Численно-аналитическое моделирование нелинейных процессов для нестационарных задач механики сплошной среды тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Ваганова, Наталия Анатольевна

• Ваганова, Наталия Анатольевна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ваганова, Наталия Анатольевна

Обозначения

Введение

Глава 1. Применение метода специальных рядов

Краткий обзор аналитических методов.

§ 1.1. Построение решения одномерного уравнения нелинейной фильтрации в виде специальных рядов.

1.1.1. Одномерное уравнение нелинейной фильтрации

1.1.2. Решение в виде согласованного ряда.

1.1.3. Использование функционального произвола согласованных рядов для приближенного решения краевых задач.

§ 1.2.Примеиеиие специальных рядов для численного решения двумерного уравнения фильтрации

1.2.1. Уравнение двумерной фильтрации.

1.2.2. Построение согласованных рядов.

1.2.3. Краевая задача.

§ 1.3. Сравнение метода Фурье и метод специальных рядов

1.3.1. Постановка задачи.

1.3.2. Применение методов.

1.3.3. Результаты численного сравнения метода Фурье и метода специальных рядов.

§ 1.4. Алгоритмические способы построения специальных согласованных рядов.

Основные результаты Главы 1.

Глава 2. Численное моделирование задачи распространения тепла от заглубленного источника в неоднородной среде

§ 2.1. Описание модели и постановка задачи.

2.1.1. Основные уравнения

2.1.2. Граничные условия на дневной поверхности

§2.2. Методы решения.

Разностные методы решения уравнения теплопроводности

2.2.1. Краткое описание расчетной методики.

2.2.2. Расчетная сетка.

2.2.3. Выбор шага по времени.

2.2.4. Аппроксимация уравнений

2.2.5. Граничные условия.

2.2.6. Метод решения систем разностных уравнений с нелинейным условием на границе.

2.2.7. Блок-схема программы расчета.

2.2.8. Параллельный алгоритм циклической редукции решения систем линейных алгебраических уравнений

§ 2.3. Тестовые расчеты

2.3.1. Линейное распределение температуры по вертикали z с фиксированной температурой на концах.

2.3.2. Распределение температуры по вертикали z с потоком через дневную поверхность.

2.3.3. Поля температур па поверхности области. Сгущающиеся сетки.

§ 2.4. Результаты численных экспериментов.

2.4.1. Поля температур в модельной области с теплоизолированным трубопроводом. Пассивные источники тепла

2.4.2. Тепловые следы от трубопроводов с поврежденной теплоизоляцией.

2.4.3. Моделирование условий тепловизиопной съемки при наличии снежного покрова.

2.4.4. Исследование влияния неровности земной поверхности и высоты солнца над горизонтом на тепловой портрет дневной поверхности.

Основные результаты Главы 2.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численно-аналитическое моделирование нелинейных процессов для нестационарных задач механики сплошной среды»

Общая характеристика работы

Диссертационная работа посвящепа разработке и применению числеппо-апалитического подхода, основанного на методе специальных рядов, для конструктивного построения решений некоторого класса нелинейных уравнений механики сплошной среды, а также моделированию и численной реализации задачи о нахождении теплового поля от заглубленного теплового источника с учетом нелинейных краевых условий, определяемых солнечным излучением.

