [8; 9; 48; 82].

Приближенное построение множеств достижимости требует, как правило, значительных вычислительных затрат. Однако во многих случаях достаточно знать только оценки, внешние или внутренние, для множеств достижимости. В работах Куржанского [97; 98], Черноусько [78], Швеппе [106] была развита техника аппроксимаций множеств достижимости конечнопараметрическими множествами — эллипсоидами. Были получены внешние и внутренние эллипсоидальные оценки в виде решений некоторых эволюционных уравнений. В

[97; 98] доказана возможность получения сколь угодно точных двусторонних приближений для множеств достижимости и многозначных интегралов путем пересечения внешних и объединения внутренних эллипсоидальных оценок по некоторым множествам управляющих параметров. Техника эллипсоидальных оценок развивалась в последующем многими авторами, в том числе и для некоторых классов нелинейных систем [46; 52; 70; 71; 86]. Близкие идеи были также заложены в схему построения оценок при помощи другого конечно-параметрического класса множеств - параллелотопов [29; 30]. В отличие от аппроксимации при помощи опорных функций, которые требуют значительного количества вычислений, методы эллипсоидальной и полиэдральной аппроксимации позволяют достичь определенного компромисса между количеством вычислений и точностью аппроксимации. На основе предложенных алгоритмов были разработаны вычислительные процедуры для решения оценивания и синтеза управлений в линейных системах с неопределенными возмущениями [18; 32; 38]. Множество достижимости совпадает с множеством уровня некоторой функции цены (функции Беллмана) для подходящей задачи оптимального управления. Этот факт позволяет применять алгоритмы, основанные на методах решения уравнений и неравенств Гамильтона-Якоби-Беллмана [17; 37; 96; 98]. Различные методы получения внешних и внутренних оценок множеств достижимости, основанные на использовании дифференциальных неравенств и принципа сравнения для систем с геометрическими ограничениями на управление были исследованы в работах |12 14: 21; 45; 56; 64; 103; 107] и других. В ряде работ [3; 19; 53; 74] исследуются свойства множеств достижимости для систем со случайными параметрами.

Системы с интегральными (ресурсными) ограничениями, которые часто возникают в приложениях, служат предметом исследования в теории управления и дифференциальных играх [61; 65; 66]. Интегральные (мягкие) ограничения позволяют в каждый момент времени выбирать произвольное управляющее воздействие при условии, что интеграл от реализовавшейся траектории управления не превысит заранее заданной величины, называемой резервом управления. В терминах мягких ограничений формулируются условия об ограниченности запаса энергии, топлива управляемого объекта. Множества достижимости для систем с интегральными ограничениями изучены в меньшей степени, чем для систем с геометрическими ограничениями. В линейном случае при ограничениях из известно, что опорная функция множества

достижимости вычисляется в явном виде с помощью численного интегрирования линейного матричного дифференциального уравнения Риккати [36] (см. также подраздел 2.1.1). Класс методов, основанный на полиэдральных аппроксимациях и интервальном анализе, исследуется, например, в работе [31]. Для нелинейных систем управления с интегральными ограничениями на управление множества достижимости на конечном интервале времени и алгоритмы их построения были рассмотрены в работах [49; 88; 89; 105] и других. Алгоритмы построения множеств достижимости, основанные на дискретных аппроксимациях, изучались в [90; 111]. Свойства выпуклости и компактности множеств достижимости при интегральных ограничениях изучались в работах [92; 94; 95; 105]. Вопросы устойчивости множеств достижимости относительно возмущений параметров и ограничений системы рассматривались в работах [76; 77]. В [2; 39; 91] исследовались свойства и алгоритмы построения информационных множеств в задачах оценивания и идентификации при интегральных ограничениях на возмущения, эти множества являются аналогами множеств достижимости в задачах управления.

В диссертационной работе рассматриваются теоретические и вычислительные аспекты описания множеств достижимости линейных и нелинейных управляемых систем, которые стеснены интегральными ограничениями на управляющее воздействие. Изучаются свойства границы множеств достижимости для аффинно-управляемых систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, с интегральными квадратичными ограничениями на управляющие переменные. Исследована задача достижимости при совместных интегральных ограничениях на управляющие параметры и траекторию системы. Для данных задач доказан принцип максимума для граничных траекторий, на основе которого предложены алгоритмы построения границы множества достижимости. Развит метод построения внешних оценок множеств достижимости для нелинейных систем с интегральными ограничениями на управление. Полученные результаты позволяют распространить методы исследования задач теории управления и ее приложений [1; 11; 16; 59; 60; 80; 104; 109] на более широкие классы управляемых систем с интегральными ограничениями.

Цель и задачи исследования. Изучение свойств множеств достижимости нелинейных управляемых систем с интегральными и комбинированными

ограничениями на управление и разработка приближенных алгоритмов их построения.

Методология и методы исследования. Предлагаемые исследования основаны на классических результатах теории дифференциальных уравнений и математической теории управления, методах многокритериальной оптимизации, нелинейном и выпуклом анализе. В качестве численного моделирования применялся математический пакет прикладных программ Ма^аЬ.

Положения, выносимые на защиту. Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1. Для нелинейной управляемой системы с интегральным квадратичным ограничением на управление доказано, что управление, переводящее систему на границу множества достижимости (границу проекции множества достижимости на подпространство), является локальным решением вспомогательной задачи оптимального управления.

2. Предыдущий результат обобщен на случай систем с несколькими совместными интегральными ограничениями на управление и траекторию, в этом случае вспомогательная задача оптимального управления является многокритериальной.

3. Доказан принцип максимума Понтрягина для граничных траекторий в перечисленных выше случаях. Разработаны алгоритмы построения границы множества достижимости на основе принципа максимума. Проведено численное моделирование.

4. Построены внешние оценки множеств достижимости в виде множества уровня некоторой дифференцируемой функции Ляпунова (зависящей только от вектора состояния) для управляемой системы с интегральным ограничением на управление.

5. Предложен и обоснован алгоритм построения множеств достижимости нестационарной линейной системы с комбинированными ограничениями, опирающийся на дискретизацию исходной системы и процедуры конического программирования.

Научная новизна. Проведено исследование свойств множеств достижимости аффинно-управляемых систем с квадратичными интегральными ограничениями на управление. Доказано, что любое допустимое управление, переводящее систему на границу множества достижимости, является локальным решением некоторой задачи оптимального управления с квадратичным

интегральным функционалом, если соответствующая линеаризованная система вполне управляема. Эти результаты были обобщены на случай нескольких интегральных ограничений, зависящих от управления и траектории. Предложены алгоритмы построения границы множеств достижимости на основе принципа максимума Понтрягина. Предложена новая схема получения внешних оценок множеств достижимости систем с интегральными ограничениями, в основе которых лежат интегральные оценки для производных функций Ляпунова вдоль траекторий систем. Также рассмотрен новый алгоритм решения задачи с комбинированными ограничениями, основанный на дискретизации исходной линейной системы и процедуре конического программирования. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность работы. Работа носит в основном теоретический характер. Доказаны необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина для граничных траекторий. Разработаны алгоритмы приближенного построения множеств достижимости для нелинейных систем управления 2-го и 3-го порядков. Алгоритмы реализованы в виде программ с помощью пакета математического моделирования Ма^аЬ. Алгоритмы и программы представляют практическую ценность, так как могут быть использованы для решения конкретных задач управления механическими системами, а также в экологии и биологии.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность основных результатов проведенных исследований подтверждается строгостью математических утверждений и их доказательств, которые подкрепляются наглядными иллюстрирующими примерами. Непротиворечивость полученных результатов подтверждается обоснованным применением строгих математических методов исследований, публикацией работ в открытой печати в ведущих рецензируемых изданиях и апробацией результатов диссертации. Результаты диссертации обсуждались на внутренних семинарах отдела оптимального управления ИММ УрО РАН, а также докладывались на следующих конференциях:

• Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и информационные технологии», 16 ноября 2016 г., Екатеринбург (Ур-ГУПС);

