Моделирование процессов фильтрации в упругодеформируемых средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Подоплелов, Вячеслав Васильевич

• Подоплелов, Вячеслав Васильевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Подоплелов, Вячеслав Васильевич

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

Обзор литературы, состояние вопроса, проблематика.

I ГЛАВА. ФИЛЬТРАЦИЯ ГАЗА.

1. Уравнения фильтрации газа. Основные краевые задачи.

2. Метод материального баланса.

3. Метод интегральных соотношений.

4. Численное исследование краевых задач фильтрации газа.

5. Выводы.

II ГЛАВА. ФИЛЬТРАЦИЯ ЖИДКОСТИ В СЛУЧАЕ НЕЛИНЕЙНОГО ЗАКОНА.

1 .Постановка задачи. Основные краевые задачи.

2.Влияние депрессии на положение фронта смыкания трещин.

3. Построение решения для различных фаз процесса в случае плоской симметрии.

3.1.Первая фаза процесса.

3.2.Вторая фаза процесса.

4. Построение решения в случае цилиндрической симметрии.

4.1.Задача с заданным постоянным забойным давлением.

4.2.Задача с заданным постоянным забойным давлением.

5. Фильтрация неньютоновской жидкости.

6. Сравнение с моделью.

7. Выводы.

III ГЛАВА. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ГИДРОРАЗРЫВА

ПЛАСТА.

1. Постановка задачи.

2. Моделирование с использованием нелинейного и линейного законов.

3. Линейный закон фильтрации.

4. Нелинейный закон фильтрации.

5. Режимы с обострением.

6. Численный анализ.

7. Внутрипочвенное орошение.

8. Выводы.

IV ГЛАВА. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ФИЛЬТРАЦИИ.

ОПТИМАЛЬНЫЕ РЕЖИМЫ ДОБЫЧИ НЕФТИ И ГАЗА.

1. Применение периодических режимов фильтрации в нефтепромысловой практике.

2. Моделирование периодических процессов.

3. Анализ результатов по периодическим процессам. Выводы.

4. Оптимальные режимы добычи нефти.

5. Оптимальные режимы добычи газа.

6. Выводы.

V ГЛАВА. НЕИЗОТЕРМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ФИЛЬТРАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ.

1. Анализ неизотермической фильтрации.

2. Автомодельные решения нелинейного уравнения фильтрации.

2.1.Плоские волны.

2.2.Цилиндрические и сферические волны.

3. Приближенные решения в случае произвольных граничных условий.

4. Прогрев упругосжимаемого трещиноватого пласта при закачке горячей жидкости.

5. Прогрев пласта двойной структуры.

6. Неизотермическая фильтрация жидкости при нелинейном законе.

7. Автомодельные процессы неизотермической фильтрации газа.

8. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование процессов фильтрации в упругодеформируемых средах»

Обзор литературы. Состояние вопроса. Проблематика.

Характерные свойства.

Значительная часть месторождений нефти и газа в мире относится к так называемому трещиноватому типу [42,68,107]. Коллекторы таких месторождений представлены, в основном , известняками, доломитами , песчаниками и состоят из пористых блоков, разделенных развитой системой взаимосвязанных трещин.

Для трещиноватых пород характерно, что объем трещин значительно меньше объема пор блоков, в то же время проницаемость системы трещин гораздо выше проницаемости системы пор. Указанные параметры трещин и блоков отличаются на порядки, поэтому с качественной стороны можно считать [16], что, в основном , жидкость содержится в пористых блоках , а движется к скважине по трещинам.

Эта особенность определяем три характерные стадии разработки трещиновато-пористых коллекторов [42,68]. На первой стадии нефть добывают, в основном, за счет упругоемкости трещин, пластовое давление падает сильно. На второй стадии падение пластового давления значительно замедляется и нефть поступает в скважину из трещин и пор матрицы. На третьей стадии основной объем нефти поступает из пор матрицы, трещины играют роль подводящих каналов.

Следует заметить, однако, что процесс разработки трещиноватых коллекторов носит гораздо более сложный характер [144]. При быстром падении пластового давления залежь работает в основном, в режиме растворенного газа. При замедлении падения давления в наиболее крупных полостях коллектора образуются газовые пузыри, вследствие этого газонасыщенность основной массы нефти существенно уменьшается. Выделившийся газ при дальнейшем снижении пластового давления перемещается в направлении крупных трещин и газовой шапки. В одном трещиноватом коллекторе может быть несколько зон с различным механизмом работы, что следует учитывать при прогнозировании суммарной добычи. Существенное влияние на разработку залежи могут оказывать также процессы теплопереноса.

Следствием контрастности свойств трещин и блоков является также запаздывание отклика пласта на изменение внешних условий, определяющее, в частности, «двухслойный» характер кривых давления [42,34].

Для определения нефтеносных зон интенсивной трещиноватости используется комплексный подход с привлечением данных сейсморазведки, структурной геологии, опробования скважин, анализа керна и т.д. (см., напр., [37]).

Экспериментальные данные нередко указывают на связь трещиноватости с глубиной. По результатам исследования керна в [37] установлено расширение зоны трещиноватости с глубиной. Возможность образования трещиновато-порстых коллекторов обсуждалась в [116].

Для ряда нефтяных месторождений с трещиноватыми коллекторами, например, в Западной Сибири [52,108,117,120,121], характерны повышенные температуры и аномально высокие пластовые давления (АВПД). Методы прогнозирования АВПД рассмотрены в [48], модель механизма формирования трещиноватых коллекторов предложена в [111]. Особенности разработки месторождений с АВПД обсуждались в [73].

Результаты исследований [82,100,43,66] указывают на ярко выраженную анизотропию трещиноватой среды и более сильную, чем в пористых коллекторах, зависимость проницаемости от эффективного давления жидкости.

Природные системы трещин.

Данные геологических исследований свидетельствуют о преобладании в горных породах тектонических трещин, которые обычно распределены не хаотически, а по определенной системе [100,50,99,125,139,142,143]. Очевидно, существует определенная связь между микротрещинами на глубине и макротрещинами на данной поверхности (макротрещины могут развиваться по микротрещинам). На основании этого параметры трещиноватости (раскрытие, плотность, ориентацию) можно определять по результатам наблюдений на дневной поверхности (геологические и геофизические методы) в комплексе с анализом керна и гидродинамическими методами. В [128] сравниваются десять различных методов определения основного направления горизонтальной трещиноватости на американских нефтяных месторождениях, отмечается хорошая согласованность результатов с данными разработки.

