Теория регуляризации сдвигом и ее приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, доктор физико-математических наук Назимов, Акбар Багадурович

• Назимов, Акбар Багадурович
• доктор физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Назимов, Акбар Багадурович

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ СДВИГОМ ВЫРОЖДЕННЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И АБСТРАКТНЫХ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ

§1.1. Метод регуляризации сдвигом вырожденных систем линейных алгебраических уравнений (конечномерный случай)

§ 1.2. Метод регуляризации М. М. Лаврентьева

§1.3. Сходимость регуляризованных сдвигом решений к

нормальному решению

§ 1.4. Непараметрическая регуляризация сдвигом

§ 1.5. Метод регуляризации сдвигом операторных уравнений (бесконечномерный случай)

§ 1.6. Аналог ранговой матрицы для операторов

§ 1.7. Задача с приближенными данными

ГЛАВА 2. ПРЯМЫЕ И ДВОЙСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ Ь -ПСЕВДООБРАЩЕНИЯ

§ 2.1. Задачи Ь -псевдообращения

§ 2.2. Двойственные задачи Ь -псевдообращения

§ 2.3. Оптимальный порядок сходимости решения задачи

Ь -псевдообращения с приближенными данными

§ 2.4. Оптимальный порядок сходимости метода регуляризации

А. Н. Тихонова

ГЛАВА 3. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИЛЬБЕРТА НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА И РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ СДВИГОМ ИХ ДИСКРЕТНЫХ АНАЛОГОВ

§ 3.1. Интегральные операторы типа гильберта. Пространства Гёльде-

ра и Лебега

§ 3.2. Частичные суммы Фурье и Фейера

§ 3.3. Признак аппроксимируемости гёльдеровых функций тригонометрическими полиномами

§ 3.4. Инвариантность срезок ряда Фурье

§ 3.5. Представление значений интегральных операторов

§ 3.6. Связь интегральных уравнений с бесконечными системами

§ 3.7. Разрешимость интегральных уравнений

§ 3.8. Доказательство теорем 3.7.1 - 3.7.4

§ 3.9. Быстрое решение систем линейных алгебраических уравнений с циркулянтными, перциркулянтными и

нейтральными матрицами

§ 3.10. Дискретные аналоги интегральных уравнений первого рода

§ 3.11. Алгоритмы быстрого решения дискретных уравнений

первого рода

§ 3.12. Дискретные аналоги интегральных уравнений второго рода

§ 3.13. Решение дискретных уравнений второго рода

§ 3.14. Приближенное решение абстрактного операторного уравнения

ГЛАВА 4. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ СДВИГОМ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ

§ 4.1. Регуляризация сдвигом в регулярном случае

§ 4.2. Регуляризация периодической задачи для скалярных

дифференциальных уравнений

§ 4.3. Регуляризация периодической задачи для систем с

диагональными матрицами

§ 4.4. Регуляризация периодической задачи для систем с нижним

жордановым блоком

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теория регуляризации сдвигом и ее приложения»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы диссертации. Методы решения некорректно поставленных задач и их устойчивая реализация составляет важное направление в современной вычислительной математике. Развитие общей теории некорректных задач началось более полувека тому назад. Этому способствовали потребности различных областей естествознания, техники и медицины. Это развитие исходит из основополагающих работ выдающихся русских советских математиков А. Н. Тихонова, М. М. Лаврентьева, В. К. Иванова, а также созданной ими математической школы. Оно определило пути развития теории и методов решения некорректных задач - одного из самого плодотворных направлений современной вычислительной математики. К настоящему времени создана достаточно общая теория некорректно поставленных задач, разработаны приближенные методы их решения, с помощью которых успешно решены и решаются многие важные прикладные задачи. Важное значение имеет приложение этих теоретических результатов при решении конкретных задач, таких как интегральные и дифференциальные уравнения, возникающие в теории упругости, аэродинамике, теории трещин, а также в других разделах современной математике. Актуальность тематики подтверждается, также, активным участием многочисленных ведущих математиков и исследователей других научных областей (астрофизики, механики, геофизики, аэродинамики, теории упругости и др.). Остановимся на некоторые рассматриваемые в работе вопросы более подробно.

1. Самым простым по постановке и одним из важных классов некорректно поставленных задач является проблема решения систем линейных алгебраических уравнений с вырожденной или плохо обусловленной матрицей коэффициентов. Характерными особенностями указанной проблемы является возможная неединственности решения и его неустойчивость. Разработка теории и методов решения этой проблемы связана с именами многих видных математиков. Кроме вышеперечисленных, отметим имена и работы Б. А .Алиева, А. Б. Бакушинско-го, Г. М. Вайникко, В. В. Васина, В. В. Воеводина, С. Ф. Гилязова, А. В. Гон-

чарского, А. И. Гребенникова, С. Джумаева, С. И. Кабанихина, Ю. А. Кузнецова, А. С. Леонова, О. А. Лисковца, В. А. Морозова, В. И. Мелешко, Р. А. Ша-фиева, В. Н. Фадеевой, А. Г. Яголы, A. S. Deif, L. Eiden, R. Penrose, P. Wedin и многих других математиков. Для решения симметрических систем с плохо обусловленной матрицей В. Н. Фадеевой предложен метод, основанный на малом вещественном сдвиге диагональных элементов матрицы системы, согласованный с погрешностями входных данных, а А. Б. Бакушинским - на малое мнимое число. Упрощенный алгоритм регуляризации использован В. А. Морозовым и С. Ф. Гилязовым при решении системы с симметрической и неотрицательно определенной матрицей. Эффективно решена И. К. Лифановым переопределенная система посредством введения в нее дополнительной неизвестной. Общность этих результатов заключается в том, что к матрице системы добавляется единичная матрица, умноженная на малое вещественное или мнимое число. Избранный в диссертации подход позволил установить критерий применимости метода регуляризации сдвигом на матрицу, удовлетворяющей определенным условиям, умноженную на произвольное ненулевое малое комплексное число, а также распространить этот метод и в бесконечномерном случае при решении операторных уравнений в гильбертовых пространствах.

2. Влияние погрешностей задания оператора (матрицы) и правой части на определение псевдорешений, квазирешений и оценки скорости сходимости ре-гуляризующих алгоритмов было предметом исследования многих математиков:

A.Л.Агеева, А.В.Баева, А.Б.Бакушинского, В.В.Васина, В. А. Винокурова, В. В. Воеводина, С. Ф. Гилязова, М. К. Гавурина, А. В. Гончарского, А. Р. Данилина, С. Джумаева, Е.Н.Доманского, И. Н. Домбровской, П.Н.Заикина, В. К. Иванова,

B. А. Ильина, В.А.Коршунова, М. М. Лавретьева, А. С. Леонова, О. А. Лисковца, В.П.Маслова, А.С.Меченова, В. А. Морозова, В. П. Тананы, А. Н. Тихонова, Ю. М. Фетисова, Ю.И.Худака, А.А.Штаркмана, А. Г. Яголы, O.N.Strand. При оценке скорости сходимости метода регуляризации А.Н. Тихонова с приближенно заданными оператором и правой части В. В. Воеводиным и В. А. Моро-

зовым был получен порядок равным две третьих для совместных, и лишь одну вторую для несовместных уравнений от погрешности в задании оператора. Затем В. А. Морозовым и С. Ф. Гилязовым в предположении истокопредставимо-сти решения уравнения и С. Джумаевым при предположении (а,/?) -расщепляе-

мости точного оператора был получен оптимальный порядок сходимости метода регуляризации. Предложенный в диссертации способ позволил получить оптимальный порядок сходимость метода регуляризации сдвигом с приближенно заданными оператором и правой части, исходя только из нормальной разрешимости оператора, как в случае совместного, так и в случае несовместного уравнения, Этот результат дал возможность распространить результаты В. А. Морозова, С. Ф. Гилязова и С. Джумаева требуя, только нормальную разрешимость точного оператора, а в задаче Ь -псевдообращения В. А. Морозова - дополнительно требуя взаимную дополнительность точных операторов.

