Исследование некоторых нелинейных математических моделей с дискретной симметрией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Рябов, Денис Сергеевич

• Рябов, Денис Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Рябов, Денис Сергеевич

Введение

Глава 1. Нелинейные нормальные моды и их устойчивость в цепочках с трансляционной симметрией.

1.1 Модель Ферми-Пасты-Улама.

1.2 Понятие о бушах мод.

1.3 Понятие о нелинейных нормальных модах (НИМ).

1.4 Вывод симметрийно-обусловленных НИМ в модели Ферми-Пасты-Улама

1.5 Понятие об устойчивости бушей мод.

1.6 Устойчивость НИМ в модели Ферми-Пасты-Улама

1.7 Диаграммы устойчивости НИМ в цепочке FPU-a.

1.8 Диаграммы устойчивости НИМ в цепочке FPU-/?.

1.9 Устойчивость НИМ в термодинамическом пределе N —> оо

1.10 Выводы

Глава 2. Дискретные бризеры в модели Бутта-Ваттиса

2.1 Понятие о дискретных бризерах.

2.2 Симметрийная классификация дискретных бризеров

2.3 Модель плоской квадратной решетки Бутта-Ваттиса

2.4 Метод численного построения дискретных бризеров

2.5 Результаты компьютерного моделирования.

2.6 Выводы.

Глава 3. Странные аттракторы в трехмерных диссипативных системах с точечной кристаллографической симметрией.

3.1 Постановка задачи.

3.2 Динамические системы, инвариантные относительно групп точечной симметрии.

3.3 Странные аттракторы в трехмерных динамических системах с квадратичными нелинейностями.

3.4 Некоторые общие свойства хаотических аттракторов

3.5 Регулярные и хаотические аттракторы в ^-системе.

3.6 Некоторые симметрийные аспекты динамики ¿^-системы

3.7 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование некоторых нелинейных математических моделей с дискретной симметрией»

Актуальность темы работы

Нелинейная динамика играет исключительно важную роль в современном естествознании и является одной из бурно развивающихся областей науки, изучающей такие объекты и явления, как солитоны, бризеры, динамический хаос, различные виды самоорганизации материи и т. д. В настоящее время трудно указать те области естествознания, где не используются идеи и методы нелинейной динамики. Существенно, что задачи нелинейной динамики лишь в очень редких случаях имеют точные аналитические решения, в силу чего при их исследовании приходится прибегать к компьютерному эксперименту.

При изучении различных явлений природы решающее значение имеет построение адекватных математических моделей с последующим их исследованием с помощью точных и приближенных методов современной математики. С середины прошлого века началось бурное развитие вычислительной физики как некоторого самостоятельного направления, в основе которого лежит идея проведения компьютерных экспериментов при исследовании математических моделей естествознания. Особо следует подчеркнуть тот факт, что такие эксперименты позволяют не только количественно описывать изучаемые явления, но в ряде случаев приводят к открытию принципиально новых режимов поведения системы, т. е. могут играть ярко выраженную эвристическую роль.

Особую роль играют простейшие «классические» модели, которые включают в себя лишь основные свойства рассматриваемой системы, но при этом позволяют получать новые результаты, дающие толчок к дальнейшему развитию науки. Одной из таких моделей, сыгравшей существенную роль в становлении современной нелинейной науки, является предложенная Э. Ферми в 50-х годах прошлого века простейшая нелинейная модель [1], представляющая собой аналог одномерного кристалла, в которой учитывается взаимодействие только между соседними частицами. Эта модель, получившая название цепочки Ферми-Пасты-Улама (FPU), численно изучалась на первом мощном компьютере MANIAC-1 в Лос-Аламосской национальной лаборатории (США) и привела к открытию целого ряда важных особенностей поведения нелинейных систем и обнаружению новых динамических объектов. Упомянем в связи с этим открытие так называемых явлений «возврата» [ 1,2] и «индукции» [3—5], введение понятия о солитонах в работе Нормана Забуски и Мартина Крускала [6], обнаружение ряда особенностей возникновения хаотической динамики [7], открытие полностью интегрируемой цепочки Тоды [8,9]. Именно с этой модели фактически и началось развитие современной вычислительной физики и практики проведения компьютерных экспериментов. Интерес к цепочкам FPU не угас до настоящего времени: в последние годы появилось большое число работ, связанных как с исследованием процессов установления теплового равновесия в таких цепочках [ 10], их теплоемкости [ 11 — 13] и теплопроводности [14—18], так и с обнаружением в них ряда новых динамических объектов (локализованные моды [19—21], хаотические бризеры [22], ç-бризеры [23,24] и т. д.) и некоторых точных аналитических решений [25—29]. Обзор последних достижений в области исследования модели FPU можно найти в специальном выпуске известного журнала Chaos [30], посвященного 50-летию со дня публикации работы Ферми, Пасты и Улама.

В последнее время получили развитие различные обобщения одномерной модели FPU на двумерные и трехмерные динамические системы с дискретной симметрией. В качестве одного из таких обобщений можно отметить двумерную модель Бутта-Ваттиса [31], которая находит применение при решении ряда задач твердотельной электроники [32,33]. В этой модели, в частности, исследуются дискретные бризеры (локализованные в пространстве и периодические во времени колебания).

Еще одним примером классических моделей нелинейной динамики является известная система Лоренца [34], в которой впервые было обнаружено явление динамического хаоса и которая, также как и модель FPU, оказала огромное влияние на последующее развитие науки. Эта динамическая модель используется, в частности, при исследовании конвекции в слое жидкости [34], работы одномодового лазера [35,36], конвекции в кольцевой трубке [37], в модели диссипативного осциллятора с инерционной нелинейностью [38] и в некоторых задачах метеорологии.

Интерес к исследованию указанных моделей обусловлен тем, что все они, с одной стороны, являются достаточно простыми для проведения вычислительных экспериментов, а с другой стороны, качественно описывают динамику многих реальных систем. Именно поэтому эти модели до сих пор остаются актуальными, о чем свидетельствует огромное количество появляющихся в последнее время публикаций, связанных с их исследованием (см., например,[39—45]).

Предметом исследования в настоящей диссертации являются различные нелинейные системы с дискретной симметрией, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями. К этому классу систем относятся все упомянутые выше модели.

