Исследование решений уравнений и их свойств в метрических. нормированных и частично упорядоченных пространствах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор наук Жуковский Сергей Евгеньевич

• Жуковский Сергей Евгеньевич
• доктор наук
• 2018

Оглавление диссертации доктор наук Жуковский Сергей Евгеньевич

из R3 в R3

3.5 Квадратичные отображения, действующие

из R3

4 Приложения

4.1 Теорема о неявной функции

4.2 Неявные дифференциальные включения

4.2.1 Постановка задачи

4.2.2 Вспомогательные утверждения

4.2.3 Теорема о существовании решения для неявных дифференциальных включений

4.3 Существование равновесных цен в одной математической модели экономического равновесия

4.3.1 функции спроса и предложения

4.3.2 Существование равновесных цен

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование решений уравнений и их свойств в метрических. нормированных и частично упорядоченных пространствах»

Введение

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию различных типов уравнений и включений в метрических, нормированных и частично упорядоченных пространствах. Рассматриваются различные предположения регулярности, при которых доказывается существование решений и исследуются свойства решений этих уравнений и включений.

Тема диссертации актуальна, поскольку проблема разрешимости абстрактных уравнений и исследование свойств множеств их решений составляют одну из важных задач анализа. Утверждения о разрешимости уравнений и свойствах их решений имеют основополагающее значение в теории дифференциальных и интегральных уравнений, теории управления и используются во многих других разделах математики. Эти результаты важны в приложениях, так как многие современные математические модели различных процессов и явлений, учитывающие многочисленные факторы и параметры, сводятся к уравнениям, которые нельзя или сложно решить аналитически.

Многие задачи анализа, теории дифференциальных, интегральных, разностных и других типов уравнений имеют вид

Р (х) = у. (1)

Здесь X и У - метрические пространства, Р : X ^ У - заданное отображение, х Е X - неизвестное, а у Е У играет роль параметра. Для заданного х0 Е X требуется установить существование решения х уравнения (1) при у, достаточно близких к точке у0 = Р(хо).

Если X и У являются банковыми пространствами, а отображение Р достаточно гладко, то исследование уравнения (1) осуществляется с помощью

теоремы об обратной функции (см., например, [38], [60] и т.д.). Эта теорема гарантирует, что если оператор А := Г'(жо) является сюръективным, т.е. AX = У, то для всех у, близких к уо, уравнение (1) имеет решение ж = Д(у), которое непрерывно в некоторой окрестности точки у0, и при некотором с > 0 справедлива оценка

||жо - Я(у)\\ < с\\у - Уо||. Уравнение (1) в окрестности точки жо сводится к уравнению

А(ж - жо) = у - уо - А(ж - жо), (2)

где А(ж) = о(||ж||). В левой части уравнения (2) стоит сюръективный непрерывный линейный оператор, для которого в силу теоремы Банаха об открытом отображении существует а > 0 такое, что

Бу (Ах, аг) с АВх(ж, г) V ж е X, Vг > 0. (3)

Здесь Бх(ж, г) - замкнутый шар в X с центром в точке ж е X радиуса г > 0. ж с константой в < а в некоторой окрестности точки жо. Эти свойства левой и правой частей уравнения (2) позволяют построить сходящуюся итерационную последовательность {жп} с X такую, что А(жп+1 - жо) = у - уо - А(жп - жо)

для каждого п > 0 и ее предел является решением уравнения (2), а значит,

у

уравнение (1) к задаче о точке совпадения двух отображений.

Напомним, точкой со впадения отображений : X ^ У называется точка ж е X такая, что ^(ж) = ^(ж). Это понятие является далеким развитием понятия неподвижной точки и совпадает с ним, когда X = У и ^(ж) = ж. При этом во многих приложениях возникает необходимость искать решение уравнения (1) не просто в окрестности точки жо, а в некотором замкнутом подмножестве С с X, жо е С. В качестве С часто берут выпуклый замкнутый конус или, более общо, выпуклое замкнутое множество (см., например, [6, 11, 43, 74]). Такие задачи встречаются в теории управления,

математической экономике, теории оптимизации и т.д. Поэтому исследование вопроса существования точки совпадения, обусловленного, в частности, уравнением (2), естественно проводить в случае, когда X и У являются метрическими пространствами даже если исходное отображение было определено в нормированных пространствах. Кроме того, в уравнении (1) отображение Р также может зависеть от некоторого параметра. Поэтому важным и актуальным является нахождение не просто точки совпадения при каждом значении параметра, а точки совпадения, как функции, непрерывно зависящей от этого параметра.

Второй вывод из приведенных рассуждений заключается в том, что для существования указанной последовательности {хп}, сходящейся к решению уравнения (2), достаточно, чтобы правая часть уравнения удовлетворяла условию Липшица с достаточно малой константой Липшица, а левая часть уравнения обладала свойством (3). Это свойство принято называть накрыванием. Сформулируем строгое определение этого понятия, следуя [37, 64].

Пусть X и У - метрические пространства с метриками рх и ру соответственно, заданы отображение ф : X ^ У, множества и С X, V с У, число а > 0. Отображение 'называется а -накрывающим относительно множеств и и V, если

Вх(х,г) С и ^ Ву (ф(х),аг) П V С ф(Бх(х,г)).

Отображение 'называется а -накрывающим, если 'является а-накрывающим относительно X и У, т.е.

