Решения нелинейных параболических уравнений, развивающиеся в режиме с обострением тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Никольский, Илья Михайлович

• Никольский, Илья Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Никольский, Илья Михайлович

Введение.

Выступления.

Публикации автора по теме диссертации.

Благодарности.

Глава 1 Исследование автомодельных решений нелинейного уравнения теплопроводности на плоскости.

1.1 Постановка задачи.

1.2 Автомодельные решения.

1.3 Радиально-симметричные решения.

1.3.1 Связь с решением линеаризованного уравнения.

1.3.2 Свойства одномерных решений.

1.3.3 Свойства цилиндрически-симметричных решений.

1.4 Радиально-несимметричные решения. Численные методы.

1.4.1 Разностные схемы.

1.4.2 Метод сшивания.

1.4.3 Методы мультипликации и последовательных растяжений.

1.4.4 Метод продолжения по параметру.

1.5 Классификация СФ.

1.6 Сравнение множеств СФ при разных значениях а.

Глава 2 Устойчивость автомодельных решений.

Введение.

2.1 Численные методы.

2.2 Структурная и метастабильная устойчивость автомодельных решений. Эволюция резонансных возбуждений.

2.3 Эволюция возмущенных автомодельных решений.

2.4 Эволюция финитных возмущений.

2.4.1 Эволюция усеченных СФ (с отрезанным " хвостом").

2.4.2 Эволюция радиально-симметричных финитных распределений.

2.4.3 Эволюция радиально-несимметричных решений.

2.5 Формирование сложных структур.

Глава 3 Уравнение с квадратичным источником.

Введение.

3.1 Теоремы сравнения для нелинейных параболических уравнений.

3.2 Задача Коши для уравнения с квадратичным источником.

3.2.1 О затухающих решения.

3.2.2 Неограниченные решения. Применение теоремы сравнения.

3.2.3 Интегральное условие возникновения режима с обострением.

3.3 Поиск частных решений уравнения с квадратичным источником.

3.4 Аналитическое исследование динамической системы.

3.4.1 Вспомогательное уравнение.

3.4.2 Неограниченные и затухающие точные решения.

3.4.3 Асимптотический анализ динамической системы.

3.5 Результаты расчётов.

Основные результаты.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решения нелинейных параболических уравнений, развивающиеся в режиме с обострением»

В работе исследуются решения нелинейных параболических уравнений, которые существуют конечное время и обращаются в бесконечность на некотором множестве точек пространства. Такие решения называются неограниченными или развивающимися в режиме с обострением. Они интересны тем, что являются математической идеализацией процессов, в которых исследуемая величина за некоторый промежуток времени возрастает на несколько порядков. Другими словами, имеет место взрывной рост исследуемой величины. Неслучайно в англоязычной литературе неограниченные решения называются взрывными - blow-up solutions.

Такие процессы имеют место в физике (коллапс, быстрое сжатие вещества), эпидемиологии (вспышки инфекционных заболеваний), демографии (демографический взрыв), химической кинетике (автокатализ), экономике (кризисы) и др.

Понятно, что многие модели, в которых решения могут расти в режиме с обострением, не учитывают факторы, сдерживающие рост исследуемой функции вблизи момента обострения (момента времени, в который решение обращается в бесконечность). Таким фактором, например, может быть ограниченность потребляемых ресурсов. Однако такие модели позволяют понять и изучить существенные, наиболее значимые черты исследуемой системы, которые проявляются длительное время, вплоть до момента обострения.

Решения, развивающиеся в режиме с обострением, начали исследовать в середине XX века, начиная с работы X. Фуджиты (1966 год). Прикладной интерес к ним был вызван, в частности, теорией горения, предложенной Я.Б. Зельдовичем и Г.И. Баренблаттом. Большой вклад в эти исследования внесли сотрудники Института прикладной математики РАН и кафедры вычислительных методов факультета ВМиК МГУ. В первую очередь, конечно, стоит упомянуть создателей отечественной школы режимов с обострением Александра Андреевича Самарского и Сергея Павловича Курдюмова. Под их руководством работали многие замечательные математики, в частности, В.А. Галактионов, А.П. Михайлов, Г.Г.Малинецкий, Г.Г.Еленин, Е.С.Куркина, Н.В. Змитренко, А.Б. Потапов, С.Р. Свирщевский и другие.