Наличие дискретной симметрии у нелинейных динамических систем позволяет применять для их исследования специфические теоретико-групповые методы, которые начали интенсивно разрабатываться около 20 лет назад в работах В. П. Сахненко и Г. М. Чечина [26,46—52], где было введено фундаментальное понятие о бушах (кустах) нелинейных нормальных мод. Буши мод представляют собой точные динамические режимы в нелинейных системах с дискретной симметрией. В случае гамильтоновой системы энергия, локализованная в данном буше мод, не передается другим модам, и соответствующее возбуждение существует в системе бесконечно долго. В динамическом смысле буш мод представляет собой систему, размерность которой может быть существенно меньше размерности исходной динамической системы (например, часто встречаются одномерные, двумерные, трехмерные, четырехмерные и т.д. буши мод). Одномерные буши мод являются не чем иным, как нелинейными нормальными модами (ННМ), введенными в 60-х годах прошлого века Р. М. Розенбергом [53,54].

В литературе были исследованы некоторые из возможных ННМ в цепочках Ферми-Пасты-Улама а- и (3-типов [25,26,55—62]. Однако систематического перечисления и исследования всех возможных симметрийно-обусловленных ННМ в нелинейных цепочках проведено не было.

Как показывает вычислительный эксперимент, буши мод (ив том числе симметрийно-обусловленные ННМ) являются устойчивыми не при любых амплитудах колебаний. При достижении некоторой критической амплитуды ННМ может потерять устойчивость в линейном приближении — при любом сколь угодно малом отклонении от точного инвариантного многообразия решение будет экспоненциально удалятся от него. Отметим, что исследованию устойчивости в нелинейных цепочках только одной из возможных ННМ — так называемой пи-моды — посвящено весьма большое число работ разных авторов [55—60]. В связи с вышесказанным весьма актуальным является вопрос о выделении всех возможных симметрийно-обусловленных ННМ в нелинейных цепочках и определении областей их устойчивости.

Другим интересным и перспективным объектом исследования являются дискретные бризеры, обнаруженные в численных экспериментах в начале 90-х годов прошлого века. В настоящее время такие возбуждения обнаружены в самых разных физических объектах (массивах контактов Джозефсона, квазиодномерных кристаллах, оптических волноводах, фотонных кристаллах, Бозе-Эйнштейновских конденсатах в оптических ловушках, цепочках микромеханических осцилляторов и др. [41]). Дискретные бризеры в основном исследовались в нелинейных одномерных цепочках, где уже сложилась определенная их классификация («четная» мода Сиверса-Такены [19] и «нечетная» мода Пейджа [21]), которая вытекает из симметрии соответствующего профиля колебаний. Однако, целенаправленного поиска дискретных бризеров различной симметрии в более сложных объектах (например, в плоских решетках) до сих пор не проводилось.

Большинство известных приложений теории бушей мод связано с гамильтоновыми системами, в то время как широкий класс нелинейных систем с дискретной симметрией включает также и диссипативные системы. Одной из особенностей таких систем является возможность существования в них хаотического поведения, в частности, наличия странных аттракторов. Примером являются классические системы Лоренца и Ресслера, обладающими точечными группами симметрии С2 и С\ соответственно (здесь и далее используется нотация точечных групп симметрии по Шенфлису). При этом возникает естественный вопрос о возможности существования систем, принадлежащих к тому же классу (трехмерные диссипативные системы с квадратичными нелинейностями), но обладающих более высокой симметрией, а также о применении к ним идей теории нелинейных динамических систем с дискретной симметрией.

Цели работы

С помощью компьютерного моделирования, теоретико-групповых и аналитических методов выполнить следующие исследования:

1. Вывести все возможные симметрийно-обусловленные нелинейные нормальные моды (ННМ) в одномерных нелинейных цепочках и исследовать их устойчивость по отношению к величинам амплитуд колебаний в моделях Ферми-Пасты-Улама а- и /?-типов.

2. Провести поиск дискретных бризеров разной симметрии в плоской квадратной решетке Бутта-Ваттиса и исследовать устойчивость этих динамических объектов.

3. Найти все трехмерные диссипативные системы с квадратичными нели-нейностями и выделить те из них, которые допускают хаотическое поведение при определенных значениях своих параметров.

Научная новизна

В настоящей диссертационной работе впервые были получены следующие научные результаты:

1. Установлено, что в цепочках типа Ферми-Пасты-Улама с периодическими граничными условиями в случае потенциала межчастичного взаимодействия общего вида может существовать только 3 симмет-рийно-обусловленные ННМ, а в случае четного потенциала имеется 6 таких мод.

2. Предложен метод численного построения диаграмм, позволяющих определять как границы устойчивости ННМ в цепочках из произвольного числа частиц, так и выделять те совокупности мод, взаимодействие с которыми является причиной потери устойчивости рассматриваемой ННМ.

3. Проведен анализ устойчивости всех возможных симметрийно-обу-словленных ННМ в моделях Ферми-Пасты-Улама а- и ¡3-типов и построены соответствующие диаграммы устойчивости.

4. Предложена классификация дискретных бризеров в кристаллических решетках по точечным подгруппам групп симметрии этих решеток.

5. С помощью компьютерного моделирования рассчитаны различные по симметрии дискретные бризеры в квадратной решетке Бутта-Ваттиса и исследована их устойчивость.

6. Исследован класс трехмерных динамических систем, описываемых автономными дифференциальными уравнениями первого порядка с квадратичными нелинейностями, которые являются инвариантными относительно кристаллографических точечных групп. Установлено, что только 6 из 32-х возможных классов таких систем могут демонстрировать хаотическое поведение при некоторых значениях своих параметров. Этим системам отвечают точечные группы Сь С3, С3, б2 и 54.

7. Для всех указанных в предыдущем пункте классов систем возможность хаотического поведения была подтверждена численным моделированием.

Научная и практическая значимость

Полученные в работе результаты и разработанные методы представляют собой вклад в исследование ряда фундаментальных проблем нелинейной динамики систем с дискретной симметрией. Они могут быть использованы различными коллективами ученых, проводящих исследования в области нелинейной динамики. Об этом, в частности, свидетельствует тот факт, что на опубликованные автором результаты уже имеются ссылки из работ таких известных специалистов, как Н. Забуски [63,64], Р. Гилмор [65], А. Лихтенберг [66], С. Руффо [66,67], С. Флах [68] и др.

