Прецизионное исследование уровней энергии мюонных атомов и ионов в квантовой электродинамике тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Мартыненко Федор Алексеевич

• Мартыненко Федор Алексеевич
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Мартыненко Федор Алексеевич

Введение

Глава 1. Исследование спектров энергии легких мюонных

атомов и ионов

1.1 Тонкая структура спектра легких мюонных водородоподобных атомов и ионов

1.1.1 Эффекты поляризации вакуума в однофотонном взаимодействии

1.1.2 Эффекты поляризации вакуума и релятивистские поправки в первом и втором порядках теории возмущений

1.1.3 Поправки на структуру ядра и поляризацию вакуума

1.1.4 Численные результаты и заключение

1.2 Сверхтонкая структура $ — состояний мюонного трития

1.2.1 Эффекты поляризации вакуума во втором порядке

теории возмущений

1.2.2 Эффекты структуры и отдачи ядра

1.2.3 Заключение

1.3 Адронные вклады рассеяния света на свете в спектре энергии мюонного водорода (цр)

1.3.1 Вклад псевдоскалярного мезона в сверхтонкую структуру спектра мюонного водорода (цр)

1.3.2 Вклад аксиальных - векторных мезонов в сверхтонкую структуру спектра мюонного водорода (цр)

1.3.3 Вклад скалярного мезона с лэмбовский сдвиг (цр)

1.3.4 Вклад тензорного мезона в сверхтонкую структуру спектра и лэмбовский сдвиг (цр)

1.3.5 Заключение

1.4 Сверхтонкая структура $ - состояний мюонных ионов Ы, Ве, В

1.4.1 Эффекты структуры и отдачи ядра

1.4.2 Эффекты однопетлевой и двухпетлевой поляризации вакуума в первом и втором порядках теории возмущений

1.4.3 Заключение

1.5 Сверхтонкая структура Р - состояний мюонных ионов Ы, Ве, В

Стр.

1.5.1 Вклад квадруполыюго взаимодействия

1.5.2 Поправки поляризации вакуума и структуры ядра

1.5.3 Вычисление недиагональных матричных элементов

1.5.4 Заключение

Глава 2. Исследование спектров энергии трехчастичных мюон

- электронных атомов и ионов

2.1 Электронный лэмбовский сдвиг в трехчастичных мюон -электронных атомах гелия и ионах лития, бериллия и бора

2.1.1 Аналитический метод расчета уровней энергии кулоновских трехчастичных систем с разными массами

2.1.2 Эффекты поляризации вакуума, структуры и отдачи ядра

2.1.3 Заключение

2.2 Мюонный лэмбовский сдвиг в трехчастичных мюон -электронных атомах гелия и ионах лития, бериллия и бора

2.2.1 Вклад кулоновского взаимодействия во втором порядке теории возмущений

2.2.2 Поправка на отдачу ядра

2.2.3 Заключение

2.3 Сверхтонкая структура основного состояния в трехчастичных

мюон - электронных ионах

2.3.1 Поправки на отдачу во втором порядке теории возмущений

2.3.2 Эффекты поляризации вакуума

2.3.3 Поправки на структуру и отдачу ядра

2.3.4 Электронная вершинная поправка

2.3.5 Заключение

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Прецизионное исследование уровней энергии мюонных атомов и ионов в квантовой электродинамике»

Введение

Диссертационная работа посвящена исследованию уровней энергии экзотических связанных состояний, мюонных атомов и ионов в квантовой электродинамике. Такие системы не являются стабильными, но изучение их свойств представляет собой эффективное направление исследований фундаментальных закономерностей природы. В первой части работы изучаются двухчастичные мюонные атомы и ионы (мюонный водород, мюонный гелий, ионы мюошюго лития и т. д.). Во второй части работы исследуются трехчастичные мюон -электронные атомы и ионы. Подобные электромагнитные связанные состояния сыграли важную роль в развитии методов квантовой электродинамики, определении с более высокой точностью фундаментальных параметров теории. Теоретический интерес к исследованию тонкой и сверхтонкой структуры спектра энергии мюонных систем связан с расчетом ранее неизвестных амплитуд взаимодействия, определяющих вклады в оператор взаимодействия частиц. Представленное в диссертационной работе исследование выполнено в рамках квазипотенциал ыюго метода в квантовой электродинамике. Полученные результаты опубликованы в работах [1 25], [26 41].

Квантовая электродинамика - одна из самых успешных теорий в современной физике, которая была проверена с помощью прецизионных измерений в широком классе задач [42]. Теоретические исследования спектров энергии легких мюонных атомов, таких как мюонный водород, мюонный дейтерий, ионы мюошюго гелия, проводятся уже на протяжении длительного времени [42; 43]. В последнее десятилетие они приобрели особую актуальность в связи с проведением экспериментов с мюонными атомами.

Текущая экспериментальная программа коллаборации CREMA (Charge Radius Experiments with Muonic Atoms) по исследованию тонкой и сверхтонкой структуры спектров энергии простейших мюонных атомов успешно выполняется, начиная с 2010, когда методами лазерной спектроскопии были измерены частоты двух переходов (25,J=r11/2 — и (25^=°/2 — z31/2) в мюонном

водороде [44]. Выполненные исследования с мюонным водородом в 2010 г. [44] и 2013 г. [45], а также с мюонным дейтерием в 2016 г. [46] показали, что существует значительное расхождение в величинах зарядового радиуса протона и дейтрона, которые получаются из экспериментов с электронными и мюонными

атомами [27]. Эта проблема получила название "загадки радиуса протона" [47]. Эксперимент в мюонпом гелии [48] не обнаружил подобного расхождения. Кол-лаборация CREMA планирует включить в область экспериментальных исследований мюонные ионы лития, бериллия, и т.д. Только в случае простейших двухчастичных атомов теоретические подходы достаточно хорошо разработаны, чтобы аналитически рассчитать уровни энергии системы из первых принципов с высокой точностью. В будущих экспериментах коллаборация CREMA может увеличить точность измерения лэмбовского сдвига в мюоииом водороде в 5 раз [47], что позволит определить зарядовый радиус протона с точностью 10-4.

Результаты CREMA привели к появлению ряда новых экспериментов, направленных на решение загадки радиуса протона. В течение последних лет были получены разные экспериментальные результаты, как с электронными, так и с мюонными системами, которые позволили приблизиться к решению загадки радиуса протона. В работе [ ] была измерена частота перехода (2S — 4Р) в водороде: —4р = 616520931626.8(2.3) кГц, а извлеченное значение зарядового радиуса протона гр = 0.8335(95) фм оказалось в согласии с результатами CREMA [45].

