Квазипериодические режимы в математических моделях с малым отклонением тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Чихачева, Ольга Александровна

• Чихачева, Ольга Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чихачева, Ольга Александровна

Введение.

Глава 1. Квазипериодические режимы в математических моделях с малым отклонением.

§ 1. Постановка задачи.

§ 2. Сведение исходной задачи к исследованию разрешимости недифференциальной системы уравнений с алгебраической главной частью.

§ 3. Квазипериодические режимы в математических моделях с малым линейным отклонением.

Глава 2. Ненулевые решения нелинейной системы уравнений.

§ 1. Определение условий, при которых нелинейная система уравнений в частном случае имеет ненулевое решение.

§ 2. Определение условий, при которых нелинейная система уравнений порядка d имеет ненулевое решение.

Глава 3. Квазипериодические режимы в математических моделях, описываемых неоднородной системой дифференциальных уравнений с малым отклонением.

§ 1. Влияние членов, не содержащих фазовых переменных, на условия, при которых математические модели, описываемые системой (1.1) имеют квазипериодический режим.

§ 2. Ненулевые решения недифференциальной системы уравнений, нелинейная часть которой - конечная сумма вектор-форм порядка не менее двух.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квазипериодические режимы в математических моделях с малым отклонением»

Актуальность темы. Последние десятилетия характерны интенсивными исследованиями математических моделей с малым отклонением, стимулируемые многочисленными приложениями дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом в математической экономике [27,88,61]. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, описывающие процессы с последействием, находят много приложений в теории автоматического управления, в теории автоколебательных систем, радиолокации, при изучение проблем, связанных с горением в ракетном двигателе [3,22,28,59,102]. Указанная теория является одной из составных частей теоретической биофизики и служит основой как химической кинетики, так и теории регулирования [52-53,65].

Область приложения дифференциальных уравнений включает и биологические науки (распространение эпидемий с латентным временем, регенерация живых клеток под действием лучей) [39-40,64,96-97,104-105].

Одно из актуальных современных применений теории математического моделирования связано с экологией. В частности, не решена проблема выбора математического аппарата, который необходимо использовать при описании динамики численности изолированной популяции в различных ситуациях. В ряде этих моделей скорость изменения численности популяции представляется в виде суммы трех слагаемых, первое из которых определяется рождаемостью, второе - смертностью, третье - миграцией. Изменение численности популяции не мгновенно сказывается на скорости. Математически это означает, что в дифференциальных уравнениях, описывающих это явление, появляются члены с запаздыванием.

В рамках современных требований необходимы математические модели экосистем и математические методы анализа их стабильности. Поэтому математический метод - один из самых мощных методов современного естествознания [67,101].

Настоящая работа посвящена исследованию математических моделей, описываемых однородной и неоднородной системами дифференциальных уравнений с малым отклонением. Изучены математические модели, представленные системой дифференциальных уравнений с коэффициентами, зависящими от параметра и вектор - функцией, содержащей параметр и представленной в виде тригонометрического многочлена. Задачей исследования является разработка методов, при которых рассматриваемые математические модели имеют ненулевые квазипериодические режимы.

Обилие приложений способствовало увеличению интереса к теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. В настоящее время диапазон задач, в которых приходится учитывать запаздывание, стал весьма широким. Поскольку область приложения обширна, то естественны сложность и многообразие получаемых математических моделей. В силу этих причин общего решения поставленной проблемы пока не найдено. В частности, имеются пробелы в изучении квазипериодических решений, когда отклонение постоянно и находится в окрестности нуля. Следовательно, задача поиска условий существования ненулевых квазипериодических решений как линейных, так и нелинейных систем дифференциальных уравнений является актуальной.

Цель работы. В работе рассматриваются математические модели, описываемые следующими системами:

1) линейной системой дифференциальных уравнений с малым отклонением вида

Tx(t) + Ax(t - f(s)) + Bx(t) + Cx(t - f{e)) = 0, (0.1) где x(t)eR", Т,В -(ихп)-матрицы, А,С -(nxq)- матрицы, /(e)-многочлен степени d по s, б- малый вектор-параметр,

2) частным случаем системы (0.1), когда отклонение линейно

Щ0 + Ax(t - + £*(/) + Cx(t - (ф,е)) = 0, (0.2) где, —С^)) = С*—С^ 1 > .(/—C^imj • • С'—> —С^и^, » ф £ Rq .

3) неоднородной системой дифференциальных уравнений

Tx(t) + A(A)x(t - f{s)) + Bx{t) + C(A)x(t - /(*)) + <p{UjS) = 0, (0.3) где x(t),x(t -/(s)),f(s) ,TyB-tq же,q)(t,ju)-квазипериодическая no t вектор-функция, <p(t,ju) eM(W),A,/j - малые параметры, s e Rqi ,Ле Rqi, и g Rq3, MQV) - спектр рассматриваемых тригонометрических многочленов.

Ставится задача - получить качественные методы исследования математических моделей на предварительном этапе математического моделирования, а также найти условия, при которых математические модели, описываемые системами (0.1) - (0.3) имеют квазипериодические режимы (решения).

Методика исследования. Проблема поиска условий, при которых математические модели с малым отклонением (0.1) - (0.3) имеют квазипериодические режимы, сводится к проблеме разрешимости системы недифференциальных уравнений с алгебраической главной частью. С этой целью, с помощью собственных элементов вспомогательного оператора, соответствующих его нулевому собственному значению, и некоторых базисных векторов, конечномерное векторное пространство разбивается на сумму трех подпространств. В частном случае системы (0.1) (для системы (0.2)) строится оператор и доказывается существование неподвижной точки этого оператора. Для нелинейных систем, полученных при рассмотрении систем (0.1) и (0.3), с помощью метода неподвижной точки строится алгоритм нахождения ненулевого решения.