Согласно [68,100] горные породы характеризуются, как правило, двумя взаимно перпендикулярными вертикальными или близкими к вертикальным системами трещин. В то же время в [42] на основании полевых наблюдений отмечается, что, помимо упорядоченных, в коллекторах существуют трещины, для ориентации которых (а также для их раскрытия) трудно указать какую-либо закономерность. Эти трещины связаны с различными поверхностными явлениями (оползни, оседание пластов и т.д.). Кроме того, значительная часть запасов нефти и газа сосредоточена в терригенных коллекторах, представленных осадочными породами, в которых возможны горизонтальные трещины. По результатам исследования керна в [37] установлено, что трещины, параллельные оси керна, характерны для небольших глубин; горизонтальные трещины отмечены в глубоких горизонтах.

Параметры трещиноватых коллекторов.

Приведем основные сведения [42,68] по нефтяным месторождениям с трещиноватыми коллекторами.

Различают два основных типа трещиноватых коллекторов: трещиновато-пористые и трещиновато-кавернозные.

В коллекторах первого типа пористость матрицы может достигать (20-30)% к общему объему породы в залежи, составляя в среднем (11-13)%. Проницаемость матрицы изменяется от нескольких миллидарси (мО) до нескольких дарси (в системе СИ Ш = 10~12/л2), составляя в среднем (100-200)м0. Пористость трещин изменяется от долей процента до (1-2)%, составляя в среднем (0.2-0.3)%; проницаемость трещин на несколько порядков превосходит проницаемость матрицы.

В трещиновато-кавернозных коллекторах пористость матрицы составляет в среднем (3-4)%; проницаемость матрицы обычно очень низкая (меньше 1мБ), нередко межзерновые поры заполнены водой. Пористость трещин и каверн, в основном, не превосходит 1%. Чисто трещиноватые коллекторы (матрица практически непроницаема) можно отнести ко второму типу. Примером являются коллекторы в глинистых породах [74,109], например, в сланцевых глинах [125], не обладающих эффективной пористостью, но содержащих множество трещин.

Раскрытие трещин в пласте может быть [68,100] от нескольких мкм до (100-150)мкм, составляя в среднем (10-50)мкм. По известным данным о распределении трещин считается, что размеры блоков матрицы составляют обычно сантиметры или десятки сантиметров, а участки однородной трещиноватости могут простираться на сотни метров.

При расчете упругого режима фильтрации важное значение имеет коэффициент упругоемкости залежи Д.Согласно расчетам [68] меньшие значения /?3, в среднем /?3 «0.5-1 (Г10/7а"1, характерны для залежей с трещиновато-кавернозными коллекторами; большие значения, в среднем Д,«5.9-10"10Па'1- для залежей с пористыми коллекторами. Для залежей с трещиновато-пористыми коллекторами коэффициент упругоемкости имеет промежуточные значения, составляя в среднем /З3 «1.2-10-10 Ля"1.

Смыкание трещин.

В нефтепромысловой практике рекомендуется разрабатывать трещиновато-пористые месторождения с учетом их специфики. Так, например, в [108] предлагается следующий оптимальный режим разработки: забойное давление выше давления насыщения, совместное дренирование системы трещин и матрицы, предупреждение смыкания трещин и разрушения призабойной зоны (последнее, возможно, имеет место при глубоких депрессиях).

Представление о возможности смыкания трещин при снижении пластового давления ниже некоторого критического а достаточно широко распространено в литературе и нефтепромысловой практике. Согласно условию С.А.Христиановича [54] плавное смыкание гладких стенок трещины возможно при определенном соотношении между ее размерами и внешними силами.

Смыканием трещин в [7] объясняется резкое падение дебитов и изменение темпа снижения давления, отмеченного при разработке ряда месторождений с АВГТД.

В [32] по индикаторным диаграммам прямого и обратного хода эксплутационных скважин определен интервал критических значений депрессии, на котором происходит смыкание трещин. Существование такого интервала связывается с негладкостью стенок трещин и постепенным разрушением контактных выступов. В большинстве экспериментов [32], в отличие от [7], дебит достигал состояния насыщения к моменту смыкания трещин.

Вывод о смыкании трещин при определенной депрессии сделан в [97] на основании результатов исследования трещиновато-пористого коллектора одного из месторождений Таджикистана. При этом отмечается рост коэффициента сжимаемости трещин с увеличением их раскрытия, при раскрытии менее 15 мкм коллектор идентифицировался как пористый.

Как отмечено в [131], явление закрывания или открывания микротрещин затрудняло процесс опробования горизонта горных пород трубчатым пластовым пробоотборником. Авторами введен коэффициент замыкания трещин с размерностью м2/н, входящий в выражения истинной и эффективной емкостей трещин и определяющийся по индикаторным диаграммам.

- 10В [59] экспериментально исследовано самопроизвольное раскрытие трещин вследствие разгрузки при бурении глинистых пород, слагающих стенки ствола скважины. Величина раскрытия зависит от напряженного состояния породы, времени и состава бурового раствора.

Укажем также на Справочное руководство по проектированию разработки и эксплуатации нефтяных месторождений [34], согласно которому в трещиновато-пористом коллекторе в общем случае существуют зоны с закрытыми трещинами (прилегает к скважине) и открытыми трещинами (внешняя зона).

По оценкам из указанных выше работ критическое значение пластового давления <т меньше начального пластового на (10-20)%.

Краткий обзор литературы по подземной гидромеханике.

Анализ процессов фильтрации в трещиноватых породах опирается на основные положения подземной гидромеханики, выдвинутые Л.С.Лейбензоном, М.Маскетом, В.Н.Щелкачевым, И.А.Чарным и развитые в дальнейшем в работах [16,54,5,10,15,31,55,75]. Физика и гидравлика нефтяных и газовых пластов рассматривалась в [41,63,96,98], в [73,25,44] исследован процесс разработки сложных коллекторов. В [49] проведен анализ деформаций упругих коллекторов и разработана соответствующая методика подсчета запасов нефти. Различные линейные и нелинейные задачи теории фильтрации рассмотрены в [2,46,79], методы численного решения развиты в [115]. Теория фильтрации вязкопластичной жидкости, примером которой является нефть, построена в работах [24,75,78,95,106]. Большое значение для интенсификации нефтегазодобычи имеет теория фильтрационных течений, сопровождающихся физико-химическими процессами [35]. Механика насыщенных пористых сред развита в [82,81]. В последнее время построена теория релаксационной фильтрации, основы которой сформулированы в [77].

