Исследование свойств точек совпадения и минимумов функционалов в (q1, q2) – квазиметрических пространствах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Сенгупта Ричик

• Сенгупта Ричик
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Сенгупта Ричик

пространств

1.3 Некоторые обобщения (#1, #2)-квазиметрических пространств

2 Неподвижные точки и точки совпадения

2.1 Неподвижные точки отображений обобщенных

(#1, #2) -квазиметрических пространств

2.2 Точки совпадения и пересечения графиков двух многозначных отображений в (#1, #2)-квазиметрических пространствах

2.3 Оценки расстояния между пересечениями графиков многозначных отображений

3 Существование минимумов функций

и вариационные принципы

3.1 Существование минимумов функций

в (#1, #2) -квазиметрических пространствах

3.2 Вариационные принципы

в обобщенных метрических пространствах

Заключение

Список литературы

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование свойств точек совпадения и минимумов функционалов в (q1, q2) – квазиметрических пространствах»

Актуальность темы и степень разработанности

Диссертация посвящена исследованию свойств точек совпадения двух операторов и проблем, связанных с минимизацией функционалов в (^1, д2) -квазиметрических пространствах.

Кратко изложим историю развития таких пространств. Напомним, что если задано множество X, то функция р : X х X ^ К называется метрикой, если

(1) р(х,у) > 0 V х,у Е X (неотрицательность);

(п) р(х,у) = 0 ^^ х = у Vх,у Е X (аксиома тождества);

(Ш) р(х,у) = р(у,х) Vх,у Е X (аксиома симметрии);

(гу) р(х,г) < р(х,у) + р(у,г) Vх,у,г Е X (неравенство треугольника).

При этом пара (X, р) называется метрическим пространством.

Метрические пространства появились в работах Фреше [46]. Позднее начали исследовать разные модификации метрических пространств. Например, в монографии Хаусдорфа [42] рассматривались пространства без аксиомы симметрии. Такие пространства теперь называются квазиметрическими пространствами.

Простейший пример квазиметрического пространства дает прямая Зор-генфрея (см., например, [44], [40]), определяемая па вещественной прямой К

квазиметрикои

I у — X, X < у, РБ (х,у) = <

11, X > у.

Очевидно, квазиметрика рб не является симметрической.

Исследования квазиметрических пространств проводились многими авторами, среди них выделим П.С.Александрова [1], В.Уилсона [68], В.В.Немыцкого [59] и С.И.Недева [19].

Квазиметрические пространства являются частным случаем более общих /-квазиметрических пространств [25]. В них неравенство треугольника заменено более общим неравенством

Р(^ ^ < /(Р(^ У),Р(У, Vх,у,х е X.

/

(¿1,^2) ^ 0 /(¿1,^) ^ 0, ¿1,^2 > 0. /

/

пространства исследовались в работах [14], [25] и других. В [48] и [25] бы/

Если опустить аксиому тождества (аксиома (11)), то соответствующие пространства принято называть псевдометрическими. Они также активно изучались (см., например, [53], [61]), но в настоящей диссертации они не исследуются.

Ослабленное неравенство треугольника и соответствующие ему пространства несколько раз переоткрывались под разными названиями — квазиметрические пространства, почти-метрические пространства [39], пространства метрического типа и т.д. Койфман и Дэ Гузман в [38] в связи с некоторыми проблемами гармонического анализа ввели в рассмотрение Ь-метрики, которые они называли "функциями расстояния". Результаты Койфмана и Дэ Гузмана были дополнены результатами Макиаса и Сеговия в [57]. Они также

исследовали Ь-метрические пространства, рассматривали неподвижные точки и липшицевы функции в таких пространствах. И.А. Бахтин в работе [33] Ь

сжимающих отображений для таких пространств.

В работе [7] было введено понятие (д-[, д2) -квазиметрического пространства, где д1 и д2 положительные числа.

Напомним, что функция р : X х X ^ К называется (д]^, д2) -квазиметрикой, если

(О р(х,у) > 0 V х,у Е X;

(н) р(х,у)=0 ^^ х = у Vх,у Е X;

(Ш) р(х,г) < д1р(х,у) + д2р(у,х) Vх,у,г Е X ((д1,д2)-обобщенное неравенство треугольника).

Если р — (д^ д2)-квазиметрика, то пара (X, р) называется (д1, д2)-квази-метрическим пространством. Таким образом, (д1, д2) -квазиметрические пространства являются частным случаем / — квазиметрических пространств при

/ (им) = дА + д2^2.

Очевидно, (1,1)-квазиметрические пространства являются просто квазиметрическими. Отметим, что если множество X состоит из более чем двух точек,

д1 > 1 д2 > 1 .

В работе [8] были исследованы многозначные отображения, которые действуют в (д1, д2) -квазиметрических пространствах. Общая теория (д1,д2)-квазиметрических пространств была изложена в статье [6]. В [6] для отображений действующих в (д1, д2)-квазиметрических пространствах были получены условия существования неподвижной точки, аналог теоремы Банаха, а также условия существования точек совпадения, аналог теоремы Арутюнова.

