Исследования по теории краевых задач тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Наимов, Алиджон Набиджанович

• Наимов, Алиджон Набиджанович
• доктор физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Наимов, Алиджон Набиджанович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Третья двухточечная краевая задача для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка

§1.1 Основные результаты.

§1.2 Априорная оценка: общий случай.4i

§1.3 Априорная оценка: случай т>2.4&

§1.4 Априорная оценка: случай \<т<2.

§ 1.5 Инвариантность свойства разрешимости.

§ 1.6 Теоремы существования.

ГЛАВА II. Третья двухточечная краевая задача для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

§2.1 Основные результаты.6Q

§2.2 Оценка производного.

§2.3 Свойства замкнутой цепи.

§2.4 Априорная оценка.

§2.5 Инвариантность свойства разрешимости.

§2.6. Разрешимость краевой задачи.

§2.7 Доказательство теоремы 2.7.

ГЛАВА III. Третья двухточечная краевая задача для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка на плоскости

§3.1 Основные результаты.

§3.2 Свойства систем не имеющих ненулевых ограниченных решений.

§3.3 Теоремы существования.15^

§3.4 Гомотопическая классификация.

§3.5 Вычисление вращения.

ГЛАВА IV. Существование обобщенного периодического решения нелинейного уравнения колебания струны

§4.1 Основные результаты.

§4.2 Теоремы существования.19:f

§4.3 Уравнение без диссипативного члена.20^

§4.4 Уравнение с сильной нелинейностью.

ГЛАВА V. Исследование линейных дифференциальных операторов в пространствах периодических и ограниченных функций

§5.1 Основные результаты.

§5.2 Нормальная разрешимость линейного дифференциального оператора в пространстве обобщенных периодических функций.

§5.3 Обобщение теоремы Эсклангона.

§5.4 Обратимость предельных линейных обыкновенных дифференциальных операторов в пространстве ограниченных функций.24*

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследования по теории краевых задач»

Настоящая диссертационная работа посвящена изучению и развитию методов исследования краевых задач для некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных, также исследованию нормальной разрешимости и обратимости некоторых линейных дифференциальных операторов в пространствах периодических и ограниченных функций. Изучаемые в диссертации проблемы являются актуальными и исследованию этих проблем посвящены классические и фундаментальные работы С.Н. Бернштейна, М. Нагумо, О.А. Ладыженской, Ж.Л. Лионса, П. Рабиновича, X. Брезиса, М.А. Красносельского, В.М. Миллионщикова, Э.М. Мухамадиева.

Основу методов исследования затрагиваемых в диссертации проблем составляет идея компактности: выделяя какую-нибудь последовательность решений задачи и переходя к пределу устанавливаются свойства , по которым выясняются условия существования априорной оценки и разрешимости задачи. Реализацию идеи компактности к исследованию краевых задач, в особенности нелинейных, в некоторых работах называют методом компактности [43]. Специфичность данного метода, состоит в том, что применительно к заданной краевой задаче позволяет, в сочетании с другими схемами и методами, найти новые и более общие условия, обеспечивающие априорную оценку решений задачи и её разрешимость. Здесь важным и первоначальным этапом является вывод необходимых априорных оценок решений задачи. В исследованиях С .Н. Бернштейна [3-5], О.А. Ладыженской [39], Ж.Л. Лионса [43] получены априорные оценки для решений широкого класса нелинейных краевых и граничных задач.

Наличие необходимых априорных оценок позволяет исследовать условия разрешимости задачи. На данном этапе в наших исследованиях оказалось эффективным применение топологических методов, развитых в работах М.А. Красносельского [35-37], Э.М. Мухамадиева [52-60]. Такой вариант применения метода компактности в исследовании краевых задач встречается редко. Большинство имеющихся исследовании краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений в какой-то степени сводится к случаю, когда порожденное задачей вполне непрерывное векторное поле имеет вращение по модулю не больше единицы.

В настоящей диссертации в указанном выше варианте развития метода компактности исследована разрешимость третьей двухточечной краевой задачи для одного и систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с главной положительно однородной нелинейной частью. Доказано свойство гомотопической инвариантности разрешимости задач данного класса и приведены эффективные способы вычисления вращения вполне непрерывных векторных полей, порожденные этими задачами. Эти результаты составляют основное содержание первых трёх глав диссертации.

Исследование краевых задач для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка берет свое начало с классических работ С .Н. Бернштейна [3-5] и М. Нагумо [61], где методом априорных оценок и с помощью дифференциальных неравенств изучены условия разрешимости первой краевой задачи для скалярных уравнений второго порядка

У" = fit,у,у') в случае, когда порядок роста правой части относительно производной у' не больше, чем 2. С.Н. Бернштейном было доказано, что если порядок роста правой части относительно у' больше, чем 2, то первая краевая задача не всегда разрешима и могут быть ограниченные решения, производная которых неограниченно возрастает. В 60-70 годы работы С.Н. Бернштейна и М. Нагумо развиты в исследованиях Ю.А. Клокова [31], К. Шредера [113], А .Я. Лепина [40], Н.И. Васильева [12]. В частности, Ю.А. Клоковым было доказано следующее утверждение [31]: Пусть задача y" = f(t,y,y') + (p{t,y)\y'\2 + G, {s> 0), y(t{) = A, y(t2) = B, 2 где (p, f e C([0,l]xi? ), / удовлетворяет условиям, указанным С.Н. Бернштейном, разрешима при любых А, В и ^^ ^ [0,1],^ ^ ^ ■ Тогда необходимо <p{t, у) = 0, т.е. показатель степени 2 не может быть увеличен. Однако это условие может быть улучшено, на In у'.

В связи с этими исследованиями представляет интерес выделить широкий класс краевых задач для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, которые разрешимы и относительно производной У имеют порядок роста больше, чем 2. В первых трех главах диссертации указан класс краевых задач, обладающих этими свойствами.

В последные годы исследованию двухточечных краевых задач для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка посвящены ряд работ [20], [24], [29], [37], [42], [44], [93], [101-103], [108]. Имеющиеся исследования можно разделить на две группы. К первой группе относятся исследования, где применяются функциональные методы - методы основанные на применения принципа Лере-Шаудераи различных его модификаций, а также методы основанные на применения некоторых вариационных принципов. Данные исследования можно охарактеризовать тем, что : 1) изучаются специфичные классы краевых задач, т.е. не рассматриваются какие нибудь широкие классы краевых задач; 2) важную роль играют линейные члены или нелинейные члены, специально согласованные с линейными; 3) вполне непрерывные векторные поля, порожденные краевыми задачами, обычно имеют вращения по модулью не больше, чем 1. В краевых задачах, изученных в главах II, III диссертации , порожденное задачей вполне непрерывное векторное поле может иметь вращение любого значения.

К второй группе работ относятся исследования, где изучаются траектории решений обыкновенных дифференциальных уравнений и свойства операторе сдвига вдоль траекторий. Главным объектом исследования является конечномерный оператор сдвига. Среди данной группы работ следует отметить цикл работ В.В. Филиппова [104-108], где на основе топологического анализа структуры решений обыкновенных дифференциальных уравнений и специальных топологических конструкций изучены условия существования решений первой краевой задачи для скалярных и векторных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Аппарат исследования В.В. Филиппова позволяет рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения, правые части которых разрывны (где неприменимы функциональные методы) и являются многозначными отображениями. В случае непрерывных правых частей результаты В.В. Филиппова можно получить посредством принципа Лере-Шаудера.

Исследование краевых задач, рассмотренных в первых трех главах диссертации, представляет интерес в связи с развитием идеи и методов нелинейного анализа - метод априорных оценок, принцип Лере-Шаудера, гомотопическая классификация, вычисление вращения бесконечномерных вполне непрерывных векторных полей. В работах Э.М.Мухамадиева [52-60] и его учеников [2, 48] эти идеи и методы развиты в вопросах существования периодических и ограниченных решений некоторых классов нелинейных дифференциальных уравнений. Разработанный в этих работах аппарат неприменим к исследованию краевых задач, рассмотренных в настоящей диссертации. Но, развивая и совершенствуя имеющиеся идеи и методы , удается найти своеобразный подход к исследованию затрагиваемых проблем и разработать теорию разрешимости. Анализ проведенных исследований позволяет утверждать, что полученные результаты можно перенести на некоторые классы нелинейных краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных.

Исследование разрешимости третьей нелинейной двухточечной краевой задачи проводится в двух этапах. На первом этапе изучаются условия существования априорной оценки для решений задачи по норме пространства непрерывно дифференцируемых на отрезке [0,1] функций. На втором этапе, в условиях существования априорной оценки исследована разрешимость краевой задачи. Все условия находятся в терминах свойств главных членов задачи. При этом устанавливается очень важное утверждение, которое является основным принципом при исследовании разрешимости краевой задачи: если главные члены задачи непрерывно изменять, сохраняя априорные оценки, то свойство разрешимости задачи при любых возмущениях из заданного класса сохраняется. Данный принцип позволяет исследовать краевую задачу по следующей схеме:

1) на множестве главных членов вводя соответствующую топологию изучить задачу описания связных компонент посредством нахождения дискретных инвариантов связных компонент (задача гомотопической классификации);

2) в каждой связной компоненте с помощью ее инвариантов исследовать разрешимость краевой задачи.

