Глобальная устойчивость нелинейных динамических систем с распределенными параметрами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, доктор физико-математических наук Смирнова, Вера Борисовна

• Смирнова, Вера Борисовна
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Смирнова, Вера Борисовна

ВВЕДЕНИЕ.

ЧАСТЬ I

УСТОЙЧИВОСТЬ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (ОСНОВНОЙ СЛУЧАЙ)

Глава 1. Глобальная асимптотика в случае стационарной нелинейности. Учет сухого трения в системах регулирования, содержащих трубопровод.

1.1. Частотный критерий глобальной асимптотики в случае дифференцируемой нелинейности, удовлетворяющей условиям сектора

1.2. Учет условий на производную при исследовании глобальной асимптотики в случае кусочно-непрерывной нелинейности в бесконечном секторе.

1.3. Учет сухого трения при исследовании устойчивости регулирования турбины с напорным трубопроводом.

1.4. Влияние кулонова трения на устойчивость регулятора давления в длинном трубопроводе.

Глава 2. Устойчивость "в большом" для систем со стационарными нелинейностями. Оценки областей притяжения для механических систем

2.1. Частотные условия устойчивости в случае кусочно-непрерывной нелинейности, удовлетворяющей условию сектора в окрестности нуля.

2.2. Определение области притяжения положения равновесия для системы, описывающей движение летательного аппарата в горизонтальной плоскости.

2.3. Об областях притяжения устойчивых положений равновесия систем маятникового типа.ТО

ЧАСТЬ II

УСТОЙЧИВОСТЬ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (КРИТИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ ОДНОГО НУЛЕВОГО КОРНЯ)

Глава 3. Дихотомия, устойчивость по Лагранжу, глобальная асимптотика уравнений с периодической нелинейной функцией. Устойчивость многомерных и бесконечномерных биомеханических, радиотехнических, электромеханических систем и систем связи

3.1. Некоторые вспомогательные утверждения относительно решений фазовых уравнений. Частотный критерий дихотомии

3.2. Процедура Бакаева-Гужа. Частотный критерий глобальной асимптотики для интегро-дифференциальных фазовых уравнений с кусочно-непрерывно дифференцируемой нелинейной функцией

3.3. Метод нелокального сведения в применении к фазовым интегро-дифференциальным уравнениям. Частотное условие устойчивости по Лагранжу.

3.4. Метод нелокального сведения. Критерий глобальной асимптотики

3.5. Устойчивость интегро-дифференциальных уравнений с кусочно-непрерывными нелинейными функциями.

3.6. Оценка числа проскальзываний циклов для решений фазовых уравнений.

3.7. Исследование вращательных движений верхушек растущих органов растений.

3.8. Оценка полос захвата систем фазовой автоподстройки частоты с запаздыванием в петле обратной связи.

3.9. Самосинхронизация двух неуравновешенных роторов, находящихся на абсолютно жесткой платформе с одной степенью свободы

3.10. Система синхронизации шумоподобного сигнала в спутниковой системе связи.

Глава IV. Устойчивость бесконечномерных систем с нелинейностью, удовлетворяющей условию сектора

4.1. Круговой критерий абсолютной устойчивости для интегрального уравнения в критическом случае одного нулевого корня

4.2. Устойчивость распределенных систем непрямого регулирования по Лагранжу.

4.3. Усиление кругового критерия для распределенных систем непрямого регулирования.

Глава V. Цепи Чуа

5.1. Глобальная устойчивость канонических цепей Чуа.

5.2. Локализация аттракторов в многомерных системах. Существование ограниченных положительно инвариантных множеств для систем Чуа.

Глава VI. Круговые решения и предельные циклы интегро-дифференциальных уравнений с периодическими нелинейными функциями

6.1. Частотный критерий существования круговых решений для бесконечномерных фазовых систем.

6.2. Оценки частоты периодических решений второго рода

6.3. Оценки частоты биений в системах ФАПЧ с запаздыванием.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Глобальная устойчивость нелинейных динамических систем с распределенными параметрами»

В диссертации изучаются проблемы глобального поведения различных классов нелинейных систем, характерные для двух важных современных научных направлений: теории абсолютной устойчивости систем автоматического управления и теории синхронизации механических, электромеханических, биомеханических, радиотехнических систем. Рассматриваемые в диссертации вопросы включают в себя дихотомию, устойчивость по Лагранжу, глобальную асимптотическую устойчивость, существование периодических решений, существование круговых решений.

В последнее время при изучении сложных систем управления возникла необходимость в учете распределенных звеньев, поскольку, чем точнее описание системы, тем более точными являются результаты ее качественного исследования, и в частности, тем более точным становится описание областей устойчивости и неустойчивости в пространстве параметров системы. Для большого круга систем автоматического управления адекватное математическое описание можно дать, лишь включив в математическую модель распределенные звенья.