В обобщении теоремы Банаха в [6] было доказано, что замкнутое сжимающее отображение, действующее в полном (д1, д2) -квазиметрическом пространстве, имеет единственную неподвижную точку. Обсудим предположение

замкнутости сжимающего отображения. Если в квазиметрическом пространстве выполняется аксиома симметрии или аксиома #0 -симметрии (напомним, что для #0 > 0, (#1, #2) -квазиметрика р называется #0-симметрической, если р(х,у) < #0р(у, х) для любых х,у е X), то предположение замкнутости сжимающего отображения выполняется автоматически.

В связи с этим возникает естественный вопрос: существенно ли предположение замкнутости сжимающего отображения или возможно построить несимметрическое (#1, #2)-квазиметрическое пространство, в котором сжимающее отображение не имеет неподвижных точек. В работе [62] автором диссертации был дан ответ на этот вопрос, а именно, было построено полное квазиметрическое пространство и действующее в нем незамкнутое сжимающее отображение, которое не имеет неподвижных точек. Тем самым была показана существенность предположения замкнутости сжимающего отображения в обобщении теоремы Банаха из [6].

В связи со сказанным, отметим важную работу [14]. В ней для отобра-

/

вия, при которых обобщенно сжимающее (в смысле М.А. Красносельского)

/

ственную неподвижную точку. Эти условия слабее, чем предположения замкнутости отображения. Хотя, как показывает упомянутый выше пример, совсем отказаться от дополнительных предположений нельзя. Отметим также, что понятие полноты пространства в [14] более общее, чем в [6].

Диссертационная работа состоит из трех глав. В первой главе приведены общие определения и свойства (#1, #2)-квазиметрических пространств, обобщенных метрических пространств, обобщенных (#1, #2) -квазиметрических про/

свойства неподвижных точек и точек совпадения отображений, действующих в (#1, #2) -квазиметрических пространствах.

Исследование (#1, #2) -квазиметрических пространств при = #2 важно как с теоретической точки зрения, так и с точки зрения приложений,

поскольку такие пространства естественным образом возникают в анализе и геометрии на пространствах Карно-Каратеодори и их обобщениях, такие как Вох-квазиметрики, которые являются (1, #2)-квазиметриками. Они играют важную роль при доказательстве аналога локальной аппроксимационной теоремы Громова (см., например, [51], [66]).

В третьей главе исследованы вариационные принципы и проблемы существования минимума в (#1, #2) -квазиметрических и в обобщенных метрических пространствах.

В 70-е годы прошлого века были получены вариационный принцип Бишопа-Фелпса (ВПБФ) (см.[60] и [50]) и вариационный принцип Экланда (ВПЭ) (см. [32]). Они сыграли огромную роль в развитии нелинейного анализа. Сформулируем эти принципы.

Пусть (X, р) полное метрическое пространство, и : X ^ К и полунепрерывная снизу функция, которая ограничена снизу и не равна тождественно Вариационный принцип Бишопа-Фелпса [60] гласит, что для любого х0 е X такого, что и(х0) < то, для произвольного с > 0 существует точка х е X такая, что

и(х) + ср(х0, х) < и(х0),

и(х) + ср(х, х) >и(х) Vx е X \ {х}.

В свою очередь, вариационный принцип Экланда (см. [36] и [32]) гласит, что в приведенных выше предположениях для любого х0 е X и для любого £ > 0, удовлетворяющего неравенству

и(х0) < £ + т£ и(х)

хеХ

и для любого Л > 0 существует точка х е X такая, что

и(х) < и(х0), р(х0,х) < Л,

£

и(х) +—— р(х,х) >и(х) Vх е X : х = х. Л

Оказалось, что эти принципы эквивалентны (см. [47]). Принцип Экланда является вариационной формулировкой понятия метрической полноты, т.е.,

если любая непрерывная функция, ограниченная снизу и определённая на метрическом пространстве, удовлетворяет ВПЭ, то пространство является полным (см. [63]).

Позже для банаховых пространств был получен вариационный принцип Борвейна-Прайса [34], который позволяет рассматривать возмущения, которые имеют сложную форму, но являются гладкими в определённом смысле. Отметим, что вариационный принцип Борвейна-Прайса и вариационный принцип Экланда не следуют друг из друга. Действительно, в ВПЭ возмущенная функция не обязательно является гладкой, и в то же время вариационный принцип Борвейна-Прайса не гарантирует существования строгого минимума возмущённого функционала.

В [18] был получен гладкий вариационный принцип Иоффе-Тихомирова, который позднее был развит в работе [23]. Этот гладкий вариационный принцип и его модификация позволили получить новые необходимые условия второго порядка для различных классов задач оптимального управления (см. [12], [4]) и минимизации последовательностей [58]. ВПЭ используется в исследовании многих других задач вариационного анализа. В [5] ВПЭ был применён, чтобы получить достаточные условия достижения минимума полунепрерывной снизу функции без предположения компактности области определения. Недавно были получены обобщения ВПЭ и ВПБФ, которые позволили получить достаточные условия достижения минимума полунепрерывного снизу и ограниченного снизу достаточно гладкого функционала (см. [10],

[31])-

Актуальность диссертационного исследования обусловлена тем, что (д1, д2) -квазиметрические пространства являются объектами интенсивного исследования в функциональном и метрическом анализе, а также используются в приложениях. Квазиметрические пространства имеют многочисленные применения в теории оптимизации и аппроксимации, выпуклом анализе и т.д. Например, Фагин и Стокмейер [45] рассматривали расстояния, удовлетворяющие й-неравенству треугольника и другим свойствам, применимым к неко-

торым проблемам теоретической информатики. Несимметричные нормированные пространства рассматривались в работе [17].