Приведенная схема обобщает и развивает традиционные функциональные методы исследования краевых задач, основу которых составляет вычисление вращения вполне непрерывных векторных полей, порожденных краевыми задачами. В первой главе исследована нелинейная краевая задача

1) = *') + /(/, О < / < 1,

2) х'(0) — kQx(0) + hQ (х), х'(1) = ^x(l) + hx (*), где к^, к^ - заданные числа, функция Р(х,у) непрерывна на R , положительно однородная порядка т, (т > 1), функция f(t, х, у) определена и 2 непрерывна на [0,1] х R и удовлетворяет условию

3) ,, lim (И + НГ™- max \f(t,x,y)\ = 0, 1*1+ 1^1->оо 0<Г<1

0,1] —> R - непрерывные функционалы, удовлетворяющие условиям:

4) lim ||х||~! ■*.(*) = О, / = 0,1. ||х||с1 -> оо С 1

Получены необходимые и достаточные условия существования априорной оценки решений задачи и её разрешимости.

Сперва выделено множество троек (Р, функции Р и чисел к^, к^ для которых задача (1) - (2) допускает априорную оценку решений в пространстве С^[0,1] при любых и hj, удовлетворяющих условиям (3),

4). Доказано, что это множество троек в соответствующей топологии состоит из конечного числа связных компонент, стягиваемых в точку и обладающих следующим важным свойством, именуемое гомотопической инвариантностью свойства разрешимости: если для одного элемента какой-нибудь связной компоненты задача (1)-(2) разрешима при всех и ^ > удовлетворяющих условиям (3), (4), то для любого элемент этой связной компоненты задача (1)-(2) также разрешима при всех и h^, удовлетворяющих условиям (3), (4).

Далее, найдены простые признаки, позволяющие определить разрешимость или неразрешимость задачи (1) - (2) для любых /, ^q и h^, удовлетворяющих условиям (3), (4). Таким образом, задача вида (1)-(2), в отличии от первой краевой задачи может быть разрешимой для широкого класса правых частей уравнения (1), имеющих степенной рост любого порядка по у - х'.

Основные результаты первой главы сформулированы в ниже следующих теоремах.

Для каждой тройки (Р, к^, к^) функции Р и чисел к , к вводятся числа: <Tj=.P(0,l), а^ = Р(0~1), а^ -наименьшее значение функции Р(\,у) на отрезке если и наибольшее значение Р(1,.у) на отрезке если к^ <к<j^ - наибольшее значение Р(-1,-у) на , к^ ], если и наименьшее значение Р(-1,-у) на если

Теорема 1.1. Если числа ст., i = 1,4 отличны от нуля, то задача (1)-(2) допускает априорную оценку для любых /, h^ и hy удовлетворяющих условиям (3), (4).

В случае т > 2 условия отличия от нуля чисел а , i = 1,4 являются не только достаточными, но и необходимыми для существования априорной оценки решений задачи (1)-(2) в пространстве С ^ [0,1]. Этот факт доказан в теореме 1.2.

В случае 1 < т < 2 приводится теорема 1.3, обобщающая теорему 1.1. В теореме 1.3 доказывается, что условие сг^сг^ ^ 0 является необходимым и достаточным для наличия априорной оценки решений задачи (1)-(2) при любых и h, удовлетворяющих условиям (3), (4), если выполнены следующие условия: а) либо CTj ^ 0, либо CTj = 0 и сг^ > 0, сг^ ^ < б) либо а^ либо сг^=0 и cr^j <0, °~22

Здесь числа а., г, у = 1,2 определяются следующим образом: U o-j 1 = maxjp(^): 0<q><^-, tgq>>k^ n a12 = min Г'^ '' 2 ~ ^ ~ Пу tg(P ~ к0 Г

T22 = max |p{cp) :~-0<(р<2ж, tg(p <kQ j где p{(p) = P{cos (p, sin (p), 0 < cp < In.

Далее, вводится множество M^ троек (Р,для которых числа

7Л, , ст. , ст . отличны от нуля. В множестве М определив метрику 1 2 3 4 т к1-к2 о о к1-к2 т max

Ы+Ы = 1

Р1(х,у)-Р2(х,у) доказаны следующие теоремы.

Теорема 1.4. Пусть тройка (Р(х, у, Л), к^ (Л), к^ (Л)) при Л е [0,1] принадлежит пространству М^ и непрерывно зависит от Л. Тогда существуют числа £ > 0, R > 0 такие, что для любой функции x(t)eC [0,1], ЦхЦ^-Л и любого числа Яе[0,1] справедлива оценка т х" - Р{х, х', Л)\\с + jc'(0) - к (Л)х(0) + х'(1) - к (Я)х(1) т х т С

1 •

Теорема 1.5. Если при Л = 0 для любых /^q и h удовлетворяющих условиям (3), (4), задача х" = Р{х,х',Л) + /^,х,х'\ 0 < / < 1, х'(0) = kQ (Л)х(0) + А (х), х'(1) = к (Я)х(1) + h (х), где(Р(х, у, Л), к^ (Я), к^ {Л)) непрерывно зависит от Л е [ОД] как функция со значением в пространстве М , разрешима, то она разрешима и при Л = \ и f, h^ и hy удовлетворяющих условиям (3), (4)

В связи с этими теоремами рассматриваются следующие задачи:

1) описать все связные компоненты пространства М ; т

2) определить связные компоненты пространства М , содержащие элементы т для которых при всех /, h^ и , удовлетворяющих условиям (3), (4) задача (1)-(2) разрешима.

В теореме 1.6 доказано, что метрическое пространство М состоит из т шестнадцати связных компонент, стягиваемых в точку, каждая из которых однозначно определяется совокупностью знаков чисел / = 1,4.

Используя предыдущие результаты доказаны следующие теоремы.

Теорема 1.7. Пусть (Р, L,i)eM и

О 1 т

Тогда либо существует ненулевое решение задачи х" = Р(х, х'), х'(0) = кх(0), х'(1) = А; х(1), либо для любых (/, h , h^), удовлетворяющих условиям (3),(4), задача (1)-(2) разрешима.

Теорема 1.8. Пусть (Р, Тогда для того, чтобы для любых удовлетворяющих условиям (3), (4), задача (1)-(2) была разрешима, необходимо и достаточно, чтобы имело место неравенство ст^ст^ <0.

В конце первой главы доказана теорема 1.9 о существовании ненулевого решения задачи (1)-(2), когда выполнены следующие условия:

1) (Р,к0,кг)£ Мт, <т3<т4>0, Д^Др^О;

2) /, /Zq и h^ удовлетворяют условиям (3), (4) и lim

Н + ЫГ1 max \f(t,x,y)\ = 0, jcj + |у) —» 0 0</<1 lim ||х||~)/г (х) = 0, г = 0,1. х||с1 -> 0 С1 1

Доказанные теоремы о существовании решений задачи (1)-(2) являются одним из вариантов развития топологического принцип Лере - Шаудера к исследованию разрешимости задачи (1)-(2).

Основные результаты первой главы опубликованы в работах [68, 69, 72, 83, 87 ].

Вторая глава посвящена исследованию третьей двухточечной краевой задачи вида

5) х" = P(x,x') + f(t,x,x), 0<t<l, xefl",

6) х'(0) = A0(x(0)) + fi0(x), х'(1) = + где п>2, P\R2n A.\Rn -+Rn,i = 0,\ - непрерывные и положительно однородные порядка т, (т > 1) и 1, соответственно. А непрерывные отображения f:[0,l]xR2n^Rn, h : С1 ([0,1];Rn) ->Rn, / = 0,1 удовлетворяют условиям:

7) lim (|х| + |у|Гт- max \f{t, x,y)\ = 0, x| + -> 00 0 <?<1

8) lim \\4~\ -A.(*) = 0, / = 0,1.

ЦхЦ^-Л —> oo С

Исследование задачи (5)-(6), как в скалярном случае, начинается с отыскания условий, обеспечивающие наличие априорной оценки решений задачи по норме 1 п пространства С ([ОД];/? ). К сожалению, методы разработанные для исследования скалярных дифференциальных уравнений, не переносятся для исследования систем дифференциальных уравнений. Оказалось, что в случае системы полезными являются идеи и методы, изложенные в работах [46-48], [52-57] при исследовании существования ограниченных решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Имеющиеся методы исследования нелинейных двухточечных краевых задач [3-5,35,61] неприменимы к задачам вида (5)-(6). Исследование условий существования априорной оценки решений задачи начинается с доказательства теоремы 2.1, утверждающая о том, что если система не имеет ненулевых ограниченных на всей оси решений, то для всякого решения x{t) задачи (5)-(6) имеет место неравенство где постоянное С > 0 не зависит от x(t). В связи с этим следует отметить результаты, приведенные в книге [109], из которых вытекает, что в случае т < 2, без предположения о том, что не существуют ненулевых ограниченных на всей оси решений системы (9), производное решения задачи (5)-(6) ограниченно в каком-нибудь интервале, если в этом интервале ограничено само решение.