и

• XIII Всероссийской конференции молодых ученых «Моделирование, оптимизация и информационные технологии — 2017», 13-18 марта 2017 года, Иркутск;

•

механика, устойчивость и управление — 2017», 14-17 июня 2017 года, Казань;

Control, 9-14 July 2017, Тулуза, Франция;

the Application of Mathematics in Technical and Natural Sciences, AMiTaNS'18, 20-25 июня 2018, Албена, Болгария;

•

the Application of Mathematics in Technical and Natural Sciences, AMiTaNS'19, 20-25 июня 2019, Албена, Болгария;

•

ЧТЕНИЯ - VIII. Общие проблемы управления и их приложения (ОПУ-2018)", посвященной 115-летию со дня рождения А.Н. Колмогорова и 100-летию Тамбовского государственного университета имени Г.Р. Державина, 1-5 октября 2018 года, Тамбов;

•

школах-конференциях "Современные проблемы математики и ее приложений" (2017, 2018, 2019, 2020, 2021, 2022, 2023 гг., Екатеринбург);

Москва, ИПУ РАН, 17-20 июня 2019;

- XXX 3-9 мая 2019 года, Воронеж;

•

пых решений уравнений Гамильтона - Якоби посвященному 75-летию со дня рождения академика А.И. Субботина, г.Екатеринбург, 26-30 октября 2020 года;

•

управления и математическое моделирование"СТММ2020, 15-19 июня 2020, Россия, г. Ижевск, УдГУ;

ня, 9-13 августа 2021 г., Россия, г. Сочи;

• XVI Международной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (конференция Пятницкого), Россия, Москва, ИПУ РАН, 1 - 3 июня 2022 г.;

•

теллитной конференции Международного конгресса математиков (ICM 2022), Екатеринбург, 27 июня - 1 июля 2022 г.

Публикации. Основной материал диссертации опубликован в 17 научных статьях [113—117; 120; 122; 125; 127; 128; 130; 131; 135; 138-141]. Из них 11 работ опубликованы в журналах, входящих в перечень рецензируемых научных изданий списка ВАК [114; 115; 120; 122; 131] или в приравненных к ним изданиях, входящих в международные реферативные базы данных и системы цитирования (Web of Science и/или Scopus) [117; 135; 138—141]. Статьи [114; 115] имеют переводные версии на английском языке [136; 137]. Также получены 2 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ (РосПатент) [133; 134] (см. приложение А). Одна программа зарегистрирована в РосРИД [132]. В работах [118; 119; 121; 123; 124; 126; 129] представлена часть всех тезисов к докладам на всероссийских и международных математических конференциях.

Личный вклад автора. Все основные результаты кандидатской диссертации получены автором самостоятельно. В работах, выполненных в соавторстве с научным руководителем, М.И.Гусеву принадлежат постановки задач и общие схемы их исследований, а соискателю И.В. Зыкову точные формулировки, доказательства результатов и разработка алгоритмов с реализацией в виде программ с помощью пакета математического моделирования Mat Lab.

Благодарности. Автор диссертации выражает сердечную благодарность своему научному руководителю Михаилу Ивановичу Гусеву, сотрудникам отдела оптимального управления ИММ УрО РАН за постоянное внимание, помощь и поддержку; своей семье и близким за эмоциональную поддержку.

Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда, проект №16-11-10146 и в рамках исследований, проводимых в Уральском математическом центре при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (номер соглашения 075-02-2023-913).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка сокращений и условных обозначений, списка литературы и

1 приложения. Полный объём диссертации составляет 142 страницы, включая 12 рисунков. Список литературы содержит 141 наименование.

Краткое содержание работы. Приведем далее краткое изложение и описание основных результатов всех глав данной диссертационной работы.

В первой главе работы исследованы некоторые свойства отображений вход-выход, порождаемых аффинными по управлению нелинейными системами, и топологические свойства пучков траекторий и множеств достижимости данных систем. Также приводятся необходимые определения и вспомогательные сведения из теории обыкновенных дифференциальных уравнений и оптимального управления: теоремы существования, единственности и продолжимости решений; определения верхнего и нижнего решения дифференциального уравнения и формулировка принципа сравнения для дифференциальных неравенств. Для нелинейных систем с геометрическими ограничениями приведена формулировка принципа максимума Понтрягина для управлений, ведущих на границу множества достижимости.

Во второй главе рассматриваются аффинные по управлению системы с интегральным квадратичным ограничением на управление. Доказывается теорема о том, что любое допустимое управление, переводящее систему на границу множества достижимости, является локальным решением некоторой вспомогательной задачи оптимального управления с интегральным функционалом и терминальными ограничениями на траекторию, в случае если соответствующая линеаризованная система является вполне управляемой. Доказательство теоремы основано на теореме Люстерника-Грейвса для накрывающих отображений и свойствах производной отображения вход-выход. Это позволяет получить принцип максимума Понтрягина для управлений, переводящих систему на границу множества достижимости; подобный результат хорошо известен в случае геометрических (поточечных) ограничений на управление. Полученные результаты распространены на системы с несколькими изопериметрическими ограничениями (совместными интегральными ограничениями на управление и траекторию). В этом случае вспомогательная задача оптимального управления является многокритериальной. Доказывается, что допустимое управление, переводящее систему на границу множества достижимости, является слабо эффективным (слабо оптимальным по Слейтеру) решением задачи оптимального управления с векторным критерием. Компонентами критерия являются интегральные функционалы, задающие изопериметрические ограничения. В ра-

боте осуществляется редукция рассматриваемой задачи к задаче управления со скалярным критерием. Получены необходимые условия оптимальности управлений, приводящих на границу множества достижимости, в форме принципа максимума Понтрягина.

В третьей главе показано, что метод получения внешних оценок, предложенный в работе [45], может быть адаптирован для систем с интегральными ограничениями. Рассматривается задача построения внешних оценок множеств достижимости в виде множества уровня аналога некоторой дифференцируемой функции Ляпунова (зависящей только от вектора состояния) для управляемой системы с интегральным ограничением на управление пзЬр,р > 1. В частности, при ее подходящем выборе можно получить эллипсоидальные и прямоугольные оценки. Предлагаемые конструкции базируются на интегральных оценках и принципе сравнения для дифференциальных неравенств. За счет использования времени в числе аргументов функции Ляпунова удается получить более точные оценки. В линейном случае последние могут совпадать с множеством достижимости. Приведены результаты численного моделирования.

В четвертой главе исследуются некоторые численные методы построения множеств достижимости для систем с интегральными ограничениями. В начале обсуждаются алгоритмы нахождения границы множеств достижимости на основе соотношений принципа максимума, связанные с решением вспомогательных экстремальных задач при вычислении границы множества достижимости для аффинной по управлению системы с интегральными ограничениями на управляющие параметры и траекторию системы. Применительно к линейной системе подробно исследован случай двух квадратичных изоперимет-рических ограничений. Далее рассматривается аналог метода Монте-Карло для аппроксимации множеств достижимости управляемых систем с интегральными ограничениями, который использует разложение управления по ортонормиро-ванным полиномам со случайным выбором коэффициентов разложения.

В последнем разделе главы обсуждается алгоритм построения границы множеств достижимости линейных управляемых систем с комбинированными ограничениями (управление стеснено одновременно геометрическим и несколькими интегральными ограничениями), основанный на переходе к дискретной системе и решении набора задач конического программирования для вычисления опорных функций множеств. Одновременное наличие нескольких ограничений (двойных, тройных и так далее) делает задачу гораздо более

трудоемкой [57; 73] по сравнению с одним ограничением. При наличии, например, геометрических и интегральных (в ограничений вычисление одного значения опорной функции эквивалентно решению полубесконечной задачи линейного программирования [87]. Наличие же интегральных квадратичных ограничений в пространстве уже не позволяет использовать алгоритмы линейного программирования, а требует привлечения процедур квадратичного (конического) программирования.

