Векторные накрывающие отображения и краевые задачи для дифференциальных уравнений неявного вида тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Плужникова, Елена Александровна

• Плужникова, Елена Александровна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Плужникова, Елена Александровна

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Обозначения

Глава 1. Векторные накрывающие отображения метрических пространств

§ 1.1. Липшицевы возмущения векторных накрывающих

отображений

§ 1.2. Корректная разрешимость систем операторных

уравнений с накрывающими отображениями

§1.3. Накрывающие отображения в функциональных

пространствах

Глава 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения,

не разрешенные относительно производной

§2.1. Задача Коши

§ 2.2. Краевая задача

§2.3. Управляемые дифференциальные системы

со смешанными ограничениями на управление

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Векторные накрывающие отображения и краевые задачи для дифференциальных уравнений неявного вида»

ВВЕДЕНИЕ

Диссертация посвящена исследованию задачи Коши, краевых задач и задач управления для систем обыкновенных дифференциальных уравнений неявного вида. Используются методы, основанные на полученных в работе утверждениях о липшицевых возмущениях векторных накрывающих отображений метрических пространств и признаках накрывания оператора Немыцкого в пространствах суммируемых функций.

Математический аппарат классической теории нелинейных дифференциальных уравнений явного вида, позволяющий исследовать многочисленные нелинейные модели явлений, процессов различной природы, давно создан, широко и эффективно применяется. Гораздо большие сложности представляет ситуация, когда при математическом описании необходимо учитывать зависимость параметров модели от скорости изменения состояния объектов. В этом случае модель представляет собой нелинейные дифференциальные уравнения неявного вида (не разрешенные относительно производной). Примерами таких задач являются неголономные механические системы [26], модели электрического колебательного контура [3, с. 145, 148].

Основным методом исследования дифференциальных уравнений неявного вида является использование теорем о неявных функциях. Однако, эти теоремы не применимы в случае, если по соответствующему аргументу порождающая дифференциальное уравнение функция не является гладкой, или ее производная вырождена. Разрешая такое уравнение относительно производной, можно свести его к дифференциальному включению, однако получаемое многозначное отображение часто не обладает свойства-

ми, позволяющими применять классические утверждения о дифференциальных включениях. В литературе практически отсутствуют методы исследования ряда важнейших вопросов теории дифференциальных уравнений неявного вида, в том числе рассмотренных в диссертации краевых задач, систем управления. Новые возможности изучения дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной, мы связываем с интенсивно развивающейся в последнее время теорией накрывающих отображений.

Первые работы, посвященные накрывающим (метрически регулярным) отображениям, датируются 60-70 годами 20 века. Исследовались накрывающие отображения, действующие в банаховых пространствах. Эти результаты нашли приложения в теории оптимизации (теорема Милютина о накры-вании использовалась в доказательстве принципа Лагранжа для гладких задач с ограничениями в виде равенств и неравенств [11, с. 220-231]). Теория накрывающих отображений получила развитие в работах Е.Р. Авакова, A.B. Арутюнова, Б.Д. Гельмана, A.B. Дмитрука, А.Д. Иоффе, A.A. Милютина, Б.Ш. Мордуховича, В.В. Обуховского, Н.П. Осмоловского, Т.Н. Фоменко и других [1, 4, 5, 12, 36, 38, 42, 43]. Последние несколько лет отмечается новый всплеск интереса исследователей к накрывающим отображениям и их приложениям, которому во многом способствовали работы A.B. Арутюнова [4, 5], предложившего распространение понятия накры-вания на отображения метрических пространств и исследовавшего точки совпадения накрывающего и липшицева отображений (не только однозначных, но и многозначных).

Новые приложения теории накрывающих отображений к исследованию дифференциальных, интегральных, функциональных уравнений и включе-

ний открыла работа Е.Р. Авакова, A.B. Арутюнова, Е.С. Жуковского [1]. Авторами было предложено понятие условного накрывания, доказаны теоремы о липшицевых возмущениях условно накрывающих отображений метрических пространств, получен признак накрывания оператора Немыцкого в пространстве существенно ограниченных функций и, на основании этих результатов, исследованы вопросы существования и продолжаемости решений задачи Коши для дифференциального уравнения неявного вида. A.B. Арутюновым, Е.С. Жуковским, С.Е. Жуковским [6, 39] предложены уточнения понятия условного накрывания, получены распространения теорем о возмущениях, доказаны утверждения о корректности уравнений с накрывающими отображениями и перечисленные результаты применены к исследованию разрешимости и корректной разрешимости задачи Коши для дифференциальных уравнений неявного вида; интегральных уравнений Вольтерра, не разрешенных относительно искомой функции. Методами, использующими накрывающие отображения, в [15] рассмотрено дифференциальное уравнение с запаздыванием, в [7, 40] рассмотрены задачи управления.

Многие приложения понятия накрывания основаны на утверждениях о точках совпадения и утверждениях о липшицевых возмущениях условно и «безусловно» накрывающих отображений метрических пространств [1, 4, 6, 38, 39, 44]. Эти утверждения обобщают принцип Банаха о сжимающем отображении следующим образом: тождественное отображение заменяется а-накрывающим, а сжатие — отображением, удовлетворяющим условию Липшица с константой, меньшей а, причем, областями определения и значений отображений могут быть различные метрические пространства.