В 2011 г. был предложен эксперимент PRad (Е12-11-1062) и успешно проведен в 2016 году в Thomas Jefferson National Accelerator Facility с электронными пучками с энергией 1.1 и 2.2 ГэВ. В эксперименте измерялись сечения упругого электрон - протонного рассеяния с точностью до процента при низких значениях квадрата переданного импульса. Было получено значение гр = 0.831 ± 0.007(stat) ± 0.012(syst) фм [ ], что меньше среднего значения гр из предыдущих экспериментов по упругому рассеянию (е-р), но согласуется со спектроскопическими результатами для атома мюонного водорода в пределах экспериментальных ошибок.

В 2019 году было выполнено измерение лэмбовского сдвига в электронном водороде: [ ]: AELs = 909.8717(32) МГц. Значение гр = 0.833(10) фм, которое было получено из этого эксперимента, согласуется со спектроскопическими данными для мюонных атомов.

В недавнем эксперименте [52] было выполнено измерение частоты двухфо-тонного перехода (1S — 3S) в электронном водороде с относительной ошибкой 9 • 10—13: Avis— 35 = 2 922 743 278 671.0(4.9) кГц. Величииа гр = 0.877(13) фм,

извлеченная из этого экспериментального результата, находится в хорошем согласии с величиной, рекомендованной CODATA [53].

Коллаборация MUSE планирует эксперимент по одновременному измерению сечений рассеяния электронов и мюонов на протонах [54]. Этот эксперимент позволит определить зарядовые радиусы протона независимо в двух реакциях и проверить лептонную универсальность с точностью на порядок превосходящую предыдущие эксперименты по рассеянию.

Коллаборации CREMA [55], FAMU [56] и J-PARC [57] планируют измерить сверхтонкую структуру основного состояния атома мюонного водорода с точностью 1 ррт. Такое измерение позволит получить более точное значение радиуса Земаха.

Еще одно перспективное направление для решения загадки радиуса протона связано с измерением энергетического интервала (1S — 2S). В атоме электронного водорода и дейтерия этот интервал был измерен с очень высокой точностью в [58 60]. Измерение частоты перехода для электронного водорода f\s—2S = 2466061413187035(10) Гц, Ô = 4.06 • 10—15 и для мюония fis-2s = 2455528940.6(9.1)(3.7) МГц находится в хорошем соответствии с предсказаниями КЭД для связанных состояний [42]. Новый эксперимент в мюонии MU-MASS (mnoninm laser spectroscopy) [61] направлен на увеличение точности измерения частоты перехода (1S — 2S) на несколько порядков (с точностью 10 кГц или 4 ppt). Аналогичный эксперимент для иона гелия представлен в работе [62; 63]. Использование результатов экспериментов для интервала (1S — 2S) требует соответствующего прецизионного теоретического расчета.

Экспериментальное исследование уровней энергии трехчастичных мюон -электронных атомов гелия выполнено в работе [64]. Новый эксперимент по измерению сверхтонкой структуры основного состояния в этих мюон - электронных атомах планируется в J-PARK MUSE [65]. Точность нового эксперимента будет улучшена на два порядка. При теоретическом исследовании уровней энергии трехчастичных систем электрон-мюон-ядро обычно используют два метода. Один из них - вариационный метод, который позволяет находить волновые функции и значения энергий с очень высокой точностью [66]. Другой аналитический метод расчета уровней энергии таких трехчастичных систем сформулирован в работах [67; 68] и применялся в [1; 14; 15; 69 72]. Он основан на использовании метода теории возмущений для уравнения Шредингера. Расчет электронного и мюонного лэмбовского сдвига, а также сверхтонкой структуры

основного состояния, представленный в данной диссертационной работе, выполнен в рамках аналитического подхода для различных мюон-электронных систем с легкими ядрами.

Все проведенные и планируемые в ближайшее время эксперименты убедительно показывают, что мюонная физика, физика мюонных двухчастичных и трехчастичных систем является актуальным научным направлением, требующим соответствующих теоретических исследований, расчетов наблюдаемых величин с высокой точностью.

Целью данной работы является расчет тонкой и сверхтонкой структуры спектра энергии двухчастичных мюонных атомов и ионов и трехчастичных мюон - электронных атомов и ионов.

Для достижения поставленной цели было необходимо решить следующие задачи:

1. Провести расчет энергетического интервала — 15* в двухчастичных мюонных атомах водорода, дейтерия, трития и ионах гелия, лития, бериллия и бора, с учетом эффектов поляризации вакуума, структуры и отдачи ядра, радиационных поправок, релятивистских поправок, а также комбинированных поправок, включающих перечисленные порядка

3 6 О

а - а6 по постоянной тонкой структуры.

2. Вычислить энергетический интервал — 15* в мюонном водороде с

3 6

учетом поправок порядка а - а6.

3. Исследовать вклад диаграмм рассеяния света на свете, приводящих к эффективному одномезонному обмену в тонкой и сверхтонкой структуре спектра энергии мюонного водорода. Построить потенциалы взаимодействия мюона и протона, определяемые обменом псевдоскалярным, аксиальным векторным, скалярным и тензорным мезонами и найти их вклад в спектр энергии.

4. Вычислить сверхтонкую структуру спектра энергии $ состояний мюонного трития и мюонных ионов лития, бериллия и бора с учетом по-

5 6

правок порядка а - а6.

5. Вычислить сверхтонкую структуру спектра энергии Р состояний мюонных ионов лития, бериллия и бора с учетом поправок порядка а4 -а6

6. Вычислить электронный лэмбовский сдвиг в трехчастичных мюон -электронных атомах гелия и ионах лития, бериллия и бора с учетом

эффектов поляризации вакуума, структуры и отдачи ядра, радиацион-

46 а4 а6

7. Выполнить расчет мюонного лэмбовского сдвига в трехчастичных мю-

он - электронных атомах гелия и ионах лития, бериллия и бора с учетом

46 а4 а6

8. Вычислить сверхтонкую структуру основного состояния кулоновских

трехчастичных мюон - электронных ионов с учетом поправок порядка

46 а4 а6

Научная новизна: связана с новыми научными задачами, которые были решены в работе, с развитием теории расчета спектров энергии мюонных атомов и ионов в квантовой электродинамике, с формулировкой методов и подходов к расчету фейнмановских амплитуд взаимодействия, построению оператора взаимодействия частиц в старших порядках теории возмущений.

