Метод сравнения в исследовании дифференциальных уравнений и включений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Серова Ирина Дмитриевна

• Серова Ирина Дмитриевна
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Серова Ирина Дмитриевна

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Операторные уравнения и включения в частично

упорядоченных пространствах

§ 1.1. Вспомогательные сведения об упорядоченных пространствах 21 § 1.2. Операторные уравнения в частично упорядоченных

пространствах

1.2.1 Свойства отображений упорядоченных пространств

1.2.2 Существование и оценка решений уравнений

§ 1.3. Операторные включения в частично упорядоченных

пространствах

1.3.1 Свойства многозначных отображений частично упорядоченных пространств

1.3.2 Существование и оценка решений включений

§ 1.4. Функциональные уравнения и включения в частично

упорядоченных пространствах

1.4.1 Однозначный оператор Немыцкого

1.4.2 Функциональное уравнение в пространстве измеримых функций

1.4.3 Многозначный оператор Немыцкого

1.4.4 Функциональное включение в пространстве измеримых функций

Глава 2. Неявные дифференциальные уравнения

§2.1. Задача Коши для неявного дифференциального уравнения

§ 2.2. Краевая задача для неявного дифференциального уравнения

2.2.1 Вспомогательные сведения

2.2.2 Существование и оценка решений краевой задачи

Глава 3. Неявные дифференциальные включения и управляемые неявные дифференциальные системы

§3.1. Задача Коши для неявного дифференциального включения

§ 3.2. Краевая задача для неявного дифференциального включения

§ 3.3. Управляемая неявная дифференциальная система

3.3.1 Сведение управляемой системы к дифференциальному

включению

3.3.2 Задача Коши для управляемой системы

3.3.3 Краевая задача для управляемой системы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

ВВЕДЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод сравнения в исследовании дифференциальных уравнений и включений»

Актуальность темы исследования.

Неявные, то есть не разрешенные относительно старшей производной уравнения представляют интерес не только для теории дифференциальных уравнений. Они широко используются и в других разделах математики: в геометрии и топологии, в теории динамических систем и теории катастроф (см. [1,7,21,36,40,42,44]). В приложениях неявные дифференциальные уравнения используют в математических моделях существенно нелинейных процессов. В частности, это некоторые модели неголономных механических систем (см. [61]), электрических колебательных контуров (см. [18, с. 145, 148.]), электромагнитных полей в холодной анизотропной плазме (см. [68]), процессов термодинамики (см. [13]) и других. Для исследования зависимости решений таких уравнений от параметров, для учета погрешностей в определении параметров математических моделей часто используют основанный на лемме Филиппова (см. п. 1.5.2. [37]) метод подстановки в уравнение множества возможных параметров, сводящий уравнение к включению. В частности, системы управления для приведенных выше существенно нелинейных процессов сводятся к неявным дифференциальным включениям. Учитывая, что неявные дифференциальные уравнения и включения, как правило, не удается решить аналитически, для их применений необходимы результаты о разрешимости, об оценках и свойствах решений, которым посвящена настоящая диссертация.

Для явных, то есть разрешенных относительно старшей производной уравнений условия разрешимости и способы получения оценок решений хорошо изучены, известны и успешно применяются (см., например, [14,31,67]. Один из наиболее распространенных способов получения оценок решений основан на утверждениях о дифференциальных неравенствах типа классической теоремы Чаплыгина [84]. В теореме Чаплыгина сравниваются решение х скалярного дифференциального уравнения

Х = /(г,х), г > 0, и решение $ соответствующего дифференциального неравенства

ОД >f (г,ОД), г > 0.

При условии непрерывности функции / утверждается, что если х(0) < $(0), то х(Ъ) < $(£) при всех I > 0.

Получению аналогов теоремы Чаплыгина в случае каратеодориевой функции распространению и обобщению теоремы Чаплыгина на системы дифференциальных и интегральных уравнений, функционально-дифференциальных уравнений начиная с 50-х годов XX века посвящены многочисленные публикации (см., например, монографии [9,10,12,14]). Однако для неявных уравнений подобные результаты пока фрагментарны (отметим статьи [32-34,54,56]). Для дифференциальных включений и управляемых систем в известной автору литературе аналоги теоремы Чаплыгина о неравенстве не рассматривались, поэтому их получение является актуальной теоретической задачей.

Многозначный анализ и теория дифференциальных включений — один из наиболее быстро развивающихся разделов современной математики, имеющий многочисленные приложения и в самой математике (в частности, в теории управления, теории оптимизации, негладком и выпуклом анализе, теории игр, математической экономике), и в естествознании, технике, технологиях, медицине. В отличие от явных, неявным дифференциальным включениям, несмотря на важность и актуальность их исследования, посвящено совсем небольшое количество работ. Причиной этого являются теоретические сложности и отсутствие подходящего аппарата анализа. Новые возможности изучения неявных дифференциальных включений предоставляют современные результаты по теории накрывающих многозначных отображений в метрических и частично упорядоченных пространствах. На основе подобных метрических теорем в работах [2,28,29,39] исследованы вопросы существования решения задачи Коши и непрерывной зависимости решений от параметров. В диссертации предлагается и реализуется новый основанный на результатах о накрывающих отображениях частично упорядоченных пространств подход к исследованию актуальных вопросов существования, свойств и оценок решений задачи Коши, краевых задач для систем неявных дифференциальных уравнений и включений, и для управляемых систем, описываемых неявными дифференциальными уравнениями.

Степень разработанности темы исследования. Основы теории неявных дифференциальных уравнений заложены в классических работах А. Пуанкаре [71]. Современная качественная теория неявных дифференциаль-

ных уравнений и динамических систем, теория особенностей разработаны в работах В.И. Арнольда (см. [20], [21], [19] и др.), А.А. Давыдова [41,43], Л. Дара [6], А. Дюлака [8], В.М. Закалюкина [62], А.О. Ремизова [72,73] и других авторов. В частности, найдены нормальные формы дифференциального уравнения, не разрешенного относительно производной; полученные нормальные формы неявных дифференциальных уравнений применены для изучения устойчивости различных видов управляемости типичных систем на поверхностях к малому возмущению таких систем; исследованы особые точки систем неявных дифференциальных уравнений и для типичных особых точек изучены свойства проходящих через них решений системы; рассмотрены свойства решений системы в окрестностях правильных особых точек и многие другие вопросы.