Литература, связанная с изучением устойчивости систем с распределенными параметрами, характеризуется как разнообразием рассматриваемых задач, так и разнообразием объектов исследования. Последние отличаются друг от друга и математическим описанием линейной части и видом нелинейных функций. В диссертации объектом исследования являются нелинейные системы, математическое описание которых может быть представлено интегральными или интегро-дифференциальными уравнениями Вольтерра. Именно к таким уравнениям сводится, в частности, математическое описание систем различной природы, исследуемых с учетом запаздывания, активное изучение динамики которых началось с середины семидесятых годов. В диссертации рассматриваются системы как с периодическими по времени нелинейно-стями, характерными для задач теории синхронизации, так и с нелинейностями, удовлетворяющими условию сектора, присущими многим широко изучаемым системам автоматического управления, в частности, релейным системам и цепям Чуа.

В диссертации разработана и реализована общая методика исследования глобального поведения распределенных динамических систем, математическое описание которых может быть сведено к интегральному уравнению Вольтерра t a(t) = aQ(t) - Jj(t - r)£(r) dr (t > 0), (0.1) о где функция сто описывает собственные колебания линейной части системы, функция у является ее импульсной переходной функцией, а функция £ описывает ее нелинейную часть, именно, = ФМ (0-2)

Линейная часть системы может помимо уравнение (0.1) включать в себя также начальную или начально-краевую задачу относительно функции и G Rm (компоненты которой могут зависеть не только от временной, но и от пространственной переменной).

В диссертации исследуется асимптотическое поведение функций а ж и при£ —> +оо. Основное внимание уделено изучению систем с неединственным положением равновесия. Для таких систем получены достаточные условия дихотомии, устойчивости по Лагранжу, глобальной асимптотики (т.е. стремление любого решения к какому-либо положению равновесия). В случае периодической функции Ф — Ф(с) установлены, кроме того, достаточные условия существования круговых решений, а также условия отсутствия предельных циклов второго рода, построены оценки числа проскальзываний циклов.

В диссертации широко используются второй метод Ляпунова метод априорных интегральных оценок Попова, качественная теория динамических систем,теорема Якубовича-Калмана о разрешимости специальных матричных неравенств, метод периодических функций Ляпунова, метод нелокального сведения, методы гармонического анализа, теория дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями, теория интегральных уравнений с разрывным оператором.

Почти все результаты сформулированы в терминах передаточной функции линейной части системы, т.е. в виде частотных критериев. На основе метода априорных интегральных оценок в диссертации разработан метод нелокального сведения в применении к распределенным системам. Метод нелокального сведения позволяет проводить эффективное построение функционалов Попова, в которые введена информация о траекториях уже исследованных двумерных систем (последние называются системами сведения). В результате на бесконечномерные системы удалось распространить ряд известных теорем о двумерных системах. Для систем с периодической нелинейностью реализована также процедура Бакаева-Гужа, состоящая в замене функции Ф(ег) внутри функционала Попова на функцию с теми же качественными характеристиками, но с нулевым средним.

В диссертации выделены два класса интегральных уравнений: уравнение с "устойчивой" линейной частью и уравнение с "критической" линейной частью в так называемом критическом случае одного нулевого корня.

Устойчивость линейной части уравнения (0.1) предполагает, что cr0(i),7(i) £ Li[0, +00) f]X2[0, +00) и ao(t) —» 0 при t —+00. В критическом случае одного нулевого корня внеинтегральный член и ядро уравнения (1) могут быть представлены формулами ao(t) = щ + = То + 7iМ, где ^о и 7о - числа, а £i[0, +00) P| ¿2[0, +оо) В этом случае весьма часто интегральное уравнение (0.1) может быть преобразовано в интегро-дифференциальное уравнение вида t t) = a0(t) + - h) - J git - t)£(t) dr, (t > 0, h > 0). (0.3) 0

Каждый из приведенных здесь двух классов уравнений обладает определенной спецификой. Различаются они также и характером приложений.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1) Новый частотный критерий глобальной асимптотики для интегрального уравнения (0.1) с ограниченной дифференцируемой нелинейностью, удовлетворяющей условию сектора, и его модификация для случая нечетной нелинейной функции, имеющей при а — 0 разрыв I рода, при условии бесконечного сектора. На основе этого критерия проведено исследование устойчивости системы регулирования гидравлической турбины с учетом трубопровода как распределенного звена, а также с учетом сухого трения в муфте регулятора. Указанная система обладает "отрезком покоя" в функциональном фазовом пространстве. Установлены дополнительные условия на линейную часть системы, которые совместно с частотными условиями обеспечивает стремление любого решения системы к какой-нибудь точке "отрезка покоя". Указанная задача без учета сухого трения изучалась в работе Ю.И.Неймарка. [Неймарк, 1950], где построены области устойчивости в пространстве параметров системы. В диссертации проведено сравнение областей устойчивости линейной и нелинейной задач. Показано, что в плоскости параметров регулятора граница области устойчивости нелинейной задачи может служить вертикальной асимптотой для границы области устойчивости линейной задачи.

2) Новая частотная теорема, предназначенная для определения областей притяжения в фазовом пространстве систем регулирования с нелинейностями, графики которых лежат в секторе не для всех значений аргумента, а лишь для значений из некоторого конечного интервала.