3. Решение многих теоретических вопросов и прикладных задач математики, механики, физики и техники приводит к различным классам - одномерных, многомерных, линейных и нелинейных сингулярных интегральных уравнений. Достаточно хорошо разработана теория линейных и некоторых классов нелинейных сингулярных интегральных уравнений. Имеется огромное количество опубликованных работ в этом направлении. Достаточно привести в качестве примера только монографии, опубликованные у нас в стране В. М. Александровым, В. А. Бабешко, С. М. Белоцерковским, Н. П. Векуа, И. И. Воровичем, Б. Г. Габдулхаевым, Ф. Д. Гаховым, В. В. Голубевым, И. Ц. Гохбергом, А. П. Да-цышиным, В. В. Ивановым, В. А. Какичевым, А. И. Каландия, Н. Я. Крупником, В. Д. Купрадзе, Г. С. Литвинчуком, И. К. Лифановым, С. Г. Михлиным, Н. И. Мусхелишвили, В. В. Панасюком, А. Н. Панченковым, В. 3. Партоном, П. И. Перлиным, 3. Прёсдорфом, М. П. Савруком, Ю. И. Черским, Л. И. Чибриковой. Сингулярные уравнения в очень редких случаях решаются в явном виде. Даже в этом случае для получения числовых значений необходимо уметь вычислять сингулярные интегралы. Поэтому как для теории, так и, в особенности, для

приложений особое значение приобретает разработка приближенных методов вычисления сингулярных интегралов и решения сингулярных уравнений. Обзоры состояния численных методов решения этих уравнений приведены в работах С. М. Белоцерковского, Б. Г. Габдулхаева, В. В. Иванова, И. К. Лифанова, Е. Е. Тыртышникова, 3. Прёсдорфа, М, Воца, Н. ВгакЬа§е, В. 8ПЬегтапп. Разрешимость, и в частности, однозначная разрешимость сингулярных интегральных уравнений Гильберта нейтрального типа и их дискретных аналогов имеет особое место в рассматриваемом вопросе. В работах Н. Г. Афендиковой, С. М. Белоцерковского, И. К. Лифанова, А. Ф. Матвеева, Б. И. Мусаева, Л. А. Онегова, Т. С. Полянской, М. А. Шешко, М. М. Солдатова, Е. Е. Тыртышникова получен ответ на поставленные вопросы, когда ядра интегральных операторов регулярной части уравнения Гильберта нейтрального типа являются отдельно взятие тригонометрические функции. Эта проблема для сингулярных интегральных уравнений Гильберта нейтрального типа (первого и второго рода) с разностными и суммарными регулярными частями, ядра которых являются произвольными тригонометрическими полиномами и общий подход решения и регуляризация их дискретных аналогов требовало свое исследование. Разработанный метод в диссертации позволил ответить на поставленные вопросы.

4. Исследование периодической задачи для систем линейных дифференциальных уравнений можно разделить на две принципиально разные части. В первой части, называемой регулярным случаем (т. е. отсутствие резонанса), периодическая задача разрешима и имеет единственное решение. Для этой ситуации имеются эффективные приемы построения решений такие как, методы малого параметра, интегральных уравнений, сеточные методы и другие. Не менее важной, но существенно относительно первой является вторая часть, называемая резонансном случаем. Для этой ситуации система дифференциальных уравнений может оказаться неразрешимой или иметь более одного периодического решения. Методы построения периодического решения, используемые в регулярном случае, не применимы в случае резонанса. Это предопределяет раз-

работки методов исследования построения решения периодической задачи в случае резонанса. Различные стороны этой проблемы являлись предметом исследования В. Ш. Бурд, В. В. Жикова, Ю. С. Колесова, М. А. Красносельского, Б. М. Левитана, И. Г. Малкина, М. К. Собирова, В. М. Стражинского, В. X. Ха-расахала, В. А. Якубовича и др. Метод регуляризации сдвигом решения периодической задачи для систем линейных дифференциальных уравнений позволил получить параметрическое семейство периодических решений, равномерно сходящееся к периодическому решению системы.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка теории регуляризации сдвигом для решения систем линейных алгебраических уравнений (конечномерный случай) и абстрактных операторных уравнений (бесконечномерный случай), а также приложение разработанной теории для исследования прямых и обратных задач Ь -псевдообращения, разрешимости, в частности однозначной разрешимости сингулярного интегрального уравнения Гильберта нейтрального типа и разработки быстрых алгоритмов его дискретного аналога, периодической задачи для систем линейных дифференциальных уравнений. Для этой цели в диссертации доказываются равномерная ограниченность семейства обратных матриц и операторов, зависящих от параметра, равенства проекторов и равенства ядер линейных операторов, существование матричного представления линейных операторов действующих в гильбертовых пространствах, аналогичного блочному представлению квадратной матрицы с ранговой подматрицей, инвариантность срезок ряда Фурье функций класса Гельдера, эквивалентность интегральных уравнений бесконечным системам линейных алгебраических уравнений.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются системы линейных алгебраических уравнений, абстрактные операторные уравнения в гильбертовом пространстве, сингулярное интегральное уравнение Гильберта нейтрального типа, система линейных дифференциальных уравнений. Предмет исследования - регуляризация сдвигом системы линейных алгебраи-

ческих и абстрактных операторных уравнений, однозначная разрешимость сингулярных интегральных уравнений и их дискретных аналогов, сходимость регуляризации сдвигом решения периодической задачи для систем дифференциальных уравнений.

Методология и методы проведенного исследования. В диссертационной работе используются методы линейной алгебры, регуляризации А. Н. Тихонова, вычислительной математики, функционального анализа, теории операторов, сингулярных интегральных уравнений, теории функций комплексной переменной.

Научная новизна полученных результатов. Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми. В тех случаях, когда изложение требует воспроизведения результатов и конструкций, принадлежащих другим математикам, это специально оговаривается и подчеркивается.

Рассмотрим, с этой точки зрения, каждую главу диссертации. Сдвиг на единичный оператор, умноженный на малое вещественное или чисто мнимое число при решении уравнений, с самосопряженным и неотрицательно определенным оператором, рассматривался М. М. Лаврентьевым, В. Н. Фадеевой, А. Б. Бакушинским и В. А. Морозовым. Сдвиг на произвольный оператор, умноженный на произвольное малое комплексное число до работ автора не рассматривался и потому критерий выбора оператора, на который осуществляется сдвиг другими авторами не исследовался. Успешно применяемая в приложениях непараметрическая регуляризация сдвигом и оптимальная сходимость с помощью рангового оператора не изучались.

Во второй главе речь идет о решений прямых и двойственных задач Ь-псевдообращения В. А. Морозова. Им, а также Б. А. Алиевым, В. И. Мелешко, Р. А. Шафиевым были установлены однозначная разрешимость вариационной задачи Ь -псевдообращения и сходимость ее решения. Оптимальный порядок сходимости решения вариационной задачи с приближенными данными для нормально разрешимых задач получили В. А. Морозов, С. Ф. Гилязов, С. Джу-

маев. В этих работах предполагалось выполнения некоторых дополнительных условий, предъявляемые искомому решению и оператору. Не был получен оптимальный порядок сходимости метода регуляризации А. Н. Тихонова и решение задачи Ь -псевдообращения В. А. Морозова исходя только из нормальной разрешимости точного оператора и взаимной дополнительности операторов. Также не была установлена совпадение и отличие решений прямой и двойственной стационарных и вариационных задач.

В третьей главе диссертации речь идет о разрешимости, и в частности, однозначной разрешимости сингулярных интегральных уравнений Гильберта нейтрального типа и их дискретных аналогов. И. К. Лифанов для нахождения решения с нулевым средним дискретного аналога сингулярного интегрального уравнения Гильберта ввел дополнительное неизвестное - регуляризующий фактор. Он совместно с С. М. Белоцерковским и М. М. Солдатовым получил разрешимость в пространствах Гёльдера сингулярного интегрального уравнения типа Гильберта с дополнительным регулярным интегральным оператором с суммарным ядром, состоящее из одной экспоненты первого порядка использовался метод дискретных вихрей. Не было полное исследование разрешимости сингулярных интегральных уравнений типа Гильберта с дополнительными регулярными интегральными операторами с разностными и суммарным ядрами, состоящие из произвольных тригонометрических полиномов в пространствах Гёльдера и Лебега. А также не рассматривалось применение непараметрического метода регуляризации сдвигом для решения дискретных аналогов этих уравнений. В диссертации полностью исследованы эти вопросы, а также найдены в явном виде спектры сингулярных интегральных операторов нейтрального типа первого и второго рода действующих в любых из указанных пространствах функций и спектры их дискретных аналогов, действующих в конечномерных пространствах Лебега.