По каждому алгоритму приводятся практические примеры с результатами моделирования.

В заключительной части диссертации кратко представлены основные полученные результаты, выносимые автором на защиту и возможные направления их развития, а также список литературы, который дает представление о текущем состоянии исследования множеств достижимости управляемых систем с интегральными ограничениями. В приложении приведены свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ.

Глава 1. Вспомогательные результаты

В настоящей главе раздел 1.1 содержит необходимые определения и вспомогательные сведения из теории обыкновенных дифференциальных уравнений и оптимального управления: теоремы существования, единственности и продолжимости решений; определения верхнего и нижнего решения дифференциального уравнения и формулировка принципа сравнения для дифференциальных неравенств. Для нелинейных систем с геометрическими ограничениями в разделе 1.2 приводится формулировка принципа максимума Понтрягина для управлений, ведущих на границу множества достижимости. В разделе 1.3 приведено исследование некоторых свойств отображений вход-выход, порождаемых аффинными по управлению нелинейными системами, и топологических свойств пучков траекторий и множеств достижимости данных систем.

1.1 Необходимые сведения из теории обыкновенных дифференциальных уравнений и оптимального управления

1.1.1 Существование, единственность и продолжимость решений

В теории оптимального управления рассматриваются дифференциальные уравнения вида

Х = / (1,Х,и(1)), (1.1)

где и() — управление. При этом, хотя функция /(Ъ,х,и) достаточно хорошая (непрерывная или даже гладкая), управление и( ) таковой, вообще говоря, не является. Оно может быть кусочно-непрерывной, либо измеримой функцией. Поэтому правая часть уравнения (1.1) может оказаться разрывной, и следует уточнить, что понимается под решением. Здесь и далее измеримость, интегрируемость, почти всюду и т.д. понимаются в обычном лебеговском смысле.

Наиболее естественно считать, что дифференциальное уравнение (1.1) вместе с начальным условием х(Ъ0) = х0 эквивалентны интегральному урав-

нению

x(t) = х0 + f (s,x(s),u(s))ds. (1.2)

J to

Для того чтобы это было справедливо, х(^) должны быть неопределенным интегралом своей производной, т.е. необходимо, чтобы имела место формула Ньютона-Лейбница

x(t) — х(т) = J x(s)ds. (1.3)

Функции х(^), для которых выполняется (1.3), в лебеговской теории интегрирования называются абсолютно непрерывными.

Теорема 1. (Лебега) Если функция х( ) : А ^ Rn абсолют,но непрерывна, то она дифференцируема почти всюду, ее производная х( ) интегрируема на А и для всех t,T Е А имеет место равенство (1.3).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Зыков Игорь Владимирович, 2023 год

- М1 -

М1 -

О

°р N 1 ■

\

1

p-N

е RN, у(1) = -Ц2>/Д, ( ю^А \

е r(5-p-n+1)x2-p-n, b =

/

2-р-N

0

03-p-N

V

G

r5-p-n+1,

/

Aeq = beq = lb = ub = [ ] — остаются пустыми.

Алгоритм вычисляет не только точки максимума (значения опорной функции), но и точки, в которых достигаются максимумы, так как именно эти точки дают аппроксимацию множества достижимости. Наконец, чтобы получить аппроксимацию множества достижимости исходной системы, необходимо последним шагом произвести линейное преобразование множества dG(tN,Vn) с помощью матрицы Коши Ф(1 n)• Заметим, что данную схему нетрудно редуцировать на более простые случаи, либо перенести на случай произвольного (в зависимости от вычислительных мощностей) числа комбинаций разного вида ограничений.

Дальнейшие примеры используют решатель coneprog и параллельный цикл parf or. Решатель использует алгоритм, описанный в работе [81]. Эксперименты проводились на 4-ядерном процессоре Intel(R) Core(TM) i7-6700HQ CPU с тактовой частотой 2.60 GHz и NVIDIA GeForce GTX 960М.

4.4.4 Пример ограничений U(1,1,0) для системы 2-го порядка

Рассмотрим управляемую линейную систему с постоянными коэффициен-

тами:

Xi(t) = x2(t),x2(t) = u(t), х е R2, u е R,t еТ = [0,2], ж(0) = 0. (4.53)

Допустимыми управлениями будем считать измеримые скалярные функции времени и(Ь\ удовлетворяющие одновременно двум неравенствам: |и(£)| ^

Г2

1, 1и^)1 ^ 1. Последние два неравенства с физической точки зрения озна-°

чают ограниченность величины и импульса управляющей силы соответственно. Остановимся более подробно на преобразовании данных ограничений к дискретному виду и сведению к форме БОСР. В данном случае коническое ограничение

(4.51) отсутствует, а = = 1, | = |1 = 1 £ =

V ад

т

е К

2М

у,ад е Матрицы 0({) = В этом случае И =

т

В к =

- 1

0 -А ... -А(А - 1) 11 ... 1

-Ак 1

т

к = 0,...,А - 1.

е КпхМ. Так как = 1, то

М° = I е . Геометрическое ограничение |^к| ^ А, к = 0,...,М - 1

т

принимает вид:

(-1)5 • I О

г ^

е , 5 = 1,2. Ситуация

А ... А

с интегральным ограничением посложнее, так как возникает необходимость избавиться от модуля под знаком суммы Х^ь-1 1г)к I ^ 1- Это можно реализовать с помощью введения дополнительного вектора ад е К М. Действительно, если обозначить адк = к|, к = 0,...,М - 1, то тк ^ 1 с дополни-

тельными условиями: ад

к ^ 0 и -адк < ук < адк. При М1 = I е хМ

это можно записать иначе:

(-1Г•I -I

0

0

т

е ,5 = 1,2,

О -I

г ^

0

0

т

0

0м 1

пые входные параметры (4.52) нашей задачи:

А =

(

\

0

-I о

I о

-I -I

I -I

о -I

0 м 1 •

\

1

N

/

^ ^ 1. Запишем линей-

А

е м(5-М+1)х2-М, ь =

0

03-М 1

е К'

+1

Аед = Ьед = 1Ь = иЬ = [ ] — остаются пустыми. Тогда граница множества достижимости аппроксимирующей системы представима в виде

дС(2,и(1,1,0)) « Ф(2) • дС^мУм(1,1,0)) =

(;;)■и <

Б О

х

2 1.5

1

0.5 1 0 -0.5 -1 -1.5 -2

Рисунок 4.7 Границы множеств достижимости системы (4.53) при двойных ограничениях (черным цветом), геометрическом (красным) и интегральном (синим) ограничениях

В качестве ф будем рассматривать равномерное распределение точек на еди-

т

сое а бш а

где

ничной окружности с помощью параметризации ф(а) = а( ко) = Ц •ко, ко = 0,...,Щ - 1.

Построим множество достижимости на основе изложенного алгоритма для данной системы при данных ограничениях (см. рис. 4.7, внутренний график черным цветом). Синим обозначено множество достижимости только при интегральном неквадратичном ограничении, а красным только при геометрическом. При N = N0 = 200 время вычисления и построения множества достижимости (черным цветом) составило примерно 2.5 секунды. На данном рисунке можно заметить, что С[2,и(1,1,0)] С С[2,Щ] П С^Щ.

4.4.5 Пример ограничений и(1,0,1) для системы 3-го порядка

Рассмотрим тройной интегратор:

х1(г) = х2(г), х2(г) = х3(г), х3(г) = и(г), х е к3, и е к, гет = [0,3], х(0) = 0.

(4.54)

X

Рисунок 4.8 Трехмерное множество достижимости тройного интегратора

Допустимыми управлениями будем считать измеримые скалярные функции времени и(Ъ\ удовлетворяющие одновременно геометрическому и интегральному ограничениям ^ 1, ^ 4. В данном случае присутствует

Л

коническое ограничение вида (4.51) (т = 1). На рис. 4.8 представлена общая трехмерная картина множества достижимости интегратора третьего порядка. Нетрудно заметить, что большая часть всего массива точек сконцентрирована вдоль некоторой кривой (границы "лепестка") и лишь малая часть рассеивающим образом покрывает основную поверхность множества достижимости. В качестве значений входных параметров использовались следующие: шаг разбиения по времени N = 300 и равномерно распределенные случайные единичные векторы направлений в количестве 4200 штук. Скорость вычисления и построения составила около 30 секунд.

