Приложение теории накрывающих отображений к нелинейным уравнениям и управляемым системам тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Жуковский, Сергей Евгеньевич

• Жуковский, Сергей Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Приложение теории накрывающих отображений к нелинейным уравнениям и управляемым системам»

Диссертация посвящена применению теории «-накрывающих отображений в метрических пространствах к исследованию локальной разрешимости дифференциальных, функционально-дифференциальных, интегральных уравнений и управляемых систем. В частности, рассматриваются

• управляемая система вида яг =ж(*о) = Ж(ь д(Ь,х,и)еУ, и е С/, где х - фазовая переменная, и - управление;

• задача Коши для интегро-дифференциального уравнения

• операторные уравнения Вольтерра в метрических функциональных пространствах.

В перечисленных задачах считаем заданными функции /, д, /С, множества С/, V, О, вектор х^ и число tQ.

Рассмотренные и многие другие прикладные задачи анализа и теории дифференциальных уравнений сводятся к решению уравнений вида о Г2, гс(¿о) — • интегральное уравнение вида

4о

Ф(Ж) = у 3 с неизвестным х или уравнений более общего вида

Ф(ж) = Ф(ж).

Здесь Р, Ф : X —» У - заданные отображения, и для многих задач пространства X, У являются лишь метрическими.

Если X и У — линейные нормированные пространства, то при исследовании вопроса разрешимости этих уравнений часто применяется теорема об обратной функции. Также нередко используется классический принцип сжимающих отображений. Особенно его применение обосновано в случае, когда соответствующие отображения не являются гладкими, или, более того, пространство X = У метрическое. Если X и У разные метрические пространства, используются более общие принципы существования точек совпадения двух отображений, как правило, основанные на понятии накрывания отображений.

Дадим определение понятия «-накрывающего отображения. Пусть X, У - метрические пространства с метриками рх и ру соответственно, заданы числа а > О, Я > 0, множество ]¥ С У и точка хо £ X. Обозначим через Вх(х,г) замкнутый шар в X с центром в точке х радиуса г > 0, положим и = Вх{хо, Я)- Пусть задано отображение ^Р : X —> У. Будем говорить, что отображение Р является аг-накрывающим, если для любых х £ X, г > 0 выполнено включение

Ву(Е{х),аг)сГ(Вх(х,г)). Если же для любого шара Вх{х, г) С. и выполнено включение то будем говорить, что отображение Р является «-накрывающим относительно шара II и множества \¥.

Перейдем к краткому литературному обзору по теории «накрывающих отображений.

Основные свойства накрывающих отображений в случае, когда Y - линейное пространство, были изучены A.A. Милютиным в 1980 году в работе [15]. В случае, когда Y - метрическое пространство, свойства и приложения а-иакрывающих отображений приведены в статье [4] от 2007 года A.B. Арутюновым. Понятия локального а;-накрывания и а-накрывания относительно множеств, которые также применяются в этой диссертации, были введены и изучены в [5], [32], [39].

Существует ряд задач, при изучении которых используется понятие а-накрываюгцего отображения. Типичным применением а-накрывающих отображений является задача о точках совпадения отображений. Сформулируем её.

Пусть заданы отображения Ф, Ф : X —> У. Задача заключается в нахождении условий разрешимости уравнения ф(ж) = ф(ж) с некоторой априорной оценкой.

Важно отметить, что частным случаем задачи о точках совпадения отображений (когда X = Y и отображение Ф является тождественным) является задача о существовании неподвижной точки, а хорошо известный принцип сжимающих отображений представляет собой следствие общих теорем о точках совпадения.

Классическим примером теоремы о точках совпадения отображений, сформулированной в терминах а-накрывания, является теорема 1 из [4]. Эта теорема гласит, что если пространство X полно, отображение Ф является а-накрывающим и непрерывным, а Ф удовлетворяет условию Липшица с константой ß < а, то для любого хо Е X существует х £ X такое, что

Ф(ж) = Ф(ж) и рх{х,хо) < —1—py(F(x),F(xо)).

В предположении ск-накрываемости Ф относительно множеств эта задача была решена в [32] (см. теорему 1).

Важную роль играют исследования устойчивости точек совпадения при малых возмущениях отображений ФиФ. В работе [6] были получены общие условия, гарантирующие устойчивость точек совпадения при указанных возмущениях.