В четвертой главе рассматривается периодическая задача для систем линейных дифференциальных уравнений. С помощью метода регуляризации

сдвигом получено решения периодической задачи для систем линейных дифференциальных уравнений как в регулярном, так и резонансном случаях.

Практическая значимость полученных результатов. Результаты работы имеют и теоретический и прикладной характер. Они могут применяться в аэродинамике, теории упругости и теории трещин. Алгоритмы для решения дискретных аналогов сингулярного интегрального уравнения Гильберта нейтрального типа имеют многократное преимущество и по времени счета, и по объему использования оперативной памяти, и по точности результатов, по отношению метода Гаусса.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1. В диссертации впервые сформулирована проблема регуляризации сдвигом и доказаны критерии сходимости регуляризации сдвигом для систем линейных алгебраических уравнений (конечномерный случай) и абстрактных операторных уравнений в гильбертовом пространстве (бесконечномерный случай). Выявлены существенные особенности регуляризации сдвигом в бесконечномерном случае и ее отличия от аналогичной задачи для систем линейных алгебраических уравнений (конечномерный случай).

2. Доказаны оптимальные (неулучшаемые по порядку) оценки скорости сходимости метода регуляризации А. Н. Тихонова и решений вариационной задачи /--псевдообращения В. А. Морозова нормально разрешимых задач с приближенными данными при самых общих предположениях.

3. Впервые проведен полный анализ разрешимости и однозначной разрешимости сингулярных интегральных уравнений Гильберта нейтрального типа в пространствах Гёльдера и Лебега, основанный на связь этих уравнений с бесконечными системами линейных алгебраических уравнений.

4. Предложена новая методика решения а) дискретных задач, связанных с интегральными уравнениями Гильберта нейтрального типа и б) периодической задачи для систем линейных дифференциальных уравнений, связанная с методом регуляризации сдвигом.

5. Разработаны новые алгоритмы быстрого решения дискретных аналогов сингулярных интегральных уравнений Гильберта нейтрального типа (матрица коэффициентов которых состоит из суммы циркулянтных и перциркулянтных матриц), основанных на методе быстрого преобразования Фурье за 0{Ы\о%2 М) арифметических операций.

Апробация результатов диссертации. Вошедшие в диссертацию результаты докладывались на Ломоносовских чтениях (Москва, НИВЦ МГУ им. М. В. Ломоносова, 1982 - 1986, 2005 - 2012 гг.), на Всесоюзной школе - семинар по некорректно поставленным задачам (Фрунзе, 1979 г., Саратов, 1981 г., Самарканд, 1983 г.), на всесоюзном симпозиуме «Метод дискретных особенностей в задачах математической физики» (Харьков, 1985 г.), на международной конференции «Алгоритмический анализ некорректных задач» (Екатеринбург, 1995 г., 1998 г., 2008 г., 2011 г.), на международной конференции «Вопросы оптимизации вычислений» (Крым, 2009 г., 2011г.), на семинаре С. И. Похожаева и В. А. Кондратьева (Москва, МИ им. В. В. Стеклова, 2009 г.), на семинаре В. В. Васина (ИММ УрАН, Екатеринбург, 2011 г., 2012 г.), на семинаре А.Г.Яголы, А.В.Тихонравова, А.Б.Бакушинского (Москва, НИВЦ МГУ, 2012г.), на семинаре Е. Е. Тыртышникова (Москва, МГУ, 2012 г.),на семинаре С. И. Ка-банихина (Новосибирск, 2012 г). Полное содержание диссертации в течении многих лет докладывалось на семинарах В. А. Морозова (Москва, НИВЦ МГУ им. М. В. Ломоносова, 1979 - 2012 гг.) и на семинарах Э. М. Мухамадиева (Душанбе, 1979 - 1994 гг., Худжанд, 1995 - 2002 гг., Вологда, 2003 - 2012 гг.).

Опубликованность результатов. По теме диссертации опубликованы две монографии и 38 статей в научных журналах и других изданиях, в том числе 15 статей в журналах, рекомендованных ВАК. Все результаты диссертации содержатся в этих работах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка используемых источников. Список насчитывает 204 наименований. Полный объем диссертации составляет 314 страниц, в том числе список используемых источников занимает 16 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Нулевая глава состоит из введения и содержит общую характеристику работы.

В первой главе исследуются теоретические основы метода регуляризации сдвигом. В § 1.1 дано определение регуляризации сдвигом в конечномерном случае: нахождение решения систем линейных алгебраических уравнений

Ах = /, (0.1)

минимизирующего функционал 1-Р2&Ц, где А - квадратная матрица порядка N

с комплексными элементами. Так как матрица А может являться и вырожденной, то случай прямоугольной матрицы сводится к эквивалентному квадратному случаю. Для этого достаточно окаймлять прямоугольную матрицу нулевыми строками или столбцами до получения квадратной матрицы. Регуляризацией сдвигом данной системы является СЛАУ

(А + ЛВ)х = /, (0.2)

зависящая от комплексного параметра Я, где В - квадратная матрица порядка N с комплексными элементами. Требования, которым должна удовлетворять матрица В, выражаются в виде свойств, которыми должна обладать параметрическая СЛАУ (0.2):

1) для всех /еС^ и достаточно малых |Я|>0 имеет единственное решение хл=хл(/);

2) для всех / еЯ(А) решение хл сходится при Я —> 0 к некоторому решению СЛАУ (0.1).

Если матрица А обратимая, то СЛАУ (0.2) является регуляризацией сдвигом СЛАУ (0.1). В качестве матрицы В можно брать любую матрицу, порядок которой совпадает с порядком А.

Если матрица А необратимая, то матрица В должна удовлетворять определенным условиям, которые приводятся в теореме 1.1.1.

Теорема 1.1.1. Утверждения (К.1) - (К.12) эквивалентны.

(К.1): семейство (0.2) является регуляризацией сдвигом (0.1).

(К.2): существует Л0 е С такое, что Л(Л<0) ф 0 и имеет место равенство

Р(А)ПР(Вд) = {0}. (К.З): имеет место равенство Е*Е = <2.

(К.4): имеет место равенство = Р.

(К.5): справедливо разложение в матричный ряд

00

(А + лву1 = Л^Е+ + £лт (тв)т т(ве+ - е) .

гп=о

где Л е С, 0 < |Л| < , р - спектральный радиус матрицы-оператора ТВ.

(К.6): имеет место оценка (К.7): имеет место оценка (К.8): имеет место оценка

(А + ЛВ)~*\\ = о(\Л\-1)), ЛеА0.

Л(А + ЛВ)~

< const, Л е Л„.

Л(А + ЛВ)~1 В

< const, Ле А .

(К.9): имеет место оценка (А + ЛВ) 1 А < const, Ле А .

(К. 10): имеет место равенство R{A) + R{BQ) = С".

(К. 11): имеет место неравенство Д^ (0) Ф 0, где k = n-r, r = rankА\ (К.12): имеют место неравенства

det 4, * о, det(£22 - a2Ia;;bi2 - b21a;;aI2 ЛЧ2) *0 •

где А., и В.. - составляющие блочного представления матриц А и В:

А =

А\\ А\г lAl Л22А

в =

Вп Вп

lAl B22J

где A v. В - квадратные матрицы порядка г, г = rank А.

Заметим, если в (0.2) вместо четверки (А, В, Л, /) положить {А*А, Е, а, А*/), где А* - комплексно-сопряженная матрица для матрицы А,

Е - единичная матрица, а> 0, то получается регуляризация А. Н. Тихонова [104], [105]; при {^А*А, Ь*Ь, а, А*получается СЛАУ, решение которой сходится к Ь- псевдорешению В. А. Морозова [60], [61], [63]; при (А, Е, а, /), где

А - А* > 0, а> 0, получается регуляризация М.М.Лаврентьева [48] - [50], а если А - положительно определенная симметрическая матрица, то получается метод сдвига, рассмотренной В. Н. Фадеевой в [108]; при (А, Е,га, /), где

А = А*> 0, а> 0, / - мнимая единица, получается регуляризация А. Б. Баку-

к _

шинского [7] - [11]; при В = ^¡g*е , где е , g* ,т = \,к - ортонормированные

т=1

базисы в кегА и кетА* соответственно, получится СЛАУ для нахождения приближенных значений точек ветвления нелинейных уравнений, изученных Н. А. Сидоровым и В. А. Треногиным [98] - [100], [106] и численного решения сингулярных интегральных уравнений теории упругости и аэродинамики, рассмотренных Н. Г. Афендиковой, С. М. Белоцерковским и И. К. Лифановым [3] -[5], [13], [14], [52]-[55].