Ву(ф(х),аг) С ф(Вх(х,г)) Vх Е X, Vг > 0.

В [10] было доказано, что если пространство X полно, отображение ф : X ^ У является а-накрывающим и непрерывным, а отображение : X ^ У является липшицевым с константой в < а, то для любой точки х Е X существует точка совпадения, £ Е X отображений ф и <р, для которой справедлива оценка

рх(х,£) < (а - в)-1ру(ф(х),^(х)).

Исследование из [10] было продолжено во многих работах: [2, 61, 64, 80, 82] и др.

Утверждение о существовании обратной функции и оценка ее значений напрямую выводятся из приведенной теоремы, точнее, из ее локального варианта (см. теорему 1 в [64]). При этом указанные и близкие утверждения (см., например, теорему 2 в [10], теоремы 1 и 2 в [64], теорему 1.3 в [37], теорему 4.25 в [88], теорему 2 в [36], теорема 1 в [72] и др.) являются не просто обобщением теоремы об обратной функции на уравнения в метрических пространствах, но представляют собой инструмент исследования многих задач анализа, теории экстремальных задач, теории управления, и теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Так при исследовании экстремальных задач накрывающие отображения, теоремы о точках совпадения, теоремы о возмущении накрывающих отображений применялись в работах [37, 88, 95] и др. Для получения условий разрешимости управляемых систем и дифференциальных включений накрывающие отображения применялись в работах [73, 57, 70] и др. В [2, 16] накрывающие отображения использовались для получения условий разрешимости неявных дифференциальных уравнений, Вольтерровых интегральных и абстрактных уравнений. Утверждения о точках совпадения применялись в [28, 33] и некоторых других работах для доказательства существования равновесных цен в нелинейных математических моделях рынка.

Исследование многих задач анализа, в том числе некоторых дифференциальных и интегральных уравнений, естественным образом приводят к изучению уравнений в частично упорядоченных пространствах (см., например, [53, 87] и т.д.). В частично упорядоченных пространствах традиционно используются классические теоремы о неподвижных точках монотонных отображений такие, как теоремы Кнастера-Тарского, Тарского-Канторовича (см., например, [83]) и др. Этим обусловлена актуальность исследования точек совпадения отображений, действующих в частично упорядоченных пространствах.

Возвращаясь к обсуждению уравнения (1), отметим, что если нарушается только предположение регулярности, т.е. линейный оператор Р'(х0) не сюръективен, то при у, близких к заданному Р(хо), уравнение (1) может не иметь решений. Для того, чтобы вывести условия разрешимости уравнения (1) в случае вырождения первой производной для дважды непрерывно дифференцируемого в окрестности точке хо отображения Р, представляется естественным задействовать наряду с первой производной отображения Р

ной функции условия разрешимости уравнений в терминах первой и второй производной были получены в работах [1, 4, 11, 14, 31, 44, 46, 85] и др. При исследовании экстремальных задач с ограничениями, в которых ограничения типа (1) не удовлетворяют условию регулярности, необходимые условия оптимальности в терминах первой и второй производной были получены в [3, 11, 13, 29, 30, 45, 86] и др. Подробный обзор результатов об условиях разрешимости уравнений в окрестности анормальной точки и необходимых и достаточных условиях оптимальности задач на условный экстремум в терминах первой и второй производной приведен в [11].

Поскольку вторая производная отображения в точке является квадратичным отображением, то возникает естественная необходимость исследовать свойства квадратичных отображений и найти условия разрешимости систем квадратичных и линейно-квадратичных уравнений. Напомним определение квадратичного отображения.

Пусть заданы натуральные п и к. Отображение Q = Q[•, •] : ^

называется билинейным, если отображения Q[x, •] и Q[•,x} : ^ линейны для любого х Е Билинейное отображение Q[•, •] называется симметричным., если Q[a,b] = Q[b, а]. Пусть Q - симметричное билинейное отображение. Отображение, которое каждому вектору х Е ставит в соответствие вектор Q[x,x}, называется квадратичным отображением. Значения билинейного отображения обозначим через Q[a,b], а квадратичного -через Q(x).

Ряд результатов о свойствах квадратичных отображений получен в работах [7, 8, 9, 11, 13, 20, 21, 31, 56, 79] и др. К исследованию свойств квадратичных отображений приводят также некоторые прикладные задачи теоретической механики (см., например, [49, 50, 51]). В настоящее время квадратичные отображения остаются мало изученным математическим объектом.

Сказанное демонстрирует актуальность и важность исследования задач о точках совпадения, накрывающих отображений и порожденных ими уравнений, а также уравнений, в которых условия регулярности в заданной точке нарушаются, и, в частности, квадратичных отображений. Диссертация посвящена исследованию этих задач и разработке соответствующего математического аппарата. Полученные в диссертации результаты могут иметь приложения в различных разделах математики, включая теорию дифференциальных уравнений и включений, теорию управления, теорию экстремальных задач, теоретическую механику и математическую экономику.

Цель работы. Целью работы является качественное исследование различных уравнений и включений в метрических, нормированных и частично упорядоченных пространствах, как удовлетворяющих различным условиям невырожденности в окрестности заданной точки, так и уравнений, в которых такие условия нарушаются, а также разработка соответствующего математического аппарата.