Этот критерий применяется к системе, описывающей при некоторых допущениях движение летательного аппарата с релейным управляющим воздействием в горизонтальной плоскости. Полученная область притяжения оказывается шире, чем область, найденная в монографии А.Н.Формальского [Формальский, 1974]

3) Обобщение процедуры Бакаева-Гужа построения периодических функций Ляпунова. Данное обобщение позволило в некоторых случаях существенно улучшить оценку областей притяжения положений равновесия маятниковой системы второго порядка по сравнению с оценками, получаемыми с помощью традиционной функции Ляпунова вида "квадратичная форма плюс интеграл от нелинейности".

4) Частотный критерий глобальной асимптотики распределенных фазовых систем, описываемых интегро-дифференциальными уравнениями (0.3), использующий различные модификации процедуры Бакаева-Гужа. Этот критерий позволил получить простые и эффективные условия устойчивости нулевого положения равновесия для математической модели вращательных движений верхушек растущих растений, изложенной в [Somolinos, 1978]. С его помощью установлена более точная оценка полосы захвата для системы фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ) с интегрирующим фильтром, чем оценка, полученная с помощью второго метода Ляпунова [Фазовая синхронизация, 1975]. С помощью данного критерия получены также достаточные алгебраические условия самосинхронизации двух неуравновешенных роторов, находящихся на абсолютно жесткой платформе с одной степенью свободы, приводимых в движение от отдельных асинхронных двигателей.Установлено, что в случае равных парциальных частот синхронизация роторов обеспечена при любых значениях параметров.

5) Частотные критерии устойчивости по Лагранжу и глобальной асимптотики распределенных фазовых систем, сводящие исследование исходной бесконечномерной системы к проверке некоторых частотных неравенств и проверке условий устойчивости двумерных фазовых систем.

Сформулированные критерии позволяют распространить на бесконечномерные системы как аналитические оценки [ Tricomi, 1933; Amerio, 1949; Böhm, 1953; Hayes, 1953; Seifert, 1952; Белюстина, 1955; Табуева, 1958 ] так и оценки областей устойчивости [Giger, 1956; Jelonek, Celinski, Syski, 1954; Richman, 1954a; Richman, 1954b; Капранов, 1958; Белюстина и др., 1970 ], полученные с помощью численных и качественно численных методов.

С помощью этих критериев получены оценки границ полос захвата систем ФАПЧ с пропорционально-интегрирующим фильтром и запаздыванием в петле обратной связи. Установлено, что эти оценки близки к значениям границ полос захвата, полученным качественно-численными методами [Белюстина, Киняпина, 1991 ]. В то же время сравнение этих двух результатов с границей полосы захвата, полученной методом гармонического баланса [Biswas, Banerjee, Bhattacharya, 1977 ], показывает, что последний непригоден для исследования систем ФАПЧ с запаздыванием.

6) Частотные оценки числа проскальзываний циклов для распределенных фазовых систем.

7) Частотный критерий абсолютной устойчивости распределенных систем, усиливающий широко известный круговой критерий.

8) Частотный критерий существования в фазовом пространстве системы непрямого управления положительно инвариантного множества. Этот критерий позволил установить существование ограниченного положительно инвариантного множества для систем Чуа, обладающих тремя неустойчивыми положениями равновесия.

9) Частотный критерий существования у распределенных фазовых систем, круговых решений.

10) Частотный критерий отсутствия у распределенных фазовых систем, периодических решений второго рода определенной частоты. Этот критерий применяется для оценки частоты биений в системах ФАПЧ. Сравнение точных оценок, полученных на основе этого критерия, с приближенными оценками, полученными методом гармонического баланса, позволяют установить ограниченность возможности применения метода гармонического баланса.

Основные результаты диссертации опубликованы в монографиях [112, 114] и статьях [70-75, 137-138], [45-60], [97, 111, 113, 115-117, 119]. В монографии [114] автором диссертации написаны главы 1, 2, 8, 9, Г.А.Леоновым - главы 3, 5, 6, 7 и Введение, Ф.Райтманом

- главы 4, 10. В монографии [112] автором написаны главы 1, 2, 4, 6, Г.А.Леоновым - главы 3, 5, 7 и Введение, Д.В.Пономаренко

- глава 8. В монографическом обзоре [115] автору принадлежит параграф 7, Г.А.Леонову - параграфы 1-6. В статье [111] автору принадлежит параграф 7, соавторами написаны Введение и параграфы 1-6. В работах [45 - 59, 97, 113-116, 117, 119] автором для распределенных систем и систем Чуа разработаны методы исследования устойчивости, предложенные Г.А.Леоновым для сосредоточенных систем, и рассчитаны области устойчивости конкретных систем. При этом в [55] О.Б.Киселевой выполнена проверка реализуемости частотных условий, в [113] Ф.Райтману принадлежит параграф 3, в работе [119] Л. Шперлингу принадлежит постановка задачи, в работе [60] Г.Содербакой проведены расчеты траекторий, в [97] Л.О.Чуа принадлежит постановка задачи, Д.В.Пономаренко - проверка частотных условий на компьютере.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Смирнова, Вера Борисовна, 1998 год

1. Абрамович С.М. О расположении сепаратрис одной динамической системы второго порядка // Сб."Проблемы современной теории периодических движений" - Ижевск, 1963. Т. 10, N 1. С. 175-196.

