Приближенные решения краевых задач нелинейной теплопроводности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Чмыхов, Михаил Александрович

• Чмыхов, Михаил Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чмыхов, Михаил Александрович

Введение

1 Физико-математические модели, в которых встречается нелинейное уравнение теплопроводности

1.1 Распространение тепла с помощью механизма лучистой теплопроводности

1.2 Фильтрация газа в пористой среде при линейном законе сопротивления

1.3 Математическая модель распространения выбросов отрицательной плавучести.

1.4 Течение крови в мелких кровеносных сосудах.

1.5 Гравитационный режим течения грунтовых вод.

1.6 Выводы по первому разделу

2 Аналитическое решение задач нелинейной теплопроводности при мгновенном точечном источнике

2.1 Распространение плоской тепловой волны при мгновенном точечном источнике.

2.2 Аналитическое решение осесимметричной задачи нелинейной теплопроводности при мгновенном точечном источнике

2.3 Решение сферически—симметричной задачи нелинейной теплопроводности для мгновенного точечного источника

2.4 Выводы по второму разделу

3 Приближенные решения задач нелинейной теплопроводности при заданной температуре в виде степенной функции в начале координат

3.1 Автомодельные переменные, используемые для решения задач нелинейной теплопроводности при заданной температуре в начале координат.

3.2 Решение краевой задачи о распространении тепла на полубесконечной прямой при заданной температуре на границе

3.3 Приближенные решения цилиндрически—симметричной задачи нелинейной теплопроводности при заданной температуре в начале координат.

3.4 Приближенные решения задачи о теплопроводности при заданной температуре в начале координат (сферически-симметричный случай).

3.5 Выводы по третьему разделу.

4 Приближенные решения задачи нелинейной теплопроводности при заданном потоке в начале координат

4.1 Автомодельные переменные, используемые для поиска приближенного решения при заданном потоке в начале координат

4.2 Метод поиска приближенных решений задач нелинейной теплопроводности и некоторые точные решения.

4.3 Приближенные решения плоской задачи о распространении тепла при заданном потоке на границе.

4.4 Приближенные решения цилиндрически—симметричной задачи нелинейной теплопроводности при заданном потоке в начале координат.

4.5 Приближенные решения задачи о теплопроводности при заданном потоке в начале координат для сферически — симметричного случая. 89 ^

4.6 Выводы по четвертому разделу.

5 Численное моделирование двумерной задачи о движении газа в пористой среде из резервуара и сравнение с автомодельными решениями

5.1 „Инженерные" формулы для прогнозирования фильтрации газа в пористой среде.

5.2 Постановка задачи о фильтрации газа из резервуара

5.3 Разностная схема и алгоритм решения задачи о фильтрации газа из подземного резервуара.

5.4 Результаты численного моделирования двумерной задачи фильтрации газа в пористой среде и сравнение с приближенными решениями одномерной задачи.

5.5 Выводы по пятому разделу.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Приближенные решения краевых задач нелинейной теплопроводности»

Объектом исследования диссертационной работы являются задачи нелинейной теплопроводности и их применение для математического моделирования процессов, встречающихся в физике и в природе.

Актуальность работы. Нелинейные параболические уравнения второго порядка служат основой многих математических моделей, используемых в физике, механике, биологии, химии и экологии. Например, нелинейное уравнение теплопроводности при определенных условиях описывает процессы электронной и ионной теплопроводности в плазме, адиабатической фильтрации газов и жидкостей в пористых средах, течения крови в мелких кровеносных сосудах, распространения выбросов отрицательной плавучести, диффузии нейтронов и альфа-частиц в реакторных материалах, химической кинетики и биологической активности.

Использование основных законов сохранения (энергии, массы, числа частиц и т.д.) при математическом моделировании различных физических процессов нередко приводит к одним и тем же нелинейным уравнениям параболического типа. Среди уравнений указанного типа особенно часто встречается нелинейное уравнение теплопроводности [1-3]. Его универсальный характер дает основание утверждать, что изучение краевых задач для нелинейного уравнения теплопроводности остается до настоящего времени актуальной темой исследования.

