Разработка математических методов анализа сложных нелинейных систем социодинамики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Магницкий, Юрий Николаевич

• Магницкий, Юрий Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Магницкий, Юрий Николаевич

Введение

1 Математический анализ логистических систем социодина-мики

1.1 Логистические модели социодинамики.

1.2 Теория Фейгснбаума-Шарковского-Магницкого динамического хаоса в нелинейных ОДУ.

1.3 Регулярная и хаотическая динамика в логистических системах ОДУ

2 Регулярная, волновая и хаотическая динамика в распределенной модели саморазвивающейся рыночной экономики

2.1 Вывод уравнений распределенной саморазвивающейся рыночной экономики.

2.2 Качественный анализ зависимости макропоказателей от структуры рыночной экономики

2.3 Волновые решения распределенной экономической системы

3 Прогнозирование временных рядов методами хаотической динамики

3.1 Постановка задач прогнозирования экономических индексов и показателей.

3.2 Разложение в ряд по собственным функциям нелинейной среды

3.3 Аппроксимация временного ряда решением хаотической динамической системы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка математических методов анализа сложных нелинейных систем социодинамики»

В естественных науках, главным образом в физике, математические модели, записанные на языке дифференциальных уравнений или динамических систем, давно служат надежным инструментом исследования. За небольшим исключением, все современные физические теории - электродинамика, квантовая механика, теория упругости, гидромеханика и многие другие — опираются именно на этот язык. Многовековое успешное применение дифференциальных уравнений в естественных науках стало основой их плодотворного использования и в экономико - математическом моделировании. На первом этапе использовались, в основном, методы линейной экономической динамики при изучении устойчивости моделей равновесного рынка. Однако, довольно быстро стало ясно, что линейное динамическое моделирование, хорошо объясняющее постепенное затухание любого вызванного извне отклонения от неизменного равновесия, является совершенно недостаточным для описания более сложных циклических и кризисных социально - экономических процессов. В связи с этим в экономико -математическом моделировании появились новые направления, такие как синергетическая экономика [1-3] и социодинамика [4-6], использующие более адекватный аппарат нелинейных динамических систем.

Социодинамика является одним из наиболее интенсивно развивающихся направлений современной экономико-математической науки, связанным с разработкой математического инструментария для исследования и анализа пространственно-временной эволюции систем, элементами которых являются люди. Она исходит из предположения, что состояние исследуемой динамической системы в каждый момент времени можно задать с помощью конечного или бесконечного набора числовых значений некоторых параметров х = (а?!, Х2, ■•■)• Множество всех возможных (допустимых) состояний х = {ж} образует фазовое пространство системы. А изменение состояния динамической системы в последующие моменты времени вычисляется, исходя из некоторого эволюционного дифференциального уравне

ПИЯ х = ф(ь,х), (1) с нелинейной функцией Ф(£,ж) фазовых переменных и времени в правой части. В случае конечного набора фазовых переменных (параметров состояния) система является сосредоточенной нелинейной динамической системой или нелинейной системой обыкновенных дифференциальных уравнений, а в случае их бесконечного набора - распределенной нелинейной динамической системой или нелинейной системой уравнений с частными производными.

В отличие от линейных систем, нелинейные динамические системы вида (1) могут иметь периодические любого периода и квазипериодические (многочастотные) решения, хорошо подходящие для описания различных циклических социально - экономических и общественно - политических процессов и явлений [1-6]. Кроме того, являясь детерминированными, такие системы при отсутствии всяких случайных воздействий могут вести себя неупорядоченно, непредсказуемо, хаотически, что является одним из главных и парадоксальных проявлений нелинейности. Поэтому естественно предположить, что именно нелинейные динамические системы являются наиболее подходящими для описания не только различных циклических социально - экономических и общественно - политических процессов и явлений, но также и для описании различных кризисных ситуаций и сценариев перехода к социально - экономическому и общественно - политическому хаосу. Из всего вышесказанного следует, что разработка математических методов анализа сложных нелинейных систем социодипамики, включая методы анализа стационарных, периодических и хаотических решений, является актуальной проблемой.