Идею доказательства теоремы 2.1 удается перенести при оценки производных решений третьей краевой задачи для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа (теорема 2.7). Здесь важную роль играет свойство компактности оператора, обратного к оператору Лапласа, в пространстве функций, удовлетворяющих условию Гельдера. Поэтому, при наличии аналогичных свойств компактности, идею доказательства теоремы 2.1 можно перенести и на другие классы краевых задач для уравнений в частных производных.

При исследовании условий существования априорной оценки решений задачи (5)-(6) изучается предельное поведение решений семейства сингулярно возмущенных систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Качественная картина исследуемых здесь явлений аналогична явлению отсутствия релаксационных колебаний, исследуемых в теории сингулярно возмущенных систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений

Для формулировки и доказательства условий существования априорной оценки решений задачи (5)-(6) приводятся следующие обозначения и определения: <p(t, х, z.) - решение задачи z' = P(x,z), z(0) = z ,

9) у' = Р(0, у), yeR п С(1+|*(/)|), t £ [0,1].

50,51].

L (х, Р) = \3(p{t,x,z ), sup (pit, х, z )< CO 0 0

L (x,P) = < zQ : 3p(t,x,zQ), sup p(t,x,zQ) 00 0

M(P) = {(x,y): P(x,y) = 0}. Скажем, что P(x,y) обладает основным свойством, если выполнены следующие условия :

В^) существуют непрерывные, положительно однородные первого порядка отображения Ф . : R п —> R п, j = 1, N такие, что Ф . (х) Ф Ф . (х) при х Ф О, J i J i*j и М(Р)с U {(*,j/): у = Ф (х) ; j=r 3

УХ

Ву) если для некоторых х, Zq б R : Р(х, Zq)^0 и какое-нибудь решение pit, х, Zq ) определено и ограничено на промежутке (-со,+оо), то существуют

U j, i ^ j такие, что (х, Ф . (х)), (х, Ф . (х)) б М(Р) и J p(t, х, Zq ) —> Ф j (х) при t —> -со (p{t,x, z^) Ф •(*) ПРИ t^+co.

Для z, j е {1,., Л^} j скажем, что имеет место переход из i в j

УХ и напишем i —> j , если существуют х, z^ б i? такие, что

1) (х,Ф.(х)),(х,Фу(х))бМ(Р),

2) существует решение z^), определенное и ограниченное на промежутке (—оо,+оо),

3) pit, X, Zq ) —> Ф (х) при t -со ^>(7, х, (х) при t —> +оо.

УХ

В данном случае скажем, что яа/эя (х,z^) е R реализует переход i f—;> j.

Последовательность переходов z'j г/ i г/ назовем цепью и обозначим ^ —> Цепь назовем замкнутой, если

Г'г

Обозначим: z0^= фj^ = Jzoесли z0 El+ (Х>Р^ И

-> Ф (х) при t -> +00; х, zQ) = Ф^(х), (7 = z'(x,zQ)), если zQ е (х,Р) и х, z^)—> —> Ф (х) при t -00.

Ненулевую функцию >»(/) е С([ОД]; 7? ) назовем гибридным решением, если для любого t е [0,1] y{t) ^ 0 и либо для некоторого номера i е (1,., N} уЪ) = Ф.(УШ о</< 1, либо существует цепь i ^ —> и последовательность

О = t^ < / <. < tj =1 такие, что

1) при каждом к = \,1-\ существует такой, что пара реализует переход +

2) если t^ ^ < t^ (1 < к < I), то при t^

СКО.Ф, (ЯО)^м(Р), /(0 = ф (у(0). к к

Если гибридное решение y{t) является решением уравнения то скажем, что ему соответствует цепь i —> г.

О существовании априорной оценки решений задачи (5)-(6) доказана следующая теорема.

Теорема 2.2. Пусть выполнены следующие условия: 1) система (9) не имеет ненулевых ограниченных на всей оси решений,

2) Р(х, у) обладает основным свойством;

3) не существует замкнутая цепь;

4) не существует гибридное решение y(t) с соответствующей цепью i^ —> г'2 —>. —ij ^ -» ij, (/ > 1), удовлетворяющее условиям:

A0 (Я0)) € (ЯО), П (ЯО), (ЯО))) = ф. (Я0)), ^ 0/(1)) S L (y( 1), P), 0/(1), ^ (Я1))) = ф . (Я1)).

Тогда задача (5) - (6) допускает априорную оценку решений по норме пространства

0,1];*").

Далее, рассмотрено семейство задач

10) х" = Р{ (х, х', Я) + f(t, X, х'), 0 < t < 1,

0) = D0 (40), X(l), Я) + hQ (х), 0 < я < 1, л'(1) = £>1(*(0),х(1),Я) + Л1(х), где /, /г^, h^ е SH ^ ^ - множество троек, удовлетворяющих условиям (7), (8), а

9 и и непрерывные отображения Р^, Z)^ х [0,1] —>■ i? , которые относительно х, у являются положительно однородными порядка т (т > 1), 1, 1 соответственно Доказаны теоремы 2.3, 2.4, утверждающие о том, что если при каждом фиксированном Я е [0,1] выполнены условия:

1) система у' = Р^(0,у,Я) не имеет ненулевых ограниченных на (-оо,+оо) решений;

2) отображение Р^(х,у, Я) обладает основным свойством и не существует замкнутая цепь;

3) не существует гибридное решение y(t) с цепью / -».—такое, что

D0 (Я0), у(1), Л) е L+ (Я0), Рх (у, Я)),

CjKO), D0 (Я0), Я1), Я)) = ф,. (Х0)),

Dx (ЯО), У(1)Д) e L (Я1), Pj (vД)),

Я1), A (7(0), 7(1), 1)) = Ф (7(1)), то

I) при каждом (/, /г^, h^) e ^ существует общая априорная оценка решений семейства задач (10);

II) при Х- 0 для любых (/, е ^ задача (10) разрешима тогда и только тогда, когда задача (10) разрешима для любых ( Л /2„, /г.) £ 9? и при

01 п, m

Я = 1.

Утверждение II показывает гомотопическую инвариантность свойства разрешимости для класса краевых задач, удовлетворяющих условиям 1)-3). и

Отсюда, как следствие, вытекает, что если для любого ненулевого у е R либо (у,0)), либо Z^Cy.y.O^LJO^y.O)), то при Л = 1 для любых (/,/Zq,/Jj) е SR^ ^ задача (10) разрешима тогда и только тогда, когда разрешима задача г x" = P1(0,jc',0) + /(f,xJx')» 0 < Г < 1, x'(0) = D0(X(0),X(0),0) + /20(X), х'(1) = 2) (jc(0), JC(0),0) + ^ (х) для любых ( f, hn, кл ) е . Таким образом, исследование разрешимости

0 1 w задачи (10), следовательно и задачи (5)-(6), сводится к исследованию разрешимости следующей задачи:

11) х" = Q(x') + f{t,x,x'), 0 < Г < 1,

12) х'(0) = Я0(х(0)) + Л0(х), х'(1) = 5j(x(0)) +/^(х), м м где (/, h^, h^) е 91^ ^, Q,B^,B^\R R - непрерывные отображения, удовлетворяющие условиям:

Qm = XmQ{y\ В.{Лу) = ХВ.{у),1 = ОД VA>0,y<=Rn; система у' = Q(y) не имеет ненулевых (13) <j ограниченных на (-оо,+со) решений; уу для любого ненулевого yeR либо В^(у) <£ либо Bx{y)£L(Q).

Здесь (L (Q)) означает множество точек у^ еRn, для которых хотя бы одно решение системы у = Q{y), выпущенное из этой точки (т.е. с начальным условием ^(0) = ), ограничено на промежутке [0,+со), ((-оо,0]).

На ^п т ~ множестве всех троек (Q, В^, В^), удовлетворяющих условиям (13), вводится топология по норме равномерной сходимости и приведены следующие определения.

11 2 2

Элементы (О, ,Вп,В1 ),(О. ,В„ ,ВЛ ) € Р назовем гомотопными, если существует семейство (Q{y, Л), (у, Я), (у, Л)), Я е [ОД] непрерывно зависящее от Л, как функция с значением в Р , такое, что п, т

Q(y,0) = Q^y), BQ(y,0) = BlQ(y), вх{у,0>) = в\{у), QM) = Q2(y), B0(y,l) = B2(y), Bl(y,l) = Bf(y). Скажем, что для тройки (Q, е Р^ ^ задача (11)-(12) разрешима, если для любых (f, h* , h.) б 91 задача (11)-(12) имеет хотя бы одно

0 И п,т решение. Из теоремы 2.4 вытекает, что для гомотопных троек из Р^ ^ задача

11)-(12) одновременно разрешима или неразрешима.