Так как краевые задачи и задачи управления сводятся к системам урав-

нений и включений (содержащим кроме дифференциальных уравнений еще начальные и краевые условия, ограничения на управления и прочее), то разрабатываемые схемы и методы их исследования потребовали распространения теорем о липшицевых возмущениях на векторные накрывающие отображения. Полученные в диссертации утверждения о возмущениях векторных условно накрывающих отображений позволяют исследовать вопросы разрешимости и корректности краевых задач и задач управления для систем дифференциальных уравнений неявного вида, получить оценки их решений. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [14], [16]-[24], [31]—[35], [45].

Приведем краткое описание содержания диссертации. Диссертация состоит из двух глав, содержащих по три параграфа.

В главе 1 приведены определения понятий накрывания и условного накрывания отображений метрических пространств, доказаны утверждения о липшицевых возмущениях векторных накрывающих отображений, получены условия накрывания оператора Немыцкого. Эти результаты — основа исследования дифференциальных уравнений неявного вида, предпринятого в главе 2 диссертации.

Основной объект исследования в главе 1 — это система уравнений

Ег{хъх2,...,хп) =уи г = 1(1)

п

где при всех г отображение действующее из произведения П Х^ метрических пространств Х^ в метрическое пространство У^-, является накрывающим по диагональной г -й переменной х^ и липшицевым по остальным переменным. Идея исследования наиболее наглядна для системы (1) в простейшем случае, когда У^ = Х^ — линейные полные метрические простран-

ства, отображение Р^х^х2,..., хп) = Х{ — 0{{х\,х2,..., я„), отображение Сг по каждой ^ -й переменной удовлетворяет условию Липшица с константой /Зц, — 1,п. В этом случае система (1) принимает вид

XI = <?<(Ж1,х2,...,хп) + уи г = Т7п. (2)

п

Положим В = (/Зц)пхп и определим метрическое пространство X = П Х^

з=1

с расстоянием между элементами х = и и = равным

= I (рхЛхи щ),Рх2{х2, и2),рхп{хп, ип)) |, где монотонную норму | • | в Мп можем выбирать [27, с. 15-16] так, чтобы значение \В\ было достаточно близким к спектральному радиусу д(В). Таким образом, если д(В) < 1, то отображение (7 = (Сл., (?2,..., Сп) : X —> X будет сжимающим и, следовательно, существует единственное решение системы (2), к которому будут сходиться последовательные приближения (подробнее о распространении принципа Банаха на векторные отображения см. работу А.И. Перова [29]).

Приведем основные определения и результаты § 1.1. Пусть (Х,рх), (Х,ру) — метрические пространства. Обозначим через Вх(х,г) замкнутый шар с центром в точке х радиуса г > 0 в пространстве X. Пусть заданы число а > 0 и отображение Ф : X —> У.

Определение 1 [4]. Отображение Ф называется а-накрывающим (накрывающим), если для любых г > 0 и и 6 X имеет место включение

ЩВх(щг)) Э Ву(У{и),аг).

Отображение Ф является а-накрывающим тогда и только тогда, когда для любых и £ X и у е У существует х 6 X, удовлетворяющий

уравнению Ф(а;) = у и оценке

рх(х,и)^а-1ру(у,У(и)). (3)

Определение 2 [1]. Если для любых г > 0 и и е X имеет место включение Я?(Вх(и, г)) Э Ву(Ф(и), аг) П то отображение Ф называют условно а-накрывающим (условно накрывающим).

Отображение Ф является условно а -накрывающим тогда и только тогда, когда для любых и € X и у £ существует х € X, удовлетворяющий уравнению $(х) = у и оценке (3).

В пространстве Мп вещественных п -мерных векторов будем считать заданной норму | • |, обладающую свойством монотонности. Пусть заданы метрические пространства (Xj,pxj), {У^ РуД точки yj € У], з = 1 ,п,

п _

и определены отображения Ф^ : Х\ х П Х^ -» У^ г = 1, п. Рассмотрим

¿=1

систему уравнений

ФгОг, Х\, Х2, . • • , хп) = Уг, I = !~П, (4)

п

относительно неизвестного х = (жх, #2,..., 6 П •

3=1 п

Определим метрическое пространство X = П Х^ с расстоянием меж-

3=1

ду элементами гг = (гг,-)^^ £ X и и = € X, равным

Т1

Аналогично определим метрику в У = П

3=1 _

Пусть заданы числа щ > 0, ^ 0, г^ — 1, п. Определим матрицу

С = Рц)пхп

и обозначим через £>(С) ее спектральный радиус.

Теорема 1. Пусть метрические пространства Х^ 3 = 1 ются полными и выполнены следующие условия:

для всех х Е X отображение ФД-,:*;) : —> "У*, г = 1 ,п, условно оц -накрывающее и имеет место включение у{ б Фг(Хг-,гг);

При Любых 1,3 = 1,71, Щ £ Х{, Х\ € Хх, ..., х^-х £ а^+х 6 Х/+Х,

..., хп е Хп отображение Фг{щ, х\,..., ..., ж„) : Xj

является /3^ -липшицевым;

для любой сходящейся последовательности {г^} С X, ик —>• такой

что Фг(щ,и) —> у( Vг = 1,п, имеет место равенство Фг(щ,и) = у{

V г = 1,п.