Исследование динамического хаоса привело к полному пересмотру взглядов ученых на моделирование явлений природы и общества и на наши возможности давать прогноз развития этих явлений. Присутствие хаоса является неотъемлемой частью большинства нелинейных динамических систем, описывающих достаточно сложные физические, химические, биологические, экономические и социальные процессы и явления. Впервые "необычное"поведение нелинейной динамической системы было открыто в связи с задачей прогноза погоды крупнейшим американским метеорологом-теоретиком Э. Н. Лоренцем [7]. Появившиеся в середине 50-х годов первые численные схемы гидродинамического краткосрочного (несколько суток) прогноза погоды оказались малоэффективными, что заставило многих исследователей обратиться к статистическим методам прогноза, основанным на представлении о линейной регрессии. В немалой степени это направление стимулировалось появившимися примерно в то же время работами Н. Випера [8], посвященными предсказанию стационарных случайных процессов. Казалось, что использование большого числа предикторов может заменить гидродинамические схемы прогноза, несмотря на существенную нелинейность атмосферных явлений. Лоренц скептически отнесся к идее статистического прогноза и решил проверить ее путем численного эксперимента на какой-либо динамической модели. В результате непростых поисков, связанных с желанием получить апериодические движения, Лоренц остановился на двухуровневой модели атмосферы, которая методом Галер-кина с удержанием только наиболее крупномасштабных мод была сведена к достаточно простой трехмерной автономной нелинейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Для найденной таким образом системы действительно удалось показать полную несостоятельность статистического прогноза в рамках линейной модели. Однако попутно было сделано куда более значительное открытие. Исследуя одно из численных решений системы, Лоренц обнаружил притягивающее множество (аттрактор) - подмножество фазового пространства, на котором фазовые траектории сочетают в себе глобальную устойчивость (остаются со временем в ограниченном объеме) с их локальной неустойчивостью (чувствительной зависимостью от начальных данных) на аттракторе.

До последнего времени совершенно естественным представлялся единый геометрический подход к изучению нелинейных динамических систем, позволяющий рассматривать с общих позиций нелинейные системы, описываемые как дискретными отображениями, так и обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями в частных производных [9-23]. Согласно геометрической точке зрения, динамической системой называется однопараметрическая непрерывная или дискретная группа (полугруппа) (р'(х) преобразований метрического фазового пространства М в себя. Непрерывные группы также часто называют потоками, а дискретные - отображениями или каскадами [19]. Интенсивное применение геометрического подхода к анализу динамических систем началось со знаменитой работы американского математика С. Смейла, предложившего конструкцию отображения, которое впоследствии получило название подкова Смейла [11]. Было показано, что устойчивым предельным множеством (аттрактором) дискретной динамической системы может быть вовсе не гладкое многообразие целой размерности, какими являются, например, устойчивый предельный цикл или тор, а всюду дырявое, самоподобное фрактальное множество дробной размерности. Кроме того, было показано, что поведение траекторий динамической системы на таком странном в терминологии Д. Рюэля и Ф. Такенса [15] аттракторе является довольно сложным, сочетая в себе глобальную устойчивость с локальной неустойчивостью отдельных близких траекторий, экспоненциально разбегающихся со временем, что характеризуется наличием на аттракторе как отрицательного, так и положительного показателей Ляпунова.

Так как анализ свойств непрерывных динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями, может быть сведен к анализу свойств некоторого отображения - отображения Пуанкаре, то обнаруженное в непрерывных динамических системах нерегулярное, хаотическое поведение траекторий, стали связывать с наличием в системе странного аттрактора. Однако доказательство этого факта непосредственно для знаменитой системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений Лоренца столкнулось со значительными трудностями. Многочисленные попытки в течение длительного времени обосновать методами геометрической теории динамических систем наличие странного аттрактора в окрестностях петель сепаратрис седло-узла и седло-фокуса в системе Лоренца закончились неудачей [24-32]. Более того, задача показать, совпадает ли поведение решений системы Лоренца с динамикой геометрического аттрактора Лоренца была сформулирована С. Смейлом как одна из 18 наиболее значительных математических проблем XXI века [33].