Задачи, которыми занимались в школе Самарского-Курдюмова, возникли из математического моделирования термоядерного горения плазмы с электронной теплопроводностью. Было открыто, что при горении плазмы образуются области, в которых распределение тепла немонотонно, имеет несколько экстремумов, а температура растет очень интенсивно. Такие сложные распределения температуры в ограниченных областях были названы диссипативными структурами. В остальной части объема температура растет гораздо медленнее. Так на практике был обнаружен режим с обострением и открыт эффект локализации тепла.

Большое количество результатов школы Самарского-Курдюмова по режимам с обострением изложено в работах [1],[38]. Книга [38] - одна из основополагающих монографий по этой теме, известная во всем мире. В сборнике [1] отражены основные этапы развития теории и приложений режимов с обострением в нашей стране.

В основе базовой модели, изучавшейся в школе Самарского-Курдюмова, лежит уравнение нелинейной теплопроводности. В общем виде оно выглядит следующим образом. и( = &\ч(к(и)%ха&и)+(2(и). (0.1)

Здесь и > 0 - температура, к(и) > 0 - коэффициент теплопроводности, (^(и) - источник или сток тепла (в зависимости от знака функции).

Это уравнение при определенных условиях описывает процессы электронной и ионной теплопроводности в плазме, адиабатическую фильтрацию газов и жидкостей в пористых средах, диффузию нейтронов и альфа-частиц; оно возникает при математическом моделировании процессов химической кинетики, различного рода биохимических реакций, процессов роста и миграции популяций и т.д. Для моделирования различных явлений используются различные виды функций к и

Особое внимание математиками уделялось уравнению со степенными нелинейностями: и, = <И\{к0и" . (0.2)

Здесь и = х е Ям . Это уравнение имеет широкий спектр приложений. В частности, при а = 2.5, р <5.2 оно описывает термоядерное горение в плазме с электронной теплопроводностью; при сг = 0.0, 2 < (3 < 3 соответствует моделям автокаталитических процессов с диффузией в химических реакторах; при а около 6.5 соответствует радиационной теплопроводности высокотемпературной плазмы в звездах.

В работах математиков школы Самарского-Курдюмова были выяснены многие свойства этого уравнения.

Было показано, что оно имеет решения, развивающиеся в режиме с обострением. Более того, в зависимости от соотношения между параметрами /3 и а возможны три типа режимов с обострением: так называемые Ь8, 8 или Ж -режимы. Они отличаются друг от друга тем, на каком множестве решение уравнения (0.2) обращается в бесконечность (в одной точке, в замкнутой области или во всем пространстве). Было обнаружено, что при ¡3 > а +1 происходит локализация тепла, возникают простые и сложные диссипативные структуры.

В работе [38] было введены понятия строгой и эффективной локализации решений. Неограниченное решение и(х,{) уравнения типа (0.1) с моментом обострения Т называется строго локализованным, если = 0 вне некоторой замкнутой области С1Ь при / <е [0, Т).

Эффективная локализация имеет место, если множество соь = х : Ит и(х, г) — оо V ограничено.

Изучаемый в главах 1 -2 данной работы случай (5 > cr +1 интересен тем, что при этом соотношении параметров уравнение (0.2) имеет немонотонные автомодельные решения. Они описывают все типы диссипативных структур, развивающихся в режиме с обострением, которые могут возникать в данной среде. Особая роль автомодельных решений уравнения (0.2) была впервые выявлена в работах С.П. Курдюмова, Н.П. Змитренко, А.П. Михайлова, Г.Г. Еленина (см., например, [40]). Было показано, что они играют роль аттракторов, к которым приближаются произвольные неограниченные решения.

Автомодельные решения, изучавшиеся в работах [18],[29] и более ранних, имеют вид произведения двух функций. Одна из них известна, а другая удовлетворяет краевой задаче для нелинейного эллиптического уравнения на собственные функции (СФ) и собственные значения. Впервые эта задача (её часто называют автомодельной задачей) была сформулирована в работе [20].

Свойства одномерных и радиально-симметричных собственных функций (СФ) изучались в работах [10],[18],[20] и др. Большой вклад в эти исследования внес Г.Г. Еленин. Была выяснена связь с решением линеаризованного уравнения и асимптотическое поведение СФ на бесконечности. Эти результаты оказались очень важными для численного построения СФ. Было установлено, что число СФ конечно, выведена зависимость этого числа от ¡5, а. Полученные сведения позволили перейти к изучению СФ, существенно зависящих от угла. Задача о нахождении многомерных структур была поставлена С.П. Курдюмовым.