1. В данной работе выполнены новые исследования интервалов тонкой и сверхтонкой структуры мюонных атомов и ионов. Получены новые полные численные значения интервалов (1$ — 35*) в мюонном водороде, (1$ — 23) в мюонном водороде и гелии, (2$ — 2Р) в ионах гелия, лития, бериллия и бора, а также интервалов сверхтонкой структуры £ — состояний мюонного трития, £ — и Р — состояний ионов лития, бериллия и

бора. Новые численные значения получены с учетом многочисленных

а3 а6

ма, структуры и отдачи ядра, которые ранее не были подробно изучены. Для отдельных вкладов получены удобные аналитические формулы.

2. Развит аналитический метод расчета лэмбовского сдвига и сверхтонкой структуры спектра энергии трехчастичных систем мюон-электрон-

46 а4 а6

поляризацию вакуума, структуру и отдачу ядра в первом и втором порядках теории возмущений, электронные вершинные поправки.

3. Впервые в рамках квазипотенциального подхода выполнен расчет вклада эффекта рассеяния света на свете, приводящего к эффективному одномезонному обмену, в лэмбовском сдвиге и сверхтонкой структуре спектра мюонного водорода. Построены потенциалы взаимодействия частиц, описывающие эффективный обмен скалярным, псевдоскалярным, аксиальным - векторным и тензорным мезонами и получены их вклады в спектр энергии.

Практическая значимость связана с непрерывно развивающимися экспериментальными исследованиями по спектроскопии мюонных систем (коллабо-рация CREMA (Charge Radius Experiments with Muonic Atoms), коллаборация FAMU (Fisica Atomi Muonici), исследовательский центр J-PARK MUSE (Muon Science Facility) (Япония) и др.). Полученные в данной работе численные оценки интервалов энергии мюонных и мюон - электронных атомов и ионов можно использовать для сравнения с имеющимися и будущими экспериментальными данными.

Методология и методы исследования. При исследовании спектра энергии мюонных и мюон - электронных атомов и ионов используются методы нерелятивистской квантовой электродинамики, квазипотенциальный подход и метод теории возмущений по малым параметрам: постоянной тонкой структуры, отношениям масс электрона и мюона, мюона и ядра. При построении оператора взаимодействия частиц по фейнмановским амплитудам взаимодействия используется метод проекционных операторов на связанные состояния системы частиц с определенным полным моментом. Расчет фейнмановских амплитуд взаимодействия проводится с использованием различных компьютерных методов и специальных прикладных пакетов, таких как FORM, Feynpar.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Проведен расчет энергетических интервалов (1S — 2S) в мюонном водороде, мюонном гелии и ионах мюонного лития, бериллия и бора и (1S — 3S) в мюонном водороде с учетом поправок порядка а3 — а6 на поляризацию вакуума, релятивизм, структуру и отдачу ядра, а также сложных комбинированных поправок, включающих перечисленные.

2. Проведено вычисление сверхтонкой структуры спектра энергии S-cocto-я н и и мюонного трития и S и Р-состояний мюонных ионов лития, бериллия и бора с учетом вкладов порядка а4 — а6, которые определяются эффектами поляризации вакуума, структуры ядра, отдачи и квадру-польным взаимодействием.

3. Выполнен расчет вклада эффектов рассеяния света на свете, приводящих к обмену скалярным, аксиальным векторным, псевдоскалярным и тензорным мезонами, в сверхтонкой структуре и лэмбовском сдвиге мюонного водорода.

4. Выполнен расчет лэмбовского сдвига (2Р—2S) в мюонных ионах лития, бериллия и бора с учетом поправок на поляризацию вакуума, струк-

туру и отдачу ядра, релятивистских эффектов с учетом поляризации

3 6

вакуума порядка а3 — а .

5. Проведено вычисление сверхтонкой структуры основного состояния, электронного и мюонного лэмбовского сдвига в кулоновских трехча-стичных мюон-электронных атомах и ионах гелия, лития, бериллия и бора с учетом поправок порядка а4 — а6 па отдачу, поляризацию вакуума, структуру ядра и электронных вершинных поправок в первом и втором порядках аналитической теории возмущений.

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием строгих математических методов расчета, методов, применяемых в квантовой теории поля при решении задач исследования связанных состояний частиц и описания фундаментальных взаимодействий частиц. Для отдельных решенных задач по расчету поправок в спектрах энергии мюонных систем полученные результаты согласуются с исследованиями других авторов.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на конференциях:

1. 25й Съезд по спектроскопии, Троицк, 3-7 октября 2016 г.

2. XIV Всероссийский молодежный Самарский конкурс - конференция научных работ по оптике и лазерной физике, Самара, СФ ФИАН, 8-12 ноября 2016 г.

3. XV Всероссийский молодежный Самарский конкурс-конференция научных работ по оптике и лазерной физике, Самара, СФ ФИАН, 14-18 ноября 2017 г.

4. XXIV International Baldin Seminar on High Energy Physics Problems "Relativistic Nuclear Physics and Quantum Chromodynamics Дубна, ЛТФ ОИЯИ, 17-22 сентября 2018 г.

5. 4th International Conference on Particle Physics and Astrophysics (ICPPA-2018), Москва, НИЯУ МИФИ, 22-26 октября 2018 г.

6. XVI Всероссийский молодежный Самарский конкурс-конференция научных работ по оптике и лазерной физике, Самара, СФ ФИАН, 13-17 ноября 2018 г.

7. VIII Международная молодежная научная школа-конференция « Современные проблемы физики и технологий », Москва, НИЯУ МИФИ, 15-20 апреля 2019 г.

8

9

10

И

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

V международная конференция и молодежная школа « Информационные технологии и нанотехнологии », Самара, Самарский университет, 21-24 мая 2019 г.

The XXIV International Workshop "High Energy Physics and Quantum Field Theory" (QFTHEP 2019) Сочи, МГУ, 22-29 сентября 2019 г. Международная молодёжная научная конференция «XV Королёвские чтения», посвященная 100-летию со дня рождения Д. И. Козлова, Самара, Самарский университет, 8-10 октября 2019 г.