Аналогичная проблема о точках совпадения возникает для многозначных отображений Ф, Ф : X У. В этом случае задача заключается в нахождении такого х € X, что

Ф(ж) П Ф(ж) ^ 0.

Эта задача в терминах «-накрывающих многозначных отображений также была решена в [4], а для локально ск-накрываю-щих многозначных отображений - в [32]. Кроме того, в работе [6] доказана теорема об {а — е)-накрываемости равномерного предела многозначных си-накрывающих отображений.

Еще одной задачей теории накрывающих отображений является задача о липшицевых возмущениях а-накрывающих отображений. Существуют различные постановки этой задачи. Так, например, в [15] эта проблема сформулирована следующим образом. Пусть пространство У линейно, дано (^-накрывающее отображение Ф : X —» У и (3-липшицево отображение Ф. Спрашивается, при каких условиях отображение Ф + Ф является накрывающим? Достаточные условия накрываемости Ф + Ф были доказаны в [15] в теореме 1.4. Эта теорема гласит, что если пространство X полно, Ф непрерывно и а > /3, то Ф + Ф является {а — /3)-накрывающим. Обобщение этой теоремы на случай многозначных отображений имеется в [22].

Другая постановка задачи о липшицевых возмущениях а-накрывающих отображений была рассмотрена в [5] в теореме 2. Пусть дано непрерывное отображение Т : X х X —» У. Относительно него предполагается, что для любого Х2 € X отображение Т(-, Х2) является «-накрывающим, для любого x\ £ X отображение T(xi, •) удовлетворяет условию Липшица с константой ¡3. Тогда теорема 2 из [5] гласит, что если а > /?, то отображение х ь-Т(аг, х) является (а — /?)-накрываюгцим. В этой же работе было введено и изучено понятие условно а-накрывающих отображений и выделено множество тех у £ Y, для которых уравнение Т(х,х) = у имеет решение. Отметим, что понятие условной накрываемости впервые было введено в [39], где для него использовался термин "restrictive metric regularity".

Среди работ, посвященных задачам о точках совпадения и о липшицевых возмущениях накрывающих отображений, отметим также статьи [22], [30], [31], [34], [35], [38], [42], в которых рассматриваются эти и смежные проблемы.

Важнейшей проблемой теории а-накрывающих отображений является получение критериев накрываемости. Известно, что если X, Y — банаховы пространства, а отображение F : X Y строго дифференцируемо в точке :го, то F является ск-накрывающим в окрестности точки хо тогда и только тогда, когда точка xq нормальна, т.е. когда линейный опера-dF тор —— (жо) является сюръективным. Этот факт был получен ох в [40] (см. теорему 1.57).

Для случая, когда отображение F недифференцируемо в точке Жо, также известны некоторые условия накрываемости. Так, например, если производная Кларка dFc{xо) липшице-вого отображения F : Шп —> Мп не содержит невырожденных матриц, то F является а-накрывающим в окрестности xq. Этот факт является непосредственным следствием теоремы 7.1.1 из [23]. Следует отметить, что эти условия накрываемости не являются необходимыми. Необходимые условия накрываемости были получены Б.Ш. Мордуховичем в [25] (см. теорему 5.2).

Завершая обсуждение публикаций по теории накрывающих отображений, еще раз отметим работу [5], являющуюся первой статьей, полностью посвященной приложениям а-накрываю-щих отображений к исследованию локальной разрешимости обыкновенных дифференциальных уравнений.

Прежде чем изложить основные результаты диссертации, сформулируем некоторые понятия и результаты, связанные с вольтерровыми операторами и уравнениями Вольтерра. В диссертации используется понятие вольтеррового оператора, введенное и изученное А.Н. Тихоновым в [29]. Напомним его.

Пусть даны непустые множества Е2 и определены некоторые множества X и У функций х : [а, Ь] —» Е\ и у : [а, Ъ] —» Е2, соответственно. Пусть 7 £ (а, Ь]. Для функции х £ X обозначим через ж7 ее сужение на [а, 7]. Определим отображение П^ : х х1.

Отображение Е : X —> У называют вольтерровым (по А.Н. Тихонову), если для любого 7 € (а, 6] и произвольных и е X, удовлетворяющих равенству П^-а; = П^п, имеет место Пу^(ж) = П^О) (в пространствах измеримых функций все равенства подразумеваются почти всюду). Отметим, что существует множество обобщений данного определения (см., например, [12], [14], [16], [27], и т.д.)