Впервые двумерные автомодельные решения были численно построены и исследованы в середине 1980х годов в работах [22], [23]. Вычисления проводились с помощью чисто неявных разностных схем с использованием итерационного метода Ньютона. Это потребовало построения хороших (близких к искомой СФ) начальных приближений. Первый метод построения таких приближений - метод сшивания - был предложен А.Б. Потаповым в работе [36]. В силу недостаточной мощности вычислительной техники того времени, расчеты проводились на очень грубых сетках, что вызвало недоверие к полученным результатам. Оказалось невозможным построить одну и ту же СФ в полярной и декартовой системах координат. Интерес к данной тематике на время был потерян.

В 90х годах стремительное развитие компьютеров и математического ПО позволило продолжить исследования множества автомодельных решений уравнения нелинейной теплопроводности как в одномерном случае, так и на плоскости и в пространстве, выявить новые характеристики СФ ([8], [29], [30], [48]). Большой вклад в эти исследования внесла Е.С. Куркина. Она обосновала существование двумерных СФ с помощью сгущения сеток, а также путем их построения в разных системах координат. Были разработаны новые методы построения начальных приближений для ньютоновских итераций. Е.С.Куркина впервые предложила использовать метод продолжения по параметру в этой задаче. Это позволило построить новые структуры, а также провести бифуркационный анализ уже известных структур. Под бифуркационным анализом понимается изучение зависимости решений от значений параметров, нахождение области существования СФ по параметру и изучение бифуркаций, приводящих к возникновению структур [18], [24], [29], [30].

В работах С.П.Курдюмова и Е.С. Куркиной впервые были построены трехмерные тепловые структуры, имеющие сложную форму области локализации, например, в виде гантели, и др. (см. [18]). Там же были найдены новые типы структур, представляющие собой многосвязные области горения, содержащие внутри себя несколько «дырок» - областей с нулевой температурой [27].

Следует упомянуть также исследования структур на плоскости, проводившиеся группой болгарских математиков (см. [9],[48]), в частности, С.Н. Димовой. В отличие от большинства исследователей, проводивших расчеты по разностной схеме для уравнения (0.2), она использовала собственный метод, сочетающий дискретизацию по методу конечных элементов и непрерывный аналог метода Ньютона. Ею была впервые построена цилиндрически-симметричная структура с нулевой областью в начале координат (структура с "дыркой"). Кроме того, были получены и исследованы автомодельные решения другого типа - расходящиеся спиральные волны. Эти волны развиваются в //^-режиме с обострением, распространяясь по гомотермическому фону. Существование таких решений было показано С.Р. Свирщевским с помощью инваринтно-групповых методов [1].

Важным для приложений является исследование устойчивости двумерных автомодельных решений. В классическом смысле все они являются неустойчивыми. Малое возмущение начальной функции приводит к малому изменению момента обострения т, что в свою очередь приводит к сколь угодно большому расхождению между исходным и возмущенным решением, когда время близко к т . Но они могут обладать структурной устойчивостью в смысле выхода на автомодельный режим.

При исследовании на структурную устойчивость к решениям применяется специальное преобразование - автомодельная обработка, предложенная в [20]. Она устроена таким образом, что любое обработанное автомодельное решение (автомодельное представление решения) является стационарным. Если обработанное решение является асимптотически устойчивым (в обычном смысле), то само решение называется структурно устойчивым.

В результате исследований, проводившихся Е.С. Куркиной в одномерном и радиально-симметричном случае, было обнаружено два структурно устойчивых автомодельных решения -это структура с одним максимумом и структура в виде цилиндрического слоя (простая структура с "дыркой"). Область притяжения первой из них весьма велика, у второй она гораздо уже.

Все сложные автомодельные решения являются лишь метастабилъно устойчивыми. Это означает, что для каждого из них существует некоторое множество неограниченных решений уравнения (0.2), которые в процессе своей эволюции становятся близки к данному автомодельному решению (в смысле автомодельной обработки). В течение некоторого времени (сравнимого со временем своего существования) решение из этого множества развивается по автомодельному закону, затем "сходит" с него.