Таким образом, как в скалярном случае ( глава I), благодаря гомотопической инвариантности свойства разрешимости, исследование задачи (11) - (12) сводится к нахождению простейших троек в каждой связной компоненте пространства Р^ ^ и исследованию разрешимости задачи для них. Отметим, что гомотопическая инвариантность свойства разрешимости является одним из вариантов развития топологического принципа Jlepe - Шаудера - принципа продолжения по параметру решений операторных уравнений [см., например, 36, 41] и в используемой нами форме применены в работах [48, 59, 60] в вопросах существования ограниченных и периодических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с главной положительно однородной нелинейной частью.

На основе теорем 2.3, 2.4 легко проверяется, что

1) для тройки (Q, В^, В^) еР^ ^ задача (11)-(12) разрешима, если число у ^\ф(х; Q, В^, В^)J - вращение вполне непрерывного векторного поля

Ф(х;й В0,5,) s x(t) - [5, (х(0))+х(0) - В0(х(0)) - )q(x'(s))c1s + о

1 t + (В(х(0))- jQtf(s))ds)t+ j(t - s)Q(x'(s))ds ]

0 0

1 п на сферах достаточно больших радиусов пространства С ([0,1]; R ) отлично от нуля;

2) на гомотопных тройках значения у совпадают.

00

В общем случае, когда п> 2 описание связных компонент пространства Р^ ^ представляет собой трудную задачу, решение которой связано с исследованием гомотопической классификации систем у' -Q(y),y е R", не имеющих ненулевых ограниченных на (~оо,+а>) решений. Гомотопическая классификация таких систем значительно продвинуто вперед в работах [59, 60]. Обозначая через у^ |ф(я; Q, В^, В^ )J вращение вполне непрерывного векторного поля Ф(x;Q,B^,B^) на сферах достаточно малых радиусов с

1 У1 центром в точке ноль пространства С ([ОД]; R ), если ноль является изолированной особой точкой поля Ф, и обозначая через y(F) вращение всякого непрерывного, положительно однородного конечномерного векторного

Y1 Yl поля F : R -» R , не имеющего ненулевых особых точек на единичной сфере пространства R п, получены следующие результаты. Теорема 2.5. Пусть Р^ Тогда

1) если В^{у)ф В^{у) Vуе , то нулевая особая точка поля Физолирована и y^{x\Q,B{),B])) = y{BQ-B]):

2) если В — By то yQ (Ф(х; Q, £0,Z?Q)) «Уоо (Ф(х; , BQ)) =y(Q)y(BQ).

Лемма 2.1.Э. Яусть (0,, ВЛ ) е Р . Тогда * 0 1 п,т

1) если В^ и для тройки задача (11 )-( 12) разрешима, то у(В0)* 0.

2) если = 0 С шгм = то для того чтобы для тройки (Q,0, В^) (Q,Bq, 0) ) задача (11)-(12) была разрешима, необходимо и достаточно, чтобы у(Вх)*^у(0) = (-\)п, (y(BQ) Ф 0, r(Q) = 1). В качестве применения теоремы 2.5 доказано, что задача х" = \x'\m~lCx' + f(t,x,x'), 0 < / < 1, xeRn, | х'(0) = CQx(0) + hQ (х), х'(1) = Cjх(0) + Aj (х), где (/, еШ^ ^, С, С^, С^ - квадратные матрицы размера пх и, разрешима, если выполнены условия: сг(С) Г) iR = 0, det(nCQ + ПС{) Ф 0.

Здесь о~(С) - множество собственных значений матрицы С, П , (П)матрица оператора проектирования Rn в подпространство L^ (С), (L (С)) параллельно подпространстве L (С), (Z (С)).

Основные результаты второй главы опубликованы в работах [ 72, 75,

77, 79, 80, 8Ь].

Из результатов второй главы видно, что для заданной тройки (Q, е Р^ ^, в общем, значение у ^ (Ф(х; Q, В^, В^)) удаётся эффективно найти только в случае, когда В^ = В^ .Третья глава, по существу, посвящена эффективному вычислению значения у (Ф(х; Q, В„, В )) для любой заданной со U 1 тройки т и выяснению условий разрешимости задачи (11)

12) для произвольной тройки из w'

Эффективное вычисление значения у (Ф(х; Q, ,В )) в случае

СО \J х п = 2 удаётся благодаря более простой геометрической наглядности поведения траекторий решений систем вида (9), не имеющих ненулевых ограниченных на всей оси решений. Поэтому третья глава начинается с изучения некоторых свойств таких систем при п- 2. Классические и фундаментальные работы по исследовнию плоских систем вид (9), не имеющих ненулевых ограниченных на всей оси решений, принадлежат Р. Гомори [18] и Н.А. Бобылеву [8, 36]. В теореме 3.1 третьей главы доказаны лишь те свойства таких систем, которые применяются, в дальнейшем, при исследовании задачи (11)-(12),

Используя один из способов доказательства гомотопности систем вида (9), правые части которых имеют одинаковые вращения меньше единицы, приведенный в работе [57], доказана следующая лемма.

Лемма 3.1.2. Пусть (Q, BQ, В^) е ^ и y(Q) = -к < 0. Тогда существует тройка (О®, С^, С^) е Р^ ^, гомотопная тройке (Q, В^, В^).

Для отображения лл

ReO>j -iy2) vlm (yriy2)kj уГ k, y = (yyy2)sJf2, где i = V-1, k - целое, неотрицательное, при P = Q® система (9) не имеет ненулевых ограниченных на (-оо,+оо) решений и ~

На основе леммы 3.1.2 и результатов предыдущей главы доказана следующая теорема.

Теорема 3.2. Для того чтобы для (Q,B ,В ) е Р задача (11)-(12)

U 1 ^^ была разрешима

1) необходимо y(Q) ^ 0;

2) необходимо и достаточно y(Q)y(B^)^0, если В^=Ву

Отсюда, в частности, следует, что для тройки (Q, В ,ВЛ е. Р и X ^ 2 УУЪ

1) задача (11)-(12) неразрешима, если y(Q) = 0;

2) задача (11)-(12) разрешима, если y(Q) = 1 и либо L (Q) = {О}, y(BQ)* 0, либо L+(Q) = R2, у{Вх)Ф 0.

Таким образом при y(Q) = 1 задача (11)-( 12) разрешима только тогда, когда число

Д0), L+(Q) = {0} 2 отлично от нуля.

О разрешимости задачи (11)-(12) для тройки (Q,Bq,B^) zP^ т ПРИ y(Q)<-1 теорема 3.2 даёт исчерпивающий ответ только в случае, когда тройка гомотопна некоторой тройке (Q,B,B). Оказывается, при в общем, не всякая тройка из Р^ ^ обладает этим свойством. Поэтому выясняются условия разрешимости задачи (11)-(12) для произвольной тройки т ® связи с этим изучены следующие проблемы:

1) описание связных компонент пространства Р^ ^наглядными характеристиками - инвариантами связных компонент (задача гомотопической классификации);

2) вычисление значения у на каждой связной компоненте пространства Р?

00 ^ ^

Установлено, что

1) множество троек (Q,Bq,B^) еР^ т> для которых y(Q) = 1,состоит из счётного числа связных компонент и каждая связная компонента, во-первых, определяется парой (L (Q),/®), во-вторых, является разрешимой, только если

0;

2) множество троек (Q, В^, В^) е Р^ т, для которых = 0, состоит из одной связной компоненты и эта связная компонента не является разрешимой.

Далее, произвольной тройке (Q, В^, В^) е Р^ ^ при y{Q) - -/.ч < 0 по определенному правилу сопоставлена матрица А. ~ n п , eJV , где W jd ц

- множество матриц, состоящих из двух строк и элементы которых принимают значения из множества {!,.,! + //}. На множестве W вводя отношение эквивалентности, доказано, что пара (y(Q), А^ в в ^) (с точностью до отношения эквивалентности матриц) является инвариантом связной компоненты элемента (Q,ВР при y{Q) = -(л < 0 (теорема 3.3).

U J. ^^ yyi

Для каждой матрицы А =

СС -* а • • • • СС 1 Г yf>V-PrJ е W определена целочисленная г + характеристика = £ (Z • ~~ X • )>

1 / I i =1 С где г + l, а. >а. 1, ' г * + Г

1 10, а. <а. л, 1

1, в.еМ г а.а. . г г +1

0, B.zM i а.а. , г г + 1 -1, г.

1 0, а. ,,

L г г +1

Здесь для любых а, (3 е { 1,1 + ц } множество ^ар определяется следующим образом: равно множеству { + (3-Х }, если а < (3 и равно множеству { а,а + 1,.,\ +/3}, если а> (3.

Доказаны следующие утверждения.

Лемма ЗЛ.7. Если матрицы А^, А^ е W^ эквивалентны, то

Теорема 3.4. Пусть (Q, BQ, ^ ) е ?2 ^ и y{Q) < 0. Тогда

Следствие 1. Если v(A D D Лф 0, то связная компонента элемента

J, , В^)

Q,Bq, В^) является разрешимой.