2. Азбелев Н.В., Рагимханов Р.К., Фаддеева JI.K. Интегральные уравнения с разрывным оператором // Дифференциальные уравнения, Т.5, N 4, 1969.

3. Айзерман H.A., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем // М.: Изд. АН СССР, 1963

4. Аронович Г.В. О влиянии гидравлического удара на устойчивость регулирования// Автоматика и телемеханика, Т.9, N 3, 1948, с.204-232.

5. Бакаев Ю.Н. Влияние запаздывания на условия синхронизации систем автоматического регулирования фазы // Известия АН СССР, Сер. Техническая кибернетика, N 1, 1963, с. 139-143.

6. Бакаев Ю.Н. Синхронизирующие свойства фазовой автоматической подстройки частоты третьего порядка // Радиотехника и электроника, 1965, Г, 10, N 6, с. 139-143.

7. Бакаев Ю.Н., Гуж A.A. Оптимальный прием сигналов частотной модуляции в условиях эффекта Допплера // Радиотехника и электроника. 1965. Т. 10, N 1. С. 175-196.

8. Барабанов Н.С. О проблеме Калмана // Сибирский математический журнал, Т. XXIX, 1988, N 3, с. 3-11.

9. Барбашин Е.А., Табуева В.А. Динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством. М.: Наука, 1969.

10. Баркин А.И. Устойчивость нелинейных систем в пространстве Ь2р и абсолютная устойчивость// Автоматика и телемеханика, N 10, 1983, с.64-69.

11. Баркин А.И., Зеленцовский А. JI. Критерий абсолютной устойчивости нелинейных систем управления // Автоматика и телемеханика, N 7, 1981, с.5-10.

12. Баркин А.И., Зеленцовский A.JL, Пакшин П.В. Абсолютная устойчивость детерминированных и стохастических систем управления // Москва: МАИ, 1992.

13. Белюстина JI.H. Об одном уравнении из теории электрических машин // Сб. памяти А.А.Андронова, АН СССР, 1955.

14. Белюстина J1.H., Киняпина М.С. Численное исследование нелинейной, приближенной модели синхронизации с запаздыванием // Сб."Теоретическая электротехника", Львов, 1991.

15. Белюстина Л.Н., Киняпина М.С., Фишман Л.З. Динамика систем фазовой синхронизации с запаздыванием // Сб."Теоретическая электротехника", Львов, 1991.

16. Белюстина Л.Н., Быков В.В., Кивелева К.Г., Шалфеев В.Д О величине полосы захвата системы ФАПЧ с пропорционально-интегрирующим фильтром // Известия ВУЗов, Т. 13, N 4, 1970, с. 561-567.

17. Блехман И.И. Самосинхронизация вибраторов некоторых вибрационных машин // Инженерный сборник, 1953, Т. 16.

18. Блехман И.И. Метод прямого разделения движений в задачах о действии вибрации на нелинейные механические системы // Известия АН СССР, МТТ, 1976, N 6.

19. Блехман И.И. Синхронизация в природе и технике // Москва: Наука, 1981, 352 с.

20. Брокетт Р.У. Алгебры Ли и группы Ли в теории управления В кн. "Математические методы в теории систем", под ред. Журавлева Ю.И. // Москва: Мир, 1979, с. 174-200.

21. Буркин И.М., Леонов Г.А. О существовании периодических решений в нелинейной системе третьего порядка // Дифференциальные уравнения, Т.20, N 12, 1984. с. 2036-2042.

22. Буркин И.М., Якубович В.А. Частотные условия существования двух почти периодических решений у нелинейной системы автоматического регулирования // Сибирский математический журнал, Т.16, N 5, 1975, с. 916-924.

23. Винер Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения // Москва: Физматгиз, 1963.

24. Воробьев Ю.В., Кац Ал.М., Фатеева H.A. Устойчивость регулятора прямого действия, поддерживающего давление в динном трубопроводе В сб. "Исследования в области регулирования паровых турбин" // Под ред. Хейфеца М.З. Москва: Гос. энергетическое изд., 1950.

25. Гарбер Е.Д. О частотном критерии отсутствия периодических режимов // Автоматика и телемеханика, Т. 28, N 11, 1967.

26. Гелиг А.Х. Абсолютная устойчивость нелинейных регулируемых систем с распределенными параметрами // Автоматика и телемеханика, Т. 26, N 3, 1965, с.401-409.

27. Гелиг А.Х. Устойчивость систем с распределенными параметрами в критических случаях // Автоматика и телемеханика, Т. 27, N 4, 1966, с.5-14.

28. Гелиг А.Х. О устойчивости нелинейной системы с бесконечным числом степеней свободы // Прикладная математика и механика, Т. 30, N 4, 1966, с.789-795.

29. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия // Москва: Наука, 1978, 400 с.

30. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости // Москва: Наука, 1967, 472 е.