В последние годы авторами работ [34-40] было показано на многочисленных примерах нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными, что геометрический подход, развитый для дискретных отображений и позволивший получить для них ряд блестящих результатов, является не совсем адекватным применительно к непрерывным динамическим системам, описываемым дифференциальными уравнениями. Была предложена новая универсальная теория динамического и пространственно-временного хаоса во всех типах нелинейных дифференциальных уравнений, названная впоследствии теорией Фейген-баума—Шарковского—Магницкого. Авторами работ [34-40] было теоретически доказано и подтверждено многочисленными примерами, что во всех типах нелинейных дифференциальных уравнений существует один универсальный сценарий перехода к хаотическому режиму поведения, начинающийся каскадом бифуркаций Фейгенбаума удвоения периода устойчивых предельных циклов или двумерных торов [41,42] и продолжающийся субгармоническим каскадом бифуркаций Шарковского рождения устойчивых циклов или двумерных торов любого периода [43,44] и затем гомоклиниче-ским каскадом бифуркаций Магницкого рождения устойчивых циклов или двумерных торов, сходящихся к гомоклиническим контурам особых решений [35,36]. За последние несколько лет этот подход был успешно применен не только для объяснения сценария перехода к хаосу в системе Лоренца через двойной гомоклинический каскад бифуркаций, но также и для анализа хаотической динамики многих других классических нелинейных систем дифференциальных уравнений, не поддававшихся решению другими методами в течение многих десятилетий, таких, например, как системы обыкновенных дифференциальных уравнений Ресслера [45], Чуа [46], Дюф-финга—Холмса[13], Рикитаки [47], система уравнений с частными производными Курамото-Цузуки [48], уравнение с запаздывающим аргументом Мэкки-Гласса [49] и многие другие.

Целью диссертационной работы являлось проведение аналитического и численного исследования двух классов нелинейных систем уравнений соци-одинамики: логистической системы уравнений, т.е. автономной нелинейной трехмерной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с .правыми частями логистического типа, описывающей широкий круг социально - экономических и общественно - политических процессов и явлений, и распределенной системы саморазвивающейся рыночной экономики, предложенной в [50,51] и являющейся нелинейной системой дифференциальных уравнений с частными производными диффузионного типа. В соответствии с целью исследования были определены задачи:

- анализа устойчивости стационарных и периодических решений рассматриваемых нелинейных систем;

- исследования возможных сценариев развития в рассматриваемых системах сложной нерегулярной и хаотической динамики;

- разработки методов прогнозирования данных наблюдений, являющихся компонентами нерегулярных траекторий рассматриваемых систем, лежащих в областях их хаотических аттракторов.

Теоретическую основу диссертационного исследования составили: качественная теория и теория бифуркаций систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, теория динамического и пространственно-временного хаоса в сосредоточенных и распределенных нелинейных динамических системах, теория уравнений с частными производными, теория интегральных преобразований, метод наименьших квадратов, численные методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Научная новизна диссертационного исследования состоит в разработке оригинальных математических методов анализа сложных нелинейных систем социодинамики, описываемых нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями логистического типа и уравнениями с частными производными:

- доказаны теоремы об условиях устойчивости стационарных и периодических решений нелинейных трехмерных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с логистическими правыми частями общего вида;

- найдены условия и впервые численно исследованы сценарии перехода к динамическому хаосу в трех конкретных логистических моделях социодинамики: макроэкономического развития, эволюционирующего рынка ценных бумаг и формирования общественного мнения;

- исследована зависимость макропеременных нелинейной системы уравнений саморазвивающейся рыночной экономики от ее структурных параметров;

- найдены условия, доказана теорема существования и получен аналитический вид бегущих по технологическому пространству воли в диффузионной нелинейной системе уравнений саморазвивающейся рыночной экономики;

- предложены два новых метода математического анализа и прогноза временных рядов данных наблюдений, являющихся компонентами сложных непериодических решений нелинейных систем социодинамики, лежащих в областях их хаотических аттракторов: метод представления временного ряда в виде конечной суммы его различных колебательных компонент и метод аппроксимации временного ряда координатой вектор-решения нелинейной хаотической системы обыкновенных дифференциальных уравнений;

- доказаны теоремы о сходимости предложенного представления временного ряда и об оптимальности выбора коэффициентов его аппроксимации нелинейной хаотической системой.

