Геометрические методы анализа в исследовании некоторых задач теории дифференциальных включений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Гетманова Екатерина Николаевна

• Гетманова Екатерина Николаевна
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Гетманова Екатерина Николаевна

Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Обозначения и некоторые сведения из анализа

1.2 Обозначения и некоторые сведения из многозначного анализа

1.3 Обозначения и некоторые сведения для случайных мультиотображений

2 Задача управления со случайной обратной связью, заданная интегро-дифференциальным включением

2.1 Топологические характеристики для некоторых классов мультиотображений

2.2 Неявная случайная система управления с обратной связью

3 Периодическая задача для случайных дифференциальных включени

3.1 Измеримость случайного мультиоператора суперпозиции

3.2 Задача об операторе сдвига

3.3 Периодическая задача для случайных функционально-дифференциальных включений

3.4 Периодическая задача для случайных дифференциальных включений с возмущенной правой частью

Заключение

Основные обозначения

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрические методы анализа в исследовании некоторых задач теории дифференциальных включений»

Введение

Актуальность темы исследования. Теория дифференциальных включений начинала свое развитие с 30 годов XX века с работ французского математика А. Марию и польского математика С. Зарембы. Однако активное развитие она получила лишь с середины прошлого века, что связано, к примеру, с повысившимся интересом к задачам управления, оптимизации, задачам математической физики, радиофизики, акустики, теории нелинейных колебаний и др. Наиболее эффективными средствами для решения актуальных задач оказались методы нелинейного и многозначного анализа. В связи с этим исследования в данном направлении представляются весьма актуальными и важными. Различные задачи теории дифференциальных включений исследовались в работах Благодатских В.И., Борисовича Ю.Г., Булгакова А.И., Гельмана Б.Д., Жуковского Е.С., Каменского М.И., Корнева C.B., Мышкиса А.Д., Обуховского В.В., Родиной Л.И., Толстоногова A.A., Тонкова Е.Л., Филиппова А.Ф., Aubin'a J.-P., Deimling'a К., Gorniewicz'a L., Nistri P., Papageorgiou N.S., Zecca P. и др.

Геометрические методы анализа, которые применяются к задачам о нелинейных колебаниях динамических систем, начали разрабатываться в работах Пуанкаре А., Брауэра Л., Александрова П. С., Хопфа Г., Л ере Ж., Шаудера Ю. Значимые результаты в этой области получены в работах Красносельского М.А., Бобылева H.A., Борисовича Ю.Г., Жуковского Е.С., Забрейко П.П., Звягина В.Г., Каменского М.И., Красносельского A.M., Обуховского В.В., Сапронова Ю.И., Стрыгина В.В., Рачинского Д.И., Deimling'a К., Gorniewicz'a L., Mawhin'a J. и др. Одним из особенно наглядных и эффективных в этой области оказался метод направляющих функций, у истоков которого стояли Красносельский М.А.

и Перов А.И. Развитием данного метода занимались Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Корнев C.B., Мухамадиев Э.М., Мышкис А.Д., Обуховский В.В., Fonda А., Gôrniewicz L. и др.

Существенную роль в развитии данных методов играет теория топологической степени мультиотображений, которая разрабатывалась в работах Борисовича Ю.Г., Гельмана Б.Д., Гликлиха Ю.Е., Мышкиса А.Д., Обуховского В.В., Aubin'a J.-P., Granas'a A., Gorniewicz'a L., Papageorgiou N.S. и др.

Степень разработанности темы исследования. Настоящая работа продолжает исследования в вышеупомянутых направлениях, в ней приводятся новые топологические и геометрические подходы, позволяющие эффективно исследовать задачи разрешимости систем управления со случайной обратной связью, заданных интегро- дифференциальным включением, периодическую задачу для случайного функционально-дифференциального включения, а также случайного дифференциального включения с возмущенной правой частью.

Цель и задачи работы. Исследование задач существования решений для случайных дифференциальных включений с помощью новых топологических характеристик некоторых классов многозначных отображений.

Научная новизна. Все результаты диссертационной работы являются новыми. С помощью методов теории дифференциальных включений, топологических методов нелинейного и многозначного анализа определен относительный индекс неподвижных точек для класса ^-мультиотображений на компакте и для фундаментально сужаемых Jс-мультиотображений; доказана теорема о существовании неподвижных точек для данных классов; описан случайный индекс неподвижной точки для уплотняющего мультиотображения; описаны свойства приведенной характеристики, даны приложения свойств

неподвижных точек для случайного многозначного отображения; определен ориентированный случайный индекс совпадения для случайной фундаментально сужаемой четверки, содержащей нелинейный фредгольмов оператор и мультиотображение с невыпуклыми значениями; установлена измеримость мультиоператора суперпозиции, порожденного случайным многозначным отображением; доказано, что мультиоператор сдвига по траекториям случайного дифференциального включения является случайным мультиотображением; введен случайный индекс неподвижных точек, на основе чего определена топологическая степень совпадения для уплотняющей пары; описана степень совпадения для пары, состоящей из линейного фредгольмова оператора нулевого индекса и </с-мультиотображения уплотняющего типа; доказано существование случайных решений периодической задачи для случайного функционально-дифференциального включения.

Методология и методы исследования. В диссертационной работе используются методы теории операторных и дифференциальных включений, функционального анализа, теории многозначных отображений.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. В диссертации разработаны новые топологические характеристики для различных классов мультиотображений. Полученные результаты применяются для исследования существования решений неявной управляемой системы со случайной обратной связью, к разрешимости задачи об операторе сдвига, для решения периодической задачи для случайных дифференциальных включений. Результаты диссертационной работы могут применяться в теории оптимального управления, в задачах математической экономики и физики и др.

Основные научные результаты диссертационной работы внедрены в

учебный процесс кафедры высшей математики ФГБОУ ВО "Воронежский государственный педагогический университет" при изучении дисциплины "Математические методы в решении прикладных задач".

Положения, выносимые на защиту.

1. Определен ориентированный случайный индекс совпадения для случайной фундаментально сужаемой четверки. Задача нахождения случайного решения неявной случайной системы управления с обратной связью сведена к изучению случайной уплотняющей четверки, содержащей нелинейный фредгольмов оператор и мультиотображение с невыпуклыми значениями.