Неявные дифференциальные уравнения и их системы, порождаемые ка-ратеодориевыми функциями, рассматривались в работах А.Р. Авакова, А.В. Арутюнова, С. Бенараб, Е.С. Жуковского, С.Е. Жуковского, В. Мерчелы, Е.А. Плужниковой, У.Л. de ОНуе1га, Р.Ь. Реге1га (см. [2,17,30,56,60,69]). В перечисленных работах использовались теоремы о точках совпадения накрывающего и липшицева отображений (см. [22-25]) и теоремы о липщицевых возмущениях накрывающих отображений (см. [26,52]) метрических пространств. Получены условия существования решений задачи Коши, оценки расстояния от решения до заданной функции, исследована зависимость решений от начальных условий и порождающих уравнения функций. Методами теории накрывающих отображений метрических пространств также рассматривались вопросы разрешимости управляемых систем (см. [56,69]). Дальнейшее распространение этих результатов связано с определением понятия накрывания в векторно метрических пространствах и других обобщенно метрических пространствах (см. [11,15,55]).

Свойство упорядоченного накрывания, то есть накрывания для отображений частично упорядоченных пространств введено и исследовано А.В. Арутюновым, Е.С. Жуковским, С.Е. Жуковским в [3,4,57]. На основании этих результатах в [54] получены аналоги теоремы Чаплыгина для неявных дифференциальных уравнений, в [53] аналогичными методами получены теоремы о неявных интегральных неравенствах в пространствах суммируемых функций. Результаты об упорядоченно накрывающих отображениях в [35] распростране-

ны на отображения, действующие из частично упорядоченного пространства в неупорядоченные множество и на этой основе исследованы задача Коши, краевые задачи и управляемые системы для неявных дифференциальных уравнений.

В диссертации с использованием известных (см. [28,29]) и новых результатов о накрывающих отображениях частично упорядоченных пространств разрабатывается метод нахождения оценок решения систем неявных дифференциальных уравнений и включений, на этой основе изучаются свойства решений задачи Коши, краевых задач и управляемых систем.

Цели и задачи. Основной целью работы является разработка на основе результатов о накрывающих отображениях частично упорядоченных пространств метода исследования систем неявных дифференциальных включений первого порядка и, в частности, систем неявных дифференциальных уравнений первого порядка; изучение с помощью этого метода задачи Коши, краевых задач и управляемых систем.

Основными задачами работы являются:

— исследование условий существования и получение оценок решений операторного уравнения и операторного включения в частично упорядоченном пространстве;

— исследование условий существования и получение оценок решений функционального уравнения и функционального включения с отклоняющимся аргументом в пространстве измеримых функций;

— исследование условий существования и получение оценок решений, исследование структуры множества решений задачи Коши и краевых задач для неявных дифференциальных уравнений и включений;

— исследование условий существования и получение оценок решений, исследование структуры множества решений задачи Коши и краевых задач для управляемых систем, описываемых неявными дифференциальными уравнениями.

Научная новизна. Выносимые на защиту положения являются новыми и получены автором самостоятельно.

Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут применяться при изучении

существенно нелинейных физических процессов, для описания динамики объектов, скорость которых зависит от состояния, при исследовании задач управления такими процессами и объектами.

Результаты диссертации были внедрены в учебный процесс кафедры функционального анализа института математики, физики и информационных технологий ФГБОУ ВО "Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина" при изучении дисциплины "Функционально-дифференциальные уравнения и включения", читаемой студентам по направлению подготовки 01.04.01 Математика.

Методология и методы исследования. В работе применяются методы и результаты теории частично упорядоченных пространств, многозначного анализа, теории дифференциальных и функциональных уравнений и включений, теории управления. С использованием известных и предлагаемых в диссертации результатов о накрывающих отображениях частично упорядоченных пространств разрабатывается метод исследования систем неявных дифференциальных уравнений и включений.

Для получения основных результатов использованы следующие методы и подходы.

При исследовании операторных включений (в частности, операторных уравнений) в частично упорядоченных пространствах используются результаты теории частично упорядоченных пространств (в частности, теорема Хаусдор-фа о максимальной цепи) и результаты об упорядоченно накрывающих отображениях (см. [23, 24]). В частично упорядоченном пространстве определяется максимальная цепь, все элементы которой удовлетворяют соответствующему операторному неравенству, и показывается, что ее нижняя граница является решением рассматриваемого включения.

При исследовании функциональных включений (в частности, функциональных уравнений) с отклоняющимся аргументом в пространстве измеримых функций используются методы теории функций, многозначного анализа (в том числе, лемма Филиппова (см. п. 1.5.2. [37])) и полученные в диссертации утверждения об операторных включениях в частично упорядоченных пространствах.

При исследовании задачи Коши и краевых задач для неявного дифференциального включения (в частности, неявного дифференциального уравнения)

определяются эквивалентное интегральное включение, которое рассматривается как включение с отображением, действующим из пространства суммируемых функций в пространство измеримых функций. Это позволяет применить полученные в диссертации результаты об операторных включениях в частично упорядоченных пространствах.

При исследовании управляемых систем применяются полученные в диссертации утверждения о задаче Коши и краевой задаче для дифференциального включения. Для этого управляемая система стандартной основанной на лемме Филиппова подстановкой в нее всего множества возможных значений управления сводится к дифференциальному включению.

Положения, выносимые на защиту.

1. Для операторного включения и, в частности, операторного уравнения в частично упорядоченном пространстве доказаны утверждения о существовании и оценках решений, о существовании минимального и наименьшего элементов в множестве решений.

2. Для функционального включения и, в частности, функционального уравнения с отклоняющимся аргументом доказаны утверждения о существовании и оценках решений в пространстве измеримых функций, о существовании минимального и наименьшего элементов в множестве решений.