Тогда если д(С) < 1, то система уравнений (4) разрешима и, кроме того, для любого е > 0 можно так определить норму | • | в пространстве Мп, что при задании метрики в X равенством (5) для произвольного и0 = (и^и®,... € X существует решение х = £ € X системы (4), удовлетворяющее оценке

'ргАУ1>фЛири°))

а3 ) 3=1, п

(6)

Далее в §1.1 рассмотрены частные случаи теоремы 1 при п = 1,2 и приведен пример, из которого следует, что в оценке (6) нельзя принять £ = 0.

В § 1.2 исследован вопрос о корректности системы (4) в следующей постановке. Пусть задана последовательность {ут = {Ут){=т^} С У и

определены отображения Фгт : Х{ х X —»■ У*, г = 1,п, тп = 1,2,— Рассмотрим при каждом тп = 1,2,... систему операторных уравнений

^1т{ХиХ1,Х2,...,Хп) =у{7П, 1 = 1,71, (7)

относительно неизвестного х = {х\,х2, ...,а;п) Е X. Предположим, что для некоторого элемента ■и0 = (и®, и®,... Е X при т оо имеет место сходимость

РЪ , и°г, и°2,..., и°п), —0, г = Т~й. (8)

Нас интересуют условия, обеспечивающие разрешимость при любом т системы (7) и сходимость к и0 последовательности решений. Сформулируем основной результат этого параграфа. Теорема 2. Пусть пространства Х^, ] = 1 , п, являются полными, для каждых г, .7 = 1, п существуют такие числа щ > 0, ^ 0, что для спектрального радиуса матрицы С = (с^-1 /%)пХп имеет место оценка б(С) < 1 и выполнены следующие условия:

для всех х Е X отображение Ф{т(-,х) : Х{ —>• У^ г = 1,п, т = 1,2,..., условно оц -накрывающее и угт 6 ФгТО(-Х"г, о;);

при любых г,] — 1,7г, т = 1,2,..., и произвольных щ е Х{, £ ••• > ^ -^О-ъ € ^-+1, ••• , хп Е Хп отображение

ф гт(и») ®1> • • • > £¿+1, • • • ,Хп) X] У{ /Зц -липшицево;

для любой сходящейся последовательности {и*} С X, ик —У и, такой что при к -> оо имеет место сходимость угт) —О Vг =

1, п, т = 1,2,..., выполнено равенство = у{т Vг = 1, п, т =

1,2,....

Тогда если имеет место соотношение (8), то при каждом т существует такое решение £т Е X системы (7), -что —» и0.

Далее § 1.2 рассмотрены частные случаи теоремы 2 — утверждения о корректности скалярного уравнения и системы двух уравнений.

Для применения теорем 1,2 к исследованию систем обыкновенных диф-

ференциальных уравнений неявного вида требуются условия накрывания оператора Немыцкого в функциональных пространствах. В § 1.3 сформулировано и доказано утверждение о накрывании оператора Немыцкого в пространствах суммируемых с любой степенью функций.

Обозначим через с1(Мг) совокупность всех непустых замкнутых подмножеств пространства Пусть задано р £ [1,оо] и определено измеримое многозначное отображение : [а,Ь] —> с1(Ег), для которого функция £ £ [а,Ь] /?кг(0, £ К. суммируема в р-й степени при р < сю и существенно ограничена при р = оо. Определим следующие полные метрические пространства: Ьр([а, 6], О) — пространство функций £ £ [а,Ь] н- у(Ь) е суммируемых в р-й степени, если

1 < р < оо, с метрикой /0^(2/1,2/2) = - У2(з)\р(1з

р = оо, пространство существенно ограниченных функций, рЬоо{у\,У2) = уга1зир5е[а Ь] 12/1(5) — 2/2(5)1, АСр([а, Ь],0) — пространство таких абсолютно непрерывных функций х : [а, 6] —> К.г, что х £ Ьр([а, 6], Г2), с метрикой рАСр(х 1,0:2) = | (р1р(х\,х2), Х\(а) — а:2(й))|- В перечисленных обозначениях функциональных пространств будем опускать область определения и множество значений функций — элементов пространств, если это не приводит к разночтениям.

Пусть заданы числа 1 ^ р\ ^ р2 ^ оо и определены измеримые многозначные отображения П : [а,Ь] —»• с1(Кг1), © : [а,Ь] -» с1(Кгз) такие, что ркг1(0,Г2(-)) £ £л([а,Ь],М), рШ12((),©(•)) € ЬР2([а,Ь],Ш.). Пусть, далее, задана функция (£ £ [а, 6], х £ Г2(£)) д(Ь,х) £ ©(£), удовлетворяющая условиям Каратеодори. В случае р\ ф оо относительно функции д будем предполагать, что существуют г) £ ЬР2[[а, Ь],М) и Л £ К, для

1/Р

, и, в случае

которых при почти всех Ь е [а, Ь] и всех у € выполнено неравенство \д(^,у)\ ^ \\у\р1/р2 +г]{{). Если р1 = оо, то при любом г > 0 пусть существует такая функция т]г € ЬР2([а, Ь],М), что \д(Ь,у)| ^ Г)г({) при почти всех Ь е [а, Ъ] и любых у £ П(£) таких, что \у\ ^ г. При выполнении этих условий оператор Немыцкого Ыд : ЬР1([а, Ъ], —> ЬР2([а, Ь], О), (Л^у)^) = ?/(£)), в случае рх оо является непрерывным и ограниченным, а при р\ = оо — замкнутым и ограниченным.