Теория (#1, #2) -квазиметрических пространств имеет широкий спектр приложений, включая задачи математического и функционального анализа, математического моделирования, математической биологии и т.д. (см., например, [54], [67] и др). Теория (#1, #2)-квазиметрических пространств играет важную роль и в фундаментальных исследованиях (см., например, [41], [49], [20]).

Диссертационная работа посвящена разработке математического аппарата решения ряда задач математического анализа, включая задачи нахождения точек совпадения двух отображений, неподвижных точек отображений, решения нелинейных уравнений и исследование свойств минимумов функционалов. Она включает в себя утверждения о свойствах пространств, оснащенных функцией расстояния; теоремы о свойствах точек совпадения пар отображений, действующих в (#1, #2)-квазиметрических пространствах; теорему о существовании неподвижных точек отображений обобщенных (#1, #2) -квазиметрических пространств; теорему о существовании минимума функционала, определенного на (#1, #2)-квазиметрическом пространстве; вариационные принципы для функционалов, определенных на обобщенных метрических пространствах.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 69 источников. Общий объем диссертации 91 страница. В заключении сформулированы основные результаты и выводы, полученные в диссертации.

Глава 1 состоит из трех параграфов. В параграфе 1.1 приводятся основные определения и свойства (#1, #2)-квазиметрических пространств. Обсуждаются структурные и топологические свойства (#1, #2)-квазиметрических пространств и доказывается несколько базовых утверждений, которые позволяют лучше попять особенности этих пространств.

В параграфе 1.2 рассматриваются отображения, действующие в (д1,д2)-квазиметрических пространствах и доказываются некоторые, относящиеся к ним, простые утверждения. Построен пример сжимающего отображения, график которого не является замкнутым.

В параграфе 1.3 приведены некоторые обобщения (д1, д2) -квазиметрических пространств, а именно обобщенные (д1, д2) -квазиметрические пространства и /-квазиметрические пространства, а также доказаны некоторые, касающиеся их, утверждения.

Глава 2 состоит из трех параграфов. В параграфе 2.1 построен пример полного квазиметрического пространства и действующего в нем сжимающего отображения, которое не имеет неподвижных точек. Получены достаточные условия существования неподвижной точки у сжимающего отображения в обобщенном (д1, д2) -квазиметрическом пространстве. Напомним, что

обобщенное (д1, д2) -квазиметрическое пространство - это обобщение (д1,д2) -

р

значение . Сформулируем это утверждение.

Пусть (X, р) — обобщенное (д1, д2) -квазиметрическое пространство, в Е [0,1) — заданное число. Положим

5 (3) :=1 + д2 в + ••• + д2—2в3—2 + д2-1в3—1д—\ 3 = 1, 2,...,

т0 := шт{з Е N : д2в3 < 1}.

Последовательность {х^} С X называется фундаментальной последовательностью, если для любого £ > 0 существует но мер N Е N такой, что рх (хз ,х{) < £ для любых I > з > N. (д1, д2) -квазиметрическое простанство (X, р) называется полным, если любая фундаментальная последовательность сходится в нем.

Теорема 1. Пусть пространство (X,р) является полным, отображение Ф : X ^ X является сжимающим с константой в < 1 и замкнутым.

Тогда, для любой точки х0 Е X, для которой р(х0, Ф(х0)) < ж, имеют место следующие утверждения:

последовательность xi+1 := Ф(ж«), i = 0,1, 2,... сходится к некоторой точке £ = £(x0);

£ является неподвижной точкой отображения Ф, т.е. £ = Ф(£); имеет место неравенство

lim р(хо,А) < (m°) ф(хо)).

л^е 1 - 0

В параграфе 2.2 в предположениях теоремы из [6] о существовании точек совпадения многозначных отображений, действующих в (#1, #2)-квазиметри-ческих пространствах, получены оценки расстояния от произвольной точки до точки пересечения графиков многозначных отображений. Чтобы сформулировать это утверждение, введем необходимые определения.

Пусть (X, рх) и (У, ру) — (#1, #2)-квазиметрические пространства. Через Н будем обозначать расстояние по Хаусдорфу, а через Н+ — отклонение по Хаусдорфу, т.е.

Н+ (и,У) = 8ира181(м,У), Н(и,У) = шах{Н+(и,У), н+(у,и)}, и, V С X.

иеи

Многозначное отображение Ф : X ^ У называется в -липшицевым, если

Н(Ф(х1), Ф(х2)) < врХ(х1, х2) Ухь х2 е X.

Если (X, рх) = (У, ру) и в < 1, то в-липшпцевое многозначное отображе-Ф

Будем обозначать график многозначного отображения Ф : X ^ У через gph(Ф), т.е. gph(Ф) := {(х,у) : х е X, у е Ф(х)}.

Многозначное отображение Ф : X ^ У называется замкнутым, если для любых последовательностей {х^} С X и {у^} С У и точек х0 е X и у0 е У таких, что х^ ^ х0, у^ ^ у0 и (х^у^) е gph(Ф) для любого г, выполняется (хо,Уо) е gph(ф).