Основные результаты, имеющиеся по данной проблеме. В настоящей работе математические модели с малым отклонением описываются соответствующими дифференциальными уравнениями. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом появились в литературе еще в 18 веке в связи с решением задачи Эйлера о разыскании общего вида линии, подобной своей эволюте. Однако еще до совсем недавнего времени не были сформулированы основные теоремы общей теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, в литературе не было даже четкой постановки начальной задачи. Впервые это было сделано А.Д. Мышкисом в диссертации «Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом» (1949 - 1950).

Проблема поиска почти периодических и периодических решений является одной из центральных при изучении любого класса уравнений, в частности, особое внимание этой проблеме уделяется в дифференциальных уравнениях с запаздывающим аргументом.

Вопросу существования квазипериодических решений посвящен огромный пласт трудов Пронькина В.С.[50-51], Блинова И.Н.[8], Левитана Б.М.[36], Демидовича Б.Щ23] и многих других авторов.

Пронькин B.C. в работе [51] рассматривает нелинейное дифференциальное уравнение т i+£**(0**+A*o(0 = <), (0.4) к=1 где ak{t)~ квазипериодические функции, А-малый комплексный параметр, т -фиксированное натуральное число. Используя итерационный процесс Ньютона, ему удалось показать, что уравнение (0.4) имеет квазипериодические решения при всех достаточно малых Л, исключая, быть может, конечное число «исключительных лучей» (то есть для каждого значения arg/l, кроме конечного числа, найдется такое б , что если |Я| < е, то уравнение (0.4) имеет квазипериодическое решение). В статье [50] рассмотрено дифференциальное уравнение с нечетными квазипериодическими коэффициентами и доказано, что (0.4) имеет ограниченное решение при достаточно малой норме свободного члена.

Для системы i = А(Л)х + Дх,Л) + Mt,x,A), (0.5) в которой х е En,f и fx - п - мерные вектор-функции, А(Л) -пхп-матрица, Л- скалярный параметр, te(-°о;оо), Терехиным М.Т. в статье [69] рассмотрен случай, когда существует такое число S{ е (0, SQ), что при любом ДеЛ(^) матрица А{Л) имеет действительное собственное значение а(Л) и неособенным преобразованием система (0.5) может быть сведена к системе вида z = Я{Л)2 + Fx{y,X) + F2(t,y,A), v = а(Л)у + Щу,Л) + Ч2(1,у,Л), (0.6) где z — (п — 1) - мерный вектор, у = (z,v). В этом случае показано, что имеет место бифуркация почти - периодического решения системы (0.6).

Теорема о существовании почти периодического решения доказана в работе [21] Гребенщиковым Б.Г. и Рожковым В.И. для квазилинейной системы с постоянным запаздыванием вида х(/) = г1 (A(t)x(t)+B(t)x(t - s) + f(t) + vF(t,x(t),x(t — s))). Наличие экспоненциального множителя el в правой части системы существенно влияет на поведение решения.

Результаты, относящиеся к периодическим решениям нелинейных систем Е.В. Воскресенским в работе [17] получены методом, близким методу сравнения, развитым автором в многочисленных работах, основные идеи которых содержатся в статьях [18]-[19]. Суть принципа сравнения заключается в сведении решения сложной задачи к решению известной или простой задачи. Уравнением сравнения в монографии [17] является дифференциальное уравнение, не имеющее Т - периодических решений, за исключением состояния равновесия, которым является начало координат. Близость правых частей сравниваемых уравнений порождает существование однотипных решений. В данной работе рассматриваются уравнения = F(t,x) + f(t,x), (0.7.1) at = F0(t,y), (0.7.2) dt где f ,Fe.C{Rx Rn,Rn)\ F(t + T,x) = F(t,x), F0(t + T9y) = F0(t,y)t f(t + T,x) = f(t,x), F0eC(p'm)(RxRn,Rn), p>0, m>0, Fo(t,0) = 0 при всех

- oo < t < +oo и x e R", T > 0. Ставится задача найти условия, при которых уравнение (0.7.1) в шаре Sr = {к е R" : ||х|| < имеет Т - периодическое решение если ||F(f,х)-F0(f,.x)||<S(t)<S при всех -со <t < +оо и хе KSr,

KSr = : ^ л е 5Г |, k> 1. Задача решается в предположении, что и при всех - оо </ < +оо, хьх2е KSr, К0,К1>0.

Общую теорему об устойчивости «грубого» периодического решения неавтономной системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом относительно изменения правой части доказал А. Халанай [82].

Клейменов А.Ф. и Шиманов С.Н. в работе [26] рассматривали систему, описываемую дифференциальными уравнениями с запаздыванием dx

- = -Лу + Х(х,у,х1г.,х„) + //^(f,*,у,.,*„,*(* - T),y(t - r),.,xn(t - r\fS), dt j- = Ax + Y(x,y,xl,.,xn) + {jF2(t,x,y,.,xn,x(t ~ r),y(t - r),.,xn(t - t),/j), (0.8) dt dx "

-&= + Xs(x,y,xx,.,xn) + yFs+1(t,x,y,.,xn,x{t -r),y(t - г),.,xn(t - t),jj), at u=l где ^ = 1 A,ask - постоянные, X,YtXs — аналитические функции 'М переменных х,у,хь.,хп в окрестности точки х = у = х{ =. = хп =0, разложения которых по степеням этих переменных начинаются членами не ниже второго порядка; функции Fs аналитичны по отношению к переменным t,x,y,.,xn,x(t -r),y(t -T),.,xn(t -т) в некоторой окрестности начала координат, а также по отношению к малому параметру // в окрестности точки ц = 0; кроме того, Fs непрерывны и периодичны по / с периодом 2л\ т - постоянное запаздывание. Предполагается, что порождающая система является системой Ляпунова. Здесь исследуются вопросы существования и построения периодических решений системы (0.8), обращающихся при // = 0 в порождающее решение. В качестве аппарата tисследования используется метод вспомогательных систем Шиманова С.Н. [92].