3. Для неявного дифференциального включения и, в частности, неявного дифференциального уравнения доказаны утверждения о существовании и оценках абсолютно непрерывных решений задачи Коши, о существовании минимального и наименьшего элементов в множестве производных решений.

4. Для неявного дифференциального включения и, в частности, неявного дифференциального уравнения доказаны утверждения о существовании и оценках абсолютно непрерывных решений двухточечных краевых задач, о существовании решений, на которых заданный дифференциальный оператор принимает минимальное и наименьшее значения.

5. Для системы управления, описываемой неявным дифференциальным уравнением, доказаны утверждения о существовании и оценках решений (х,и) задачи Коши и двухточечных краевых задач таких, что траектория х — абсолютно непрерывная функция, управление и — измеримая функция, о существовании минимальных и наименьших решений.

Степень достоверности и апробация. Все результаты диссертации снабжены подробными доказательствами и опубликованы в ведущих научных изданиях. Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:

1. VI Workshop International sur les Mathématiques Appliquées et la Modélisation "WIMAM'2022". Гельма (Алжир), 2022 г.

2. Международная школа молодых ученых "Моделирование и оптимизация сложных систем"(MOCS-2022), Суздаль, 2022 г.

3. XI Международная научно-практическая конференция "Математическое и компьютерное моделирование в экономике, страховании и управлении рисками Саратов, 2022 г.

4. Международная Воронежская зимняя математическая школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы Воронеж, 2023 г.

5. Международная научная конференция "Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий Воронеж, 2023 г.

6. III Всероссийская научная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения Рязань, 2024 г.

7. Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (DIFF-2024), Суздаль, 2024 г.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 18 работах [16, 46-51,58,59,74-82], в том числе две работы [47,77] опубликованы в изданиях, входящих в перечень ВАК, пять работ [16,46,58,75,81] — в изданиях, входящих в системы цитирования Scopus.

Личный вклад автора. Все результаты диссертации получены автором лично. Из работ, выполненных в соавторстве, в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие автору.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на параграфы (всего 9 параграфов), заключения, списка обозначений и списка литературы. Общий объем работы составляет 111 страниц. Список литературы содержит 85 наименований.

Приведем основные положения и результаты диссертации (сохраняя нумерацию утверждений и формул из основного текста).

Во введении обоснована актуальность темы исследования, описана степень ее разработанности, поставлены цели и задачи, аргументированы научная новизна, достоверность, теоретическая и практическая значимость результатов, приведены использованные методы, выносимые на защиту положения, сведения о публикациях и докладах по теме диссертации, кратко изложена структура работы.

В главе 1 получены утверждения о разрешимости и оценке решений операторного включения (в частности, операторного уравнения) в частично упорядоченном пространстве и функционального включения (в частности, функционального уравнения) с отклоняющимся аргументом в пространстве измеримых функций. Сформулируем основные результаты этой главы.

В §1.1 приведены необходимые сведения об упорядоченных пространствах.

В §1.2 рассматривается операторное уравнение, а в §1.3 — операторное включение в частично упорядоченном пространстве.

Пусть заданы частично упорядоченные пространства X = (X, и Y = (Y, Для элементов u, v G X и множества U С X обозначим

Ox(u) = {x G X : x ^ u}, Ox(U) = \J Ox(u),

VugU

[v, u]X = {x G X : v ^ x ^ u}.

Рассмотрим многозначное отображение F : X ^ Y такое, что множество F (x) С Y непусто при любом аргументе x G X. Очевидно, если множество F (x) Vx G X одноточечное, то отображение F становится «обычным однозначным».

Определение 1.3.1. Отображение F : X ^ Y будем называть упоря-доченно накрывающим множество V С Y, если для любого u G X выполнено Oy (F (u)) П V С F (Ox (u)).

При заданном элементе y G Y рассмотрим включение

y G F (x) (1.3.2)

относительно неизвестного x G X.

Будем предполагать, что F : X ^ Y представимо в виде

F (x) = Ф^, x), Vx G X,

где отображение Ф : X2 ^ У по одному аргументу обладает свойством упорядоченного накрывания, а по другому — монотонности. По отображению Ф : X2 ^ У, элементу у € У и произвольному множеству и С X определим множество 5(Ф, и, у) всех цепей Б С и таких, что имеют место соотношения

Ух € Б Зу € Ф(х, х) у ^ у,

Ух,и € Б х и ^ З£ € [х,и] у € Ф(£,и).

Теорема 1.3.1. Пусть существуют и0 € X и у0 € У такие, что у0 € Ф(ио,ио), уо ^ у, и выполнены условия:

(A) при любом х € Ох(и0) отображение Ф(-,х) : X ^ У упорядоченно накрывает множество {у};

(B) при любом х € Ох(и0) отображение Ф(х, •) : X ^ У является антитонным на множестве [х,и0]х;

(C) любая бесконечная цепь Б € 5(Ф, Ох(и0),у) ограничена снизу, и для некоторой ее нижней границы ш € X существует г € Ф(ш,ш), удовлетворяющий неравенству г ^ у.

Тогда включение (1.3.2) имеет решение, среди решений существует минимальный элемент, который принадлежит множеству Ох (и0).

Также в §1.3 получено дополнительное условие, обеспечивающее существование в множестве решений включения (1.3.2) наименьшего элемента.

В случае когда Г - однозначное отображение из приведенных в §1.3 результатов следуют утверждения о разрешимости и оценках решений операторного уравнения в частично упорядоченном пространстве.

В §1.4 рассматриваются функциональные уравнение и включение с отклоняющимся аргументом в пространстве измеримых функций.

Пусть д — мера Лебега на [а,Ь]. Обозначим через пространство измеримых (по Лебегу) функций х : [а,Ь] ^ Мп (с «естественным» порядком). Пусть задано измеримое многозначное отображение В : [а,Ь] ^ К(Мп) (имеющее компактные непустые образы). Обозначим W(В) множество измеримых функций х € Wп таких, что х(г) € В(г), г € [а,Ь].