Будем говорить, что график многозначного отображения Ф : X ^ У является полным,, если для любых фундаментальных последовательностей

{_Xi\ С X и {yi} С У таких, что {(xi,yi)} С gph(Ф), существует точка (xo,yo) £ gph(Ф) такая, что xi ^ xo и yi ^ yo.

Пусть заданы числа а > 0 и в £ [0,а). Многозначное отображение Ф : X ^ Y называется а -накрывающим, если

У By(y, аг) с Ф(Вх(x,r)) Vr > 0, Vx £ X.

ye^(x)

Обозначим через Faß множество всех упорядоченных пар многозначных отображений (Ф, Ф), Ф, Ф : X ^ Y, таких, что

• многозначное отображение Ф является а-накрывающим;

• многозначное отобра жение Ф являет ся ß-липшицевым;

• либо график gph(Ф) является полным и множество Ф^) замкнуто для любого x £ X, либо график gph(Ф) является полным, а график Ф является замкнутым.

Положим

M^^(x,r) := {y £ Ф^) : dist^(x),y) <r}, x £ X, r> 0, (Ф, Ф) £ Fa,ß,

1- вп

S(e,n):=---, в £ [0,1), n = 0,1, 2...,

1 — в

mo := min|j £ N : < l|.

Теорема 2. Пусть заданы числа а > 0, ß £ [0, а) и упорядоченная пара многозначных отображений (Ф, Ф) £ Fa,ß. Тогда для любых xo £ X, ro > dist^(xo), Ф(^о)) и y\ £ M^^(xo,ro) существуют такие £ £ X и ц £ Y, что

П £ Ф(£) П Ф(£),

и выполняются неравенства:

qfa^S (q2 а ,mo — 1) + qi(q2ß )-0—1

hm p(xo,\) <---—-ro,

а-0 — q2ß-0

r , ßа--0—1S(q2а,mo — 1) + qi(q2ß)-0—1 hm Р(У1,к) < ß-—--ro.

к^'п а-0 — q2ß-0

В параграфе получены теоремы об оценках расстояния от точки (x,y) £ X х Y до пересечения графиков многозначных отображений. Сформулируем одну из них.

Для а > 0, ß £ [0,а), (Ф, Ф) £ Faß положим

, ч , ч , ч , ч q2am0-1S(q2ä,mo - 1) + qifeß)m0-1 Г(Ф, Ф) := gph^)ngph^), K(mo) := q-^аmo - ßm )-.

Для векторов z = (x,y) £ X х Y, A = (AX, AY) £ R2 и подмножества Г С X х Y будем писать D(z, Г) < A, если для произвольного £ > 0

существует точка (£,п) £ Г такая, что

lim p(x, Л) < AX + lim p(y, к) < AY + £.

Теорема 3. Пусть заданы числа а > 0, ß £ [0, а) и упорядоченная пара многозначных отображений (Ф, Ф) £ Fa,ß. Тогда множество Г(Ф, Ф) непусто и, более того, для произвольной пары (x,y) £ X х Y справедливо неравенство

D((x,y), Г(Ф, Ф)) < A(x,y). (1)

Здесь

A(x, y) = (K(mo)(ri + Г2), qif2 + q2ßK(mo)(qiri + №)), r1 = dist^(x), y), r2 = dist(y, Ф(х)).

В параграфе 2.3 получены теоремы об оценках расстояния между пересечениями графиков двух пар многозначных отображений и об оценках расстояния между двумя множествами точек совпадения двух пар многозначных отображений, действующих из одного (qi, q2) -квазиметрического пространства в другое. В качестве следствия получено обобщение леммы Лима для точек совпадения отображений, действующих между (qi, q2) -квазиметрическими пространствами. Приведем это утверждение.

Определим еще одну функцию, характеризующую расстояние между подмножествами (qi, q2) -квазиметрических пространств. Для U, V С X положим

e+ (U, V) := supdist(U, v).

v£V

Следствие 4. Пусть pX полунепрерывна снизу по втором,у аргументу, заданы числа а > 0, ß Е [0,а) и упорядоченная пара многозначных отображений (ty, Ф) Е Fa,ß. Тогда,

h+(Coin(ty, Ф), Coin(ty, Ф)) < K(m0) sup(qie+(ty(x), ty(x))+q2h+fä(x), Ф(х))).

xeX

Глава 3 состоит из двух параграфов. В параграфе 3.1 приведено обобщение условия Каристи для (qi, q2) -квазиметрических пространств, и получены достаточные условия существования точки минимума полунепрерывных снизу, ограниченных снизу функционалов, действующих в (q\, q2) -квазиметрических пространствах, удовлетворяющих условию Каристи. Приведем обобщенное условие Каристи.

Пусть q\ > 1, q2 > 1, 7 Е R, k > 0 ^ заданные числа, (X,p) — полное (qi, q2) -квазиметрическое пространство, U : X ^ R собственная (т.е. U(x) ф ) полунепрерывная снизу функция, ограниченная снизу числом 7.

U

k

У x Е X : 7 < U(x) 3 x' Е X : q2U(x') + kqip(x,x') < U(x) + (q2 - 1)7.