При значительных скоростях изменения давления жидкости и газа как во времени, так и в пространстве процесс фильтрации может описываться законом, отличным от закона Дарси [113].

Фильтрация с учетом необратимых деформаций пласта рассмотрена в [1,118], в ползучих средах - в [8,21,39].

Процессы фильтрации в трещиноватых средах рассмотрены в отдельных главах монографий [16,10,55,54,81,82]. Проблемы разработки нефтяных и газовых месторождений с трещиноватыми коллекторами исследованы в [42,43,68,67]. Вопросам гидродинамики трещиноватого пласта посвящены монографии [116,80]. Возможность создания хранилищ газа в истощенных трещиновато-пористых коллекторах рассмотрена в [60].

Большое значение для идентификации коллекторов имеют промысловые исследования скважин и пластов [30,61]. Результаты испытаний трещиноватых коллекторов представлены в [32].

Эффективные характеристики трещиноватых пластов.

Эксперименты [100] свидетельствуют о том, что движение различных жидкостей в щелях, моделирующих трещины в реальных коллекторах, в основном, следует формуле Буссинеска (критическое число <Нс?«600 определялось по полуширине щели). Следовательно, гидродинамическая проводимость единичной трещины зависит от куба ее раскрытия. В то же время в упругом пласте раскрытие трещины линейно зависит от эффективного давления находящейся в ней жидкости. Отсюда следует важный вывод [100,53]: проницаемость упругого трещиноватого коллектора зависит от третьей степени эффективного давления жидкости. Возможен также выбор других форм указанной . зависимости, например, экспоненциальной [81] на основе экспериментов [43], логарифмической [126,129].

В общем случае вследствие анизотропии трещиноватой среды ее проницаемость описывается соответствующим тензором [100,119]. При хаотическом распределении трещин по ориентациям и размерам трещиноватая среда эквивалентна пористой с некоторой эффективной проницаемостью [70].

Согласно подходу [100] все трещины делятся на несколько систем, для каждой из которых определяется среднее направление нормали и объемная плотность и затем строятся эллипсы трещинной проницаемости. Для различных комбинации систем трещин горизонтальная проницаемость при одинаковых значениях плотности и раскрытии Ъ, к имеет вид кх ~ЬИ3. В [64] на основе подхода [100] аналитически и экспериментально исследована связь между параметрами неравномерного разносного нагружения породы и тензором ее проницаемости. В [30] определена эффективная проницаемость многослойного пласта, сложенного периодически из пород различной проницаемости.

Фильтрация в трещиновато-пористой среде в рамках модели с быстроосцилирующими свойствами рассмотрена в [22]. Установлена зависимость проницаемости трещин от проницаемости блоков, предложена методика определения параметров пласта для третьей стадии процесса.

Модели фильтрации с использованием одного уравнения.

При длительной разработке трещиновато-пористый коллектор идентифицируется как гранулярный и используется одно уравнение упругого режима фильтрации с эффективными параметрами.

В [7] двойной коллектор также рассматривается как пористый, но со скачкообразным изменением проницаемости (функции пластового давления) при некотором, характерном для данного пласта, значении давления <х. Предполагается, что все трещины закрыты при рх<сг. Выяснено влияние параметров системы на движение фронта смыкания трещин по месторождению.

Кроме зон открытых и закрытых трещин в [71] допускается возможность возникновения вблизи скважины области повышенной проницаемости, образовавшейся вследствие разрушения породы при глубокой депрессии.

Подтверждением этой гипотезы является, в частности, повышенный вынос породы, имевшей место в указанных условиях из скважин.

Запаздывание реакции фильтрационного потока на изменение внешних условий, характерное для трещиновато-пористой среды, можно описать уравнением с релаксационными членами: д( др кА

Р + || 0)

Этот подход был предложен в теории релаксационной фильтрации [77], основное уравнение которой для пористых сред совпадает с (1).

В некоторых работах (напр., [137]) трещиноватый коллектор моделируется средой, содержащей системы недеформируемых трещин.

При учете зависимости проницаемости деформируемых трещин от эффективного давления жидкости в них фильтрация в трещиноватой среде описывается квазилинейным уравнением теплопроводности. Автомодельные решения этого уравнения исследованы в [13,12,57], процедура построения приближенных решений с использованием автомодельных разработана в [11]. Доказательство конечности скорости распространения возмущений дано в [14].

Кроме зависимости для трещин кх (/>,)- широко распространен подход [81] с введением экспоненциальной зависимости проницаемости, пористости трещин, плотности и вязкости жидкости от давления жидкости. Точные и приближенные решения полученного таким образом уравнения нелинейно-упругого режима фильтрации построены в [43]. Нелинейный закон фильтрации в деформируемом трещиноватом пласте рассмотрен в [3,23,105], методика учета нелинейно-упругих свойств пласта и жидкости разработана в [65].

Фильтрация жидкости в анизотропном деформируемом трещиноватом пласте исследована в [47]. В [138] рассмотрены трехмерные уравнения сохранения массы, энергии и количества движения фильтрационного течения, при этом в последнем уравнении учтен процесс распространения т трещины. Профили давления жидкости в расширяющейся трещине получены по заданным полуэмпирическим формулам для скорости.

Модель взаимопроникающих континуумов. Линейный режим фильтрации.

Сложная, нерегулярная структура трещиноватых пород, представление о которой даже с использованием всех имеющихся методов, можно получить лишь весьма приближенное, определяет перспективность описания процессов фильтрации в таких средах с позиций механики сплошных сред.

В модели [17] трещиновато-пористая среда рассматривается как совокупность двух взаимопроникающих континуумов, каждый со своей пористостью и проницаемостью, и массообменом между ними. Таким образом, в каждой точке пространства вводятся осредненные характеристики - два давления и две скорости фильтрации соответственно для трещин и пористых блоков.

