Теоремы о возмущениях векторнно накрыващих отображений в исследовании неявных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Трещёв Валентин Сергеевич

• Трещёв Валентин Сергеевич
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Трещёв Валентин Сергеевич

Введение

Глава 1. Векторно накрывающие отображения метрических пространств

§1.1. Основные обозначения и определения

§1.2. Возмущения векторно накрывающих отображений ... 39 § 1.3. Векторно накрывающие отображения в пространстве

измеримых существенно ограниченных функций .... 46 Глава 2. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом, не разрешенные относительно

производной

§2.1. Задача Коши

2.1.1. Существование и продолжаемость решений

2.1.2. Непрерывная зависимость решений от параметров . 64 § 2.2. Краевая задача

2.2.1. Существование решения

2.2.2. Непрерывная зависимость решений от параметров

Обозначения

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоремы о возмущениях векторнно накрыващих отображений в исследовании неявных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом»

ВВЕДЕНИЕ

Диссертация посвящена исследованию задачи Коши и краевых задач для систем неявных (не разрешенных относительно производной) дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Основным инструментом исследования являются утверждения о липшицевых возмущениях накрывающих отображений произведений метрических пространств и признаки накрывания оператора Немыцкого в пространствах существенно ограниченных вектор-функций.

Первые работы, посвященные накрывающим (метрически регулярным) отображениям, появились в середине 20 века. Фундаментальные результаты теории накрывающих отображений были получены в работах Е. Р. Ава-кова, А. В. Арутюнова, Б. Д. Гельмана, Л. М. Грейвса, А. В. Дмитрука, А. Д. Иоффе, А. А. Милютина, Б. С. Мордуховича, Н.П. Осмоловского, А. Удерзо и других авторов. Л. М. Грейвс в [43] получил условия локальной накрываемости для отображений банаховых пространств. Для отображений, действующих из метрического пространства в линейное метрическое пространство, А. А. Милютиным (см. [23], [13]) доказана теорема о липшицевых возмущениях накрывающих отображений, утверждающая, что сумма а -накрывающего и в-липшицева отображений при а > в есть (а — в) -накрывающее отображение. А.В. Арутюновым (см., [3]-[6]) получены теоремы о существовании, оценках и устойчивости точек совпадения накрывающего и липшицева отображений (как однозначных, так и многозначных) в метрических пространствах. Теоремы о точках совпадения обобщают принцип Банаха о сжимающем отображении, который следует из этих утверждений, если областью определения и множеством значений

отображений является одно и то же метрическое пространство, а в роли накрывающего выступает тождественное отображение.

Последние годы отмечается новый всплеск интереса исследователей к накрывающим отображениям и их приложениям, чему во многом способствовали цитируемые выше работы А. В. Арутюнова о точках совпадения. Исследования точек совпадения и свойств накрывающих отображений метрических пространств продолжены в работах многих авторов. В публикациях кроме вопросов анализа накрывающих отображений все большее место занимают проблемы приложения накрывающих отображений в теории дифференциальных и интегральных уравнений и включений, в задачах управления и оптимизации. В работе Е.Р. Авакова, А.В. Арутюнова, Е.С. Жуковского [1] предложено понятие условного накрывания, доказаны теоремы об устойчивости условно накрывающих отображений метрических пространств, получен признак накрывания оператора Немыцкого в пространстве существенно ограниченных функций, исследованы вопросы существования и продолжаемости решений задачи Коши для неявного дифференциального уравнения. А.В. Арутюновым, Е.С. Жуковским, С.Е. Жуковским в [7], [40] предложены уточнения понятия условного накрывания, получены распространения теорем о возмущениях, доказаны утверждения о корректности уравнений с накрывающими отображениями и перечисленные результаты применены к исследованию разрешимости и корректной разрешимости задачи Коши для неявных дифференциальных уравнений, интегральных уравнений Вольтерра. Аналогичными методами в [17] рассмотрено дифференциальное уравнение с запаздыванием, в [8], [20], [42] рассмотрены задачи управления.

В работах Е.С. Жуковского, Е.А. Плужниковой [18], [19], [30], [27] ме-

тодами накрывающих отображений исследованы задача Коши и краевые задачи для систем неявных дифференциальных уравнений вида

/г(£,Ж1, . . . ,Хп,Хг) = 0, г = 1,п.

Предполагалось, что при каждом г = 1 ,п по последнему аргументу функция ¡г{Ь,т1,...,тп, •) : К ^ К является аг-накрывающей, а по каж-

дому аргументу т^ (] = 1 ,п) удовлетворяет условию Липшица с константой в%з. Авторами доказано, что если спектральный радиус матрицы С = (а~1вгэ)пхп меньше единицы, то в пространстве Ьж,([а,Ъ], Кп) измеримых существенно ограниченных функций можно так определить метрику, что соответствующее краевой задаче операторное уравнение будет удовлетворять условиям теорем [1], [7], [40] о накрывающих отображениях.

В диссертации предлагается несколько иной подход к исследованию задачи Коши и краевых задач.

Так как задача Коши и краевые задачи сводятся к системе операторных уравнений (содержащей кроме дифференциальных уравнений еще начальные и краевые условия), то удобно не определять метрику в соответствующих пространствах векторных измеримых функций, а рассматривать эти пространства с векторнозначными метриками. Отметим, что теоремы о неподвижных точках сжимающего оператора в пространстве с вектор-нозначной метрикой получены А.И. Перовым [25], [26]. Е.С. Жуковским в [15], [16] предложено распространение понятия накрывания на отображения пространств с векторнозначной метрикой и получены результаты о точках совпадения и о липшицевых возмущениях накрывающих отображений в таких пространствах. Применение этих результатов позволило рассмотреть в диссертации системы дифференциальных уравнений с от-

клоняющимся аргументом

¡г(г,Х1(Ьл(г)),... ,Хп(К(Ь)),х 1, ...,Хп) = 0, г = 1,п

и, в частном случае при Нг(Ь) = Ь, системы обыкновенных дифференциальных уравнений

fг(t^, xl,..., Хи, Х1,..., Хп) 0, г 1,

(более общего вида, чем в [18], [19], [30], [27]). В диссертации исследованы вопросы разрешимости и корректности задачи Коши и краевых задач для таких систем дифференциальных уравнений, получены оценки их решений.