Нелинейное уравнение теплопроводности является обобщением хорошо известного линейного уравнения теплопроводности, изучение которого входит в обязательную университетскую программу курса математической физики. Главное отличие нелинейного уравнения теплопроводности от линейного заключается в том, что коэффициент теплопроводности в нелинейном уравнении зависит от температуры. Поэтому для решений нелинейного уравнения не выполняется принцип суперпозиции и многие методы решения задач математической физики, в частности, метод Фурье и метод функций Грина, становятся неприменимыми [4-6].

Исследованию процессов нелинейной теплопроводности и фильтрации газа и жидкости в пористой среде посвящены работы отечественных ученых Я.Б. Зельдовича, Г.И. Баренблатта, П.Я. Кочиной, О.А. Олей-ник, А.С. Калашникова, А.С. Компанейца, С.Н. Кружкова, С.П. Курдю-мова, О.А. Ладыженской, А.П. Михайлова, В.Н. Николаевского, А.А. Самарского, И.М. Соболя, В.Е. Трощиева и многих других [7-20].

Нелинейные процессы теплопроводности впервые изучались в работе Я.Б. Зельдовича и А.С. Компанейца [21]. Авторами рассмотрен процесс распространения тепла с помощью механизма лучистой теплопроводности из мгновенного точечного источника для плоской задачи. Решение этой задачи получено в аналитическом виде.

В той же работе было установлено, что скорость распространения тепла для процессов нелинейной теплопроводности является конечной, в отличие от задач, описываемых линейным уравнением теплопроводности. Я.Б. Зельдович и А.С. Компанеец показали, что решения ряда нелинейных задач теплопроводности являются обобщенными и допускают существование разрывов производных на фронте тепловой волны [22].

В работах П.Я. Кочиной, JI.C. Лейбензона, и Г.И. Баренблатта с соавторами [23-27] показано, что некоторые процессы фильтрации газа и жидкости в пористой среде описываются уравнением, аналогичным нелинейному уравнению теплопроводности.

В работе В.Ш. Шагапова и Г.Р. Галиаскаровой [28,29] установлено, что процесс распространения и накопления выбросов отрицательной плавучести на горизонтальной поверхности с учетом сопротивления флоры и земной поверхности в ряде случаев может описываться уравнением нелинейной теплопроводности.

О.А. Олейник и А.С. Калашников [30-32] доказали теоремы существования и единственности решения задачи Коши и решений краевых задач для уравнений параболического типа, а также сформулировали теоремы сравнения, на основании которых с помощью автомодельных решений получили условия конечной скорости распространения температурных волн.

А.А. Самарский и И.М. Соболь [33-35] в 1963 году с помощью численного моделирования задач нелинейной теплопроводности показали существование „остановившейся" температурной волны, не проникающей из горячей среды в холодную. В дальнейшем явление локализации тепла исследовалось в целом ряде работ С.П. Курдюмова и его учеников [36-38].

К приближенным методам решения задач относятся вариационные и интегральные, основоположником применения которых в тепловых задачах является Л.С. Лейбензон и его школа [39-43]. Впервые вариационные методы при решении тепловых задач были использованы Л.С. Лейбен-зоном [39] при решении задачи о движении нефти. Дальнейшее развитие идей Л.С. Лейбензона с использованием полной или частичной линеаризации системы дифференциальных уравнений, определяющих задачу, описано в книге [44].

Ряд автомодельных решений задач газовой динамики и нелинейной теплопроводности представлен в учебнике П.П. Волосевича, Е.И. Лева-нова [1].

Однако, несмотря на многочисленные исследования процессов нелинейной теплопроводности [1,45-54], аналитические решения ряда задач нелинейной теплопроводности до настоящего времени не найдены и, в частности, до сих пор не получены точные решения целого ряда краевых задач, описываемых нелинейным уравнением теплопроводности. Поэтому приближенные методы решения задач математической физики представляют интерес.

В данной работе при построении приближенных решений нелинейной теплопроводности существенно использована программа аналитических вычислений МАРЬЕ.

Целью диссертационной работы является построение приближенных решений одномерных краевых задач нелинейной теплопроводности и применение этих решений для прогнозирования зон фильтрации газов из подземной полости.