Система уравнений, описывающая фильтрацию слабосжимаемой жидкости по закону Дарси, получается из уравнений неразрывности обеих сред и имеет следующий вид: дг \ц) /л

2)

При выводе [19] обе среды предполагаются слабосжимаемыми, массообмен между ними принят в квазистационарной форме ^^——, где а - безразмерный коэффициент.

Для трещиновато-пористых коллекторов к]»к2,т2»т1. Предполагая [17], что сжимаемость трещин достаточно мала по сравнению со сжимаемостью блоков, и пренебрегая малыми членами в (2), получаем уравнения

При исследовании процессов фильтрации в трещиновато-пористых пластах широко используются упрощенные уравнения (3) и варианты системы (2), полученные отбрасыванием одного из малых членов. Анализ [82] развития возмущения в среде показал, что уравнениями (3) можно пользоваться лишь при времени (>>т, где г -характерное время запаздывания системы, а физически наиболее оправдана постановка задачи с учетом сжимаемости трещин. Последний вывод подтверден численными расчетами [9], выполненными при сравнении моделей (3),(2) и вариантов (2). Это же заключение сделано в [42], где соответствующий подход (метод Уоррена-Рута) сопоставляется с другими. Отмечено, что модель Уоррена-Рута дает наиболее удовлетворительные результаты в случае контрастных характеристик матрицы и трещин.

Остановимся более подробно на выражении массообмена между трещинами и блоками.

Для существенно нестационарных процессов это выражение можно получить [29] из решения внутренней задачи фильтрации для блоков при задания давления на их поверхности. Некоторые оценки показывают, что в первом приближении это давление может быть принято постоянным. Решение внутренней задачи определяется геометрической формой блока и известно в простейших случаях из теории теплопроводности.

В некоторых работах массообмен между блоками и трещинами явно зависит от времени и предполагается затухающим от времени (напр. в виде интегрального члена). В [30] используется модель фильтрации с представлением блоков в виде распределенного источника.

Однако, как показал Каземи [42], в задачах подземной гидромеханики квазистационарное состояние течения из блоков матрицы в трещины наступает очень быстро. Кроме того, анализ решений [42], полученных для других выражений массообмена, показал, что эти решения не содержат новых элементов по сравнению с подходом Уоррена-Рута, усложняя лишь процедуру. Следовательно, квазистационарное выражение массообмена в (2) является вполне приемлемым. Это выражение было принято в [33] основным при исследовании влияния массообмена на различные фильтрационные процессы.

Вопросы фильтрации жидкости и газа широко представлены в работах последнего десятилетия. В [1Ч30]^систематизировано представлены последние достижения в области теоретического моделирования, численного исследования и интерпретации экспериментальных результатов. Авторы -известные специалисты по течениям в пористых средах.

В [145] проведены исследования термофизических процессов в пористых средах, наполненных жидкостью. В процессе исследования используются три масштаба: молекулярный, макромасштаб (континуальный подход), мегамасштаб. Основные уравнения записаны в тензорной форме. Учитываются упругие свойства среды.

В работе [123] рассматривается процесс заполнения пористой структуры жидким металлом, сопровождающийся частично переходом металла в твердое состояние. Доказываются теоремы существования и единственности для задачи о свободной движущейся границе между жидкой и твердой фазами. Постановка задачи включает в себя одно параболическое уравнение, два обыкновенных дифференциальных уравнений и одно алгебраическое уравнение.

В [124] рассматриваются процессы фазового перехода, в которых термодинамическими переменными являются температура и параметр порядка. Идентифицируются различные классы с иллюстрациями, примерами.

В [45] рассматривается общая задача фильтрации с произвольными полигональными непроницаемыми стенками и классические схемы фильтрации на наклонных водоупорах. Установлены теоремы существования и единственности решений.

В [133] исследование термодинамически неравновесных процессов в пористой среде проводится на основе модели, описываемой двумя уравнениями. Уравнения энергии для жидкой и твердой фазы получены с использованием техники осреднения. Полученные теоретические результаты демонстрируются на примере стационарного переноса тепла в пористой среде из геометрически подобных ячеек.

В [132] все течения рассматриваются как суперпозиция двух элементарных течений: одно от источника и второе - переходного типа. Эффективный тензор проницаемости меняется со временем. Выделено три характерных времени релаксации.

В [134] показано, что температура, осредненная по объему пористой среды, через которую течет жидкость, играет такую же роль для осредненной внутренней энергии, что и температура в точке для внутренней энергии.

В [135] предложен новый подход к анализу течений в пористых средах, основанный на физических принципах. Градиент давления является функцией от геометрических макросвойств среды, термофизических свойств среды и жидкости, скорости жидкости относительно скелета и от тензора градиента скорости.

В [136] введено новое определение химического потенциала для пористой среды. Свойства потенциала определяются на основе модификации известных подходов. Получены законы Фика и Дарси в общем виде.

С использованием разложения по малому параметру в [110] задача сведена к бесконечной последовательности краевых задач, решение которых получено методом интегральных преобразований. Нулевое приближение соответствует осредненному по толщине пласта решению основной задачи.

В [62] предложена математическая модель, позволяющая изучать нестационарные процессы вытеснения нефти водой и дать оценку эффективности циклического воздействия на пласт с целью повышения его нефтеотдачи. Получено оптимальное значение периода воздействия, согласующееся с промысловными экспериментальными данными.

-18В [101] численно исследовано температурное поле нефтяного пласта, обусловленное эффектом Джоуля-Томпсона и теплотой разгазирования жидкости в нестационарном поле давления при вытеснении нефти водой.

В [69] приведен краткий обзор работ по процессам переноса в пористых средах за последние 30 лет.

В [94] представлены результаты экспериментальных исследований деформаций горных пород, возникающие при нестационарной фильтрации жидкости в тонких глубокозалегающих трещиновато-пористых пластах. Получены уравнения для описания этих деформаций.

В [114] получены уравнения релаксационной фильтрации. Изучены закономерности развития скачков давления.

На основе формализма дробного интегродифференцирования в [72] дается обобщение теории фильтрации в пористых средах с фронтальной геометрией.

Модель взаимопроникающих континуумов. Нелинейно-упругий режим фильтрации.