2. Установлена измеримость мультиоператора суперпозиции, порожденного случайным мультиотображением. Доказано, что мультиоператор сдвига по траекториям случайного дифференциального включения является случайным мультиотображением.

3. Описана случайная степень совпадения для пары, состоящей из линейного фредгольмова оператора нулевого индекса и </с-мультиотображения уплотняющего типа. На основе разработанной теории доказано существование случайных решений периодической задачи для случайного функционально-дифференциального включения.

4. Рассмотрена интегральная направляющая функция для исследования существования случайного решения периодической задачи для случайного дифференциального включения с возмущенной правой частью в случае негладких потенциалов.

Степень достоверности и апробация результатов исследования.

Достоверность результатов диссертации обеспечивается строгими математическими доказательствами и подтверждается корректным

использованием существующих научных положений. Результаты опубликованы в ведущих научных журналах и доложены на конференциях различного уровня:

- II международная молодежная научная школа "Актуальные направления

математического анализа и смежные вопросы" ("On the coincidence topological

"

Воронеж, 14 ноября 2018);

- международная конференция Воронежская зимняя математическая школа ""

- международная конференция Воронежская весенняя математическая школа

"Понтрягинские чтения - XXX" ("О степени совпадения для некоторых

"

Воронеж, 05 мая 2019);

"

""

"

"

"

"

"

- международная конференция Воронежская весенняя математическая школа " " "

"

"

""

"

октября 2020);

- международная конференция Воронежская зимняя математическая школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы" ("On random nonsmooth integral guiding functions", Воронеж, 01 февраля 2021);

- международная конференция Современные методы теории краевых задач.

""

"

"

"

"

"

"

02 июня 2021);

"

""

"

"

"" "

"

""

"

"

"" "

- XVI международная школа-конференция "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" ("О существовании решения неявной случайной системы управления с обратной связью , Казань, 25 августа 2023).

Исследования, включенные в диссертацию, поддержаны грантами Министерства просвещения Российской Федерации FZGF-0640-2020-0009, С^ИРК-2023-0002; Российского фонда фундаментальных исследований № 20-51-15003 НЦНИ_а, Российского научного фонда № 22-71-10008.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [60] - [86]. Работы [60] - [67] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Министерства науки и высшего образования РФ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, каждая из которых разбита на параграфы, заключения и списка использованной литературы. Объем работы составляет 128 страниц. Библиография содержит 86 наименований.

Введем некоторые обозначения и основные понятия. Нумерация приводимых ниже определений и утверждений совпадает с их нумерацией в диссертации.

Пусть У - метрическое пространство; символами Р (У), С (У) и К (У) обозначаются, соответственно, совокупности всех непустых, замкнутых и компактных подмножеств У. Если У - банахово пространство, то Ку(У) обозначает совокупность всех непустых выпуклых компактных подмножеств У.

Пусть X, У метрические пространства.

Определение 1.6. Многозначным отображением (мультиотображением) Р пространства X в пространство У называется соответствие, которое сопоставляет каждой точке х € X непустое подмножество Р(ж) С У. Это соответствие

записывается в виде Р : X ^ Р (У) или Р : X ^ У.

Для заданного подмножества А метрического пространства У и £ > 0 символом

Ое(А) обозпачим ^-окрестность А

Определение 1.17. Непустое компактное подмножество А метрического

пространства У называется асферичным, если для любого £ > 0 найдется 6,0 <

5 < £ такое, что для всякого п = 0,1, 2,... каждое непрерывное отображение

д : Зп ^ Оз (А) может быть продолжено до непрерывного отображения д : Вп+1 Ое (А), ^ = {х е Мп+1 : ||ж|| = 1} и Вп+1 = {х е Мп+1 : ||ж|| < 1} .

Определение 1.20. Полунепрерывное сверху (пн.св.) мультиотображение ^ К (У) называет ся </-мультиотображением (Р € 3 (Х,У)), если каждое значение Р (х), х € X является асферичным множеством.

Определение 1.21. Символом 3е (Х,У) мы будем обозначать совокупность всех мультиотображений Р : X ^ К (У) , которые могут быть представлены в виде композиции Р = Рп о ... о п > 1, где Fi € 3 (Xi-l,Xi) , % = 1,...,п, Х0 = X, Хп = У, и для 0 < г < п являются открытыми подмножествами нормированных пространств. Композиция Рп о ... о Р1 называется разложением Р. Мы будем обозначать Ир = (Рп о ... о и называть Р 3с-мультиотображением.

Определение 1.23. Символом СЗ(Х,У) мы будем обозначать совокупность всех мультиотображений С : X ^ К (У) гада С = (р о где $ € 3 (X, Z) для некоторого метрического пространства р : 2 ^ У - непрерывное отображение. Композиция р о $ называется представлением С. Мы будем обозначать С = (р о $) € СЗ (Х,У).

Пусть Р - банахово пространство.

Определение 1.24. Пусть (А, >) - некоторое частично упорядоченное множество. Функция ¡3 : Р(Е) ^ А называется мерой некомпактности (МНК) в

и

если для любого D G P(E) выполняется: ft(co D) = ft(D), где co D обозначает замыкание выпуклой оболочки D.

Пусть теперь U - открытое подмножество Е, ft - МНК в Е. Определение 1.25. Пн.св. мультиотображепие F: U ^ К(Е) называется ft-уплотняющим, те ли для любого D С U, не являющегося относительно компактным, мы имеем ft (F (D)) ^ ft (D).

Пусть Е,Е' - вещественные банаховы прострапства. Через Y будем обозначать открытое ограниченное множество Пусть заданы отображение f : Y ^ Е и мультиотображепие G : Y ^ К (Е').

Определение 1.28. Отображения /, G и пространство Y образуют ft-уплотияющую тройку, (f,G,Y^J^ если:

hi) f - фредгольмов оператор индекса к > 0 такой, что f-1(К) компактно для любого компактного множества К С Y;

h2@) мультиотображ ение G = ip о F G CJ (Y,E ') являет ся ^-уплотняющим относительно /, т.е. ft (G (D)) ^ ft (f (D)) для любого D С Y такого, что G (D) не является относительно компактным; h3) Coin (f, G) П dY = 0.