Актуальность темы

Для решения различных проблем, возникающих в современной науке и технике, актуальной задачей является построение адекватных математических моделей, которые как правило описываются нелинейными уравнениями с частными производными. Стремительное развитие вычислительной техники позволило рассматривать все более сложные многомерные модели, учитывающие топкие явления, без которых невозможно точно описать реальные физические процессы. Для исследования таких моделей создаются различные методики, требующие надежных способов их верификации. Поэтому важной задачей является построение тестов для отладок численных методик, например, получение точных решений в замкнутой форме, или в виде сходящихся рядов пусть даже и для упрощенных моделей. Кроме того, решения полученные аналитическими методами дают возможность изучить свойства исследуемых моделей. В ряде задач мехаиики сплошной среды перспективным направлением получения приближенных решений нелинейных уравнений с частными производными является сочетание численных и аналитических методов. Поэтому наряду с численными методами интенсивно развиваются и аналитические подходы к получению решеиий. Большое развитие получили аналитические методы решения нелинейных уравнений с частными производиыми, использующие в качестве основной конструкции ряды. Главным образом, это степенные ряды либо ряды Фурье, а в случае уравнений с малым параметром — асимптотические ряды. Для представления решений линейных и нелинейных систем уравнений с частными производными были разработаны характеристические ряды (работы Р. Куранта [60], Д. Людвига [114], В.М. Бабича [1,2], А.А. Дородницына [50], А.Ф. Сидорова [71-73], В.М. Тешукова [76-78], С.П. Баутина [3], М.Ю. Козмапова [55] и др.).

Эти работы послужили основанием для создания А.Ф. Сидоровым нового аналитического метода представления решений нелинейных уравнений в частных производных — метода специальных рядов. Этот метод был с успехом использован в работах А.Ф. Сидорова, С.С. Титова, М.Ю. Филимонова, Л.Г. Корзунина, С.В. Вершинина, О.В. Коковихиной и К.В. Кур-маевой [45,57,61-63,73,79-86,88,110].

В диссертационной работе получил свое развитие конструктивный метод представления решений нелинейных уравнений с частными производными — метод специальных рядов, который позволяет строить новые классы решеиий начальных и начально-краевых задач для некоторого класса нелинейных уравнений с частными производиыми.

При решении реальных физических задач редко удается обойтись без применения численных методик. Например, к такой задаче относится описание тепловых полей от заглубленного источника с учетом лучистого излучения тепла от дневной поверхности. Эта задача важна для многих приложений, в частности, при проведении мониторинга целостности теплоизолированного заглубленного трубопровода. При этом может оказаться, что трубопровод проложен в слоях грунта, имеющих различные тепловые характеристики. Под воздействием различных факторов теплоизолирующая оболочка трубопровода может разрушиться и начнется теплообмен с окружающей средой (к примеру, температура нефтепродуктов движущихся по трубопроводу составляет около 30 градусов Цельсия). Существуют различные приборы (тепловизоры), которые позволяют снимать с большой точностью тепловые поля с поверхности, расположенной над трубопроводом [12]. Основной задачей мониторинг-контроля является определение возможных областей повреждения теплоизоляции трубопровода и трещин. Интересно рассмотреть также и обратную задачу об определении характера повреждений и интенсивности тепловыделения по результатам измерения теплового поля на дневной поверхности. В настоящее время открытыми остаются также вопросы: имеет ли смысл проводить тепловизорные контрольные замеры поверхности, расположенной над трубопроводом при наличии снежного покрова? И если да, то в каком спектре излучения?

Представленная выше физическая задача может быть описана линейным уравнением теплопроводности в трехмерной области при наличии нелинейных граничных условий на дневной поверхности. Теоремы существования и единственности решения для некоторых таких моделей рассматривались в работах П. Куитнера [115].

Необходимость изучения нелинейной модели проявляется при исследовании многих задач. Например, в работе С.С. Титова [81] рассматривалась задача о распределении температуры в тонком кольце, нагреваемом точечным источником (с учетом излучения при сварке), описываемая параболическим уравнением с нелинейной правой частью. Сравнение построенного решения в виде специального тригонометрического ряда для линейной и нелинейной модели показало, что линейная теория дает существенно завышенные значения температуры.

При построении алгоритмов расчета нелинейное граничное условие, как правило, аппроксмируется на решении, полученном либо из линейной модели, либо вычисленном на предыдущем шаге итерационного процесса. Например, в работах В.П. Шапеева, А.Н. Черепанова и др. авторов [103,105] одно из граничных условий для уравнения теплопереноса включает в себя нелинейный радиационный коэффициент теплоотдачи, значение которого аппроксимируется на решении, вычисленном на предыдущей итерации.