31. Евтянов С.И., Снедкова В.К. Определение полосы захвата фазовой автоподстройки асимптотическим методом // Электросвязь, N 9, 1968, с. 22-29.

32. Ершова О.В., Леонов Г.А. Частотные оценки числа проскальзываний циклов в фазовых системах автоматического регулирования // Автоматика и телемеханика, N 5, 1983, с.65-72.

33. Капранов Н.В. Полоса захвата автоподстройки частоты с прямоугольной характеристикой фазового детектора НДВШ // Радиотехника и электроника, N 4, 1958.

34. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения // Москва: Физматгиз, 1959.

35. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. // М.: Наука, Физматлит, 1997.

36. Левин А.Ю. Об устойчивости решений уравнений второго порядка // ДАН СССР, Т. 141, N 6, 1970, с.1298-1301.

37. Леонов Г.А. Второй метод Ляпунова в теории фазовой синхронизации // Прикладная математика и механика, Т. 40, N 2, 1976, с.238-244.

38. Леонов Г.А. Устойчивость и колебания фазовых систем // Сибирский математический журнал, Т.16, N 5, 1975, с. 788-805.

39. Леонов Г.А. Об ограниченности траекторий фазовых систем // Сибирский математический журнал, Т.15, N 3, 1974, с. 687-692.

40. Леонов Г.А. Метод нелокального сведения в теории абсолютной устойчивости нелинейных систем // Автоматика и телемеханика, N 2, 1984, с. 45-53, N 3, 1984, с. 48-56.

41. Леонов Г.А. Об одном расширении критерия В.М.Попова для нестационарных нелинейностей // Автоматика и телемеханика, N 11, 1980, с. 21-26.

42. Леонов Г.А. О глобальной устойчивости дифференциальных уравнений систем фазовой синхронизации // Дифференциальные уравнения, Т.21, N 2, 1985. с. 213-223.

43. Леонов Г.А. Частотный критерий существования предельных циклов в динамических системах с цилиндрическим фазовым пространством // Дифференциальные уравнения, Т.23, N 12, 1987. с. 2047-2051.

44. Леонов Г.А., Сперанская Л.С. Оценки частоты биений в многомерных системах ФАП // Радиотехника, N 3, 1985. с. 32-35.

45. Леонов Г.А., Смирнова В.Б. Асимптотика решений системы интегро-дифференциальных уравнений с периодическими нелинейными функциями.// Сибирский математический журнал, т. XIX, N 6, 1978.

46. Леонов Г.А., Смирнова В.Б. Асимптотика одного класса систем фазовой синхронизации.// Межвуз. темат. сб. тр. Прикладная математика. ЛИСИ, Л., 1979.

47. Леонов Г.А., Смирнова В.Б. Метод сведения для интегро--дифференциальных уравнений.// Сибирский математич. ж., N 4, 1980.

48. Леонов Г.А., Смирнова В.Б. Некоторые свойства решений интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра с кусочно- -непрерывными периодическими нелинейными функциями.// Межвуз. сб. Проблемы современной теории периодических движений. Ижевск. 1980.

49. Леонов Г.А., Смирнова В.Б. Об устойчивости решений сингулярно- -возмущенных интегро-дифференциальных уравнений с периодическими нелинейными функциями.// Межвуз. темат. сб. тр. Численные методы в гидромеханике. ЛИСИ, Л., 1981.

50. Леонов Г.А., Смирнова В.Б. Проблема устойчивости систем фазовой синхронизации.// В кн. "Прямой метод в теории устойчивости и его приложения", Наука, СО. Новосибирск, 1981.

51. Леонов Г.А., Смирнова В.Б. Критерий захвата в системах синхронизации с запаздыванием.// Электросвязь, 1983.

52. Леонов Г.А., Смирнова В.Б. Об устойчивости "в большом" некоторых систем автоматического регулирования.// Межвуз. сб. научн. тр. Математическая физика. ЛГПИ, Л., 1984.

53. Леонов Г.А., Смирнова В.Б. Метод нелокального сведения в теории устойчивости.// В кн. "Метод функций Ляпунова и его приложения", Наука, СО. Новосибирск, 1984.

54. Леонов Г.А., Киселева О.Б., Смирнова В.Б. Оценка числа проскальзывания циклов в фазовых системах с распределенными параметрами.// Межвуз. темат. сб. тр. Численные методы в краевых задачах математической физики. ЛИСИ, Л., 1985.

55. Леонов Г.А., Смирнова В.Б. Устойчивость по Лагранжу систем непрямого управления с распределенными параметрами.// В кн. "Нелинейные колебания и теория управления", Удмуртский госуниверситет, Устинов, 1985.

56. Леонов Г.А., Смирнова В.Б. Построение оценок областей притяжения нелинейных механических систем.// Межвуз. темат. сб. тр. Численные методы в задачах математического моделирования. ЛИСИ, Л., 1987.

57. Леонов Г.А., Смирнова В.Б. Прямой метод Ляпунова и проблема существования предельных циклов многомерных динамических систем.// В кн. "Метод функций Ляпунова в анализе динамики систем", Наука, СО. Новосибирск, 1987.