Пусть (Q, E) - измеримое прострапство, X,Y сепарабельпые метрические пространства. Пусть B(X) - а-алгебра всех борелевских подмножеств пространства X и E 0 B(X) - наименьшая а-алгебра, содержащая множества вида А х В, где A G E,B G М(Х)

Определение 1.33. Мультиотображение Ф : Q х X ^ С(Y) будем называть случайным, если оно измеримо относительно а-алгебры E 0 B(X).

Определение 1.34. Случайное мультиотображепие Ф : Q х X ^ С(Y) называется ^-случайным мультиотображением, если для каждого ш G Q

мультиотображение Ф(^, •) : X ^ С (У) пн.св.

Определение 1.37. Отображение V : О х ^ К называется случайным потенциалом, если: (г) V(•,#): О ^ К является измеримым для каждого х € Кп; (и) V (ш, •): ^ К является С ^отображением для каждого ш € О.

Определение 1.38. Случайный потенциал V называется случайным невырожденным потенциалом, если найдется До > 0 такое, что

для всех (ш,х) € О х : |ж| > До-

Обобщенный градиент Кларка дУ(х) функции V в точке х0 определяется следующим образом: дУ(х0) = {х € : (х,ь>) < V0(х0; и) для всех и € Кп} , где V0(х0, ь>) - обобщенная производная Кларка по направлению и.

Определение 1.40. Локально липшицева функция V : ^ К называется регулярной, если для каждого х € и V € существует производная по направлению V'(х, V) и она совпадает с V0(х,ь/).

Определение 1.41. Отображение V: О х ^ К называется случайным негладким потенциалом, если: (г) для любого ш € О V(ш, •): ^ К является регулярной функцией; (и) V(•, х): О ^ К измеримо для каждого х € Кп.

Определение 1.42. Случайный негладкий потенциал V: О х ^ К называется случайным негладким невырожденным потенциалом, если существует Я0 > 0 такое, что 0 € дУ (и, ж) для всех (и,х) € О х : |ж| > Я0.

Дадим обзор диссертации по главам.

Во введении обосновывается актуальность разрабатываемой темы исследования, описывается краткое содержание работы.

Первая глава имеет вспомогательный характер. Приводятся некоторые

необходимые для дальнейшего изложения сведения из функционального анализа, теории многозначных отображений, а также некоторые обозначения и сведения из теории случайных мультиотображений.

Во второй главе для исследования задачи управления со случайной обратной связью, заданной интегро-дифференциальным включением, применяется разработанный вспомогательный топологический аппарат.

В первом параграфе обосновываются геометрические методы, которые применяются в исследовании различных задач теории дифференциальных включений. Здесь рассмотрены некоторые характеристики для ряда классов мультиотображений типа относительного индекса неподвижных точек и случайного индекса совпадения для включений с фредгольмовыми операторами.

В работе устанавливается корректность определения понятия относительного индекса неподвижных точек Ind%(Dp,U%) разложения Dp на U%, заданного следующим образом.

Пусть Е - банахово пространство; % С Е - непустое выпуклое компактное подмножество; U% - (относительно) открытое подмножество %; U% обозначает его замыкание в относительной топологии пространства % и F : U% ^ К(%) -мультиотображение класса Jc (U%, %) , допускающее разложение

— F\ F2 Fn

Df U% = Xo -о X\ -o ... -о Xn = X

и такое, что x G F(x) для всex x, принадлежащих относительной границе dU%.

Определение 2.1. Относительный индекс неподвижных точек разложениям^ па U% определяется следующим образом: Ind%(Dp, U%) := deg%(I — f£n о ... ... о f£i,N), где £ > 0 достаточно мало, f£i - однозначная аппроксимация мультиотображения и правая часть равенства обозначает относительную топологическую степень компактного векторного поля.

Определяется относительный индекс неподвижных точек для фундаментально сужаемых 3с-мультиотображений.

Пусть % - замкнутое выпуклое подмножество банахов а пространства Е; и% непустое относительно открытое подмножество К. Пуст ь Е: и % ^ К (К) - пн.св. мультиотображение.

Определение 2.3. Мультиотображение Е: и % ^ К (%) называется вполне фундаментально сужаемым, если оно обладает существенным фундаментальным множеством Т, т.е. таким, что Ит = и% П Т = 0 и сужение ^ на Ит компактно.

Обозначим символом ^(и%, %) совокупность мультиотображений € Зс(и%, %), являющихся вполне фундаментально сужаемыми. Пусть мультиотображение Е € 3^(и%, %) допускает разложение Ир и таково, что ЕъхЕ П ди% = 0.

Определение 2.4. Относительным индексом гпЗ%(Ир,и%) неподвижных точек разложения Ир называется индекс неподвижпых точек Ир относительно его произвольного компактного существенно фундаментального множества Т :

тА%(Вр, и%) := гп<1т(Ир, ит).

В работе определяется индекс неподвижных точек для случайного /3-уплотпяющего м-мультиотображения.

Пусть Е - банахово пространство, и - открытое подмножество Е, Р -монотонная несингулярная МНК в Е и О - полное измеримое пространство.

Определим индекс неподвижных точек для мультиотображения $: О х и ^ К(Е), удовлетворяющего следующим условиям: ($1) $ - случайное и-мультиотображепие; ($2) для каждого ш € О, •): и ^ К(Е) - /3-

уплотпяющее ^-мультиотображение; ($3) х € $(ш,х) для всех (ш,х) € О х ди.

Обозначим символом 3^(О, и; Е) класс мультиотображений

удовлетворяющий условиям, приведенным выше.

Определение 2.8. Для данного F G J^(Q,U; Е) индекс случайных неподвижных точек определяется как следующий набор чисел:

Приведем одно из основных свойств приведенной выше характеристики -свойство неподвижной точки.

Предложение 2.8. Если Ind(F, U) = 0, то F имеет случайную неподвижную точку, то есть существует измеримое отображение £ : Q ^ U такое, что G (ш)) для всех ш G Q.

Приложением данного свойста является следующее утверждение.