В § 1.2 изучается вопрос регуляризации совместной системы (0.1) параметрическим семейством

(А + ЛЕ)х = /, (0.3)

когда В-Е- единичная матрица порядка N. Если предполагать, что А - самосопряженный оператор и Л = а > 0, то из этого семейства получается регуляризация М. М. Лаврентьева [48], для симметрической положительно определенной матрицы А получается метод сдвига В. Н. Фадеевой [108], а если Л = 1а,а> 0 - регуляризация А. Б. Бакушинского [8]. Нашей целью является выявление наиболее широкого класса матриц А, для которых параметрическое семейство является регуляризацией сдвигом (0.1), и изучение случая, когда матрицы А - циркулянтная.

Теорема 1.2.1. Для того, чтобы семейство (0.3) являлось регуляризацией сдвигом (0.1), необходима и достаточна полупростота нулевого собст-

венного значения матрицы А.

Из этой теоремы следует, что если С и С0 - произвольные циркулянты

одного порядка, то каждое из семейств (С + Л£)х = / и ¡С + АС0)х = / (Ы С0 Ф 0 является регуляризацией сдвигом системы Сх = /, справедливость

которого следует из того, что все собственные значения циркулянтной матрицы являются полу простыми.

В § 1.3 приводится необходимое и достаточное условие сходимости решения регуляризации сдвигом (0.2) к нормальному решению СЛАУ (0.1) при Л -> 0. Этим устанавливается признак, когда предельное значение регуляризо-ванного решения при Я —> 0 не зависит от матрицы В.

Теорема 1.3.2. Для того, чтобы регуляризованные сдвигом решения параметрической системы (0.2) сходились к нормальному решению (0.1), необходимо и достаточно выполнение равенства Р+В = £2, где Т7 = РВ(), и

Р - ортопроекторы на кет А и кег А* соответственно.

Важным с точки зрения приложения является случай, когда

в = 1г/1. (<>-4)

т=1

где и - ортогональные базисы в кегЛ и кег А*.

При практическом применении теории регуляризации в решении той или иной задачи, в частности, при решении СЛАУ, важным является выбор параметра регуляризации. Как правило, этот выбор сопровождается большими трудностями. В § 1.4 рассматривается непараметрическая регуляризация сдвигом, то есть Л = 1:

(А + В)х = /, (0.5)

в которой не участвует параметр регуляризации. Это освободит исследователя от выбора параметра регуляризации. Если В определена равенством (0.4), то

при / eR(A) нормальное решение (0.1) имеет вид xQ = A + ^g е

л-1

т т т=1

/ (тео-

рема 1.4.2), при f £R(A) нормальное псевдорешение (0.1) имеет вид

г к

к

А + Т,ёте*т g>r№ g = f-Y,{f>em)gm (теорема 1-4.3).

т=1 J т=1

Непараметрическая регуляризация сдвигом используется и при решении задачи Дирихле для уравнения Лапласа.

В § 1.5 определена регуляризация сдвигом в бесконечномерном пространстве для решения абстрактных операторных уравнений (0.1). Регуляризация в бесконечномерном случае существенно отличается от конечномерного случая. Во-первых, образы R(A) и в конечномерном пространстве - замкнутые,

а в бесконечномерном пространстве - не всегда; во-вторых, сходимость решения уравнения (0.2) в конечномерном пространстве при Л—> 0 является

равномерной на любом ограниченном множестве RQ сzR(A), тогда как сходимость в бесконечномерном пространстве может являться равномерной или неравномерной, сильной или слабой; в-третьих, в конечномерном пространстве для любой матрицы А существует такая матрица В, что семейство (0.2) является регуляризацией сдвигом ОУ (0.1), а в бесконечномерном пространстве не для всякого оператора А существует оператор В, для которого семейство (0.2) является регуляризацией сдвигом ОУ (0.1) и т.д. Основным результатом данного параграфа является

Теорема 1.5.1. Следующие утверждения эквивалентны:

(Б.1) семейство ОУ (1.5.2) является регуляризацией сдвигом ОУ (1.5.1);

(Б.2) имеет место оценка Л(А + ЛВ) 1 <М = const, ДеА0;

(Б.З) оператор А нормально разрешимый, a FQ : kerA —> kerA* - ограниченно обратимый;

(Б.4) имеет место оценка Л(А + ЛВ) 1В <М{= const Д е AQ;

(Б.5) имеет место оценка (Б.6) имеет место оценка

<М = const,Л є Л.;

< М = const,Я є Л.;

(А + ЛВ) 1А ЛВ(А + ЛВ)~1

(Б.7) имеет место оценка А(А + ЛВ) 1 < М4 = const,Я є AQ;

(Б.8) оператор А* нормально разрешимый, F* : kerA* —» кеглі - ограниченно обратимый;

(Б.9) операторы А и F нормально разрешимые и имеет место операторное равенство F+F = Q, F = PBQ;

(Б. 10) операторы А и F нормально разрешимые и имеет место операторное равенство FF+ = Р, F = PBQ ;

(Б.11) операторы А и F нормально разрешимые и имеет место раз-

00

ложение в операторный ряд (А + ЛВ)~ = Л~1Р+ + ^Г Лт (ТВ)т T(BF+ - Е^;

т=О

где Л є С: 0 < |А | < /?0 < р , р- р(ТВ) - спектральный радиус ТВ :Н —» Н ;

(Б. 12) имеют место кегЛПкег5 = {0}, ЦА)® ЦВ()) = Н;

(Б.13) имеют место кегЛ* ПкегЯ* = {0}, я(А*)®я(в*Р) = Н.

Уравнение (0.1) в бесконечномерном пространстве, в общем случае, не является регуляризуемо сдвигом. Указан признак выбора оператора В, гарантирующего регуляризации сдвигом (0.1) (теоремы 1.5.3 и 1.5.4).

В § 1.6 вводятся понятия порождающей четверки и рангового оператора. Для любого линейного преобразования, действующего в конечномерном пространстве С, существуют бесчисленно много базисов, в которых его матрица

представляется в блочном виде А =

А\\ А\2 іА2\ А22.

, где A j, А22 - квадратные мат-

рицы порядка г = rank А < п и п - г. Если det Аи* О, А22 = А^А 1Ап, то матрицу A j назовем ранговой матрицей матрицы А.

Рассматривается этот вопрос в бесконечномерном пространстве. Для данного линейного оператора вводится понятие порождающей четверки и на ее языке доказан критерий регуляризуемости сдвигом уравнения (0.1). Доказана

Теорема 1.6.2. Для того чтобы семейство (0.2) являлось регуляризацией сдвигом уравнения (0.1), необходимо и достаточно равномерная ограниченность семейства |Л(А + ЛВ) 11 для всех малых ненулевых АеС.

В § 1.7 рассматривается задача регуляризации сдвигом, когда вместо точных данных А, В, / известны их приближения А, В, /, связанные соотно-

шениями

А-А

в-в

<у, ||/-/||<£||/||, где /л>0,у>0, 3>0 - известные величины (погрешности аппроксимации). Доказаны оптимальные оценки скорости сходимости метода регуляризации сдвигом. Пусть Нх, Н0, - произвольная порождающая четверка. Тогда точные и прибли-

женные данные представляются в виде А =

Ч. V ,в = А V А

А. V А, V /о.

где г, / = 0, 1.

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Назимов, Акбар Багадурович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1. В диссертации впервые сформулирована проблема регуляризации сдвигом и доказаны критерии сходимости регуляризации сдвигом для систем линейных алгебраических уравнений (конечномерный случай) и абстрактных операторных уравнений в гильбертовом пространстве (бесконечномерный случай). Выявлены существенные особенности регуляризации сдвигом в бесконечномерном случае и ее отличия от аналогичной задачи для систем линейных алгебраических уравнений (конечномерный случай).