Теорема 3. Пусть существует такое ад > 0, что при почти всех Ь 6 [а, Ъ] отображение д(1, •) : —> в(£) условно ад -накрывающее. Тогда оператор Немыцкого Ыд : ЬР1 —> ЬР2 будет условно а^-накрывающим, где а^г = (р — а)-^-?1)/^2^, в частности, при р\ = константы накрывания равны: адг = а,д, в случае р\ < = оо выполнено равенство ан = (Ь — а)~1//р1ад. Аналогично, если при почти всех £ е [а, Ъ] отображение <?(£, •) : —> ©(¿) ад -накрывающее, то оператор Немыцкого Мд : ЬР1 —> ЬР2 будет а^ -накрывающим.

Глава 2 посвящена изучению задачи Коши, краевой задачи и задачи управления для дифференциальных уравнений неявного вида. Метод исследования основан на представлении дифференциальных уравнений, начальных и краевых условий, ограничений на управление и динамическую переменную в виде системы операторных уравнений относительно пары векторов (х,х(а)) или, в случае задач управления, тройки векторов (х,х(а),и), компонентами первого являются производные искомых функций, второго — их начальные значения, а третьего — функции управления. При этом результаты § 1.3 позволяют найти условия накрывания отображений по соответствующим переменным, а утверждения из § 1.1, § 1.2 — исследовать полученные системы операторных уравнений.

В § 2.1 рассмотрена задача Коши.

Пусть для всех г — 1,п заданы измеримые многозначные отображения !Г2г-, ©г- : [a, b] —> cl(R), определены удовлетворяющие условиям Каратеодо-ри функции (t G [а, 6], х £ М", Wi G ^¿(i)) i->- fi(t,x,u)i) G @i(t), a также функции t G [a, b] yi(t) G ©¿(i) и числа 7i 6l, i = l,n. Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида

fi{t,xi(t),x2(t),...,xn{t),xi{t)) = yi(t), < = U (9)

с начальными условиями

= 7»» « = Т7й. (10)

Пусть заданы числа 1 ^ ри ^ ргг ^ сю, г = 1,п. Будем предполагать при всех г = 1~п, что рк(0,Щ-)) G LPli([a,6],E), /?к(0, ©*(•)) € Уг £ Lp2i

Пусть, далее, для всех тех г = 1,п, при которых ^ оо, функция fi удовлетворяет условию

Fp) при любом г > 0 существуют такие щ G LP2i([a, Ъ), ©г) и Aj £ R, что при почти всех t G [a, 6], любых х G Мп, таких, что ^ г, и всех W{ G справедливо неравенство ¡/¿(i,^,^ Аг(г^|ри/,р21 +7?j(t).

Для всех значений г, при которых = оо, будем предполагать выполненным условие

Too) ПРИ любом г > 0 существует такая функция rji £ LP2i([a, 6], ©¿), что при почти всех t G [a, 6], любых а; G К" и щ 6 таких> что

\щ\ + \х\ ^ г, имеем \fi(t,x,Wi)\ ^

Решение задачи Коши (9), (10) будем искать в классе абсолютно непрерывных функций

х — х2, • • • 1 %п) • я + т] —У Rn, компоненты которых Xi G ACPli([a,a + г], Пг-), г = 1,n, т G (0,6 — а].

Пусть заданы непрерывная функция х° : [a, b] —> Rn и а > 0. Положим D(t) = BRn(x°(t),a).

Теорема 4. Предположим, что если рц0 = 1 при некотором «о, то Pu Ф оо при всех остальных номерах i. Пусть справедливо неравенство |гг°(а)—7| < а. Пусть при каждом i = 1, п для почти всех t G [а, Ь] и любых W{ G Qi(t), х G D{t) отображение fi(t,x,-) : Î2f(t) —> 9¿(i) условно накрывающее; отображение fi{t,-,Wi) : D(t) —> Qi(t) липшицево; имеет место включение yi(t) G fi(t,x, Тогда существует г G (0,6 — а] и

п

существует определенное на [а,а + т] решение х G П ACPlj([a,a + T],Çlj)

з=i

задачи (9), (10).

Также в § 2.1 исследована проблема непрерывной зависимости от параметров решений задачи Коши (9), (10).