Теорема 5. Предположим, что q2 > 1 и функционал U : X ^ R удовле-

k.

x0 Е X существует точка x Е X, такая, что функционал U достигает

x,

и(х) = Ъ X е с1в(*:о,и(Х°1 - А.

Построен пример, показывающий, что предположение q2 > 1 в полученной теореме является существенным.

В параграфе 3.2 получено обобщение вариационного принципа Экланда для обобщенных метрических пространств. Сформулируем его.

Пусть (X, р) — полное обобщенное метрическое пространство (т.е. функция р удовлетворяет аксиомам метрики, но может принимать значение

определение полноты, дословно совпадает с определением полноты для метрических пространств). Для функционала и : X ^ К и {+го} обозначим

7и(А) := 1п£ и(х), А с X, А = 0.

хеА

Мы предполагаем, что 7и (А) может принимать зн ачения —го или +го. Обозначим через П(Х) множество всех функци оналов и : X ^ К и{+го} таких, что 7и (А) > —го для любого непустого ограниченного множества А с X. Для и £ П(Х) положим ^ши := {х £ X : и(х) < +го}.

Теорема 6. Пусть и £ П^). Тогда для любой точки х0 £ doшU, для любой функции, е : ^ (0, +го) такой, что

и(жо) <7и(В(жо,Л)) + е(Л) VЛ> 0

и для любого Л > 0 существует, точка х £ X такая, что

и(х) < и(ж0), р(х0, х) < Л,

и(х) + р(х, х) > и(х) Vх £ X \ {х}. Л

В случае, когда пространство (X, р) является метрическим, эта теорема остается содержательной и не совпадает с вариационным принципом Эклан-да, поскольку, в отличие от вариационного принципа Экланда, не предпола-

и.

В параграфе получено обобщение вариационного принципа Бишопа-Фелпса. Сформулируем его. Обозначим через П0^) множество функционалов и £ П^) таких, что

- т£{и(х) : х £ В(х0, г)} ^ 0 при г ^ +го для любой точки х0 £ X.

Теорема 7. Пусть (X, р) — полное обобщенное метрическое пространство и и £ П0^). Тогда, для любого х0 £ domU и с > 0 существует точка х £ X такая, что

и(х) + ср(х0,х) < и(х0), и(х) + ср(х,х) > и(х) Vх £ X \ {х}.

В качестве следствия получено обобщение известного утверждения [32, гл. 5, п.З, следствие 7] о существовании минимизирующих последовательностей, удовлетворяющих необходимым условиям первого порядка с любой степени точности, для ограниченных снизу полунепрерывных снизу дифференцируемых по Гато функций.

Следствие 8. Пусть X — банахово пространство, U Е ^0(X) — дифференцируемый по Гато функционал. Тогда существует последовательность {xn} С X такая, что U(xn) ^ inf U(x) и U'(xn) ^ 0 в X*.

хеХ

В этом утверждении, в отличие от [32, гл. 5, п.З, следствие 7], априорное

U

Цели и задачи работы

Основной целью диссертационного исследования является изучение свойств неподвижных точек отображений обобщенных (qi, q2) -квазиметрических пространств, точек совпадения отображений (q1, q2) -квазиметрических пространств и минимум функционалов, определенных па (q1, q2) -квазиметрических пространствах и обобщенных метрических пространствах.

Задачи диссертационного исследования состоят в следующем. Исследовать свойства пространств, оснащенных функцией расстояния, необходимые для изучения нелинейных уравнений и задач минимизации. Получить аналог принципа сжимающих отображений для отображений обобщенных (q1,q2)-квазиметрических пространств. Для многозначных отображений (q1, q2) -квазиметрических пространств получить теоремы об оценках расстояния от произвольной точки до пересечения графиков двух многозначных отображений; теоремы об оценках расстояния между пересечениями графиков двух пар многозначных отображений; теоремы об оценках расстояния между двумя множествами точек совпадения двух пар многозначных отображений. Получить обобщения известных принципов нелинейного анализа для полунепрерывных снизу функционалов, определенных на обобщенных метрических пространствах, без априорного предположения ограниченности снизу.

Методология и методы исследования

В работе были применены методы функционального анализа, теории многозначных отображений, математического анализа, общей топологии и выпуклого анализа.

Научная новизна

Все результаты, полученные в диссертационной работе, являются новыми.

Положения, выносимые на защиту

Перечислим научные положения, выносимые на защиту.

• Построен пример сжимающего отображения, действующего в полном квазиметрическом пространстве, которое не имеет неподвижных точек. Таким образом, показана существенность предположения замкнутости в теореме о неподвижной точке из [6]. Получена теорема о существовании неподвижной точки сжимающего многозначного отображения, действующего в обобщенном (с1, q2) -квазиметрическом пространстве. Получены оценки расстояния от заданной точки до неподвижной точки.

•

чек совпадения у многозначных отображений, действующих в (с)-квазиметрических пространствах, получены: теоремы об оценках расстояния от произвольной точки до пересечения графиков двух многозначных отображений; теоремы об оценках расстояния между пересечениями графиков двух пар многозначных отображений; теоремы об оценках расстояния между двумя множествами точек совпадения двух пар многозначных отображений. В частности, получено обобщение леммы Лима для с2) -квазиметрических пространств.