Приведем краткое содержание диссертации.

Глава 1 посвящена результатам о векторно накрывающих отображениях, на которых базируется исследование систем неявных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. В § 1.1 определены необходимые понятия, в § 1.2 сформулировано утверждение о липшицевых возмущениях векторно накрывающих отображений [15], [16]. Здесь также получено утверждение о непрерывной зависимости от параметров решений систем операторных уравнений с векторно накрывающими отображениями. В § 1.3 найдены условия векторного накрывания оператора Немыцкого.

Приведем основные определения § 1.1. Пусть заданы метрические про-

странства Хг = (Хг,рх.), У^ = (У, ру^), г = 1,п, ] = 1 ,т. Определим произведения этих пространств

п т

X = П Хг, У = П У

г=1 з=1

и зададим в них векторные метрики

Рх (х,и) = {рХг (Х\,Щ), . . .,рхп (Хп,Пп)) , Ру {У,^) = (РУ1 (У1,^1),...,РУт {Ут,^т)) ,

где х,и € X и у,ш € У. Обозначим замкнутый шар в пространстве с центром в точке и € радиуса < > 0 символом

Вхг{Щ,1г) = [хг € Хг : Рх4{иг,хг) < <}.

Определим для 1 = {11,..., 1п) € и = {щ,..., ип) € X произведение этих шаров

п

Вх{и,1) = Вхг{иг,1г) = {х € X, Рх{х,и) < 1}.

¿=1

Аналогично для векторов г = {г1,... ,гт) € ^т, ш = {^1,... ,шт) € У определяем произведение Ву (ш,г) = Пт=1 ВУ^ (шз ) замкнутых шаров

Щ{^з,гз) С {Уз,РУ3).

Пусть заданы множества W С У, А С X х ^т и п х т-матрица А с

неотрицательными компонентами а^, г = 1,п, ] = 1, т.

Определение 0.0.1. [15], [16]. Отображение Ф : X ^ У будем называть векторно А -накрывающим множество W на совокупности А, если

V {и,г) € А ВУ{Ф{и),г) р| W С Ф(Вх{и,Аг))]

и векторно условно А -накрывающим множество W на совокупности А, если

V {и, г) € А ВУ{Ф{и),г) р| W р| Ф^) С Ф(Вх{и,Аг)).

В случае п = т = 1 определения векторно (условно) Л -накрывающего отображения метрических пространств совпадают с определениями (условно) а -накрывающего отображения, предложенными в [1], [3], где

Л = (ап), а11 = а-1.

В полученных в диссертации утверждениях совокупность А это одно из следующих множеств:

1. В(и0,Я, и) = {(и, г) е X х : Лг + рх(и, и0) < Я], где и0 е X, Я е и и е Вх(и0,Я);

2. %(и0,Я) = {(и,г) е X х : Лг + рх(и,и0) < Я], где и0 е X и

Я е

3. В (и) = {(и,г) е X х Уг > 0], где и е X.

В § 1.2 приведена теорема из [16] о разрешимости и оценке решения системы уравнений — векторный аналог теорем о точке совпадения двух отображений [3] и о нелинейных возмущения накрывающих отображений [1, 40]. Сформулируем это утверждение.

Обозначим через 1т единичную т х т-матрицу.

Пусть задан вектор у е У и определено отображение Ф : X х X ^ У, обладающее по первому аргументу свойством накрывания (в смысле определения 0.0.1). Относительно неизвестного х = (х1,..., хп) е X рассмотрим уравнение

Ф(х,х) = у. (0.0.1)

Пусть заданы векторы и0 е X, Я е й е и веществен-

ные матрицы Л, В размерностей п х т и т х п, соответственно. По-

ложим и = Вх(и0 ,Я). Для каждого и е и определим множество W(и) = Ву(Ф(и0,и), 1).

Теорема 0.0.1. [16] Пусть метрические пространства X,, г = 1,п, являются полными и выполнены следующие условия:

• при любом и е и отображение Ф(;,и) : X ^ У является век-торно условно Л -накрывающим множество W(и) на совокупности В (и0, Я, и);

• для любых у,и е и выполнено неравенство

Ру(Ф^,и), Ф(у,у)) < Врх(и,у);

• для произвольной последовательности {ук] С и и любого и е и, если имеют место сходимости рх(ик,и) ^ 0, Ру(Ф(-ик,ук),у) ^ 0 (в пространствах Кп, Кт, соответственно), то выполнено соотношение Ф(и,и) = у.

• для спектрального радиуса д т х т -матрицы В Л выполнена оценка д(ВЛ) < 1;

• имеют место неравенства

г(у) = (1т - В Л)-1 ру (Ф(и0,и0), у) < 1, Лг(у) < Я;

• при любых и е Вх(и0, Лг(у)) выполнено включение у е Ф(и,и).

Тогда существует решение х = £ е X уравнения (0.0.1), удовлетворяющее неравенству

рх(£,и0) < Лг(у).

Отметим, что вследствие предположения д(ВЛ) < 1 матрица 1т — В Л обратима, и это позволяет использовать матрицу (1т — В Л)-1 в неравенствах теоремы 0.0.1.