Пусть заданы последовательность удовлетворяющих условиям Кара-теодори функций (t G [a, b], х G Rn, W{ G Qi(t)) fim(t,x,Wi) G ©¿(i), функции t G [a, b] t-ï yim(t) G ©¿(i) и числа j\т G R, г = l,n, m = 1,2,... . Рассмотрим последовательность задач Коши

fim{t, X\{t), x2(t),. . . , Xn(t), Xi(t)) = yim(t), Xi(a) = Jim, i = Xn. (il)

По-прежнему, считаем заданными числа 1 ^ pu ^ p2i ^ оо, г = 1,п. Предполагаем, что при любом натуральном m, yim G LP2i([a, 6], @г); далее, что при значениях рц ф оо, функция /гто удовлетворяет условию J^), а в случае pu = оо — условию J7«,).

Пусть для некоторой функции ж0 = (а^, ж®,..., ж®) : [а, 6] —>• Rn, компоненты которой х® G ACPu([a,b],Qi), для всех i = 1,п при m оо имеют место соотношения

S°(.),±?(-)), M")) 0, 7гт ®?(а). (12)

Пусть задано число а > 0. Положим В{Ь) = Вщп(хР{Ь),сг).

Теорема 5. Предположим, что если рщ = 1 при некотором ц, то Рн Ф 00 пРи всех остальных номерах г. Пусть существуют такие а{ > 0, ^ 0, г,з = 1 ,п, что при каждых г = 1,п, т = 1,2,... отображение (Ь Е [а,6], х Е Е /¿т(£,ж,ги*) €

Ог(^) удовлетворяет следующим условиям: при почти всех t и любых х отображение /гт(£, я, •) условно оц -накрывающее и выполнено включение У1т(Ь) Е /шг(£, х, ; при почти всех ¿, любых произвольного номера з = 1,71 и всех {х1,...,хз-1,х^+\,...,хп) отображение fim.it, XI,..., -, ... ,хп, к/г-) Ру -липшицево. Тогда если имеет место соотношение (12), то, начиная с некоторого номера, при каждом натуральном т существует определенное на всем [а, Ъ] решение

п

Е П задачи (11) такое, что -> х°.

3=1

В § 2.2 исследуется двухточечная краевая задача.

Пусть для всех г = 1,п заданы измеримые многозначные отображения Qi,Qi : [а,Ъ) —> с1(М), удовлетворяющие условиям Каратеодори функции (Ь Е [а,Ъ], х Е Мп, Wi Е Пг(£)) н-> Е ©¿(¿), а также функции

£ Е [а,Ъ] И- у{{Ь) Е ©¿(£) и числа Р{, Qi, г = 1 ,п. Рассмотрим при ¿ Е [а, Ь] систему дифференциальных уравнений вида

с краевыми условиями

Да* (а) + С}1х1{Ъ) = Аи 1 = Т/п. (14)

Пусть заданы числа 1 ^ рн ^ Р2г ^ оо и выполнены включения Уi Е ЬРъ([а, Ь], ©¿), г = 1,п. Пусть, далее, для тех г, при которых рц ф оо,

функция /г удовлетворяет условию Тр). Для значений г, при которых Ри = оо, будем предполагать выполненным условие Т^о)-

Решение краевой задачи (13), (14) будем искать в классе абсолютно непрерывных функций х — (х\,х2,... ,хп) : [а, Ь] —компоненты Х{ которых принадлежат пространству АСРи([а, Ь], Г2г).

Теорема 6. Пусть при каждом г = 1,п выполнены следующие условия: Л + существует такое с^ > 0, что при почти всех £ 6 [а, Ь] и любых х £ Еп отображение /¿(¿, гт, •) : Г2г(£) условно а>г-накрывающее и имеет место включение у^Ь) £ для каждого э = 1,п существует ^ 0, для которого при почти всех £ £ [а, 6] и любых и1( £ (^1, ••• ^¿-ъ^я-ь ••• ,хп) £ отображение /¿(£, 0:1,..., •, ^'+1, • • •, хп, и>г) : К —> ©г(£) -липшицево. Тогда если 2п х 2п-матрица С = (£¿^¿¿=1,2, где

с _ / (6 - \ ^ _ /(6 -а21 = - — ^ , с22 = (о)Пхп,.

I, |-П-ГЦ?г| ) пхп

(15)

имеет спектральный радиус д(С) < 1, то существует решение х £

п

\\АСРн([а, 6], £7г-) краевой задачи (13), (14) и, кроме того, для любого

г=1

£ > 0 можно так определить норму | • | в пространстве М2п, что при

п

задании метрики е 1 = Ц ЛСРн([а,6],Ог) равенством

г=1

а;) = \(рьР11{х\, йх),..., рьРЫ{хп, йп), |ж!(а) - ггх(а)|,..., \хп(а) - ип(а)|)| для произвольного х° £ X существует решение х = £ £ X краевой

задачи (13), (14), удовлетворяющее оценке

(£ (К ^ ( 1 \ (РьР21Ы>Уг)(Ь - а){р21-рп)/{рпт)

Р1Р2п(Уп,У°п)(Ь - |А! - Д°| |ДП -

а„ ' |Р1 + дхГ "" |р» + д„|У

г^е 7/9(0 = Д? = + ^(6), * = ТЯ

Далее исследован вопрос непрерывной зависимости от параметров решений краевых задач.