Методы исследования. В диссертационной работе использовано сочетание аналитических и численных методов исследования. При формулировке математических моделей использованы законы сохранения. Построение приближенных аналитических решений проводилось в среде аналитических вычислений МАРЬЕ с использованием автомодельных переменных. При построении интегральных кривых для дифференциальных уравнений использовался метод Рунге—Кутта четвертого порядка [55]. Для численного решения двумерных задач использовался метод переменных направлений с итерациями по коэффициенту теплопроводности.

В диссертационной работе решены следующие задачи:

• предложен метод построения приближенных решений первой и второй краевых задач нелинейной теплопроводности при степенной и экспоненциальной зависимостях от времени температуры в начале координат и при нулевом начальном условии;

• получены приближенные решения одномерных задач (плоской, цилиндрически—симметричной и сферически—симметричной) нелинейной теплопроводности при температуре, заданной в начале координат в виде степенной и экспоненциальной функций и при нулевой начальной температуре среды;

• получены приближенные решения одномерных задач (плоской, цилиндрически—симметричной и сферически—симметричной) нелинейной теплопроводности при заданном потоке энергии в начале координат в виде степенной и экспоненциальной функций и при нулевой начальной температуре среды;

• получены формулы, описывающие положение и скорость фронта тепловой волны в одномерных (плоской, цилиндрически-симметричной и сферически—симметричной) задачах нелинейной теплопроводности при заданной температуре в начале координат степенная и экспоненциальная функции) и при заданном потоке (степенная и экспоненциальная функции) для нулевой начальной температуры среды;

• получены „инженерные" формулы для описания решений краевых задач нелинейной теплопроводности;

• проведено численное моделирование двумерной задачи фильтрации газа в пористой среде из цилиндрического резервуара, а также сравнение результатов численного моделирования с полученными приближенными решениями задач нелинейной теплопроводности.

Научная новизна работы.

• Предложен метод построения приближенных решений краевых задач для уравнения нелинейной теплопроводности при нулевой начальной температуре и при заданной температуре (тепловом потоке) в начале координат;

• Впервые получены приближенные решения плоской, цилиндрически—симметричной и сферически—симметричной задач нелинейной теплопроводности при нулевой начальной температуре и при заданной температуре в начале координат в виде степенной и экспоненциальной функций от времени;

• Впервые получены приближенные решения плоской, цилиндрически—симметричной и сферически—симметричной задач нелинейной теплопроводности при заданном потоке в начале координат в виде степенной функции от времени и при нулевом начальном условии;

• Определены положение и скорость фронта тепловой волны при заданной температуре в начале координат (плоский и цилиндрически—симметричный случай) и при заданном потоке (плоский, цилиндрически—симметричный и сферически—симметричный случай);

• Показана возможность применения автомодельных решений для оценки параметров фронтов распределения газа при его фильтрации в пористой среде из подземного резервуара.

Обоснованность и достоверность результатов работы определяется выбором математических моделей, основанных на законах сохранения, а также подтверждается сравнением полученных приближенных решений с результатами численного моделирования процессов, описываемых уравнением нелинейной теплопроводности.

Апробация работы. Основные результаты и положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях [56-64]:

• на XXXII международной летней школе-конференции «Advanced problems in Mechanics "АРМ'2004 », Санкт-Петербург, Россия, 24 июня — 1 июля 2004 года;

• на XXXIII международной летней школе-конференции «Advanced problems in Mechanics "АРМ'2005 », Санкт-Петербург, Россия, 28 июня — 5 июля 2005 года;

• на XIII международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2006» на секции Механико-математического факультета, Москва, Россия, 12 - 15 апреля 2006 года;

• на Научных Сессиях МИФИ в 2003, 2004, 2005, 2006, 2007 и 2008 годах;

• на семинаре кафедры прикладной математики МИФИ „Современные проблемы математики" в 2005, 2006, 2007 и 2008 годах;

Практическая значимость работы. Полученные в диссертационной работе приближенные решения задач нелинейной теплопроводности могут быть использованы для прогнозирования зон загрязнения окружающей среды аэрозольными выбросами и для оценки положения фронта газа при его фильтрации в пористой среде. Полученные решения также могут быть использованы для тестирования программных комплексов, моделирующих процессы нелинейной теплопроводности и фильтрации газа в пористой среде.