Однако работ по прямому численному моделированию задач о распространении тепла при непосредственном решении задачи с нелинейными граничными условиями, учитывающими солнечную радиацию, автору не известны.

Таким образом, представляется весьма актуальным вопрос о решении прямой задачи нахождения теплового поля на дневной поверхности. Решение и моделирование этой прямой задачи позволяет ответить на многие интересующие вопросы и получить приемлемые качественные и количественные результаты.

Цель работы:

Построить новые решения в виде специальных сходящихся рядов и применить ряды, содержащие функциональный произвол, для построения решений начально-краевых задач для нелинейного уравнения фильтрации.

Для представления решения начально-краевой задачи для нелинейного волнового уравнения с точным удовлетворением нулевых краевых условий построить специальный ряд и провести численное сравнение метода специальных рядов и метода Фурье на этом примере.

Разработать методику расчета прямой задачи распространения тепла в приповерхностном слое грунта с условием лучевого обмена энергией солнечная радиация и тепловое излучение поверхности грунта, а также теплообмен, связанный с подводом тепла из глубин Земли или от аккумулирующих тепло источников: трубопроводов, подземных объектов, геологических аномалий и т.д.) с прилегающим к поверхности слоем воздуха, позволяющую моделировать различные условия тепло-визионной съемки. Написать и отладить комплекс программ для решения задачи о тепловом поле на дневной поверхности от подземного трубопровода с возможными его повреждениями. Провести серию численных расчетотов для получения атласа тепловых полей, полученных при типичных повреждениях теплоизоляции трубопроводов для выработки рекомендаций при проведении реальных тепловизионных съемках.

Методика исследований

В работе используются методы и подходы теории дифференциальных уравнений с частными производными, методы приближенного решения уравнений, методы визуального графического представления резльтатов расчетов.

В качестве аналитического аппарата в работе используется конструктивный метод представления решений нелинейных уравнений с частными производными (метод А.Ф. Сидорова) — метод специальных рядов. Рассматриваются начально-краевые задачи для некоторого класса нелинейных уравнений теплопроводности, для которых известны точные решения в виде полиномов по пространственным переменным.

Методы численного моделирования используются при исследовании задачи о тепловом поле от заглубленного теплового источника с учетом лучистого излучения на дневной поверхности. Используется метод геометрического расщепления многомерной краевой задачи по направлениям на ортогональной сетке. Применяется неявная шеститочечная двухслойная разностная схема для одномерного уравнения теплопроводности. Для решения соответствующей системы линейных разностных алгебраических уравнений используется метод прогонки. При численного решения нелинейного уравнения четвертого порядка используется метод Ньютона.

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

На базе известного точного решения построены новые приближенные решения для нелинейного уравнения фильтрации и приближенно описано распространение фронта решения по нулевому фону от некоторого граничного режима.

Проведено численное исследование применимости некоторых построенных конструкций специальных рядов, согласованных с известным точным решением и содержащих функциональный произвол, для решения начально-краевых задач нелинейных уравнений фильтрации газа в пористом грунте.

Построены конструкции специальных согласованных рядов и рядов Фурье для нелинейного уравнения колебаний струны с закрепленными концами. Проведено численное сравнение метода специальных согласованных рядов и метода Фурье.

Разработан и отлажен комплекс программ для расчета тепловых полей от заглубленного источника в неоднородном грунте с учетом лучистого излучения и неровности на дневной поверхности, позволяющий проводить непосредственное численное моделирование теплового поля в трехмерной области с учетом нелинейных краевых условий, определяемых солнечным излучением. С помощью разработанного комплекса программ были рассчитаны типичные варианты, соответствующие возможным повреждениям трубопровода. Полученные выводы на основе анализа численных расчетов и атлас тепловых полей могут быть использованы при проведении реальных тепловизионпых съемок трубопроводов.

Теоретическая и практическая значимость

Работа иосит теоретический и практический характер. Метод специальных рядов получил дальнейшее развитие на пути практического применения этого подхода к приближенному решению краевых задач. Построен новый класс решений нелинейного уравнения фильтрации в виде специальных рядов, согласованных с точным решением.