Далее в § 1.2 исследован вопрос о корректности системы (0.0.1) в следующей постановке. Пусть при любом натуральном I = 1, 2,... определено отображение Ф1 : X х X ^ У и задан вектор у1 е У. Рассмотрим последовательность уравнений

Ф1 (х,х) = у1, I = 1, 2,... (0.0.2)

относительно неизвестного х е X.

Пусть, для некоторого элемента и0 = (и0,... ,иП) е X при I ^ ж имеет место сходимость

руг(Ф1г(и0,и0),у1) ^ 0, г = 1т. (0.0.3)

Нас интересуют условия, обеспечивающие разрешимость при любом натуральном I системы уравнений (0.0.2) и сходимость к и0 последовательности решений (в произведении X).

Пусть заданы и0 е X, Я е 1 е ^т и матрицы Лпхт, Втхп с неотрицательными компонентами.

Теорема 0.0.2. Пусть пространства Xг, г = 1,п, являются полными и при всех I = 1, 2,... выполнены следующие условия:

• для любого и е и = Вх(и0,Я), отображение Ф1 (•,и) : X ^ У является векторно условно Л -накрывающим множество Wl (и) = Ву(^Ф1 (и0,ина совокупности В(и0,Я,и);

• для любых и, у € и выполнено неравенство

Ру(Ф1 {V,и), Ф1 {у,у)) < ВРх{и,у);

• для любой последовательности {ук} С и из сходимости

Рх{ук, у) ^ 0, ~Ру (Ф1 {ук ,у),у1) ^ 0, при к ^ ж, следует Ф1 {у,у) = у1, I = 1, 2,... ;

• для спектрального радиуса д матрицы В А выполнено неравенство д{ВА) < 1;

• для всех и € В~х(и°,Аг{у1)) имеет место включение у1 € Ф1 {и, и), где г{у1) = {1т - ВА)-1РУ(Ф1 {и0,и0),у1).

Тогда, если имеет место соотношение (0.0.3), то при каждом натуральном I, начиная с некоторого номера, существует такое решение £ = {£1,... ,£1п) € X системы (0.0.2), что в X имеет место сходимость £ ^ и0.

Для исследования систем неявных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом кроме результатов о векторно накрывающих отображениях требуются еще условия накрывания оператора Немыцкого в лебеговых пространствах. В связи с этим в § 1.3 получено утверждение о накрывании оператора Немыцкого в пространствах существенно ограниченных функций. Сформулируем этот результат.

Определим в Кп векторную метрику

РКп {х, и) = (|х1 — и1\,..., \хп — ип\) Ух, и € Кп.

Обозначим cl(Rn) — совокупность всех непустых замкнутых подмножеств пространства Rn. Пусть Lœ([a,b], Rn) — произведение пространств Lœ([a,b], R) измеримых существенно ограниченных функций с векторной метрикой

Рь^ИаД, Rn)(x,u) = (vrai sup x (s) - ui(s)l,..., vrai sup |xn(s) - un(s)|)

sG [a, b] sG [a, b]

V x,u G Lœ([a,b], Rn).

Пусть определена удовлетворяющая условиям Каратеодори функция g : [a, b] х Rn ^ Rm, для которой при любом r G существует такая функция Пг G Lœ([a,b], R), что при п.в. t G [a,b] и любых x G BRn(0,r) выполнено неравенство lg(t,x)l < Пг(t). Определим оператор Немыцкого

(Ngy)(t) = g(t,y(t)). (0.0.4)

Принятые предположения являются необходимыми и достаточными условиями действия оператора Ng из Lœ([a,b], Rn) в Lœ([a,b], Rm) (см. [14, с. 375]), и при их выполнении оператор Ng будет замкнутым и ограниченным.

Далее, пусть заданы n х m-матрица A с неотрицательными компонентами и измеримые отображения

W : [a, b] ^ cl(Rm), A : [a, b] ^ cl(RRn х Rm).

Будем предполагать, что при п.в. t G [a,b] функция g(t, •) : Rn ^ Rm является векторно A -накрывающей множество W (t) на совокупности A(t). Определим накрывающие свойства оператора (0.0.4), то есть определим, с какой матрицей, какое множество и на какой совокупности оператор Ng : Lœ([a,b], Rn) ^ Lœ([a,b], Rm) будет накрывающим.

Для произвольного г € ^т определим многозначное отображение

г € [а, Ь] ^ А {г) = А{г) п {Кп х {г}). (0.0.5)

Являясь пересечением замкнутозначных измеримых отображений, заданное соотношением (0.0.5) отображение Аг : [а, Ь] ^ е1{Кп х Кт) измеримо (см. [10, с. 71]). Определим отображение ПКп : е1{Кп х {г}) ^ е1{Кп) равенством Щп{{х,г)} = {х}. Имеем Щг{г) = ЩпЩг{г) х {г}, и поэтому отображение

ПКпАг : [а, Ь] ^ е1{Кп), ПМпЩг{г) = {х : {х, г) € А{г)},

измеримо. Определим следующее множество сечений этого отображения

[ПМп Щг] = {и € Ьж {[а,Ь], Кп) : и{г) € ПМп Щг {г) при п.в. г € [а,Ь]}.

Эффективное множество ^т{ЩпЩг) = {г € [а,Ь] : ЩпЩг{г) = 0} измеримо при любом г € определим множество И0 векторов г € , для которых мера множества ^т{П®пЩг) максимальна, т.е. равна Ь — а. Теперь определим совокупность

В = {{и,г) € Ьж{[а,Ь], Кп) х Кт : г € Ио, и € [ПМп Щг]} . (0.0.6)

Далее, определим множество

№] = {у € Ьж{[а,Ь], Кт) : у{г) € W {г) при п.в. г € [а,Ь]}

измеримых существенно ограниченных сечений измеримого отображения W : [а,Ь] ^ е1{Кт).