Теорема 2.4. Пусть F G J^(Q,U; Е), где U - выпуклая окрестность нуля и

Тогда F имеет случайную неподвижную точку.

Описывается понятие степени совпадения для пары, состоящей из линейного фредгольмова оператора пулевого индекса и </с-мультиотображения уплотняющего типа.

Пусть Е\ - банахово пространство; Е2 - нормированное пространство; U С Е\ - открытое ограниченное множество. Пусть L: Dom L С Е\ ^ Е2 - линейный фредгольмов оператор пулевого индекса; F - мультиотображепие класса Jc(U,E2). Пусть ft - монотонная, алгебраически полуаддитивная, несингулярная, правильная МНК в Е\. Вводится попятие ft-уплотняющей пары (L,F).

Определение 2.11. Точка х G DomL П U называется точкой совпадения оператора L и мультиотображения F, если Lx G F(х).

Множество всех точек совпадения L и F будем обозначать Coin (L, F).

Пусть выполнено: Coin (L, F)Пди = 0, то есть Lx G F(x) для всex x G Dom Ln dU. Символ ом (U, E2) будем обозначать множес тво всех ^-уплотняющих пар (L,F), которые удовлетворяют приведенному выше условию.

Предложение 2.11. Пусть (L, F) G JqV(U, Е2) и deg(L, F, U) = 0. Тогда 0 = Coin(L,F,U) С (U П DomL).

Для полного измеримого пространства Q пусть мультиотображение F: Q х U ^ К(Е2) удовлетворяет условиям: (Fw1) F мультиотображепие типа Каратеодори; (Fw2) для любо го ш G Q, F(w, •) - J с-мультнотображенне; (Fw3) для любого ш G Q, (L, F(w, •)) является ft-уплотняюгцей парой; (Fw4) для любого ш G Q, Lx G F(u,x) для всех х G Dom L П dU. Тогда случайную степень совпадения пары (L, F) определим как Deg(L, F, U) = {deg(L, F(u, •),U): и G Q}.

Теорема 2.7. Если Deg(L, F,U) = 0, то пара (L, F) имеет случайную точку совпадения, то есть существует такое измеримое отображение £: Q ^ U, что

В первом параграфе также определяется понятие случайного индекс совпадения для включений с нелинейными фредгольмовыми операторами. Определяется ориентированный случайный индекс совпадения для случайной фундаментально сужаемой и ^-уплотняющей четверки.

Пусть (Q, Е) - полное измеримое пространство, ft - монотонная несингулярная МНК в Е'.

Определение 2.14. Отображение f : Y ^ Е', многозначное отображение G: Q х Y ^ К(Е') и пространства Q и Y образуют случайную ft-уплотняющую четверку (f, G, Q,Y)f, если g1) f - непрерывное собственное отображение, f\y G Ф0С1 (Y), и фредгольмова структура Y, порожденная /, ориентируема; д2) G - случайное многозначное отображение; д3) для каждого ш G Q многозначное

отображение Sw = 9(ш, •) = (фш ° Fw) G О J (У, £") ; д4) для любого w G Q тройка (/, , Y) является ft-уплотняющей и Coin (/, Sw) П = 0.

Для ft-уплотняющей четверки (/, S, ориентированный случайный

индекс совпадения определяется как набор целых чисел:

Ind (f, S, Q,U)p = {Ind (f, Sw ,U)p : w G Q}.

В втором параграфе второй главы рассматривается задача существования решений неявной случайной управляемой системы с обратной связью, описываемой интегро-дифференциальным уравнением.

Пусть (Q, Е,д) - пространств о с а-конечной мерой. Рассматривается следующая система управления:

A (t,x (t) ,х' (t)) = B(t,x (t) ,x' (t), jf уш (s) ds^J , t G [0,aj; (2.10)

уш (r) G С (u,r,x (r)), n.B. s G [0, а], Уи G Q; (2.11)

ж (0) = xo , (2.12)

где и G Q, A : [0, a] x Rn x Rn ^ Rn, В : [0, a] x Rn x Rn x Rm ^ Rn - непрерывные отображения; С : Q x [0, a] x Rn ^ R m - многозначное отображение и х0 G Rn.

Под случайным решением задачи (2.10)-(2.12) понимается пара (хш,уш), состоящая из траектории - функции хш(•) такой, что ш G Q ^ хш G С1 ([0, а] ; Rn) - измеримая функция, хш при каждом ш G Q удовлетворяет соотношениям (2.10)-(2.12). Функция управления уш(•) такова, что ш G Q ^ уш G L1 ([0,a];Rm) -измеримое отображение и функция ^удовлетворяет для каждого ш G Q задаче (2.10)-(2.12).

Задача сводится к изучению случайной уплотняющей четверки. Существование траектории (2.10)-(2.12) сведено к нахождению точки совпадения для пары случайных отображений, состоящей из нелинейного фредгольмова оператора

нулевого индекса и мультиотображения с невыпуклыми значениями. Приводятся условия, при которых $ - уплотняющее относительно фредгольмова оператора, исходя из чего для отыскания точек совпадения применяется случайный индекс совпадения. Далее соответствующее случайной траектории системы (2.10)-(2.12) управление находится с помощью случайной версии леммы Филиппова.

В третьей главе рассматривается периодическая задача для случайных дифференциальных включений различных типов.

В первом параграфе доказывается измеримость случайного

мультиоператора суперпозиции.

Пусть (О, £) - измеримое пространство; X — сепарабельное банахово пространство. Рассмотрим мультиотображение $ : О х [0,Т] х X ^ Ку(X):г) $ - случайное мультиотображение; и) для любых (ш,Ь) € О х [0,Т] многозначное отображение •) : X ^ Ку(X) пн.св.; ш) существует функция д : О х

[0,Т] ^ такая, что ]) для каждого ш € О фупкция ^(ш, •) : [0,Т] ^ интегрируема по Лебегу; Ц) для п.в. £ € [0, Т] функция : О ^ измерима,

и при любых (ш,х) € О х X выполнено соотношение := зир{\\/1| : / €

$(ш,Ь,х)} < ^(ш,Ь)(1 + ЦхЦ) для п.в. Ь € [0,Т].