Пространственная структура сложных автомодельных решений сохраняется в течение некоторого отрезка времени, сравнимого со временем существования, у структурно устойчивых -все время существования. В этом смысле они являются выделенными среди всех неограниченных решения, так как произвольные сложные начальные распределения начинают перестраиваться сразу. Они либо распадаются в итоге на несколько простых структур, либо выходят на сложный автомодельный режим.

При расчетах небольшая неточность в задании сложной СФ в качестве начального распределения существенно уменьшает время существования и приводит к быстрому распаду структуры. В связи с этим остро стоял вопрос о возможности приложения сложных СФ в реальных системах. Было важно показать, что они сами могут сформироваться на начальной стадии эволюции из достаточно произвольных начальных возмущений. Другими словами, существуют неограниченные решения уравнения (0.2), которые в процессе своего развития выходят на автомодельный режим, отвечающий какому-либо сложному автомодельному решению.

Процесс выхода на автомодельный режим с одним максимумом также представляет интерес. Здесь возникает вопрос об изменении формы различных финитных решений при их выходе на этот автомодельный режим. До сих пор было неизвестно, становятся ли они радиально-симметричными, если в начальный момент времени не обладали этим свойством.

Эволюция решений, развивающихся в режиме с обострением, включает несколько этапов. В частности, обязательно присутствуют квазистационарная стадия (медленный рост решения) и стадия взрывного роста. На примере финитных неограниченных решений можно изучить редко рассматриваемое поведение, когда решение сначала понижается, его носитель увеличивается (растекание решения), потом происходит локализация (носитель перестает меняться) и лишь затем решение начинает расти. Мы ставили своей целью выяснить зависимость между формой начального возмущения и длительностью этих стадий.

Отметим, что рассматриваемые режимы с обострением в уравнении (0.2) являются сверхкритическими возмущениями нулевого фона, т.е. рассматривается холодная среда. Однако во многих реальных задачах среда прогрета до некоторой положительной температуры. Поэтому исследование возникновения режимов с обострением и образования локализованных структур в результате сверхкритических возмущений положительного фона является интересной и важной задачей. Такого рода исследования режимов весьма редки в литературе. Здесь требуется уточнение понятия локализации решений.

В связи с этим в третьей главе предлагаемой работы рассматривается уравнение типа (0.1) с устойчивым положительным стационаром (играет роль фона), которое имеет как неограниченные, так и затухающие (то есть релаксирующие к фону) решения. Эти свойства достигаются за счет знакопеременности источника - он имеет вид квадратного трехчлена. Это уравнение может быть использовано при исследовании процесса возникновения вспышек в короне Солнца (см. [16]).

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Никольский, Илья Михайлович

Основные результаты

1. Численно изучено множество двумерных автомодельных решений уравнения и, - &\\(иа%х&&и) + г/ . Исследована зависимость автомодельных решений от параметра /3 с помощью численного алгоритма продолжения по параметру и проведения бифуркационного анализа. Разработан новый метод построения начальных приближений к собственным функциям. Построены новые структуры. Предложена классификация двумерных автомодельных решений на основе архитектуры и бифуркационного анализа. Проведено сравнение множеств автомодельных решений при а = 1.0 и сг = 2.0.

2. Численно исследована структурная устойчивость двумерных автомодельных решений уравнения и, = + г/ . С помощью автомодельной обработки подтверждена структурная устойчивость простой структуры с одним максимумом и метастабильная устойчивость сложных структур. Показана структурная устойчивость радиально-симметричной структуры с нулевой областью в центре, изучена область ее притяжения. Исследовано влияние различных возмущений начальной функции на эволюцию автомодельных решений. Исследована динамика финитных решений, показано отсутствие симметризации носителя. Показана возможность формирования сложных структур из простых.

3. Аналитически исследовано уравнение с квадратичным источником и, = (иих)х + (и- и0)(и -щ), имеющее устойчивый пространственно-однородный стационар. Получены достаточные условия роста в режиме с обострением и затухания финитных возмущений этого стационара. Численно показана локализация неограниченных решений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Никольский, Илья Михайлович, 2009 год

1. Режимы с обострением. Эволюция идеи. М., Наука, 1998.

2. Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. М., Гидрометеоиздат, 1982

3. Баутин H.H., Леонтович Е.А. Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука,1990, 486 с.

4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, T.I, 1973. 294 с.