В терминах накрывания отображений относительно множеств получить утверждения о точках совпадения как однозначных, так и многозначных отображений метрических пространств, а также соответствующие локальные теоремы с равномерными в окрестности заданной точки оценками расстояния от точки до множества точек совпадения. Получить условия единственности и неединственности точек совпадения двух отображений в нормированных пространствах. Получить условия существования решений абстрактных включений в терминах накрывающих относительно множеств и псевдолипшицевых отображений метрических пространств. Получить условия непрерывной зависимости от параметра точки совпадения отображений

и решений включений в метрических пространствах. Как для однозначных, так и для многозначных отображений, действующих в частично упорядоченных пространствах, получить условия существования точек совпадения двух отображений. Исследовать свойства множества точек совпадения. Исследовать устойчивую сюръективность вещественных квадратичных отображений. Получить условия, при которых сюръективные квадратичные отображения имеют нетривиальные нули.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. Ниже отмечаются как эти результаты, так и положения, выносимые на защиту.

1. В терминах накрывания отображений относительно множеств получены утверждения о точках совпадения отображений метрических пространств, и, в частности, локальные теоремы существования точки совпадения двух отображений. Существенное отличие полученных результатов от известных состоит в том, что доказанные оценки расстояния от точки до множества точек совпадения равномерны в окрестности заданной точки. Получены необходимые и достаточные условия единственности и неединственности точек совпадения двух отображений в нормированных пространствах. Все указанные результаты получены как для обычных, так и для многозначных отображений.

2. Получены достаточные условия существования решений абстрактных включений вида у е Т(ж, ж), где многозначное отображение Т является накрывающим относительно множеств по первому аргументу и псевдолип-шицевым по второму. Получены оценки расстояния от заданной точки до множества решений включений. Получены необходимые и достаточные условия единственности и неединственности решения абстрактных включений.

3. Получены достаточные условия непрерывной зависимости от параметра точки совпадения двух отображений, действующих из одного метрического пространства в другое. Аналогичные результаты получены для абстрактных включений. Все указанные результаты получены как для обычных, так и для

многозначных отображений.

4. Введено понятие накрываемости для отображений частично упорядоченных пространств. Получены достаточные условия существования точек совпадения двух отображений, действующих из одного частично упорядоченного пространства в другое. Получены оценки точек совпадения. Выведены условия существования минимальной точки во множестве точек совпадения.

5. Введено понятие накрывания для многозначных отображений, действующих в частично упорядоченных пространствах. Теоремы о существовании точек совпадения и соответствующие оценки также доказаны для многозначных отображений, действующих в частично упорядоченных пространствах.

6. Исследованы свойства сюръективных вещественных квадратичных отображений. Приведен пример сюръективного квадратичного отображения, для которого существует последовательность сходящихся к нему несюръектив-ных квадратичных отображений. Получены достаточные условия, при которых сюръективное квадратичное отображение устойчиво сюръективно, т.е. любое близкое к нему квадратичное отображение сюръективно. Доказано, что любое квадратичное отображение, действующее из К3 в К3, устойчиво сюръективно. Получены утверждения о существовании обратной функции для дважды дифференцируемого отображения, первая производная которого в рассматриваемой точке равна нулю. Доказано, что любое сюръективное квадратичное отображение, действующее из в К3, при п > 5 имеет нетривиальный нуль.

7. В качестве приложения доказанных теорем о существовании решения абстрактных включений получены условия разрешимости задачи Коши для дифференциального включения, не разрешенного относительно производной неизвестной функции. В качестве приложения теорем о точках совпадения получены достаточные условия существования вектора равновесных цен для одной математической модели экономического равновесия.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации имеют теоретический характер. Результаты диссертации могут использовать-

ся при исследовании нелинейных абстрактных уравнений и включений, обыкновенных дифференциальных уравнений и включений, управляемых систем, задач оптимизации с ограничениями и различных математических моделей экономического равновесия.

Методология и методы исследования. Применяются методы математического анализа, функционального анализа, выпуклого анализа, теории многозначных отображений, дифференциальной геометрии, алгебры, теории функций вещественной переменной. Кроме того, в диссертации разработаны новые методы исследования точек совпадения двух отображений, основанные на идее дискретной гомотопии; новые методы исследования уравнений и включений в частично упорядоченных пространствах, состоящие в переносе техник исследования уравнений и включений в метрических пространствах на задачи в частично упорядоченных пространствах и соответствующей модификации этих техник; новые методы исследования квадратичных отображений, задействующие понятие степени отображения.

Степень достоверности и апробация результатов. Все основные результаты были опубликованы в рецензируемых научных журналах.

Результаты заслушивались и обсуждались на заседаниях следующих научных семинаров:

• семинар по теории функций действительного переменного МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством академика Кашина B.C., академика Ко-нягина C.B., профессора Голубова Б.П., профессора Дьяченко М.И.;

•

под руководством профессора В.М. Тихомирова, профессора A.B. Фур-сикова, члена-корреспондента Зелики ни М.И., члена-корреспондента Протасова В.Ю.;

•

водством профессора Арутюнова A.B. и профессора Буренкова В.П.;

• семинар "Некоммутативная геометрия и топология" под руководством профессора Мищенко A.C. и профессора Мануйлова В.М.;

•

Соболева СО РАН (Новосибирск) под руководством профессора Водопьянова С.К.;

сора Половинкина Е.С.