Чтобы избежать подобных проблем визуалиции, попробуем построить двумерные сечения множества достижимости плоскостью Хз = 3(2а — 1) € [-3,3], где а € [0 : 0.05 : 1] для данной системы при данных ограничениях (см. рис. 4.9). Отметим, что плоскость, задающая сечение, добавляет ограничение к зада-

В О

п обозначает вектор

че в виде равенства Лед • г = бед, где Аед = )

нормали к плоскости сечения, а бед = а — )х°. В качестве ф выбираем

трехмерные единичные векторы параллельные плоскости сечения (в данном

примере п = (0,0,1)), то есть должны выполняться условия" = Ц- и п ± е. Из

перпендикулярности последних п • е = 0 или п 1 • е1 + п2 • е2 + Пз • ез = 0. Так как

||п- = 0, то, не ограничивая общности, будем считать пз = 0. Тогда справед-

т

ливо обозначить е =

е1 е2 — ^ (п 1 • в1 + п2 • е2) , где в1 = сое в е2 = вт в

в(к0) = • N0, ко = 0,... ,N0 — 1. Всего было построено 21 сечение по N0 точек на каждое. При N = 300 и Ж0 = 200 время вычисления и построения каждого сечения множества достижимости составило не более 1.5 секунды, а общее время около 29 секунд.

Как видим, применение сечений не проигрывает в скорости по отношению к случайному выбору направлений, но дает более полную картину множества достижимости.

Рисунок 4.9 — Сечения плоскостью х3 = 3(2а — 1) Е [—3,3], а Е [0 : 0.05 : 1] границы множества достижимости системы (4.54) при геометрическом и интегральном квадратичном (на норме ограничениях

*га о

-1

Заключение

В диссертационной работе рассмотрены некоторые вопросы описания множеств достижимости линейных и нелинейных управляемых систем при интегральных ограничениях на управляющее воздействие и траекторию. Методами классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений и линейной алгебры, математической теории оптимального управления, оптимизации (в том числе многокритериальной), математического программирования и выпуклого анализа получены следующие основные результаты.

1. Для нелинейной управляемой системы с интегральным квадратичным ограничением на управление доказано, что управление, переводящее систему на границу множества достижимости (границу проекции множества достижимости на подпространство), является локальным решением вспомогательной задачи оптимального управления.

2. Предыдущий результат обобщен на случай систем с несколькими совместными интегральными ограничениями на управление и траекторию, в этом случае вспомогательная задача оптимального управления является многокритериальной.

3. Доказан принцип максимума Понтрягина для граничных траекторий в перечисленных выше случаях. Разработаны алгоритмы построения границы множества достижимости на основе принципа максимума. Проведено численное моделирование.

4. Построены внешние оценки множеств достижимости в виде множества уровня некоторой дифференцируемой функции Ляпунова (зависящей только от вектора состояния) для управляемой системы с интегральным ограничением на управление.

5. Предложен и обоснован алгоритм построения множеств достижимости нестационарной линейной системы с комбинированными ограничениями, опирающийся на дискретизацию исходной системы и процедуры конического программирования.

Перечислим некоторые возможные направления развития исследований, проведенных в данной диссертационной работе.

о Исследовать достаточные условия для описания граничных точек множеств достижимости нелинейной управляемой системы (которая

нелинейна по фазовым переменным и линейна по управлению) при интегральном ограничении на управление.

о

граничных точек множеств достижимости управляемой системы при ослабленных условиях на интегральное ограничение, а также при наличии не только интегральных, но и геометрических ограничений.

о

стижимости нелинейных управляемых систем при помощи множества уровней функции Ляпунова, зависящей от времени и траектории.

о

достижимости нелинейных управляемых систем с геометрическими ограничениями на управляющее воздействие и неопределенностью по начальным условиям, где нелинейная функция в правой части системы предполагается квадратичной по переменной состояния.

Список сокращений и условных обозначений

:=

Ъ множество целых чисел

Ат, А' транспонированная вещественная матрица Л нулевой вектор в ^

(х,у), < х,у > скалярное произведение векторов х,у, Е ^ ||ж|| = (х,х)1/2 евклидова норма

|| Л У норма матрицы, подчиненная евклидовым нормам векторов

дЗ граница 3 С Vд(х), дх(х) градиент функции д(х) в точке х (х) матрица Якоби отображеиия д(х) со1(ж1,... ,хт) вектор-столбец в с координатами Х{ со1(ж1,... ,хк) вектор-столбец, составленный из вектор-столбцов хг разной размерности

Ь1, Ь2,С пространства суммируемых, суммируемых с квадратом и непрерывных вектор-функций на [¿0,^1]

у нормы в пространствах I = 1,2 • ||с норма в пространстве С

Список литературы

1. Алеева, С. Р. Моделирование гарантированного управления с интегральным ограничением в линейной управляемой системе [Текст] / С. Р. Алеева, В. И. Ухоботов // Вестник ЧелГУ. — 2002. — № 6. — С. 135—147.

2. Ананьев, Б. И. О коррекции движения при коммуникационных ограничениях [Текст] / Б. И. Ананьев // Автомат, и телемех. — 2010. - № 3. -С. 3—15.

3. Ананьев, Б. И. Оценивание эволюции случайного множества [Текст] / Б. И. Ананьев // Тр. ИММ УрО РАН. - 2016. - Т. 22, № 1. - С. 14 25.

4. Арутюнов, А. В. Принцип максимума Понтрягина. Доказательство и приложения [Текст] / А. В. Арутюнов, Г. Г. Магарил-Ильяев, В. М. Тихомиров. — М. : Факториал Пресс, 2006. — 144 с.

5. Беккенбах, Э. Неравенства [Текст] / Э. Беккенбах, Р. Беллман. — М. : Наука, 1965. - 276 с.

6. Благодатских, В. И. Введение в оптимальное управление (линейная теория) [Текст] / В. И. Благодатских. — М. : Высшая школа, 2001. — 239 с.

7. Васильев, Ф. П. Методы оптимизации [Текст] / Ф. П. Васильев. — М. : Факториал пресс, 2002. — 824 с.

8. Вдовиц С. А. Построение множества достижимости интегратора Брокет-та [Текст] / С. А. Вдовин, А. М. Тарасьев, В. Н. Ушаков // Прикладная математика и механика. — 2004. Т. 68. Л'° 5. О. 707 724.

9. Горнов, А. Ю. Вычислительные технологии решения задач оптимального управления [Текст] / А. Ю. Горнов. — Новосибирск : Наука, 2009. — 278 с.

10. Горнов, А. Ю. Алгоритм кусочно-линейной аппроксимации границы множества достижимости [Текст] / А. Ю. Горнов, Е. А. Финкельштейн // Автомат, и телемех. — 2015. — № 3. — С. 22—31.

11. Гребенникова, И. В. Задача оптимального управления сингулярно возмущенной системой с запаздыванием при интегральных квадратичных ограничениях [Текст] / И. В. Гребенникова // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. — 2012. — Т. 12, № 4. — С. 3—11.

12. Гурман, В. И. Принцип расширения в задачах управления [Текст] / В. И. Гурман. — М. : Физматлит, 1997. — 287 с.

13. Гурман, В. И. Описание и оценка множеств достижимости управляемых систем [Текст] / В. И. Гурман, Г. Н. Константинов // Дифференц. уравнения. _ 1987. _ т. 23, № 3. - С. 416-423.

14. Гусее, М. И. О внешних оценках множеств достижимости нелинейных управляемых систем [Текст] / М. И. Гусев // Тр. ИММ УрО РАН. — 20Ц. - Т. 17, № 1. - С. 60-69.