2. Доказаны оптимальные оценки скорости сходимости метода регуляризации А. Н. Тихонова и решений вариационной задачи Ь -псевдообращения В. А. Морозова нормально разрешимых задач с приближенными данными при самых общих предположениях.

3. Впервые проведен полный анализ разрешимости и однозначной разрешимости сингулярных интегральных уравнений Гильберта нейтрального типа в пространствах Гёльдера и Лебега, основанный на связь этих уравнений с бесконечными системами линейных алгебраических уравнений.

4. Предложена новая методика решения а) дискретных задач, связанных с интегральными уравнениями Гильберта нейтрального типа и б) периодической задачи для систем линейных дифференциальных уравнений, связанная с методом регуляризации сдвигом.

5. Разработаны алгоритмы быстрого решения дискретных аналогов сингулярных интегральных уравнений Гильберта нейтрального типа, основанных на методе быстрого преобразования Фурье.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Назимов, Акбар Багадурович, 2013 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Агеев А. Л. Об одном свойстве оператора, обратного к замкнутому // Исследования по функциональному анализу. Свердловск. 1978. С. 3-5.

2. Агеев А. Л., Васин В. В. О сходимости обобщенного метода невязки и его дискретных аппроксимаций // Математические записки Уральского университета. 1979. Т. 11. № 4. С. 3-18.

3. Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / П. С. Александров. М.: Наука, 1979. 512 с.

4. Алиев Б. А. О нахождения условного псевдорешения // Доклады Академии наук Таджикской ССР. 1979. Т. 22, № 2. С. 71-74.

5. Афендикова Н. Г., Лифанов И. К. К численному решению сингулярных интегральных уравнений с ядрами Коши и Гильберта // Препринт. М.: ИТЭФ. 1986. №73. 21 с.

6. Афендикова Н. Г., Лифанов И. К. О сингулярном интегральном уравнении второго рода с кратными интегралами типа Коши // Известия вузов. Серия математика. 1986. № 8. С. 3-9.

7. Афендикова Н. Г. Численное решение сингулярного интегрального уравнения первого рода с кратным интегралом с ядрами Гильберта // Известия вузов. Серия математика. 1988. № 3. С. 3-8.

8. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966. 544 с.

9. Баев А. В. О построении нормального решения нелинейных некорректных задач методом регуляризации // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1979. Т. 19, № 3. С. 594-600.

10. Бакушинский А. Б. Один общий прием построения регуляризующих алгоритмов для линейного некорректного уравнения в гильбертовом пространстве // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1967. Т. 7, № 3. С. 672-676.

11. Бакушинский А. Б. Избранные вопросы приближенного решения некорректных задач. М.: МГУ, 1968. 90 с.

12. Бакушинский А. Б. Некоторые свойства регуляризующих алгоритмов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1968. Т. 8, № 2. С. 426-428.

13. Бакушинский А. Б. Некоторые вопросы теории регуляризующих алгоритмов // Вычислительные методы и программирования. М.: МГУ, 1969. Вып. 12. С. 56-79.

14. Бакушинский А. Б., Гончарский А. В. Итерационные методы решения некорректных задач. М.: МГУ, 1989. 199 с.

15. Беклемишев Д. В. Дополнительные главы линейной алгебры. - М.: Наука, 1983.336 с.

16. Белоцерковский С. М., Лифанов И. К., Солдатов М. М. Метод дискретных особенностей в плоских задачах теории упругости // Прикладная математика и механика. 1983. Т. 47, вып. 5. С. 781-789.

17. Белоцерковский С. М., Лифанов И. К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М.: Наука. 1985. 256 с.

18. Березин И. С., Жидков 77. 77. Методы вычислений. М.: Физматгиз, 1962. Том 1. 464 с.

19. Вайникко Г. М. Регулярность сходимости операторов и приближенное решение уравнений // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Математический анализ. 1979. Т. 16. С. 5-53.

20. Вайникко Г. М. Оценки погрешности метода последовательных приближе-ниий для некорректных задач // Автоматика и телемеханика. 1980. № 3. С. 84-92.

21. Васильев Ф. 77. О регуляризации некорректных задач минимизации на множествах, заданных приближенно // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1980. Т. 20, № 1. С. 38-50.

22. Васин В. В., Танана В. 77. Приближенное решение операторных уравнений первого рода // Математические записки Уральского университета. 1968. Т. 6, № 4. С. 27-37.

23. Васин В. В., Танана В. П. Необходимые и достаточные условия сходимости проекциионных методов для линейных неустойчивых задач // Доклады Академии наук СССР. 1974. Т. 215, № 5. С. 1032-1034.

24. Васин В. В. Оптимальность по порядку метода регуляризации для нелинейных операторных уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1977. Т. 17, № 4. С. 847-858.

25. Васин В. В. Методы решения неустойчивых задач. Свердловск: Уральский госуниверситет, 1989.

26. Васин В. В. Метод невязки и конечномерная аппроксимация приближенных решений операторных уравнений // Методы решения условно-корректных задач. Свердловск. УНЦ АН СССР, 1975. С. 39-52.

27. Васин В. В. Конечномерные аппроксимации для приближенных решений в вариационных методах регуляризации неустойчивых задач // Неклассические методы в геофизике. Новосибирск. 1977. С. 154-155.

28. Васин В. В. Устойчивая аппроксимация бесконечномерных задач линейного и выпуклого программирования // Известия вузов. Математика. 1978. № 11. С. 23-33.

29. Веку а Н. П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи. М.: Наука, 1970. 380 с.

30. Винокуров В. А. Приближенный метод невязки в нерефлексивных пространствах // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1972. Т. 12, № 1. С. 207-212.

31. Винокуров В. А. О погрешности приближенного решения линейных задач // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1972. Т. 12, №3. С. 765-762.

32. Воеводин В. В., Тыртышников Е. Е. Вычисления с теплицевыми матрицами // Вычислительные процессы и системы. М.: Наука, 1983. Вып. 1. С.124-266.

33. Воеводин В. В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980. 400 с.

34. Воеводин В. В., Тыртышников Е. Е. Вычислительные процессы с теплицевыми матрицами. М.: Наука, 1987. 320 с.

35. Воеводин В. В. О методе регуляризации // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1969. Т. 9, № 3. С. 671-673.

36. Ворович И. И. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. 456 с.

37. Габдулхаев Б. Г., Душков П. Н. О прямых методах решения сингулярных интегральных уравнений первого рода // Известия вузов. Математика. 1973. №7. С. 12-24.

38. Гавурин М. К. О методе А. Н. Тихонова решения некорректных задач // Методы вычислений. Л.: ЛГУ, 1977. Вып. 4. С. 21-25.

39. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. 576 с.

40. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.

41. Гахов Ф. Д., Черский Ю. И. Уравнения типа свертки. М.: Наука, 1978. 295 с.

42. Гилязов С. Ф. Об устойчивом решении линейных операторных уравнений I рода методом наискорейшего спуска // Вестник МГУ. Вычислительная математика и кибернетика. 1980. № 3. С. 26-32.

43. Голубев В. В. Лекции по теории крыла. М.-Л., Гостехиздат, 1949. 480 с.

44. Гончарский А. В., Леонов А. С., Ягола А. Г. Об одном регуляризующем алгоритме для некорректно поставленных задач с приближенно заданным оператором // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1972. Т. 12, № 6. С. 1572-1594.

45. Гончарский А. В., Леонов А. С., Ягола А. Г. Обобщенный принцип невязки // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1973. Т. 13, №2. С. 294-302.

46. Гончарский А. В., Леонов А. С., Ягола А. Г. О применимости принципа невязки в случае нелинейных некорректных задач и о новом регуляризую-щим алгоритмом их решения // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1975. Т. 15, № 2. С. 290-297.

47. Гончарский А. В., Ягола А. Г. О равномерном приближении монотонного решения некорректных задач // Доклады АН СССР. 1969. Т. 184, № 4. С. 771-773.

48. Гохберг И. Ц., Круаник Н. Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов. Кишинёв. Штиница, 1972. 426 с.

49. Гребенников А. И. Об оптимальном приближения нелинейных операторов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1978. Т. 18, № 3. С. 762-766.

50. Гребенников А. И. Об оптимальном методе приближения нелинейных операторов // Математические заметки. 1980. Т. 28, № 1. С. 67-74.