5. Белавин В.А., Курдюмов С.П. Режимы с обострением в демографической системе: Сценарий усиления нелинейности // ЖВМиМФ, 2000, Т.40, 2, С. 238-251.

6. Галактионов В.А, Дородницын В.А., Еленин Г.Г., Курдюмов С.П., Самарский A.A. Квазилинейное уравнение теплопроводности с источником: обострение, локализация, симметрия, точные решения, асимптотики, структуры // Итоги науки и техники Т.28, М., 1987.

7. Димова С.Н., Касчиев М.С., Колева М. Анализ собственных функций горения нелинейной среды в полярных координатах методом конечных элементов //Матем. моделир. Т. 4, 3, 1992, С. 74-83.

8. Димова С.Н., Касчиев М.С., Колева М.Г., Василева Д.П. Численное исследование радиально-несимметричных структур в нелинейной теплопроводной среде. // ДАН СССР, 1994. Т.338, № 4.

9. Димова С.Н., Касчиев М.С., Курдюмов С.П. Численный анализ одномерных собственных функций горения нелинейной среды. Некоторые предельные случаи // ЖВМиМФ, 1989, т. 29, 11, с. 1683-1704.

10. Еленин Г.Г., Курдюмов С.П., Самарский A.A. Нестационарные диссипативные структуры в нелинейной теплопроводной среде //ЖВМиМФ, 1983, т. 23, 2, с. 380-390.

11. Змитренко Н.В., Курдюмов С.П., Михайлов А.П., Самарский A.A. Локализация термоядерного горения в плазме с электронной теплопроводностью //Письма в ЖЭТФ. 1978. Т. 26. Вып.9. С. 620-624.

12. Капица С.П. Феноменологическая теория роста населения Земли // Успехи физ. наук, 1996, Т. 166, 1,С. 63-80.

13. Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогнозы будущего. М: Эдиториал УРСС, 2001.

14. Кириченко H.A. Локализованные нестационарные структуры в задачах лазерной термохимии //В книге Режимы с обострением. Эволюция идеи. М., Наука. 1998. С. 217-230.

15. Ковалёв В.А., Чернов Г.П., Ханаока И. Мелкомасштабные высокотемпературные структуры во вспышечной области. // Письма в астрономический журнал, 2001, том 27, №4, с. 310-320

16. Курдюмов С.П. Собственные функции горения нелинейной среды и конструктивные законы построения ее организации. //Современные проблемы математической физики и вычислительной математики. М. Наука 1982, 217-243.

17. Курдюмов С.П., Куркина Е.С. Спектр собственных функций автомодельной задачи для нелинейного уравнения теплопроводности с источником // ЖВМиМФ, 2004 г. Т. 44. 9. С. 1619-1637.

18. Курдюмов С.П., Куркина Е.С., Малинецкий Г.Г. Диссипативные структуры в средах с распределенными параметрами //Препринт ИПМатем. АН СССР. М., 1979, 16.

19. Курдюмов С. П., Куркина Е.С., Малинецкий Г.Г., Самарский A.A. Диссипативные структуры в неоднородной нелинейной горящей среде // ДАН СССР, 1980, Т.251, 3.

20. Курдюмов С. П., Куркина Е. С., Потапов А.Б., Исследования многомерной архитектуры собственных функций нелинейной среды: Препринт 75 М.: ИПМатем. АН СССР. 1982.

21. Курдюмов С. П., Куркина Е. С., Потапов А.Б., Самарский A.A. Архитектура многомерных тепловых структур // ДАН СССР. 1984. Т. 274. 5. С. 1071-1075.

22. Курдюмов С. П., Куркина Е. С., Потапов А.Б., Самарский A.A. Сложные многомерные структуры горения нелинейной среды. // ЖВМиМФ, 1986. Т. 26. 8. С. 1189-1205.

23. Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Повещенко и др. Взаимодействие диссипативных тепловых структур в нелинейных средах // Док. АН СССР, 1980, Т.251, 4.

24. Куркина Е.С. Двумерные и трехмерные тепловые структуры в среде с нелинейной теплопроводностью// Прикладная математика и информатика 17, М.: Изд-во факультета ВМиК МГУ, 2004, с.84 112.

25. Куркина Е. С. Исследование спектра автомодельных решений нелинейного уравнения теплопроводности // Прик. матем. и информат. М.: Изд-во МГУ, 2004. 16. С. 27-65.