15. Гусейнов, X. Г. Об аппроксимации областей достижимости управляемых систем [Текст] / X. Г. Гусейнов, А. Н. Моисеев, В. Н. Ушаков // Прикл. математика и механика. — 1998. — Т. 62, № 2. — С. 179—187.

16. Гусейнов, X. Г. Приближенное построение множеств достижимости с интегральными ограничениями на управление [Текст] / X. Г. Гусейнов, А. А. Незнахин, В. Н. Ушаков // Прикл. математика и механика. — 1999. _ Т. оз. № 4. - С. 580-590.

17. Дарьин, А. Н. Нелинейный синтез управлений при двойных ограничениях [Текст] / А. Н. Дарьин, А. Б. Куржанский // Дифференц. уравнения. — 2001. - Т. 37, № И. - С. 1476-1484.

18. Дарьин, А. Н. Параллельный алгоритм вычисления инвариантных множеств линейных систем большой размерности при неопределенных возмущениях [Текст] / А. Н. Дарьин, А. Б. Куржанский // ЖВМ и МФ. — 2013. - Т. 53, № 1. - С. 47-57.

19. Дигайлова, И. А. Задача достижимости при стохастических возмущениях [Текст] / И. А. Дигайлова, А. Б. Куржанский // Дифференц. уравнения. _ 2004. - Т. 40, № И. - С. 1494-1499.

20. Дмитрук, А. В. Теорема Люстерника и теория экстремума [Текст] / А. В. Дмитрук, А. А. Милютин, Н. П. Осмоловский // УМН. — 1980. — Т. 35, № 6. - С. 11—46.

21. Дыхта, В. А. Неравенство Ляпунова-Кротова и достаточные условия в оптимальном управлении [Текст] / В. А. Дыхта // Итоги науки и техн. Сер. Соврем, мат. и ее прил. Темат. обз. — 2006. — Т. 110. — С. 76—108.

22. Егоров, А. И. Уравнения Риккати [Текст] / А. И. Егоров. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 320 с.

23. Зайцева, M. В. Методы построения оценок множеств достижимости в задаче моделирования потоков людей [Текст] / М. В. Зайцева, П. А. То-чилин // ЖВМ и МФ. - 2023. - Т. 63, № 8. - С. 1381-1394.

24. Иоффе, А. Д. Метрическая регулярность и субдифференциальное исчисление [Текст] / А. Д. Иоффе // УМН. - 2000. - Т. 55, № 3. - С. 103-162.

25. Калмащ Р. Очерки по математической теории систем [Текст] / Р. Калман, П. Фал б, М. Арбиб. - М. : Мир, 1971. - 400 с.

26. Карлин, С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике [Текст] / С. Карлин. — М. : Мир, 1964. — 835 с.

27. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа [Текст] / А. И. Колмогоров, С. В. Фомин. - ФИЗМАТЛИТ, 2023. -576 с.

28. Комаров, В. А. Уравнение множеств достижимости дифференциальных включений в задаче с фазовыми ограничениями [Текст] / В. А. Комаров // Тр. мат. инта АН СССР им. В.А.Стеклова. — 1988. — Т. 185. — С. 116-125.

29. Костоусова, Е. К. О полиэдральном оценивании областей достижимости линейных многошаговых систем [Текст] / Е. К. Костоусова // АиТ. —

1997. _ до 3 _ С 57 68.

30. Костоусова, Е. К. Внешнее и внутреннее оценивание областей достижимости при помощи параллелотопов [Текст] / Е. К. Костоусова // Вычисл. технологии. — 1998. — Т. 3, № 2. — С. 11 20.

31. Костоусова, Е. К. О полиэдральных оценках множеств достижимости линейных многошаговых систем с интегральными ограничениями на управление [Текст] / Е. К. Костоусова // Вычисл. технологии. — 2003. — Т. 8, № 4. - С. 55-74.

32. Костоусова, Е. К. О полиэдральном методе решения задач синтеза стратегий управления [Текст] / Е. К. Костоусова // Тр. ИММ УрО РАН. — 2014. - Т. 20, № 4. - С. 153-167.

33. Красовский, H. Н. Игровые задачи о встрече движений [Текст] / H. Н. Красовский. — М. : Наука, 1970. — 420 с.

34. Красовский, H. Н. Позиционные дифференциальные игры [Текст] / H. Н. Красовский, А. И. Субботин. — М. : Наука, 1974. — 476 с.

35. Куржанский, А. В. Эволюционные уравнения для пучков траекторий синтезированных систем управления [Текст] / А. В. Куржанский, О. И. Никонов // Докл. РАН. - 1993. - Т. 333, № 5. - С. 578-581.

36. Куржанский, А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности [Текст] / А. Б. Куржанский. — М. : Наука, 1977. — 392 с.

37. Куржанский, А. Б. Принцип сравнения для уравнений типа Гамильтона Якоб и в теории управления [Текст] / А. Б. Куржанский / / Тр. ИММ УрО РАН. - 2006. - Т. 12, № 1. - С. 173-183.

38. Куржанский, А. Б. Управление эллипсоидальными траекториями. Теория и вычисления [Текст] / А. Б. Куржанский, А. И. Месяц // ЖВМ и МФ. - 2014. - Т. 54, № 3. - С. 404-414.

39. Куржанский, А. Б. Минимаксная фильтрация при квадратичных ограничениях 1,11,III [Текст] / А. Б. Куржанский, И. Я. Пищулина // Дифференциальные уравнения. — 1976. — Т. 12, № 8, 9, 12. — С. 1434—1446, X5Q8—15795 2149-2158.

40. Ли, Э. Б. Основы теории оптимального управления [Текст] / Э. Б. Ли, Л. Маркус. - М. : Наука, 1972. - 576 с.

41. Лотов, А. В. Численный метод построения множеств достижимости для линейных управляемых систем с фазовыми ограничениями [Текст] /

A. В. Лотов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1975. — Т. 15, № 1. — С. 67-78.

42. Мартынюк, А. А. Устойчивость движения: метод интегральных неравенств [Текст] / А. А. Мартынюк, В. Лакшмикантам, С. Лила. — Киев : Наук, думка, 1989. — 272 с.

43. Незнахин, А. А. Сеточный метод приближенного построения ядра выживаемости для дифференциального включения [Текст] / А. А. Незнахин,

B. Н. Ушаков // Вычислительная математика и математическая физика. - 2001. - Т. 41, № 6. - С. 895-908.

44. Никольский, М. С. О покоординатном оценивании множества достижимости управляемой системы [Текст] / М. С. Никольский // Вести. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и кибернет. — 2018. — № 2. — С. 31—35.

45. Никольский, М. С. Об оценке множества достижимости для некоторых объектов управления [Текст] / М. С. Никольский // Материалы Международной конференции, посвященной 110-летию со дня рождения Льва Семеновича Понтрягина. — 2018. — С. 194—196.

46. Овсеевич, А. И. Двусторонние оценки областей достижимости управляемых систем [Текст] / А. И. Овсеевич, Ф. Черноусько // ПММ. — 1982. — Т. 46, № 5. - С. 737-744.

47. Панасюк, А. И. Об одном уравнении, порождаемом дифференциальным включением [Текст] / А. И. Панасюк, В. И. Панасюк // Матем. заметки. — 1980. - Т. 27, № 3. - С. 429-437.

48. Пацко, В. С. Трехмерное множество достижимости нелинейной управляемой системы [Текст] / В. С. Пацко, С. Г. Пятко, А. А. Федотов // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2003. — № 3. — С. 320—328.

49. Пацко, В. С. Множество достижимости машины Дуби пси с интегральным ограничением на управление [Текст] / В. С. Пацко, Г. И. Трубников, А. А. Федотов // МТИП. - 2023. - Т. 15, № 2. - С. 89-104.

50. Пацко, В. С. Множество достижимости в момент для машины Дубинса в случае одностороннего поворота [Текст] / В. С. Пацко, А. А. Федотов // Тр. ИММ УрО РАН. - 2018. - Т. 24, № 1. - С. 143-155.