51. Данилин А. Р. О ^-устойчивости метода регуляризации А. Н. Тихонова решения неявных операторных уравнений первого рода // Исследования по функциональному анализу. Свердловск. 1978. С. 15-31.

52. Данилин А. Р., Танана В. П. О сходимости проекционных методов решений линейных некорректных задач // Математические записки Уральского университета. 1975. Т. 9. № 4. С. 3-13.

53. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука. 1967. 472 с.

54. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970. 664 с.

55. Джумаев С. Аналог теоремы Лакса для неоднозначно разрешимых задач // Доклады Академии наук Таджикской ССР. 1977. Т. 20, № 7. С. 3-6.

56. Джумаев С. О приближенном вычисления псевдорешения // Доклады Академии наук Таджикской ССР. 1982. Т. 25, № 10. С. 584-587.

57. Джумаев С. Модификация метода квазиобращения // Доклады Академии наук Таджикской ССР. 1972. Т. 15, № 9. С. 11-14.

58. Джумаев С., Мухамадиев Э. Наилучшее приближенное решение операторных уравнений и теоремы сходимости // Доклады Академии наук Таджикской ССР. 1977. Т. 20, № 1. С. 3-7.

59. Джумаев С., Мухамадиев Э. Об оптимальном выборе параметра регуляризации для решения линейных систем с приближенными данными // Методы решения нелинейных уравнений и задач оптимизации. Таллин; Валгус. 1984. С. 26-29.

60. Доманский Е. Н. О регуляризующих алгоритмах, сходимость которых эквивалентна разрешимости некоторых линейных операторных уравнений // Известия вузов. Математика. 1980. № 7. С. 14-20.

61. Домбровская И. Н., Иванов В. К. К теории некоторых линейных уравнений в абстрактных пространствах // Сибирский математический журнал. 1965. Т. 6, № 3. С. 499-508.

62. ДъедоннеЖ. Основы современного анализа. М.: Мир, 1964. 430 с.

63. Заикин П. К, Меченое А. С. Некоторые вопросы численного решения интегральных уравнений первого рода методом регуляризации // Научный отчет № 144. Т. 3 (468). М.: ВЦ МГУ. 1971. 21 с.

64. Заикин П. Н., Нефедов В. Н. О решении некоторых лексикографических задач интерпретации // Вестник МГУ. Вычислительная математика и кибернетика. 1979. № 1. С. 5-13.

65. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1. М.: Мир. 1965. 616 с

66. Иванов В. В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. Киев: Наукова думка. 1968. 287 с.

67. Иванов В. К. Теорема единственности обратной задачи логарифмического потенциала для звездных множеств // Известия вузов. Математика. 1958. № 3. С. 99-106.

68. Иванов В. К. О линейных некорректных задачах // Доклады Академии наук СССР. 1962. Т. 145, № 2. С. 270-272.

69. Иванов В. К. Интегральные уравнения первого рода и приближенное решение обратной задачи потенциала // Доклады Академии наук СССР. 1962. Т. 142, №5. С. 997-1000.

70. Иванов В. К. О приближенном решении операторных уравнений первого рода // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1966. Т. 6, № 6. С. 1089-1094.

71. Иванов В. К, Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 206 с.

72. Ильин В. А. О работах А. Н. Тихонова по методам решения некорректно поставленных задач // Успехи математических наук. 1967. Т. 22, № 2. С. 168-175.

73. Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сибирское научное издательство. 2009. 457 с.

74. Какичев В. А. Методы решения некоторых краевых задач для аналитических функций двух комплексных переменных. Тюмень: Тюменский университет. 1978. 124 с.

75. Каландия А. И Математические методы двумерной упругости. М.: Наука. 1973. 304 с.

76. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 751 с.

77. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. 740 с.

78. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968. 496 с.

79. Красносельский М. А., Бурд В. Ш., Колесов Ю. С. Нелинейные почти периодические колебания. М.: Наука, 1970. 352 с.

80. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1971. 104 с.

81. Кузнецов Ю. А. Итерационные методы решения несовместных систем линейных уравнений // Препринт. № 21. Новосибирск: СОАН СССР. 1975. 18 с.

82. Купрадзе В. Д., Гегелиа Т. Г., Башелейшвили М. О., Барчуладзе Т. В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. Классическая и микрополярная теория. Статика, гармонические колебания, динамика. Основы и методы решения. М.: Наука. 1976. 664 с.

83. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975. 432 с.

84. Лаврентьев М. М. О задаче Коши для уравнения Лапласа // Доклады Академии наук СССР. 1955. Т. 102, № 2. С. 205-206.

85. Лаврентьев М. М. К вопросу об обратной задаче теории потенциала // Доклады Академии наук СССР. 1956. Т. 110, № 3. С. 389-390.

86. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: СО АН СССР. 1962. 92 с.

87. Лаврентьев М. М. Условно - корректные задачи дифференциальных уравнений. Новосибирск: Новосибирский университет. 1973. 72 с.

88. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. 77. Некорректные задачи математической физики и анализа. М: Наука. 1980. 288 с.

89. Левитан Б. М., Жиков В. В. Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Московский университет, 1978. 205 с.

90. Лисковец О. А. Вариационные методы решения неустойчивых задач. Минск: Наука и техника, 1981. 343 с.

91. Лисковец О. А. Принцип сглаживающего функционала в методе регуляризации для экстремальных задач // Доклады Академии наук БССР. 1979. Т. 23. № 1.С. 16-19.

92. Лисковец О. А. Некорректные задачи и их регуляризации // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Математический анализ. 1982. Т. 20. С. 117-178.

93. Литвинчук Г. С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. М.: Наука. 1977. 448 с.

94. Лифанов И. К. О некорректности и регуляризации численного решения сингулярных уравнений // Доклады Академии Наук СССР. 1980. Т. 255, №5. С. 1046-1050.

95. Лифанов И. К., Моляков 77. М О численном решении сингулярных интегральных уравнений второго рода // Труды ВВИА им. Н. Е. Жуковского. 1986. Вып. 1313. С. 465^75.

96. Лифанов И. К., Тыртышников Е. Е. Теплицевы матрицы и сингулярные интегральные уравнения // Вычислительные процессы и системы. М.: Наука, 1990. Вып. 7. С. 94-273.

97. Лифанов И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент (в математической физике, аэродинамике, теории упругости и дифракции волн). М.: ТОО «Янус», 1995. 520 с.

98. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: ИТТЛ, 1956. 492 с.

99. Маслов В. П. Существование решения некорректной задачи эквивалентно регуляризованного процесса // Успехи математических наук. 1968. Т. 23. № 3. С. 183-184.

100. Матвеев А. Ф. О саморегуляризации задачи вычисления сингулярных интегралов с ядрами Коши и Гильберта в метрике С II Препринт. ИТЭФ. 165. М. 1982.37 с.

101. Матвеев А. Ф. Приближенное решение сингулярного интегрального уравнения на отрезке // Доклады АН СССР. 1988. Т. 298, № 2. С. 281-285.

102. Матвеев А. Ф. О построении приближенного решения сингулярного интегрального уравнения второго рода // Доклады АН СССР. 1989. Т. 307, № 5. С. 1046-1050.

103. Мелешко В. И. Псевдообратные операторы и рекуррентное вычисления псевдорешений в гильбертовых пространствах // Сибирский математический журнал. 1976. Т. 19, № 19. С. 106-121.

104. Мелешко В. И. Исследование устойчивых L -псевдообращений неограниченных операторов методом регуляризации // Дифференциальные уравнения. 1979. № 5. С. 921-935.

105. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962. 254 с.

106. Морозов В. А. О принципе невязки при решении операторных уравнений методом регуляризации // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1965. Т. 6, № 1. С. 170-175.

107. Морозов В. А. О принципе невязки при решении несовместных уравнений методом регуляризации А. Н. Тихонова // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1973. Т. 13, № 5. С. 1099-1111.

108. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: МГУ, 1974. 360 с.

109. Морозов В. A. L -псевдообращение и его свойства // Доклады Академии наук СССР. 1977. Т. 233, № 2. С. 291-294.

110. Морозов В. А., Гилязов С. Ф. Оптимальная регуляризация некорректых нормально разрешимых операторных уравнений // Методы и алгоритмы в численном анализе. М.: МГУ. 1982. С. 11-18.