На защиту выносятся:

• приближенные решения краевых задач нелинейной теплопроводности (плоской, цилиндрически—симметричной и сферически—симметричной) при заданной температуре на границе в виде степенной и экспоненциальной функций и при нулевой начальной температуре;

• приближенные решения краевых задач нелинейной теплопроводности (плоской, цилиндрически—симметричной и сферически—симметричной) при заданном потоке тепла в виде степенной и экспоненциальной зависимостей от времени на границе и при нулевой начальной температуре;

• формулы, описывающие зависимость от времени координаты фронта тепловой волны для случаев плоской, цилиндрически—симметричной и сферически—симметричной задач нелинейной теплопроводности при нулевом начальном условии и при степенной и экспоненциальной зависимостях температуры от времени в начале координат;

• формулы для прогнозирования зависимости давления газа от координаты в случае одномерной (плоской и цилиндрически-симметричной) фильтрации в пористой среде при заданной концентрации газа в начале координат и при нулевом давлении газа в начальный момент времени;

• результаты численного моделирования двумерной задачи фильтрации газа в пористой среде из цилиндрического источника и их сравнение с приближенными решениями задач нелинейной теплопроводности;

Диссертация состоит из введения, пяти разделов, заключения, двух приложений, списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Чмыхов, Михаил Александрович

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чмыхов, Михаил Александрович, 2008 год

1. Волосевич П. П., Леванов Е. И. Автомодельные решения задач газовой динамики и теплопереноса. — М.: Изд-во МФТИ, 1997. — 240 с.

2. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. — Л.: Физматгиз, 1962. — 708 с.

3. Движение углеводородных смесей в пористой среде / В. Н. Николаевский, Э. А. Бондарев, М. И. Миркин и др. — М.: Недра, 1968.

4. Арсении В. Я. Методы математической физики и специальные функции. — М.: Наука, 1984.

5. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. - 736 с.

6. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики,— М.: Гостехиздат, 1951.

7. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. — М.—Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика 2003. — 416 с.

8. Маскет М. Течение однородных жидкостей в пористой среде. — М,—Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 640 с.

9. Математические модели фильтрации и их приложения: Сб. науч. тр. / Под ред. В. Н. Эмих. — Новосибирск: Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева, 1999. — 204 с.

10. Елесин В. А., Трощиев В. Е., Юдинцев В. Ф. Численное решение спектральных задач переноса теплового излучения итерационными методами поправок // Сборник научных трудов к 90-летию со дня рождения академика Ю.Б. Харитона. — М., 1984.— С. 206-228.

11. Трощиев В. Е.; Шагалиев Р. М. Проблема совмещения конечно — элементных схем в задачах газовой динамики с теплопроводностью // Математическое моделирование. — 2000. — Т. 12, № 2. — С. 3-11.

12. Трощиев В. Е., Шагалиев Р. М. Консервативные узловые схемы методов конечных разностей и конечных элементов для двумерного уравнения теплопроводности // Численные методы механики сплошной среды. 1984. - Т. 15, № 4. - С. 131-157.

13. Аравии В. И., Нумеров С. Н. Теория движения жидкостей и газов в недеформируемой среде. — М.: Гостехтеориздат, 1953.

14. Николаевский В. Н. Некоторые задачи распространения меченых частиц в фильтрационных потоках // Известия АН СССР, серия "Механика и машиностроение". — I960. — № 5.

15. Баренблатт Г. И. Об одном классе точных решений плоской одномерной задачи нестационарной фильтрации газа в пористой среде // Прикл. мат. мех. 1953. - Т. 17, № 6. — С. 67-78?

16. Баренблатт Г. И., Ентов В. М., Рыжик В. М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. — М.: Недра, 1972. — 288 с.

17. Беркович Л. М. Некоторые аналитические методы нелинейной динамики // Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. — 2005. Т. 36, № 2. - С. 33-65.

18. Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные методы решения задач газовой динамики. — М.: Эдиториал УРСС, 2004. — 424 с.

19. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа.— М.: Наука, 1967.- 736 с.