51. Подиновский, В. В. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач [Текст] / В. В. Подиновский, В. Д. Ногин. — М. : Наука, 1982. — 256 с.

52. Подчукаев, В. А. К задаче определения возможных состояний нестационарной линейной системы [Текст] / В. А. Подчукаев // АиТ. — 1976. — С. 187-189.

53. Родина, Л. П. Инвариантные и статистически слабо инвариантные множества управляемых систем [Текст] / Л. И. Родина // Изв. Ин-та математики и информатики УдГУ. — 2012. — 2(40). — С. 3—164.

54. Ройтенберг, Я. П. Автоматическое управление [Текст] / Я. Н. Ройтен-берг. — М. : Наука, 1971. — 396 с.

55. Рокафеллар, Р. Выпуклый анализ [Текст] / Р. Рокафеллар. — М. : Мир, 1973. - 472 с.

56. Рублев, И. В. Множества достижимости в каскадных управляемых системах [Текст] / И. В. Рублев // Дифференц. уравнения. — 2004. — Т. 40, Л" 12. - С. 1636-1644.

57. Сиротин, А. П. Достижимость и управляемость дискретных систем при ограниченных по величине и импульсу управляющих воздействиях [Текст] / А. Н. Сиротин, А. М. Формальский // Автомат, и телемех. — 2003. - Т. 64, № 12. - С. 17-32.

58. Соболь, И. М. Метод Монте-Карло [Текст] / И. М. Соболь. — М.: Наука, 1978. - 64 с.

59. Соколов, Б. Н. Об одной дифференциальной игре преследования с запаздыванием информации при наличии интегральных ограничений [Текст] / Б. Н. Соколов // Дифференц. уравнения. — 1972. — Т. 8, № 10. — С. 1797—1804.

60. Соломатищ А. М. Игровая задача сближения - уклонения для линейной системы с интегральными ограничениями на управление игроков [Текст] / А. М. Солома гин // Прикл. матем. и механика. — 1984. — Т. 48, Л" 4. - С. 568-573.

61. Субботин, А. И. Альтернатива для дифференциальной игры сближения-уклонения при интегральных ограничениях на управления игроков [Текст] / А. И. Субботин, В. Н. Ушаков // Прикладная математика и механика. - 1975. - Т. 39, № 3. - С. 387-396.

62. Толстоногое, А. А. Об уравнении интегральной воронки дифференциального включения [Текст] / А. А. Толстоногов // Матем. заметки. — 1982. — Т. 32, № 6. - С. 841-852.

63. Толстоногов, А. А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве [Текст] / А. А. Толстоногов. — Новосибирск: Наука, 1986. — 297 с.

64. Точилищ П. А. О построении невыпуклых аппроксимаций множеств достижимости кусочно-линейных систем [Текст] / П. А. Точи л пи / / Дифференциальные уравнения. - 2015. - Т. 51, № И. - С. 1503-1515.

65. У хоботов, В. И. Об одном классе дифференциальных игр с интегральными ограничениями [Текст] / В. И. Ухоботов // Прикладная математика и механика. - 1977. - Т. 41, № 5. - С. 819-824.

66. Ушаков, В. Н. Экстремальные стратегии в дифференциальных играх с интегральными ограничениями [Текст] / В. Н. Ушаков // Прикладная математика и механика. — 1972. — Т. 36, Л'° 1. С. 15 23.

67. Ушаков, В. Н. Дефект стабильности в игровой задаче о сближении в момент [Текст] / В. Н. Ушаков, А. Р. Матвийчук, П. Д. Лебедев // Вести. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки. — 2010. - № 3. -С. 87-103.

68. Ушаков, В. Н. О приближенном построении решений в игровых задачах управления [Текст] / В. Н. Ушаков, А. П. Хрипунов // ПММ. — 1997. — Т. 61, № 3. - С. 413—421.

69. Филиппов, А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью [Текст] / А. Ф. Филиппов. — М. : Наука, 1985. — 224 с.

70. Филиппова, Т. Ф. Оценки множеств достижимости управляемых систем с нелинейностью и параметрическими возмущениями [Текст] /Т.Ф. Филиппова // Тр. ИММ УрО РАН. - 2014. - Т. 20, № 4. - С. 287-296.

71. Филиппова, Т. Ф. Внешние оценки множеств достижимости управляемой системы с неопределенностью и комбинированной нелинейностью [Текст] / Т. Ф. Филиппова // Тр. ИММ УрО РАН. - 2017. - Т. 23, № 1. -С. 262-274.

72. Фипкельштейп, Е. А. Алгоритм аппроксимации множества достижимости нелинейной управляемой системы эллипсоидами оптимального объема [Текст] / Е. А. Финкельштейн, А. Ю. Горнов // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. — 2013. — Т. 3, № 39. — С. 38-43.

73. Формалъскищ А. М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами [Текст] / А. М. Формальский. — М.: Наука, 1974. — 368 с.

74. Хаммадщ А. X. О свойствах характеристик множества достижимости управляемой системы [Текст] / А. X. Хаммади // Изв. Ин-та математики и информатики УдГУ. — 2015. — Т. 2, № 46. — С. 216—227.

75. Хартман, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения [Текст] / Ф. Хартман. — М. : Мир, 1970. — 720 с.

76. Чепцов, А. Г. Асимптотическая достижимость при возмущении интегральных ограничений в абстрактной задаче управления, I [Текст] / А. Г. Чепцов // Изв. вузов. Матем. — 1995. — № 2. — С. 60—71.

77. Чепцов, А. Г. Асимптотическая достижимость при возмущении интегральных ограничений в абстрактной задаче управления. II [Текст] / А. Г. Чепцов // Изв. вузов. Матем. — 1995. — № 3. — С. 62—73.

78. Черпоуьско, Ф. Л. Оценивание фазового состояния динамических систем [Текст] / Ф. Л. Черноуьско. — М. : Наука, 1988. — 320 с.

79. Штойер, Р. Многокритериальная оптимизация. Теория, вычисления и приложения [Текст] / Р. Штойер. — М. : Радио и связь, 1992. — 504 с.

80. Akyar, E. On the compactness of the attainable sets of control systems with p-integrable controls [Текст] / E. Akyar // Miskolc Mathematical Notes. — 2008. — Vol. 9, no. 1. — P. 17—24.

81. Andersen, E. On implementing a primal-dual interior-point method for conic quadratic optimization [Текст] / E. Andersen, C. Roos, T. Terlaky // Math. Program., Ser. В 95. — 2003. — P. 249 277.

82. Baier, R. Approximation of Reachable Sets using Optimal Control Algorithms [Текст] / R. Baier, M. Gerdts, I. Xausa // Numerical Algebra, Control and Optimization. — 2013. — Vol. 3, no. 3. — P. 519 548.

83. Bertsekas, D. P. Nonlinear Programming [Текст] / D. P. Bertsekas. — Athena : Scientific, 1999. — 774 p.

84. Cockayne, E. J. Plane motion of a particle subject to curvature constraints [Текст] / E. J. Cockayne, G. W. C. Hall // SIAM J. Control. — 1975. — Vol. 13, no. 1. — P. 197—220.

85. Dontchev, A. L. The Graves Theorem Revisited [Текст] / A. L. Dontchev // Journal of Convex Analysis. — 1996. — Vol. 3, no. 1. — P. 45—53.

86. Filippova, T. F. Estimates of reachable sets of control systems with bilinear-quadratic nonlinearities [Текст] / Т. F. Filippova, O. G. Matviychuk // Ural Math. J. — 2015. — Vol. 1, no. 1. — P. 45^54.

87. Goberna, M. A. A Linear Semi-Infinite Optimization [Текст] / M. A. Goberna, M. A. Lopez. — Wiley, 1998. — 356 p.

88. Guaranteed Simulation of Dynamical Systems with Integral Constraints and Application on Delayed Dynamical Systems [Текст] / P. Rousse [et al.] // In: Chamberlain R., Edin Grimheden M., Taha W. (eds) Cyber Physical Systems. Model-Based Design. CyPhy 2019, WESE 2019. Lecture Notes in Computer Science, vol 11971. Springer, Cham. — 2020.