Пусть заданы функция Н : [а, Ь] ^ [а, Ь] и многозначное отображение С : [а, Ь] х Мп х Мп ^ К(МШ). Рассмотрим включение

в(г,х(Н(г)),х(г)) Э 0, г € [а,Ь]; х(в) = 0, в/ [а, Ь], (1.4.9)

с дополнительным ограничением на неизвестную функцию

х(г) е Б(г), г е [а, 6]. (1.4.10)

Решением системы включений (1.4.9), (1.4.10) будем называть всякую функцию х е Ж (Б), удовлетворяющую (1.4.9) при п.в. г е [а, 6]. Для любого х е Ж (Б) обозначим

(@^х)(г)= | х(ВД), если е [а, 6], | 0, если й(г) е [а, 6],

п = {(г,х,и): г е [а,6], х е (б^Б )(г), и е Б (г)}

и определим сужение О^ : П ^ К(Мт) отображения О на множество П.

Теорема 1.4.6. Пусть задана функция и0 е Ж (Б) такая, что О(г, (6^и0), и0(г)) П = г е [а, 6], и выполнены следующие условия:

(A) при любых х,и е Мп отображение О(^,х,и) : [а, 6] ^ К(Мт) является измеримым;

(B) при п.в. г е [а, 6] и любых и е Мп отображение О(г, ^,и) : Мп ^ К(Мт) антитонно и по каждому скалярному аргументу х^ ..., хп непрерывно справа;

(C) при п.в. г е [а, 6] и любых х е Мп отображение О(г,х, •) : Мп ^ К(Мт) непрерывно;

(Э) при п.в. г е [а, 6] и любых х е (в^Б)(г) отображение О^(г,х, •) : Б (г) ^ К(Мт) упорядоченно накрывает множество {0} С Мт;

(Е) для любого измеримого множества Е С [а, 6] с мерой д(Е) = 0 множество ^-1(Е) измеримо и выполнено д(^-1(Е)) = 0.

Тогда система (1.4-9), (1.4.10) имеет решение, среди решений существует минимальный элемент и он принадлежит множеству п (и0).

Также в §1.4 получено дополнительное условие, обеспечивающее существование в множестве решений включения (1.4.9) наименьшего элемента.

В случае когда О - однозначное отображение из приведенных в §1.4 результатов следуют утверждения о разрешимости и оценках решений функционального уравнения с отклоняющимся аргументом в пространстве измеримых функций.

Глава 2 диссертации посвящена исследованию систем неявных дифференциальных уравнений. Эта глава содержит два параграфа: в §2.1 рассматривается задача Коши, а в §2.2 — краевая задача. Исследуются условия существования и свойства решений на основе полученных в главе 1 результатов об операторном уравнении.

Обозначим — пространство суммируемых функций [а, 6] ^ Мп, АСП — пространство абсолютно непрерывных функций х : [а, 6] ^ Мп таких, что х е Для заданного измеримого многозначного отображения Б : [а, 6] ^ К(МП) определим пространства Ь(Б) = {у е : у(г) е Б (г) при п.в. г е [а, 6]} и АС (Б) = {х е АСП : х(г) е Б (г) при п.в. г е [а, 6]}.

Пусть задана функция д : [а, 6] х Мп х Мп ^ Мт. Рассмотрим дифференциальное уравнение

д(г,х,хх) = 0, г е [а, 6], (2.1.1)

при дополнительном ограничении на производную искомой функции

х(г) е Б (г), г е [а, 6]. (2.1.2)

Решением системы (2.1.1), (2.1.2) будем называть всякую функцию х е АС (Б), удовлетворяющую уравнению (2.1.1) при п.в. г е [а, 6].

Пусть задан вектор 7 е Мп. Приведем условия разрешимости задачи Коши для системы (2.1.1), (2.1.2) с начальным условием

х(а) = 7. (2.1.3)

г

Определим множества Л(г) =7 + / Б(й)^, г е [а, 6], и П = |(г,х,и) :

а

г е [а, 6], х е ^(г), и е Б (г)}, далее зададим сужение д^ : П ^ Мт функции д на множество П.

Теорема 2.1.1. Пусть для некоторой функции г0 е АС (Б) выполнены неравенства д(г, £0(г), ¿0(г)) > 0, г е [а, 6], г0(а) > 7. Далее, пусть

(a) при любых х,и е Мп функция д(-,х,и) : [а, 6] ^ Мт измерима;

(b) при п.в. г е [а, 6] и любых и е Мп функция д(г, ^,и) : Мп ^ Мт по каждому скалярному аргументу х1,..., хп не возрастает и непрерывна справа;

(с) при п.в. г € [а,Ь] и любых х € Мп функция д(г,х, •) : Мп ^ Мт непрерывна;

(Ю при п.в. г € [а,Ь] и любых х € ^(г) функция д^(г,х, •) : В (г) ^ Мт упорядоченно накрывает множество {0} С Мт;

(е) множество измеримых сечений многозначного отображения В(•) П Ом™(¿0(0) : [а,Ь] ^ К(Мп) интегрально ограничено снизу. Тогда задача Коши (2.1.1)-(2.1.3) разрешима, в множестве производных решений существует минимальный элемент х € Ь(В) и для него выполнено х(г) < г0(г) при п.в. г € [а, Ь].

Теперь для системы (2.1.1), (2.1.2) сформулируем утверждение о разрешимости и оценках решений краевой задачи с условием

ах(а) + вх(Ь) = 7, (2.2.4)

где 7 € , а, в € Мкхп, к < п. Будем предполагать, что гапк(а + в) = к.

Определим псевдообратную матрицу (а + в)+ к матрице а + в- Определим множества Л(г) = (а + в)+(7 — в /а В(в)^в) + В(в)^в, г € [а,Ь], и и = {(г,х,и) : г € [а, Ь], х € ^(г), и € В(г)}, далее зададим сужение д^ : и ^ Мт функции д на множество и.

Теорема 2.2.1. Пусть все элементы матрицы (а + в)+ неотрицательны, а матрицы (а + в)+в — неположительны. Пусть для некоторой функции г0 € АС (В) справедливы неравенства д(г, г0(г), ¿0(г)) > 0, г € [а,Ь], и аг0(а) + вг0(Ь) > 7, а для заданных здесь функций д,д^ выполнены условия (а)-(е) теоремы 2.1.1. Тогда краевая задача (2.1.1),(2.1.2),(2.2.4) разрешима, в множестве производных решений существует минимальный элемент х € Ь(В) и для него выполнено х(г) < г0(г), г € [а, Ь].