XVII Всероссийский Самарский конкурс-конференция научных работ по оптике и лазерной физике, Самара, СФ ФИАН, 12-16 ноября 2019 г.

XVIII Всероссийский молодежный Самарский конкурс-конференция научных работ по оптике и лазерной физике, Самара, СФ ФИАН, 10-14 ноября 2020 г.

The Moscow International School of Physics (MISP), Москва, ФИАН, 3-9 марта 2020.

IX межинститутская молодёжная конференция «Физика элементарных частиц и космология 2020», Москва, ФИАН, 23-24 ноября 2020 г. 5th International Conference on Particle Physics and Astrophysics, Москва, НИЯУ МИФИ, 5-9 октября 2020 г.

20th Lomonosov Conference on Elementary Particle Physics, Москва, МГУ, 19-25 августа 2021 г.

Международная молодёжная научная конференция «XVI Королёвские чтения», посвящённая 60-летию полёта в космос Ю. А. Гагарина, Самара, Самарский университет, 5-7 октября 2021 г.

XIX Всероссийский молодежный Самарский конкурс-конференция научных работ по оптике и лазерной физике, Самара, СФ ФИАН, 9-13 ноября 2021 г.

International Conference on Quantum Field Theory, High-Energy Physics, and Cosmology, Дубна, ОИЯИ, 18-21 июля 2022 г. 6th International Conference on Particle Physics and Astrophysics (ICPPA-2022), Москва, НИЯУ МИФИ, 29 ноября-2 декабря 2022 г. XI молодёжная конференция Физика элементарных частиц и космология, Москва, ФИАН, 19-20 апреля 2022 г.

22. XX Всероссийский молодежный Самарский конкурс-конференция научных работ по оптике и лазерной физике, посвященный 100-летию со дня рождения Н.Г. Басова, Самара, СФ ФИАН, 8-12 ноября 2022 г.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 41 печатном издании, 10 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 24 и периодических научных журналах, индексируемых Web of Science и Scopus, 22 и тезисах докладов.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 2 глав, заключения и 0 приложений. Полный объём диссертации составляет 203 страницы, включая 20 рисунков и 22 таблицы. Список литературы содержит 210 наименований.

Глава 1. Исследование спектров энергии легких мюонных атомов и

ионов

В результате первых экспериментов коллаборации СЯЕМА в 2010 - 2013 гг. было получено значение зарядового радиуса протона гр = 0.84087(39) фм, которое оказалось в 10 раз более точным, чем все предыдущие значения из экспериментов с электронными системами. Кроме того это значение оказалось существенно меньше, чем значение, рекомендованное ССШАТА в то времягр = 0.8768(69) фм. Основные результаты коллаборации СЯЕМА полученные с 2010 года заключаются в следующем:

— Измерение частоты перехода (25,|т11/2 — 2Р^==2/2) в 2010 г. [44].

— Измерение двух частот перехода (25'|г11/2—2Р^=3/2) и (2^Г1/2 — 2^Т3/2) в мюопиом водороде, измерение сверхтонкой структуры спектра состояния 2Б в 2013 г. [45].

— Измерение трех частот переходов между уровнями 2Р и 2Б в мюоипом

(2^=3/2 2рР=Ъ/2) (2ЯР=1/2 2рР=3/2) (2^=1/2 2 рР=1/2) деитерии. (2^=1/2 — 20=3/2 I (2^=1/2 — 20=3/2 I (2^=1/2 — 20=3/2 )

[46].

— Измерение двух частот перехода (2^'5=г11/2—2Р^==2/2)^ (25,</Г11/2 — 2Р^==1/2) в мюопиом гелии [48].

Эти измерения привели к определению более точных значений зарядовых радиусов исследуемых легких ядер (протона, дейтрона, альфа-частицы) [47]:

гр =0.84087(26)экс.(29)теор.фм,

г* =2.12718(13)экс.(89)теор.фм, (1.1)

га =1.67824(13)экс.(82)те0 р.фм.

В планах коллаборации СЯЕМА [73] предпола1,ается исследование новых мюонных систем с легкими ядрами.

1.1 Тонкая структура спектра легких мюонных водородоподобных

атомов и ионов

Среди различных энергетических интервалов, которые исследуются экспериментально уже длительное время, особое значение имеют интервалы (2$ — 15) (1$ — 3$) и (2$ — 2Р). Измерение этих интервалов в электронном водороде и мюонии выполнено с рекордной точностью [42]. В данном параграфе рассмотрено вычисление этих интервалов в некоторых легких мюонных атомах и ионах. Для мюонных атомов не существует общих аналитических формул, таких как для атома электронного водорода, по которым можно было бы выполнять систематический численный расчет различных поправок. Поэтому для отдельных мюонных ионов в данном параграфе выводятся такие формулы.

Аналитический подход к прецизионному расчету интервалов (2$ — 1$), (1$ — 35*) и (2$ — 2Р), основан на квазипотенциальном методе в квантовой электродинамике [43; 74 76]. В рамках данного подхода спектр энергии двухчастичного связанного состояния вычисляется в помощью уравнения Шредин-гера. Квазипотенциал строится по амплитуде взаимодействия с помощью уравнения Липпмана - Швингера

V = Т (1 + Т)—1

с использованием метода теории возмущений (ТВ):

V = V(1) + V(2) + V(3) +..., т = т(1) + т(2) + т(3) + ...,

V (1) = Т (1),

У(2) = т(2) — т(1)с т(1),

у(3) = т (3) — т (2)С/т (1) — т (1)С/т (2) + т (1)С/т (1)С/т (1),

где Gf свободная функция Грина. Основной вклад в оператор взаимодействия частиц определяется гамильтонианом Брейта [77]:

«2 7 а

Нв = Но + АУБТС + А^С, Но = £---, (1.2)

>2

2^ г

АуТС = РА РА + а ( 1 + 1 А с(г) ^а (п2 + Г(ГР)Р\ +

2 а

2т\г3

2ш1 1 +-1 + 2ац

т2

(

1 +

т1

т2

(1<81),

ДУБСТС

4па(1 +

3т1т2 з2

+

(8182)Ь(Г) +

аум (1 + ау)

ац-м

2т1т2г3з2

1 +

2т1т2г3в2 т1

Ш2 2ш2 уж

У [(8182) — 3(81 П)(Я2П)] + (^2)

В выражение ( ) входят массы частицШ1 и т2, операторы спина «1 и 82

оператор орбитального момента Ь. у = - приведенная масса, а - посто-

янная тонкой структуры, Ъ - заряд ядра, ау - аномальный магнитный момент лептона, - магнитный момент ядра. Верхиие индексы "тс" и "стс" обозначают сла!,аемые потенциала, определяющие тонкую и сверхтонкую структуру спектра соответственно. Основной вклад в тонкую структуру спектра Б - состояний водородоподобных атомов и ионов определяется потенциалом Ди может быть представлен с точностью 0((Еа)6) в виде [ ]:

Еп =Ш1 + Ш2 — и^^ а)6

а)2 2п2

№ а)4 [1 — _3 +_

2п3 4п 4т1т2п

у2

]-

(1.3)

16п6

(2п3 + 6п2 — 12п + 5).