ководством профессора Райгородского A.M., профессора Карасёва Р.Н., профессора Вялого М.Н.;

приложениям к задачам математической физики (Семинар Никольского) МИАН под руководством члена-корреспондента Бесова О.В.;

•

им. М.В. Ломоносова под руководством профессора Давыдова A.A. и профессора Степина A.M.;

Ломоносова.

Результаты диссертации были представлены на следующих конференциях: •

ные вопросы", посвященная памяти профессора В.Ф. Демьянова (22-27 мая 2017 г., Международный математический институт им. Леонарда Эйлера, Санкт-Петербург);

ций, ее приложения и смежные вопросы", (Казанский (Приволжский) федеральный университет, 21 - 27 августа 2017);

• International Workshop on Nonlinear Analysis and Optimization 60th anniversary of Aram Arutyunov (University of Porto, April 19-21, 2017);

•

теории краевых задач» Поитрягииские чтения — XXVIII (Воронеж, 3 -9 мая, 2017);

рии приближения функций, посвященная 110-летию со дня рождения академика С. М. Никольского (25-29 мая 2015 г., МИАН, г. Москва)

Strasbourg, France);

Porto, Portugal, July 21th to 23th, 2014. Основные публикации по теме диссертации.

1) Zhukovskiy S. Е. On continuous selections of finite-valued set-valued mappings // Eurasian Math. J. 2018. V. 9, No. 1. P. 93-99.

2) Арутюнов А. В., Жуковский С. E. Точки совпадения отображений в пространствах с векторной метрикой и их приложения к дифференциальным уравнениям и управляемым системам // Дифф. уравнения. 2017. Т. 53, № И. С. 1473-1481.

3) Жуковский С. Е. Линейно-квадратичные гомеоморфизмы // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2017. Т. 22, № 6-1. С. 1293-1297.

4) Жуковский С. Е. Минимумы функционалов и неявные дифференциальные уравнения // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2017. Т. 22, № 6-1. С. 1298-1303.

5) Арутюнов А. В., Жуковский С. Е. Covering Mappings and Their Applications // Тез. докл. междунар. конф. «Конструктивный негладкий анализ и смежные вопросы», поев, памяти проф. В.Ф. Демьянова. 2017. С. 15-17.

6) Арутюнов А. В., Жуковский С. Е., Карамзин Д. Ю. Некоторые свойства двумерных сюръективных p -однородных отображений //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2017. Т. 57, № 7. С. 1083-1092.

7) Arutyunov А. V., Vartapetov S. A., Zhukovskiy S. E. Some Properties and Applications of the Hausdorff Distance // J. of Opt. Theory Appl. 2016. V. 171, No. 2. P. 527—535.

8) Жуковский С. E. О накрываемости линейных операторов на полиэдральных множествах // Изв. вузов. Матем. 2016. № 9. С. 74-77.

9) Arutyunov А. V., Zhukovskiy Е. S., Zhukovskiy S. Е. Coincidence points principle for set-valued mappings in partially ordered spaces // Topology and its Applications. 2016. V. 201. P. 330-343.

10) Zhukovskiy S. E. Comparison of some types of locally covering mappings // Fixed Point Theory. 2016. V. 17, No. 1. P. 215-222.

11) Арутюнов А. В., Жуковский С. E. Свойства сюръективных вещественных квадратичных отображений // Матем. сб. 2016. Т. 207, № 9. С. 3-34.

12) Арутюнов А. В., Жуковский С. Е. О сюръективных квадратичных отображениях // Матем. заметки. 2016. Т. 99, № 2. С. 181—185.

13) Zhukovskiy S. On Covering Properties in Variational Analysis and Optimization // Set-Val. Var. Anal. 2015. V. 23, No. 3. P. 415-424.

14) Arutyunov A. V., Avakov E.R., Zhukovsky S.E. Stability theorems for estimating the distance to a set of coincidence points // SIAM J. Opt. 2015. V. 25, No. 2. P. 807-828.

15) Арутюнов А. В., Жуковский С. Е. Об оценках решений систем выпуклых неравенств // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2015. Т. 55, № 9. С. 1486-1492.

16) Arutyunov А. V., Zhukovskiy S.E. Continuous Dependence of Coincidence Points on a Parameter // Set-Val. Var. Anal. 2015. V. 23, No. 1, P. 23-41.

17) Arutyunov A. V., Zhukovskiy S. E. Coincidence Points in Generalized Metric Spaces // Set-Val. Var. Anal. 2015. V. 23, No. 2. P. 355-373.

18) Arutyunov A. V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Coincidence points principle for mappings in partially ordered spaces // Topol. Appl. 2015. V. 179. P. 13-33.

19) Arutyunov A. V., de Oliveira V. A., Pereira F. L., Zhukovskiy E. S., Zhukovskiy S. E. On the solvability of implicit differential inclusions // Appl. Anal. 2015. V. 94. No. 1. P. 129-143.

20) Арутюнов А. В. Жуковский С. E. О непрерывности обратных отображений для липшицевых возмущений накрывающих отображений // Фундамент. и прикл. матем. 2014. Т. 19, № 4. С. 93-99.

21) Арутюнов А. В., Жуковский С. Е. Возмущение решений задачи о точках совпадения двух отображений // ДАН. 2014. Т. 456. № 5. С. 514-517.

22) Жуковский С. Е. Сравнение различных определений накрывающих отображений // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2014. Т. 19. № 2. С. 376-379.