111. Морозов В. А., Назимов А. Б. К теории L -псевдообращения // Численный анализ: методы, алгоритмы, программы. М.: МГУ. 1983. С. 20-29.

112. Морозов В. А., Кирсанова Н. Н. Об одном обобщении метода регуляризации // Вычислительные методы и программирование. М.; МГУ. 1970. С. 40-45.

113. Мусаев Б. И. К приближенному решению сингулярных интегральных уравнений // Сингулярные интегральные операторы. Азербайджанский госуниверситет. Баку, 1986. С. 33-61.

114. Мусаев Б. И. О приближенном решении сингулярных интегральных и ин-тегро-дифференциальных уравнений // Сингулярные интегральные операторы. Азербайджанский госуниверситет. Баку, 1987. С. 77-90.

115. Мусаев Б. И. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений при отрицательном индексе методом механических квадратур // Доклады АН СССР. 1988. Т. 298, № 2. С. 286-290.

116. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. 512 с.

117. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основы задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.

118. Назимов А. Б. О скорости сходимости метода регуляризации // Доклады Академии наук Таджикской ССР. 1979. Т. 22, № 10. С. 463^66.

119. Назимов А. Б. О скорости сходимости метода регуляризации в гильбертовом пространстве // Доклады Академии наук Таджикской ССР. 1981. Т. 24, №4. С. 211-214.

120. Назимов А. Б. Об одном специальном способе регуляризации систем линейных алгебраических уравнений // Методы и алгоритмы в численном анализе. М.: МГУ, 1982.

121. Назимов А. Б., Джумаев С. Об одном способе приближенного вычисления квазирешений // Доклады Академии наук Таджикской ССР. 1983. Т. 26, № 4. С. 195-198.

122. Назимов А. Б., Морозов В. А. К теории L-псевдообращения // Численный анализ: Методы, алгоритмы, программы. М.: МГУ. 1983. С. 20-29.

123. Назимов А. Б. Оптимальный порядок сходимости метода регуляризации // Теория и методы решения некорректно поставленных задач. Новосибирск: Новосибирский университет. 1983.

124. Назимов А. Б. Об одной специальной регуляризации решения операторных уравнений // Методы и алгоритмы в численном анализе. М.: МГУ. 1984. С. 54-63.

125. Назимов А. Б. О трехэтапной лексикографической задаче и ее регуляризации // Доклады Академии наук Таджикской ССР. 1984. Т. 27, № 8. С. 377-380.

126. Назимов А. Б. Метод БПФ для численного решения сингулярных интегральных уравнений // Метод дискретных особенностей в задачах математической физики. Харьков: Харьковский университет. 1985. С. 77-79.

127. Назимов А. Б., Морозов В. А. К проблеме регуляризации систем линейных алгебраических уравнений // Доклады Академии наук СССР. 1985. Т. 286, №3.

128. Назимов А. Б. Метод БПФ для быстрого решения линейных систем с пер-циркулянтными блоками // Доклады Академии наук Таджикской ССР.

1985. Т. 28, № 6. С. 322-325.

129. Назимов А. Б. О трехэтапной лексикографической задаче и ее регуляризации // Прикладные методы в численном анализе. М.: МГУ. 1985.

130. Назимов А. Б., Морозов В. А. Специальная регуляризация линейных уравнений // Теория и методы решения некорректно поставленных задач и их приложения. Саратов.: Саратовский университет. 1985.

131. Назимов А. Б., Морозов В. А. К проблеме регуляризации систем линейных алгебраических уравнений // Численный анализ: Методы, алгоритмы, программы. М.: МГУ. 1985. С. 14-18.

132. Назимов А. Б., Морозов В. А. О приближенном решении одного класса неоднозначно разрешимых операторных уравнений // Электронное моделирование. 1986. Т. 8, № 6.

133. Назимов А. Б., Морозов В. А. О необходимости и достаточности условий регуляризуемости вырожденных систем линейных алгебраических уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики.

1986. Т. 26, №9.

134. Назимов А. Б, Мухамадиев Э. М. О существовании и единственности решения сингулярного интегрального уравнения с ядром типа Гильберта и его приближенного решения // Доклады Академии наук Таджикской ССР.

1987. Т. 30, № 11. С. 512-515.

135. Назимов А. Б., Морозов В. А. О приближенном решении одного класса неоднозначно разрешимых операторных уравнений // Вычислительные процессы и системы. М.: Наука, 1987.

136. Назимов А. Б. Вопрос разрешимости сингулярного интегрального уравнения с ядром типа Гильберта и численные методы его решения // Депонировано в ВИНИТИ. 1989. № 4207-В89. 58 с.

137. Назимов А. Б., Лабиб Рашид. Об условиях разрешимости линейных уравнений с фредгольмовым операторами // Доклады Академии наук Таджикской ССР. 1990. Т. 33, № 1. С. 13-16.

138. Назимов А. Б., Муллоджанов М. О разрешимости сингулярного интегрального уравнения с ядром Гильберта в гельдеровом пространстве // Конференция молодых ученых Таджикистана. Ленинабад. 1991. С. 83-85.

139. Назимов А. Б., Собиров М. К. О некоторых матричных оценках и равенствах // Материалы конференции молодых ученых Таджикистана. Курган-Тюбе, 1991. С. 133-134.

140. Назимов А. Б. О применении метода быстрого преобразования Фурье при решении систем с циркулянтной и перциркулянтной матрицами // Исследование по теории дифференциальных, интегральных и операторных уравнений. Ленинабад. 1993. С. 83-94.

141. Назимов А. Б. Быстрое решение систем линейных алгебраических уравнений с циркулянтными и перциркулянтными матрицами // Численные методы анализа. М.: МГУ. 1995.

142. Назимов А. Б. Об одном критерии сходимости метода регуляризации сдвигом // Алгоритмический анализ некорректных задач. Екатеринбург. 1998.

143. Назимов А. Б. О сходимости приближенного решения линейного дифференциального уравнения первого порядка // Дифференциальные уравнения и их приложения. Душанбе. 2000. С. 144-149.

144. Назимов А. Б. О спектре сингулярного интегрального оператора Гильберта и его дискретного аналога // Дифференциальные уравнения и их приложения. Душанбе. 2000. С. 150-155.

145. Назимов А. Б., Мухамадиев Э. М. Сдвиг на одноранговую матрицу в задаче на собственные значения // Автоматизированная подготовка машиностроительного производства, технология и надежность машин, приборов и оборудования. Вологда: ВоГТУ. 2005. С. 208-211.

146. Назимов А. Б., Мухамадиев Э. М., Собиров М. К. Обоснование метода регуляризации для решения линейных дифференциальных уравнений в пространстве почти периодических функций // Автоматизированная подготовка машиностроительного производства, технология и надежность машин, приборов и оборудования. Вологда: ВоГТУ. 2005. С. 223-227.

147. Назимов А. Б., Морозов В. А., Мухамадиев Э. М. Непрерывные и ограниченные гармонические функции на квадрате // Вычислительные методы и

программирование. М.: Московский университет. 2007. Т. 8, № 1. С. 38-60.

148. Назимов А. Б., Морозов В. А., Мухамадиев Э. М. О проблеме регуляризации сдвигом вырожденных систем линейных алгебраических уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2007. Т. 47, № 12. С. 1971-1978.

149. Назимов А. Б., Морозов В. А., Мухамадиев Э. М. О проблеме регуляризации сдвигом вырожденных систем линейных алгебраических уравнений // Доклады Российской Академии наук. 2008. Т. 419, № 4. С. 454-457.

150. Назимов А. Б.. Муллоджанов М. О разрешимости сингулярного интегрального уравнения Гильберта и его дискретного аналога // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2009. Т. 52, № 9. С. 674-680.

151. Назимов А. Б., Морозов В. А., Мухамадиев Э. М. О регуляризации сдвигом систем линейных алгебраических уравнений // Вопросы оптимизации вычислений. Т. 2. Киев: ИК HAH Украины, 2009. С. 105-107.

152. Назимов А. Б.. Муллоджанов М. О разрешимости сингулярного интегрального уравнения с ядром типа Гильберта // Вопросы оптимизации вычислений. Т. 2. Киев: ИК HAH Украины, 2009. С. 129-134.