58. Леонов Г.А., Смирнова В.Б. Об устойчивости в целом ин-тегро- -дифференциальных уравнений систем непрямого регулирования./ / Дифференциальные уравнения, т. XXIV, N 3, Минск, 1988.

59. Леонов Г.А., Смирнова В.Б., Содербака Г. Об областях притяжения устойчивых положений равновесия систем маятникового типа. В кн. "Анализ и управление нелинейными колебательными системами". С.Петербург. Наука. 1998.

60. Лурье А.И. Влияние силы трения в измерительном органе регулятора на процесс непрямого регулирования // Советское котлотурбиностроение, N 3, 1946, с. 9-11.

61. Неймарк Ю.И. Об устойчивости по Ляпунову систем с распределенными волновыми звеньями // Уч. записки Горьковского Гос. университета, вып. XVI, Сер. физ. 1950.

62. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. // М.: Наука, 1987.

63. Первачев C.B. О полосе захвата системы фазовой автоподстройки частоты // Радиотехника и электроника, Т. 8, N 2, 1963.

64. Попов В.М. Об абсолютной устойчивости нелинейных систем автоматического регулирования // Автоматика и телемеханика, Т. 22, N 8, 1961, с. 961-979.

65. Попов В.М. Гиперустойчивость автоматических систем // М.: Наука, 1970. 3

66. Пятницкий Е.С. Новые исследования по абсолютной устойчивости систем автоматического регулирования // Автоматика и телемеханика, N 6, 1968, с. 5-36.

67. Пятницкий Е.С. Критерий абсолютной устойчивости нелинейных регулируемых систем второго порядка с одним нелинейным нестационарным элементом // Автоматика и телемеханика, N 1, 1971, с. 5-16.

68. Рыкин O.P., Юревич Е,И. Метод гармонической линеаризации II рода в вопросах устойчивости САУ с периодическими нелинейностями // Тр. Ленингр. Политехи, института, 1969, 303, с. 9-15.

69. Смирнова В.Б. Устойчивость одной системы регулирования с распределенными параметрами и разрывными нелинейностями.// Вестник ЛГУ, N 13, 1972.

70. Смирнова В.Б. Асимптотика решений одной задачи с разрывной нелинейностью.// Дифференциальные уравнения, т. IX, N 1, Минск, 1973.

71. Смирнова В.Б. Об асимптотическом поведении одного класса систем регулирования с распределенными параметрами.// Автоматика и телемеханика, N 11, 1973.

72. Смирнова В.Б. Об одном частотном критерии устойчивости.// Записки ЛГИ, т. XVIII, вып. 1, Л., 1975.

73. Смирнова В.Б. Устойчивость класса систем регулирования с запаздыванием.// Межвуз. темат. сб. тр. Прикладная математика, N 1, ЛИСИ, Л., 1977.

74. Солодов A.B., Солодова Е.А. Системы с переменным запаздыванием // Москва: Наука, 1980, 384 с.

75. Табуева В.А. Оценка критического параметра для дифференциального уравнения х + ах + f(x) — 0 // Известия ВУЗов, Математика, N 2, 1958.

76. Тонков B.C., Тонкова Е.Л. Некоторые свойства усредненных решений системы управления с разрывной нелинейностью // Дифференциальные уравнения, Т. 9, N 2, 1973, с.278-289.

77. Фазовая синхронизация Под ред. В.В. Шахгильдяна, Л.Н. Белюстиной // М.: Связь, 1975.

78. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью // Математический сб., Т. 51(93), N 1, 1960, с. 99128.

79. Формальский A.M. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами // Москва: Наука, 1974, 368 с.

80. Халанай А. Абсолютная устойчивость некоторых нелинейных регулируемых систем с запаздыванием // Автоматика и телемеханика, Т. 25, N 3, 1964, с. 290-295.

81. Шахгильдян В.В., Ляховкин A.A. Системы фазовой автоподстройки частоты // М.: Связь, 1972. 447 с.

82. Якубович В.А. Решение некоторых матричных неравенств, встречающихся в теории автоматического регулирования // ДАН СССР, Т. 143, N 6, 1962.

83. Якубович В.А. Частотные условия устойчивости решений нелинейных интегральных уравнений автоматического управления // Вестник ЛГУ, Т. 22, сер. матем., мех., N 7, 1967. с. 109-125.

84. Alidema R.I., Leonov G.A., Smirnova V.B. On one approach to the evaluation of stability regions for nonlinear Volterra equations. Facta Universitatis. Ser. Math. Inform. N 6, 1991.

85. Amerio L. Determinazione delle condizione distabilita' per gli integrali di un'equzione interresante l'elettrotecnica // Annali di Matematica pura ed applicata, 30(4), 75-90, 1949.

86. Amerio L. Studio asimptotika del moto di un punto su una linea chiusa per azione diforze independenti dal tempo. // Ann. R. Scuola Norm. sup. Pisa. 3 (3:), 17-57, 1950.

87. Anderson B.D.O. Stability of distributed parameters dynamical systems with multiple non-linearities // International Journal of Control. T.3, N 6, 1966, pp. 535-540.