20. Бондаренко А. ГКолобашкин В. М., А. К. Н. Диффузия и адсорбция радиоактивного газа в пористой среде // Изв. АН СССР, Механика оюидкости и газа. — 1976. — JNT2 5. — С. 85-90.

21. Зельдович Я. Б., Компанеец А. С. К теории распространения тепла при теплопроводности, зависящей от температуры // Сборник посвященный 70 летию академика А.Ф. Иоффе. — М.: Из - во АН СССР, 1950.-С. 61-71.

22. Зельдович Я. Б., Райзер Ю. П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. — М.: Наука, 1966.— 686 с.

23. Лейбензон Л. С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде, М.-Л.: ГИТТЛ, 1947.

24. Полубаринова-Кочина П. Я. Об одном нелинейном дифференциальном уравнении, встречающемся в теории фильтрации // Доклады АН СССР. 1948. - Т. 63, № 6. - С. 623-627.

25. Баренблатт Г. И., Вишик И. М. О конечной скорости распространения в задачах нестационарной фильтрации жидкости и газа // Прикл. мат. мех. — 1956. Т. 16, № 1. — С. 67-78.

26. Баренблатт Г. И. Об автомодельных решениях задачи коши для нелинейного параболического уравнения нестационарной фильтрации газа в пористой среде // Прикл. мат. мех. — 1956. — Т. 20, № 6.-С. 761-763.

27. Полубаринова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод. — М.: Наука, 1977. — 664 с.

28. Шагапов В. Ш., Галиаскарова Г. Р. О динамике накопления атмосферных выбросов отрицательной плавучести в безветренную погоду // ИФЖ. 2002. - Т. 75, № 2. - С. 22-27.

29. Шагапов В. Ш., Мухаметшин С. М., Галиаскарова Г. Р. Распространение тяжелых атмосферных выбросов с учетом ландшафта местности // ИФЖ. 2005. - Т. 78, № 2. - С. 99-103.

30. Калашников А. С. Об уравнениях типа нестационарной фильтрации с конечной скоростью распространения возмущений // Вестник МГУ. Сер.1. Математика, механика, — 1972.— № 6.— С. 4549.

31. Олейник О. А., Калашников А. С., Юйлинь Ч. Уравнения типа нестационарной фильтрации // Изв. АН СССР, Сер. мат. — 1958,- Т. 22, № 5.- С. 667-704.

32. Marscak R. An influence of the radiation of the behavior of the schok waves // Phys. Fluids. 1958. - No. 1. - P. 24-29.

33. Самарский А. А., Соболь И. M. Примеры численного расчета температурных волн // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1963.- Vol. 3, No. 4,- P. 703-719.

34. Локализация процессов диффузии в средах с постоянными свойствами / А. А. Самарский, В. А. Галактионов, С. П. Курдюмов,A. П. Михайлов // Доклады АН СССР. 1979.- Т. 247, № 32.-С. 349-353.

35. Эффект метастабильной локализации тепла в среде с нелинейной теплопроводностью / А. А. Самарский, Н. В. Змитренко, С. П. Курдюмов, А. П. Михайлов // Доклады АН СССР. — 1975. — Vol. 223, No. 6. P. 1344-1347.

36. Локализация тепла в среде с нелинейной теплопроводностью /B. А. Галактионов, С. П. Курдюмов, А. П. Михайлов,А. А. Самарский // Дифференциальные уравнения.— 1981.— Vol. 17, No. 10.-P. 1826-1841.

37. Змитренко Н. В., Курдюмов С. П. Автомодельный режим сжатия конечной масы плазмы // ДАН СССР. — 1974. — Vol. 218, No. 6,— P. 1306-1309.

38. Курдюмов С. П. Собственные функции горения нелинейной среды и конструктивные законы построения ее организации // Современные проблемы математической физики и вычислительной математики. М.: Наука, 1982. - С. 217 - 243.

39. Лейбензон Л. С. О движении подогретой вязкой жидкости // Собрание трудов, т. III, нефтепромысловая механика. — М.: АН СССР, 1955.-С. 22-68.