23) Арутюнов А. В., Жуковский Е. С., Жуковский С. Е. Точки совпадения многозначных отображений в частично упорядоченных пространствах // ДАН. 2013. Т. 453, № 6, С. 595-598

24) Арутюнов А. В., Жуковский Е. С., Жуковский С. Е. О точках совпадения отображений в частично упорядоченных пространствах // ДАН. 2013. Т. 453, № 5. С. 475-478.

25) Гельман Б. Д., Жуковский С. Е. Накрывающие отображения пространств компактных подмножеств // Мат. заметки. 2013. Т. 93, № 4. С. 530-536.

26) Арутюнов А. В., Жуковский С. Е., Павлова Н. Г. Равновесные цены, как точка совпадения двух отображений //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2013. Т. 53, № 2. С. 55-67.

27) Arutyunov А. V., Zhukovskiy E.S, Zhukovskiy S.E. Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra equations // Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications. 2011. V. 75, № 3. P. 1026-1044.

Результаты диссертации опубликованы в 27 работах в журналах, входящих в список ВАК. Из них 24 статьи опубликованы в журналах, индексируемых реферативными базами данных "Scopus" или "Web of Science". Основные результаты диссертации и положения выносимые на защиту отражают личный вклад соискателя в его статьях, а также в совместных статьях с соавторами, и получены соискателем самостоятельно. Личный вклад соискателя в работах с соавторами состоит в следующем (нумерация работ соответствует списку основных публикаций по теме диссертации): 2) - доказана разрешимость абстрактного уравнения, порожденного накрывающим и липшицевым отображениями метрических пространств; 5), 9), 18), 23), 24) - введено понятие упорядоченно накрывающего отображения, доказано существование точки совпадения упорядоченно накрывающего и монотонного отображения, доказана возможность сведения уравнений в метрических пространствах к уравнениям в частично упорядоченных пространствах; эти результаты получены также для многозначных отображений; 6) - доказано существование нетривиальных нулей для специального класса положительно однородных отображений; 7) - проведено сравнение различных определений липшицево-сти многозначных отображений; 11), 12) - приведен пример сюръективного но не устойчиво сюръективного квадратичного отображения, пример квадратичного отображения, которое при кубическом возмущении не имеет обратной функции в окрестности нуля, введено понятие проективной степени

квадратичного отображения и в ее терминах получены достаточные условия устойчивой сюръективности, достаточные условия существования обратной функции у возмущенного квадратичного отображения, доказана устойчивая сюръективность квадратичных отображений, действующих из К3 в К3, доказано существование нетривиального нуля у сюръективных квадратичных отображений, действующих из в К3 при п > 5; 14), 21) - доказана локальная теорема о точках совпадения с равномерной оценкой расстояния до множества точек совпадения, получена оценка расстояния между двумя множествами точек совпадения; 15) - доказана накрываемость многозначного отображения, порожденного выпуклыми неравенствами; 16), 20) - доказана непрерывная зависимость от параметра точек совпадения двух отображений и решения включения в банаховых пространствах, 17) - доказано существование точек совпадения многозначных отображений в обобщенных метрических пространствах, 19) - доказана разрешимость включения в метрических пространствах и разрешимость неявного дифференциального включения; 25) - доказана инвариантность компактных подмножеств множеств точек совпадения; 26) - доказано существовании равновесных цен в одной нелинейной модели математической экономики; 27) - доказана разрешимость уравнений в метрических пространствах и разрешимость неявных интегральных уравнений Вольтерра.

Основное содержание работы. Перейдем к содержанию диссертации.

В главе 1 рассмотрены задачи о существовании точек совпадения отображений и многозначных отображений метрических пространств и задача о разрешимости включений в метрических пространствах.

В §1.1 даны различные определения понятия накрывающего отображения, определение псевдолипшицевого отображения, исследованы элементарные свойства и приведены примеры таких отображений. Приведем некоторые определения из §1.1, необходимые для дальнейшего изложения.

Пусть (Х,рх), (У,ру) - метрические пространства, задано число а > 0, многозначные отображения Ф : X ^ У (под многозначным отображени-

ем одного метрического пространства в другое будем понимать отображение, которое каждой точке х £ X ставит в соответствие непустое замкнутое подмножество пространства У), множества и С X и V с У". Через Вх(х,г) будем обозначать замкнутый шар в X с центром в точке х £ X радиуса г £ [0, а через Ох(х,г) - открытый шар. Положим

Ву(V,г) := У Ву(^,г), г > 0.

Многозначное отображение Ф называется а -накрывающим относительно множеств и и V, если

Вх(х,г) С и ^ Ву(Ф(х),аг) П V С Ф(Вх(х,г)).

Многозначное отображение Ф называет ся а -накрывающим, если оно является а-накрывающим относительно X и У. Зададим в X х У метрику по формуле

р((х, у), (и, V)) := тах{рх(х,и), ру(у, V)} V (х,у), (и, V) £ X х У.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Жуковский Сергей Евгеньевич, 2018 год

Литература

[1] Аваков Е.Р. Теоремы об оценках в окрестности особой точки отображения // Матем. заметки. 1990. Т. 47, № 5. С. 3-13.

[2] Аваков Е.Р., Арутюнов A.B., Жуковский Е.С. Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной // Дифф. уравнения. 2009. Т. 5. С. 613-634.

[3] Аваков Е.Р., Арутюнов A.B., Измаилов А.Ф. Необходимые условия экстремума в задаче математического программирования // Тр. Матем. инта им. В.А.Стеклова. 2007. Т.256. С. 6-30.