Значительный вклад в развитие теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом внесли Азбелев Н.В. [1-2], Мышкис А.Д. [4344], Эльсгольц Л.Э. [44,94-95], Норкин С.Б. [45-47,95], Шиманов С.Н. [8993]. Этому направлению качественной теории дифференциальных уравнений посвящен целый ряд монографий Митропольского Ю.А. [41-42], Рубаника В.П. [57-60], Фодчука В.И. [60,76-79], Бекларяна Л.А. [5-6] и многих других. Работа Азбелева Н.В. и Максимова В.П. [1] представляет собой обзор л основных идей и результатов теории функционально - дифференциальных уравнений с вольтерровыми операторами. Особое внимание уделяется краевым задачам.

Подход, предложенный Бекларяном Л.А. [5], основан на использовании групповых особенностей дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Он полагает, что gj,j = \,s- гомеоморфизмы, задающие функции отклонения аргумента, Q=< gj,j = \,s>- группа, порожденная w этими гомеоморфизмами. Суть подхода состоит в следующем. Если x(t) - интегральная линия, то z(0 = ^cq(0\q€Q>xq(t) = x(q(t)) в некотором подходящем пространстве бесконечных последовательностей удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению, каноническим образом порожденному исходным дифференциальным уравнением. В рамках такого подхода удается ответить на многие вопросы, в частности, доказать теорему существования и единственности решения, непрерывной зависимости от начальных и краевых условий, теоремы о «грубости» дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом.

Решение задачи Коши в виде бесконечного ряда методами операционного исчисления получено Малышевым Ю.В. [38] для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и постоянным запаздыванием х^+ Yi^ajrx<k"~J'\t-тг) = f( t) и

У=1г=0 к нейтрального типа £ Y,ajrx (t -тг) = f(t), где arj = const, f(t)~ lr=0 оригинал, для которой можно получить разложение в виде бесконечного ряда. Исследование проводится в предположении, что тк =кт, а п характеристический квазиполином уравнения есть Д= Y\{D + a + aje ),

У=1

D - дифференциальный оператор.

В работе Рожкого В.И. [52], посвященной уравнению m = Rt,x(t\x{t -hr{t)\x{t -htm, (0.9) где h> 0- малый параметр и г(/)- некоторая функция, установлено существование со - периодического решения уравнения (0.9), его близость к вырожденному решению д:0. Решен вопрос о построении асимптотического разложения для решения по степеням запаздывания. Рассмотрен случай, когда отклонение аргумента зависит от искомого решения, то есть имеет вид x(t) = f(t,x(t),x(t - hr(t,x(t))),x(t - hT(t,x(t)))). В статье [54] он производит оценку фундаментального решения линейной системы с малым параметром при производной и с малым запаздыванием.

Наиболее полное исследование вопросов, связанных с уравнением x(t) = a{(t)x(t - r^t)) + . + am{t)x(t - rm{t)\rk{t) > 0,k = 1,2, содержится в монографии Норкина С.Б. [47], где рассмотрены также некоторые уравнения с запаздыванием вида т = r{t,x{t)).

Существенно продвинулось вперед изучение линейных уравнений (и систем) с периодическими коэффициентами

0=Jr(r,0*(f-r>/r(r,0, (0.10) о где r(t,t+ T) = r(r,t),T > 0), а также соответствующих неоднородных уравнений с периодической неоднородностью. Наиболее естественный путь состоит в рассмотрении «оператора сдвига» U, ставящего в соответствие каждой начальной функции <p(t) (- N <t <0) функцию x{t + kT) {-N<t<0), где .*(/) - решение, отвечающее начальной функции <p(t), а натуральное число к подобрано так, чтобы kT>N. Оператор U вполне непрерывен и поэтому имеет спектр с единственной возможной предельной точкой в начале координат. Каждой точке спектра отвечает для уравнения (0.10) решение типа Флоке, причем для точек, достаточно близких к нулю, решения сколь угодно быстро затухают (по шкале экспонент). Рассматривая свойства оператора U, в частности, выделяя его инвариантные подпространства, можно установить для уравнения (0.10) аналог теоремы Флоке. Перенесение теории Флоке на дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом содержится в работах Шиманова С.Н. [90],А. Халаная [84], а для более частных случаев в работах Зверкина A.M. [25], Валеева К.Г. [13].

Долгий Ю.Ф. и Колупаева О.С. в статье [24] рассматривают уравнение с запаздыванием = <!>(x(t -//)) в предположении, что при отсутствии dt запаздывания (// = 0) уравнение не имеет периодических решений в малой окрестности нуля. Здесь ц - запаздывание (неотрицательный малый параметр), Ф - голоморфная функция в некоторой окрестности точки

Ф(О) с = 0,Ф(0) = 0, матрица А =-- имеет собственные числа dx = Я2 =/v0,v0 >0, остальные собственные числа матрицы А отличны от чисел вида iv0N,N- целое число. Решается задача Хопфа о бифуркации положения равновесия (х = 0), доказывается существование периодического решения, непрерывно зависящего от ц и вырождающегося при // = 0 в положение равновесия х - 0. Методика исследования данной статьи опирается на метод вспомогательных систем Шиманова С.Н. [92].