Пусть при каждом гп = 1,2,... заданы удовлетворяющие условиям Каратеодори функции (р £ [а,Ь], х £ К", т^ 6 ^(¿)) 1-> гуг-) €

@г(£), г = 1,71. Пусть, далее, заданы функции £ £ [а, Ь] ь-> г/г(£) € ©¿(£)

и числа РгТО, С^т, А{, г = 1, гг., т = 1,2,... . Рассмотрим при Ь £ [а,Ь] последовательность краевых задач

х(£), . . . ,ЯП(£),^(£)) = 2ЛМ> ДтЖг(а) + ) = Д,-, г = 1Тп.

(16)

Пусть заданы числа 1 ^ £>Хг ^ £>2г ^ ОО, г = 1,72, И г/г £ 6], ©г).

Далее предполагается, что если рц ф сю, то функция /¿т удовлетворяет условию ^р), а в случае рхг- = со — условию

Пусть для некоторой функции х° = (о:^, х2,..., х®) : [а, Ь] —> с компонентами х£ Ж7Р1.([а, 6], Г^) для всех г = 1,п при ш —» оо имеют место соотношения

Рх^ У*)) 0, Р^х^а) + Д,. (17)

Теорема 7. Пусть при каждом г = 1,п выполнены следующие условия: существуют такие числа Р{, фг, что

\Ът + Я«п\>№ + <ЭА> 0, Ш = 1,2,...;

| -*гт "Г Ц; гт | | -М "Г Цг % \

17

найдется такое щ > 0, что для каждого т = 1,2,... при почти всех Ь £ [а, Ь] и любых отображение ') : ®г(£) условно

-накрывающее и имеет место включение £ для

каждого з = 1 ,п существует такое ^ О, что при всех т = 1,2,..., почти всех £ £ [а,Ъ] и любых £ {х\,... ^¿-ъ^х^+х,... ,хп) £

Мп-1 отображение

Рц -липшицево; для спектрального радиуса матрицы (15) выполнено неравенство д(С) < 1. Тогда если имеют место соотношения (17), то при

п

каждом т = 1,2,... существует такое решение х = £т £ Х\АСРи

г=1

задачи (16), что £т —У х°.

В § 2.3 рассмотрены задачи управления дифференциальными уравнениями неявного вида. Соответствующая управляемая система содержит не разрешенные относительно производной дифференциальные уравнения, начальные условия, смешанные ограничения на управление и дополнительные ограничения на производную решения. Такими системами описывается управление объектами, параметры которых зависят не только от состояния объекта, но и от скорости его изменения. Подобные задачи возникают, например, при управлении космическими объектами [30].

Пусть заданы 7 е Ё", измеримые многозначные отображения О, : [а, Ъ] -> с1(ШГ), V : [а, Ь] сотр(К*), У : [а,Ъ] ->• с1(М'2) такие, что функции £ £ [а, 6] /?к»(0, !Г2(£)), рЖк (0, £/(£)), р^2(0, У&)) £ К существенно ограничены. Пусть определены удовлетворяющие условиям Каратеодори функции / : [а, 6] х Ё" х Г х I^ М'1, д : [а, Ь] х Г х КЧ Е'2, относительно которых, кроме того, предполагаем, что для любого г > 0

существует такое R > О, что при почти всех t G [a, 6] для всех х G Rn, 0 G 0(£), и G U(t), удовлетворяющих условию |rc| + \z\ + \и\ ^ г, имеют место неравенства \f(t,x,z,u)\ ^ R, \g(t,x,u)\ ^ Д.

Рассмотрим управляемую систему

f(t,x(t),x(t),u(t)) = 0, я(а)=7,

«(Í) G С/(£), g(t,x{t)Mt)) е V(t), (18)

¿(í)efi(í), te[a,b].

Управление u(-) будем предполагать существенно ограниченным, а ж(-) будем искать в классе абсолютно непрерывных функций, имеющих существенно ограниченную производную. Соответственно, локальным решением управляемой системы называем пару (х,и) G АСоо{[а,а + r],í2) х Loo([a,a + t],U), удовлетворяющую уравнениям и включениям (18) при почти всех t G [а,а + r], r G (0,6 — а]. Управляемую систему называют локально разрешимой, если она имеет локальное решение.

Пусть заданы непрерывная функция х° : [а, 6] —> Rn и и > 0. Положим D(t) = BRn(x°{t),a).

Теорема 8. Пусть справедливо неравенство — я°(а)| < а и при почти всех t G [а, 6] и любых х G D(t), z G £l(t), и G t/(í) выполнены следующие условия: отображения f(t,x,-,u) : Í2(t) R*1, g(t,x,-) : U(t) —y R'2 условно накрывающие; отображения f(t,-,z,u) : D(t) —y R'1, f(t,x,z, •) U(t) R*1, g(t,-,u) : -D(i) —» R'2 липшицевы; имеет место включение 0 G f(t,x,Q,(i),u). Тогда если при почти всех t G [о, 6] лшо-жество ( Р) g(t,x,U(t))) f]V(t) не пусто, то управляемая система

4 xeD(t) J

(18) локально разрешима.

В диссертации также получена оценка решения управляемой системы

(18), следующая из неравенства (6). Эта оценка применяется для исследования корректности системы (18). Отметим, что в литературе подробно исследованы условия корректной управляемости объектами, описываемыми нормальными (разрешенными относительно производной) дифференциальными уравнениями. Эти условия непосредственно следуют из классических теорем о непрерывной зависимости от параметров решений нормальных дифференциальных уравнений (см., например, [37, Глава V]). Однако, для систем управления дифференциальными уравнениями неявного вида подобных результатов в литературе нет.