Формула ( ) правильно учитывает поправку на отдачу т\/т2 для ядер с полу целым спином. В случае ядер со спином 0 и 1 необходимо ввести дополнительную поправку, которая получена в [42; 78; 79].

1.1.1 Эффекты поляризации вакуума в однофотонном

взаимодействии

Важный класс поправок к тонкой структуре спектра составляют поправки на поляризацию вакуума (ПВ) [10; 42; 43; 69; 72; 80 86]. Хотя величина поправок уменьшается с увеличением числа петель в поляризационном операторе, учет вкладов до трех петель включительно является необходимым для достижения высокой точности расчета. Однопетлевая ПВ (диаграмма "а"на рисунке 1.1) приводит к модификации кулоновского потенциала, который в координатном представлении определяется следующим выражением [87]:

Рисунок 1.1

Эффекты однопетлевой «а» и двухпетлевой «б» - «г» поляризации вакуума в однофотонном взаимодействии.

б

а

г

в

КвМ = 3Л/М — )' Р(^) = ^^^ ■ (1-4)

В первом порядке теории возмущений (ППТВ) усреднение потенциала ( ) по волновым функциям состояний 15, 25, 35 и 2Р (Ж = ц.^а) [ ]

„00,. = £. = ^ (■ — ^ + ^) .

„200(г) = е—]¥г/2[^ 1 — —^ , „210И = (епг),

дает следующие сдвиги соответствующих уровней энергии (Ь1 = те/Ш) [ ; ; 18]:

х ¡л2 — 1(12тс&13 — 24&12 + 9п&1 — 22) — 6(46^ + 612 — 2) 8ее—1(б1)),

ц^а)2а г 1 6п

А^пв(25) = —^---—--2 (61(61(1661(61(361(6661(^61 — 1)— (1.7)

[3(4б12 — 1)

—25п) + 68) + 6п) — 49) + 9п) — --1-^ х

У (4612 — 1)5/2

х (г (3684618 — 2048616 + 300614 + Ю612 — 1) 1п ^ — 1—)

А^пв(35) = — ^П^2 , 21 ч 9/2{^9^(96^-72433446?+

81п 16(962 — 1)9/2

+ 30063966^ — 44776861 + 279996^ + 18п(1 — 9б2)4(92б2 + 1)-

2246^ — 64) — 3г(81б2( 27 ((10862 (82864 — 40662 + 76)

3г6т

(1.8)

— 703)62 + 2^ + 4) — 8) ^^^Щ—Т-)}-

абвгдежзик

Рисунок 1.2 Диаграммы трехпетлевой поляризации вакуума в однофотон-ном взаимодействии с трехпетлевым поляризационным оператором, «а» - «з» -диаграммы с одним фермионным циклом, «и» - «к» - диаграммы с двумя фер-

мионными циклами.

ДЯпв(2Р) =-1-1 - 46?(-76806? + 29446^ - 926?+

(1 - 46?)

+ 12л (46? - ^406? + з) - 32^ +

+ 3 (102406? - 56326? + 72064 + 406? - 4^ 1п(1 - ^ - ^ )

Волновая функция состояния 2Р записана в тензорном виде, £ - вектор поляризации орбитального движения. Соответствующие выражениям 1.6-1.9 численные значения вкладов для интервалов (2$ - 1$), (1$ - 35*) и (2$ - 2Р) представлены в итоговых таблицах 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9. Они выписаны для определенности с точностью до 4 цифр после запятой. Ошибки, связанные с погрешностями определения фундаментальных физических констант, имеют значительно меньшую величину. Выражения (1.6)-(1.9) можно использовать и для численной оценки вклада мюонной ПВ в эти интервалы энергии, заменяя массу электрона в параметре 61 на массу мюона. Численное значение вклада при этом резко уменьшается. Это связано с увеличением порядка вклада за счет множителя а2.

Оператор (1.4) дает также вклады в старших порядках ТВ, которые рассмотрены далее в разделе 1.1.2. В однофотонном взаимодействии имеются также вклады двухпетлевой (диаграммы "б", "в" и "г" на рисунке ) и трехпет-левой (рисунок , диаграммы "а" и "б" на рисунке ) ПВ.

В случае двухпетлевых диаграмм (рисунок , диаграммы "б", "в" и "г") можно построить потенциал взаимодействия частиц и сдвиги уровней энергии в импульсном представлении. Для диаграммы с двумя последовательными петлями (индекс пв-пв) (рисунок 1.1, диаграмма"б") необходимо дважды провести

замену в пропагаторе обменного фотона [42; 77]:

1 ^ (±\ /1 р(£)^ . (но)

к'2 Л к2 + 4т2£,2 К ]

В случае диаграмм с двухиетлевым поляризационным оператором (индекс 2 петл. пв) (рисунок , диаграммы "в" и "г"), замена определяется выражением [ ]:

1 ^ 2 {а)2 Г1_№__(111)

к2 3 \п) Уо + к2(1 - V2)' 1 ;

В координатном представлении операторы взаимодействия частиц принимают удобный для последующего расчета сдвига уровней энергии вид [2; 74]:

дТ,г / ч 2^а (а\2 Г Г(у)^ --_

Л^,2пеТЛ. п» = -тт" а ^, (1.12)

^штл. зг 1о ! - ^

2 г ^

р(£Ж / р(пЫп (-г

У&ш*-пв= у р(р(п^п ( ——) х

_1_( г2—2те £г п2 -2 т^г)

Х (£2 - л2)(^ е П е )-

(1.13)

При вычислении матричных элементов потенциалов (1.12), (1.13) интегрирование по координатам выполняется аналитически, а последующее интегрирование по спектральным параметрам численно. Численный вклад потенциалов (1.12), (1.13) включен в итоговые таблицы суммарной величиной. Вклад (1.12), ( ) имеет порядок а2(^а)2 и численно оказывается велик.