[4] Аваков Е.Р., Арутюнов A.B., Карамзин Д.Ю. Исследование гладких отображений в окрестности анормальной точки // Изв. РАН. Сер. матем. 2014. Т. 78, № 2. С. 3-42.

[5] Аваков Е.Р., Магарил-Ильяев Г.Г. Теорема о неявной функции для включений // Мат. заметки. 2012. Т. 91, № 5-6, С. 764-769.

[6] Аваков Е.Р., Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. О принципе Лагран-жа в задачах на экстремум при наличии ограничений // УМН. 2013. Т. 68, №3(411). С. 5-38.

[7] Аграчев А. А. Квадратичные отображения в геометрической теории управления // Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом. 1988. М.: ВИНИТИ Т. 20. С. 111-205.

[8] Аграче в А. А. Топология квадратичных отображений и гессианы гладких отображений // Итоги науки и техн. Сер. Алгебра. Топология. Геометрия. 1988. М.: ВИНИТИ. Т. 26. С. 85-124.

[9] Аграчев А. А., Гамкрелидзе Р. В. Квадратичные отображения и гладкие вектор-функции: эйлеровы характеристики множеств уровня // Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Нов. достиж. 1989. М.: ВИНИТИ. Т. 35. С. 179-239.

[10] Арутюнов А. В. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки // ДАН. 2007. Т. 416, № 2. С. 151-155.

[11] Арутюнов А. В. Гладкие анормальные задачи теории экстремума и анализа // УМН. 2012. Т. 67. № 3. С. 3-62.

[12] Арутюнов А. В. Задача о точках совпадения многозначных отображений и устойчивость по Уламу-Хайерсу // ДАН. 2014. Т. 455, № 4. С. 379-383.

[13] Арутюнов А. В. Неотрицательность квадратичных форм на пересечении квадрик и квадратичные отображения // Мат. заметки. 2008. Т. 84, № 2. С. 163-174.

[14] Арутюнов А. В. Теорема о неявной функции без априорных предположений нормальности // ЖВМ и МФ. 2006. Т. 46, № 2. С. 205-215.

[15] Арутюнов A.B., Гельман В. Д. О структуре множества точек совпадения // Мат. сборник. 2015. Т. 206, № 3. С. 35-56.

[16] Арутюнов A.B., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е. О корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифф. уравнения. 2011. Т. 47. № 11. С. 1523-1537.

[17] Арутюнов А. В., Жуковский Е. С., Жуковский С. Е. О точках совпадения отображений в частично упорядоченных пространствах // ДАН. 2013. Т. 453, № 5. С. 475-478.

[18] Арутюнов А. В., Жуковский Е. С., Жуковский С. Е. Точки совпадения многозначных отображений в частично упорядоченных пространствах // ДАН. 2013. Т. 453, № 6, С. 595-598

[19] Арутюнов A.B., Жуковский С.Е. Существование обратных отображений и их свойства // Тр. Мат. IIнет. им. В.А. Стеклова, 271 (2010), 12-22.

[20] Арутюнов А. В., Жуковский С. Е. О сюръективных квадратичных отображениях // Матем. заметки. 2016. Т. 99, № 2. С. 181-185.

[21] Арутюнов А. В., Жуковский С. Е. Свойства сюръективных вещественных квадратичных отображений // Матем. сб. 2016. Т. 207, № 9. С. 3-34.

[22] Арутюнов А. В., Жуковский С. Е. Точки совпадения отображений в пространствах с векторной метрикой и их приложения к дифференциальным уравнениям и управляемым системам // Дифф. уравнения. 2017. Т. 53, № 11. С. 1473-1481.

[23] Арутюнов A.B., Жуковский С.Е. Covering Mappings and Their Applications // Тез. докл. междунар. конф. «Конструктивный негладкий анализ и смежные вопросы», поев, памяти проф. В.Ф. Демьянова. 2017. С. 15-17.

[24] Арутюнов А. В., Жуковский С. Е. Возмущение решений задачи о точках совпадения двух отображений // ДАН. 2014. Т. 456. № 5. С. 514-517.

[25] Арутюнов А. В., Жуковский С. Е. Об оценках решений систем выпуклых неравенств // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2015. Т. 55, № 9. С. 1486-1492.

[26] Арутюнов А. В. Жуковский С. Е. О непрерывности обратных отображений для липшицевых возмущений накрывающих отображений // Фундамент. и прикл. матем. 2014. Т. 19, № 4. С. 93-99.

[27] Арутюнов А. В., Жуковский С. Е., Карамзин Д. Ю. Некоторые свойства двумерных сюръективных р-однородых отображений //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2017. Т. 57, № 7. С. 1083-1092.

[28] Арутюнов А. В., Жуковский С. Е. Павлова П. Г. Равновесные цены, как точка совпадения двух отображений //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2013. Т. 53, № 2. С. 55-67.

[29] Арутюнов А. В., Измаилов А. Ф. Анализ чувствительности для анормальных задач оптимизации с конусным ограничением //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т. 44, № 4. С. 586-608.

[30] Арутюнов А. В., Карамзин Д.Ю. Необходимые условия минимума в анормальных задачах с геометрическими ограничениями //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 47:3 (2007), 364-375;

[31] Арутюнов А. В., Карамзин Д.Ю. Регулярные нули квадратичных отображений и их приложение // Матем. сборник. 2011. Т. 202, № 6. С. 3-28.