Нелинейно-упругий режим фильтрации жидкости в средах с двойной пористостью рассматривался впервые в [10]. При экспоненциальной зависимости параметров пласта и жидкости от давления жидкости система уравнений имеет вид: е\У\~—пкАщ —^ = 0 д( т

1 I \ (4>

7/ Т и, = ехр[-а, -/>,)], где е1 «\,у,,п,к - параметры системы.

Для решения упрощенной системы (4) (не учитывается поток по блокам) в [4] используются метод линеаризации с последующим применением преобразования Лапласа и метод интегральных соотношений. Второй метод применяется при пренебрежении пористостью трещин (в (4) не учитывается диг> диУ1 член е\У\~^~) и замене производной на линеаризованное выражение ди2

Вариант модели (4) с введением двучленного закона фильтрации в трещинах предложен в [117].

Уравнения (2), (4) являются частными случаями уравнений вида: условия интегрируемости которых исследованы в [76]. Найдены необходимые условия существования нетривиальных законов сохранения для системы (5). Условия интегрируемости представляют собой переопределенную систему нелинейных уравнений в частных производных. Обобщенная разрешимость второй краевой задачи нелинейной фильтрации жидкости в трещиновато-пористой среде рассмотрена в [102].

На основании изложенных выше экспериментальных и теоретических сведений можно сделать следующее заключение.

Фильтрацию в деформируемых трещиновато-пористых породах целесообразно описывать с позиций механики сплошных сред, представляя среду совокупностью двух взаимопроникающих континуумов, каждый со своими пористостью и проницаемостью. Учитывая недостаточность сведений о системе трещин, перспективно ее вероятностное описание на начальном этапе с последующим уточнением в процессе разработки. В уравнениях фильтрации должна быть учтена сильная нелинейная зависимость параметров трещин от напряженного состояния среды и давления жидкости в трещинах, в частности, возможность существенной деформации трещин, вплоть до их смыкания. При этом, согласно [49], именно упругие деформации имеют определяющее значение для разработки

5)

Заключение по состоянию проблемы. месторождения. Выражение массообмена целесообразно брать в квазистационарной форме.

В общем случае задача фильтрации в трещиновато-пористой среде относится к задачам типа Стефана с движущимся фронтом смыкания трещин. Заметим, что в рамках достаточно общего подхода [3] исключается возможность смыкания трещин и, следовательно, невозможна постановка задачи типа Стефана.

Предметом исследования в данной работе является модель трещиновато-пористой среды с указанными свойствами, предложенная в [26]. Возможно, что эта модель в большей степени соответствует глубокозалегающим пластам с АВПД.

Краткое содержание диссертации.

В I главе приведен вывод уравнений фильтрации газа в упругосжимаемой трещиновато-пористой среде, выполнено качественное исследование модели, приведены основные краевые задачи уравнения фильтрации.

Во II главе приведены уравнения фильтрации жидкости в упругосжимаемой трещиновато-пористой среде в случае нелинейного закона, рассматриваются основные краевые задачи фильтрации жидкости.

В III главе рассматривается модель гидроразрыва пласта.

В главе IV исследованы периодические режимы фильтрации, найдены оптимальные режимы добычи нефти и газа.

В главе V рассмотрены неизотермические процессы фильтрации в нелинейной трещиновато-пористой среде.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Подоплелов, Вячеслав Васильевич

Основные результаты и выводы выполненного исследования заключаются в следующем:

Приведен вывод нелинейной системы уравнений фильтрации газа в упругосжимаемой трещиновато-пористой среде, выполнено качественное исследование модели, приведены и решены приближенными методами основные краевые задачи теории фильтрации.

Получены аналитические решения дифференциальных уравнений фильтрации жидкости в случае цилиндрической симметрии с граничными условиями 2 рода на скважине и при периодическом режиме фильтрации.

Найдено аналитическое решение для оптимального управления забойным давлением.

С учетом недостаточности информации о трещиноватости пласта для расчета его эффективных характеристик на начальном этапе разработки целесообразно использовать вероятностный подход. В последующем при длительной работе коллектора с устойчивыми показателями эффективные характеристики могут быть уточнены на основе аналогичных результатов из теории дисперсных систем.

В целом, реакция модели на внешнее возмущение существенно отличается от поведения соответствующей линейной системы - нелинейность модели демфирует возмущение, затрудняя его распространение как вдоль пласта, так и из трещин в блоки. Вместе с тем, стабилизация процессов фильтрации происходит значительно медленнее. Полученные оценки времени установления могут быть использованы при идентификации коллектора.

-128-Заключение.

В рамках исследованной физической модели учтены основные особенности процессов фильтрации жидкости и газа в трещиноватых и трещиновато-пористых коллекторах, прежде всего сильная нелинейная зависимость этих процессов от напряженного состояния коллекторов и давления жидкости. Эта зависимость хорошо известна из промысловых и лабораторных наблюдений, однако в используемых моделях отражена явно недостаточно, что приводит к неадекватности этих моделей реальным коллекторам.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Подоплелов, Вячеслав Васильевич, 2004 год

1. Абасов М.Т., Горбунов А.Т., Шахвердиев А.Х. // Нефтепромысловое дело. 1981. №5. С. 3-6.

2. Абуталиев Ф.Б. Решение задач неустановившейся фильтрации. Ташкент. 1972.

3. Абуталиев Ф.Б., Наказная Л.Г. // Изв. ВУЗов. Нефть и газ. 1968. № 1.С. 58-62.

4. Авакян Э.А., Горбунов А.Т., Николаевский В.Н. В сб.: Теория и практика добычи нефти. М., 1968. С. 47-58.

5. Азиз X., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем. М., 1982.

6. Алишаев М.Г., Розенберг М.Д., Теслюк Е.В. Неизотермическая фильтрация при разработке нефтяных месторождений. М., Недра, 1985. 270 с.

7. Алишаев М.Г., Хайретдинов Н.Ш. //Изв. АН СССР, МЖГ. 1985. №6 С. 78-83.

8. Аметов И.М., Басниев К.С. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1981. № 4. С. 150-153.

9. Арсланов A.A., Мусаев Р.Т. // Изв. АН АзССР. Сер. техн. наук. 1983. № 4. С. 42-44.