40. Лейбензон Л. С. О движении нефти по трубам при температуре, близкой к температуре ее застывания // Собрание трудов, т. III, нефтепромысловая механика. — М.: АН СССР, 1955. — С. 204—249.

41. Лейбензон Л. С. К вопросу о теплопередаче в нефтепроводных трубах // Собрание трудов, т. III, нефтепромысловая механика. — М.: АН СССР, 1955. С. 250-285.

42. Лейбензон Л. С. К вопросу о затвердевании земного шара из первоначального расплавленного состояния // Собрание трудов, т. IV, гидроаэродинамика, геофизика. — М.: АН СССР, 1955.— С. 317— 359.

43. Таиров М. А. Решение одной задачи нестационарной фильтрации методом интегральных соотношений // Ж. вычисл. матем. и машем. физ. 1962. - Т. 2, № 5. - С. 938-942.

44. Кудряшев Л. И., Меньших Н. Л. Приближенные решения нелинейных задач теплопроводности. — М.: Машиностроение, 1979. — 232 с.

45. Czis Т., Aglrseven D. He's homotopy perturbation method for solving heat-like and wave-like equations with variable coefficients // Physics Letters A. 2008. - Vol. 372, No. 38. - P. 5944-5950.

46. Esmaeilpour M.; Ganji D. Application of he's homotopy perturbation method to boundary layer flow and convection heat transfer over a flat plate // Physics Letters A. 2007. - Vol. 372, No. 1. — P. 33-38.

47. Яненко H. H. Об одном разностном методе счета многомерного уравнения теплопроводности // Доклады АН СССР. — 1959. — Т. 125, № 6.-С. 1207-1210.

48. Miansari M., Ganji D., Miansari M. Application of he's variational iteration method to nonlinear heat transfer equations // Physics Letters A. 2008. - Vol. 372, No. 6. - P. 779-785.

49. Paul M. C., Rees D. A. S., Wilson M. Thermal receptivity of free convective flow from a heated vertical surface: Linear waves // International Journal of Thermal Sciences. — 2008. — Vol. 47, No. 10. — P. 1382-1392.

50. Siegel C. Review of computational heat and mass transfer modeling in polymer-electrolyte-membrane (pem) fuel cells // Energy. — 2008. — Vol. 33, No. 9.- P. 1331-1352.

51. Weijun T. A boundary element method for a nonlinear boundary value problem in steady-state heat transfer in dimension three // Applied Mathematics A Journal of Chinese Universities. — 1997. — Vol. 12, No. 4. - P. 427-440.

52. Solar field control for desalination plants / L. Roca, M. Berenguel, L. Yebra, D. C. Alarcyn-Padilla // Solar Energy. — 2008.- Vol. 82, No. 9.-P. 772-786.

53. Song X. Blow-up analysis for a system of heat equations with nonlinear flux which obey different laws // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. 2008.- Vol. 69, No. 7. - P. 1971-1980.

54. Калиткии H. H. Численные методы. — M.: Наука, 1978.— 512 с.

55. Chmykhov М. A., Kudryashov N. A. Analytical and numerical solutions of smog propagation problems // XXXIII International Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics". — St.Peterburg: RAS: 2005. C. 34.

56. Chmykhov M. A., Kudryashov N. A. Numerical simulation of two smog propagation problems // XXXII International Summer School-Conference 'Advanced Problems in Mechanics". — St.Peterburg: RAS: 2004. -C. 35.

57. Чмыхов M. А. Приближенные решения задач распространения выбросов отрицательной плавучести // XIII Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2006". Т. 1. - М.: МГУ, 2006. - С. 451.

58. Чмыхов М. А. Приближенные решения одномерных задач нелинейной теплопроводности // Научная сессия МИФИ-2006: Сб. науч. тр. в 16 т. Т. 7.-М.: МИФИ, 2006. - С. 110-111.

59. Чмыхов М. А. Аналитическое решение задач распространения выброса отрицательной плавучести // Научная сессия МИФИ-2005: Сб. науч. тр. в 15 т. Т. 7. - М.: МИФИ, 2005. - С. 115-116.

60. Чмыхов М. А. Математическое моделирование распространения смога большой плотности // Научная сессия МИФИ-2004: Сб. науч. тр. в 15 т. Т. 7. - М.: МИФИ, 2004. - С. 104-105.