Разработан комплекс программ, позволяющий моделировать различные условия тепловизиоииой съемки, и тем самым повысить эффективность таких наблюдений и, как следствие, разработать методы диагностики целостности трубопровода и наличия несанкционированных врезок. Непосредственное численное моделирование температурных полей, возникающих на дневной поверхности над участком заглубленного трубопровода, позволяет сделать ряд выводов о возможности обнаружения тепловых неодиородио-стей на рассматриваемом участке, а также обосновать правила проведения тепловизионных съемок.

Получен акт о внедрении разработанного комплекса программ в ТПИ МИФИ (г. Трехгорный).

Публикации

Основные результаты опубликованы в центральных научных изданиях, рекомендованных ВАК [31,117], в сборниках [17,18,30,32,33,35], а также в трудах международных и всероссийских конференций [9,10,19,20,22,24, 25,28,29,119].

Все основные результаты диссертации являются новыми и принадлежат автору. Из совместных работ в диссертацию включены только результаты автора, а именно: из работ [5-11] с Вашуровым В.В., Ртищевым Д.Е., Жариновым С.В., Филимоновым М.Ю. включены только результаты, касающиеся разработки вычислительного алгоритма и комплекса программ расчета тепловых полей в трехмерной области с учетом лучистого излучения на дневной поверхности; из работ [31,32,113] с Коврижных О.О., Хайруллипой О.Б. включены только результаты, касающиеся разработки и реализации алгоритма циклической редукции для решения блочно-трехдиагональных систем линейных разностных уравнений для многопроцессорной вычислительной системы с распределенной памятью; из работ [33-41,111,112,121,122] с Филимоновым М.Ю. включены только результаты, связанные с аналитическим построением соответствующих решений нелинейных уравнений и численными экспериментами по применению метода специальных рядов для построения решеиий нелинейного волнового уравнения и уравнения фильтрации.

Апробация

Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях:

VIII Всероссийская школа-семинар "Современные проблемы математического моделирования", Абрау-Дюрсо (1999);

Всероссийская научная конференция "Современные проблемы механики. Конференция посвященная 40-летию Института механики МГУ", Москва (1999);

Международная конференция, посвященная 150-летию С.В.Ковалевской, Санкт-Петербург (2000); международная конференция "Симметрия и дифференциальные уравнения", Красноярск (2000);

Всероссийская конференция "Математическое моделирование и проблемы экологической безопасности", Абрау-Дюрсо (2000);

III Международная конференция по математическому моделированию, Якутск, (2001);

VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Пермь, (2001); международная конференция "Математические модели и методы их исследования", Красноярск (2001); международная конференция "Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика", Новосибирск (2001);

VIII Четаевская международная конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением", Казань (2002); III международная конференция "Симметрия и дифференциальные уравнения", Красноярск (2002);

XIV Всероссийская конференция "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики", посвященная памяти КИ.Бабеико, Дюрсо (2002);

Международные летние шкоды-коиференции "Прикладные проблемы механики", Санкт-Петербург (2002, 2003, 2004);

Всероссийская школа - семинар "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа", (2002, 2004); Международная конференция "Забабахинские научные чтения", Сне-жинск (2003);

Всероссийская школа - конференция "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", (2003, 2004);

Всероссийская конференция приуроченная к 85-летию академика Л.В.Овсянникова "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение", Новосибирск (2004); XI Всероссийская школа-семинар "Современные проблемы математического моделирования," Абрау-Дюрсо (2005);

Региональная молодежная конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики", Екатеринбург, (2000, 2001, 2002, 2003); на научном семинаре Отдела прикладных задач Института математики и механики УрО РАН, руководитель — д.ф.-м.н. А.И.Короткий.

Труды, материалы и тезисы докладов, указанных выше конференций, опубликованы в [5-9, И, 14-16,19-21,23-29,34,36-41,111,112,118,120-122].