Если справедливы условия (г) — (ш) для любого ш € О, то корректно определен мультиоператор суперпозиции Р(ш, •) : С([0,Т]; X) ^ Р(Ь1([0,Т}; X)), который задан в следующем виде Р(и,х) = {/ € Ь1([0,Т}; X) : /(^ € $(ш,1,х(Ъ))} и.в. £ € [0,Т ].

Теорема 3.1. Мультиотображение Р : О х С([0,Т]; X) ^ Р(Ь1([0,Т]; X)) является случайным.

Во втором параграфе рассматривается задача об операторе сдвига по траекториям случайного дифференциального включения.

Пусть (Q, Е) - полное измеримое пространство;

x'{oj,t) G x{t)) п.в. t G [О, Т]

(3.1)

х(си, 0) = у(ш)

(3.2)

где для мультиотображепия F : Q x [0,Т] x Rn ^ ^u(Rn) выполнено: (F ш 1) F измеримо относительно а-алгебры Е 0 L 0 B(Rn); мультиотображеиие F(w,t, •) : Rn ^ ^^(Rn) пн.св.; (F ш3) существует функция с : Q x [0, Т] ^ R такая, что с(ш, •) интегрируема на [0,Т] для любого ш G Q, c(^,t): Q ^ R - измеримая функция для п.в. t G [0,Т] и \\F(u,t, ф)\\ := sup{|z| : z G F(u,t, ф)} < c(u,t)(1 + 1ф\).

Пусть при данном ш G Q А(ш,у) С С([0,Т];Rn) - множество всех решений поставленной задачи (3.1), (3.2) с начальным значением у G Rn. Пусть £: С([0,Т]; Rn) ^ Rn - непрерывное отображение, £(х) = х(Т).

Определение 3.1. МультиотображеииеП: QxRn ^ Rn, П(ш,у) = £°А(ш,у), называется мультиоператором сдвига по траекториям решений задачи (3.1), (3.2).

Теорема 3.2. Мультиоператор сдвига П - случайиое и-мультиотображение.

В третьем параграфе третьей главы исследуется периодическая задача для некоторых классов функционально-дифференциальных включений, для ее изучения используется теория случайной топологической степени совпадения. Вводятся понятия случайной строгой и случайной негладкой строгой интегральных направляющих функций.

Для т > 0 символом С будем обозначать пространство С([-т, 0]; Rn) непрерывных функций х : [-г, 0] ^ Rn с норм ой \\ж\\ = sup ||ж(£)\\ и пусть

I = [0,Т], Т > 0. Для функции #(•) G С ([-т,Т]; Rn) символ ом Xt G С функция, заданная как Xt(9) = x(t + #), в G [-г, 0]. \\ж\\2 _ норма функции х в пространстве

ie[- т,0]

Рассматривается периодическая задача дифференциального включения следующего вида:

для

функционально-

для любого ш € О, где $: О х К х С ^ по второму аргументу Т-периодично и:

($1) $ :О х I х С ^ - случайный м-мультноператор;

($2) существует отображение с : О х I ^ К такое, что с(ш, •) - локально интегрируемо на К для любого ш € О, с(-, £) - измеримо п.в. £ € /, и

Ц2(и,г,ф)11 := эир{|^|: 2 € 2(и,г,ф)} < с(и,г)(1 + 1ф\).

При заданных условиях ($1), ($2) корректно определен замкнутый мультиоператор суперпозиции : О х С([—т,Т]; Кп) ^ Р(Ь2(1, Кп)), заданный какт

(и, х) = {/ € Ь2(1, Кп) : /(й) € в, х8) п.в. в € I}.

Определение 3.2. Случайный потенциал V: О х ^ К называется случайной строгой интегральной направляющей функцией для включения (3.4), если найдется N > 0 такое, что из ж € С(I, Кп) с \\х||2 > N следует, что

Теорема 3.3. Пусть выполнены (^), ($1), ($2) Если V: О х ^ К - случайная строгая интегральная направляющая функция для включения (3.4) такая, что 1п(1 V = 0, то задача (3.4), (3.5) имеет случайное решение.

Полученные результаты обобщены на случай негладких направляющих потенциалов.

Определение 3.3. Случайный негладкий потенциал V: О х ^ К

называется случайной негладкой строгой интегральной направляющей функцией

для включения (3.4), если найдется N > 0 такое, что для всех ш € О и для

т

всех х € Ст с ||ж||2 > N имеем /0 (у(£),/(£))> 0 для всех у € Рду(ш,х), где рду(и,х) = {у € Ь2т: у(г) € дУ(и,х(г))}Л(¿) € 2(и,г,хг)п.в. г € I.

Теорема 3.7. Пусть справедливы (2), (21), (22). Если V: О х ^ К - случайная негладкая строгая интегральная направляющая функция для включения (3.4) такая, что 1пё, V = 0, то задача (3.4), (3.5) имеет случайное решение.

В четвертом параграфе изучена периодическая задача для дифференциального включения с возмущенной правой частью вида:

х'(ш,1) € р(ш,1, х(и, £)) + 2(ш,1, х(ш,1)), (3.18)

х(ш, 0) = х(ш,Т), ш € О, (3.19)

где отображение р : О х К х ^ и мультиотображение 2: О х К х ^ Т-периодичпы по второму аргументу и выполнено: р1) р: Ох/хКп ^ - случайное отображение такое, что^(¡х>, •, •) непрерывно для любого ш € О;

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гетманова Екатерина Николаевна, 2024 год

Список литературы

[1] Ахмеров Р. Р. Меры некомпактности и уплотняющие операторы / Р. Р. Ахмеров, М. И. Каменский, А. С. Потапов, А. Е. Родкина, Б. Н. Садовский. -Новосибирск : Наука, 1986. - 266 с.

[2] Благодатских В. И. Дифференциальные включения и оптимальное управление / В. И. Благодатских, А. Ф. Филиппов // Труды Математического института имени ВА Стеклова. - 1985. - Т. 169. - С. 194-252.

[3] Борисович Ю. Г. Об одном применении понятия вращения векторного поля / Ю. Г. Борисович // Доклады Академии наук. - Российская академия наук, 1963. - Т. 153. - №. 1. - С. 12-15.