Рассмотрим следующую задачу. Пусть оператор Е : X —> У вольтерров. Будем говорить, что уравнение х - Е(х) локально разрешимо, если существуют х Е X и 7 6 (а, Ь] такие, что х7 = Пу^(ж).

Отметим, что достаточные условия локальной разрешимости данного уравнения хорошо известны. Их можно найти, например, в [29] (теорема 1), в [27] (теорема 2) и т.д. При доказательстве перечисленных теорем существенно использовался принцип сжимающих отображений. В дальнейшем будет показано, что применение теорем о липшицевых возмущениях накрывающих отображений существенно расширяет класс уравнений, для которых возможно доказать существование локального решения.

Основные результаты диссертаци были опубликованы в работах [7], [8], [18], [19], [33]. Кратко изложим их. Диссертация состоит из двенадцати параграфов, объединенных в три главы. Первая глава посвящена изучению свойств «-накрывающих отображений и содержит формулировки и доказательства утверждений, используемых в приложениях.

В параграфе 1.1 дается определение «-накрывающего и условно «-накрывающего отображений. Сформулируем их.

Пусть (Х,рх), (У,ру) ~ метрические пространства. Пусть задано число а > 0, точка хо Е X, некоторые множества 17 С X, 03 С X х [0,+оо), Ж С У. Здесь и далее замкнутый шар в пространстве X с центром в точке х радиуса г будем обозначать через Вх{х,г).

Отображение Р : X —» У назовем а-накрывающим множество на системе 03, если ж,г)е93 Бу(Т(ж),«г) П УУ С Р(Вх(х,г)).

Если ТУ = У, то будем говорить, что F является а-накрывающим на системе 03.

Предположим теперь, что система ЯЗ и множество и связаны соотношением ж, г) € 03 Вх{х,г) С и.

Отображение Р : X —> У назовем условно «-накрывающим множество \¥ на системе 03, если оно является «-накрывающим \У П Р(17) на системе 03.

Пусть задано число Я > 0. Положим и = Вх{х0, Я), 03 = {{х, г) : Вх(х, г) С Щ и рассмотрим произвольное «-накрывающее на системе 03 отображение Р. Непосредственно из приведенного выше определения следует, что существует такое отображение (р : Ву{Р(х0),аЙ) X, что

Р&Ш =УУУ€ Ву(Г{х0),аК), 1

РхЫ,(р(у)) < -ру(^(ж0),г/). а

Такое отображение принято называть правым обратным к Р в окрестности точки хо- Очевидно, что в силу приведенной выше оценки, отображение <р непрерывно в точке жц.

Естественно задаться вопросом о существовании хотя бы одного непрерывного правого обратного к^в окрестности жо отображения (р. Ответ на этот вопрос дает приведенный в параграфе 1.2 пример 2. В нем приведено непрерывное 1-накры-вающее отображение Р : М2 —> Ж2, у которого любой правый обратный имеет разрыв в любой окрестности нуля, что дает отрицательный ответ на поставленный вопрос. Однако, в одном частном случае, а именно, когда У = М, мы можем гарантировать существование непрерывного правого обратного к Р отображения. Этот факт доказан в теореме 1.

Следует также отметить, что если пространства X и У банаховы, а отображение Р строго дифференцируемо, то отображение является локально а-накрывающим (т.е. существует Я > 0 такое, что Р ск-накрывает на системе 03) тогда и только тогда, когда точка ссо является нормальной, т.е. у см., например, теорему 1.57 из [40]). В этом случае существует непрерывное правое обратное к Р отображение в окрестности точки хо. Это следует, например, из теоремы о неявной функции из [28].

В параграфе 1.3 рассматривается следующая задача. Пусть и, Е - метрические пространства с метриками р-~ ри и р^ соответственно, дано множество УСУ, точки £о € сто £ Е, щ € и я непрерывное отображение (?:5хЕх?7—»У. Предположим, что ""о) € V, и рассмотрим включение о-, гг) £ V.