а б в

Рисунок 1.3 Эффекты трехпетлевой поляризации вакуума в однофотонном взаимодействии и третьем порядке теории возмущений

Переходя к рассмотрению поляризационного оператора 6 порядка (диаграммы на рисунке 1.2), необходимо отметить, что он изучался в случае лэм-бовского сдвига (2Р - 2Б) в работах [ — ]. Удобно разделить этот вклад на две части: вклады диаграмм с одним и двумя фермионными циклами. В [92]

была получена общая параметрическая формула для вкладов диаграмм с одним фермионным циклом, но использовать ее для получения численных оценок сложно в силу остающихся многократных интегралов по фейнмановским и спектральным параметрам, а также проведения процедуры перенормировки. Более удобная для практического использования формула для поляризационного оператора была получена в [93]:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мартыненко Федор Алексеевич, 2023 год

Список литературы

1. Three Particle Muon-Electron Bound Systems in Quantum Electrodynamics [Текст] / A. Eskin [et al.] // Atoms. — 2023. — Vol. 11, no. 2. — P. 25.

2. Lamb shift in muonic ions of lithium, beryllium, and boron [Текст] / A. Kru-tov [et al.] // Physical Review A. — 2016. — Vol. 94, no. 6. — P. 062505.

3. Мартыненко, А. Теория сверхтонкой структуры S-состояний мюонного трития [Текст] / А. Мартыненко, Ф. Мартыненко, Р. Фаустов // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 2017. — Т. 151, № 6. — С. 1.

4. Вклад псевдоскалярных мезонов в сверхтонкую структуру спектра мюонного водорода [Текст] / А. Дорохов [и др.] // Письма в журнал Физика Элементарных Частиц и Атомного Ядра. — 2017. — Т. 14, № 6. — С. 601—612.

5. Theory of the Lamb shift in muonic ions |Li, |Be, цВ [Текст] / A. Krutov [et al.] // Physics of Particles and Nuclei. — 2017. — Vol. 48, no. 5. — P. 832—833.

6. The contribution of pseudoscalar and axial-vector mesons to hyperfine structure of muonic hydrogen [Текст] / A. Dorokhov [et al.] // Journal of Physics: Conference Series. Vol. 938. — IOP Publishing. 2017. — P. 012042.

7. Ground-state hyperfine structure of light muon-electron ions [Текст] / R. Faustov [et al.] // Physical Review A. — 2022. — Vol. 105, no. 4. — P. 042816.

8. Determination of the proton charge radius from the study of the hydrogen S-energy levels [Текст] / A. Dorokhov [et al.] // Journal of Physics: Conference Series. Vol. 1690. — IOP Publishing. 2020. — P. 012080.

9. The contribution of axial-vector mesons to hyperfine structure of muonic hydrogen [Текст] / A. Dorokhov [et al.] // Physics Letters B. — 2018. — Vol. 776. — P. 105—110.

10. Hyperfine structure of S states in muonic ions of lithium, beryllium, and boron [Текст] / A. Dorokhov [et al.] // Physical Review A. — 2018. — Vol. 98, no. 4. — P. 042501.

11. Corrections of two-photon interactions in the fine and hyperfine structure of the P-energy levels of muonic hydrogen [Текст] / A. Dorokhov [et al.] // The European Physical Journal A. — 2018. — Vol. 54, no. 8. — P. 1—10.

12. Вклад квадрупольного взаимодействия в сверхтонкую структуру р-состо-яний в ионах мюонного лития, бериллия и бора [Текст] / А. Крутов [и др.] // Краткие сообщения по физике Физического института им. П. Н. Лебедева Российской Академии Наук. — 2018. — Т. 45, № 3. — С. 34 38.

13. Энергетический интервал IS - 2S в мюонном водороде и гелии [Текст] / А. Дорохов [и др.] // Журнал экспериментальной и теоретической физики, _ 2019. - Т. 156, № 6. - С. 1044 1063.

14. Low-lying electron energy levels in three-particle electron-muon ions of Li, Be, and B [Текст] / A. Dorokhov [et al.] // Physical Review A. — 2021. — Vol. 103, no. 5. — P. 052806.

15. Сверхтонкая структура основного состояния в мюон - электронных ионах лития, бериллия и бора [Текст] / В. Коробов [и др.] // Краткие сообщения по физике Физического института им. П. Н. Лебедева Российской Академии Наук. — 2022. — Т. 49, № 6. — С. 13 21.

Precision physics of muonic ions of lithium, beryllium and boron /

A. Dorokhov [et al.] // International Journal of Modern Physics A. — 2021. — Vol. 36, no. 04. — P. 2150022.

17. Energy interval 2S-1S in muonic ions of lithium, beryllium and boron [Текст] / A. Dorokhov [et al.] // Journal of Physics: Conference Series. Vol. 1690. — IOP Publishing. 2020. — P. 012094.

18. Energy interval 3S- 1S in muonic hydrogen [Текст] / A. Dorokhov [et al.] // Physical Review A. — 2020. — Vol. 102, no. 6. — P. 062820.

19. Nuclear Structure Correction to Hyperfine Splitting in Light Muonic Ions [Текст] / A. Dorokhov [et al.] // Physics of Particles and Nuclei. — 2020. — Vol. 51, no. 4. — P. 657—660.

20. Мартыненко, А. Поправки на структуру ядра в сверхтонкой структуре Р - состояний легких мюонных ионов [Текст] / А. Мартыненко, Ф. Мартыненко, О. Сухорукова // Краткие сообщения по физике Физического института им. П. Н. Лебедева Российской Академии Наук. — 2020. — Т. 47, № 5. - С. 10—15.

21. Tensor meson contribution to the Lamb shift and hyperfine splitting in muonic hydrogen [Текст] / A. Dorokhov [et al.] // Journal of Physics: Conference Series. Vol. 1435. — IOP Publishing. 2020. — P. 012004.

22. Hyperfine structure of S-states in muonic ions of lithium, beryllium and boron [Текст] / A. E. Dorokhov [et al.] // Journal of Physics: Conference Series. — 2019. — Vol. 1390, no. 1. — P. 012081.