Пусть заданы числа 7т € т = 1,2,..., измеримые многозначные отображения ^ : [а, 6] с1(Мп), и : [а, 6] сошр(МА;), Ут : [а,Ь] с1(М'2) такие, что £ € [а, 6] /?е«(0,0(£)), £/(£)), рЖ12 (0, Кг(£)) £ К - су-

щественно ограниченные функции при т = 1,2,... . Пусть, далее, при любом т = 1,2,... определены удовлетворяющие условиям Каратеодо-ри функции /т : [а, 6] х К" х I" х дт : [а, 6]хГхЕ^ М'2,

относительно которых, кроме того, предполагаем, что для любого г > О существует такое Ят > 0, что при почти всех £ £ [а, Ъ] для всех х £ Мп, 2 £ Г2(£), и £ и{Ь), удовлетворяющих условию + |г| + |«| ^ г, имеют место неравенства |/т(£,а;,2г,и)| ^ \дт{г,х,и)\ < Лт. .

Рассмотрим последовательность управляемых систем

/т(£,:г(£),х(£),и(£)) = 0, х(а) = 7т, и(£)£[/(£), дт(^х{1),и{1)) еУт{1), т = 1,2,..., (19) ¿(£)£Г2(£), £ £ [а, Ь].

Пусть для некоторой пары (х°,и°) £ АСоо([а, Ь], $7) х А>о([а, 6], и) име-

ют место соотношения

vrai sup\fm(t,x0{t),x0{t),u°{t))\ 0, 7m -> я°(о),

te [a, b}

Hm(t)=( П 9m(t,X,U(t)))riVm(t)ï0, (20)

cc G jD

vrai sup £R;2(£m(i,a;0(i),u0(i)), Hm(t)) ->• 0. i€[a,b] 4 7

Сформулируем условия, обеспечивающие существование при любом натуральном m такого решения {хт,ит) G АСоо([а, 6], £2) х Loo([a,b], U) управляемой системы (19), что последовательность (хт,ит) сходится к (х°,и°) в пространстве ACoo([a,b],Q) х Loo([a,b],U).

Теорема 9. Пусть существуют такие положительные числа , и неотрицательные числа /Зц, /З12, (32i, что при почти всех t G [a, b] и любых х G D(t), и G U(t), z G ^(¿), m = 1,2,... выполнены условия: отображения fm(t,x,-,u) : i7(i) —> R*1, gm(t,x, •) : C/(i) M'2 ле-ляются условно накрывающими с константами ai, соответственно; отображения fm(t,-,z,u) : D(t) —> R*1, fm(t,x,z, •) : С/(i) —> RZl, D(t) —> R'2 являются, соответственно, /Зц, (З12, P21 -лип-шицевыми; имеет место включение 0 G fm{t, х, и). Тогда если справедливы соотношения (20), то для всех достаточно больших значений m управляемая система (19) разрешима на всем [а, 6], и существует такое ее решение (хт,ит) G ACœ([a,b],Çl) х Loo([a, b], U), что в пространстве Ж7оо([а, 6], Q) х Loo([û, b], U) имеет место сходимость

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Плужникова, Елена Александровна, 2013 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Аваков Е.Р., Арутюнов A.B., Жуковский Е.С. Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 5. С. 613-634.

2. Азбелев И.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.

3. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1959. 916 с.

4. Арутюнов A.B. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки // Доклады Академии наук. 2007. Т. 416. № 2. С. 151-155.

5. Арутюнов A.B. Устойчивость точек совпадения и свойства накрывающих отображений // Математические заметки. 2009. Т. 86. Вып. 2. С. 163-169.

6. Арутюнов A.B., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е. О корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № И. С. 1523-1537.

7. Арутюнов A.B., Жуковский С.Е. Локальная разрешимость управляемых систем со смешанными ограничениями // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46. № 11. С. 1561-1570.

8. Арутюнов A.B., Жуковский С.Е. Существование обратных отображений и их свойства // Труды МИАН. 2010. Т. 271. С. 9-19.

9. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений. М.: Либроком, 2011. 224 с.

10. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М., 1977. 624 с.

11. Галеев Э.М., Зеликин М.И., Конягин C.B., Магарил-Ильяев Г.Г., Осмоловский Н.П., Протасов В.Ю., Тихомиров В.М., Фурсиков A.B. Оптимальное управление. М.: Изд-во МЦНМО, 2008. 320 с.

12. Дмитрук A.B., Милютин A.A., Осмоловский Н.П. Теорема Люстер-ника и теория экстремума // УМН. 1980. Т. 35. Вып. 6. С. 11-46.

13. Дончев А. Системы оптимального управления. Возмущения, приближения и анализ чувствительности. М.: Мир, 1987. 156 с.

14. Жуковская Т.В., Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. Об исследовании систем функциональных уравнений методами теории накрывающих отображений // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. 2013. Т. 18. Вып. 1. С. 38-42.