[4] Борисович Ю. Г. Об относительном вращении компактных векторных полей в линейных пространствах / Борисович Ю. Г. // Тр. сем. по функ. анализу, Воронеж. - 1969. - Т. 12. - С. 3-27.

[5] Борисович Ю. Г. Нелинейные фредгольмовые отображения и теория Лере-Шаудера / Ю. Г. Борисович, В. Г. Звягин, Ю. И. Сапронов // УМН. - 1977. -Т. 32, №. 4. - С. 3-54.

[6] Борисович Ю. Г. Топологические методы в теории неподвижных точек многозначных отображений / Ю. Г. Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис, В. В. Обуховский // Успехи математических наук. - 1980. - Т. 35. - №. 1 (211). - С. 59-126.

[7] Борисович Ю. Г. Многозначные отображения. / Ю. Г. Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис, В. В. Обуховский // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Мат. анализ. М.: ВИНИТИ. - 1982. - Т. 19. - С. 127-230.

[8] Борисович Ю. Г. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений / Ю. Г. Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис, В. В. Обуховский. Изд. 2-е, испр. и доп. - М.: Либроком, 2011. -226 с.

[9] Дзекка П. Об ориентированном индексе совпадений для нелинейных фредгольмовых включений / П. Дзекка, В. Г. Звягин, В. В. Обуховский // ДАН. - 2006. - Т. 406, №. 4. - С. 1-4.

[10] Звягин В. Г. Топологические методы в теории нелинейных фредгольмовых отображений и их приложения / В. Г. Звягин, Н. М. Ратинер // Наука, Москва, 2019. - 543 с.

[11] Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. - Москва : Наука, 1976. - 544 с.

[12] Корнев С. В. Об интегральных направляющих функциях для функционально-дифференциальных включений / С. В. Корнев, В. В. Обуховский // Топологические методы нелинейного анализа. Воронеж. - 2000. - С. 87-107.

[13] Корнев С. В. Метод обобщенной интегральной направляющей функции в задаче о существовании периодических решений функционально-дифференциальных включений / С. В. Корнев, В. В. Обуховский, П. Дзекка // Дифференциальные уравнения. - 2016. - Т. 52. - №. 10. - С. 1335-1335.

[14] Красносельский А. М. Векторные поля на плоскости / М. А. Красносельский, А. И. Перов, А. И. Поволоцкий, П. П. Забрейко. - М.: Физматгиз, 1963. - 245 с.

[15] Красносельский А. М. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М. А. Красносельский. - М.: Наука, 1966. - 332 с.

[16] Красносельский А. М. Геометрические методы нелинейного анализа / М. А. Красносельский, П. П. Забрейко. - М.: Наука, 1975. - 512 с.

[17] Мышкис А. Д. Общая теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом / А. Д. Мышкис // УМН. - 1949. - Т. 4, Вып. 5. - С. 99-141.

[18] Функциональный анализ / Под ред. С. Г. Крейна. - М.: Наука, 1972. - 544 с.

[19] Andres J. Random topological degree and random differential inclusions / J. Andres, L. Gorniewicz //Topological Methods in Nonlinear Analysis. - 2012. - T. 40. - №. 2. - C. 337-358.

[20] Arutyunov A. V. Convex and set-valued analysis / A. V. Arutyunov, V. V. Obukhovskii - De Gruyter, 2016.

[21] Aumann R. J. Measurable utility and the measurable choice theorem. - Hebrew univ jerusalem (israel) dept of mathematics/ R. J. Aumann //La Decision, 2: Agregationet Dynamique des Ordres de Preference (Actes Colloq. Internat., Aix-en-Provence, 1967), 1969. P. 15-26.

[22] Bader R. Fixed-point index for compositions of set-valued maps with proximally-connected values on arbitrary ANR's / R. Bader, W. Kryszewski // Set-Valued Analysis. - 1994. T. 2. №. 3. - C. 459-480.

[23] Borsuk K. Theory of Retracts / K. Borsuk // Monografie Mat. 44, PWN, Warszawa, 1967.

[24] Bressan A. Upper and lower semicontinuous differential inclusions. A unified approach in: H. Sussmann (Ed.) / A. Bressan // Controlability and optimal control. New York: Dekker. - 1989. - P. 21-31.

[25] Castaing C. Convex Anaysis and Measurable Multifunctions / Castaing C., Valadier M. // Berlin, Heidelberg. New York: Springer Verlag, 1977. 286 p.

[26] Castaing C. Measurable multifunctions / C. Castaing, M. Valadier // Convex Analysis and Measurable Multifunctions. - Springer, Berlin, Heidelberg, 1977. - P. 59-90.

[27] Clarke F. H. Optimization and nonsmooth analysis / Clarke F. H. // Society for Industrial and Applied Mathematics, 1990.

[28] Deimling K. Multivalued Differential Equations / K. Deimling // Berlin-New York: Walter de Gruyter, 1992. - 260 p.

[29] Engl H. Random fixed point theorems for multivalued mappings / H. Engl // Pacific Journal of Mathematics. - 1978. - V. 76. - №. 2. - P. 351-360.

[30] Fonda A. Guiding functions and periodic solutions to functional differential equations / A. Fonda // Proc. Amer. Math. Soc. - 1987. - V. 99, №. 1. - P. 79-85.

[31] Girolo J. Approximating compact sets in normed linear spaces / J. Girolo // Pacific Journal of Mathematics. - 1982. - V. 98. ..V". 1. P. 81-89.

[32] Gaines R. Coincidence Degree and Nonlinear Differential Equations / R. Gaines, J.L. Mawhin // Berlin and New York: Springer-Verlag, 1977. - 268 p.

[33] Gliklikh Y. Guiding Potentials and Periodic Solutions of Differential Equations on Manifolds / Y. Gliklikh, S. Kornev, V. Obukhovskii //Global and Stochastic Anal. - 2019. V. 6. №. 1. - P. 1-6.

[34] Górniewicz L On the homotopy method in the fixed point index theory of multi-valued mappings of compact absolute neighborhood retracts / L. Górniewicz, A. Granas, W. Kryszewski //J. Math. Anal. Appl. - 1991. - V. 161, №. 2. - P. 457-473.