Также в главе 2 рассмотрена система (2.1.1),(2.1.2) в ситуации, когда дифференциальное уравнение является скалярным, а В (г) = [г>0(г), и0(г)], г € [а, Ь] (где ^0,и0 : [а, Ь] ^ М — заданные суммируемые функции и г»0 < и0). В этом случае для задачи Коши и краевой задачи при выполнении условий теорем 2.1.1 и 2.2.1, соответственно, установлено, что в множестве производных решений существует наименьший элемент.

Глава 3 диссертации посвящена исследованию неявных дифференциальных включений и управляемых систем. Получены условия существования и

исследованы свойства решений. Исследование основано на результатах главы 1 об операторном включении. В §3.1 рассматривается задача Коши, в §3.2 — краевая задача для неявного дифференциального включения, а в §3.3 полученные результаты применяются к исследованию управляемой системы, описываемой неявным дифференциальным уравнением.

Пусть задана многозначная функция О : [а, 6] х Мп х Мп х Мп ^ К(Мт). Рассмотрим дифференциальное включение

О(г,х,х,х) э 0, г е [а,6], (3.1.1)

при дополнительном ограничении на производную искомой функции

х(г) е Б (г), г е [а, 6]. (3.1.2)

Здесь, как и выше, многозначное отображение Б : [а, 6] ^ К(МП) предполагается измеримым. Решением системы включений (3.1.1), (3.1.2) называем х е АС (Б), удовлетворяющий включению (3.1.1) при п.в. г е [а, 6].

Пусть задан вектор 7 е Мп. Приведем условия разрешимости задачи Коши для системы (3.1.1),(3.1.2) с начальным условием

х(а) = 7. (3.1.3)

г

Зададим множества Л(г) = 7 + /Б(й)^, г е [а, 6], и О = {(г,х,г>,и) :

а

г е [а, 6], х е ^(г), v е Б (г), и е Б (г)}, далее зададим сужение О^ : О ^ К(Мт) многозначного отображения О на множество О.

Теорема 3.1.1. Пусть задана функция 20 е АС (Б) такая, что 20(а) > 7 и О г, 20 (г), ¿0 (г), ¿0 (г)) п мт = 0, г е [а, 6]. Далее, пусть

(A) при любых х^,и е Мп функция О(•,x,v,u) : [а, 6] ^ К(Мт) измерима;

(B) при п.в. г е [а, 6] и любых v,u е Мп функция О(г, •,v,u) : Мп ^ К(Мт) по каждому аргументу х1,..., хп непрерывна справа;

(C) при п.в. г е [а, 6] и любых х,и е Мп функция О(г,х, ^,и) : Мп ^ К(Мт) по каждому аргументу v1,..., vn непрерывна справа;

(Э) при п.в. г е [а, 6] и любых х^ е Мп функция О(г,x,v, •) : Мп ^ К(Мт) непрерывна;

(Е) при п.в. г € [а,Ь], любых х € ^(г), V € В (г) отображение Сп(г,х,^, •) : В (г) ^ К(Мт) упорядоченно накрывает множество {0} С Мт;

(О при п.в. г € [а,Ь] и любых и € В (г) отображение Сп(г, •, ^,и) : ^(г) х В (г) ^ К(Мт) антитонное;

(I) множество измеримых сечений многозначного отображения В(•) П

ОМ»(¿0(0) : [а,Ь] ^ К(Мп) интегрально ограничено снизу. Тогда задача Коши (3.1.1)-(3.1.3) разрешима, в множестве производных решений существует минимальный элемент х € Ь(В) и для него при п.в. г € [а, Ь] выполнено х(г) < г0(г).

Также в §3.1 рассмотрена система (3.1.1),(3.1.2) в ситуации, когда В (г) С Мп при п.в. г € [а, Ь] является нижней полурешеткой. В этом случае при выполнении условий теоремы 3.1.1 установлено, что в множестве производных решений рассматриваемой задачи Коши существует наименьший элемент.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Серова Ирина Дмитриевна, 2024 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Arnold, V.I. Mathematical models and control of catastrophic processes / Arnold V.I., Davydov A.A., Vasiliev V.A., Zakalyukin V.M. // UNESCO Encyclopedia of Life Support systems. — Oxford, UK:EOLSS Publishers Co.Ltd., 2005. — P. 3—46.

2. Arutyunov, A. On the solvability of implicit differential inclusions / Arutyunov A., Oliveira V.A., Pereira F.L., Zhukovskiy E., Zhukovskiy S. // Applicable Analysis. — 2015. — Vol. 94. № 1. — P. 129—143.

3. Arutyunov, A. V. Coincidence points principle for mappings in partially ordered spaces / A. V. Arutyunov, S. E. Zhukovskiy, E. S. Zhukovskiy // Topology and its Applications. — 2015. — Vol. 179. — P. 13—33.

4. Arutyunov, A. V. Coincidence points principle for set—valued mappings in partially ordered spaces / A. V. Arutyunov, S. E. Zhukovskiy, E. S. Zhukovskiy // Topology and its Applications. — 2016. — Vol. 201. — P. 330—343.

5. Bishop, E. Bishop The support functionals of a convex set Convexity / Bishop E. Bishop, R.R. Phelps // Proc. Symp. Pure Math. — Amer. Math. Soc. — 1963. — Vol. 7. — P. 27—35.

6. Dara, L. Singularites generiques des equations differentielles multiformes / Dara L. // Bol. Soc. Bras. Mat. — 1975. — Vol. 6. № 2. — P. 95—128.

7. Davydov, A. Generic singularities of implicit systems of first order differential equations on the plane / Davydov A., Ishikawa G., Izumiya S., Sun W.—Z. // Japanese Journal of Mathematics. — 2008. — Vol. 3. № 1. — P. 93—120.