Предложенный в главе 1 метод построения диаграмм устойчивости и их анализа может использоваться для исследования ННМ в различных моделях одномерных и квазиодномерных кристаллов (цепочке Ферми-Пасты-Улама [1], Френкеля-Конторовой [69—71], разнообразных диатом-ных цепочках и др.).

Предложенная в главе 2 классификация дискретных бризеров по подгруппам группы симметрии соответствующей решетки может использоваться как при анализе экспериментальных данных, так и с целью предсказания возможных локализованных колебаний в кристаллических структурах.

Предложенные в главе 3 новые трехмерные диссипативные модели, демонстрирующие хаотическое поведение, могут использоваться для задач информационной безопасности, а двухпараметрическая система с симметрией £>2 является удобной моделью при обучении студентов основам теории динамического хаоса.

Методы исследования и достоверность научных результатов

В работе применяются теоретико-групповые, аналитические и численные методы исследования систем нелинейных дифференциальных уравнений. Достоверность результатов подтверждается согласием аналитических и численных расчетов, а также непротиворечивостью с известными в литературе данными.

Положения, выносимые на защиту

1. В математических моделях моноатомных цепочек с периодическими граничными условиями могут существовать только шесть или три нетривиальных симметрийно-обусловленных нелинейных нормальных мод (ННМ) Розенберга в зависимости от четности или произвольности потенциала межчастичного взаимодействия. Эти ННМ, явный вид которых приведен в тексте диссертации, являются точными пространственно-периодическими решениями для рассматриваемого класса математических моделей.

2. Предложенный в работе метод построения диаграмм устойчивости симметрийно-обусловленных ННМ в динамических системах с дискретной симметрией позволяет выявлять ряд качественных закономерностей картины их устойчивости, в частности, выделять те совокупности степеней свободы, взаимодействие с которыми является причиной потери устойчивости рассматриваемой ННМ.

3. Скейлинговые соотношения для цепочек Ферми-Пасты-Улама-/? (/? > 0) для критической удельной энергии ес(Ю, при которой происходит потеря устойчивости ННМ при числе частиц N—>00, имеют вид:

1/АГ2 (для 5 ННМ) и ес~ (для одной ННМ).

4. В результате анализа трехмерных диссипативных систем с квадратичными нелинейностями, являющихся инвариантными относительно кристаллографических точечных групп, показано, что только 6 из 32-х возможных систем демонстрируют хаотическое поведение при некоторых значениях своих параметров.

Основные результаты

1. Для моноатомных цепочек предложен метод декомпозиции системы уравнений, линеаризованных в окрестности нелинейной нормальной моды, на независимые подсистемы малой размерности, позволяющий, с одной стороны, существенным образом упростить анализ ее устойчивости, а с другой стороны — выделить те совокупности мод, взаимодействие с которыми является причиной потери устойчивости рассматриваемой нелинейной нормальной моды Розенберга.

2. На основе вышеуказанного метода декомпозиции рассчитаны диаграммы устойчивости для всех симметрийно-обусловленных нелинейных нормальных мод Розенберга (указанных выше в первом пункте положений, выносимых на защиту) в цепочках Ферми-Пасты-Улама а- и /?-типов.

3. Полученные диаграммы позволили выявить целый ряд качественных закономерностей потери устойчивости ННМ, в частности: были найдены скейлинговые соотношения для порога потери устойчивости ННМ относительно величины их амплитуд Ас при стремлении к бесконечности числа частиц N в цепочке; для ННМ В[а4,аг] в модели РРи-а и ННМ В[а6, аг, а3и] в модели РРИ-/? (Р < 0) обнаружены нулевые значения Ас при любом ./V; для трех ННМ в модели РР11-/? {¡3 > 0) установлено существование критического значения амплитуды (энергии), при превышении которого они вновь становятся устойчивыми.

4. С помощью асимптотических методов в термодинамическом пределе (АГ—>оо) проведено аналитическое исследование скейлинговых соотношений для порога устойчивости ННМ в цепочке Ферми-Пасты-Улама /?-типа. Полученные результаты хорошо согласуются с результатами компьютерного моделирования.

5. Предложено классифицировать дискретные бризеры, являющиеся периодическими во времени и локализованными в пространстве решениями динамических уравнений для нелинейных гамильтоновых решеток, по подгруппам группы инвариантности этих уравнений. В рамках такой классификации с помощью математического моделирования нами были найдены дискретные бризеры с группами симметрии С^, С4, С2, Сы, локализованные, соответственно, в точках (00), (0|), в плоской квадратной решетке Бутта-Ваттиса.

6. Показано, что среди всех трехмерных диссипативных систем уравнений с квадратичными нелинейностями, инвариантных относительно кристаллографических точечных групп, хаотические режимы колебаний могут существовать только в системах с группами симметрии С\, Cs, С2, С3, D2 и S4. С помощью компьютерного моделирования для них построены примеры хаотических аттракторов и проведена их классификация по подгруппам групп инвариантности этих систем.

7. Среди вышеуказанных трехмерных динамических систем особый интерес представляет система с симметрией которая в отличие от трехпараметрических моделей Лоренца и Ресслера является двух-параметрической. Для этой системы исследованы симметрийно-обу-словленные инвариантные многообразия, построены карта областей регулярного и хаотического движений, бифуркационные диаграммы, аттракторы разных типов.

Апробация работы и публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 19 работах [72—90]. Из них 2 статьи опубликованы в престижных международных журналах, специализирующихся в области нелинейной динамики, именно, в «Physical Review Е» [74] и «Physica D» [76], а одна — в отечественном журнале «Известия вузов. Прикладная Нелинейная Динамика» [75]. В соавторстве с В. П. Сахненко и Г. М. Чечиным автором написана отдельная глава «Bushes of normal modes as exact excitations in nonlinear dynamical systems with discrete symmetry» [77] (103 стр.) в коллективной монографии «Nonlinear Phenomena Research Perspectives» (NY: Nova Science Publishers, 2007), переизданная также в монографии «New Nonlinear Phenomena Research» (NY: Nova Science Publishers, 2008).