Теорема 0.0.3. Пусть при п.в. г € [а,Ь] отображение д{г, •) : Кп ^ Кт является (условно) векторно А -накрывающим множество W{г) на совокупности Щ{г). Тогда определенный равенством (0.0.4)

оператор Немыцкого Ыд : Ьж{[а,Ь], Кп) ^ Ьж{[а,Ь], Кт) будет (условно) векторно А -накрывающим множество [Ш] на определенной равенством (0.0.6) совокупности В.

В § 1.3 также получены следствия из теоремы 0.0.3, представляющие условия векторного накрывания оператора Немыцкого в случаях, когда Щ{г) = В(и0{г),Я), либо Щ{г) = В(и0{г),Я,и{г)), где и0 € Ьж{[а,Ь], Кп), Я € Кп, и € ВЬсю{[атп){и0,Я).

Глава 2 посвящена исследованию задачи Коши и краевых задач для неявных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Используется метод, основанный на сведении дифференциальных уравнений, начальных и краевых условий к системе операторных уравнений относительно пары векторов (х,х{а)), компонентами первого являются производные искомых функций, второго — начальные значения. Полученные в § 1.3 результаты позволяют найти условия накрывания отображений по соответствующим переменным, а утверждения из § 1.1, § 1.2 — исследовать полученные системы операторных уравнений.

В § 2.1 получены условия существования, продолжаемости {§ 2.1.1) и непрерывной зависимости от параметров {§ 2.1.2) решений задачи Коши.

Обозначим через 1т матрицу размерности т х т, все компоненты которой равны 1. Пусть заданы: измеримая функция Н : [а,Ь] ^ Кп, удовлетворяющая при почти всех г € [а, Ь] неравенству Н{г) < г; измеримая существенно ограниченная функция у : [а,Ь] ^ измеримая по Борелю ограниченная функция р : {—ж,а) ^ Кп; вектор 7 € Кп и удовлетворяющая условиям Каратеодори (то есть измеримая по первому и непрерывная по совокупности остальных аргументов) функция

/ = (¡1,...,/т) : [а, Ь] х Кп х Кп ^ Кт Пусть при любом г е существует такое неотрицательное число Пг, что при почти всех г е [а,Ь] и любых х,и е ВКп(0,г) выполнено неравенство Ц(г,х,ш)1 < цг.

Рассмотрим при £ е [а, Ь] систему дифференциальных уравнений вида

¡г(г,хл{Ьл(г)),..., хп(Нп(г)), х 1(г),.. .,хп(£)^ = уг(г), г = 1,т, Хj(в) = рэ(в), если ее [а,Ь], 3 = 1,п, с начальными условиями

х5 (а) = Чэ, 3 = 1, п. (0.0.8)

Уравнение (0.0.7) — это дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом, его решение может быть определено не только на всем отрезке [а,Ь], но и на [а, с], для произвольного с е [а,Ь]. Дадим определение такого решения.

Для любого 3 = 1, п определим множества

Еэ = Н:-1[а) Ь] = {г е [а, Ь] : Нэ(г) е [а, Ь]}, Ес = Еэ П [а, с],

являющиеся, очевидно, измеримыми. Теперь определим оператор внутренней суперпозиции

: С ([а, с], Кп) ^ Ьх([а,с], Кп), х = (Бс, х1,...,Б] х„),

. хэ(Нэ(г)), если г Е Е], _

хэ)(£) = { э( э)>' э' 3 = 1,п,

Рэ(Нэ(г)), если г е Ес,

и оператор Немыцкого

Щ : Ьж([а,с], кп) х Ь^([а,с], Кп) ^ Ь^([а,с], Кт), Щ = ,...,Щт) (щ.(и,х))(г) = /г(г,х(г),и(г)), ге [а,с], г = 1,т.

Запишем систему (0.0.7) при t Е [a, c] в следующем виде

№fi(schixi,... ,ScKxn,xi,... ,x„^ = yi, i = 1m. (0.0.9)

Решением системы (0.0.7), определенным на отрезке [a,c], назовем функцию xc Е АСж([а,с], Rn), удовлетворяющую системе (0.0.9). Задача Коши (0.0.9), (0.0.8) равносильна системе

(■) (■) Shi Ы + ui(s)ds),...,SChn (jn + Un (s)ds),

a

ul,...,un^ = yi, i = l,m. (0.0.10)

относительно и = х € Ьж{[а,с], Кп), соответственно, решение исходной задачи Коши (0.0.9), (0.0.8) равно х{•) = 7 + / и{в) ¿в € АСж{[а,с], Кп).

а

Пусть заданы и0 € Ьж{[а,Ь], Кп), Я € 6 € а > 0 и п х т -матрица А с неотрицательными компонентами. При каждом г € [а,Ь] зададим совокупность В и0 {г), Я) С Кп х равенством

В(и0{г),Я) = {(и,г) € Кп х : Аг + рКп(и,и0{г)) < Я}. (0.0.11) Определим абсолютно непрерывную функцию х0 : [а, Ь] ^ Кп с компонен-

тами x0(t) = Yj + f u0(s) ds, j = l,n, и положим

a

- Л - - I [х0{г) — а,х0{г) + а], если г € Ел, _

Б{г) = П^{г), гдеб3{г) = \ [>{ ^ \>{) ], л, э = 1,п.

л=1 [т {Нл{г))}, если г €Е,

Далее, определим при почти всех г € [а,Ь] и любом х € Б {г) множество

т

W {г, х) = вжт (/{г, х, и0 {г)), ¿) = П Wг{г, х),

¡=1

где Wг{г,x) = [¡¡{г,х,и°{г)) — ¡г{г,х,и°{г)) + ¿г], % = 1,т.