[32] Арутюнов A.B., Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Принцип максимума Понтрягина. Доказательство и приложения, М.: ФАКТОРИАЛ. 2006.

[33] Арутюнов А. В., Павлова Н.Г., Шананин A.A. Равновесные цены в одной модели экономического равновесия // Матем. моделирование. 2016. Т. 28, № 3. С. 3-22.

[34] Влисс Г. А. Лекции по вариационному исчислению М.: ИЛ. 1950.

[35] Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений. М.: КомКнига. 2005.

[36] Гельман Б. Д., Жуковский С. Е. Накрывающие отображения пространств компактных подмножеств // Матем. заметки. 2013. Т. 93, № 4. С. 530-536.

[37] Дмитрук A.B., Милютин А.А, Осмоловский Н.П. Теорема Люстерника и теория экстремума // УМН. 1980. Т. 35, № 6. С. 11-46.

[38] Дъедонне Ж. Основы современного анализа. М.: Мир. 1964.

[39] Жуковский С. Е. Линейно-квадратичные гомеоморфизмы // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2017. Т. 22, № 6-1. С. 1293-1297.

[40] Жуковский С. Е. Минимумы функционалов и неявные дифференциальные уравнения // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2017. Т. 22, № 6-1. С. 1298-1303.

[41] Жуковский С. Е. О накрываемости линейных операторов на полиэдральных множествах // Изв. вузов. Матем. 2016. № 9 С. 74-77.

[42] Жуковский С. Е. Сравнение различных определений накрывающих отображений // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2014. Т. 19. № 2. С. 376-379.

[43] Жуковский С. Е. Мингалссва 3. Т. Существование и непрерывность неявной функции в окрестности анормальной точки // Вестник МГУ. Серия 15. 2012. № 2. С. 10-15.

[44] Измаилов А.Ф. Устойчивые особые решения нелинейных операторных уравнений с параметром // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т. 39, № 5. С. 707-717.

[45] Измаилов А.Ф. К условиям оптимальности в экстремальных задачах с нерегулярными ограничениями-неравенствами // Мат. заметки. 1999. Т. 66, вып. 1. С. 89-102.

[46] Измаилов А.Ф. Теоремы о представлении семейств нелинейных отображений и теоремы о неявной функции // Мат. заметки. 2000. Т. 67, вып. 1. С. 57-68.

[47] Изм,аилов А. Ф., Третьяков A.A. К проблеме обратимости квадратичных отображений // Вестник РУДН. Серия Мат. Инф. Физ. 1998. № 4-5, С. 84-89.

[48] Карамзин Д. Ю. Теорема Дайнса и другие свойства квадратичных отображений // ЖВМ и МФ. 2015. Т. 55, №. 10. С. 1661-1669.

[49] Ковалев М.Д. Геометрическая теория шарнирных устройств // Изв. РАН. Сер. матем. 1994. Т. 58, N 1. С. 45-70.

[50] Ковалев М.Д. Квадратичные и рычажные отображения // Тр. МИАН. 2002. Т. 239. С. 195-214.

[51] Ковалев M. Д. Некоторые свойства рычажных отображений // Фундамент. и прикл. матем. 2006. Т. 12, N 1. С. 129-142.

[52] Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.

[53] Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Гос. изд. физ.-мат. лит. 1962.

[54] Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука. 1975.

[55] Люстерник Л. А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа, М.: ВШ. 1982.

[56] Матвеев А. С. О выпуклости образов квадратичных отображений // Алгебра и анализ. 1998. Т. 10, №. 2. С. 159-196.

[57] Плужникова Е.А., Корректная разрешимость задач управления для систем дифференциальных уравнений неявного вида // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки. 2013. № 3. С. 49-64.

[58] Половинкин Е.С., Балашов М.В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. М.:Физматлит. 2004.

[59] Прасолов В. В. Многочлены. М.:МЦНМО. 2001.

[60] Тихом,иров В.М. Теорема Люстерника о касательном пространстве и некоторые ее модификации // Оптимальное управление: Математические вопросы управления производством. М.: Изд-во МГУ. 1977. Вып. 7. С. 22-30.

[61] Фоменко Т.Н. К задаче каскадного поиска множества совпадений набора многозначных отображений // Матем. заметки. 2009. Т. 86, № 2. С. 304 309.

[62] Хирш М. Дифференциальная топология. М.: Наука. 1979.

[63] Agrachev A. A., Sarychev А. V. Abnormal sub-Riemannian geodesies: Morse index and rigidity // Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire. 1996. V. 13. №. 6. P. 635-690.

[64] Arutyunov A., Avakov E., Gel'man B., Dmitruk A., Obukhovskii V. Locally covering maps in metric spaces and coincidence points // J. fixed Points Theory and Appl. 2009. V. 5, № 1. P. 105-127.

[65] Arutyunov A. V., Avakov E. R., Zhukovsky S. E. Stability theorems for estimating the distance to a set of coincidence points // SIAM J. Opt. 2015. V. 25, No. 2. P. 807-828.

[66] Arutyunov A. V., de Oliveira V. A., Pereira F.L., Zhukovskiy E. S., Zhukovskiy S. E. On the solvability of implicit differential inclusions // Appl. Anal. 2015. V. 94. No. 1. P. 129-143.