Линейные системы с импульсами в матрице системы и с запаздыванием в работе [66] исследовали Сесекин А.Н. и Фетисова Ю.В. В частности, была рассмотрена система дифференциальных уравнений i(/) = A{t)x{t) + B{t)x{t - г) + ДО. (0.11) 111

Предполагается, что A(t) = A{t) + (/)v,-, A(t),B(t)-nxn- матрицы с 1 непрерывными элементами, f(t)~ вектор - функция с суммируемыми элементами, Ц(0 (/ = 1,/я)~ непрерывные пхп- матрицы - функции, v(0 = (vi(0,-,vw;(0)- функции ограниченной вариации, г>0- постоянное запаздывание. С помощью метода шагов показано, что если матрицы Д (0 (/ = 1,т) для каждого t е [^q,00] взаимно коммутативны, то существует аппроксимируемое решение. Получена формула Коши для аппроксимируемых решений уравнения (0.11). В работе под аппроксимирующим решением этой системы в классе функций ограниченной вариации понимается поточечный предел последовательности абсолютно непрерывных решений системы (0.11), порожденной последовательностью абсолютно непрерывных функций vk(t), поточечно сходящейся к вектор - функции ограниченной вариации v(/), если этот предел не зависит от выбора последовательности.

Исследованы многочисленные конкретные квазилинейные дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом и во многих случаях обнаружено существенное, иногда даже качественное влияние запаздывания на течение описываемых этими уравнениями процессов. Отметим, в частности, показанное Рубаником В.П. и его сотрудниками на ряде примеров [58-59] существенное влияние запаздывания сил связи между взаимодействующими колебательными системами, а также возникновение параметрического резонанса при периодическом запаздывании.

Теорема о бифуркации Хопфа стационарного решения для класса дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом доказана Обросовой Н.К. [48]. Доказательство проводится по следующей схеме. Исходная бесконечномерная задача сводится к двухмерной при помощи теоремы об интегральном многообразии. Затем к полученному двухмерному отображению применяется теорема Хопфа, из которой следует, что при потере устойчивости в системе рождается или гибнет одномерное инвариантное многообразие. На заключительном этапе, с использованием понятия числа вращения доказывается, что найденному одномерному многообразию соответствует периодическая траектория исходного уравнения с запаздыванием.

Большой цикл работ [22,62-63,75-85,32] посвящен применению асимптотических методов и метода усреднения для исследования уравнений с запаздывающим аргументом.

При помощи этих методов Ю.А. Митропольским в работе [42] строятся асимптотические решения как для автономных дифференциальных уравнений с запаздыванием, так и для неавтономных, причем для последних рассматриваются резонансный и нерезонансный случаи. Здесь излагается метод исследования одночастотных колебаний в нелинейных системах с запаздыванием со многими степенями свободы, а также метод усреднения, позволяющий исследовать периодические решения таких систем.

Рябовым Ю.А. [62-63] при изучении систем с запаздыванием применяется метод малого параметра. В качестве параметра выступает запаздывание. Решения ищутся с помощью последовательных приближений, причем за нулевое приближение принимается решение, полученное при отсутствии запаздывания.

Значительное продвижение в изучении дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом содержится в работах Н.Н. Красовского, подытоженных в [32]. Н.Н. Красовский предложил рассматривать решение дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом как траекторию в пространстве непрерывных функций, для чего надо каждому t>t0 поставить в соответствие функцию x(t-s),s> О, как элемент указанного пространства. На этом пути им получен ряд окончательных (содержащих необходимые и достаточные условия) теорем об асимптотической устойчивости указанных уравнений.

К циклу вопросов о выводе и обосновании асимптотического разложения решений можно отнести работы Фодчука В.И. [78-79], по построению интегральных многообразий для систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.

Вопросом о существовании периодических решений систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом занимается М.Т. Терехин и его ученики. В работе [71] показаны существование, непрерывная зависимость решения от правой части и начальной функции, а также существование периодического решения системы уравнений i(f) = f(t, x(t), x(t - A(t, x(t),x(t))), x(t-G(t))) в случае, когда вектор-функции / и А удовлетворяют условию Каратеодори, а вектор-функция G измерима. Изучены системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, зависящие от функционального параметра. В основе доказательств лежит метод неподвижной точки нелинейных операторов.

Богатова С.В. в работе [10] исследует систему дифференциальных уравнений x(t) = Nx(t)+Mx(t - т) + f(t,x(t),x(t-T),A) в предположении, что C(x(t),x(t - т),Л) + D(x(t),x(t ~ т),Л) = f(t,x(0Xt ~ г),Л), С(х,у,А) однородная форма порядка s по х,у и Л, D(x, у, Л) - сумма конечного числа форм по ху и Л порядка выше, чем s, и независимо от Л С(0,0,Л) = 0,В(0,0,Л) = 0. Здесь xeRk, матрица,

М -{к х mk) - матрица, т - малый параметр, teRm, ||г||<(5, AeRJ, ||/1]|<J0.

Содержание работы. В диссертации исследуются модели (0.1) - (0.3), содержащие малое отклонение, с целью определения в них квазипериодических режимов. В отличие от работ [43,48,82,93,100] и многих других, где б > 0, в диссертации отклонение - векторная величина, компоненты которой произвольны по знаку в малой окрестности нуля. Причем в качестве отклонения взято не б [9-10], а многочлен некоторой степени по б . Под квазипериодическим режимом (решением) в диссертации понимается тригонометрический многочлен со специальным спектром, что немаловажно при интерпретации квазипериодических режимов в математических моделях [61,88,65 и другие]. Рассматриваемое конечномерное векторное пространство представляется в виде прямой суммы трех подпространств, в отличие от работы [9]. Что позволяет решать более широкий спектр задач. При изучении системы дифференциальных уравнений, которые описывают исследуемые модели, не используется понятия характеристического уравнения - это дает возможность не накладывать дополнительных условий на корни характеристического уравнения, как в работе [46], не использовать собственные числа матрицы -производной вектор - функции в нуле [24].