Следствие 2. Если число v(A (ГЛТ> D л) не делится

Ш, Г без остатка на число /(Q), то в связной компоненте элемента не существует тройка вида (Q, В, В).

Таким образом, удается предъявить алгоритм эффективного вычисления значения у^ (Ф) для любой тройки (Q, В^, В^) е Р^ m . Идея эффективного вычисления значения у (Ф) состоит в сочетании следующих двух идей: 2

1) если для любого ненулевого yeR не существуют лучи из L (Q), разделяющие точки В^(у),В^(у) , то тройки (Q,B^,B^) лежат в одной связной компоненте, и следовательно у^ (Ф) = y(Q)y(B ) ; в0(у)

Вj (jy) > 0 и существуют лучи из L (Q), разделяющие точки

2) если для любого ненулевого yeR2 выполнены неравенства >2

В0 (у), Вх {у), то у^ (Ф) = гQ (Ф) = y(BQ ).

Эти идеи сочетаются следующим образом: шар большого радиуса пространства 1 2

С ([0,1];/? )с центром в точке ноль разбивается на шар малого радиуса с

1 2 центром в точке ноль и на секторы, где для у е С ([ОД]; R ), >"(0) Ф 0, лежащих в одном секторе, точки ^(0) удовлетворяют только одному из указанных выше условий 1), 2). В зависимости от выполнения условий 1), 2) значение вращения поля Ф на каждом секторе равно 1 или 0. Далее, пользуясь свойством аддитивности вращения, вычисляется значение у (Ф).

00

Решая задачу гомотопической классификации, удается предъявить алгоритм нахождения значения у (Ф) на каждой связной компоненте пространства Р^ т посредством ее инвариантов.

Основные результаты третьей главы опубликованы в работах [81, 82,83} 88, 89, 90 ].

Проведённые в первых трёх главах исследования еще раз убеждают в справедливости следующих высказываний: " В естественных ситуациях приходится изучать не индивидуальные операторные уравнения, а такие общие их классы, в которых уравнения можно в разумном смысле мало изменять, можно непрерывно деформировать, варьируя различные входящие в них элементы ( ядра интегральных операторов, правые части дифференциальных уравнений, граничные условия, параметры и т.п. ). Как правило, интерес представляют лишь математические утверждения, устойчивые по отношению к малым изменениям уравнения. Поэтому следует пытаться вначале обнаружить те общие характеристики уравнения, которые сохраняются при малых его изменениях, уже после этого искать в терминах найденных характеристик ответ на интересующий нас конкретный вопрос. Указанная схема хорошо известна математикам; она особо плодотворна, если соответствующие характеристики могут быть эффективно вычислены или оценены и если в терминах этих характеристик достаточно просто формулируются содержательные задачи. Именно такое положение сложилось в теории широких классов нелинейных операторных уравнений. Это позволило подойти с единых позиций ко многим задачам, на первый взгляд совершенно различным ", [36].

В четвертой главе изучаются некоторые достаточные условия существования обобщенного решения задачи

Utt " Uxx + PUt + x'M) = X) G ^ 6 = (0'Г) X (0Д)'

14) -j u(t,0) = u(t,\) = 0, 0 <t<T, u(0,x) = u(T,x), Uj(0,x) = iij(T,x), 0<x<l.

Задача (14) различными методами исследована в работах [7,11,16,23,30, 62, 97, 98, ]. В этих исследованиях важную роль играет соизмеримость величины периода с длиной струны и наличие или отсутствие диссипативного члена. В связи с этим представляет интерес применение идеи и методов нелинейного анализа, развитые в краевых задачах для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, и нахождение новых достаточных условий существования обобщенного периодического решения нелинейного уравнения колебания струны. Главными отличительными особенностями проведенных в этой главе исследований состоит в том, что

1) применяя некоторые методы исследования начально-краевых задач из работы [43], в сочетании с методами из работы [64] удается получить более сильные априорные оценки для так называемых приближенных решений;

2) используя полученные оценки, на основе метода малого параметра, принципа Лере-Шаудера доказаны ряд новых достаточных условий разрешимости задачи (14).

Полученные в четвертой главе результаты дополняют исследования проведенные в работах [11,62,64, 98].

Предполагая F е C(Q х R; R), (3, Т е R, /? ф 0, Т > 0 и либо при некотором СС и натуральном к выполненными условия: 1°

Лк<Г°р*Г°р<Л к-г

4fCn(j3,ccy(l +(1-а)Г" Т)- lim 2 F F у-> 0 уфО 0

1,

С (О)

3° feLz(Q), либо условия:

L2(Q)<MF^T) '

4° Я < у <Г ^ < Я, при некотором натуральном к, к г F к — 1

5° для любой функции b(t, х) £ X00 (0, у <b(t,x)<r задача г г

Wtt - ихх + fiut + , x)u = 0, (f, х) е 0, 0 = (О, Г) X (0,1), м(Г,0) = u(t,l) = 0, 0 <t<T, и{0, х) = и(Т, х), и (0, х) = и (Т, х), 0 < х < 1 не имеет ненулевое обобщенное решение, доказаны теоремы 4.1,4.2 о существовании обобщенного решения задачи (14), обладающего следующими свойствами:

15) и бС(0п Xе0(0,T;HQl(0,1)), и t,uxeLco (0, Г; L2 (0,1)) п (0,1; L2 (0, Г)), 9

Здесь Лц=+со, Л =-(тд) , у = 1,2,., Иш min

F(t,x,y)

Yp= Ш y-^0(t,x)eQ У уФ 0

F(t,x,y)

Г 9, = lim F max

F(t,x,y)

7*0 mm t,x)eQ У

Г = lim F max

F(t, х,у) y-^co(t,x)eQ У a C-{fi,a,T), м (р,т) ~ числа, которые определяются через fi,a,T и z, f ' функции F.

Теоремы 4.1, 4.2 доказаны методом малого параметра и с помощью принципа Лере - Шаудера, и существенно опираются на априорные оценки, которые являются более сильными по сравнению априорных оценок полученных в работе [64]. Через свойства нелинейного члена F удается квалифицированно 2 указать / gL (Q), для которых задача (14) разрешима (теорема 4.1). В этих условиях функция F по у может иметь произвольный порядок роста.

Отметим, что исследование задачи (14) во многом, особенно в случае Р - 0, зависит от рациональности или иррациональности величины Т ив какой-то мере связано с проблемой оценки "малых знаменателей". Когда /? = 0, Т -рациональное исследованию задачи (14) посвящены фундаментальные работы [97, 98]. Но, случай /? = 0, Т - иррациональное мало изучен. В теореме 4.3 доказано, что в случае, когда /? = 0 и Г является положительным иррациональным корнем некоторого многочлена второй степени с рациональными коэффициентами ( т.е. Г- алгебраическое иррациональное число ), существует хотя бы одно обобщенное решение вида (15) задачи (14), если выполнены следующие условия: где числа С^, М^ определяются через Т и Ф.

Далее, задача (14) изучена в одном частном случае, когда функция F не зависит от t и ее порядок роста относительно третьей переменной у при —» оо сверху неограничен. Задача (14) в условиях близких к нашими при Т - рациональное, изучена в работе [98]. В этой работе решение задачи (14) рассматривается как критическая точка некоторого функционала в соответствующем пространстве и доказано существование непрерывного решения сколь угодно большой амплитуды. В наших исследованиях сочетаются методы использованные в работах [43, 64]. Устанавливается гладкость решения задачи в зависимости от гладкости правой части. Полученные результаты сформулированы в теоремах 4.4, 4.5, предполагая выполненными следующие условия: l)F(f,*,j/) = <DOO, ФеС2([-ММ, (6>0), Ф(0) = Ф'(0) = 0, 2) fjt eL2(Q), /(О,-) = Д7»,

3) 4C02(l + r-1)||/J|'2 +2(C07-4l)||/p2

L4Q)

5°. F(t,x,y) = FJx,y), F. e C([0,1] x R;R), 1 1 2 с >0, если и> 1, jU г М

7°. для функции

Fx (х, у)у > с \y\l + V + Сх V(x, у) е [ОД] х R; У

Fn(x>y)= \F (x,T])d?] О существуют числа С^, С^ такие, что

F2(x,y)>C2y2 +С3 У(х,у)е[0,1]хУг.

Теорема 4.4. выполнены условия 5°-7°, то существует хотя бы одно решение вида (15) задачи (14).

Теорема 4.5. Пусть в условиях теоремы 4.4 еС^О.ЦхД;*), 7^(1,0) = ^(0,0), /?*0, gt,gxzL2(Q), g(0,-) = g(T,-). Тогда существует решение задачи (14) такое, что и е С^(Q), utt' Uxt' wxx G Г; ^ (0д)) n (0Д; 1,2 (0'T))• Основные результаты четвертой главы опубликованы в работах [64, 65, 66, 74, 78, 84].