Результаты работы, докладывались на международных конференциях «Dynamical chaos in classical and quantum physics» (Новосибирск, 2003) [78], «Nonlinear dynamics» (Харьков, Украина, 2004) [79,80],

Chaos—2004» (Саратов, 2004) [81], «Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения» (Санкт-Петербург, 2006) [82], «Nonlinear dynamics of acoustic modes in finite lattices: localization, equipartition, transport» (Дрезден, Германия, 2006), «Chaos—2007» (Саратов, 2007) [83], «Nonlinear Science and Complexity» (Афины, Греция, 2008) [84], , «Multiferroics-2» (Ростов-на-Дону — JIoo, 2009) [85], а также на нескольких межвузовских студенческих конференциях [86—90]. В 2009 г. по теме диссертации автором были проведены два семинара в Институте Макса Планка Физики сложных систем (Дрезден, Германия).

Личный вклад автора

В совместных работах автор принимал непосредственное участие в постановке задач, проведении компьютерного моделирования и аналитических вычислений, анализе и интерпретации результатов исследований. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Содержание работы

В настоящей диссертации с позиций разработанного в работах [46—48] теоретико-группового подхода исследуются различные модели нелинейной динамики, инвариантные относительно преобразований дискретных групп симметрии.

Первая глава посвящена проблеме существования и устойчивости симметрийно-обусловленных нелинейных нормальных мод в цепочках Ферми-Пасты-Улама и, таким образом, представляет собой исследование некоторого конкретного типа регулярных движений в гамильтоновых системах с трансляционной симметрией.

Вторая глава посвящена исследованию классификации, существования и устойчивости локализованных колебаний (дискретных бризеров) различной симметрии в плоской квадратной решетке Бутта-Ваттиса.

Третья глава посвящена выводу и исследованию трехмерных диссипа-тивных систем с точечной симметрией, в поведении которых проявляется детерминированный хаос.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Рябов, Денис Сергеевич

3.7 Выводы

1. Предложена и исследована серия трехмерных диссипативных систем с квадратичными нелинейностями, являющихся инвариантными относительно кристаллографических точечных групп. Установлено, что только 6 из 32-х возможных систем — им отвечают точечные группы Сь С5, С2, С3, Дг и 64 — могут демонстрировать хаотическое поведение при некоторых значениях своих параметров.

2. Для этих систем построены примеры хаотических аттракторов и проведена классификация этих аттракторов по подгруппам групп инвариантности динамических моделей. Эти системы могут выступать в роли математических моделей для широкого спектра нелинейных явлений в различных областях естествознания.

3. Среди вышеуказанных трехмерных математических моделей особый интерес представляет система £>2, которая в отличие от трехпарамет-рических систем Лоренца и Ресслера является двухпараметрической. Для этой системы исследованы симметрийно-обусловленные инвариантные многообразия, построены карта областей регулярного и хаотического движений, бифуркационные диаграммы, аттракторы разных типов.

Заключение

Перечислим основные результаты, полученные в данной работе:

1. Показано, что в математических моделях моноатомных цепочек с периодическими граничными условиями в общем случае могут существовать только шесть или три нетривиальных симметрийно-обу-словленных нелинейных нормальных мод (ННМ) Розенберга в зависимости от четности или произвольности потенциала межчастичного взаимодействия. Эти нелинейные нормальные моды, явный вид которых приведен в таблице 1.1, являются точными пространственно-периодическими решениями для рассматриваемого класса математических моделей.

2. Для моноатомных цепочек предложен метод декомпозиции системы уравнений, линеаризованных в окрестности ННМ, на независимые подсистемы малой размерности, позволяющий, с одной стороны, существенным образом упростить анализ ее устойчивости, а с другой стороны — выделить те совокупности мод, взаимодействие с которыми является причиной потери устойчивости рассматриваемой ННМ.

3. На основе метода декомпозиции предложен метод построения диаграмм устойчивости симметрийно-обусловленных ННМ в динамических системах с дискретной симметрией. Этот метод был реализован в виде компьютерной программы, при помощи которой были рассчитаны диаграммы устойчивости для всех симметрийно-обусловленных ННМ в цепочках Ферми-Пасты-Улама а- и /?-типов. Полученные диаграммы позволили выявить целый ряд качественных закономерностей потери устойчивости ННМ в моделях FPU, в частности: были найдены скейлинговые соотношения для порога потери устойчивости ННМ относительно величины их амплитуд Ас при стремлении к бесконечности числа частиц в цепочке N; для ННМ В [а4, аг] в модели FPU-а и ННМ В [aQ,ai,a?u] в модели FPU-/? (/? < 0) обнаружены нулевые значения Ас при любом ДГ; для трех ННМ в модели FPU-/? (/? > 0) установлено существование критического значения амплитуды (энергии), при превышении которого они вновь становятся устойчивыми.

Предложенный метод построения диаграмм устойчивости и их анализа может использоваться для исследования ННМ в различных моделях одномерных и квазиодномерных кристаллов (цепочке Ферми-Пасты-Улама [1], Френкеля-Конторовой [69—71], разнообразных диатомных цепочках и др.).

4. С помощью асимптотических методов в термодинамическом пределе (N —» оо) проведено аналитическое (при помощи созданной в среде MAPLE программы) исследование скейлинговых соотношений для порога устойчивости ННМ в цепочке Ферми-Пасты-Улама /?-типа. Полученные аналитически результаты хорошо согласуются с результатами компьютерного моделирования. Для цепочек Ферми-Пасты-Улама-/? (/?>0) скейлинговые соотношения для критической плотности энергии Ec/N, при которой происходит потеря устойчивости ННМ при числе частиц N—+ оо, имеют вид: Ec/N~ 1 /N2 (для 5 ННМ) и Ec/N ~ 1/N (для одной ННМ).

5. Предложено классифицировать дискретные бризеры, являющиеся периодическими во времени и локализованными в пространстве решениями динамических уравнений для нелинейныхтамильтоновых решеток, по подгруппам группы инвариантности этих уравнений. В рамках такой классификации с помощью математического моделирования нами были найдены дискретные бризеры с группами симметрии С^, Са, С2, С2(1, локализованные, соответственно, в точках (00), (\\), (0^), в плоской квадратной решетке Бутта-Ваттиса и исследована их устойчивость.