15. Жуковский Е.С., Жуковская Т.В. О разрешимости дифференциального уравнения с запаздыванием, не разрешенного относительно производной // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2011. Т. 16. Вып. 1. С. 67-69.

16. Жуковский Е.С., Осинин В.Ф., Плужникова Е.А. О корректности функционально- дифференциального уравнения нейтрального типа

// Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. 2011. Т. 16. Вып. 4. С. 1078-1081.

17. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. Об одном методе исследования разрешимости краевых задач для дифференциальных уравнений // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2010. Т. 15. Вып. 6. С. 1673-1674.

18. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. Теорема о накрывании операторов в произведении метрических пространств // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2011. Т. 16. Вып. 1 С. 70-72.

19. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. Накрывающие отображения в проблеме корректности краевых задач для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2011. Т. 16. Вып. 4. С. 1082-1085.

20. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. О периодической краевой задаче для дифференциального уравнения, не разрешенного относительно производной // Известия Института математики и информатики УдГУ. 2012. Вып. 1 (39). С. 52-53.

21. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. О применении накрывающих отображений при исследовании управляемых систем // Тезисы докладов XII Международной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (конференции Пятницкого). М., 2012. С. 128-129.

22. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. Об управляемости краевых задач для дифференциального уравнения, не разрешенного относительно производной // Материалы V Международной конференции «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования». Воронеж, 2012. С 124-126.

23. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. К вопросу о разрешимости управляемых дифференциальных систем // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. 2013. Т. 18. Вып. 1. С. 49-54.

24. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. Накрывающие отображения в произведении метрических пространств и краевые задачи для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2013. Т. 49. № 4. С. 439-455.

25. Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А., Михлин С.Г., Раковщик Л.С., Стеценко В.Я. Интегральные уравнения. М.: СМБ, 1968. 448 с.

26. Закалюкин И.В. Особенности уравнений динамики некоторых неголо-номных систем и неявные дифференциальные уравнения. Автореферат дисс. ... канд. физ.-мат. наук: 01.02.01 [Место защиты: Московский авиационный институт (государственный технический университет)]. М., 2010.

27. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутиц-кий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. М., 1969. 456 с.

28. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974. 480 с.

29. Перов А. И. Ообщенный принцип сжимающих отображений // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. 2005. № 1. С. 196-207.

30. Писаренко Г.С., Кравчук Л.В., Писаренко В.Г. Космические исследования на Украине и космофизические аспекты проблемы объединения фундаментальных полей // Космические исследования на Украине. 1983. Вып. 17. С. 3-20.

31. Плужникова Е.А. О накрывании оператора Немыцкого в пространстве суммируемых функций // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2010. Т. 15. Вып. 6. С. 1686-1687.

32. Плужникова Е.А. О непрерывной зависимости от параметров решений операторных уравнений в метрических пространствах // Тезисы 42-й Всероссийской молодежной школы-конференции «Современные проблемы математики». Екатеринбург, 2011. С. 96-98.

33. Плужникова Е.А. Один метод исследования краевых задач для не разрешенных относительно производной дифференциальных уравнений // Тезисы докладов Международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной 110-й годовщине И.Г. Петровского. М., 2011. С. 305-306.

34. Плужникова Е.А. Один метод исследования разрешимости задач управления для дифференциальных уравнений // Тезисы научной

конференции «Тихоновские чтения». М., 2011. С. 65-66.

35. Плужникова Е.А. О локальной разрешимости задачи Коши функционально-дифференциального уравнения нейтрального типа // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. 2012. Т. 17. Вып. 1. С. 59-62.

36. Фоменко Т.Н. О приближении к точкам совпадения и общим неподвижным точкам набора отображений метрических пространств // Математические заметки. 2009. 86. 1. С. 110-125.

37. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. 720 с.

38. Arutyunov A., Avakov Е., Gel'man В., Dmitruk A., Obukhovskii V. Locally covering maps in metric spaces and coincidence points //J. Fixed Points Theory and Applications, 2009. V. 5. № 1. P. 105-127.

39. Arutyunov A. V., Zhukovskii E.S, Zhukovskii S.E. Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra equations // Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 2012. 75. P. 1026-1044.

40. Arutyunov A. V., Zhukovskiy S.E. Existence of local solutions in constrained dynamic systems // Applicable Analysis. V. 90. Iss. 9. P. 889-898.

41. Himmelberg C.J., Van Vleck F.S. Lipschitzian generalized differential equations // Rend. Sem. Mat. Padova, 1972. V. 48. P. 159-169.

42. Ioffe A.D. Towards variational analysis in metric spaces: metric regularity and fixed points // Math. Program., Ser. B, DIO 10.1007/sl0107-009-0316-3.

43. Mordukhovich B.S. Variational Analysis and Generalized Differentiation, Springer, 2005. V. 1.

44. Mordukhovich B.S., Wang B. Restrictive metric regularity and generalized differential calculus in Banach spaces // Maths. Math. Science, 2004. 50. P. 2650-2683.

45. Zhukovskiy E., Pluzhnikova E. On solvability of systems of equations in metric spaces // The 8th Congress of the ISAAC. Peoples' Friendship University of Russia. Moscow, 2011. P. 389.