Во введении содержатся обоснование актуальности темы, цель работы, методика исследования, сжатый обзор результатов других авторов, краткое содержание работы.

Диссертация состоит из трех глав, разбитых на параграфы.

В первой главе рассматриваются математические модели с отклонением (0.1) - (0.2). Квазипериодические режимы (решения) в моделях отыскиваются в виде тригонометрического многочлена * x(t) = а0 + X X \upj cos(/(p7 ,a>))+bpj sin(f(/?7, &>))], в котором а0 ,при любом j=\pjeDj

Pj apj, bPj - n - мерные векторы.

В §1 главы 1 отклонение есть многочлен некоторой степени по е. Здесь строится спектр рассматриваемых тригонометрических многочленов т т

W = {0, £ kj (Oj, £ = j, j e N). Вводится вспомогательный оператор H, /=i /=1 определенный линейной частью системы дифференциальных уравнений, описывающей математические модели.

В §2 первой главы с помощью собственных элементов оператора Н, соответствующих нулевому собственному значению, и некоторых базисных векторов конечномерное векторное пространство разбивается на прямую сумму трех подпространств, одно из которых (Е0) инвариантно относительно оператора Н. Теорема 1.1 доказывает, что если оператор Н не имеет собственного элемента, то найдется такое б* , что уравнение (0.1) имеет только нулевое решение в достаточно малой окрестности нуля. Доказана теорема 1.2 о наличии обратного оператора для Н на множестве Е0, который оказывается ограниченным и линейным.

С помощью представления элемента у в виде

5 t y = Py+^d^i(y)hl + ^c7u(y)gti, разрешимость системы (0.1) сводится к

1=1 И=1 разрешимости систем

Р(Я(У,Б)) = О, (0.12) l(R(y,e)) = 0,

0.13)

4s(R(y,e)) = 0.

0.14) crt{R{y,e)) = 0.

На основании теорем 1.4 - 1.7 показано, что проблема поиска квазипериодических режимов в математических моделях (0.1) равносильна проблеме разрешимости системы недифференциальных уравнений, получающихся из систем (0.12) - (0.14).

Частному случаю системы (0.1), когда отклонение линейно, посвящен §3 главы 1. В данном случае исследование системы (0.2) сведено к исследованию нелинейной системы, содержащей вектор - функцию не выше второго порядка.

Глава 2 посвящена поиску необходимых и достаточных условий, при которых нелинейная система имеет ненулевые решения. В §1 главы 2 изучается система уравнений вида

2(О+4Г|2)=0, (0.15) в которой F2(£) -вектор-форма второго порядка относительно

С = {а,е),а = {ax,a2,.,as\s = {8bE2,.,sm),\imo(\C\ )/|С| ) = 0. Рассмотрены

Г->о случаи m-s и m>s. В предположении, что m = s, система (0.15) представлена равенством

Ф2(а)8 + о(\£\2) = 0 , (0.16) где Ф2 (or) - матрица, элементы которой являются линейными комбинациями * координат вектора а. Доказано, что если найдется вектор а ,а =1, удовлетворяющий неравенству det02(or )^0, то система (0.16) имеет ненулевое решение. В случае, когда m>sy вектор-функция Ф2(ос)е может быть представлена равенством Ф2(a)s = Ф2(a)s + G(a)s , б = (s1,£2,.,£s), s = {ss+l,.,£m). Установлено, что если найдется вектор ё,\ё\ = ^удовлетворяющий неравенству det02(e) ф 0, то система (0.16) имеет ненулевое решение.

В §2 главы 2 доказаны теоремы об отсутствии решения и о наличии, по крайней мере, одного ненулевого решения системы

Fd{Q + o{\Z\d) = 0, (0.17) в которой Fd{£) -вектор-форма порядка d по Построен алгоритм, в результате которого будут найдены решения системы (0.17) или алгоритм будет бесконечным.

В главе 3 исследуются математические модели, описываемые неоднородной системой дифференциальных уравнений с малым отклонением (0.3). С помощью тех же методов, что в главе 1 и алгоритма главы 2 изучено влияние нелинейных членов на нахождение квазипериодических режимов в математических моделях, описываемых системой (0.1).

В §2 главы 3 рассмотрен случай, когда нелинейная часть, полученной в §1 главы 3 недифференциальной системы есть конечная сумма вектор-форм порядка не менее двух. Найдено необходимое и ряд достаточных условий, при которых нелинейная система в этом случае имеет ненулевые решения.

В диссертации приведены численные примеры, численные расчеты, рассмотрены прикладные задачи: математическая модель гонки вооружений [88], модель иммунной реакции [65], модель взаимодействия собственных предприятий с генеральной компанией [61], составлена программа для определения номера, начиная с которого линейный оператор, рассматриваемый в работе, оказывается неособенным.

Необходимые сведения по теории дифференциальных уравнений взяты из [7,49,86], по функциональному анализу - из [29,33,37,74], по линейной алгебре - из [20-21,34-35], по тригонометрическим рядам - из [73].

На защиту выносятся следующие положения:

1. Построение спектра рассматриваемых тригонометрических рядов. Сведение отыскания квазипериодических режимов в математических моделях с малым отклонением к исследованию разрешимости недифференциальной системы уравнений с алгебраической главной частью.

2. Необходимые и достаточные условия, при которых нелинейная система уравнений с алгебраической главной частью имеет ненулевые решения.

3.Влияние членов, не содержащих фазовых переменных, на нахождение квазипериодических режимов в математических моделях, описываемых системой дифференциальных уравнений с малым отклонением. Ненулевые решения недифференциальной системы уравнений, нелинейная часть которой - конечная сумма вектор-форм порядка не менее двух.