89. Guseinov, К. G. Approximation of the attainable sets of the nonlinear control systems with integral constraint on controls [Текст] / К. G. Guseinov // Nonlinear Analysis. — 2009. — Vol. 71, no. 1/2. — P. 622 645.

90. Guseinov, K. G. Attainable sets of the control system with limited resources [Текст] / К. G. Guseinov, A. S. Nazlipinar // Trudy Inst. Mat. i Mekh. UrO RAN. — 2010. — Vol. 16, no. 5. — P. 261 268.

91. Gusev, Л/. /. On Optimal Control Problem for the Bundle of Trajectories of Uncertain System [Текст] / M. I. Gusev // Lecture Notes in Computer Sciences. — 2010. — Vol. 5910. — P. 286^293.

92. Gusev, M. I. On convexity of small-time reachable sets of nonlinear control systems [Текст] / M. I. Gusev, I. O. Osipov // AIP Conference Proceedings. 2019. Vol. 2164, iss. 1: Application of Mathematics in Technical and Natural Sciences (AMiTaNS'll): 11th Intern. Conf., June 20-25, 2019, Albena, Bulgaria. Art. no. 060007. 9 p. —.

93. Gusev, M. I. Numerical method for solving linear-quadratic control problems with constraints [Текст] / M. I. Gusev, I. V. Zykov // Ural Mathematical Journal. — 2016. — Vol. 2, no. 2. — P. 108—116.

94. Huseyin, N. Compactness of the set of trajectories of the controllable system described by an affine integral equation [Текст] / N. Huseyin, A. Huseyin // Appl. Math. Comput. — 2013. — Vol. 219. — P. 8416 8424.

95. Huseyin, N. On the properties of the set of trajectories of nonlinear control systems with integral constraints on the control functions [Текст] / N. Huseyin, A. Huseyin, K. G. Guseinov // . — 2021. — Vol. 28, no. 3. — P. 274 284.

96. Kurzhanski, A. B. Hamiltonian techniques for the problem of set-membership state estimation [Текст] / A. B. Kurzhanski // International Journal of Adaptive Control and Signal Processing. — 2010. — Vol. 25, no. 3. — P. 249—263.

97. Kurzhanski, A. B. Ellipsoidal Calculus for Estimation and Control [Текст] / A. B. Kurzhanski, I. Valyi. — Birkhauser,Boston, 1997. — 321 p.

98. Kurzhanski, A. B. Dynamics and Control of Trajectory Tubes [Текст] / A. B. Kurzhanski, P. Varaiya. — Birkhauser : Boston, 2014. — 457 p.

99. Lee, E. B. Foundations of Optimal Control Theory [Текст] / E. B. Lee, L. Marcus. — New York : Wiley, 1967. — 576 p.

100. Lempio, F. Discrete approximation of differential inclusion [Текст] / F. Lem-pio, V. Veliov // Bayr.Math.Sehr. — 1998. — Vol. 54. — P. 149 232.

101. Lew, T. Sampling-based Reachability Analysis: A Random Set Theory Approach with Adversarial Sampling [Текст] / Т. Lew, M. Pavone // Proceedings of the 2020 Conference on Robot Learning. — 2021. — Vol. 155. — P. 2055—2070.

102. Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory [Текст] / S. Boyd [et ai.]. _ Philadelphia : SIAM, 1994. — 205 p.

103. Mitchell, I. M. Overapproximating Reachable Rets by Hamilton-Jacobi Rro-jections [Текст] / I. M. Mitchell, C. J. Tomlin // J.Sci.Comput. — 2003. — Vol. 19, no. 1—3. — P. 323—346.

104. Motto.M. Minimum Time with Bounded Energy, Minimum Energy with Bounded Time [Текст] / M. Motta, C. Sartori // SIAM J. Control Optim. — 2003. — Vol. 42, no. 3. — P. 789 809.

105. Poly ok, В. T. Convexity of the Reachable Set of Nonlinear Systems Under L 2 Bounded Controls [Текст] / В. Т. Polyak // Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems Series A: Mathematical Analysis. — 2004. — Vol. 11, no. 2. — P. 255—267.

106. Schweppe, F. C. Uncertain Dynamic Systems [Текст] / F. C. Schweppe. — NJ : Prentice-Hall, 1973. — 563 p.

107. Sethian, J. A. Level Set Methods and Fast Marching Methods [Текст] / J. A. Sethian. — New York: Cambridge Univ. Press, 1999. — 404 p.

108. Sinyakov, V. V. Approximation of reachability sets for nonlinear unicycle control system using the comparison principle [Текст] / V. V. Sinyakov, I. V. Roublev // IFAC Proceedings Volumes. — 2013. — Vol. 46, no. 23. — P. 688—692.

109. Soravia, P. Viscosity solutions and optimal control problems with integral constraints [Текст] / P. Soravia // Systems and Control Letters. — 2000. — Vol. 40, no. 5. — P. 325—335.

110. Sussmann, H. J. Lie brackets and real analyticity in control theory [Текст] / H. J. Sussmann // Banach Center Publications. — 1985. — Vol. 14, no. 1. — P. 515—542.

111. The approximation of reachable sets of control systems with integral constraint on controls [Текст] / К. G. Guseinov [et al.] // Nonlinear Differential Equations and Applications. — 2007. — Vol. 14, no. 1/2. — P. 57—73.

112. Veliov, V. M. Approximations to Differential Inclusions by Discrete Inclusions [Текст] / V. M. Veliov. — 1989. — P. 1—37.

Публикации автора по теме диссертации

113. Гусев, М. И. О задаче достижимости для нелинейной системы с интегральными ограничениями на управление [Текст] / М. И. Гусев, И. В. Зыков // Аналитическая механика, устойчивость и управление : XI Междунар. Четаевская конф., Казань, 13 - 17 июня 2017 г. : труды. Т. 3. Секц. 3. Управление. Ч. I. - Казань: КНИТУ-КАИ. - 2017. - С. 220-228.

114. Гусев, М. И. Об экстремальных свойствах граничных точек множеств достижимости управляемых систем при интегральных ограничениях [Текст] / М. И. Гусев, И. В. Зыков // Труды Ин-та математики и механики. - 2017. - Т. 23, № 1. - С. 103-115.

115. Гусев, М. И. О геометрии множеств достижимости управляемых систем с изопериметрическими ограничениями [Текст] / М. И. Гусев, И. В. Зыков // Труды Ин-та математики и механики. — 2018. — Т. 24, Л'° 1.

С. 63-75.

116. Гусев, М. И. О задачах достижимости в системах с интегральными ограничениями [Текст] / М. И. Гусев, И. В. Зыков // XIII Всерос. совещ. по проблемам управления (ВСПУ 2019), 17-20 июня 2019, Москва, Россия, ИПУ РАН: труды. М. - 2019. - С. 52-56.

117. Зыков, И. В. О задаче достижимости для нелинейной управляемой системы с интегральными ограничениями [Текст] / И. В. Зыков // CEUR Workshop Proceedings. - 2017. - Т. 1894. - С. 88-97.

118. Зыков, И. В. О задаче достижимости для управляемой системы с интегральными ограничениями на управление и траекторию [Текст] / И. В. Зыков // Моделирование, оптимизация и информационные технологии : 13-я Всерос. конф. молодых ученых памяти проф. В.И.Гурмана, 13-18 марта 2017 г., Иркутск - Старая Ангасолка (оз. Байкал): тезисы. Иркутск: ИДСТУ СО РАН. - 2017. - С. 35.

119. Зыков, И. В. Алгоритм построения множеств достижимости при наличии нескольких интегральных ограничений [Текст] / И. В. Зыков // Современные проблемы математики и её приложений : Междунар. (49-я Всерос.) молодёжная шк.-конф., 4 -10 февр. 2018, Екатеринбург : тезисы. - 2018. - С. 29.