8. Dulac H. Points singuliers des equations differentielles / Dulac H. — Т. 61. — Paris: Gauthier—Villars, 1934 — 70 p.

9. Lakshmikantham, V. Differential and Integral Inequalities. Theory and applications. / Lakshmikantham V., Leela S. — V. 1. — N.Y.: Academic Press, 1969 — 416 p.

10. Rabczuk, R. Elementy nierownosci rozniczkowych / Rabczuk R. — Wyd. 1. — Warszawa: Panstwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976 — 276 p.

11. Sengupta, R. On fixed points of contraction maps acting in (qi,q2) —quasimetric spaces and geometric properties of these spaces / Sengupta R. // Eurasian Math. J. — 2017. — Vol. 8, №3. — P. 70—76.

12. Szarski, J. Differential Inequalities / Szarski J. — Wyd. 1. — Warszawa: Panstwowe Wydawnictwo Naukowe, 1967 — 256 p.

13. Tokens, F. Constrained equations; a study of imphcit differential equations and their discontinuous solutions / Tokens F. // In Structural Stability, the Theory of Catastrophes, and Applications in the Sciences. Lect. Notes Math. — Berlin: Springer, 1976. — Vol. 525. — P. 143—234.

14. Walter, W. Differential and Integral Inequalities / Walter W.// Springer Verlag. — Berlin: Springer, 1970. — P. 710—713.

15. Zhukovskiy, E.S. Extension of the Kantorovich theorem to equations in vector metric spaces: applications to functional differential equations / Zhukovskiy E.S., Panasenko E.A. // Mathematics. — 2024. — Т. 12. №1(64). — P. 1—17.

16. Zhukovskiy, E.S. On Order Covering Set—Valued Mappings and Their Applications to the Investigation of Implicit Differential Inclusions and Dynamic Models of Economic Processes / Zhukovskiy E.S., Serova I.D., Panasenko E.A., Burlakov E.O. // Advances in Systems Science and Applications. — 2022. — Vol. 22, No. 1. — P. 176—191.

17. Аваков, Е. Р. Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной / Аваков Е. Р., Арутюнов А. В., Жуковский Е. С. // Дифференциальные уравнения.

— 2009. — Т. 45, № 5. — С. 613—634.

18. Андронов, А.А. Теория колебаний / Андронов А.А., Витт А.А., Хай-кин С.Э. // Переработка и доп. Н. А. Железцова. 2—е изд. — Москва: Физмат-гиз, 1959. — 915 с.

19. Арнольд, В. И. Контактная структура, релаксационные колебания и особые точки неявных дифференциальных уравнений / Арнольд В. И. // Геометрия и теория особенностей в нелинейных задачах. Сборник научных трудов.

— Воронеж:Воронеж. ун-та, 1987. — С. 3—8.

20. Арнольд, В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений / Арнольд В. И. // 1—е изд. — Москва: Наука, 1978.

— 304 с.

21. Арнольд, В. И. Теория катастроф / Арнольд В. И. // 3—е изд. — Москва : Наука, 1990. — 126 с.

22. Арутюнов, А. В. Точки совпадения двух отображений / А. В. Ар-

утюнов // Функциональный анализ и его приложения. — 2014. — Т. 48, № 1. — С. 89—93.

23. Арутюнов, А. В. Устойчивость точек совпадения и свойства накрывающих отображений / А. В. Арутюнов // Математические заметки. — 2009.

— Т. 86, № 2. — С. 163—169.

24. Арутюнов, А. В. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки / А. В. Арутюнов // Доклады Академии наук.

— 2007. — Т. 416, № 2. — С. 151—155.

25. Арутюнов, А. В. О структуре множества точек совпадения / А. В. Арутюнов, Б. Д. Гельман // Математический сборник. — 2015. — Т. 206, № 3. — С. 35—56.

26. Арутюнов, А. В. О корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной / А. В. Арутюнов, Е. С. Жуковский, С. Е. Жуковский // Дифференциальные уравнения. — 2011. — Т. 47. № 11. — С. 1523—1537.

27. Арутюнов, А. В. О мощности множества точек совпадения отображений метрических, нормированных и частично упорядоченных пространств / А. В. Арутюнов, Е. С. Жуковский, С. Е. Жуковский // Математический сборник. — 2018. — Т. 209. № 8. — С. 3—28.

28. Арутюнов, А. В. О точках совпадения отображений в частично упорядоченных пространствах / А. В. Арутюнов, Е. С. Жуковский, С. Е. Жуковский // Доклады Академии наук. — 2013. — Т. 453. № 5. — С. 475—478.

29. Арутюнов, А. В. Точки совпадения многозначных отображений в частично упорядоченных пространствах / А. В. Арутюнов, Е. С. Жуковский, С. Е. Жуковский // Доклады Академии наук. — 2013. — Т. 453. № 6. — С. 595—598.

30. Арутюнов, А. В. Антипериодическая краевая задача для неявного обыкновенного дифференциального уравнения / А. В. Арутюнов, З. Т. Жуковская, С. Е. Жуковский // Вестник российских университетов. Математика. — 2022. — Т. 27. № 139. — С. 205—213.

31. Беккенбах, Эдвин Ф. Неравенства / Э. Ф. Беккенбах, Р. Беллман; Пер. с англ. Г. И. Басса [и др.] ; Под ред. В. И. Левина. — Москва: Мир, 1965.

— 276 с.

32. Бенараб, С. Двусторонние оценки решений краевых задач для неявных дифференциальных уравнений / С. Бенараб // Вестник российских университетов. Математика. — 2021. — Т. 26, № 134. — С. 216—220.

33. Бенараб, С. О функциональных и дифференциальных неравенствах и их приложениях к задачам управления / С. Бенараб, З. Т. Жуковская, Е. С. Жуковский, С. Е. Жуковский // Дифференциальные уравнения. — 2020.

— Т. 56, № 11. — С. 1471—1482.

34. Бенараб, С. О теореме Чаплыгина для неявного дифференциального уравнения го порядка / С. Бенараб // Вестник российских университетов. Математика. — 2021. — Т. 26, № 135. — С. 225—233.