Задача заключается в нахождении многозначного отображения М : Б х Е —» 2и такого, что

• для любых £ 6 5, и £ Е множество М(£, а) компактно, непусто и и £ М(£, (г) С?«, 0-, и) € V;

• отображение М полунепрерывно сверху на Н х Е, и при любом £ £ £ отображение М(£, •) непрерывно в точке сто;

• для любого 7 > 0 существует такое число т £ (0,7], что при всех £ £ .Е?(£о,т), сг £ В(сг0,т) выполняется включение М(£,сг) сБЦл).

Отметим, что эта задача носит исключительно вспомогательный характер и малоинтересна сама по себе. Достаточные условия существования такого отображения Л/ получены в терминах ск-накрывания в теореме 2.

Параграф 1.4 посвящен задаче о возмущении накрывающего отображения липшицевым. Теоремы о возмущении накрывающего отображения рассматривались, например, в [15]. При существенно более слабых предположениях достаточные условия сохранения отображением свойства накрываемости при малых липшицевых возмущениях были получены в [5] и сформулированы в теореме 1, которая далее применялась авторами для исследования локальной разрешимости обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной. Подобная этим утверждениям теорема 3 доказана в параграфе 1.4. Сформулируем ее.

Для заданных отображения Т : X х X —> У и точки у € У рассмотрим уравнение

Т(х,х) = у относительно неизвестного х £ X. Пусть даны точка щ € X и числа а > (3 > О, И > 0. Положим

Щ) = и = Вх(и0, Я),

Для каждого х2 Е и определим

ЦГ{х2) = Ву(Г{щ,х2),аВ),

Ф(х2) = {(ж2,г) : 0<г<К-рх(х2,щ)}.

Теорема Пусть пространство X полно и выполнены следующие предположения: a) для любого х2 € С/ отображение Т(-,х2) : X —* У является условно а-накрывающим множество УУ(х2) на системе Ы; b) для любых х\, Ж2 € и выполнено р¥{Т(х1,х1),Т{х1,х2)) < Ррх{х 1,ж2); c) для любой последовательности {и^} С С/ ш того, что щ —> и, Т(щ^и) у, следует Т(и,и) = у.

Тогда если у)<Ъ уе р| Т^з), х2еД(у) то существует такая точка £ £ С/, что

3/ « < г(з/).

Эта теорема представляет интерес сама по себе и, кроме того, применяется в третьей главе к исследованию локальной разрешимости уравнений Вольтерра.

Во второй главе диссертации рассмотрена следующая задача. Пусть дана управляемая система ь) = ¡(г,х,и), х(г0) = х0, с ограничениями д(г,х,и)еУ, и(г)еиуг.

Здесь £ £ М - время, £о ~~ заданный начальный момент времени, гго - заданная начальная точка, жб!"- фазовая переменная, и £ К771 - управляющий параметр, / : 1 х Г х Г Г и д : К х Мп х Мт -> К*, и С Мт, V С К* - заданные замкнутые множества. В качестве допустимых управлений рассматриваются всевозможные измеримые существенно ограниченные функции и(-) £ 1/оо(М,Кт), для которых выполняется (2.4).

Будем говорить, что эта система локально разрешима в точке (£о,£о), если существуют число г > 0 и допустимое управление и(-) такие, что задача Коши х = /(£, х, и(£)), ж(£0) = х0 на отрезке [¿о До + т] имеет решение х(-), для которого д(£, :г(£), и(£)) £ V У££ [£0,£о + т].

Предположим, что существует точка щ £ II такая, что д{к,хо,ио) £ V.

При дальнейшем исследовании также предполагается, что функция / удовлетворяет условиям Каратеодори в некоторой окрестности точки

• при п.в. t функция /(¿, •) непрерывна;

• при любых (х,и) функция /(•,х,и) измерима;

• существует такая суммируемая функция ф : Ж. —» М, что \/(Ь,х,и) | < ф(£) при п.в. для любых и и х.

Относительно д предполагается, что существуют такие а > О и ¡3 > 1, что для любого Ь достаточно близкого к ¿о, на множестве £7о(£) = С/ П В^т(щ,г(Ь,хо)), где г(Ь,х) — аГ1 (с1181;(<7(£, хо, щ), У))1^, функция •) : ВЖп{х0^)х11 является (а, /3)—накрывающей множество V по переменной и. По определению это означает, что при любых х, достаточно близких к Жо, и для любого и 6 С/о(£) выполнено д(Ь, х, В(и, ф, х0)) П II)ПУ ф 0.