120. Зыков, И. В. Об алгоритме построения множеств достижимости управляемых систем с изопериметрическими ограничениями [Текст] / И. В. Зыков // Вестн. Тамбов, ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. — 2018. — Т. 23, Л" 122. - С. 309-316.

121. Зыков, И. В. Внешние оценки множеств достижимости управляемых систем с интегральными ограничениями [Текст] / И. В. Зыков // Современные проблемы математики и её приложений : Междунар. (50-я Всерос.) молодёжная шк.-конф., 3-9 февр. 2019, Екатеринбург : тезисы. Екатеринбург. — 2019. — С. 36.

122. Зыков, И. В. О внешних оценках множеств достижимости управляемых систем с интегральными ограничениями [Текст] / И. В. Зыков // Изв. Ин-та математики и информатики УдГУ. — 2019. — Т. 53. — С. 61—72.

123. Зыков, И. В. О внешних оценках множеств достижимости управляемых систем с интегральными ограничениями [Текст] / И. В. Зыков // Современные методы в теории краевых задач: Воронеж, весен, мат. шк. (3-9 мая 2019 г.): материалы Междунар. науч. конф. / Воронеж, гос. ун-т; МГУ; МИ РАИ,- Воронеж : Изд. дом ВГУ. - 2019. - С. 146-147.

124. Зыков, И. В. О внешних оценках множеств достижимости линейных управляемых систем с интегральными ограничениями [Текст] / И. В. Зыков // Современные проблемы математики и её приложений : Междунар. (51-я Всерос.) молодёжная шк.-конф., 3-7 февр. 2020, Екатеринбург : тезисы. Екатеринбург. — 2020. — С. 53.

125. Зыков, И. В. О способах построения внешних оценок множеств достижимости управляемых систем с интегральными ограничениями [Текст] / И. В. Зыков // Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона - Якоби - (СС8'2020): материалы III Междунар. семинара, посвященного 75-летию акад. А.И. Субботина, Екатеринбург, 26-30 окт. 2020. Екатеринбург: ИММ УрО РАН. - 2020. - С. 167-170.

126. Зыков, И. В. О способе приближенного построения множеств достижимости линейных управляемых систем с интегральными ограничениями [Текст] / И. В. Зыков // Теория управления и математическое моделирование: Всерос. конф. с междунар. участием, поев, памяти проф. Н.В. Азбелева и проф. Е.Л. Тонкова (Ижевск, Россия, 15-19 июня 2020): материалы. — Ижевск: Изд. центр «Удмурт, ун-т». — 2020. — С. 175—176.

127. Зыков, И. В. О внешних оценках множеств достижимости управляемых систем с интегральными ограничениями [Текст] / И. В. Зыков // Итоги науки и техн. Сер. Соврем, мат. и ее прил. Темат. обз., ВИНИТИ РАН. —

2021. - Т. 190. - С. 107-114.

128. Зыков, И. В. Аппроксимация множеств достижимости линейных управляемых систем при разнотипных ограничениях на управление [Текст] / И. В. Зыков // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления (конференция Пятницкого) : материалы XVI Междунар. научн. конфер. (1-3 июн. 2022 г., Москва). - 2022. - С. 197-200.

129. Зыков, И. В. О приближенном вычислении множеств достижимости линейных управляемых систем при различных ограничениях на управление [Текст] / И. В. Зыков // Современные проблемы математики и её приложений : Междунар. (53-я Всерос.) молодёжная шк.-конф., 31 янв. - 4 февр. 2022, Екатеринбург : тезисы. Екатеринбург. — 2022. — С. 91—92.

130. Зыков, И. В. Приближенное вычисление множеств достижимости линейных управляемых систем при изопериметрических и других типах ограничений [Текст] / И. В. Зыков // Теория оптимального управления и приложения (ОСТА 2022): материалы Международной конференции, (Екатеринбург, 27 июня-1 июля 2022 г.) — 2022. — С. 83—86.

131. Зыков, И. В. Приближенное вычисление множеств достижимости линейных управляемых систем при разнотипных ограничениях на управление [Текст] / И. В. Зыков // Изв. Ин-та математики и информатики УдГУ. —

2022. - Т. 60. - С. 16-33.

132. Зыков, И. В. Зарегистрированный программный продукт для ЭВМ № АААА-Г18-618122990007-5 "Алгоритм построения границы множества достижимости при совместных интегральных ограничениях на управление и траекторию"/ автор — И.В. Зыков; заявитель и правообладатель — Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского Уральского отделения Российской академии наук // орган регистрации: РосРИД. Зарегистрировано 29.12.2018.

133. Зыков, И. В. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2020661557 "Программа для построения методом Монте-Карло множеств достижимости нелинейных систем с интегральными ограничениями на управление"/ авторы — И.В. Зыков, И.О. Осипов; за-

явитель и правообладатель — Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики и механики им. И.И. Красов-ского Уральского отделения Российской академии наук // Федеральная служба по интеллектуальной собственности (РосПатент). Зарегистрировано 24.09.2020.

134. Зыков, И. В. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2020661558 "Алгоритм построения границы множества достижимости при совместных интегральных ограничениях на управление и траекторию"/ автор — И.В. Зыков; заявитель и правообладатель — Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики и механики им. И.И. Красовского Уральского отделения Российской академии наук // Федеральная служба по интеллектуальной собственности (РосПатент). Зарегистрировано 24.09.2020.

135. Gusev, М. I. Ои Extremal Properties of Boundary Points of Reachable Sets for a System with Integrally Constrained Control [Текст] / M. I. Gusev, I. V. Zykov // IFAC-PapersOnLine. — 2017. — Vol. 50, no. 1. — P. 4082—4087.

136. Gusev, M. I. On Extremal Properties of the Boundary Points of Reachable Sets for Control Systems with Integral Constraints [Текст] / M. I. Gusev, I. V. Zykov // Proc. Steklov Inst. Mathematics. — 2018. —Vol. 300, suppl. 1. — SI 14 SI 25.

137. Gusev, M. I. On the Geometry of Reachable Sets for Control Systems with Isoperimetric Constraints [Текст] / M. I. Gusev, I. V. Zykov // Proc. Steklov Inst. Mathematics. — 2019. — Vol. 304, suppl. 1. — S76 S87.

138. Gusev, M. I. An algorithm for computing reachable sets of control systems under isoperimetric constraints [Текст] / M. I. Gusev, I. V. Zykov // AIP Conference Proceedings. 2018. Vol. 2025, iss. 1: Application of Mathematics in Technical and Natural Sciences (AMiTaNS'18): 10th Jubilee Intern. Conf., June 20-25, 2018, Albena, Bulgaria. Art. no. 100003. —. — P. 114 125.

139. Gusev, M. I. External Estimates and Comparison Principle for Trajectory Tubes of Nonlinear Control Systems [Текст] / M. I. Gusev, I. V. Zykov // AIP Conference Proceedings. 2019. Vol. 2164, iss. 1: Application of Mathematics in Technical and Natural Sciences (AMiTaNS'll): 11th Intern. Conf., June 20-25, 2019, Albena, Bulgaria. Art. no. 060008. 10 p. —.

140. Zykov, I. V. Approximation of Reachable Sets of Linear Control Systems under Different Types Constraints on the Control [Текст] / I. V. Zykov // IEEE Xplore. Proceedings of 2022 16th International Conference on Stability and Oscillations of Nonlinear Control Systems (Pyatnitskiy's conference), STAB 2022, Moscow, Russian Federation. — 2022. — P. 1^4.

141. Zykov, I. V. An Algorithm for Constructing Reachable Sets for Systems with Multiple Integral Constraints [Текст] / I. V. Zykov // Springer Proceedings in Mathematics and Statistics - 2020 - Vol. 318 (Mathematical Analysis With Applications). —. — P. 51—60.

Приложение А

Свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