26. Куркина Е.С. Многосвязные структуры горения нелинейной среды// Препринт ИПМ РАН, 26, 2006, 25с.

27. Куркина Е.С., Курдюмов С.П. Квантовые свойства нелинейной диссипативной среды. //Доклады АН, Т. 399, 6, с. 1-6,2004 .

28. Куркина Е.С., Курдюмов С.П. Спектр диссипативных структур, развивающихся в режиме с обострением //Доклады АН, Т. 395, 6, с. 1-6, 2004 г.

29. Куркина Е.С., Никольский И.М. Бифуркационный анализ спектра двумерных тепловых структур, развивающихся в режиме с обострением //Прик. матем. и информат. М.: Изд-во МГУ, 2005. 22. С. 30-45.

30. Лобанов А.И, Старожилова Т.К. Нестационарные структуры в модели свертывания крови //В книге: Новое в синергетике: Взгляд в третье тысячелетие. М., Наука, 2002 г., С. 346-367.

31. Митидиери Э., Похожаев С.И. Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравнений и неравенств в частных производных // Труды МИАН, т.234, М., Наука, 2001.

32. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. М.: Наука, 1984. 319 с.

33. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Журов А.И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. М.: Физматлит, 2005, 254с.

34. Потапов А.Б. Построение двумерных собственных функций нелинейной среды: Препринт № 8 М.: ИПМатем. АН СССР. 1986.

35. Самарский A.A. Теория разностных схем. М., Наука, 1989.

36. Самарский АА., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М., Наука, 1987.

37. Самарский A.A., Еленин Г.Г., Змитренко Н.В., др. Горение нелинейной среды в виде сложных структур // Док. АН СССР, 1977, Т.237, 6.

38. Самарский А.А., Змитренко Н.В., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Тепловые структуры и фундаментальная длина в среде с нелинейной теплопроводностью и объемным источником тепла // Док. АН СССР, 1976, Т.227, 2.

39. Самарский А.А., Соболь И.М. Примеры численного расчёта температурных волн. Жур. вычислит. Матем. и матем. Физ. 1963, т. 3, 4, с. 380-390.

40. Тихонов А. Н., Самарский А. А., Заклязьминский JI. А. и др. Нелинейный эффект образования самоподдерживающегося высокотемпературного электропроводного слоя газа в нестационарных процессах магнитной гидродинамики // ДАН СССР, 1967, Т.173, 4,808-811.

41. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Мир, 1970, 720 с.

42. Galaktionov V.A. Geometric Sturmian Theory of Nonlinear Parabolic Equations and Applications, Chapman&Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2004.

43. Galaktionov V.A. Invariant subspaces and new explicit solutions to evolution equations with quadratic nonlinearities. // Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect A., 1995, no.2, pp 225-246.

44. Galaktionov V.A., Svirshchevskii S.R. Exact Solutions and Invariant Subspaces of Nonlinear Partial Differential Equations in Mechanics and Physics. Boca Raton, Chapman & Hall / CRC, 2007. - 498 c.

45. Galaktionov V.A., Vazquez J.L. The problem of blow-up in nonlinear parabolic equations // Discrete and continuos dynamical systems. 2002. 8. 2. P. 399-433

46. Dimova S.N., Kastchiev M.S., Koleva M.G., Vasileva D.P. Numerical analysis of radially nonsymmetric blow-up solutions of a nonlinear parabolic problem. J. Сотр. Appl. Math., 97, 1998, 81-97. \{Imp. fact. 0.443 (1998), 0.567 (2003).

47. Kurdyumov S. P. Evolution and self-organization laws in complex systems //Int. J. Modern Phys. CI. 1990, 299-327.

48. Samarskii A.A., Galaktionov V.A., Kurdyumov S.P., Mikhailov A.P. Blow-up in Quasilinear Parabolic Equations. Berlin-New York : Walter de Gruyter, 1995.

49. Svirshchevskii S.R. Lie-Backlund symmetries of linear ODEs and generalized separation of variables in nonlinear equations. //Phys.Lett. A, 1995, Vol. 199, pp 344-348.

50. Svirshchevskii S.R. Invariant linear subspaces and exact solutions of nonlinear evolution equations. //Nonlinear Math. Phys., 1996 , Vol.3, № 1-2, pp.164-169.