Предложенная классификация дискретных бризеров по подгруппам группы симметрии соответствующей решетки может использоваться как при анализе экспериментальных данных, так и с целью предсказания возможных локализованных колебаний в кристаллических структурах.

6. Предложена серия трехмерных диссипативных систем с квадратичными нелинейностями, являющихся инвариантными относительно кристаллографических точечных групп. Показано, что только 6 из 32-х возможных систем (инвариантных относительно групп симметрии Сь С3, С2, Сз, £>2, ¿ч) могут демонстрировать хаотическое поведение при некоторых значениях своих параметров. Эти системы могут выступать в роли математических моделей для широкого спектра нелинейных явлений в различных областях естествознания. Во всех полученных системах хаотическое поведение было численно обнаружено (при некоторых значения параметров этих систем). С помощью компьютерного моделирования для этих систем построены примеры хаотических аттракторов и проведена их классификация по подгруппам групп инвариантности динамических моделей.

7. Среди вышеуказанных трехмерных математических моделей особый интерес представляет система И2, которая в отличие от трехпарамет-рических систем Лоренца и Ресслера является двухпараметриче-ской. Для этой системы исследованы симметрийно-обусловленные инвариантные многообразия, построены карта областей регулярного и хаотического движений, бифуркационные диаграммы, аттракторы разных типов.

8. Предложенные новые трехмерные диссипативные модели, демонстрирующие хаотическое поведение, могут использоваться для задач информационной безопасности, а двухпараметрическая система с симметрией Дз является удобной моделью при обучении студентов основам теории динамического хаоса.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Рябов, Денис Сергеевич, 2009 год

1. Fermi Е., Pasta J. R., Ulam S. Studies of Nonlinear Problems // Los Alamos Scientific Laboratory Report LA-1940. 1955. (Перевод: Э. Ферми. Научные труды / Под ред. Б. Понтекорво. М.: Наука, 1972. Т. 2. С. 645-656).

2. TuckJ.L., Menzel М.Т. The Superperiod of the Nonlinear Weighted String (FPU) Problem // Advances in Mathematics. 1972. V. 9. P. 339-407.

3. Hirooka H., Saito N. Computer Studies on the Approach to Thermal Equilibrium in Coupled Anharmonic Oscillators. I. Two Dimensional Case//Journal of the Physical Society of Japan. 1969. V. 26. P. 624-630.

4. Ooyama N., Hirooka H., Saito N. Computer Studies on the Approach to Thermal Equilibrium in Coupled Anharmonic Oscillators. II. .One Dimensional Case // Journal of the Physical Society of Japan. 1969. V. 26. P. 815-824.

5. Saito N., Ooyama N., Aizava Y., Hirooka H. Computer Experiments on Ergodic Problems in Anharmonic Lattice Vibrations // Supplement of the Progress of Theoretical Physics. 1970. V. 45. P. 209-230.

6. Zabusky N. J., Kruskal M. D. Interaction of "Solitons" in a Collisionless Plasma and the Recurrence of Initial States // Physical Review Letters. 1965. V. 15. P. 240-243.

7. Израилев Ф. M., Чириков Б. В. Статистические свойства нелинейной струны // Доклады Академии Наук СССР. 1966. Т. 166, № 1.1. С. 57-59.

8. Toda М. Vibration of a Chain with Nonlinear Interaction // Journal of the Physical Society of Japan. 1967. V. 22. P. 431-436.

9. Тода M. Теория нелинейных решеток. M.: Мир, 1984. 264 с.

10. Benettin G., Livi R., Ponrio A. The Fermi-Pasta-Ulam Problem: Scaling Laws vs. Initial Conditions // Journal of Statistical Physics. 2009. V. 135, № 5-6. P. 873-893.

11. Livi R., Pettini M., Ruffo S., Vulpiani A. Chaotic behavior in nonlinear Hamiltonian systems and equilibrium statistical mechanics // Journal of Statistical Physics. 1987. V. 48, № 3-4. P. 539-559.

12. Perronace A., Tenenbaum A. Classical specific heat of an atomic lattice at low temperature, revisited // Physical Review E. 1998. V. 57. P. 100; Erratum // ibid. 1998. V. 57. P. 6215.

13. Carati A., Galgani L. On the specific heat of the Fermi—Pasta—Ulam systems and their glassy behavior// Journal of Statistical Physics. 1999. V. 94, № 5-6. P. 859-869.

14. Nishiguchi N., Sakuma T. Temperature-dependent thermal conductivity in low-dimensional lattices // Journal of Physics: Condensed Matter. 1990. V. 2. № 37. P. 7575-7584.

15. Lepri S., Livi R., Politi A. Heat Conduction in Chains of Nonlinear Oscillators//Physical Review Letters. 1997. V. 78, № 10. P. 1896-1899.

16. Lepri S., Livi R., Politi A. On the anomalous thermal conductivity of one-dimensional lattices // Europhysics Letters. 1998. V. 43, № 3. P. 271-276.

17. Prosea Т., Campbell D.K. Momentum conservation implies anomalous energy transport in 1D classical lattices // Physical Review Letters. 2000. V. 84. P. 2857-2860.

18. Lepri S., Livi R., Politi A. Thermal conduction in classical low-dimensional lattices I I Physics Reports. 2003. V. 377. P. 1.

19. Sievers A. J., Takeno S. Intrinsic localized modes in anharmonic crystals // Physical Review Letters. 1988. V. 61. P. 907.

20. КосевичА.М., Ковалев А. С. Введение в нелинейную физическую механику. Киев: Наук, думка, 1989. 304 с.

21. Page J. В. Asymptotic solutions for localized vibrational modes in strongly anharmonic periodic systems // Physical Review B. 1990. V. 41. P. 7835.

22. Cretegny Th., Dauxois Th., Ruffo 5., Torcini A. Localization and equipartition of energy in the /З-FPU chain: Chaotic breathers // Phys-icaD. 1998. V. 121. P. 109-126.

23. Flach S., Ivanchenko M. V., Kanakov O.I. ^-breathers and the Fermi-Pasta-Ulam problem // Physical Review Letters. 2005. V. 95. P. 064102.

24. Ivanchenko M. V., Kanakov O.I., Mishagin К G., Flach S. g-breathers in finite two- and three-dimensional nonlinear acoustic lattices // Physical Review Letters. 2006. V. 97. P. 025505.