Апробация диссертации. Основные результаты докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном педагогическом университете, на третьей Всероссийской молодежной школе - конференции «Лобачевские чтения - 2003» в г. Казань, на международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и механики» в г. Казань, на VI и X Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании" в Рязанской государственной радиотехнической академии, на семинаре Средневолжского математического общества, научный руководитель, профессор Е.В. Воскресенский (г. Саранск, 2005г.).

Основные результаты исследований опубликованы в работах [105-118].

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Чихачева, Ольга Александровна

Заключение

В работе рассматривались математические модели, описываемые следующими системами:

1) линейной системой дифференциальных уравнений с малым отклонением вида

7ВД + Ax(t - f(s)) + Bx(t) + Cx(t - f(s)) = 0, (0.1) где x(t)eRn, T,B-(nxri)-матрицы, А,С-(nxq)- матрицы, f(e)-многочлен степени d no s, е- малый вектор-параметр, - yw)=С*1 - C^ - - ш>

2) частным случаем системы (0.1), когда отклонение линейно

Щ) + Ax(t - (фе)) + Bx(t) + Cx(t - (фе)) = 0, (0.2) где, —С^. = С^—С^ 1 • «■)).С^—С^т!».С^—».С—»«)))» еЯ9.

3) нелинейной системой дифференциальных уравнений

7ВД + A(A)x(t - f(e)) + Bx(t) + C(A)x(t - f(e)) + (p(t,p) = 0, (0.3) где x(t),x(t-f(s)),f(c),T,B-те же,<p(t,ju)-квазипериодическая no t вектор-функция, (p(t,n) eM(W),A,ju- малые параметры, eeRqi ,Ле Rqi, jueRK.

Квазипериодический режим в моделях отыскивался в виде тригонометрического многочлена.

Исследование проблемы нахождения квазипериодических режимов в математических моделях (0.1), (0.2), (0.3) сведено к поиску условий, при которых нелинейная недифференциальная система имеет ненулевые решения, в частности, к исследованию проблемы нахождения ненулевых решений систем + + = в которых

- вектор-формы порядка d и d по и £ ■> соответственно, ф(/у) - вектор-функция по /л. Были изучены частные случаи этих систем. Рассмотрены примеры и прикладные задачи.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чихачева, Ольга Александровна, 2005 год

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П. Уравнения с запаздывающим аргументом // Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18. № 12. С. 2027-2050.

2. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991.280 с.

3. Бекларян Л. А. Введение в качественную теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и их приложения. М.: Б.и., 1996. 141с.

4. Бекларян Л. А. К теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Украинский математический журнал. 1994. т. 49. №6. С. 193-194.

5. Бекларян Л. А., Шмульян М. Г. О полноте решений дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом мажорируемых экспоненциальными функциями // Докл. РАН. 1995. т.341. №6. С. 21-27.

6. Бибиков Ю. Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высш. шк., 1991. 303 с.

7. Блинов И. Н. Об одном итерационном процессе Ньютона // Изв. АН СССР. Сер. Мат. 1969. Т. 33. С. 3-14.

8. П.Борисович Ю.Г. О методе Пуанкаре-Андронова в задаче о периодических решениях дифференциальных уравнений с запаздыванием // ДАН СССР. 1963. №152. С. 779-782.

9. Борисович Ю.Г., Субботин В.Ф. Теоремы существования периодических полуположительных решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Труды семинара по функциональному анализу. Воронежский ун-т. 1967. №9. С. 111-115.

10. Валеев К. Г. Исследование устойчивости решений линейного дифференциального уравнения с периодическими коэффициентами и стационарными запаздываниями аргумента методом Хилла // ПММ. 1962. т. 26. №4. С. 755-761.

11. Валеев К. Г. Об устойчивости решений линейного дифференциального уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами и запаздыванием аргумента // Изв. АН (мех. и машиностр.). 1963. № 3. С. 161-162.

12. Валеев К. Г. К теории преобразования Лапласа // ИВУЗ (радио -физ.). 1965. №8. С. 424-426.

13. Векуа Н. П. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений и приложения в механике. М.: Наука, 1991. 255с.

14. Воскресенский Е.В. Асимптотические методы: теория и приложения. Саранск: СВМО, 2001. 300с.

15. Воскресенский Е.В. Асимптотическое равновесие, периодические решения и прямой метод Ляпунова // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35. №6. С. 729-732.

16. Воскресенский Е.В. О периодических решениях возмущенных дифференциальных уравнений // ИВУЗ (математика). 1991. №1(344). С. 11-14.

17. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: ГИТТЛ, 1953. 492с.

18. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М., 1971.

19. Гребенщиков Б.Г., Рожков В.И. Об асимптотических свойствах решения одной квазилинейной системы с запаздыванием // Дифференциальные уравнения. 1996. т. 32. № 9. С. 1286-1288.

20. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М. Наука, 1967. 472с.

21. Долгий Ю.Ф., Колупаева О.С. Бифуркация Хопфа для дифференциальных уравнений с малым запаздыванием // Вестник ПГТУ. Функционально-дифференциальные уравнения. Пермь: Перм. госуд. тех. ун-т, 1997. №4. С. 84-90.

22. Зверкин A.M. К теории линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и периодическими коэффициентами // ДАН СССР. 1959. Т. 128, № 5. С. 882-885.

23. Клейменов А.Ф., Шиманов С. Н. К вопросу о существовании и построении периодических решений систем с запаздыванием, близких к системам Ляпунова // Дифференциальные уравнения. 1968. т. 4. № 7. С. 1199-1211.

24. Колемаев В. А. Математическая экономика. М.:ЮНИТИ. 1988. 240с.

25. Колесов Ю.С., Швитра Д.И. Автоколебания в системах с запаздыванием. Вильнюс: Мокслас, 1979. 146 с.

26. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., 1982.

27. Красносельский М.А. Альтернативный принцип существования периодических решений у дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // ДАН. 1963. т. 152. № 4. С. 801-804.

28. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Наука. 1962. 457 с.

29. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1959. 256 с.

30. Крейн С.Г. и др. Функциональный анализ. М., 1972.

31. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: ГИФМЛ. 1963. 432 с.

32. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Мир, 1978.

33. Левитан Б. М. Почти периодические функции. М.: Гостехиздат, 1963. 396с.

34. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 510 с.

35. Малышев Ю.В. Символический метод решения линейных дифференциально-разностных уравнений (с запаздывающим аргументом и нейтрального типа) // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения, 2001. № 5. С. 96-104.

36. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. М.: Мир, 1983. 400 с.

37. Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии. Вычислительные методы и эксперименты. М.: Наука, 1991. 304 с.

38. Митропольский Ю. А., Коломиец В. Г. Некоторые вопросы теории нелинейных колебаний квазилинейных систем со случайным запаздыванием//Математическая физика. 1967. вып. 3. С. 91-113.

39. Митропольский Ю. А., Мартынюк Д. И. Периодические и квазипериодические колебания систем с запаздыванием. Киев. Вища школа, 1979. 247с.

40. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. M.-JL: Гостехиздат, 1951.

41. Мышкис А.Д., Эльсгольц Л.Э. Состояние и проблемы теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Успехи математических наук. 1967. т. 22. в. 2 (134). С. 21-59.

42. Норкин С. Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1965. 354с.

43. Норкин С.Б. О периодических решениях линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. Математический сборник. 1958. в. 45 (87). № 1. С. 71-104.

44. Норкин С. Б. О периодических движениях одного класса колебательных систем с запаздыванием // Труды межд. симп. по нелинейным колебаниям, изд. АН УССР. 1963. №2. С. 315-321.

45. Обросова Н. К. Бифуркация Андронова Хопфа для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Вестник Российского ун-та дружбы народов. Серия математическая. 2001. №8. С. 66-102.

46. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1965. 332 с.

47. Пронькин В. С. О существовании квазипериодического решения нелинейного дифференциального уравнения // Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28. № 8. С. 1339-1346.

48. Пронькин В. С. Применение метода Ньютона к одной задаче с малыми знаменателями // Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18. №7. С. 979-986.

49. Рожков В.И. Асимптотическое разложение по степеням запаздывания периодического решения уравнения нейтрального типа с малым запаздыванием // Дифференциальные уравнения. 1968. Т. 4. № 7. С. 1250-1257.

50. Рожков В.И. О периодических решениях автономных систем уравнений нейтрального типа с малым запаздыванием // Дифференц. Уравнения. 1971. Т. 7. № 3. С. 446-452.

51. Рожков В.И. Оценка фундаментального решения линейной системы с малым параметром при производной и с малым запаздыванием // Дифференциальные уравнения. 1992. т. 28. № 2. С. 358-360.

52. Романовский Ю.М. Математическое моделирование в биофизике. М.: Наука, 1975. 343с.

53. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. М.: Наука, 1984. 304 с.

54. Рубаник В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. М.: Наука, 1969. 287 с.

55. Рубаник В.П. О параметрическом возбуждении колебаний, обусловленном периодическим изменением запаздывания // Известия АН. Механика и машиностроение. 1963. № 6. С. 141-142.

56. Рубаник В.П. Резонансные явления в квазилинейных колебательных системах с запаздывающим аргументом // Известия вузов. Математика. 1962. № 5. С. 75-86.

57. Рубаник В.П., Фодчук В.И. О существовании и свойствах ограниченного решения системы квазилинейных дифференциально-разностных уравнений // УМЖ. 1962. т. 14. №1. С. 87-92.

58. Рудашевский В. Д., Фурщик М. А. Оптимальная стратегия развития франчайзинговой системы // Экономика и математические методы. 1998. Т. 34. вып. 2. С. 89-104.

59. Рябов Ю.А. Метод малого параметра в теории периодических решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Тр. сем. по теории дифференц. уравнений с отклоняющимся аргументом Ун-та дружбы народов им. П. Лумумбы. 1962. № 1. С.103-113.

60. Рябов Ю.А. Применение метода малого параметра для построения решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // ДАН СССР. 1960. Т. 133, № 2. С. 288-292.

61. Свирежев Ю. М., Логофет Д. О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука, 1978. 352с.

62. Свирежев Ю. М., Пасеков В. П. Основы математической генетики. М.: Наука, 1982. 511с.

63. Смит Дж.М. Модели в экологии.М.: Мир, 1976. 184 с.

64. Стрыгин В.В. О периодических решениях системы дифференциальных уравнений с «малыми» уклонениями. Труды семинара по функциональному анализу. Воронежский ун-т. 1967. №9. С. 167-169.

65. Терехин М. Т. Бифуркация почти периодического решения системы дифференциальных уравнений. Межвуз. сб.: Дифференциальные и интегральные уравнения. Методы топологической динамики. Н. Новгород. 1990. С. 64-68.

66. Терехин М. Т. Почти периодические решения линейных систем дифференциальных уравнений // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения, 2000. №3. С. 121-126.

67. Терехин М.Т. О решениях дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Дифференциальные уравнения. 1983. т. 19. №4. С. 597-603.

68. Терехин М.Т., Насыхова Л.Г. Существование бифуркационного значения параметра системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Украинский математический журнал. 1997. т. 49. №6. С. 799-805.

69. Толстов Г.П. Ряды Фурье. М.: Наука. 1980.

70. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Высшая школа, 1980.

71. Фещенко С. Ф., Шкиль Н. И. и др. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Киев. 1981. 432с.