В этих предположениях теорема 4 в параграфе 2.2 гарантирует локальную разрешимость управляемой системы. Доказательство теоремы 4 приведено в параграфе 2.3.

Отметим, что в приведенных выше достаточных условиях локальной разрешимости рассматриваемой системы отображение д по переменной и не предполагалось гладким. В случае, когда отображение д по и дважды непрерывно дифференцируемо, утверждение теоремы можно существенно усилить и получить условия локальной разрешимости системы в классе непрерывных управлений. Для этого в диссертации использовались теоремы о неявной функции, применимые к анормальным задачам (см., например, теорему 3 в [3]). Достаточные условия локальной разрешимости управляемо!! системы в гладком анормальном случае рассмотрены в параграфе 2.4. Сформулируем их.

Предположим, что С/ С Мт, V С М/с - замкнутые выпуклые конусы; для любых (£, х) из некоторой окрестности (¿о,£о) функция д дважды непрерывно дифференцируема по и в окрестности точки щ, причем ее первая и вторая производные непрерывны по совокупности переменных в окрестности точки (¿о, £0,^0), а отображение ж, •) удовлетворяет оиг условию Липшица для любых (£, х) близких к (£q, xq) с константой Липшица, не зависящей от (t,x). Положим д

С = —(£, ж, щ)и - V + span{v0},

Е = |-u + : и £ U, и £ Ж, vvq + ^(¿о, яо, щ)и G у| , где о = -5(^0,^0, w0) + — (to,xQ,uo)J щ, a span А - линейная оболочка множества А. Пусть существует такой вектор h, что d2q h£E, —^(t0,x0,u0)[h,h]£C.

Отображение g(to,Xo,-) называется 2-регулярным в точке х^ относительно конусов U, V по направлению /г, если имеет место

C + ^(t0,x0,u0)[h,E]=Rm.

Теорема Пусть существует такой вектор h, что функция g{to,XQ,-) 2-регулярна по переменной и в точке щ относительно конусов U, V по направлению h. Тогда управляемая система локально разрешима в точке (£о>жо)

Третья глава диссертации посвящена накрывающим воль-терровым операторам и вопросу локальной разрешимости уравнений Вольтерра.

В параграфе 3.1 дается определение вольтеррового (по А.Н. Тихонову) отображения F : X —>■ У, где (Х,рх) и

У, ру) - некоторые метрические функциональные пространства функций, определенных на заданном отрезке [а, Ь]. Кроме того, в этом параграфе приводятся достаточные условия для того, чтобы для заданного числа 7 е (о, 6] функция

Рхч^х1 — \г^{рх{х,и) : 1Рхх = а;7, П\и = и7}. определяла метрику в пространстве X7 (здесь х1 - сужение функции х € X на отрезок [а, 7], X1 - множество сужений х1 всех функций х € X, оператор П^ : X —> X1 каждой функции х ставит в соответствие функцию ж7). Доказывается, что функция рху определяет метрику, если и(ЕХ, х^еХ1 ЗхеХ:

1Рхх = х7, рх{х,и) = рх^х1,^). (1)

Приводятся примеры конкретных функциональных метрических пространств, удовлетворяющих условию (1). Наконец доказывается, что если (1) выполняется для пространств X, У, то вольтерровый оператор Р : X —> У сохраняет свойство накры-вания при уменьшении отрезка [а, 7]. Последнее утверждение носит вспомогательный характер и используется в дальнейшем при доказательстве теорем разрешимости для уравнений Вольтерра, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений.

Параграф 3.2 посвящен уравнениям Вольтерра в метрических функциональных пространствах, а именно следующей задаче. Пусть заданы вольтеррово по каждому аргументу отображение Т : X х X —> У и элемент у е. У. Сформулируем условия локальной разрешимости уравнения

Г(х,х) = у.

Пусть даны точка щ 6 X и числа а > (3 > О, Я > О, 7 £ (а, 6]. Определим отображение Т7 : X1 X X1 —» У7 равенством

ГЧ(х1\х2ч) = ЩГ(хъх2), где х\,х2 £ X - произвольные продолжения функций Ж17, х27 € X7. Положим у7 = П7у, ^ = £/7 = П7£/, где г^о, и заданы равенствами (1.14). Кроме того, обозначим ^ руч (у\ , Щ1) = г(у7)).