лунепрерывного снизу, ограниченного снизу функционала в полном с2) -

квазиметрическом пространстве при q2 > 1. Получены оценки расстояния от заданной точки до множества точек минимума. Построен пример, который показывает существенность предположения q2 > 1.

• Получено обобщение вариационного принципа Экланда для функционалов, действующих в обобщенных метрических пространствах без априорного предположения ограниченности снизу. Получено обобщение вариационного принципа Бишопа-Фелпса. В качестве следствия для полунепрерывных снизу дифференцируемых по Гато функций, доказано существование минимизирующих последовательностей, удовлетворяющих необходимым условиям первого порядка с любой степенью точности.

Достоверность научных положений обусловлена строгостью математических доказательств и использованием апробированных научных методов.

Публикации

Основные результаты, полученные в диссертации, опубликованы в следующих работах:

1. Sengupta R. On fixed points of contraction maps acting in (q\, q2) -quasimetric spaces and geometric properties of these spaces // Eurasian Math. J., 8:3 (2017), 70-76.

2. Sengupta, R., Zhukovskiy S. E. Minima of functions on (q\, q2) -quasimetric spaces // Eurasian Math. J., 10:2 (2019), 84-92.

3. Sengupta R., Zhukovskaya Z.T., Zhukovskiy S.E. Properties of Coincidence Points in (q\, q2) -Quasimetric Spaces //Advances in Systems Science and Applications, 2020, Vol. 20, No 1, 91-103.

4. Сепгупта P. О неподвижных точках сжимающих отображений в обобщённых (q\, q2) -квазиметрических пространствах // Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 22:6 (2017), 1325-1328 .

5. Жуковская 3. Т. , Жуковский С. Е. , Сенгупта Р. О точных неравенствах треугольника в (qi, q2) -квазиметрических пространствах // Вестник российских университетов. Математика, 24:125 (2019), 33-38.

6. Арутюнов А.В., Грешное А.В., Сенгупта Р. Теорема о неподвижных точках в (q1, q2) -квазиметрических пространствах // Ломоносовские чтения - 2017. Тезисы докладов (г. Москва, 17-26 апреля 2017 г., МГУ им. М.В. Ломоносова): материалы конференции, 94-95.

7. Сенгупта Р. «О точках совпадения в обобщенных квазиметрических пространствах» // Некоторые вопросы анализа, алгебры, геометрии и математического образования: материалы международной молодежной научной школы «Актуальные направления математического анализа и смежные вопросы». Материалы конференции(2017), 173-174.

8. Арутюнов А. В., Жуковский, С. Е. Сенгупта Р. Об условии типа Кари-сти в (q1, q2)-квазиметрических пространствах // Научная конференция Ломоносовские чтения. Тезисы докладов. 15-25 апреля 2019 г., секция вычислительной математики и кибернетики, Факультет вычислительной математики и кибернетики, 17-18, Москва, 2019.

9. Sengupta R. On fixed points and coincidence points of mappings in (ql,q2)-quasimetric spaces" Conference materials. Conference on Geometric Analysis dedicated to the 90th anniversary of academician Yu. G. Reshetnyak (September 22-28, 2019, Novosibirsk), 132-134.

10. Sengupta R, Zhukovskiy S.E. On the existence of minima of functions on (q1, q2)-quasimetric spaces // конференция «Mathematical Fhysics, Dynamical Systems and Infinite-Dimensional Analysis» 17-21 Июня, 2019, МФТИ, г. Долгопрудный, p.81.

Габоты 1-3 индексируются базой Scopus и WoS, 4-5 входят в перечень ВАК, остальные работы индексируются базой ГИНЦ.

Все результаты, вошедшие в диссертацию, включая результаты из работ с соавторами, получены автором диссертации самостоятельно.

Апробация результатов

Основные результаты диссертации докладывались автором на следующих семинарах и конференциях:

проф. А.В. Арутюнова, проф. В.И. Буренкова и проф. М.Л. Гольдмана в РУДН в 2017, 2018, 2019;

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Сенгупта Ричик, 2020 год

Литература

[1] Александров П. С., Немыцкий В. В. Условие метризуемости топологических пространств и аксиома симметрии // Матем. сб. 1938. Т.3(45). № 3. 663-672.

[2] Арутюнов A.B. Задача о точках совпадения многозначных отображений и устойчивость по Улиму Хи Персу // Доклады Академии наук. 2014. Т. 445. № 4. 379-383.

[3] Арутюнов A.B. Лекции по выпуклому и многозначному анализу. М.:ФИЗМАТЛИТ. 2014.

[4] Арутюнов A.B. Необходимые условия экстремума и теорема об обратной функции без априорных предположений нормальности // Тр. МИ-АН. 2002.Т. 236. 33-44.

[5] Арутюнов A.B. Условие Каристи и существование минимума ограниченной снизу функции в метрическом пространстве. Приложения к теории точек совпадения// Тр. МИАН. 2015.Т. 291. 30-44.

[6] Арутюнов A.B., Грешное A.B. (q\, q2) -квазиметрические пространства. Накрывающие отображения и точки совпадения // Изв. РАН. Сер. матем. 2018.Т. 82. № 2. 3-32.

[7] Арутюнов A.B., Грешное A.B. Теория (q\, q2) -квазиметрических пространств и точки совпадения // Докл. РАН. 2016. Т. 469. № 5. 527-531.