10. Ю.Бан А., Богомолова А.Ф., Максимов В.А., Николаевский В.Н., Оганджанянц В.Г., Рыжик В.М. Влияние свойств горных пород на движение в них жидкости. М., 1962.

11. Баренблатт Г.И. // Изв. АН СССР. ОТН. 1954. № 9. С. 35-49.

12. Баренблатт Г.И. //ПММ. 1953. Т. 17, № 6. С. 739-743.

13. Баренблатт Г.И. О некоторых неустановившихся движениях жидкости и газа в пористой среде. Институт механики Академии Наук. ПММ. 1952. Т. 16, № 1. С. 67-78.

14. Н.Баренблатт Г.И., Вишик М.И. // ПММ. 1956. Т.20, № 3. С. 411-417.

15. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. М., 1984.

16. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. М.,Недра, 1972г.

17. Баренблатт Г.И., Желтов Ю.П. // Докл. АН СССР. 1960. Т. 132, № 3. С. 545-548.

18. Баренблатт Г.И., Желтов Ю.П. Об основных уравнениях фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах // Доклад АН СССР , 1960. т.132, №3, С.545-548.

19. Баренблатт Г.И., Желтов Ю.П., Кочина И.Н. // ПММ , 1960, т.24, №5, С.852-864.

20. Баренблатт Г.И., О приближенном решении задач одномерной нестационарной фильтрации в пористой среде. Институт механики Академии Наук, Прикладная математика и механика. Том 18, вып.3,1954.

21. Барсегян P.M. // Докл. АН СССР. 1980. Т. 252, № 4. С. 817-820.

22. Басниев К.С., Бендриковецкий П.Г., Дединец E.H. // ИФЖ. 1988. Т. 55, № 6. С. 940-948.

23. Басниев К.С., Серова Н.В. Деп. В ВИНИТИ 12.10.88, № 7359-В88.

24. Бернадинер М.Г., Ентов В.М. Гидродинамическая теория фильтрации аномальных жидкостей. М., 1975.

25. Борисов Ю.П., Воинов В.В., Рябинина З.К. Влияние неоднородности пластов на разработку нефтяных месторождений. М., 1970.

26. Буевич Ю.А. Структурно-механические свойства и фильтрация в упругом трещиновато пористом материале. //ИФЖ, т.46,№4, 1984г.,С.593-600.

27. Буевич Ю.А., Нустров B.C. // ИФЖ, 1985г., т.48,№6, С.943-950.

28. Буевич Ю.А., Нустров B.C. О режимах раскрытия трещин при закачивании жидкости в трещиновато-пористую среду. МЖГ. 1988. Т.15.№ 5. С.119-125.

29. Буевич Ю.А., Устинов В.А. // ИФЖ. 1990. Т. 59, № 5. С. 807-816.

30. Бузинов С.Н., Умрихин И.Д. Исследование нефтяных и газовых скважин и пластов. М., 1984.

31. Булыгин В.Я. Гидромеханика нефтяного пласта. М., 1974.

32. Вадецкий Ю.В., Обморышев K.M., Окунь Б.И. Испытание трещинных коллекторов в процессе бурения. М., 1976.

33. Важнова И.А. Исследование влияния массообмена на фильтрационные процессы. Дисс. . канд. техн. наук. Баку, 1986.

34. Василевский В.Н., Гиматудинов Ш.К., Горбунов А.Т. и др. Справочное руководство по проектированию разработки и эксплуатации нефтяных месторождений. Добыча нефти. М., 1983г.

35. Веригин H.H., Ентов В.М. Тезисы докл. 5 Всес. Съезда по теор. и прикл. мех. Алма-Ата, 1981.

36. Вернер И.М., Нустров B.C. // Изв.ВУЗов. Нефть и газ. 1987. №11 С.31-34.

37. Волков Э.Я. В сб.: Методы освоения Зап.-Сиб. нефтегаз. комплекса. Тюмень, 1985. С.3-6.

38. Гаврилов А.Г., Закиров Р.Х., Штанин A.B. В сб.: Исследование по подземной гидромеханике. Казань, 1983. №6 С.25-31.

39. Гайдуков Н.И. //Докл. АН СССР. 1982. Т. 264, № 1. С. 66-68.

40. Галактионов В.А., Михайлов А.П. Препринт №53 ИПМ АН СССР. М., 1977.

41. Гиматудинов Ш.К. Физика нефтяного и газового пласта. М., 1971.

42. Голф-Рахт Т.Д. Основы нефтепромысловой геологии и разработки трещиноватых коллекторов. Москва, Надра, 1986г.

43. Горбунов А.Т. Вопросы разработки нефтяных месторождений, представленых трещиноватыми коллекторами. Дис. канд. техн. наук. М., 1963.

44. Горбунов А.Т. Разработка аномальных нефтяных месторождений. М., 1981.

45. Губкина Е.В., Монахов В.Н. Фильтрация жидкости в неограниченном пласте с наклонным водоупором. ПМТФ, 2003, Т. 44, № 1, С.83-94.

46. Гусейн-заде М.А., Колосовская А.К. Упругий режим в однопластовых и многопластовых системах. М., 1972.

47. Джалалов Г.И., Султанов Т.М., Гасанов А.Х. Деп. В ВНИИОЭНГ 13.07.84, № 1101 нг-84.

48. Добрынин В.М., Серебряков В.А. Методы прогнозирования аномально высоких пластовых давлений. М., 1978.

49. Добрынин В.Н. Деформации и изменения физических свойств коллекторов нефти и газа. М.: Недра, 1970г.

50. Дорофеева Т.В. Тектоническая трещиноватость горных пород в условиях формирования трещинных коллекторов нефти и газа. М., 1986.

51. Ефимцев C.B., Нустров B.C., Охезин С.П., Подоплелов В.В. Об одной задаче оптимизации фильтрации в нелинейных пористых средах. Труды 12 научной межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», Самара, 2002. С. 45-48.

52. Ефремов Е.П., Сонич В.П., Ильин В.М. // Нефтяное хозяйство. 1984. № 6. С.29-33.

53. Желтов Ю.П. // ПМТФ. 1961. №6. С. 187-189.

54. Желтов Ю.П. Деформация горных пород. М.,Недра, 1966г.