Обозначим

у0(г) = ¡(г, Б1 х0)(г),..., (Бь,п хп )(г),и°1(г),.. .,и(п(г)).

Теорема 0.0.4. Пусть выполнены следующие условия:

• при почти всех г е [а,Ь] и любом х е О (г) отображение / (г,х, •) : Кп ^ Кт является условно векторно Л -накрывающим множество W(г,х) на совокупности В (и0(г), Я);

• для любых г = 1,т, 3 = 1,п существует такое вэ > 0, что при почти всех г е Еэ, всех ш е ВКп(и0(г), Я) и любых хк е Ок(г), к = 1,п и к = 3 отображение ¡г(г,х1,... ,хэ-1, •,хэ+1,...,хп,/ш) : Оэ (г) ^ К является вэ -липшицевым;

• для любых г = 1,т, 3 = 1,п при почти всех г е [а,Ь] и любых хэ е Оэ (г) имеет место включение

у г (г) е ¡г(г,х1,... ,хп, Вк» (и°(г),Я));

• пусть существует такое е > 0, что имеют место неравенства

ге(у) = (1т + е1т)Рьж([аМЛт)(у°, у) < <1, Лге(у) < Я

Тогда найдется такое с е (а,Ь], что существует определенное на [а, с] решение хс е ЛС(Х)([а,с], Кп) задачи Коши (0.0.7), (0.0.8), удовлетворяющее оценке

(хс,и ) < А(1т + е1т)Рь (у0 ,у).

17

Здесь, для сокращения записи сужения на [а, о] функций u°,y°,y обозначены теми же символами, что и исходные определенные на всем [а, b] функции.

В § 2.1.2 исследована непрерывная зависимость от параметров решений задачи Коши (0.0.7), (0.0.8).

Через 1m обозначим m-мерный вектор, компоненты которого равны 1.

Пусть при любом натуральном l заданы: измеримая функция hl : [a,b] ^ Rn, удовлетворяющая при почти всех t Е [а,Ь] неравенству hl(t) < t, измеримая существенно ограниченная функция yl : [a,b] ^ Rm, измеримая по Борелю ограниченная функция р1 : (-ж, а) ^ Rn, вектор y 1 Е Rn. Далее, пусть при любом натуральном l определена удовлетворяющая условиям Каратеодори функция fl : [a,b] х Rn х Rn ^ Rm, относительно которой предполагаем, что при любом r Е Rm существует неотрицательное число ni, для которого при почти всех t Е [а, b] и любых x,u Е BRn(0,r) выполнено неравенство fl(t,x,u)l < ni. Рассмотрим при t Е [а, b] последовательность систем дифференциальных уравнений вида

fl(t,xi(h[(t)),...,x„Xhln(t)),xi(t),...,xn(t)\ = y\(t), i = 1,m, v _ J (0.0.12)

xj(s) = pj (s), если s Е [а,Ь], j = 1,n, с начальными условиями

xj (а) = y1 , j = 1,n. (0.0.13)

(здесь l = 1, 2,...). Пусть заданы u° Е Ьж([а,Ь], Rn), y Е Rn. Обозначим

У0 (t) = fl (t,Sh[ (y! + J U%s)ds)(t),... ,

a

(■)

Shn Ы + u°n(s)ds)(t), u°(t),... , u°n(t)j ;

■ Xj(hj(t)), если hj(t) > a, _

(Shl x3)(t) = { j ( J ( ))' j( ) - ' j = 1, n.

j 1 pj(hj(t)), если hj(t) < a.

Предположим, что при l ^ ж имеют место сходимости

jj ^ Yj, j =1П, (0.0.14)

vraisup\y0l(t) - yl(t)| ^ 0, i = l,m. (0.0.15)

t G [a,b]

Для каждого натурального l определим абсолютно непрерывную функцию xl : [a,b] ^ Rn, компоненты которой заданы равенством

t

xj (t) = jj + J u0(s) ds, j = T/n.

a

Для некоторого a > 0 положим

-, A I [xj (t) - a, xj (t) + a], если t G Ej, _

Dl(t)=T\ D j (t), где D^1(t)={[]) ,j) ] j j = l,n.

ji ' ' [ {pj(hj(t))}, если t/Ej,

Пусть e > 0, d = elm G . Определим при почти всех t G [a, b] и любом x G D1 (t) множество

m

Wl(t, x) = BRm(fl(t, x, u°(t)),d) = Ц W\(t, x),

i=i

где Wl(t,x)= f (t,x,u°(t)) - e, fi(t,x,u0(t))+ e], i = î;m.

Пусть, далее, задана n х m-матрица A с неотрицательными компонентами. Определим при почти всех t Е [а,Ь] совокупность u°(t),R С Rn х Rm равенством (0.0.11), где R = e1n Е R+.

Теорема 0.0.5. Пусть при l = 1, 2,... выполнены следующие условия:

• при почти всех t Е [а,Ь] и любом x Е D(t) отображение f1 (t,x, •) : Rn ^ Rm является условно векторно A -накрывающим множество Wl(t,x) на совокупности B(u°(t),R;

для любых % = 1,т, Э = 1,п существует такое вл > 0, что при почти всех г € Е1- = {НЛ)—1[а,Ь] = {г € [а,Ь] : НЛ{г) € [а,Ь]}, всех и € Бкп( и0 {г), Я и любых хь € Б ь {г), к = 1,п и к = Э отображение {г, х1,..., хл—1, +1,..., хп, и) : Б л {г) ^ К является в л -липши-цевым;

• для любых % = 1,т, Э = 1,п, при почти всех г € [а,Ь] и любых хл € БЛ {г) имеет место включение

у {г) € ¡¡(г,х1,...,хп, Бкп (и0{г),Я)).