[35] Górniewicz L Topological Fixed Point Theory of Multivalued Mappings / L. Górniewicz // Berlin: Springer, 2006. - 556 p.

[36] Himmelberg C. J. Measurable relations / C. J. Himmelberg // Fundamenta Math. - 1975. - V. 87. ..V" 1. P. 53-72.

[37] Hu S. Handbook of Multivalued Analysis. Vol. I. Theory / S. Hu, N. S. Papageorgiou. - Dordrecht: Springer, 1997. - 968 p.

[38] Hyman D. M. On decreasing sequences of compact absolute retracts //Fundamenta Mathematicae. - 1969. - T. 64. - №. 1. - C. 91-97.

[39] Itoh S. Random fixed point theorems with an application to random differential equations in Banach spaces / S. Itoh // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 1979. - T. 67. - №. 2. - C. 261-273.

[40] Kamenskii M. Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces / M. Kamenskii, V. Obukhovskii, P. Zecca. - Berlin -New York: De Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications, 2001. - 239 p.

[41] Kornev S. On some developments of the method of integral guiding functions / S. Kornev, V. Obukhovskii // Functional Differential Equations. - 2004. - V. 12. -№. 3-4. - P. 303-310.

[42] Kornev S. V. Nonsmooth integral directing functions in the problems of forced oscillations / S. V. Kornev // Automation and Remote Control. - 2015. - T. 76. -№. 9. - C. 1541-1550.

[43] Kornev S. V. On periodic solutions of random differential inclusions / S. V. Kornev, Y.-C. Liou, N. V. Loi, V. V. Obukhovskii // Applied Analysis and Optimization, 2017. - V.l. - №. 2. - P. 245-258.

[44] Kornev S. On multivalent guiding functions method in the periodic problem for random differential equations / S. Kornev, V. Obukhovskii, P. Zecca // Journal of Dynamics and Differential Equations. - 2019. - V. 31. - №. 2. - C. 1017-1028.

[45] Krasnoselskij M. A. Geometrical methods of nonlinear analysis / Krasnoselskij M. A., Zabrejko P. P. // Berlin : Springer, 1984. - V. 263. - P. 409.

[46] Kuratowski K. A general theorem on selectors / K. Kuratowski, C. Ryll-Nardzewskii // Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Sci. Math., Astronom. Phys., 1965. - V. 13. - P. 397-403.

[47] Mawhin J. Topological Degree Methods in Nonlinear Boundary Value Problems / J. L. Mawhin // CBMS Regional Conf. Ser. in Math. Amer. Math. Soc., Providence, R.I. - 1979. - №. 40. - 122 p.

[48] Mawhin J. Guiding-like functions for periodic or bounded solutions of ordinary differential equations / J. Mawhin, J. R. Jr. Ward // Discrete and continuous dynamical systems. - 2002. - V. 8, №. 1. - P. 39-54.

[49] Mawhin J. Periodic or bounded solutions of Caratheodory systems of ordinary differential equations / J. Mawhin, H. B. Thompson //J. Dyn. Diff. Eq. - 2003. -V. 15, №. 2-3. - P. 327-334.

[50] Mizoguchi N. Fixed point theorems for multivalued mappings on complete metric spaces / N. Mizoguchi, W. Takahashi // J. Math. Appl. - 1989. - V. 141. - P. 177188.

[51] Obukhovskii V. An oriented coincidence index for nonlinear Fredholm inclusions with nonconvex-valued perturbations / V. Obukhovskii, P. Zecca, V. Zvyagin // Abstr. Appl. Anal. - 2006. - Art. ID. 51794. - P. 1-21.

[52] Obukhovskii V. Method of guiding functions in problems of nonlinear analysis. / V. Obukhovskii, P. Zecca, N. V. Loi, S. Kornev // Heidelberg : Springer, 2013. -V. 2076.

[53] Obukhovskii V. Multivalued Maps and Differential Inclusions: Elements of Theory and Applications / V. Obukhovskii, B. Gel'man // Elements of Theory and Applications. World Scientific Publishing Co., Hackensack, NJ - 2020.

[54] Pruszko T. A coincidence degree for L-compact convex-valued mappings and its application to the Picard problem for orientor fields / T. Pruszko // Bull. Acad, pol. sci. Ser. sci math. - 1979. - V. 27, №. 11-12. - P. 895-902.

[55] Pruszko T. Topological degree methods in multi-valued boundary value problems / T. Pruszko // Nonlinear Anal.: Theory, Methods & Appl. - 1981. - V. 5, №. 9. -P. 959-970.

[56] Rachinskii D. I. Multivalent guiding functions in forced oscillation problems / D. I. Rachinskii // Nonlinear Anal. Theory, Methods & Appl. - 1996. - V. 26, №. 3. - P. 631-639.

[57] Rybinski L. E. Random fixed point and viable random solutions of functional-differential inclusions / L. E. Rybinski //J. Math. Anal. AppL, 1989. - V. 142. -№. 1. - P. 53-61.

[58] Tarafdar E. On the existence of solutions of the equation Lx Е Nx and a coincidence degree theory / E. Tarafdar, S.K. Teo //J. Austral. Math. Soc. - 1979. - V. 28, №. 2. - P. 139-173.

[59] Tarafdar E. Random coincidence degree theory with applications to random differential inclusions / E. Tarafdar, P. Watson, X. Z. Yuan //Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae. - 1996. - T. 37. - №. 4. - C. 725-748.

Публикации автора по теме диссертации

Статьи, опубликованные в журналах из перечня ведущих рецезируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК, МВД ВАК, Scopus, Web of Science

[60] Гетманова E. H. О топологических характеристиках для некоторых классов многозначных отображений / В. В. Обуховский, С. В. Корнев, Е. Н. Гетманова // Чебышевский сборник. - 2020. - Т. 21. - №. 2 (74). - С. 301-319.

[61] Гетманова Е. Н. Об операторе сдвига по траекториям решений случайных дифференциальных включений / В. В. Обуховский, С. В. Корнев, Е. Н. Гетманова // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. - 2021. - №. 4. -С.81-89.

[62] Гетманова Е. Н. Об относительном индексе неподвижных точек для одного класса некомпактных многозначных отображений / В. В. Обуховский, С. В.