Пятая глава диссертации посвящена исследованию 1) нормальной разрешимости дифференциального оператора

Lu = P д 8 ' дх ' Эх

VI п) и с постоянными коэффициентами в пространстве обобщенных периодических функций D'(Rn), где Т = (Г,.,Т

1 1 п +

2) оценки производных функций одной переменной x(t) через значений самой функции и значения

ZQx(0 = x(w) (t) + am {t)x^m " ^ (0 +. + a (t)x'(t) + aQ (t)x{t), в плане обобщения известной теоремы Эсклангона [109, 118] об ограниченности на всей оси производных решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений,

3) обратимости предельных систем обыкновенных дифференциальных уравнений в пространстве ограниченных на всей оси функций.

При исследовании существования обобщенных периодических решений нелинейного уравнения колебания струны важную роль играет обратимость или нормальная разрешимость линейного волнового оператора в пространстве обобщенных периодических функций. Именно этим связано выделение случаев рациональности и иррациональности величины периода, и наличие или отсутствие диссипативного члена в уравнении. Поэтому представляет интерес исследовать нормальную разрешимость линейных дифференциальных операторов в пространстве обобщенных периодических функций.

Исследованию обратимости линейных дифференциальных операторов и разрешимости соответствующих им линейных дифференциальных уравнений в пространствах обобщенных ограниченных, почти периодических и периодических функций посвящены работы Э.М. Мухамадиева [58], М.А. Шубина [114, 115, 116 ]. Проведенное в пятой главе исследование нормальной разрешимости линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами в пространстве обобщенных периодических функций дополняет и обобщает результаты полученные в работах [58, 63].

Для любой функции fED'^(Rn) верно представление

Ия I Ск к 6 ку.,кп) Г" п ек. к Л

Т 1 J1 п

VI п J где набор чисел \ однозначно определяется функцией / (см., например, Г" п

14, 58] ). Очевидно, что для разрешимости уравнения L(u) = f в пространстве D'j,{Rn) необходимо выполнение условия: если Р к Л п

12п —,., z'2/г Тл Т

VI nj °' Т° \.Jk =°

1 п

Дифференциальный оператор L называется нормально разрешимым в пространстве D{Rn), если для разрешимости уравнения L(u) = f необходимое условие является и достаточным. Имеет место следующая теорема. Теорема 5.1. Почти для всех TgR^ оператор L нормально

ТХ разрешим в пространстве D'j, (R ).

В случае, когда п = 2 и соответствующий оператору L многочлен Р имеет следующий вид:

WvWW+WWгде

I Vе*' а + р - т г ' а + Р = т-\ вводя обозначения

М(Р)=\rjeR: ^(7,1) = О, />2 Ы) = 0 },

-1 т(г/) = sup< т: неравенство 0 <

Г) -pq q ° имеет бесконечное число решений р, q eZ, q > О J доказано, что для нормальной разрешимости оператора L в пространстве 2

D'j, (R ) необходимо и достаточно, чтобы либо М(Р) = 0, либо г{г] Т^ jT^) < 00 VrjeM(P).

Следовательно, при М(Р) Ф0 и заданной величине периода нормальная разрешимость оператора определяется через характеристику т.

Далее, в пятой главе, рассматривая линейный обыкновенный дифференциальный оператор L О доказана следующая теорема, которая является одним из вариантов обобщения теоремы Эсклангона [109,118].

Теорема 5.3. Пусть выполнены следующие условия: 1) при некотором р > 1 а^ (/),., а^ ^ (/) е S ; t + 5

2) если р = 1, то lim sup J

S^^teR t a m -1 ds = 0.

Тогда существует положительное число С , зависящее от р, такое, что для любых T<=R и функции x(t) е АСт~1[Т,Т + 1], x^m\t) е L (Т, Т +1) имеет место неравенство max шах

0 < j <m-l Т < t < Т + 1 x(J'\t) f с Р

Lqx т + шах

L (Т,Т + 1) T<t<T +1 J

Здесь S - пространство ограниченных на всей оси функций по

УУ11

Степанову или просто пространство Степанова, а АС"1 ЧТ,Т + Ц- множество tvi ~~~ 1 функций из С" "[Т,Т + 1], у которых производная порядка m — 1 абсолютно непрерывна на отрезке [Т, Т +1].

Этот результат обобщается применительно к дифференциальным операторам вида L(A)z = z'-Az, где А - постоянная вещественная матрица размера пхп. Доказывается, что если п > 1, A = \a.J' -постоянная вещественная матрица размера Т1ХТ1,

12

А -\а. Г , а = = 2 ал I

1/! J z = (zv.,zn)GRn, z = (z2,.,zn), то для того, чтобы для любых TeR, z(t) g C^(T,T + l;Rn) выполнялся неравенство

Г \ max \z(t)\ < С max \L(A)z(t)\ + max z (t) T<t<T +1 \T<t<T +1 T<t<T +1 1 J с постоянной С не зависящей от Г и z(t), необходимо и достаточно, чтобы fr\n~2 1 система векторов а, А а, \А I а была линейно независима в R

В конце пятой главы приведен один результат об обратимости дифференциальных операторов вида L{B)z = z' - B{t)z с матрицей-функцией оо 2

B{t)&L (R;Rn ) в пространстве

Е = { z(t): z{t), z'(t) е (R;Rn), z(t) абсолютно непрерывна на каждом конечном отрезке из i? } В работах В.М. Миллионщикова [46, 47], Э.М. Мухамадиева [53, 54, 55] с помощью понятий предельного решения и предельных систем изучены неавтономные системы обыкновенных дифференциальных уравнений в пространствах функций, ограниченных на всей оси или полуоси. Основу применяемых методов составляет идея нахождения некоторых предельных свойств, порожденные компактностью множества решений уравнения. Актуальной является исследование обратимости предельных систем, порожденных неавтономной линейной системой обыкновенных дифференциальных уравнений. оо 2

Для заданной матрицы- функции A(t)<aL^(R;Rn ) матрицу- функцию п2

B(t) g L (R; R ) назовем предельной, если существует последовательность чисел t^, к = 1,2,. такая, что

1) либо lim t, =+со, либо lim t, = -оо; к ->оо к к-* оо к

2) на каждом конечном отрезке [а, /?] при к —> со

A(t + t )^>B(t) слабо в L00{a,j3\Rn ).

Обозначим через H(A) множество всех предельных матриц-функций 2

QQ ^ соответствующее матрице ). Легко проверить, что для любой

B(t) е Н{А) имеет место включение Н(В) с= Н{А). Если для любой B(t) е Н(А) имеет место равенство Н(В) = Н{А), то матрицу-функцию A(t) называют реккурентной. Имеет место следующая теорема. 2

Теорема 5.5. Пусть A{t) е L^ (R; R " ) и для любой матрицы-функции B(t) g Н(А) система

L(B)z = z'-Bz = О не имеет ненулевое решение из Е. Тогда для любых B(t)EH(A) и f{t) е L00 (R\ Rn) система

L(B)z = / .имеет единственное решение из Е.

При доказательстве теоремы 5.5 испоьзуется понятие предельного решения, введенное в работе [46], где доказана гипотеза В.В. Немыцкого о существовании реккурентных траекторий неавтономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Если матрица-функция A{t) почти периодическая, то A(t) е Н(А) и для матрицы A(t) результат теоремы 5.5 известен [55]. Таким образом, для класса ограниченных матрица-функций B(t) , которые являются предельными для определенной ограниченной матрицы-функции A(t), неоднородные системы z'-B(t)z = f{t) однозначно разрешимы, если однородные системы z'-B{t)z = О имеют только нулевые решения. Данный класс шире, чем класс почти периодических матрица-функций.

Основные результаты пятой главы опубликованы в работах [ 67, 70, 71, 76, 85,86,63,90] .

Отдельные части диссертации докладывались на международных конференциях проходивших в городах Алма-аты (сентябрь 1995г.), Душанбе (ноябрь 1996г., сентябрь 1998г.), Самарканде (ноябрь 1997г.), Екатеринбурге (февраль 1998г.), Сулюкте (август 1999г.), Баку (сентябрь 1999г.) на республиканских и областных конференциях проходивших в городах Душанбе (1995г., 1998г.), Ташкенте (сентябрь 1997г.), Курган -Тюбе ( ноябрь 1997г. ), Худжанде (1996-1999г.г.), в ряде выступлений на семинарах члена-корреспондента Академии наук Республики Таджикистан, профессора Э.М. Мухамадиева (1994 -1998г.г.), на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений Московского госуниверситета (руководители -профессор В.М. Миллионщиков, профессор В.А. Кондратьев, профессор Н.Х. Розов, март 2000г.), на семинаре лаборатории математических методов анализа систем управления Института проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН (руководитель - профессор Н.А. Бобылев, февраль 2000г.), на семинаре по нелинейному анализу Белорусского госуниверситета (руководитель - профессор П.П. Забрейко, апрель 2000г.), на семинаре НИИ математики Воронежского госуниверситета (руководитель - профессор Ю.И. Сапронов, май 2000г.), на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XI. Современные методы качественной теории краевых задач" (3-9 мая 2000г.).