55. Желтов Ю.П. Механика нефтегазоносного пласта. М., 1975.

56. Калиновский Ю.В. //ИФЖ. 1981. Т. 40, № 4. С. 741-749.

57. Калиновский Ю.В. Гидродинамический расчет подземных хранилищ газа, создаваемых в истощенных трещиновато-пористых коллекторах. Дис. . канд. техн. наук. М., 1978.

58. Каменецкий С.Г., Кузьмин В.М., Степанов В.П. Нефтепромысловые исследования пластов. М., 1974.

59. Конюхов В.М., А.В.Костерин, А.Н.Чекалин. Математическое моделирование вытеснения нефти водой при циклическом воздействии на трещиновато-пористый пласт. Инженерно-физический журнал,

60. Т. 73, № 4, 2000, С. 695-703.

61. Котяхов Ф.И. Физика нефтяных и газовых коллекторов. М., 1977.

62. Кречетова Т.Н., Ромм Е.С. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. № 1. С. 173-177.

63. Кулиев A.M., Касумов Н.В. // Изв. АН АзССР. Сер. наук о Земле. 1986. № 5. С. 28-35.

64. Кутовая Д.В. // Нефтяная и газовая промышленность. 1962. № 1.

65. Майдебор В.Н. Особенности разработки нефтяных месторождений с трещиноватыми коллекторами. Москва, Недра, 1980г.

66. Майдебор В.Н. Разработка нефтяных месторождений с трещинными коллекторами. Москва, Недра, 1967г., 160С.

67. Мартыненко О.Г., Н.В.Павлюкевич. Тепло- и массоперенос в пористых средах. Инженерно-физический журнал, Т.71, №1, 1998, С.5-18.

68. Маскет М. Течение однородных жидкостей в пористых средах. М., 1949.

69. Медведский Р.И., Юсупов К.С. // Нефть и газ Тюмени. Тюмень, 1969г.,С.43-45.

70. Мейланов Р.П. Обобщенные уравнения одномерной фильтрации с дифференцированиями дробной степени. Инженерно-физический журнал, Т.74, № 2, 2001, С. 34-37.

71. Мелик-Пашаев B.C., Халимов Э.М., Серегина В.Н. Аномально высокие пластовые давления на нефтяных и газовых месторождениях. М., 1983.

72. Микуленко К.И. В сб.: Гидрогеол. нефтегазонос. обл. Сиб. платформы. Новосибирск, 1982. С. 112-117.

73. Мирзаджанзаде А.Х. Вопросы гидродинамики вязкопластичных и вязких жидкостей в нефтедобыче. Баку, 1959.

74. Михайлов A.B., Шабат А.Б. // Теор. и мат. физика. 1985. Т. 62, № 2. С. 163-186.

75. Молокович Ю.М., Непримеров H.H., Пикуза В.И., Штанин A.B. Релаксационная фильтрация. Казань. 1980.

76. Молокович Ю.М., Скворцов Э.В. Одномерная фильтрация сжимаемой вязкопластичной жидкости. Казань, 1971.

77. Мухидинов Н. Газогидродинамическое исследование нелинейной фильтрации. Ташкент, 1977.

78. Наказная Л.Г. Фильтрация жидкости и газа в трещиноватых коллекторах. М., 1972.81 .Николаевский В.Н. Механика пористых и трещиноватых сред. М., 1984.

79. Николаевский В.Н., Басниев К.С., Горбунов А.Т., Зотов Г.А. Механика насыщенных пористых сред. М.,Недра, 1970г.

80. Нустров B.C. Фильтрация в деформируемых трещиновато-пористых средах. Екатеринбург, 1991г.

81. Нустров B.C., Киселева Е.Ю. Восстановление давления неньютоновской жидкости в нелинейной среде. Труды 11 научной межвузовской конференции. Самара, 29-31 мая 2001 г.

82. Нустров B.C., Киселева Е.Ю. Задача восстановления давления в трещиноватом нефтяном пласте. Труды 10 научной межвузовской конференции. Самара, 2000.

83. Нустров B.C., Плохой C.B., Подоплелов В.В. Периодические режимы фильтрации в задаче идентификации нефтяных пластов трещиноватойструктуры. Труды 9 межвузовской конференции, Самара, 25-27 мая 1999г., ч.2, С. 97-100.

84. Нустров B.C., Подоплелов В.В. Метод материального баланса в задачах фильтрации в упругосжимаемом трещиноватом коллекторе. Депонировано в ВИНИТИ 22.01.91, per. № 365-В91. 12 стр.

85. Нустров B.C., Подоплелов В.В. Моделирование процесса гидроразрыва трещиновато-пористого пласта. Труды 9 научной межвузовской конференции. Самара, 25-27 мая 1999 г., ч.2, С. 101-104.

86. Нустров B.C., Подоплелов В.В. О выборе приближения профиля давления в задаче фильтрации жидкости в упругосжимаемой трещиновато-пористой среде. Депонировано в ВИНИТИ 10.02.1988, №1143-В88.

87. Нустров B.C., Подоплелов В.В. О фильтрации газа в упругосжимаемой трещиновато-пористой среде. Инженерно-физический журнал, 1992, Т.62, № 1,С. 82-85.

88. Пирвердян A.M. Физика и гидравлика нефтяного пласта. М., 1982.

89. Попов И.П. // Нефтегаз. геол. и геофиз. 1982. № 9. С. 18-20.

90. Пыхачев Г.Б., Исаев Р.Г. Подземная гидравлика. М., 1973.

91. Рац М.В., Чернышев С.Н. Трещиноватость и свойства трещиноватых горных пород. М., 1970.

92. Ромм Е.С. Фильтрационные свойства трещиноватых горных пород. М.,Недра, 1966г.

93. Сабитов А.Р.,Шарафутдинов Р.Ф. Тепловое поле нефтяного пласта в нестационарном поле давления. Инженерно-физический журнал, Т.72, №2, 1999, С. 271-274.

94. Садыков М.К. В сб.: Вопросы вычислит, и прикл. мат. Ташкент, 1984. №75. С. 3-18.

95. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. С.444-472.

96. Самарский A.A., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением для квазилинейных параболических уравнений. М., 1987.

97. Серова Н.В. В сб.: Фильтрация неоднородных газов. М., 1988. С. 30-35.