[67] Arutyunov A. V., Vartapetov S.A., Zhukovskiy S.E. Some Properties and Applications of the Hausdorff Distance // J. of Opt. Theory Appl. 2016. V. 171, No. 2. P. 527—535.

[68] Arutyunov A. V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Coincidence points principle for set-valued mappings in partially ordered spaces // Topology and its Applications. 2016. V. 201. P. 330-343.

[69] Arutyunov A. V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Coincidence points principle for mappings in partially ordered spaces // Topol. Appl. 2015. V. 179. P. 13-33.

[70] Arutyunov A. V., Zhukovskiy S. E. Existence of local solutions in constrained dynamic systems, Applicable Analysis. 2011. V. 90, No. 6. P. 889 -898.

[71] Arutyunov A. V., Zhukovskiy S.E. Continuous Dependence of Coincidence Points on a Parameter // Set-Val. Var. Anal. 2015. V. 23, No. 1. P. 23-41.

[72] Arutyunov A. V., Zhukovskiy S. E. Coincidence Points in Generalized Metric Spaces // Set-Val. Var. Anal. 2015. V. 23, No. 2. P. 355-373.

[73] Arutyunov A. V., Zhukovskiy E.S, Zhukovskiy S.E. Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra equations // Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications. 2011. V. 75, № 3. P. 1026-1044.

[74] Bonnans J.F., Shapiro A. Perturbation analysis of optimization problems. N.Y.: Springer-Verlag. 2000.

[75] Aubin J.-P., Ekeland I. Applied Nonlinear Analysis. John Wiley h Sons. Inc. New York. 1984.

[76] Bishop E., Phelps R.R. The support functional of a convex set // Proc. Symp. Pure Math. 1963. V. 7: Convexity. Amer. Math. Soc., P. 27-35.

[77] Brondsted A. Fixed points and partial orders // Proc. Amer. Math. Soc. 1976. V. 60. P. 365-366.

[78] DeMarr R. Partially ordered spaces and metric spaces // The American Math. Monthly. 1965. V. 72, №. 6. P. 628-631.

[79] Dines L. L. On the mappings of quadratic forms // Bull, of the AMS. 1941. V. 47. P. 494-498.

[80] Dontchev A.L., Frankowska H. Lyusternik-Graves theorem and fixed points // Proc. of Amer. Math. Soc. 2011. V. 139, № 2. P. 521-534.

[81] Ehhinghaus H.-D., Hermes H., Hirzebruch F., Koecher M.. Mainzer K., Neukirch J., Prestel A., Remmert R. Numbers. N.Y.: Springer. 1995.

[82] Fomenko T.N., Podoprikhin D.A. Fixed points and coincidences of mappings of partially ordered sets //J. Fixed Point Theory Appl. 2016. V. 18, Iss. 4. P. 823-842.

[83] Granas A., Dugundji D. Fixed Point Theory. Springer-Verlag. New York. 2003.

[84] Ioffe A.D. On regularity concepts in variational analysis //J. Fixed Points Theory Appl. 2010. V. 8. P. 339-363.

[85] Izmailov A.F., Kurennoy A.S., Solodov M.V. Critical solutions of nonlinear equations: stability issues // Math. Program. 2018. V. 168, № 1-2. P. 475-507.

[86] Izmailov A.F., Solodov M.V. Optimality conditions for irregular inequality-constrained problems // SIAM J. Control Optim. 2001. V. 40, № 4. P. 12801295.

[87] Kantorovitch L. The method of successive approximations for functional equations // Acta Math. 1939. V. 71. P. 63-97.

[88] Mordukhovich B.S. Variational Analysis and Generalized Differentiation. V. 1. Springer. 2005.

[89] Mordukhovich B.S., Wang B. Restrictive metric regularity and generalized differential calculus in Banach spaces // Maths. Math. Sci. 2004. V. 50. P. 2650-2683.

[90] Nadler S. B.jr. Multi-valued contraction mappings // Pacific J. Math. 1969. V. 30. P. 475-488.

[91] Polyak B. T. Convexity of quadratic transformations and its use in control and optimization // Journal Opt. Theory Appl. 1998. V. 99. P. 553-583.

[92] Saint Raymond J. Multivalued contractions // Set-Valued Anal. 1994. V. 2, №. 4. P. 559-571.

[93] Tret'yakov A., Zoladek H. A remark about homogeneous polynomial maps // Top. Methods Nonlinear Anal. 2002. V. 19. P. 257-273.

[94] Tsarkov I.G. Theorems on smoothness of right-inverse operator // East J. on Approximations. 1995. V.l, № 4. P. 441-450.

[95] Uderzo A. Exact penalty functions and calmness for mathematical programming under nonlinear perturbations // Nonlin. Anal.: T.M.A., 2010. V.73, Iss. 6. P. 1596-1609.

[96] Smithson R.E. Fixed points of order preserving multifunctions // Proc. Amer. Soc. 1971. 27, № 1. P. 304-310.

[97] Zhukovskiy S. On Covering Properties in Variational Analysis and Optimization // Set-Val. Var. Anal. 2015. V. 23, No. 3. P. 415-424.

[98] Zhukovskiy S. E. Comparison of some types of locally covering mappings // Fixed Point Theory. 2016. V. 17, No. 1. P. 215-222.

[99] Zhukovskiy S. E. On continuous selections of finite-valued set-valued mappings // Eurasian Math. J. 2018. V. 9, No. 1. P. 93-99.