В заключении автор выражает искреннюю благодарность члену -- корреспонденту Академии наук Республики Таджикистан, профессору Э.М. Мухамадиеву за неоценимую помощь и поддержку, оказанную им на протяжении многих лет работы.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Наимов, Алиджон Набиджанович

включение

QczD . * J

При каждом j-1,2,. имеем: sup max j> 1 (x,y)eD J

U.(x,y)

Vj(x,y) °°>

0,0) v.(o,o)

Cr dU . dV. dU . dV. ay Эх Эх Эу к к fJ к

J J J

P(x .+rl~mx,y .+r}~my,v, (x .+r}-mx,y .+r}-my),v1 и .,Vj V.) + j к . J j к . к . j к. i к . "к . j к . J J J J J J J F (x +rl~™x,y +rl-™y)-rl-™(uj+vj), (x,y)eD J J j dv, dv. к . к . где F Xx,y) = rlk~m f{x, у, ^ v^ (x,y), rk —~(x,y), ^ -~~(x,y)) j j j j j

Отсюда, переходя к пределу на расширяющихся компактах, получим функции U(x,y), V(x, у), которые удовлетворяют следующим условиям: sup (|£/(х, у)| + \V(x, у)|) < оо, |c/(0,0)| + |К(0,0)| > С{, (х, y)eR2 + — = V-1 (х0 ) Р(х0, у0, v(x0, yQ ), v(x0, yQ )U, v(x0, yQ )П dU 8V Л , л 2 ду ох где (*q>>q) некоторая точка из Qn.

----' I

Легко проверить, что пара функций (U(х, у), V(x, (х, у) е R , определяемая формулой

U (х, у) = sgn v(xQ, yQ )U (х v(xQ, yQ)

1 - т У

1 - 171 X

V(x,y) = sgnv(x0,yQ)V(x

1 -т 1-т У является ненулевым ограниченным на R2 решением системы: dU dV ~ ~ = P{xo,yo,sgnvixo>yo)>u>n dU dV п , , d2 oy ox и cr v(*0,^0)£l, 1/(0,0) + V {(),(})

А это противоречить утверждению леммы 2.8.2. Следовательно, наше предположение неверно и неравенство (8.11) действительно имеет место.

Покажем, что если (х,^),(х^и отрезок, соединяющий эти точки, лежит в Г2, то имеет место неравенство

8.12) v(*2,.y2)

1 2

Тогда отсюда следует, на границе 3Q функция v(x,y) не обращается в ноль. А это возможно только в том случае, когда функция v(x, у) нигде в D не обращается в ноль. Этим самым мы приходим к противоречию с (8.4) и справедливость теоремы 2.7 будет доказана.

Возьмем связное подмножество Qq, содержащее точки (Xj,JVj), (х , у отрезок /, соединяющий эти точки, и dist(Q^,dQ)> 0. Тогда в силу (8.11) при к>кq, имеет место неравенство

3v, дх dv, ду с vk (х,у>) x,y)el.

Отсюда вытекает, что для любой точки (х, vk О, у) xvy\)+ i х,у) (dv, dv drj х>У) ( \ xvy{) откуда, в силу известной леммы Гронуоллы, (см., например, [22]), следует, что С k>kQ. vk(x2,y2)

В этом неравенстве переходя к пределу при £ —>оо получим неравенство (8.12). Теорема 2.7 доказана.

ГЛАВА III

ТРЕТЬЯ ДВУХТОЧЕЧНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

НА ПЛОСКОСТИ

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Наимов, Алиджон Набиджанович, 2000 год

1. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1978.

2. Байзаев С. Принцип максимума и теоремы существования ограниченных решений нелинейных эллиптических систем. //ДАН Тадж.ССР., т.25, N 9, 1982.

3. Бернштейн С.Н. Собрание сочинений, tomI.- М.: Изд. АН СССР, 1952 .

4. Бернштейн С.Н. Собрание сочинений, том III.- М.: Изд. АН СССР, 1960.-С. 191-241.

5. Бернштейн С.Н. Об уравнениях вариационного исчисления // Успехи математических наук, 1941, том 8. С. 32-74.

6. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными.- М.: Мир, 1966.

7. Berkovits J. On multiple solutions for a class of semilinear wave equations. // Nonlinear Anal., Theory, Meth. and Appl., 16, N 5, 1991. P. 421-434.

8. Бобылев H.A. О построении правильных направляющих функций. // ДАН СССР, т.183, N 2, 1968. С. 265-266.

9. Бобылев Н.А., Емельянов С.В., Коровин С.К. Геометрические методы в вариационных задачах.-М.: Изд. Магистр, 1998.

10. Ботюк А.О. Разрешимость нелинейной краевой периодической задачи // Доп. Нац. Украши, 1997,№12.-С. 17-21.

11. BrezisH. Periodic solutions of nonlinear vibrating strings equations and duality principles. // J. Bulletin of the American Math, society, N 3, 1983. P. 409-426.

12. Васильев Н.И., Клоков Ю.А. Основы теории краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Рига, 1978. - 189с.

13. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука, 1968.

14. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. --М.: Наука, 1979.

15. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1987.

16. Wayne Е.С. Periodic and quasi-periodic solutions of nonlinear wave equations via KAM theory. // Comm. Math. Phys., 127, 1990. P. 479-528.

17. Раевский X., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978.

18. Gomory R.E. //Ann. Math. Studies, 36, 1956.

19. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.

20. Dalmasso R. Solutions of second order homogeneous Dirichlet systems // Hokkaido Math., 26 , 1997, № 3. P. 611-630.

21. Дезин A.A. Общие вопросы теории граничных задач. М.: Наука, 1980.

22. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости.- М.: Наука, 1967.

23. Ding Y., Li S. Periodic solutions of a superlinear wave equation // Nonlinear Anal. Theory, Methods and Appl., 29, 1997, №3 P. 265-282.

24. Dlotko T. Some records on second order differential equations // Acta Matematica et Informatica et Univ. Ostraviensis, 3, 1995, №1. P. 21-26.

25. Егоров Ю.В. Лекции по уравнениям с частными производными. М.: Изд. МГУ, 1985.

26. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.

27. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М.: Мир, 1971.

28. Касселс Дж. Введение в теорию диофантовых приближений. М.:Изд. иностр. литературы, 1961.

29. Kim G. A multiplicity result for a nonlinear boundary value problem//Math. Anal, and Appl., v.218, 1998, №2. P. 395-408.

30. Кигурадзе Т. О периодических решениях нелинейных гиперболических уравнений второго порядка // 1СМ'98, 1998, Abstr. Short Comm. and Poster sess. -P. 209.

31. Клоков Ю.А. Краевые задачи с условием на бесконечности для уравнений математической физики. Рига, 1963.

32. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989.

33. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Физматгиз, 1956.

34. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений.- М.: Физматгиз, 1962.

35. Красносельский М.А., Перов А.И., Поволоцкий А.И., Забрейко П.П. Векторные поля на плоскости. М.: Физматгиз, 1963.

36. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975.

37. Красносельский М.А., Менникен Р., Рачинский Д.И. Потенциальные оценки в непотенциальных краевых задачах //Доклады РАН,т.363,1998, №3.-С.295-297.

38. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967.

39. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1964.

40. Лепин А.Я. Необходимые и достаточные условия существования решения двухточечной краевой задачи для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка // Дифференциальные уравнения, том 6, 1970, №8,- С. 1384-1388.

41. Лере Ж., Шаудер Ю. Топология и функциональные уравнения. // УМН, 1, вып.3-4, 1946.

42. Lefton L. Uniqueness for small solutions to a superlinear boundary value problem at resonance //Nonlinear Anal., v. 29, 1997, №8. P. 927-935.

43. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

44. Мао Y., Lee J. Two point boundary value problems for nonlinear differential equations // Rocky Mountain Journal of Mathematics, v.26,№4,1996. P.1499-1515.

45. Массера Ж.Л., Шеффер Ж. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. М.: Мир, 1969.

46. Миллионщиков В.М. Реккурентные и почти периодические предельные траектории неавтономных систем дифференциальных уравнений. // ДАН СССР, т. 161, N 1, 1965. С. 43-44.

47. Миллионщиков В.М. К спектральной теории неавтономных линейных систем дифференциальных уравнений // Труды Московского математического общества, 1968, том 18. С. 147-186.

48. Михайлов А.П. Применение топологических методов для исследованиянекоторых классов нелинейных дифференциальных уравнений. // Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико—- математических наук, Душанбе, 1989.

49. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976.

50. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975.

51. Мищенко Е.Ф., Колесов Ю.С., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах. М.: Физматлит, 1995.

52. Мухамадиев Э.М. К теории периодических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. // ДАН СССР, т. 194, N 3, 1970. С. 510-513.