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, 2 глав, заключения и списка литературы. Главы разбиты на параграфы, разделенные на пункты. Нумерация глав, параграфов и пунктов в работе сквозная. Нумерация формул и утверждений тройная и однозначно указывает ссылку, сообщая главу, параграф и помер формулы. Общий объем работы — 130 страниц. Библиография содержит 122 наименований.

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Ваганова, Наталия Анатольевна

Основные результаты Главы 2

• Разработан и отлажен комплекс программ для расчета тепловых полей от заглубленного источника в неоднородном грунте с учетом лучистого излучения и неровности па дневной поверхности, позволяющий проводить непосредственное численное моделирование теплового поля в трехмерной области с учетом нелинейных краевых условий, определяемых солнечным излучением.

Рис. 46. Температура на дневной поверхности. Солнце в зените.

Рис. 47. Температура на дневной поверхности. Солнце с "запада"(слева), 70° над горизонтом.

Рис. 48. Температура на дневной поверхности. Солнце с "запада", 45° над горизонтом.

Солнце: с "Запада" с "Юга"

Рис. 49. Распределение температуры на дневной поверхности

276 г

Рис. 50. Распределение температуры на дневной поверхности вдоль траншеи

276 г 276 г

Рис. 51. Распределение температуры на дневной поверхности вдоль трубопровода в) г)

Рис. 52.

Рис, 53. а) б)

Риг. 54. Модельная область с траншеей

• С помощью разработанного комплекса программ были рассчитаны типичные варианты, соответствующие возможным повреждениям трубопровода. Полученные выводы на основе анализа численных расчетов и атлас тепловых полей могут быть использованы при проведении реальных тепловизионных съемок трубопроводов.

• Получен акт о внедрении разработанного комплекса программ и ТПИ МИФИ (г. Трехгорный).

Заключение

На базе известного точного решеиия построены новые приближенные решения для нелинейного уравнения фильтрации и приближенно описано распространение фронта решеиия по нулевому фону от некоторого граничного режима.

Проведено численное исследование применимости некоторых построенных конструкций специальных рядов, согласованных с известным точным решением и содержащих функциональный произвол, для решеиия начально-краевых задач нелинейных уравнений фильтрации газа в пористом грунте.

Построены конструкции специальных согласованных рядов и рядов Фурье для нелинейного уравнения колебаний струны с закрепленными концами. Проведено численное сравнение метода специальных согласованных рядов и метода Фурье.

Разработан и отлажен комплекс программ для расчета тепловых полей от заглубленного источника в неоднородном грунте с учетом лучистого излучения и неровности на дневной поверхности, позволяющий проводить непосредственное численное моделирование теплового поля в трехмерной области с учетом нелинейных краевых условий, определяемых солнечным излучением.

С помощью разработанного комплекса программ были рассчитаны типичные варианты, соответствующие возможным повреждениям трубопровода. Полученные выводы на основе анализа численных расчетов и атлас тепловых полей могут быть использованы при проведении реальных тепловизионных съемок трубопроводов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ваганова, Наталия Анатольевна, 2007 год

1. Бабич В.М. Об элементарных решениях гиперболических уравнений // ДАН СССР. 1959. Т.219, N 3. С. 478-481.

2. Бабич В.М. Фундаментальные решения гиперболических уравнений с переменными коэффициентами // Математический сборник. 1960. Т. 52 (94): 2. С. 709 738.

3. Баутип С.П. Характеристическая задача Коши для квазилинейной аналитической системы // Дифференциальные уравнения. 1976. Т. 12, N 11. С. 2052 2063.

4. Баутип С.П. Аналитическая тепловая волна. -М.: Физматлит, 2003, 88 с.

5. Буданин О.Н., Потапов А.И., Колгаиов В.И., Троицкий-Макаров Т.Е., Абрамова Е.В. Тепловой перазрушающий контроль изделий. М.: Наука. 2002.

6. Бэр Я., Заславски Д., Ирмей С. Физико-математические основы фильтрации воды. — М.: Мир. 1971.