35. Бенараб, С. Теоремы об операторных неравенствах в исследовании краевых задач и задач управления для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной: специальность 01.01.02 "Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление": диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук / Бенараб Сарра, 2022. — 119 с.

36. Богаевский, И. А. Неявные обыкновенные дифференциальные уравнения: перестройки и усиление эквивалентности / И. А. Богаевский // Известия Российской академии наук. Серия математическая. — 2014. — Т. 78. № 6.

— С. 5—20.

37. Борисович, Ю.Г. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений / Борисович Ю.Г.,Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. // Изд. 2—е, испр. и доп. — Москва: Книжный дом "ЛИБРО-КОМ", 2010. — 224 с.

38. Варга, Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями / Дж. Варга // пер. с англ. В.И. Благодатских; под ред. Р.В. Гамкрелидзе. — Москва: Наука, 1977. — 623 с.

39. Гельман, Б. Д. О локальных решениях вырожденных дифференциальных включений / Б. Д. Гельман // Функциональный анализ и его приложения. — 2012. — Т. 46. № 1. — С. 79—83.

40. Гришина, Ю. А. Структурная устойчивость простейших динамических неравенств / Ю. А. Гришина, А. А. Давыдов // Труды МИАН. — 2007. — Т. 256. — С. 89—101.

41. Давыдов, А. А. Об уравнениях, не разрешенных относительно производной, и о релаксационных колебаниях / А. А. Давыдов // УМН. — 1985. — Т. 40. Вып. 5. — С. 299—300.

42. Давыдов, А. А. Особенности типичного дохода в модели Арнольда циклических процессов / А. А. Давыдов // Дифференциальные уравнения и динамические системы. Сборник статей. Тр. МИАН. — 2005. — Т. 250. — С. 79—94.

43. Давыдов, А. А. Нормальная форма уравнения, не разрешенного относительно производной, в окрестности его особой точки / А. А. Давыдов // Функц. анализ и его приложения. — 1985. — Т. 19. № 2. — С. 1—10.

44. Давыдов, А. А. Типичные фазовые переходы и особенности выгоды в модели Арнольда / А. А. Давыдов, Е. М. Матош // Матем. сб. — 2007. — Т. 198. № 1. — С. 21—42.

45. Данфорд, Н. Линейные операторы / Данфорд Н., Шварц Дж. // Т. 1. Общая теория. — М: Издательство иностранной литературы, 1962 — 896 с.

46. Жуковская, Т. В. Некоторые вопросы анализа отображений метрических и частично упорядоченных пространств / Т. В. Жуковская, Е. С. Жуковский, И. Д. Серова // Вестник российских университетов. Математика. — 2020. — Т. 25, № 132. — С. 345—358.

47. Жуковская, Т. В. О функциональных неравенствах / Т. В. Жуковская, И. А. Забродский, И. Д. Серова // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. — 2016. — Т. 21, № 6. — С. 1963—1968.

48. Жуковская, Т. В. Задача управления для неявного обыкновенного дифференциального уравнения / Т. В. Жуковская, И. Д. Серова // Математическое и компьютерное моделирование в экономике, страховании и управлении рисками. — 2022. — № 7. — С. 76—78.

49. Жуковская, Т. В. Об оценке решения краевой задачи для неявного дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом / Т. В. Жуковская, И. Д. Серова // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. — 2020. — Т. 186. — С. 38—44.

50. Жуковская, Т. В. О существовании решений функционального включения с отклоняющимся аргументом / Т. В. Жуковская, И. Д. Серова // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Международная школа молодых ученых "Моделирование и оптими-

зация сложных систем"[Электронный ресурс]: сб. тез. докл. междунар. конф. и междунар. шк. молодых ученых. Суздаль, 28 июня — 3 июля 2024 г. / Мат. ин-т им. В. А. Стеклова РАН - ; Мат. центр мир. ур. "Мат. ин-т им. В. А. Стеклова РАН"; Моск. гос. ун-т им. М. В. Ломоносова [и др.]. — Владимир: Изд-во ВлГУ, 2024. С. 160—161.

51. Жуковская, Т. В. Оценка решения неявного дифференциального включения второго порядка / Т. В. Жуковская, И. Д. Серова // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы Международной конференции. Воронежская зимняя математическая школа, Воронеж, 27 января — 01 февраля 2023 года. — Воронеж: Воронежский государственный университет, 2023. — С. 149—151.

52. Жуковский, Е. С. О возмущениях векторно накрывающих отображений и системах уравнений в метрических пространствах / Е. С. Жуковский // Сибирский математический журнал. — 2016. — Т. 57. № 2(336). — С. 297—311.

53. Жуковский, Е. С. Об упорядоченно накрывающих отображениях и интегральных неравенствах типа Чаплыгина / Е. С. Жуковский // Алгебра и анализ. — 2018. — Т. 30. № 1. — С. 96—127.

54. Жуковский, Е. С. Об упорядоченно накрывающих отображениях и неявных дифференциальных неравенствах / Е. С. Жуковский // Дифференциальные уравнения. — 2016. — Т. 52. № 12. — С. 1610—1627.

55. Жуковский, Е. С. Накрывающие отображения в произведении метрических пространств и краевые задачи для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной / Е. С. Жуковский, Е. А. Плужникова // Дифференциальные уравнения. - 2013. - Т. 49. № 4. - С. 439—455.

56. Жуковский, Е. С. Об управлении объектами, движение которых описывается неявными нелинейными дифференциальными уравнениями / Е. С. Жуковский, Е. А. Плужникова // Автоматика и телемеханика. — 2015. -№ 1. — С. 31—56

57. Жуковский, Е. С. Об устойчивости упорядоченного накрывания многозначных отображений при антитонных возмущениях / Е. С. Жуковский, Е. А. Плужникова, Е. М. Якубовская // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. - 2016. — Т. 21. № 6. — С. 1969—1973.

58. Жуковский, Е. С. О задаче управления для системы неявных диф-

ференциальных уравнений / Е. С. Жуковский, И. Д. Серова // Дифференциальные уравнения. — 2023. — Т. 59. № 9. — С. 1283—1296.