Теоретическая значимость диссертационной работы заключается в новизне полученных в ней результатов, доказанных теорем и предложенных математических методов анализа сложных нелинейных систем социодинамики, не поддававшихся исследованию ранее другими методами. Практическая значимость диссертационной работы состоит в использовании ее результатов для анализа возможных сценариев развития сложных общественно - политических и социально - экономических систем при изменении различных параметров этих систем, включая возникновение кризис-пых ситуаций, для прогнозирования таких ситуаций и нахождения путей выхода из них. Разработанные методы и предложенные в работе алгоритмы могут быть использованы также для прогнозирования обменных курсов валют, курсовой стоимости акций различных компаний и ценовых индексов на различные виды товаров.

Результаты работы докладывались на международных научных конференциях:

- «Идеи синергетики в естественных науках» (Тверь,2006);

- «Системный анализ и информационные технологии» (САИТ-2007, Обнинск);

- «Синергетика в естественных науках» (Тверь,2007);

- «Математическое моделирование социальной и экономической динамики» (MMSED-2007, Москва);

- «Нелинейный динамический анализ» (Санкт-Петерб.,2007); и на семинарах Учреждения Российской академии наук Института системного анализа РАН и факультета Вычислительной математики и кибернетики МГУ.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы из 74 наименований, содержит 95 страниц текста и 15 рисунков. Результаты диссертации опубликованы в 11 печатных работах [52-62].

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Магницкий, Юрий Николаевич

Заключение

В диссертационной работе проведено аналитическое и численное исследование двух классов нелинейных систем уравнений социодинамики, описывающих широкий круг социально - экономических и общественно - политических процессов и явлений. Проанализирована устойчивость стационарных и периодических решений рассматриваемых нелинейных систем, исследованы возможные сценарии развития в этих системах сложной нерегулярной и хаотической динамики, разработаны новые методы прогнозирования данных наблюдений, являющихся компонентами нерегулярных траекторий рассматриваемых систем, лежащих в областях их хаотических аттракторов. В ходе проведенных исследований получены следующие основные результаты.

1. Разработаны математические методы анализа и доказаны теоремы об устойчивости стационарных и периодических решений логистических систем социодинамики, описываемых трехмерными нелинейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений с логистическими правыми частями общего вида.

2. Разработаны математические методы анализа хаотической динамики в нелинейных логистических системах социодинамики.

3. Проведено численное исследование сценариев перехода к общественно-политическому и социально-экономическому хаосу в трех конкретных логистических моделях социодинамики: эволюционирующего рынка ценных бумаг, макроэкономического развития и формирования общественного мнения.

4. Разработаны математические методы и проведено численное исследование поведения решений системы макроэкономических показателей в модели саморазвивающейся рыночной экономики при изменении ее структурных экономических параметров.

5. Найдены условия, доказана теорема существования и получены аналитические решения в виде бегущих волн капитала и нормы прибыли по технологическому пространству в двух начально-краевых задачах для диффузионной нелинейной системы уравнений саморазвивающейся рыночной экономики.

6. Доказана теорема о разложении хаотического временного ряда данных наблюдений на колебательные негармонические компоненты и разработан метод прогнозирования такого ряда.

7. Доказана теорема об аппроксимации и предложен метод прогнозирования хаотического временного ряда данных наблюдений решением нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Полученные результаты и доказанные теоремы позволили провести полный анализ устойчивости стационарных состояний и периодических решений в трехмерных нелинейных автономных системах обыкновенных дифференциальных уравнений логистического типа общего вида, описывающих широкий круг социально - экономических и общественно - политических процессов и явлений. Разработанные математические методы позволили также установить, что логистические системы обыкновенных дифференциальных уравнений обладают хаотической динамикой и что переход к хаосу в таких системах происходит в соответствии с универсальным сценарием Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого через субгармонический и затем гомоклинический каскады бифуркаций устойчивых предельных циклов. Разработанные в диссертации численные методы анализа логистических систем обыкновенных дифференциальных уравнений позволили обнаружить и проинтерпретировать ФШМ-сцснарии перехода к социально -экономическому и общественно - политическому хаосу в трех конкретных социодинамических моделях: макроэкономического развития, эволюционирующего рынка ценных бумаг и формирования общественного мнения.