[8] Арутюнов A.B., Грешное A.B. Точки совпадения многозначных отображений в (qi, q2) -квазиметрических пространствах// Докл. РАН. 2017. Т. 476. № 2. 129-132.

[9] Арутюнов А. В., Жуковский Е. С., Жуковский С.Е. О точках совпадения отображений в частично упорядоченных пространствах // Доклады Академии наук. 2013. Т. 453. № 5. 475-478.

[10] Арутюнов A.B., Жуковский С.Е. Вариационные принципы в нелинейном анализе и их обобщение// Матем. заметки. 2018. Т. 103. № 6. 948 954.

[11] Арутюнов A.B., Жуковский С.Е. Возмущение решений задачи о точках совпадения двух отображений // Докл. РАН. 2014. Т. 456. № 5. 514-517.

[12] Арутюнов A.B., Карамзин Д.Ю. Необходимые условия слабого минимума в задаче оптимального управления со смешанными ограничениями // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41. № 11.

[13] Арутюнов A.B., Тынянский Н.Т. К необходимым условиям локального минимума в теории оптимального управления// Докл. АН СССР. 1984. Т. 275. № 2. 268-272.

[14] Жуковский Е.С. Неподвижные точки сжимающих отображений f-квазиметрических пространств// Сиб. матем. журн. 2018. Т. 59. № 6.

[15] Жуковская З.Т., Жуковский С.Е. Об обобщениях и приложениях вариационных принципов нелинейного анализа // Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки. 2018. Т. 23. № 123. 377-385.

[16] Жуковская З.Т., Жуковский С.Е., Сенгупта Р. О точных неравенствах треугольника в (ql .q2)-Kiunii.метрических пространствах // Вестник российских университетов. Математика. 2019. Т. 24. № 125. 33-38.

[17] Иванов Г.Е., Лопушански М.С. Аппроксимативные свойства слабо выпуклых множеств в пространствах с несимметричной полунормой// Труды МФТИ. 2012. Т. 4. № 4. 94-104.

[18] Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Несколько замечаний о вариационных принципах// Матем. заметки. 1997. Т. 61. № 2. 305-311.

[19] Недев С.Й. О-метризуемые пространства // Тр. ММО. Издательство Московского университета. 1971. Т. 24. 201-236.

[20] Alvarado R., Mit/rea М. Hardy Spaces on Ahlfors-Regular Quasi Metric Spaces. A Sharp Theory. Lecture Notes in Mathematics 2142, Springer, Heidelberg, Germany, 2015.

[21] Arutyunov A.V. Second-order conditions in extremal problems. The abnormal points // Transactions of the American Mathematical Society. 1998. V. 350, № 11. P. 4341-4365.

[22] Arutyunov A. V., Avakov E.R., Zhukovskii E.S. Covering mappings and their applications to differential equations unsolved for the derivative// Differential Equations. 2009. V. 45, № 5. P. 627-649.

[23] Arutyunov A., Bobylev N., and Korovin 5., One remark to Ekeland's variational principle// Comput. Math. Appl. 1997. V. 34. P. 267-271.

[24] Arutyunov A. V., Gel'man B.D., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Caristi-like condition. Existence of solutions to equations and minima of functions in metric spaces // Fixed Point Theory. 2019. V. 20.№ 1. P. 31-58.

[25] Arutyunov A. V., Greshnov A.V., Lokoutsievskii L.V., Storozhuk K.V. Topological and geometrical properties of spaces with symmetric and nonsymmetric f-quasimetrics // Topology Appl.2017. V. 221. P. 178-194.

[26] Arutyunov A. V., Vinter R.B. A simple "finite approximations" proof of the Pontryagin maximum principle under reduced differentiability hypotheses // Set-Valued and Variational Analysis. 2004. V. 12, № 1-2. P. 5-24.

[27] Arutyunov A. V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Coincidence points principle for mappings in partially ordered spaces// Topology and its Applications. 2015. V. 179. №. 1. P. 13-33.

[28] Arutyunov A. V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Caristi-Like Condition and the Existence of Minima of Mappings in Partially Ordered Spaces// Journal of Optimization Theory and Applications. 2019. V. 180. №. 1. P. 48-61.

[29] Arutyunov A. V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Coincidence points principle for set-valued mappings in partially ordered spaces// Topology and its Applications. 2016. V. 201. P. 330-343.

[30] Arutyunov A. V., Zhukovskiy S.E. Existence of local solutions in constrained dynamic systems// Applicable Analysis. 2011. V. 90. №. 6. P. 889-898.

[31] Arutyunov A. V., Zhukovskiy S.E. Variational Principles in Analysis and Existence of Minimizers for Functions on Metric Spaces// SIAM Journal on Optimization.2019. V. 29. P. 994-1016.

[32] Aubin J.-P., Ekeland I. Applied Nonlinear Analysis. J. Wiley & Sons Inc. New York. 1984.

[33] Bakhtin, I.A. The Contraction Mapping Principle in Quasi-Metric Space // Functional Analysis. 1989. V. 30. P. 26-37.

[34] Borwein J.M., Preiss D. A smooth variational principle with applications to subdifferentiability and to differentiability of convex functions // Trans. Am. Math. Soc. 1987. V. 303. №. 2. P. 517-527.