59. Жуковский, Е. С. О неравенстве типа Чаплыгина для неявных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом / Е. С. Жуковский, И. Д. Серова // Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика. — 2017. — Т. 5. № 8—1(34—1). — С.160—162.

60. Жуковский, Е. С. О накрывающих отображениях в обобщенных метрических пространствах в исследовании неявных дифференциальных уравнений / Е. С. Жуковский, В. Мерчела // Уфимский математический журнал. — 2020. — Т. 12. № 4. — С. 42—55.

61. Закалюкин, И.В. Особенности уравнений динамики некоторых него-лономных систем и неявные дифференциальные уравнения: автореферат дис. кандидата физико-математических наук: 01.02.01 / Закалюкин Иван Владимирович; [Место защиты: Моск. гос. авиац. ин—т]. — Москва, 2010. — 17 с.

62. Закалюкин, В. М. Лежандровы особенности в системах неявных обыкновенных дифференциальных уравнений и быстро-медленных динамических системах / В. М. Закалюкин, А. О. Ремизов // Труды МИАН. — 2008. — № 261. — С. 140—153.

63. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика / Коллатц Л. — 1—е изд. — М: Мир, 1969 — 448 с.

64. Колмогоров, А. Н., Фомин, С. В. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин — 1—е изд. — М: Наука, 1981 — 544 с.

65. Красносельский, М. А. Геометрические методы нелинейного анализа / М. А. Красносельский, П. П. Забрейко — 1—е изд. — М: Наука, 1975 — 511 с.

66. Лузин, Н. Н. О методе приближённого интегрирования акад. С. А. Чаплыгина / Лузин Н. Н. // УМН. — 1951. — Т. 6. № 6. — С. 3—27.

67. Мамедов, Я.Д. Теоремы о неравенствах / Я. Д. Мамедов, С. Аширов, С. Атдаев; Отв. ред. М. Мередок. — Ашхабад: Ылым, 1980. — 232 с.

68. Пилия, А. Д. Особенности поля электромагнитной волны в холодной анизотропной плазме с двумерной неоднородностью / А. Д. Пилия, В. И. Федоров // ЖЭТФ. — 1971. — Т. 60. № 1. — С. 389—399.

69. Плужникова, Е. А. Корректная разрешимость задач управления для систем дифференциальных уравнений неявного вида / Е. А. Плужникова //

Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2013. — № 3. — С. 49—64.

70. Прасолов, В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры/ В. В. Прасолов. — [Новое изд., перераб.]. — Москва: Изд—во МЦНМО, 2015. — 575 с.

71. Пуанкаре, А. Избранные груды / Пуанкаре А. — Т. 3. Математика. Теоретическая физика. Анализ математических и естественно—научных работ Анри Пуанкаре. — М: Наука, 1974 — 771 с.

72. Ремизов, А. О. О правильных особых точках обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производных / А. О. Ремизов // Дифференц. уравнения. — 2002. — Т.38. № 5. — С. 622—630.

73. Ремизов, А. О. Типичные особые точки неявных дифференциальных уравнений / А. О. Ремизов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. мех. — 2002.

— № 5. — С. 1—16.

74. Серова, И. Д. О существовании и оценках решений неявного дифференциального уравнения с авторегулируемым отклонением аргумента / И. Д. Серова, А. А. Репин // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. — 2018. — Т. 23. № 123. — С. 566—574.

75. Серова, И. Д. Исследование краевой задачи для дифференциального включения / И. Д. Серова // Вестник российских университетов. Математика.

— 2023. — Т. 28. № 144. — С. 395—405.

76. Серова, И. Д. О дифференциальном уравнении с отклоняющимся аргументом, зависящим от искомой функции / И. Д. Серова // Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий (ПМТУКТ—2018): Сборник трудов XI международной конференции, Воронеж, 19 — 24 сентября 2018 года / Под редакцией А.П. Жабко, И.Л. Батароно-ва, В.В. Провоторова; Воронежский государственный технический университет, Московский государственный университет, Санкт-Петербургский государственный университет, Воронежская Военно-воздушная академия, Воронежский государственный университет и др. — Воронеж: ООО "Издательство "Научная книга", 2018. — С. 258—261.

77. Серова, И. Д. О неявных дифференциальных неравенствах с отклоняющимся аргументом / И. Д. Серова // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. — 2017. — Т. 22. № 3. — С.571—578.

78. Серова, И. Д. Об оценках решения неявного функционально-дифференциального уравнения / И. Д. Серова // Прикладная математика и вопросы управления. — 2017. — № 2. — С. 85—93.

79. Серова, И. Д. Об оценке решений краевых задач для неявных дифференциальных уравнений / И. Д. Серова // Вестник РАЕН. — 2019. — Т. 19. № 2. — С. 142—145.

80. Серова, И.Д. Один метод исследования задач управления для неявных дифференциальных уравнений /И.Д. Серова // Международная школа молодых ученых "Моделирование и оптимизация сложных систем". Аннотации лекций и докладов. Суздаль. 30 июня — 5 июля 2022. — Владимир: "Аркаим". — С. 37—38.

81. Серова, И. Д. Суперпозиционная измеримость многозначной функции при обобщенных условиях Каратеодори /И.Д. Серова // Вестник российских университетов. Математика. - 2021. — Т. 26. № 135. — С. 305—314.

82. Серова, И. Д. Управляемая система неявных нелинейных дифференциальных уравнений / И. Д. Серова // Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий (ПМТУКТ—2023): сборник трудов Международной научной конференции, Воронеж, 04-06 декабря 2023 года. — Воронеж: Воронежский государственный педагогический университет, 2023. — С. 89—90.

83. Филиппов, А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А. Ф. Филиппов. — Москва: Наука, 1985. — 224 с.

84. Чаплыгин, С.А Основания нового способа приближённого интегрирования дифференциальных уравнений [Собрание сочинений I. Гостехиздат — 1948. — С. 348—368] / Чаплыгин С.А — [б. и.]. — М: Наука, 1919 — 18 с.

85. Шрагин, И. В. Суперпозиционная измеримость / И. В. Шрагин // Изв. вузов. Матем. — 1975. — № 1. — С. 82—92.