Использованные в диссертации математические методы анализа решений сложных нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений дали возможность исследовать поведение решений системы макроэкономических показателей саморазвивающейся рыночной экономики при изменении структурных экономических параметров, характеризующих платежеспособный спрос трудящихся, подвижность капитала, инертность населения по отношению к покупке потребительских товаров и органическое строение капитала. В диссертационной работе численно показано, что значительное уменьшение платежеспособного спроса трудящихся, состоящего в сокращении объема их заработной платы, малая подвижность капитала, большая инертность населения в покупке новых и модных потребительских товаров, а также уменьшение доли занятого в производстве товаров и услуг населения неминуемо ведут к хаосу в экономике и в конечном итоге к ее разрушению, причем переход к хаосу во всех случаях осуществляется в соответствии с единым универсальным ФШМ - сценарием через субгармонический каскад бифуркаций устойчивых циклов. Кроме того, найденные аналитические условия и доказанная теорема существования волновых решений в распределенной системе диффузионных уравнений саморазвивающейся рыночной экономики позволили поставить и аналитически решить задачу о распространении локальных возмущений капитала и нормы прибыли по всему технологическому пространству.

Полученные в диссертационной работе результаты позволили предложить два строгих математических метода прогнозирования временных рядов данных наблюдений, являющихся компонентами нерегулярных траекторий нелинейных динамических систем и лежащих в областях их хаотических аттракторов. Первый метод состоит в представлении временного ряда данных наблюдений в виде конечной суммы его различных колебательных компонент - собственных функций нелинейной среды, имеющих свои средние квазиамплитуды и квазичастоты, с последующим построением прогноза в виде суммы прогнозов каждой компоненты. Такой метод является более предпочтительным и естественным по сравнению с методами гармонического и регрессионного анализа. Доказаны теоремы о сходимости такого разложения и рассмотрен ряд модельных примеров. Второй метод представляет собой аппроксимацию временного ряда данных наблюдений координатой вектор-решения нелинейной хаотической системы обыкновенных дифференциальных уравнений на заданном интервале времени с последующим построением прогноза в виде этой же координаты решения построенной системы вне заданного интервала времени. Доказаны теоремы об оптимальности выбора аппроксимирующей нелинейной хаотической системы обыкновенных дифференциальных уравнений в классе трехмерных систем с не более чем квадратичными по переменным правыми частями. Рассмотрен модельный пример такой аппроксимации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Магницкий, Юрий Николаевич, 2008 год

1. Заиг В.-Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории: Пер. с англ. - М.: Мир, 1999, 335с.

2. Пу Т. Нелинейная экономическая динамика. Ижевск.: Удмурт, уни-вер., 2000, 200с.

3. Хакен Г. Синергетика М.: Мир, 1985, 423 с.

4. Weidlich W. Stability and cyclicity in social systems.- Behavioral Science, 1988, 33, p.241.

5. Weidlich W. Physics and social science the approach of synergetics. -Phys. Rep.,1991,v.204, 1, p.1-169.6| Трубецков Д.И. Введение в синергетику. Хаос и структуры.- М.: УРСС, 2004, 240с.

6. Lorenz Е. N. Deterministic Nonperiodic Flow J. Atmos. Sci., 1963, v. 20, p. 130-1418j Wiener N., Mazani P. The prediction theory of multivariate stochastic process Acta Math., 1957, vol. 98, p. 111-150

7. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М. : Наука, 1978, 304 с.

8. Арнольд В. И., Афраймович В. С., Илъяшенко Ю. С., Шильников JI. П. Теория бифуркаций. Кн.: Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, 1986, т. 5, с. 5-218.

9. Смейл С. Дифференцируемые динамические системы Успехи мат. наук, 1970, т. 25, № 1, с. 113-185

10. Hirsch М. and Smale S. Differential equations, dynamical systems and linear algebra. Academic Press, N.-Y., 1974, 358 p.

11. Guckenheimer J. and Holmes P. Nonlinear oscillations, dynamical systems and bifurcations of vector fields. N.-Y.:Springer, 1983, 453 p.

12. Палис Ж., Ди Мелу В. Геометрическая теория динамических систем.- М. : Мир, 1986, 302 с.

13. Рюэль Д. Такенс Ф. О природе турбулентности. Странные аттракторы.- М. : Мир, 1981, с. 117-151

14. Eckman J. P., Ruelle D. Ergodic theory of chaos and strange attractors -Rev. Mod. Phys., 1985, 57, N3, p. 617-656

15. Шустер Г. Детерминированный хаос: введение. М. : Мир, 1988, 240 с.

16. Bepoice П., Помо ИВидаль К. Порядок в хаосе. М. : Меркурий Пресс, 2000, 366 с.

17. Малинецкий Р. Р., Потапов А. Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М. : УРСС, 2002, 360 с.