23. Hyperfine splitting of P-states in light muonic ions [Текст] / A. Dorokhov [et al.] // EPJ Web of Conferences. Vol. 222. — EDP Sciences. 2019. — P. 03008.

24. The Contribution of the Sigma-Meson to the Lamb Shift of Muonic Hydrogen [Текст] / A. Dorokhov [et al.] // Physics of Particles and Nuclei Letters. — 2019. — Vol. 16, no. 5. — P. 520—523.

25. Nuclear Structure Effects in the Hyperfine Structure of Muonic Lithium, Beryllium, and Boron [Текст] / A. Dorokhov [et al.] // Physics of Particles and Nuclei. — 2019. — Vol. 50, no. 5. — P. 635—636.

Effects of light-by-light scattering in the Lamb shift and hyperfine structure of muonic hydrogen [Текст] / A. Dorokhov [et al.] // EPJ Web of Conferences. Vol. 222. — EDP Sciences. 2019. — P. 03010.

27. The proton size puzzle: experiment vs theory. [Текст] / A. Dorokhov [et al.] // EPJ Web of Conferences. Vol. 191. — EDP Sciences. 2018. — P. 04001.

28. Martynenko, F. Hyperfine structure of S-states of muonic tritium [Текст] / F. Martynenko, R. Faustov, A. Martynenko // EPJ Web of Conferences. Vol. 132. — EDP Sciences. 2017. — P. 03032.

29. Energy spectra of muonic atoms in quantum electrodynamics [Текст] / A. Dorokhov [et al.] // EPJ Web of Conferences. Vol. 204. — EDP Sciences. 2019. — P. 05007.

30. Мартыненко, Ф. А. Сверхтонкая структура S - состояний мюонного трития [Текст] / Ф. А. Мартыненко, А. П. Мартыненко, Ф. Р. Н. // Сборник трудов конференции "XIV Всероссийский молодежный Самарский конкурс - конференция научных работ по оптике и лазерной физике 8-12 ноября 2016 года". — 2016. — С. 327 335.

31. Мартыненко, Ф. А. Адронные вклады рассеяния света на свете в сверхтонком расщеплении легких мюонных атомов [Текст] / Ф. А. Мартыненко / / Сборник трудов конференции "XV Всероссийский молодежный Самарский конкурс - конференция научных работ по оптике и лазерной физике, 14-18 ноября 2017 года". — 2017. — С. 337 344.

32. Мартыненко, Ф. А. Вклад двухфотонных амплитуд в тонкую и сверхтонкую структуру спектра мюонного водорода [Текст] / Ф. А. Мартыненко // Сборник трудов конференции "XVI Всероссийский молодежный Самарский конкурс - конференция научных работ по оптике и лазерной физике, 13-17 ноября 2018 года". - 2018. - С. 342 349.

33. Мартыненко, А. П. Частота перехода (2S-1S) в мюонном водороде и гелии [Текст] / А. П. Мартыненко, Ф. А. Мартыненко, О. С. Сухорукова // Сборник трудов конференции "XVII Всероссийский молодежный Самарский конкурс - конференция научных работ по оптике и лазерной физике, 12-16 ноября 2019 года". — 2019. — С. 103—110.

34. Hadronic contribution of light by light scattering in the energy spectrum of muonic hydrogen [Текст] / A. Dorokhov [et al.] // EPJ Web of Conferences. Vol. 204. — EDP Sciences. 2019. — P. 05008.

35. The sigma-meson exchange contribution to the muonic hydrogen Lamb shift [Текст] / A. Dorokhov [et al.] // EPJ Web of Conferences. Vol. 212. — EDP Sciences. 2019. — P. 07003.

36. Мартыненко, Ф. А. Электронный лэмбовский сдвиг (2P-2S) в мюонных ионах (\ieLi), (\ieBe), (\ieB) [Текст] / Ф. А. Мартыненко, А. Е. Дорохов, М. А. П. // Сборник трудов конференции "XVIII Всероссийский молодежный Самарский конкурс конференция научных работ по оптике и лазерной физике, 10-14 ноября 2020 года". — 2020. — С. 150—156.

37. Мартыненко, Ф. А. Сверхтонкая структура основного состояния мюон -электронных ионов лития, бериллия, бора [Текст] / Ф. А. Мартыненко // Сборник трудов конференции "XIX Всероссийский молодежный Самар-

ский конкурсконференция научных работ по оптике и лазерной физике, 9 - 13 ноября 2021 года". - 2021. - С. 68-75.

38. Мартыненко, Ф. А. Мюонный лэмбовский сдвиг в трехчастичных мюон -электронных системах в квантовой электродинамике [Текст] / Ф. А. Мартыненко // Сборник трудов конференции "XX Всероссийский молодежный Самарский конкурс-конференция научных работ по оптике и лазерной физике, посвященный 100-летию со дня рождения Н.Г. Басова, 8-12 ноября 2022 года". — 2022. — С. 121—128.

39. Мартыненко, Ф. А. Адронные вклады рассеяния света на свете в сверхтонком расщеплении легких мюонных атомов [Текст] / Ф. А. Мартыненко // Сборник трудов "Международная молодежная научная конференция "XIV Королёвские чтения посвящённая 110-летию со дня рождения академика С. П. Королёва, 75-летию КуА И-( ТАУ-Си м ГУ-Си мирского университета и 60-летию со дня запуска первого искусственного спутника Земли Том 2. - 2017. - С. 129-130.

40. Мартыненко, Ф. А. Вклад поляризационного оператора 6 порядка в тонкую структуру спектра мюонного водорода и гелия [Текст] / Ф. А. Мартыненко // Сборник трудов "Международная молодежная научная конференция "XV Королёвские чтения посвящённая 100-летию со дня рождения Д. И. Козлова Том 2. — 2019. — С. 586.

41. 1S-2S energy shift in muonic hydrogen [Текст] / R. N. Faustov [et al.] // EPJ Web of Conference / ed. by S. Bondarenko, V. Burov, A. Malakhov. — 2019. — Vol. 204. — P. 05005.

42. Eides, M. I. Theory of light hydrogenlike atoms [Текст] / M. I. Eides, H. Grotch, V. A. Shelyuto // Physics Reports. — 2001. — Vol. 342, no. 2/ 3. — P. 63—261.

43. Теория лэмбовского сдвига в ионах мюонного гелия [Текст] / А. Крутов [и др.] // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 2015. — Т. 147, № 1. - С. 85-104.