88. Barbalat I., Halanay A. Evaluation de la valeur critique de l'equation generalisee du pendule // Bull. Math. Soc¿ Sei. Math. R.S.Roumanie (N.S.). 3(51), 3, 259-275.

89. Biswas B.N., Banerjee P., Bhattacharya A.K. Heterodyne phase-locked loops revistd. // IEEE Transactions on Communications 25(10), pp. 1164-1170, 1977.

90. Böhm C. Nuovi criteri di esistenza di soluzione periodichedi una nota equazione differenziale nonlineare // Ann. Mat. Pura Appl. 35(4): 343-352, 1953.

91. Brockett R.W. On the asymptotic properties of solutions of differential equations with multiple equilibria. J. Diff. Equations, v. 44, p. 249-262, 1982.

92. Chua L.O. The genesis of chua circuit // Archiv fur Elektronik und Ubertragugsrechnk, 46, 250-257, 1992.

93. Chua L.O. A zoo of strange attractors from the canonical chua's circuits. // Technical Report UCB/ERL M 92/87, Electronics research laboratory. College of engineering. University of Berkeley, CA 94720, 26 august 1992.

94. Chua L.O., Komuro M., Matsumoto T. The double scroll family. // IEEE Trans. Circuits and Systems. CAS-33, 1072-1118, 1986.

95. Chua L.O., Leonov G.A., Ponomarenko D.I., Smirnova V.B. Global stability and instability in canonical Chua's circuits. In book: World scientific series on nonlinear sciense. Series B, vol. 1, 1994.

96. Chua L.O., Lin G.N. Canonical realization chua's circuits family // IEEE Trans. Circuit Syst. CAS-37, N 7, 885-902, 1990.

97. Corduneanu C. Sur une equation integrale de la theorie du reglage automatique. // C.R.Acad. Sci¿ Paris, 1963, t.256, p. 3564-3567.

98. Corduneanu C. Integral Equations and Stability of FeedbackSystems. // Academic Press, New York, 1973.

99. Desoer G.A. Generalization of Popov criterion // IEEE Transactions on Automatic Control, AC-10, N 2, p. 182-185, 1965.

100. Dewey A.G. On the Stability of Feedback Systems with One Differentiable Nonlinear Element. // IEEE Transactions on Automatic Control, AC-11, N 3, p. 485, 1966.

101. Dewey A.G., Jury E.I. A stability inequality for a class of nonlinear feedback systems. // IEEE Transactions on Automatic Control, AC-11, p. 54-62, 1966.

102. Giger A. Ein Grenzproblem einer technisch Wichtigen nichtlinearen Differentialgleichung // Z. A. M. Ph. 7: 121-129, 1956.

103. Halanay A. On the asymptotic behavior of the solutions of an integro-diiferential equation. //J. Math. Anal. Appl. 10 (1965), 319-324.

104. Hayes W.D. On the equation for a damped pendulum under constant torque. // Z. A. M. Ph. 4(5): 398-401, 1953.

105. Israelsson D., Johnsson A. A theory for circumnutations of Heli-anthus annus. // Physiol. Plant, v.20, 1967.

106. Jelonek Z., Celinski O, Syski R. Pulling effect in Synchronized systems. // "PIEE", pt. 4, February, 1954.

107. Kalman R.E. Physical and mathematical mechanisms of instability in nonlinear automatic control systems. // Trans. Amer. Soc. Mech. Eng., vol. 79, N 3, pp. 553-556, 1957.

108. Kalman R.E. Ljapunov Functions for the problem of Lur'e in Automatic Control. // Proceeding of the National Academy of Science of USA, v. 49, N 2, 1963.

109. Leonov G.A., Ponomarenko D.I., Smirnova V.B. Local instability and localization of attractors. From stochastic generator to Chua's systems Acta Applicandae Mathematicae, 1995.

110. Leonov G.A., Ponomarenko D.V., Smirnova V.B. Frequency-Domain Methods for Nonlinear Analysis. Theory and Applications. // World Scientific. Singapore-New Jersey-London-Hong Kong, 498 p., 1996.

111. Leonov G.A., Reitmann V., Smirnova V.B. Convergent solutions of ordinary and functional-differential pendulum-like equations.// Zeitschrift fur Analysis und ihre Anwendungen, vol. 11, 1992.

112. Leonov G.A., Reitmann V., Smirnova V.B. Non-local methods for pendulum-like feedback systems.// Teubner Verlagsgesellschaft, Stuttgart Leipzig, 1992.

113. Leonov G.A., Smirnova V.B. Non-local reduction method in differential equations theory. In book: Series in Pure Mathematics. V. II. Topics in Mathematical Analysis.// World Scientific. Publ.Co. Singapore New-Yersey - London - Hongkong, 1989.

114. Leonov G.A., Smirnova V.B. Localization of attractors in multidimensional Chua's circuit equations. Journal of Circuits, Systems and Computers. V. 3, N 2, 1993.

115. Leonov G.A., Smirnova V.B. Stability and oscillations of solutions of integrodifferential equations of pendulum-like systems. Mathemat. Nachrict, 177, 1996.