Для каждого х2 Е и определим

Отметим, что если пространство X удовлетворяет условию (3.5), то ЧП{х1) = П7 1У(х2), где И^а*) = £У(ТЦ), х2),

Теорема Пусть пространства X, У удовлетворяют условию (3.5), пространство X полное и выполнены следующие предположения: a) для любого х2 £ и отображение : X7 —> У7 является условно а-накрывающим множество 2) относительно и7 на совокупности *87(ж2); b) для любых х\,х2 £ и выполнено ру(Тп/(х^х'1),Т'г{х1,х1)) < (Зрх{х 1,х2)\ c) для любой последовательности {и^} С и из того, что и?к —► -и7, Т7(и^,п7) —> г/7, следует Т 1{и1,и1) = ?/7.

Тогда если г(у7)<Д, П то существует определенное на [а, 7] решение £7 € £/7 урав-лсн/ия

1.13), удовлетворяющее оценке < г (у7).

Применение приведенной выше теоремы к интегральным уравнениям рассматривается в параграфе 3.3. Кратко изложим содержание этого параграфа.

Пусть заданы замкнутое множество Q, С Мп, измеримая по первому аргументу, непрерывная по совокупности второго и третьего аргументов функция / : [а, Ъ] xQ,xKm —> Ш1 и измеримая по совокупности первого и второго аргументов, непрерывная по третьему аргументу функция /С : [а, Ь] х [a, b] X Q, —> Мта. Рассмотрим уравнение t f(t,x(t), J JC{t,s,x(s))ds) = 0, x(t)eQ, te[a,b]. (2) a

Решение будем искать в классе Loo ([a, b], Í2) измеримых существенно ограниченных функций х : [a, b] —> Г2.

Пусть заданы функция щ £ Loo ([а, 6], Г2) и положительные числа Я, d, а. Положим У = i?Rm(0,cí). Для п.в. t £ [а, Ь], любых г; € V обозначим

U{t) = Bü(u0(t),R), W(t, z) = BRi(f(t,u0(t),z),aR).

Теорема Пусть a) существует, такая суммируемая функция Ai : [a, b] -—> [0,+оо), что при п.в. t £ [а, 6], s £ [а, t] выполнено неравенство |/C(í, s, i¿g(s))| < A/"(s); b) существует такая суммируемая функция Л4 : [а, b] —> [0,+оо), что при п.в. t £ [a, b], s £ [a,t], любых х,х £ U{t) имеет место неравенство

JC(t, s, х) — /C(¿, s, ж)| < .M(s)|a; — c) существует такое Л > 0, что при п.в. t £ [а, 6], любых х £ U(t), выполнено неравенство |/(t, ж, 0)| < Л; d) существует такое неотрицательное число Р, что при

B^n (Д d). Для п.в. t G [о, Ь], любых ^ 6 В, z G V обозначим

U{t) = Bn{u0(t),R), W(tiX,z) = BRl(f{t,ù0{t),x,z),aR). Теорема Пусть a) существует такая суммируемая функция J\f : [a, ft] —► [О, +оо), -что |/С(£, s,wo(s))| < -A/"(s) при п.в. t G [а, ft], s G [а, t]; b) существует такая суммируемая функция A4 : [а, 6] —» [0,+оо), что при п.в. t G [а, 6], s G [а,£], любых ж,ж G Ï7(i) имеет место неравенство

JC(t, s,x) — JC(t, < jM(s)|x — c) существует такое Л > 0, что при п.в. t G [а,6], любых у G выполнено неравенство |/(i, у, А, 0)| < Л; d) существует такое неотрицательное число Р, что при п.в. t G [а, b], любых у G z, z G V, x>X £ В имеет место неравенство f{t,y,X,z) - f(t,y,x,z)I < Pmax{|x - xl, \z ~ z\}\ e) при п.в. t G [a, ft], всеа; % G В, 2; G V отображение f{t,-,Xiz) : iî —^ является условно а-накрывающим множество W(t, х, z) относительно U(t) на системе

ЩЬ) = {(у,г): veU(t), r€[0,R-\v-uo{t)\]}.

Тогда если vrai sup t€.[a,b] og f| f(t,u(t),x,z), vteM, xeB, zeV то уравнение (3) локально разрешимо.

1 20