72. Фодчук В.И. О построении асимптотических решений для нестационарных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и с малым параметром // Украинский математический журнал. 1962. Т. 14. №4. С. 435-440.

73. Фодчук В.И. К вопросу обоснования принципа усреднения для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Konferenz uber nictlineare Schwingungen, Akademi Verlag. Berlin. 1965. C. 45-50.

74. Фодчук В.И. О существовании и свойствах интегрального многообразия одной системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // УМЖ. 1962. т. 14. № 2. С. 227-231.

75. Фодчук В.И. О существовании и свойствах интегрального многообразия для одного класса систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Труды семинара по матем. физике и нелинейным колебаниям. Киев, 1963. т. 1. № 1. С. 111-134.

76. Халанай А. Автономные системы с запаздывающим аргументом и с малым параметром // Rev. Math. pur. appl. Ac. RPR. 1962. т. 7. № 1. С. 81-89.

77. Халанай А. Метод усреднения для систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Rev. Math. pur. appl. Ac. RPR. 1959. т. 4. № 3. C. 467-483.

78. Халанай А. Некоторые вопросы качественной теории систем с запаздыванием. Труды международного симпозиума по нелинейным колебаниям. Изд. АН УССР, Киев. 1961. № 2. С. 394-408.

79. Халанай А. О некоторых свойствах периодических и почти-периодических систем с запаздыванием // Rev. Roumaine Math, pures et appl. 1964. т. 9. № 7. C. 667-675.

80. Халанай А. Периодические и почти-периодические решения некоторых сингулярно возмущенных систем с запаздыванием // Rev. Math. pur. appl. Ac. RPR. 1963. т. 8. № 2. С. 285-292.

81. Халанай А. Системы канонического типа с отклоняющимся аргументом и с периодическими коэффициентами // Rev. Math. pur. appl. Ac. RPR. 1963. т. 8. № 4. С. 569-573.

82. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. 720 с.

83. Хейл Дж. К. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984.

84. Шикин Е.В., Чхартишвили Математические методы и модели в управлении. М.: Дело. 2002. 432с.

85. Шиманов С.Н. К теории колебаний квазилинейных систем с запаздыванием // ПММ. 1959. т. 23. № 5. С. 836-844.

86. Шиманов С.Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и запаздыванием времени // ПММ. 1963. т. 27. №3. С. 450-458.

87. Шиманов С.Н. Колебания квазилинейных автономных систем с запаздыванием // Изв. вузов. Радиофизика. 1960. т. 3. № 3. С. 456-466.

88. Шиманов С.Н. О почти-периодических колебаниях квазилинейных систем с запаздыванием времени в случае вырождения // ДАН СССР. 1960. т. 133. № i.e. 36-39.

89. Шиманов С.Н. Об одном способе получения условий существования периодических решений нелинейных систем // Прикладная математика и механика. 1955. т. 19. № 2. С. 225-228.

90. Эльсгольц Л.Э. Некоторые резонансные явления в системах с отклоняющимся аргументом. Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. 1963. т. 2. С. 223-224.

91. Эльсгольц Л.Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971.296 с.

92. Brauer F. Some applications of the theory of ordinary differential equations to population growth problems // Ann. Acad. Brasil. Cienc. 1976. v. 48. № 3. P. 369-385.

93. Goel N.S., Maitra R.S., Montroll R.S. Nonlinear models of interacting populations. New York: Acad. Press, 1971.

94. Grossman L., Berke G. Tumor escape from immune elimination // J. theor. Biol. v. 83. № 2. P. 267-296.

95. Hadeler K.P. Delay equations in biology. In: Lect. Notes Math.: Springer. 1979. v. 730. P. 136-159.

96. Halanay A. Solutions periodiques des systemes lineaires a argument retarde. Paris: C. R. Acad. Sci. 1959. № 249. P. 2708-2709.

97. Hutchinson G.E. Circular causual systems in ecology // Ann. N. Y. Acad. Sci. 1948. v. 50. P. 221-246.

98. Kesh Dipak, Mikherjee Debasis, Sarkar A.K., Roy A.B. Ratio dependent predation. A bifurcation analysis // J. Korean Comput. and Appl. Math. 1998. v. 5. № 2. P. 295-305.

99. MacDonald N. Time lags in biological models. In: Lect. Notes Biomath.: Springer, 1978. 112 p.

100. Marchuk G.I. Mathematical models in immunology and their interpretation. In: Lect. Notes Contr. and Inform. Sci., 1979. v. 18. P. 114129.

101. Чихачева О.А. Квазипериодические режимы в математических моделях с малым отклонением // Саранск: Средневолжское матем. общество, 2005, препринт №83- 24с.

102. Чихачева О.А. Квазипериодические решения системы ^ дифференциальных уравнений с малым отклонением // Известия

103. РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2004. №8. С. 113-121.

104. Чихачева О.А. Ненулевые решения нелинейной системы уравнений // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2004. №8. С. 122-124.

105. Чихачева О.А. О квазипериодических решениях линейных систем дифференциальных уравнений // Научный журнал. Аспирантский вестник РГПУ им. С.А. Есенина. 2003. №3. С. 106-111.

106. Чихачева О.А. О проблеме существования квазипериодическихрешений систем дифференциальных уравнений с малым отклонением // Межвузовский сборник научных трудов. Информатика и прикладная математика. Рязань. 2004. С. 92-95.

107. Чихачева О.А. Приложение дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом к исследованию динамики иммунной реакции // Известия ТулГУ. Серия «Дифференциальные уравнения и прикладные задачи». Выпуск 1. Тула. 2004. С.198-201.

108. Чихачева О.А. Условия существования ненулевых решений нелинейной системы уравнений порядка d // Межвузовский сборник научных трудов. Информатика и прикладная математика. Рязань. 2004. С. 96-97.