61. Чмыхов М. А. Разрушение уединенной волны при прохождении над подводными препятствиями // Научная сессия МИФИ-2003: Сб. науч. тр. в 14 т. Т. 7.-М.: МИФИ, 2003. - С. 112-113.

62. Кудряшов Н. А., Чмыхов М. А. Применение приближенных решений при численном моделировании двумерных задач нелинейной теплопроводности // Научная сессия МИФИ-2008: Сб. науч. тр. в 15 т. Т. 9. - М.: МИФИ, 2008. - С. 75-76.

63. Кудряшов Н. А., Чмыхов М. А. Точность приближенных решений одномерных задач нелинейной теплопроводности // Научная сессия МИФИ-2007: Сб. науч. тр. в 17 т.- Т. 7.- М.: МИФИ, 2007.-С. 108-109.

64. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений / А. А. Самарский, В. А. Галактионов, С. П. Кур-дюмов, А. П. Михайлов. — М.: Наука, 1987. — 477 с.

65. Баренблатт Г. И. О некоторых неустановившихся движениях жидкости и газа в пористой среде // Прикл. мат. мех. — 1952. — Т. 16, № 1.-С. 67-78.

66. Баренблатт Г. И. Об автомодельных решениях сжимаемой жидкости в пористой среде // Прикл. мат. мех. — 1952. — Т. 16, № 6. — С. 679-698.

67. Кудряшов Н. А. Автомодельные задачи движения газа в пористо среде: Учебное пособие. — М.: МИФИ, 1984. — 72 с.

68. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений. — М.: Наука, 1978.

69. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика. — М.:Физматлит, 2003.— 736 с.

70. Нигматулин Р. И. Основы механики гетерогенных сред. — М.: Наука, 1978.

71. Langleben M. A study of the roughness parameters of sea ice from wind profiles // J. Geophysics. Res. 1972.- Vol. 77, No. 21.- P. 39023925.

72. Banke E., Smith S. Measurement of drag on ice ridges // Aidjex bull. — 1975.-Vol. 28.-P. 21-87.

73. Smith S. Wind stress and turbulence over ice floe // J. Geophys. Res. — 1972. Vol. 77, No. 21. - P. 3886-3901.

74. O'Rourke M. Mechanical principles in arterial disease // Hypertension. 1995. - Vol. 26, No. 1. - P. 2-9.

75. Лондон Ж. Ремоделироваиие артерий и артериальное давление у больных с уремией // Нефрология и диализ. — 2000. Т. 2, № 3. -11 с. — (London G.M. Arterial remodeling and blood pressure in uremic patients).

76. Поливода С. H., Черепок А. А. Ремоделироваиие артериальных сосудов у больных с гипертонической болезнью // Укр. ж. кардиологии. — 2003. № 6. — 9 с.

77. Fung Y. С. Biomechanics: Mechanical Properties of Living Tissues. — 2nd edition. — New York: Springer-Verlag., 1993. — 592 p.

78. Кокс P. Г. Сравнение моделей артериального движения крови, основанных на линеаризованныхтеориях распространения волн // Гидродинамика кровообращения / Под ред. С. А. Регирера. — М.: Мир, 1971.- С. 43-60.

79. Кудряшов H. А., Чернявский И. JI. Нелинейные волны при течении жидкости в вязкоэластичной трубке // Изв. РАН. МЖГ. — 2006. — № 1.-С. 54-67.

80. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. — М.: Наука, 1970. — 288 с.

81. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. 7. Теория упругости. — М.:Физматлит, 2001. — 264 с.

82. Ottesen J. Valveless pumping in a fluid-filled closed elastic tube-system: one-dimensional theory with experimental validation // J. Math. Biology. 2003. - Vol. 46, No. 4. - P. 309-332.

83. Darcy H. Les fontaines publiques de la ville de Dijon. — 1856.

84. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. — М.: Наука. Физматлит, 1997. — 320 с.

85. Байков В. А., Жибер А. В. Уравнения математической физики.— Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. — 256 с.

86. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. — 400 с.