53. Мухамадиев Э.М. Об обратимости дифференциальных операторов в пространстве непрерывных и ограниченных на оси функций. // ДАН СССР, т.196, N 1, 1971. С.47-49.

54. Мухамадиев Э.М. Об одном критерий обратимости дифференциальных операторов в пространстве ограниченных на оси функций. //ДАН Тадж.ССР, т. 15, N 9, 1972.-С. 7-10.

55. Мухамадиев Э.М. К теории ограниченных решений обыкновенных дифференциальных уравнений. // Дифференциальные уравнения, т. 10, N 4, 1974.- С. 635-646.

56. Мухамадиев Э.М. О периодических и ограниченных решениях систем двух нелинейных дифференциальных уравнений. //ДАН Тадж. ССР, т. 19, N3, 1976.

57. Мухамадиев Э.М. Об одной формуле для вычисления вращения векторных полей.//ДАН Тадж. CCP,t.20,N5, 1977.-С. 11-14.

58. Мухамадиев Э.М. // Известия АН Тадж. ССР, т.110, N 4, 1988. С. 77-80.

59. Мухамадиев Э.М. Ограниченные решения и гомотопические инварианты систем нелинейных дифференциальных уравнений.// Доклады РАН, 1996, т.351, № 5. С.596-598.

60. Мухамадиев Э.М. Гомотопический тип пространства однородных динамических систем. // Нелинейный анализ и смежные вопросы. Труды

61. Института математики HAH Беларуси, Минск, 1999, т.2. С.119-127.

62. Nagumo М. Uber die differentialgleichung у" = f(x,y,y ). // Proc. Phys.Math. Soc., Japan, 19 (1937).-P. 861-866.

63. Norimichi H., Wan S.K. Periodic-Dirichlet boundary value problem for semilinear hyperbolic equations. // Math. Anal, and Appl., 148, 1990. P. 371-377.

64. Наймов A.H. О разрешимости уравнения колебания струны в пространстве обобщенных периодических функций. // Доклады АН Тадж. ССР, т.34, № 8, 1991.- С. 476-479.

65. Наймов А.Н. Существование обобщенных периодических решений нелинейного уравнения колебания струны. // Сборник научных трудов " Прикладные вопросы математики", вып. 4, Душанбе,1993. С. 115-118.

66. Наймов А.Н. Существование обобщенного периодического решения нелинейного уравнения колебания струны.//Деп.в ТаджНПИЦ, вып.2, 1993, №65(854), Та 93, Душанбе. 26с.

67. Наймов А.Н. Обобщенные периодические решения нелинейного уравнения колебания струны. // Деп. в ТаджНПИЦ, вып.2, 1994, № 30(912), Та 94, Душанбе. 10с.

68. Наймов А.Н. Нормальная разрешимость дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами в пространстве обобщенных периодических функций. // Деп. в ТаджНПИЦ, вып. 2,1994, № 31(913), Та 94, Душанбе. Юс.

69. Наймов А.Н. Ненулевое решение третьей нелинейной краевой задачи. // Тезисы докладов научно-теоретической конференции молодых ученых, аспирантов и специалистов Ленинабадской области, Худжанд,1996.-С. 28-29.

70. Наймов А.Н. Нормальная разрешимость дифференциальных операторов в пространстве обобщенных периодических функций. // Тезисы докладов международной конференции по дифференциальным уравнениям, Душанбе, 1996. С. 62.

71. Наймов А.Н. О разрешимости двухточечной краевой задачи.// Научная конференция молодых ученых Ленинабадской области. Краткие сообщения, Худжанд, 1997.-С. 11.

72. Наймов А.Н. Об априорной оценке решений двухточечной нелинейной краевой задачи для ОДУ второго порядка. // Тезисы докладов научно-теоретической конференции преподавателей ХГУ, Худжанд, 1997. С. 36.

73. Наймов А.Н. К задаче существования периодических решений нелинейного уравнения колебания струны.// Тезисы докладов респ. конф., Ташкент, 1997.- С. 28.

74. Наймов А.Н. Априорная оценка решений нелинейной двухточечной краевой задачи. // Материалы международной научной конфренции "Современные проблемы прикладной математики и экономики",Самарканд,1997.-С. 95-99.

75. Наймов А.Н. Обобщение теоремы Эсклангона. // Тезисы докладов республ. науч. конф. по дифференциальным уравнениям с частными производными, Курган-Тюбе, 1997. С. 42. (соавтор Мухамадиев Э.М.).

76. Наймов А.Н. Об оценке решений одной нелинейной краевой задачи.// Тезисы докладов республ. науч. конф. по дифференциальным уравнениям с частными производными, Курган-Тюбе, 1997. С. 44.

77. Наймов А.Н. Об априорной оценке решений нелинейной двухточечной краевой задачи. // Ученые записки ХГУ. Естественные науки, №2, 1998, Худжанд С. 142-150 ( соавтор Мухамадиев Э.М.).

78. Наймов А.Н. К теории двухточечных краевых задач для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.//Доклады АН РТ, т.41, №9, 1998. С.30-34.

79. Наймов А.Н. О вычислении вращения одного вполне непрерывного векторного поля.//Доклады АН РТ, т.41, №10, 1998. С.56-61.

80. Наймов А.Н. О вычислении вращения вполне непрерывного векторного поля. // Тезисы докладов научной конференции молодых ученых Ленинабадской области, Худжанд, 1998. 113-114.

81. Наймов А.Н. О разрешимости одного класса нелинейных краевых задач. // Труды международной научной конференции " Дифференциальные уравнения и их приложения ", Душанбе, 1998. С. 63.

82. Наймов А.Н. Обобщенное периодическое решение нелинейного уравнения колебания струны. // Материалы международной научной конференции по математическому моделированию и вычислительному эксперименту, посвященной 50-летию ТГНУ, Душанбе, 1998. С.71.

83. Наймов А.Н. О нормальной разрешимости линейных дифференциальных операторов в пространстве обобщенных периодических функций. // Доклады АН РТ, т.42, 1999, №4. С.61-66.

84. Наймов А.Н. О регуляризации дифференциальных операторов в пространстве обобщенных периодических функций. // Материалы между нар. научн. конф. " Актуальные проблемы подготовки кадров XXI века ", Бишкек, 1999, С. 270-275.

85. Наймов А.Н. К теории двухточечных краевых задач для ОДУ второго порядка.//Дифференциальные уравнения, т.35, 1999, №10.- С. 1372 — 1381. ( соавтор Мухамадиев Э.М.).

86. Наймов А.Н. Гомотопическая классификация одного класса нелинейных краевых задач. // Материалы научной конференции " Вопросы функционального анализа и математической физики ", Баку, 1999. С.366-372.

87. Наймов А.Н. О разрешимости одной нелинейной двухточечной краевой задачи //Дифференциальные уравнения, т.36, 2000, №6.- С. & Ъ 55 .

88. Наймов А.Н. К разрешимости одной нелинейной двухточечной краевой задачи //Международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения", Санкт-Петербург, 12-17 июня 2000 г. — С, 1^5", (См- vcoHftj-^}

89. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат, 1949.

90. Обэн Ж. Нелинейный анализ и его экономические приложения. М.:1. Мир, 1988.

91. O'Regan D. Existence theory for nonlinear ordinary differential equations.- 1997.

92. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Физматгиз, 1964.

93. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.: Наука, 1964.

94. Похожаев С.И. О существовании и отсутствии периодических решений для некоторых нелинейных гиперболических уравнений // Доклады РАН, 1998, том 363, №3.-С. 304-307.

95. Rabinowitz Р.Н. Periodic solutions of non-linear hyperbolic partial differential equations. // Comm. Pure and Appl. Math., 20, 1967. P. 145-205.

96. Rabinowitz P.H. Large amplitude time periodic solutions of semilinear wave equations.// Comm. Pure and Appl. Math., 27, 1984. P. 189-206.

97. Сансоне Дж.Обыкновенные дифференциальные уравнения.- М.: Изд. иностр. литературы, 1963.

98. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.

99. Thompson Н.В. Systems of differential equations with fully nonlinear boundary conditions // Bull. Austral. Math. Society, v.56, 1997, N2. P. 197-208.

100. Thompson H.B. Existence for nonlinear boundary value problems // Comm. Appl. Nonlinear Anal., v.5, 1998, N4. P. 41-52.

101. Fiacca A., Papageorgiou N., Papalini F. A class of nonlinear boundary value problems and second order vector differential equations // Atti Sem. Math. Fis., Univer. Modena, v.46, 1998, N1. P. 149-164.

102. Филиппов В.В. Пространства решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд. МГУ, 1993.

103. Филиппов В.В. Топологическое строение пространств решений обыкно венных дифференциальных уравнений // Успехи математических наук,том 48, 1993, №1. С. 103-154.

104. Филиппов В.В. О гомологических свойствах множеств решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Математический сборник, том 188, 1997, №6.-С. 139-160.российская

105. ГОСУ£ЛГ(ГТПгт:м; PlbjUiU I слЛ5210-Х-02