116. Leonov G.A., Smirnova V.B. Analysis of frequency of - oscillations controlled systems. Proceeding of 1st St.Petersburg conference "Control of oscillation and chaos", vol.3, St.Petersburg, 1997. p. 439-441.

117. Leonov G.A., Smirnova V.B. and Sperling L. A frequency-domain criterion for global stability of systems with angular coordinates. Technische mechanik, Band 17, Heft 3, 1997.

118. Levin J.J. The asymptotic behavior of the solutions of a Volterra equation. // Proc. Amer. Math. Soc., 14(1963) 534-541.

119. Levin J.J., Shea D.F. On the asymptotic behavior of the bounded solutions of some integral equation. //J. Math. Anal. Appl., 37(1972), 42-82, 288-326, 537-575.

120. Lindsey W.C. Synchronization systems in communication and control. Preutice-Hall, Inc., New Jersey, 1972.

121. Matsumoto T., A chaotic attractor from Chua's circuits. // IEEE Trans. Circuits and Systems. CAS-31(12), 1055-1058, 1984.

122. Matsumoto T., Chua L.O., Komuro M. The double scroll. // IEEE Trans. Circuits and Systems. CAS-32, N 8, 798-818, 1985.

123. Miller R. K. Nonlinear Volterra Integral Equations. // Benjamin, Menlo Part. Calif., 1971.

124. Mohl M. Uber den Bau und das Winden der Ranken und Schling-planzen. // Tubingen, 1827.

125. Nohel J.A., Shea D.F. Frequency-domain methods for Volterra Equations. // Adv. in Math. 22 (1976), 278-304.

126. Ogorzalek M.J. Order and chaos in a third-order RC-ladder network with nonlinear feedback. // IEEE Trans. Circuits and Systems. CAS-36, 1221-1230, 1989.

127. Palm L.M. Uber das Winden der Planzen. // Stuttgart, 1827.

128. Parker Th. S., Chua L.O. The dual double scroll equation. // IEEE Trans, on Circuits and Systems. CAS-34(9), pp. 1059-1053, 1987.

129. Richman D. Color carrier reference phase syncronization accuracy in NTSE color television. // Proc. IRE, V.42, N 1, 1954, 106-133.

130. Richman D. The DC Quadricorrelator: A Two-Mode Syncronization System. // Proc. IRE, January, 1954, 288-299.

131. Seifert G. On the existence of certain solutions of nonlinear differential equations. // Z. A. M. Ph. 3(6): 468-471, 1952.

132. Seifert G. On stability questions for pendulum-type equations. // Z. A. M. Ph. 7(3): 238-247, 1956.

133. Seifert G. The asymptotic behavior of solutions of pendulum-type equations. // Ann. Math. 69(1): 75-87, 1959.

134. Sansone G. Conti R. Nonlinear Differential Equations. // Pergamon Press, New Jork, 1964.

135. Smirnova V.B. Stability of singular distributed dynamical systems with angular coordinates.// In book: Mathematical Research Nonlinear Dynamics and Quantum Dynamical Systems. V. 59, Akademie Verlag, Berlin, 1990.

136. Smirnova V.B. Global stability and oscillations of distributed parameter synchronization systems. //In book: Differential Equations and Control Theory. Longman. Scientific and Technical, 1992.

137. Somolinos A.S. Periodic solutions of the sunflower equation: x + (a/r)x + (b/r) s'mx(t — r) = 0. // Quarterly of Appl. Math. January 1978, p. 465-478.

138. Sperling L. Selbstsynchronisation statisch und dynamisch unwuchtiger Vibration, Teil I: Grundlagen. // Technische mechanik, 14, 1(1994), 61-76.

139. Sperling L. Selbstsynchronisation statisch und dynamisch unwuchtiger Vibration, Teil II: Ausfuhrung und Beispiele. // Technische mechanik, 14, 3(1994), 85-96.

140. Sperling L., Merten F., Duckstein H. Rotation und Vibration in Beispielen zur Methode der directen Bewegungsteilung. Technische mechanik, Band 17, Heft 3, 1997.

141. Stocker J.J. Nonlinear Vibrations in Mechanical and Electrical Systems. // Intersciens, New-York, 1950.

142. Szego G.P. Sur une equation integrale de la theorie du reglare. // C.R.Acad.Sci.Paris, s.261, Grope 1,1965, p.29-32.

143. Transworthe R.G. Cycle slipping in phase-locked loops. 11 IEEE Trans, on Communications. V.15, N 3, p. 417-421, 1967.

144. Tricomi F. Sur une equation différentielle de l'electrotecnique. // C.R.Acad.Sci.Paris, 193: 635-636, 1931.

145. Tricomi F. Integrazionedi unequazione differenziale presentatasi in electrotechnica. Annali della Roma Scuola Normale Superiore de Pisa: Scienca Phys. e Mat., 2:1-20,1933.

146. Vitterbi A.J. Principles of Coherent Communication. MC-Graw Hill, New-York, 1966.

147. Willems J.C. Stability, Instability, Invertibility and Causality. // SIAM.J. Contr. V.7, 6445-671, Nov.,1969.