[35] Caristi J. Fixed point theorems for mappings satisfying inwardness conditions // Trans. Amer. Math. Soc.1976, V. 215, P. 241-251.

[36] Clarke F.H. Optimization and Nonsmooth Analysis// SIAM. 1990.

[37] Cobzas S. Completeness in quasi-metric spaces and Ekeland Variational Principle// Topology Appl. 2011. V. 158. P. 1073-1084.

[38] Coifman R.R. and Guzman M.de Singular integrals and multipliers on homogeneous spaces// Rev. Union Mat. Argent. 1970. V. 25. P. 137-143.

[39] Deza M.M. and Deza E. Encyclopedia of distances, 3rd ed. Berlin, Springer, 2014.

[40] Doitchinov D. On completeness in quasi-metric spaces// Topology Appl. 1988. V. 30. P. 127-148.

[41] Domiaty G. Life without T2 // Proceedings of the Conference on Differential-Geometric Methods in Theoretical Physics, (Clausthal-Zellerfeld, Germany, July 1978), Lect. Notes in Phys., SpringerVerlag, Berlin, Heidelberg, NY., 1981, V. 139,P. 251-258.

[42] Hausdorff F. Grundzüge der Mengenlehre, Von Veit, Leipzig, 1914.

[43] Ekeland I. On the variational principle//Journal of Mathematical Analysis and Applications. V. 47. № 2. 1974. P. 324-353.

[44] Engelking R. General Topology, Heldermann, 1989.

[45] Fagin R. and Stockmeyer L. Relaxing the triangle inequality in pattern matching// International J. Computer Vision. 1998. V. 28, № 3. P. 134160.

[46] Fréchet M. Sur quelques points du calcul fonctionnel // Palermo Rend. 1906. V. 22.P. 1-74.

[47] Frigon M. On some generalizations of Ekeland's principle and inward contractions in gauge spaces// J. Fixed Point Theory Appl. 2011.V. 10.P. 279-298.

[48] Frink A.H. Distance functions and the metrization problem// Bull. Amer. Math. Soc. 1937. V. 43, № 2. P. 133-142.

[49] Goubault-Larrecq J. Non-Hausdorff Topology and Domain Theory // Cambrige Univ. Press, Cambrige, 2013.

[50] Grunas A., Dugundji J. Fixed Point Theory, Springer-Verlag, N.Y., (2003).

[51] Gromov M. Carnot-Caratheodory spaces seen from within // Sub-Reimannian geometry, Birkhäuser, Basel, 1996. P. 79-323.

[52] Heinonen U. Lectures on Analysis on Metric Spaces, Universitext, Springer, New York, 2001.

[53] Howes N. R. Modern Analysis and Topology. New York, NY: Springer, p. 27. ISBN 0-387-97986-7, 1995.

[54] Kelly J.C. Bitopological spaces // Proc. London Math. Soc. 1963. V. 13, № 49. P. 71-89.

[55] Khamsi M.A. Remarks on Caristi's fixed point theorem // Nonlinear Anal., Theory Methods Appl. 2009. V. 71, № 1-2. P. 227-231.

[56] Lim T. C. On fixed-point stability for set-valued contractive mappings with applications to generalized differential equations// J. Math. Anal. Appl. 1985. V. 110. P. 436-441.

[57] Macias R. A. and Segovia C. Lipschitz functions on spaces of homogeneous type// Adv. Math. 1979. V. 33. P. 257-270.

[58] Mordukhovich B. Variational Analysis and Generalized Differentiation II// Applications, Springer, Berlin, 2006.

[59] Niemytzki V. Uber die Axiomedes metrischen Raumes// Math. Ann. 1931. V. 104, № 5. P. 666-671.

[60] Phelps R. Support cones in Banach spaces and their applications // Adv. Math. 1974. V. 13. P. 1-19.

[61] Reilly I.L., Subrahmanyam P.V., Vamanamurthy M.K. Cauchy sequences in quasi-pseudo-metric spaces // Mh. Math. 1982. V. 93. P. 127-140.

[62] Sengupta R. On fixed points of contraction maps acting in (qi,q2)-quasimetric spaces and geometric properties of these spaces// Eurasian Math. J. 2017. V. 8, № 3. P. 70-76.

[63] Sullivan F. A characterization of complete metric spaces // Proc. Am. Math. Soc. 1981. V. 83. P. 345-346.

[64] Ume J.Sh. A minimization theorem in quasi-metric spaces and its applications// Int. J. Math. Math.Sci. 2002. V. 31, № 7. P. 443-447.

[65] Vinter R. Optimal Control, Birkhauser, (2000), Boston.

[66] Vodopyanov S.K., Karmanova M.B. Geometry of Carnot-Caratheodory spaces, differentiability, coarea and area formulas // Analysis and mathematical physics, Trends Math., Birkhauser, Basel. 2009. P. 233-335.

[67] Waterman M.S. , Smith T. F., Beyer T.A. Some bioligical Sequence metrics// Adv. Math. 1976. V. 20, № 3. P. 367-387.

[68] Wilson W.A. On quasi-metric spaces// Am. J. Math. 1931. V. 53, № 3. P. 675-684.

[69] Zhukovskiy S.E. On continuous selections of finite-valued set-valued mappings // Eurasian Math. J. 2018. V. 9, № 1. P. 83-87.