18. Кузнецов С. П. Динамический хаос. М. : Физматлит, 2001, 296 с.

19. Анищенко В. С., Вадивасова Т. Е., Астахов В. В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем.- Саратов, 1999, 368 с.

20. Неймарк Ю. П., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания.- М. : Наука, 1987, 424 с.

21. Лоскутов А. Ю., Михайлов А. С. Введение в синергетику. М. : Наука, 1990, 272 с.

22. Гукепхеймср Дою. Странный, странный аттрактор. Кн. : Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. Гл. 12- М. : Мир, 1980, с. 284-293

23. Guckenheimer J. and Williams R. F. Structural stability of Lorenz attractors Publ. Math. IHES, 1979, 50, p. 59-72

24. Williams R. F. The structure of the Lorenz attractors Publ. Math. IHES, 1979, 50, p. 321-347

25. Yorke J. A. and Yorke E. D. Metastable chaos : the transition to sustained chaotic oscillations in a model of Lorenz J. Stat. Phys., 1979, 21, p. 263267

26. Sparrow С. The Lorenz equations : Bifurcations, chaos and strange attractors. Springer Verlag, N. - Y. 1982

27. Rychlik M. Lorenz attractors through a Shilnikov-type bufurcation, Part 1. Ergodic theory dynamical systems, 1989, 10, p. 793-821

28. Шилъников JI.П. Теория бифуркаций и модель Лоренца. Кн. : Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. Добавление II. М. : Мир, 1980, с. 317-335

29. Shilnikov A. L., Shilnikov L. P., Turaev D. V.Normal forms and Lorenz attractors Int. J. Bifurcation and Chaos, 1993, v. 3, № 5, p. 1123-1139

30. Tucker W. A rigorous ODE solver and Smale's 14th problem Found. Comput. Math., 2002, 2, p. 53-117

31. Смейл С. Математические проблемы следующего столетия. Кн. : Современные проблемы хаоса и нелинейности. Ижевск : ИКИ, 2002, с. 280-303

32. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Новый взгляд на аттрактор Лоренца- Дифференциальные уравнения, 2001, т. 37, № 11, с. 1494 1506

33. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Переход к хаосу в системе Лоренца через полный двойной гомоклинический каскад бифуркаций Сб. Нелинейная динамика и управление. Вып. 2 : под ред. С. В. Емельянова, С. К. Коровина - М. : Физматлит, 2002, с. 179-194

34. Магницкий Н. А. О природе хаотических аттракторов нелинейных диссипативных систем обыкновенных дифференциальных уравнений- Сб. Нелинейная динамика и управление. Вып. 4: под ред. С. В. Емельянова, С. К. Коровина. М. : Физматлит, 2004, с.37-58.

35. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Новые методы хаотической динамики.- М. : УРСС, 2004, 112 с.

36. Magnitskii N. A., Sidorov S.V. New Methods for Chaotic Dynamics.-Singapore: World Scientific, 2006, 363P.

37. Фсйгснбаум M. Универсальность в поведении нелинейных систем. -УФН, 1983, т.141, в.2, с. 343-374.

38. Шарковский А.И. Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя. Украинский математический журнал, 1964, т.26 № 1, с. 61-71.

39. Шарковский А. Н., Майстпрепко 10. А., Романепко Ю. Е. Разностные уравнения и их приложения.- Киев: Наукова думка, 1986, 280 с.

40. Rossler О.Е. An equation for continuous chaos. // Phys. Lett. A, 1976, v. 57, N 5, p. 397-398.

41. Chua L.O., Komuro M., Matsumoto T. The double scroll family// IEEE Trans. Circuits and Syst. CAS-33, 1986, pt. 1,2, p. 1073-1118.

42. Кук А., Роберте П. Система двухдискового динамо Рикитаки. Странные аттракторы М.: Мир, 1981, с. 164-192.

43. Ахромсева Т.С., Курдюмов С.П., Малииецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос,- М.: Наука, 1992, 541 с.

44. Mackey М., Glass L. Oscillations and chaos in physiological control systems. -Science, 1977, v.197, p.287-289.

45. Магницкий Н.А. Математическая модель саморазвивающейся рыночной экономики. Труды ВНИИСИ АН СССР, 1991, с. 16-21.

46. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Распределенная модель саморазвивающейся рыночной экономики. Сб. Нелинейная динамика и управление. Вып. 2: под ред. С.В. Емельянова, С.К. Коровина.- М.: Физматлит, 2002, с. 243-26

47. Магницкий Ю.Н Регулярная и хаотическая динамика в нелинейных системах обыкновенных дифференциальных уравнений типа

48. Вайдлиха-Трубецкова. -Дифференциальные уравнения, 2007, т.43, 12, с.1618-1625.

49. Магницкий Ю.Н О волновых решениях распределенной экономической системы. -Автоматика и телемеханика, 2008, 11, с. 149-153.

50. Магницкий Ю.Н Собственные функции нелинейной колебательной среды и их применение для прогнозирования хаотических временных рядов. Сб. Нелинейная динамика и управление. Вып. 6: под ред. С.В. Емельянова, С.К. Коровина- М.: Физматлит, 2006, с. 239—246.

51. Магницкий Ю.Н Аппроксимация временных рядов хаотическими динамическими системами.- Труды Института системного анализа РАН. Динамика неоднородных систем. Вып. 10. М.: Комкпига, 2006, с. 98103.

52. Магницкий Ю.Н Исследование зависимости макроэкономических показателей от структуры рыночной экономики.- Труды Института системного анализа РАН. Проблемы вычислений в распределенной среде. Т.14. М.: Комкнига, 2005, с. 198-205.

53. Магницкий Ю.Н О сценарии перехода к хаосу в одной нелинейной модели Вайдлиха-Трубецкова.- Труды Института системного анализа РАН. Динамика неоднородных систем. Т.29, вып.11. М.: ЛКИ, 2007.с.42-46.

54. Магницкий Ю.Н Циклы и хаос в нелинейной модели рыночной экономики. Труды Межд. конф. «Идеи синергетики в естественных науках». - Тверь: Твер. гос. ун-т., 2006,с.280-284.

55. Магницкий Ю.Н Хаотическая динамика в моделях Вайдлиха-Трубецкова. Труды Межд. конф. «Синергетика в естественных науках». - Тверь: Твер. гос. ун-т., 2007,с.96-99.

56. Магницкий Ю.Н Модель макроэкономического развития типа Вайдлиха-Трубецкова.- Труды Межд. конф. «Системный анализ и информационные технологии» (САИТ-2007). М.: ЛКИ, 2007,т.1, с.253-254.

57. Марсден Дою., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир,1980, 368с.

58. Хэссард Б., Казаринов П., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. М.: Мир.1985, 280с.

59. Попов В.В. Экономический цикл и норма прибыли в США. М.: Наука,1989, 176с.

60. Дериов А.В., Магницкий Н.А. О переходе к хаосу в одной неклассической системе уравнений реакция-диффузия. Дифференциальные уравнения. 2005. т. 41, No.12. С.1675-1679.

61. Дернов А.В. Диффузия капитала и спроса в модели саморазвивающейся рыночной экономики. Нелинейная динамика и управление. Вып.2. М.: Физматлит, 2002. С.233-242.

62. Дернов А.В. Использование принципа подчинения Хакена для анализа волновых процессов в нелинейной системе с диффузией. Нелинейная динамика и управление. Вып.5. М.: Физматлит, 2006. С. 125-128.

63. Тихонов А.П., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966.

64. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence Commun.- Lect. Notes in Math. Berlin: Springer. 1981, 898, p. 336-381.

65. Takens F. Estimation of dimension and order of time series. Nonlinear dynamical systems and chaos, 19, 1996.

66. Магницкий H. А., Сидоров С. В. Управление хаосом в нелинейных динамических системах. Дифференциальные уравнения, 1998, т.34, № И. с. 1501-1509.

67. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Локализация и стабилизация неустойчивых решений хаотических динамических систем. В сб. Нелинейная динамика и управление. Под ред. С.В.Емельянова и С.К.Коровина, Вып.1, М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001, с.217-246.

68. Сидоров С. В. Аппроксимация кривых решением дифференциальных уравнений в искусственном фазовом пространстве. Новое в науке и производстве текстильной и легкой промышленности: Сборник научных трудов. Вып.1,- М.:РЗИТЛП, 2004, с. 168 - 176.