153. Назимов А. Б., Морозов В. А., Мухамадиев Э. М. Классический и регуля-ризованный операторы Пуассона в пространствах непрерывных и ограниченных функций. Монография. Вологда: ВоГТУ, 2010. 148 с.

154. Назимов А. Б., Морозов В. А., Мухамадиев Э. М. О проблеме регуляризации сдвигом вырожденных систем линейных алгебраических уравнений // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2009. Т. 52. № 10. С. 743-748.

155. Назимов А. Б., Морозов В. А., Мухамадиев Э. М. О методе регуляризации сдвигом операторных уравнений в гильбертовом пространстве // Вопросы оптимизации вычислений. Киев: ИК HAH Украины, 2011. С. 125-126.

156. Назимов А. Б., Морозов В. А., Мухамадиев Э. М. Об аналоге ранговой матрицы для линейных операторов в бесконечномерных пространствах // Алгоритмический анализ неустойчивых задач. Екатеринбург: Уральский федеральный университет, 2011. С. 57-58.

157. Назимов А. Б., Морозов В. А., Мухамадиев Э. М., Муллоджанов М. Метод регуляризации сдвигом: Теория и приложения. Монография. Вологда: ВоГТУ, 2012. 368 с.

158. Никольский С. М. Линейные уравнения в линейно нормированных пространствах // Известия Академии наук СССР. Серия математика. 1943. Т. 7, № 3. С. 147-163.

159. Онегов Л. А. О приближенном вычисления сингулярных интегралов с ядрами типа Гильберта // Известия вузов. Математика. 1978. № 1. С. 81-87.

160. Панасюк В. В., Саерук М. П., Дацышин А. П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. Киев: Наукова думка, 1976. 444 с.

161. Панченков А. Н. Гидродинамика подводного крыла. Киев: Наукова думка, 1965.552 с.

162. Партон В. 3., Перлин П. И. Интегральные уравнения теории упругости. М.: Наука, 1977.312 с.

163. Полянская Т. С. О сингулярном интегральном уравнении с кратными интегралами типа Коши // Метод дискретных особенностей в задачах математической физики. Харьков: Харьковский университет, 1985. С. 98-99.

164. Полянская Т. С. Численное решение сингулярных интегральных уравнений с кратными интегралами типа Коши и Гильберта методом дискретных особенностей // Метод дискретных особенностей в задачах математической физики. Харьков: Харьковский университет, 1987. С. 150-151.

165. Прёсдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. М.: Мир, 1979. 493 с.

166. Рудин У. Основы математического анализа. М.: Мир, 1976. 320 с.

167. Садовничий В. А. Теория операторов. М.: Дрофа, 2001. 384 с.

168. Сидоров Н. А., Треногин В. А. Регуляризация вычисления вещественных решений нелинейных уравнений в окрестности точки ветвления // Доклады Академии наук СССР. 1976. Т. 228, № 5. С. 1049-1052.

169. Сидоров Н. А., Треногин В. А. Об одном подходе к проблеме регуляризации на основе возмущения линейных операторов // Математические заметки. 1976. Т. 20, № 5. С. 747-752.

170. Сидоров Н. А., Треногин В. А. Регуляризация линейных уравнений на основе теории возмущений // Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 16, № 11. С. 2039-2049.

171. Собиров М. К. Об одном методе приближенного построения периодических решений скалярных дифференциальных уравнений // Доклады Академии наук Таджикской ССР. 1987. Т. 30, № 4. С. 210-214.

172. Собиров М. К. О сходимости решений возмущенной системы линейных дифференциальных уравнений // Депонировано в ВИНИТИ. 1989. № 7700089. 13 с.

173. Танана В П. Методы решения операторных уравнений. М.: Наука, 1981. 158 с.

174. Танана В. П., Коршунов В. А., Штаркман А. А. Принцип минимальных невязок в решении некорректных задач // Исследования по функциональному анализу. Свердловск. 1978. С. 99-104.

175. Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач // Доклады Академии наук СССР. 1943. Т. 39, № 5. С. 195-198.

176. Тихонов АН. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // Доклады Академии наук СССР. 1963. Т. 151, № 3. С.501-504.

177. Тихонов А Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.

178. Тихонов А Н, Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Регуляризую-щие алгоритмы и априорная информация. М.: Наука, 1983. 200 с.

179. Треногим В.. А., Сидоров Н. А. О регуляризации по Тихонову задачи о точках бифуркации нелинейных операторов // Сибирский математический журнал. 1976. Т. 17, № 2. С. 402-413.

180. Тыртышников Е. Е. Теплицевы матрицы, некоторые их аналоги и приложения. М.: Отдел вычислительной математики АН СССР, 1989. 184 с.

181. Фадеева В. Н. Сдвиг для систем с плохо обусловленными матрицами // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1965. Т. 5, №5. С. 907-911.

182. Фетисов Ю. М. Об аппроксимации квазирешения операторного уравнения первого рода в пространстве Орлича // Известия вузов. Математика. 1981. № 6. С. 54-58.

183. Харасахал В. X Почти периодические решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Алма-Ата, 1970. 200 с.

184. Худак Ю. И. О регуляризации операторных уравнений 1-го рода // Доклады Академии наук СССР. 1975. Т. 221, № 1. С. 45-47.

185. Чибрикова Л. И. Основные граничные задачи для аналитических функций. Казань: Казанский университет, 1977. 302 с.

186. Шафиев Р. А. Об устойчивости псевдообращения // Известия Академии наук Азербайджанской ССР. Серия физ.-техн. и мат. наук. 1980. № 3. С. 3-10.

187. Шафиев Р. А. О псевдообращении ограниченных операторов // Доклады Академии наук Азербайджанской ССР. 1981. Т. 17, № 8. С. 13-17.

188. Шафиев Р. А. О регулярных методах вычисления L -псевдообратных операторов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1983. Т. 23, № 3. С. 536-544.

189. Шафиев Р. А. К теории методов регуляризации Тихонова - Лаврентьева // Доклады Академии наук СССР. 1985. Т. 282, № 4. С. 804-808.

190. Шешко М. А. О методах приближенного решения сингулярных интегральных уравнений // Доклады Академии наук Белорусской ССР. 1977. Т. XXI. № 12. С. 1067-1069.

191. Шешко М. А. Двумерные сингулярные интегральные уравнения первого рода с ядрами Коши // Дифференциальные уравнения. 1981. Т. 17. № 8. С. 1518-1521.

192. Шешко М. А. Прямой метод решения сингулярных интегральных уравнений с ядром Гильберта // Доклады Академии наук Белорусской ССР. 1987. Т. XXXI. № 12. С. 1077-1080.

193. Ягола А Г. О решении нелинейных некорректных задач с помощью обобщенного метода невязки // Доклады Академии наук СССР. 1980. Т. 252, №4. С. 810-813.

194. Якубович В. А., Стражинский В. М. Параметрический резонанс в линейных системах. М.: Наука, 1970. 328 с.

195. Borja М., Brakhage Н. Uber die numerische Behandluhg der Tragflachengleichung // Z. angew. Math, und Vech., 1967. V. 47, Sonderheft. P. 102-112.

196. Brynielsson L. On Fredholm integral equations of the first kind with convex constraints // SIAM J. Math. Anal. 1974. V. 5. № 6. P. 955-962.

197. Deif A. S. The generalized inverse of a perturbed singular matrix // Z. Angew. Math. Phys. 1983. 34. no 3. P. 291-300.

198. Elden L. Perturbation theory for the least square problem with linear equaity costraints // SIAM J. Numer. Anal. 1980. V. 17. № 3. P. 338-350.

199. Penrose R. A generalized inverse for matrices // Proc. Cambridge Pilos. Soc. 1955. V. 51. №3. P. 406-413.

200. Penrose R. On best approximate solutions of linear matrix equations // Proc. Cambridge Pilos. Soc. 1956. V. 52. № 1. P. 17-19.

201. Prosdorf S., Silberman B. Proektionsverfahren und die naherungsweise Losung singularer Gleichungen. Leipzig, 1977. 226 S. (Teubner-Texte Math.)

202. Strand О. N. Some aspects of the behavior of regularized solutions as the amount of smoothing is varied //Comput. and Math. 1976. V. 2. № 2. P. 181-187.

203. Wedin P. Perturbation theory for pseudo-inverses // BIT. 1973. 13. P. 217-232.

204. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: Наука. 1984. 432 с.

&