25. Poggi P., Ruffo S. Exact solutions in the FPU oscillator chain // Phys-ica D. 1997. V. 103. P. 251-272.

26. Chechin G. M., Novikova N. V., Abramenko A. A. Bushes of vibrational modes for Fermi-Pasta-Ulam chains // Physica D. 2002. V. 166. P. 208-238.

27. Shinohara S. Low-Dimensional Solutions in the Quartic Fermi-Pasta-Ulam System // Journal of the Physical Society of Japan. 2002. V. 71. P. 1802-1804.

28. Rink B. Symmetric invariant manifolds in the FPU lattice // Physica D. 2003. V. 175. P. 31-42.

29. Shinohara S. Low-Dimensional Subsystems in Anharmonic Lattices // Supplement of the Progress of Theoretical Physics. 2003. V. 150. P. 423-434.

30. Focus Issue "The Fermi-Pasta-Ulam problem — The first fifty years" / Eds. D.K. Campbell, P. Rosenau, G.M. Zaslavsky. Chaos. 2005. V. 15, № 1.

31. Butt I. A., Wattis J.A.D. Discrete breathers in a two-dimensional Fermi-Pasta-Ulam lattice // Journal of Physics A: Mathematical and General. 2006. V. 39. P. 4955.

32. Afshari E., Hajimiri A. Nonlinear Transmission Lines for Pulse Shaping in Silicon // IEEE Journal of Solid-State Circuits. 2005. V. 40. P. 744-752.

33. Afshari E., Bhat H. S., Hajimiri A., Marsden J. E. Extremely wideband signal shaping using one- and two-dimensional nonuniform nonlinear transmission lines// Journal of Applied Physics. 2006. V. 99. P. 054901.

34. Haken Н. Analogy between higher instabilities in fluids and lasers // Physics Letters A. 1975. V. 53, № 1. P. 77-78.

35. Ораевский A. H. Мазеры, лазеры и странные аттракторы // Квантовая электроника. 1981. Т. 8, № 1. С. 130-142.

36. Rubenfeld L. A., Siegmati W. L. Nonlinear dynamic theoiy for a double-diffusive convection model // SIAM (Society for Industrial and Applied Mathematics) Journal of Applied Mathematics. 1977. V. 32. P. 871.

37. Неймарк Ю. И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987. 424 с.

38. Ford J. The Fermi-Pasta-Ulam problem: paradox turns discoveiy // Physics Reports. 1992. V. 213, №. 5. P. 271-310.

39. The Fermi-Pasta-Ulam Problem: A Status Report / Ed. by G. Gallavotti. The Lecture Notes in Physics. V. 728. Springer-Verlag, 2007. 302 p.

40. Flach S., Gorbach A. Discrete breathers — advances in theory and applications // Physics Reports. 2008. V. 467. P. 1.

41. Nonlinear Dynamics and Chaos: Where do we go from here? / Ed. by J. Hogan et ai. Philadelphia: Institute of Physics Pub., 2003. 358 p.

42. Reviews of Nonlinear Dynamics and Complexity / Ed. by H. G. Schuster. Weinheim: Wiley-VCH, 2008. 227 p.

43. Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б, Современные проблемы нелинейной динамики. М.: Эдиториал УРСС, 2000. 336 с.

44. Лоскутов А. Ю. Проблемы нелинейной динамики. I. Хаос. // Вестник МГУ, сер. физ.-астр. 2001. № 2. с. 3-21.

45. Сахненко В. П., Чечин Г.М. Симметрийные правила отбора в нелинейной динамике атомных смещений // Доклады Академии Наук. 1993. Т. 330. С. 308-310.

46. Сахненко В. П., Чечин Г. М. Кусты мод и нормальные колебания для нелинейных динамических систем с дискретной симметрией // Доклады Академии Наук. 1994. Т. 338. С. 42-45.

47. Chechin G.M., Sakhnenko V.P. Interaction between normal modes in nonlinear dynamical systems with discrete symmetiy. Exact results // Physica D. 1998. V. 117. P. 43-76.

48. Chechia G.M., Sakhnenko V. P., Stokes H. Т., Smith A. D., Hatch D. M. Nonlinear normal modes for systems with discrete symmetry // International Journal of Non-Linear Mechanics. 2000. V. 35. P. 497-513.

49. Chechia G.M., LavrovaO.A., Sakhnenko V. P., Stokes H. Т., Hatch D. M. New approach to nonlinear dynamics of fullerenes and fullerites // Физика твердого тела. 2002. Т. 44. С. 554—556.

50. Chechin G.M., Gnezdilov А. V., Zekhtser М. Yu. Existence and stability of bushes of vibrational modes for octahedral mechanical systems with Lennard-Jones potential// International Journal of Non-Linear Mechanics. 2003. V. 38. P. 1451-1472.

51. Rosenberg R. M. The normal modes of nonlinear n-degree-of-freedom systems //Journal of Applied Mechanics. 1962. V. 29. P. 7-14.

52. Rosenberg R. M. On nonlinear vibrations of systems with many degrees of freedom // Advances in Applied Mechanics. 1966. V. 9. P. 155—242.

53. Budinsky N., Bountis T. Stability of Nonlinear Models and Chaotic Properties of ID Fermi-Pasta-Ulam Lattices // Physica D. 1983. V. 8. P. 445.

54. Sandusky K. W., Page J. B. Interrelation between the stability of extended normal modes and the existence of intrinsic localized modes in nonlinear lattices with realistic potentials // Physical Review B. 1994. V. 50. P. 866-887.

55. Flach S. Tangent bifurcation of band edge plane waves, dynamical symmetry breaking and vibrational localization // Physica D. 1996. V. 91. P. 223-243.

56. Dauxois Th., Ruff o S., Torcini A. Modulational estimate for the maximal Lyapunov exponent in Fermi-Pasta-Ulam chains // Physical Review B. 1997. V. 56. P. R6229—R6232.

57. Yoshimura K. Modulational instability of zone boundary mode in nonlinear lattices: Rigorous results // Physical Review E. 2004. V. 70. P. 016611.

58. Dauxois Th., Khomeriki R., Piazza F., Ruffo S. The Anti-FPU problem // Chaos. 2005. V. 15. P. 015110.

59. Atitonopoulos Ch., Bountis T. Stability of simple periodic orbits and chaos in a Fermi-Pasta-Ulam lattice // Physical Review E. 2006. V. 73. P. 056206.