Тогда, если имеют место соотношения (0.0.14), (0.0.15), то при каждом натуральном I, начиная с некоторого номера, существует определенное на всем [а, Ь] решение £1 = {£[,... ,£1п) € АСж{[а, Ь], Кп) задачи Коши (0.0.12), (0.0.13) такое, что имеет место сходимость ^ х0, т.е.

Q(а) ^ x0(а), vraisup|£j(t) - iyj(t)\ ^ 0, j = 1,n.

te [a,b]

В § 2.2 представлены результаты о существовании (§ 2.2.1) и непрерывной зависимости (§ 2.2.22) решений краевой задачи для системы (0.0.7) неявных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом (в отличие от § 2.1 здесь не требуется, чтобы аргумент "запаздывал", то есть, не предполагается неравенство к(г) < г).

Пусть заданы вектор А = (А1,..., Ак) е Кк, непрерывная функция д = (д1,... ,дк) : Кп х Кп ^ Кк, измеримая функция к : [а,Ь] ^ Кп, измеримая существенно ограниченная функция у : [а,Ь] ^ Кт, измеримая по Борелю ограниченная функция р : (-о,а)и(Ь, () ^ Кп, и определена удовлетворяющая условиям Каратеодори функция / = (¡1,..., ¡т) : [а,Ь] х Кп х Кп ^ Кт. Относительно функции / предполагаем, что для любого г е Кт существует такое неотрицательное число пг, что при почти всех г е [а,Ь] и любых х,ш е Вк»(0,г) выполнено неравенство и(г,х,ш)1 < Пг.

Рассмотрим при г [а, Ь] систему дифференциальных уравнений вида

¡Аг,хЛкл(г)),... ,хп(кп(г)),хл(г),.. .,хп(г)) = уг(г), г = 1,т, 4 _ у (0.0.16)

хэ(в) = рэ(в), если в е [а,Ь], 3 = 1,п, с краевыми условиями

дг{х1(а),... ,хп(а),х1(Ь),... ,хп(Ь)) = Аг, г = 1,к. (0.0.17)

Определим множество Еэ = к-1[а,Ь] = {г е [а,Ь] : к (г) е [а,Ь]}, кото-

рое является измеримым, и число Нэ = уга18ир(кэ-(г) - а), 3 = 1,п. Будем

ге Ез

полагать Нэ = 0, если Еэ = 0. Далее, определим оператор внутренней

суперпозиции Ян : С {[а,Ь], Кп) ^ Ьж{[а,Ь], Кп), Бьх = {БЬл х1,..., Бнп х„),

хл{Нл{г)), если г € Ел,

{^ хл э = 1,п,

Рл{Нл{г)), если г € Ел,

и оператор Немыцкого Nf : Ьж{[а,Ь], Кп) х Ьж{[а,Ь], Кп) ^ Ьж{[а,Ь], Кт),

N = {^ ,...,Щт),

(щ{и,х)){г) = ¡г(г,х{г),и{г)), г€ [а,Ь], % = Т,т.

Запишем систему (0.0.16) в виде системы операторных уравнений

х1,.. .,БК хп,х1,...,хп) = уг, % = 1,т.

(0.0.18)

Решением системы (0.0.16) называем функцию х € ЛС(Х){[а,Ь], Мп), которая удовлетворяет системе (0.0.18).

Краевая задача (0.0.18), (0.0.17) равносильна системе

N^1 11 + / щ{в)(1в),..., 8К( 1п + / ип{в)йв),

и1,...,ип) = уг, % = 1,т, ь ь

9г{ 11, ...,1п,Ъ +/ щ{в)йв, ...,1п + / ип{в)йв) -а

(0.0.19)

= Аг, % = 1, к,

относительно пары {и,1) = {х,х{а)) € Ьж{[а,Ь], Мп) х Мп.

Пусть заданы и0 € Ьж{[а,Ь], Кп), I0 € Кп, Я1, Я2 € К+, й1 € ^ и п х т -матрица Л1 с неотрицательными компонентами. Зададим при каждом г € [а,Ь] совокупность В(и0{г),Я^ С Мп х Мт равенством (0.0.11), где Л = Л1 , т.е.

В(и0{г),Я1) = {(и,т) € Кп х ^ : Л1 т + рКп(и,и0{г)) < Я1}. (0.0.20)

Определим абсолютно непрерывную функцию х0 : [а, Ь] ^ Кп с компонен-

г _

тами х(0(г) = + / и'0(в) (1в, 3 = 1,п, и положим

а

О (г) = П Оэ (г),

э=1

. Вш(х0(г),Яэ* + Я)(г - а)), если г е Е,, _

где Оэ (г) = ^ 3 = 1,п.

{рэ(к(г))}, если г е Еэ,

Далее, определим при почти всех г е [а,Ь] и любом векторе х е О (г) множество

т

W 1(г, х) = В*» (и (г, х, и0(г)),(1) = Ц w1(г, х),

г=1

где w¡(г)x) = [¡г(г,х,и0(г)) - (, ¡(г,х,и0(г)) + 4], г = 1,т.

Пусть определены п х к-матрица Л2 с неотрицательными компонентами и вектор д2 е Зададим совокупность В70,Я2) С Кп х К+ равенством

В (70,Я2) = {(7,г) е Кп х : Л2г + рКп(^п0) < Я2}. (0.0.21)

Далее, при любом векторе х е ВКп(х0(Ь), Я2 + Я1(Ь - а)) определим множество

к

W2(х) = В* (д(1 \ х),(2) = Ц ^2(х),

=1

где W2(x) = [дг (<у0, х) - (2, дг (ч°, х) + (2], г = Т/к.