87. Овсянников Л. В. Групповые свойства нелинейного уравнения теплопроводности // Докл. АН СССР. 1959. - Т. 125. - С. 492-495.

88. Варенблатт Г. И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. — Ленинград: Гидрометеоиздат, 1982. — 255 с.

89. Варенблатт Г. И. О предельных автомодельных движениях в теории нестационарной фильтрации газа в пористой среде и теориипограничного слоя // Прикл. мат. мех. — 1954. — Т. 18, № 4. — С. 409-414.

90. Ибрагимов Н. X. Опыт группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Знание, 1991. — 48 с.

91. Ибрагимов Н. X. Азбука группового анализа. — М.: Знание, 1989. — 48 с.

92. Бронштейн И. И., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. —- 976 с.

93. Фихтенголъц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 8-е изд. изд. — СПб: Физматлит, 2001. — Т. 2. — 864 с.

94. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — 4-е изд. изд. — М.: Наука, 1973. — 736 с.

95. Ибрагимов Н. X. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983. — 280 с.

96. Кудряшов Н. А., Чмыхов М. А. Приближенные решения одномерных задач нелинейной теплопроводности при заданном потоке // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.— 2007. — Т. 47, № 1.— С. 113123.

97. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М.: Физматгиз, 1963.

98. Баренблатт, Г. И., Ентов В. М., Рыжик В. М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. — М.: Недра, 1984. — 208 с.

99. Кудряшов Н. А. Приближенное решение одной задачи нелинейной теплопроводности // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2005.— Т. 45, № 11,- С. 2048-2055.

100. Sajid M., Hay at Т. Comparison of ham and hpm methods in nonlinear heat conduction and convection equations // Nonlinear Analysis: Real World Applications. — 2008. — Vol. 9, No. 5. — P. 2296-2301.

101. Полубаринова-Кочина П. Я. О перемещении языка грунтовых вод при фильтрации из канала // ДАН. — 1952. — С. 853-855.

102. Chowdhury М., Hashim I. Analytical solutions to heat transfer equations by homotopy-perturbation method revisited // Physics Letters A. 2008. - Vol. 372, No. 8. - P. 1240-1243.

103. Chu H.-P., Chen C.-L. Hybrid differential transform and finite difference method to solve the nonlinear heat conduction problem // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. — 2008. — Vol. 13, No. 8.-P. 1605-1614.

104. Anjali Devi S., Thiyagarajan M. Steady nonlinear hydromagnetic flow and heat transfer over a stretching surface of variable temperature // Heat and Mass Transfer. 2006. - Vol. 42, No. 8. - P. 671-677.

105. Баклаповская В. Ф. Численное решение одномерной задачи для уравнений типа нестационарной фильтрации // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1961. — Т. 1, № 3. — С. 461-469.

106. Баклаповская В. Ф. Численное решение второй краевой задачи для одномерного уравнения нестационарной фильтрации // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1961. — Т. 1, № 6.— С. 1129-1133.

107. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Т. 2, — М.: Физ-матлит, 1960.

108. Christou М., Sophocleous С., Christov С. Numerical investigation of the nonlinear heat diffusion equation with high nonlinearity on the boundary // Applied Mathematics and Computation. — 2008. — Vol. 201, No. 1-2. P. 729-738.

109. Numerical experiments using hierarchical finite element method for nonlinear heat conduction in plates / H. Kaneko, K. S. Bey, Y. Lenbury, P. Toghaw // Applied Mathematics and Computation. — 2008. — Vol. 201, No. 1-2.-P. 414-430.

110. Lcrcher F.} Gassner G., Munz C.-D. An explicit discontinuous galerkin scheme with local time-stepping for general unsteady diffusion equations // Journal of Computational Physics. — 2008. — Vol. 227, No. 11. P. 5649-5670.

111. Тихонов A. H., Самарский А. А. Однородные разностные схемы // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1961. — Т. 1, № 1. — С. 4-63.

112. Кудряшов Н. А. Практикум по численному решению задач газовойдинамики. — М.: МИФИ, 1985. — 76 с.

113. Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем.— М.: Эдиториал УРСС, 2005, — 384 с.

114. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. — М.: Наука, 1977. 653 с.