60. Leo M., LeoR.A. Stability properties of the N/4 (7r/2-mode) one-mode nonlinear solution of the Fermi-Pasta-Ulam-/? system // Physical Review E. 2007. V. 76. P. 016216.

61. Zabusky N.J. Fermi-Pasta-Ulam, solitons and the fabric of nonlinear and computational science: History, synergetics, and visiometrics // Chaos. 2005. V. 15. P. 015102.

62. Zabusky N. J., Sun Zh., Peng G. Measures of chaos and equipartition in integrable and nonintegrable lattices // Chaos. 2006. V. 16. P. 013130.

63. Letellier C., Gilmore R. Symmetry groups for 3D dynamical systems // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2007. V. 40. P. 5597-5620.

64. Lichtenberg A.!Livi R., Pettini M., Ruffo S. Dynamics of Oscillator Chains // The Fermi-Pasta-Ulam Problem: A Status Report / Ed. by G. Gallavotti. The Lecture Notes in Physics. V. 728. Springer-Verlag, 2007. P. 21-121.

65. Dauxois T., Khomeriki R., Ruffo S. Modulational instability in isolated and driven Fermi-Pasta-Ulam lattices // European Physical Journal: Special Topics. 2007. V. 147. P. 3.

66. Penati T., Flach S. Tail resonances of FPU g-breathers and their impact on the pathway to equipartition // Chaos. 2007. V. 17. P. 023102.

67. Конторова Т. А., Френкель Я. И. ххх//Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1938. Т. 8. С. 89—95.

68. Конторова Т. А., Френкель Я. И. ххх//Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1938. Т. 8. С. 1340.

69. Браун О. М., Кчвшарь Ю.С. Модель Френкеля-Конторовой. Концепции, методы, приложения. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. 536 с.

70. Жуков К. Г., Рябов Д. С., Чечин Г. М. Построение бушей мод для нелинейных моноатомных цепочек// Электронный журнал «Исследовано в России». 2003. Т. 137. С. 1616-1644. URL: http: //zhurnal. аре.relarn.ru/articles/2003/137.pdf.

71. Chechia G.M., RyabovD.S. Three-dimensional Chaotic Flows with Discrete Symmetries 11 Physical Review E. 2004. V. 69. P. 036202.

72. Никифоров A.M., Рябов Д. С., Чечин Г. M. Динамический хаос в трехмерной диссипативной системе с группой симметрии // Известия вузов «Прикладная нелинейная динамика». 2004. Т. 12, № 6. С. 28-43.

73. Chechia G. М., RyabovD.S., Zhukov K.G. Stability of low-dimensional bushes of vibrational modes in the Fermi-Pasta-Ulam chains // Physica D. 2005. V. 203. P. 121-166.

74. Chechin G. M., Ryabov D. S. Stability of nonlinear normal modes in the FPU chains // The International Conference "Nonlinear Dynamics". Book of Abstracts. Kharkov, NTU "Kharkov Polytechnical Institute", 2004.

75. Chechin G. M., Ryabov D. S. Regular and chaotic dynamics of mechanical systems with discrete symmetries // The International Conference "Nonlinear Dynamics". Book of Abstracts. Kharkov, NTU "Kharkov Polytechnical Institute", 2004.

76. Chechin G. М., Ryabov D. S. Stability of nonlinear normal modes in the Fermi-Pasta-Ulam chains // Материалы VIII международной школы

77. Хаотические автоколебания и образование структур», 9—14 октября 2007 г. Саратов, 2007. 117 с.

78. Ryabov D. S., Chechia G. М. Stability of nonlinear normal modes in the FPU-chain in the thermodynamic limit // 21st International Conference — Summer School "Nonlinear Science and Complexity". Book of abstract. Athens, 2008. 77 p. P. 41.

79. Dauxois Th. Fermi, Pasta, Ulam and a mysterious lady// Physics Today. 2008. V. 61, № 1. P. 55-57.

80. Bivitis R. L., Metropolis N., Pasta J. R. Nonlinear Coupled Oscillators: Modal Equation Approach // Journal of Computational Physics. 1973. V. 12. P. 65-87.

81. Chechia G. M. Computers and group-theoretical methods for studying structural phase transition // Computers & Mathematics with Applications 1989. V. 17. P. 255-258.

82. Маневич Л. Я., Михлин Ю. В., Пилипчук В. N. Методы нормальных колебаний для существенно нелинейных систем. М.: Наука, 1989.

83. Справочник по специальным функциям / Под. ред. М. Абрамовича и И. А. Стегана. М.: Наука, 1979. 830 с.

84. Floquet С. Sur les équations différentielles linéaires à coefficient périodiques // Annales de l'Ecole Normale Supériore. 1883. V. 12. P. 47-88.

85. Демидович В. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

86. Chechia G. M., Zhukov К■ G. Stability analysis of dynamical regimes in nonlinear systems with discrete symmetries // Physical Review E. 2006. V. 73. P. 036216.

87. Журавлев В. Ф., Климов Д. М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988. 326 с.

88. Choodnovsky G. V., Choodnovsky D. V. Novel First Integrals for the Fermi-Pasta-Ulam Lattice with Cubic Nonlinearity and for Other Many-Body Systems in One and Three Dimensions // Lettere A1 Nuovo Cimento. 1977. V. 19, № 8. P. 291-294.

89. Dormand J. R., Prince P.J. A family of embedded Runge-Kutta formulae // Journal of Computational and Applied Mathematics. 1980. V. 6. P. 19-26.

90. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления: Пер. с англ. М.: Мир, 1999. 548 с.

91. Weisstein E.W. Jacobi Elliptic Functions // From Math World — A Wolfram Web Resource. URL: http://mathworld.wolfram.com/ JacobiEllipticFunctions.html

92. Берман Г. П., Коловский А. Р. О границе стохастичности для одномерной нелинейной цепочки взаимодействующих осцилляторов // Журнал экспериментальной и теоретической физики. Т. 87, № 6. С. 1938-1947.

93. Ablowitz M.J., Каир Dj., Newell А. С., Segur Н. The inverse scattering transform-Fourier analysis for nonlinear problems // Studies in Applied Mathematics. 1974. V. 53. P. 249.