7. Ваганова Н.А. Об одном параллельном алгоритме решения систем линейных уравнений // В сб. "Проблемы теоретической и прикладной математики". Тезисы докладов 29-ой Региональной молодежной конференции. Екатеринбург. ИММ УрО РАН. 1998. С 58-59.

8. Ваганова Н.А. Расчет потенциальных течений несжимаемой жидкости в многосвязных областях // В сб. "Проблемы теоретической и прикладной математики". Тезисы докладов 30-ой Региональной молодежной конференции. Екатеринбург. ИММ УрО РАН. 1999. С 27-28.

9. Ваганова Н.А. О декомпозиции области в задаче расчета вихревых течений в ограниченных каналах // Тезисы докладов VIII Всероссийской школы-семинара "Современные проблемы математического моделирования". Ростов-на-Дону: Изд. РГУ, 1999.

10. Ваганова Н.А. Декомпозиция области при расчете вихревых течений в каналах // В сб. "Алгоритмы и программные средства параллельных вычислений". Вып. 5. Екатеринбург. 2001. С. 71-81.

11. Ваганова Н.А. Построение новых классов решений нелинейного уравнения фильтрации с помощью специальных согласованных рядов // Труды ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 2003. Т. 9. № 2. С. 10-20.

12. Ваганова Н.А. Применение специальных рядов для численного решения двумерного уравнения фильтрации // Проблемы теоретической и прикладной математики. Труды32.й регион, молод, конференции. Екатеринбург. 29.01.01-02.02.01. С. 102-105.

13. Ваганова Н.А. Применение метода специальных рядов для описания фронта нелинейной фильтрации // Труды международной конференции "Математические модели и методы их исследования". Том 1. Красноярск. 2001. С.132-134.

14. Ваганова Н.А. Примеиение специальных рядов для представления решений уравнения нелинейной фильтрации // VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (23-29 августа 2001 г.). Аннотации докладов. Пермь: ИМСС УрО РАН, 2001. С. 136.

15. Ваганова Н.А. Об алгоритмических способах построения специальных рядов и рядов Фурье для нелинейных волновых уравнений // Труды XXXIII Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики". Екатеринбург, 2002. С. 121-125.

16. Ваганова Н.А. О некоторых классах решений уравнения нелинейной фильтрации // Тезисы 19-й Всероссийской школы-семинара "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа (САМГОП-2002)". Снежинск. 2002. С. 17.

17. Ваганова Н.А. Применение специальных согласованных рядов для приближенного описания процесса нелинейной фильтрации // Проблемы теоретической и прикладной математики. Труды 35-ой Региональной молодежной конференции. 2004, Екатеринбург. С. 105-109.

18. Ваганова Н.А. Моделирование и расчет тепловых полей от заглубленного трубопровода // Труды XI Всероссийской школы-семинара "Современные проблемы математическогомоделирования". Абрау-Дюрсо, 4-10 сентября 2005 г С. 81-86.

19. Ваганова Н.А. Моделирование неоднородных тепловых полей от заглубленного источника па дневной поверхности // Математическое и информационное моделирование: сборник научных трудов. Вып. 7. Тюмень: Издательство "Вектор Бук", 2005.г. С. 77-84.

20. Ваганова Н.А., Коврижных О.О., Хайруллипа О.Б. Моделирование газодинамических процессов в камерах сгорания на многопроцессорной машине// Вычислительные технологии, Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1996, т. 1, по. 2, с.57-64.

21. Ваганова Н.А., Филимонов М.Ю. Представление новыми конструкциями согласованных рядов решений нелинейных уравнений в частных производных // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 2001, Вып. 118, с. 103-108.

22. Ваганова Н.А., Филимонов М.Ю. Применение метода Фурье и специальных рядов для представления решений нелинейных волновых уравнений // Динамика сплошной среды, Новосибирск, 2002, вып. 120, с. 79-83.