98. Скворцов Э.В. Подземная гидромеханика аномальных жидкостей. Казань, 1985.

99. Смехов Е.М. // Тр. Всес. нефт. н.-и. геол.-развед. ин-та. 1974. № 351 С.27-46.

100. Стасюк М.Е., Коротенко В.А., Мареев М.Я. В сб.: Комплексное освоение минерально-сырьевых ресурсов Зап. Сибири. Тюмень, 1985. С. 19-22.-138109. Сулейманов Т.Н., Джабраилов Л.А., Иманов A.A. // Изв. АН АзССР. Сер. наук о Земле. 1986. № 2. С. 136-139.

101. Филиппов А.И., Коркешко О.И., Чиганов П.А. Исследование температурных полей в нефтегазовых пластах при закачке воды на основе метода возмущений. Инженерно-физический журнал, Т. 73, №6, 2000, С. 1340-1351.

102. Хайрединов Н.Ш. // Тр. МИНХ и ГП. М., 1985. № 190. С. 117-120.

103. Хайрединов Н.Ш., Алишаев М.Г., Бен-Ахья A.A. В сб.: Интенсификация геол.-развед. работ и добычи нефти в Зап. Сибири. Тюмень, 1984. С. 47-49.

104. Христианович С.А. // Физико-техн. проблемы разработки полезных ископаемых. 1985. № 1. С. 3-18.

105. Хужаеров Б.Х., Бобокулов Е.О., Худоёров Ш.Ж. Релаксационная фильтрация однородных жидкостей в трещиновато-пористых средах. Инженерно-физический журнал, Т.74, № 5, 2001, С. 17-23.

106. Чекалин А.Н. Численные решения задач фильтрации в водонефтяных пластах. Казань, 1982.

107. Шаймуратов Р.В. Гидродинамика нефтяного трещиноватого пласта. М., 1980.

108. Шандылин А.Н., Родин Е.В. // Изв. ВУЗов. Нефть и газ. 1988. № 1. С. 37-42.

109. Шахвердиев А.Х. // Изв. АН АзССР. Сер. наук о Земле. 1983. № 1. С. 80-85.

110. Шейдеггер А.Э. Физика течения жидкостей через пористые среды. М., 1960.

111. Шишигин С.И. //Тр. ЗапСибНИГНИ. Тюмень, 1981. № 166 С. 83-87.

112. Юсупов К.С., Медведский Р.И., Каптелин Н.Д. // Тр. Гипротюменнефтегаза. Тюмень, 1971. № 22. С. 131-149.122.34th Solid Mechanics Conference. Zakopane, September 2-7, 2002. Institute of Fundamental Technological Research Polish Academy of

113. Sciences, Pullished by: ATOS Poligrafia-Reklama, Warsaw, 2002. Some problems of filtration flows in fissured media. V.Nustrov and V.Podoplelov, P. 203-204.

114. A. Farina and A. Fasano. On the analysis of a mathematical model for metal matrix composites manufacturing. Mathematical models in Applied Sciences, Vol. 13, № 6 (2003), P. 843-874.

115. A. Fasano and M. Primicerio. An analysis of phase transition models Euro Jnl of Applied Mathematics, 1996, Vol.7, P.439-451.

116. Aguilera R., Poolen H.K. // Oil and Gas J. 1979. V. 77, N. 21. P. 70-74.

117. Bromhead E.N., Vaughan P.K. // Numer. Meth. Nonlinear. Probl. Proc., Int. Conf. Swansea, 1980. V. 1. P. 567-577.

118. Buyevich Yu.A., Nustrov V.S., Plochoi S.A. and Podoplelov V.V. Unsteady flow in nonlinear fractured reservoirs, International Journal of Fluid Mechanics Research, Volume 27, 2-4, 2000, P.248-269.

119. Clark J.A. // SPE/Doe Joint Symp. Low Permeabil. Gas Reservoirs. Denver, 1983. P. 107-114.

120. Falade G.K. // Int. J. Non-Linear Mech. 1982. V. 17, N. 4 P. 277-283.

121. Fluid transport in potous media Editor Prieur du Plessis. Computational Mechanics Publications, Southampton, Boston, 1997. P.302.

122. Gancarz R., Chrzaszcz W., Dubiel S. // Zezyty Naukove Akademia gomiczo-hutnicza. 1977. N. 565. P. 7-19.

123. Henri Bertin, Mikhail Panfilov and Michel Quintard. Two types of transient phenomena and full relaxation macroscale model for single phase flow through double porosity media, Transport in porous media, 39, 2000, P. 73-96.

124. J.G. Fourie and J.P. Du Plessis. A two-equation model for heat conduction in porous media,

125. Lion Wang. Flows through porous media: theoretical development at macroscale. Transport in porous media, 39, 2000, P. 1-24.

126. Lunn Schrever Bennethum, Marcio A. Murad and John H. Cushman. Transport in porous media, 39, 2000, P. 187-225.

127. Madoz-Escande Chantal //Doc. BRYM. 1988. N. 160. P. 493-506.

128. Meyer Dr., Bruce R. // Oil and Gas J. 1985. V. 83, N. 24. P. 87-92.

129. Nelson R.A. // Bull. Amer. Assoc. Petrol. Geol. 1979. V. 63, N. 14. P. 22142221.

130. Nustrov V.S. and Podoplelov V.V. A new problem of filtration flows in naturally fractured porous reservoirs, International Journal of Fluid Mechanics Research, Volume 27, 2-4, 2000, P.270-288.

131. Nustrov V.S. and Podoplelov V.V. Heat transfer processes in nonlinear oil formations. 7 International Conference on Advanced Computational Methods in Heat Transfer, Creece, 2002, WIT Press, P. 329-337.

132. Parvu g., Negita V., Galin P. Petrolul in colestoare fisurate. Bucuresti. Ed. Tehn. 1978.

133. PineauA.//C. r. Acad. sci. 1985. V. 301, N. 14. P. 1043-1046.

134. Saidi A.M., Tehrani D.H. Wit K. // Proc. 10th World Petrol. Congr. V. 3. London, 1980. P. 1167-1180.

135. T. J. T. Spanos. The thermophysics of potous media. A CRC Press Company, Boca Raton, London, New York, Washington, 2002. P.220.