94. MacKay R.S., Aubry S. Proof of existence of breathers for timereversible or hamiltonian networks of weakly coupled oscillators // Non-linearity. 1994. V. 7. P. 1623.

95. Овчинников А. А. Локализованные долгоживущие колебательные состояния в молекулярных кристаллах//Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1969. Т. 57, № 1. С. 263—270.

96. Косевич А. М., Ковалев А. С. Самолокализация колебаний в одномерной ангармонической цепочке // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1974. Т. 67. С. 1793.

97. Swanson В. /., Brozik J. A., Love S. P., et al. Observation of intrinsically localized modes in a discrete low dimensional material // Physical Review Letters. 1999. V. 82. P. 3288.

98. Kisoda K, Kimura N., Harima H., et al. Intrinsic localized vibrational modes in a highly nonlinear halogen-bridged metal // Journal of Luminescence. 2001. V. 94-95. P. 743.

99. Manley M. E., Sievers A. J., Lynn J. W., et al. Intrinsic localized modes observed in the high-temperature vibrational spectrum of Nal // Physical Review B. 2009. V. 79. P. 134304.

100. Schwarz U. Т., English L. Q., Sievers A. J. Experimental generation and observation of intrinsic localized spin wave modes in an antiferromag-net// Physical Review Letters. 1999. V. 83. P. 223.

101. Sato M., Sievers A.J. Direct observation of the discrete character of intrinsic localized modes in an antiferromagnet // Nature. 2004. V. 432. P. 486.

102. Wrubel J. P., Sato M., Sievers A. J. Controlled switching of intrinsic localized modes in a one-dimensional antiferromagnet // Physical Review Letters. 2005. V. 95. P. 264101.

103. Sato M., Sievers A.J. Counting discrete emission steps from intrinsic localized modes in a quasi-one-dimensional antiferromagnetic lattice // Physical Review B. 2005. V. 71. P. 214306.

104. Binder P. Abraimov D., Ustinov A. V., et al. Observation of breathers in Josephson ladders I I Physical Review Letters. 2000. V. 84. P. 745.

105. Miroshnichenko A. E., Flach S., Fistul M.V., et al. Breathers in Josephson junction ladders: Resonances and electromagnetic wave spectroscopy // Physical Review E. 2001. V. 64. P. 066601.

106. Kevrekidis P. G., Rasmussen K. 0., Bishop A. R. Two-dimensional discrete breathers: Construction, stability, and bifurcations // Physical Review E. 2000. V. 61, № 2. P. 2006-2009.

107. Marin J. L., Aubry S. Breathers in nonlinear lattices: numerical calculation from the anticontinuous limit // Nonlinearity. 1996. V. 9. P. 1501.

108. Гледзер E. Б., Должанский Ф. В., Обухов A. M. Системы гидродинамического типа и их применение. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981.368 с.

109. Rossler О. Е. An equation for continuous chaos //Physics Letters. 1976. V. 57A, № 5. P. 397-398.

110. Кузнецов С. П. Динамический хаос / Серия «Современная теория колебаний и волн». М.: Физматлит, 2001.

111. Анищенко В. С. Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соров-ского профессора: Учеб. пособие. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 144 с.

112. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Новые методы хаотической динамики. М.: Едиториал УРСС, 2004. 318 с.

113. MayR.M., Leonard W.J. Nonlinear aspects of competition between three species // SIAM (Society for Industrial and Applied Mathematics) Journal of Applied Mathematics. 1975. V. 29. P. 243-253.

114. Busse F.H., Heikes К. E. Convection in a rotating layer: A simple case of turbulence// Science. 1980. V. 208, Apr. 11. P. 173-175.

115. Scott J. F., Chen T., Phillipson P.E. May-leonard oscillations in ferroelectric thermal lenses // Integrated Ferroelectrics. 1993. V. 3, № 4. P. 377.

116. Scott J. F. Three fundamental problems in ferroelectricity // Journal of Physics and Chemistry of Solids. 1996. V. 57, № 10. P. 1439-1443.

117. Rikitake T. Oscillations of a system of disk dynamos // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1958. V. 54, P. 89-105.

118. Pikovskii A. S., Rabinovich M. I. Stochastic behavior of dissipative systems // Soviet Scientific Reviews. Section C. Mathematical Physics Reviews. 1981. V. 2.

119. Sprott J. C. Some simple chaotic flows// Physical ReviewE. 1994. V. 50, № 2. P. R647-R650.

120. Sprott J. C. Simplest dissipative chaotic flow// Physics Letters At 1997. V.228, P. 271-274.

121. Sprott J. C.,Linz S.J. Algebraically simple chaotic flows// International Journal of Chaos Theory and Applications. 2000. V. 5. P. 3—22.

122. Ковалев О. В. Неприводимые и индуцированные представления и копредставления федоровских групп: Справочное руководство. М.: Наука, 1986. 368 с.

123. Гуфан Ю.М., Чечин F.M. О геометрических ограничениях на выбор прафазы в случае шестикомпонентного параметра порядка // Кристаллография. 1980. Т. 25, № 3. С. 453-459.

124. Гуфан Ю. М., Попов В. П. К теории фазовых переходов, описываемых четырехкомпонентным параметром порядка // Кристаллография. 1980. Т. 25, №5. С. 921-929.

125. Гуфан Ю. М. Структурные фазовые переходы. М.: Наука, 1982. 302 с.

126. Hatch D. M., Stokes H. T. Isotropy subgroups of the 230 crystallography space groups. World Scientific, 1988.

127. Liu W., Chen G. A new chaotic system and its generation // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2003. V. 13. P. 261-267.

128. Poincarê H. Sur les courbes définies par une équation différentielle // Oeuvres. Paris. 1892. V. 1.

129. Bendixson I. Sur les courbes définies par des équations différentielles // Acta Mathematica (Springer Netherlands). 1901. V. 24. P. 1-88.

130. Benettin G., Galgani L., Strelcyn J.-M. Kolmogorov entropy and numerical experiments // Physical Review. 1976. V. A14. P. 2338—2345.

131. Johnson R. C. A dynamical system with two strange attractors // arXiv:nlin/0010039. URL: http://arxiv.org/abs/nlin/0010039.