23. Ваганова Н.А., Филимонов М.Ю. Применение и обоснование метода Фурье для решения нелинейных волновых уравнений // "IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике". Аннотации докладов (Нижний Новгород, 22-28 августа 2006 г.). Т. 1. С. 30.

24. Валиуллин А.Н. Схемы повышенной точности для задач математической физики. — Новосибирск: НГУ, 1973.

25. Васильев В.И., Попов В.В., Тимофеева Т.С. Вычислительные методы в разработке месторождений нефти и газа — Новосибирск: СО РАН, 2000.

26. Васин В.В., Сидоров А.Ф. О некоторых методах приближенного решения дифференциальных и интегральных уравнений // Изв. вузов. Математика. 1983. N 7. С. 13-27.

27. Вершинин С.В., Сидоров А.Ф. О поведении решений уравнений двойных волн в окрестности области покоя // ПММ. 1974. Т.39, вып.6. С.1043-1050.

28. Галактионов В.,А., Посашков С.А., Свирщевский С.Р. Обобщенное разделение переменных для дифференциальных уравнений с полииомиальиыми нелинейностями // Диф-ференц. уравнения, 1995, т. 31, N 2, с. 253-261.

29. Галактионов В.А., Посашков С.А. О новых точных решениях параболических уравнений с квадратичной нелинейностью // Режимы с обострением. Эволюция идеи: Законы коэволюции сложных структур. М., 1999, с. 190-207.

30. Годунов С.К„ Забродин А.В., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики — М.: Наука, 1976.

31. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука. 1977.

32. Дородницын А.А. Некоторые случаи осесимметричпых сверхзвуковых течений газа //

33. Сборник теоретических работ по аэродинамике. М.: Оборонгиз, 1957. С. 77 88.

34. Емельянов К.В. О разностном методе решения третьей краевой задачи для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной // Журнал вычислительной математики и математической физики. Т. 15. № 6. 1975. С. 1457-1465.

35. Калашников А.С. Некоторые вопросы качественной теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений второго порядка // Успехи математических наук, 1987. т. 42, вып. 2(254), с. 135-176.

36. Калиткин Н.Н., Ритус И.В. Комплексная схема решения параболических уравнений. М.,1981. (Препринт / ИПМ АН СССР, № 32).

37. Ковалевская С.В. К теории дифференциальных уравнений в частных производных // Научные работы. М.;Л.: Изд-во АН СССР. 1948. С. 7-50.

38. Козмапов М.Ю. Метод решения некоторых краевых задач для гиперболических систем квазилинейных уравнений первого порядка с двумя переменными // ПММ, 1975, т. 39, вып. 2, с. 253-259.

39. Ковеня В.М., Яиеико Н.Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики — Новосибирск: Наука, 1981.

40. Коковихииа О.В., Сидоров А.Ф. Специальные конструкции рядов для решения нелинейных уравнений с частными производными // Числ. методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1984, т. 15, N 3, 1984, с. 72-84.

41. Крукиер Л.А., Шевченко И.В. Моделирование гравитациониого режима течения грунтовых вод // Труды VIII Всероссийской школы-семииара "Современные проблемы математического моделирования". Ростов-па-Дону: Изд. РГУ, 1999.

42. Кумсков А.И., Мажорова О.С., Попов Ю.П. Об устойчивости разностных схем для уравнения теплопроводности. М., 1983. (Препринт / ИПМ АН СССР, № 131).

43. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 830 С.

44. Курмаева К.В., Титов С.С. Обобщение аналитических решений J1.В.Овсянникова для трансзвуковых течений // Прикладная механика и техническая физика, 2005, т. 26, N 6, с. 14-25.

45. Курмаева К.В., Титов С.С. Аналитическое построение ближнего поля трансзвукового течения около тонкого тела вращения / / Сибирский журнал индустриальной математики, 2005, т .8, N 3(23), с. 94-101.

46. Курмаева К.В. Задача Коши для течений газа с данными на оси симметрии // Труды 36-й региональной Молодёжной школы-конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2005, с. 151-156.64