Корнев, Е. Н. Гетманова // Известия высших учебных заведений. Математика. - 2021. - №. 5. - С. 64-77.

[63] Getmanova Е. A note on random equilibrium points of two multivalued maps / E. Getmanova, V. Obukhovskii // Journal of Nonlinear and Variational Analysis -2018. - V. 2. - №. 3. - C. 269-272.

[64] Getmanova E. A random topological fixed point index for a class of multivalued maps / E. Getmanova, V. Obukhovskii, J. C. Yao // Applied Set-Valued Analysis and Optimization. - 2019. - V. 1. - P. 95-103.

[65] Getmanova E. On periodic solutions for a ckass of random differential inclusions / S. Kornev, E. Getmanova, V. Obukhovskii, N.-C. Wong // Journal of Nonlinear and Convex Analisis. - 2021. - V. 22. - №. 8. - P. 1615-1626.

[66] Getmanova E. On a random topological characteristic for inclusions with nonlinear fredholm operators: applications to some classes of reedback control systems / V. Obukhovskii, S. Kornev, E. Getmanova // Advances in Systems Science and Applications. - 2023. - V. 23. - №. 3. - P. 48-65.

[67] Гетманова E. H. О методе строгих негладких интегральных направляющих функций в периодической задаче для случайных функционально-дифференциальных включений / Е. И. Гетманова // Прикладная математика & Физика. - 2023. - Т. 55. - №. 4. - С. 346-353.

Прочие публикации

[68] Гетманова Е. Н. О некоторых применениях теории случайной степени совпадения в задаче о существовании периодических решений

дифференциальных включений / Е. Н. Гетманова, С. В. Корнев, В. В. Обуховский// Вестник РАЕН. - 2019. Т. 19. Л'°. 2. С. 53-55.

[69] Гетманова Е. Н. О степени совпадения для некоторых классов случайных мультпотображенпй и линейных фредгольмовых операторов / Е. Н. Гетманова // Современные методы теории краевых задач. - 2019. - С. 99.

[70] Гетманова Е. Н. О некоторых применениях теории случайной степени совпадения в периодической задаче для функционально-дифференциальных включений / Е. Н. Гетманова, С. В. Корнев // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. - 2020. -Т. 186. - С. 21-31.

[71] Гетманова Е. Н. О периодической задаче для случайных функционально-дифференциальных уравнений / Е. Н. Гетманова, В. В. Обуховский, Я. Ч. Лю // Некоторые вопросы анализа, алгебры, геометрии и математического образования. - 2020. - №. 10. - С. 50-52.

[72] Гетманова Е. Н. О случайной степени совпадения / Е. Н. Гетманова, С. В. Корнев, В. В. Обуховский // Современные методы теории краевых задач. -2020. - С. 70-71.

[73] Гетманова Е. Н. О степени совпадения для уплотняющего многозначного возмущения линейного фредгольмова оператора / В. В. Обуховский, С. В. Корнев, Е. Н. Гетманова // Колмогоровские чтения. Общие проблемы управления и их приложения (ОПУ-2020). - 2020. - С. 79-81.

[74] Гетманова Е. Н. О вполне фундаментально сужаемой тройке / В. В. Обуховский, С. В. Корнев, Е. Н. Гетманова, Д. Ч. Яо // Некоторые вопросы

анализа, геометрии и математического образования. - 2021. - №. 11. - С. 142143.

[75] Гетманова Е. Н. О некоторых классах измеримых многозначных отображений / В. В. Обуховский, Е. Н. Гетманова, С. В. Корнев // Известия Воронежского государственного педагогического университета. - 2021. - №. 3.

- С. 181-186.

[76] Гетманова Е. Н. О периодических решениях одного класса случайных дифференциальных включений / Е. И. Гетманова, В. В. Обуховский // Современные методы теории краевых задач. - 2021. - С. 58-60.

[77] Гетманова Е. Н. О случайных периодических решениях одного класса функционально-дифференциальных включений / Е. И. Гетманова, С. В. Корнев, В. В. Обуховский // Седьмые Богдановские чтения по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - 2021. - С. 210-212.

[78] Гетманова Е. Н. Об одном развитии теории топологического индекса совпадения / В. В. Обуховский, С. В. Корнев, Е. И. Гетманова // Некоторые вопросы анализа, алгебры, геометрии и математического образования. - 2022.

- С. 124-126.

[79] Гетманова Е. Н. Обобщение теории относительного индекса неподвижных точек для одного класса мультиотображений / В. В. Обуховский, С. В. Корнев, Е. Н. Гетманова // Некоторые вопросы анализа, алгебры, геометрии и математического образования. - 2022. - С. 121-123.

[80] Гетманова Е. Н. О некоторых свойствах одного класса измеримых многозначных отображений / В. В. Обуховский, С. В. Корнев, Е. Н. Гетманова

// Дифференциальные уравнения и математическое моделирование. - 2022. -С. 78-81.

[81] Гетманова Е. Н. О периодической задаче для случайных функционально-дифференциальных уравнений / Е. Н. Гетманова // Моделирование и оптимизация сложных систем. - 2022. - С. 26-27.

[82] Гетманова Е. Н. О существовании решения неявной случайной системы управления с обратной связью / В. В. Обуховский, С. В. Корнев, Е. Н. Гетманова, В. А. Бочаров // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. - 2023. - Т. 66. - С. 184-185.

[83] Getmanova Е. On the coincidence topological degree for some classes of random multimaps and linear fredholm operators / Getmanova E., Kornev S., Liou Y. С. // Некоторые вопросы анализа, алгебры, геометрии и математического образования. - 2018. - №. 8. - С. 11-12.

[84] Getmanova Е. N. On periodic solutions of random functional differential inclusions / E. N. Getmanova // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна-2020. - 2020. - С. 330-334.

[85] Getmanova Е. On random nonmooth integral guiding functions / E. N. Getmanova // Современные методы теории функций и смежные проблемы. -2021. - С. 318-319.

[86] Getmanova Е. On the operator of translation along the trajectories of solutions of random differential inclusions / V. V. Obukhovskii, S. V. Kornev, E. N. Getmanova // The 9th International Conference on Differential and Functional Differential Equations. - 2022. - P. 88-89.