Обозначим

у0 (г) = ¡(г, (^ х1)(г),..., (^ х°п )(г),и0(г),.. .,и°п(г)),

b b

A0 = g%Yl...,Y°n ,j* + u0i(s)ds,...,Y°n + <(s)ds).

a

Теорема 0.0.6. Пусть выполнены следующие условия:

• при почти всех t Е [a,b] и любом векторе x Е D(t) отображение f (t,x, •) : Rn ^ Rm является векторно условно Л1 -накрывающим множество W1(t,x) на совокупности B(u0(t),R^ ; при любом x Е BRn(x0(b),R2 + Rl(b — a)) отображение g(^,x) : Rn ^ Rk является векторно условно Л2 -накрывающим множество W2(x) на совокупности y0,R2);

для любых % = 1,т, ] = 1,п существует такое — 0, что при почти всех г € Ел, всех ш € БМп (и0{г), Я1} и любых хр € Бр{г),

p = 1,n и p = j, отображение fi (t,x1,...,xj—1, • ,xj+1,... ,xn,w) :

Б л {г) ^ М является -липшицевым; для любых % = 1, к, ] = 1,п существует такое — 0, что при всех 7 € и любых

'ij — ----- '"f^---~ I - ~ \ I 1 J и

x p Е Br( x0(b),Rp, + Rp,(b — a)), p = 1,n и p = j, отображение

gi(Y, x\,..., xj—i, •,xj+\,..., xn) : BR(x(j(b), R2 + Ri(b — a)) ^ R является efj -липшицевым;

для любых % = 1,т, ] = 1,п, при почти всех г € [а,Ь] и любых хл € Б л {г) имеет место включение

уг{г) € ¡г(г,хл,...,хп, Бмп (и0{г),Я1^;

для любых % = 1,к, ] = 1,п, любых хл € Бм(х®{Ь), Щ + Я]^{Ь — а)) имеет место включение

Ai Е g^BRn (Y0,R2),x1,...,x^j.

для спектрального радиуса д произведения В А матриц

А = (А 0 ) , В = В12

\0 А2) \В2! В22/

где Вп = (И3)тхп, В12 = )тхп, В21 = ((Ь - а)в22])кхп, В22 = ($2)кхп, выполнено неравенство д(ВА) < 1;

имеют место неравенства

гУ А) = (1т+к - ВА)-1 — К

+ \ (А, А0) )

■V

Аг(у, А) — | 2 И

Тогда существует решение х € АСж([а,Ь], Мп) краевой задачи (0.0.16), (0.0.17), удовлетворяющее неравенству

ршп(х(а0) ) — т+к ^ ршк(А, А0)

В § 2.2.2 исследована проблема непрерывной зависимости от параметров решений краевой задачи (0.0.16), (0.0.17).

Пусть при любом натуральном I заданы: вектор А1 € Мк, непрерывная функция д1 : Мп х Мп ^ Мк, измеримая функция Ь : [а,Ь] ^ Мп, измеримая существенно ограниченная функция у1 : [а, Ь] ^ Мт, измеримая по Бо-релю ограниченная функция р1 : (-ж, а)[](Ь, ж) ^ Мп, и определена удовлетворяющая условиям Каратеодори функция ]1 : [а,Ь] х Мп х Мп ^ Мт. Относительно функции ]1 предполагаем, что для любого г € Мт существует такое пГ > 0, что при почти всех Ь € [а,Ь] и любых х,ш € ВМп (0,г)

выполнено неравенство Ц (Ь,х,ш)1 — п1г.

25

Рассмотрим при г € [а, Ь] последовательность систем дифференциальных уравнений вида

/¡(г,х1(Н[{г)),...,хп(Н1п{г)),х1{г),...,хп{г)) = у\{г), % = 1т, 4 _ у (0.0.22)

хл{в) = рл{в), если в € [а,Ь], ] = 1,п, с краевыми условиями

д1г(х1{а),...,хп{а),х1{Ь),...,хп{Ь)) = А1г, % = 1^к, (0.0.23)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Трещёв Валентин Сергеевич, 2017 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Аваков Е.Р., Арутюнов А.В., Жуковский Е.С. Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 5. С. 613-634.

2. Алвеш М.Ж., Плужникова Е.А., Трещёв В.С. Условия накрывания опертора Немыцкого а пространстве существенно ограниченных функций // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2015. Т. 20. № 5. С. 992-995.

3. Арутюнов А.В. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки // Доклады Академии наук. 2007. Т. 416. № 2. С. 151-155.

4. Арутюнов А.В. Устойчивость точек совпадения и многозначные накрывающие отображения в метрических пространствах // Доклады Академии наук. 2009. Т. 427. № 5. С. 583-585.

5. Арутюнов А.В. Устойчивость точек совпадения и свойства накрывающих отображений // Математические заметки. 2009. Т. 86. № 2. С. 163-169.

6. Арутюнов А.В. Точки совпадения двух отображений. // Функциональный анализ и его приложения. 2014. Т. 48. № 1. С. 89-93.

7. Арутюнов А.В., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е. О корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 11. С. 1523-1537.

8. Арутюнов А.В., Жуковский С.Е. Локальная разрешимость управляемых систем со смешанными ограничениями // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46. № 11. С. 1561-1570.

9. Арутюнов А.В., Жуковский С.Е. Существование обратных отображений и их свойства // Труды МИАН. 2010. Т. 271. С. 9-19.

10. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений. Изд. 2-е испр. и доп. М.: Книжный дом "Либроком", 2011. 224 с.

11. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М., 1977. 624 с.

12. Вулих Б.З. Краткий курс теореии функций вещественной переменной. М., 1973. 352 с.

13. Дмитрук А. В., Милютин А. А., Осмоловский Н. П. Теорема Люстерника и теория экстремума // УМН. 1980. Т. 35. № 6(216). С. 11-46.

14. Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А., Михлин С.Г., Раковщик Л.С., Стеценко В.Я. Интегральные уравнения. СМБ. М.: Наука,1968. 448 с.

15. Жуковский Е.С. О возмущениях накрывающих отображений в пространствах с век-торнозначной метрикой // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2016. Т. 21. № 2. С. 373-377.

16. Жуковский Е.С. О возмущениях векторно накрывающих отображений и системах уравнений в метрических пространствах // Сибирский математический журнал. 2016. Т. 57. № 2 (236). С. 297-311.

17. Жуковский Е.С., Жуковская Т.В. О разрешимости дифференциального уравнения с запаздыванием, не разрешенного относительно производной // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2011. Т. 16. Вып. 1. С. 67-69.

18. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. Накрывающие отображения в проблеме корректности краевых задач для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2011. Т. 16. № 4. С. 1082-1085.

19. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. Накрывающие отображения в произведении метрических пространств и краевые задачи для дифференциальных уравнений, не

разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2013. Т. 49. № 4. С. 439-455.

20. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. Об управлении объектами, движение которых описывается неявными нелинейными дифференциальными уравнениями // Автоматика и телемеханика. 2015. № 1. С. 31-56.

21. Жуковский Е.С., Трещёв В.С. Накрывающие отображения в теории неявных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Монография. Тамбов: Издательский дом ТГУ им. Г.Р. Державина, 2016. 88 с.

22. Жуковский С.Е. Сравнение различных определений накрывающих отображений // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2014. Т. 19. № 2. С. 376-379.

23. Левитин Е.С., Милютин А. А., Осмоловский Н.П.. Условия высших порядков локального минимума в задачах с ограничениями // УМН. 1978. Т. 33. № 6(204). С. 85-148.

24. Пасечников И.И., Трещев В.С. Существование периодических решений дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2014. Т. 19. № 2. С. 408-411.

25. Перов А.И. Многомерная версия принципа обобщенного сжатия М.А. Красносельского // Функц. анализ и его прил. 2010. Т. 44. № 1. С. 83-87.

26. Перов А.И. Обобщённый принцип сжимающих отображений // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. 2005. № 1. С. 196-207.

27. Плужникова Е.А. О локальной разрешимости задачи Коши функционально-дифференциального уравнения нейтрального типа // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. 2012. Т. 17. Вып. 1. С. 59-62.

28. Плужникова Е.А. О накрывании оператора Немыцкого в пространстве суммируемых функций // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2010. Т. 15. Вып. 6. С. 1686-1687.

29. Плужникова Е.А. О непрерывной зависимости от параметров решений операторных уравнений в метрических пространствах // Тезисы 42-й Всероссийской молодежной школы-конференции «Современные проблемы математики». Екатеринбург, 2011. С. 96-98.

30. Плужникова Е.А. Один метод исследования краевых задач для не разрешенных относительно производной дифференциальных уравнений // Тезисы докладов Международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной 110-й годовщине И.Г. Петровского. М., 2011. С. 305-306.

31. Трещёв В.С. Разрешимость краевых задач для дифференциальных уравнений с запаздыванием // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2013. Т. 18. № 5-2. С. 2708-2710.

32. Трещёв В.С. Разрешимость краевых задач для дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2014. Т. 19. № 2. С. 440-443.

33. Трещёв В.С. Непрерывная зависимость от параметров решений краевых задач дифференциальных урвнений с отклоняющимся аргументом // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2015. Т. 20. № 1. С. 62-66.

34. Трещёв В.С. Корректная разрешимость систем операторных уравненей с векторными накрывающими отображениями // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2015. Т. 20. № 5. С. 1487-1489.

35. Трещёв В.С. О задаче Коши для систем неявных дифференциальных уравнений // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2016. Т. 21. № 2. С. 430-434.

36. Трещёв В.С. Непрерывная зависимость от параметров решения краевой задачи для системы неявных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2017. Т. 22. № 3. С. 579-584.

37. Трещёв В.С. Об условиях накрывания оператора Немыцкого в пространстве измеримых существенно ограниченных функций // Математическое и компьютерное моделирование, информационные технологии управления: сб.тр. Школы для студентов, аспирантов и молодых ученых «МКМИТУ-2016». Воронеж: Изд-во «Научная книга», 2016. С. 229 - 232.

38. Трещёв В.С. О нелинейной краевой задаче для систем неявных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий: сб. тр. IX междунар. конф. «ПМТУКТ-2016». Воронеж: Издво «Научная книга», 2016. С. 356 - 360.

39. Функциональный анализ. Под общей редакцией С.Г. Крейна. СМБ. М., 1972. 544 с.

40. Arutyunov A.V., Zhukovskii E.S, Zhukovskii S.E. Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra equations // Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications. 2012. V. 75. P. 1026-1044.

41. Arutyunov A., Avakov E., Gel'man B., Dmitruk A., Obukhovskii V. Locally covering maps in metric spaces and coincidence points / / J. Fixed Points Theory and Applications. 2009. V. 5. № 1. С. 105-127.

42. Arutyunov A.V., Zhukovskiy S.E. Existence of local solutions in constrained dynamic systems // Applicable Analysis. V. 90. Iss. 9. P. 889-898.

43. L.M. Graves. Some mapping theorems // Duke Math. J.. 1950. V. 17. P. 111-114.

44. Zhukovskiy S.E. On Covering Properties in Variational Analysis and Optimization // Set-Valued and Variational Analysis, 2015, DOI: 10.1007/s11228-014-0314-3

45. Mordukhovich B.S. Variational Analysis and Generalized Differentiation. Springer, 2005 V. 1.

46. Mordukhovich B.S., Wang B. Restrictive metric regularity and generalized differential calculus in Banach spaces // Maths. Math. Science, 2004. 50. P. 2650-2683.