44. The size of the proton [Текст] / R. Pohl [et al.] // nature. — 2010. — Vol. 466, no. 7303. — P. 213—216.

45. Proton structure from the measurement of 2S-2P transition frequencies of muonic hydrogen [Текст] / A. Antognini [et al.] // Science. — 2013. — Vol. 339, no. 6118. — P. 417—420.

46. Laser spectroscopy of muonic deuterium [Текст] / R. Pohl [et al.] // Science. — 2016. — Vol. 353, no. 6300. — P. 669—673.

47. Antognini, A. The proton structure in and out of muonic hydrogen [Текст] / A. Antognini, F. Hagelstein, V. Pascalutsa // Annual Review of Nuclear and Particle Science. — 2022. — Vol. 72. — P. 389—418.

48. Measuring the a-particle charge radius with muonic helium-4 ions [Текст] / J. J. Krauth [et al.] // Nature. — 2021. — Vol. 589, no. 7843. — P. 527—531.

49. The Rydberg constant and proton size from atomic hydrogen [Текст] / A. Beyer [et al.] // Science. — 2017. — Vol. 358, no. 6359. — P. 79—85.

50. A small proton charge radius from an electron-proton scattering experiment [Текст] / W. Xiong [et al.] // Nature. — 2019. — Vol. 575, no. 7781. — P. 147—150.

A measurement of the atomic hydrogen Lamb shift and the proton charge radius [Текст] / N. Bezginov [et al.] // Science. — 2019. — Vol. 365, no. 6457. — P. 1007—1012.

52. New measurement of the 1 S- 3 S transition frequency of hydrogen: contribution to the proton charge radius puzzle [Текст] / H. Fleurbaey [et al.] // Physical review letters. — 2018. — Vol. 120, no. 18. — P. 183001.

53. Mohr, P. J. COD ATA recommended values of the fundamental physical constants: 2014 [Текст] / P. J. Mohr, D. B. Newell, B. N. Taylor // Journal of Physical and Chemical Reference Data. — 2016. — Vol. 45, no. 4. — P. 043102.

54. Technical Design Report for the Paul Scherrer Institute Experiment R-12-01.1: Studying the Proton" Radius" Puzzle with ц p Elastic Scattering [Текст] / R. Gilman [et al.] // arXiv preprint arXiv:1709.09753. — 2017.

55. Laser excitation of the 1S-hyperfine transition in muonic hydrogen [Текст] / P. Amaro [et al.] // SciPost Physics. — 2022. — Vol. 13, no. 2. — P. 020.

56. The FAMU experiment: muonic hydrogen high precision spectroscopy studies [Текст] / C. Pizzolotto [et al.] // The European Physical Journal A. — 2020. — Vol. 56, no. 7. — P. 1—15.

57. Laser spectroscopy of the hyperfine splitting energy in the ground state of muonic hydrogen [Текст] / M. Sato [et al.] //In Proceedings, 20th International Conference on Particles and Nuclei (PANIC 14): Hamburg, Germany, August 24-29, 2014, ed. A Schmidt, C Sander. — 2015. — P. 460—463.

58. Improved measurement of the hydrogen 1S — 2S transition frequency [Текст] / C. G. Parthey [et al.] // Physical review letters. — 2011. — Vol. 107, no. 20. — P. 203001.

Precision measurement of the hydrogen-deuterium 1 S- 2 S isotope shift [Текст] / C. G. Parthey [et al.] // Physical review letters. — 2010. — Vol. 104, no. 23. — P. 233001.

60. Refined determination of the muonium-deuterium 1 S-2 S isotope shift through improved frequency calibration of iodine lines [Текст] / I. Fan [et al.] // Physical Review A. — 2014. — Vol. 89, no. 3. — P. 032513.

61. Crivelli, P. The Mu-MASS (muonium laser spectroscopy) experiment [Текст] / P. Crivelli // Hyperfine Interactions. — 2018. — Vol. 239, no. 1. — P. 1—9.

62. Feasibility of coherent XUV spectroscopy on the 1 S- 2 S transition in singly ionized helium [Текст] / M. Herrmann [et al.] // Physical Review A. — 2009. — Vol. 79, no. 5. — P. 052505.

High-precision Ramsey-comb spectroscopy at deep ultraviolet wavelengths [Текст] / R. Altmann [et al.] // Physical Review Letters. — 2016. — Vol. 117, no. 17. — P. 173201.

64. Precise measurement of the hyperfine-structure interval and Zeeman effect in the muonic helium atom [Текст] / C. J. Gardner [et al.] // Physical Review Letters. — 1982. — Vol. 48, no. 17. — P. 1168.

65. New precise measurements of muonium hyperfine structure at J-PARC MUSE [Текст] / P. Strasser [et al.] // EPJ Web of Conferences. Vol. 198. — EDP Sciences. 2019. — P. 00003.

Korobov, V. Coulomb three-body bound-state problem: Variational calculations of nonrelativistic energies [Текст] / V. Korobov // Physical Review A. — 2000. — Vol. 61, no. 6. — P. 064503.

Lakdawala, S. D. Perturbation-theory calculation of hyperfine structure in muonic helium [Текст] / S. D. Lakdawala, P. J. Mohr // Physical Review A. — 1984. — Vol. 29, no. 3. — P. 1047.

Lakdawala, S. D. Calculation of the muonic He 3 hyperfine structure [Текст] / S. D. Lakdawala, P. J. Mohr // Physical Review A. — 1981. — Vol. 24, no. 4. — P. 2224.

69. Borie, E. Lamb shift in light muonic atoms—Revisited [Текст] / E. Borie // Annals of Physics. — 2012. — Vol. 327, no. 3. — P. 733—763.

70. Amusia, M. Y. Computation of the hyperfine structure in the (a — ц-е-)0 [Текст] / M. Y. Amusia, M. J. Kuchiev, V. Yakhontov // Journal of Physics B: Atomic and Molecular Physics (1968-1987). — 1983. — Vol. 16, no. 3. — P. L71.

Krutov, A. Ground-state hyperfine structure of the muonic helium atom / A. Krutov, A. Martynenko // Physical Review A. — 2008. — Vol. 78, no. 3. — P. 032513.

72. Lamb shift and fine structure at n= 2 in a hydrogenlike muonic atom with the nuclear spin I= 0 [Текст] / E. Y. Korzinin [et al.] // Physical Review A. — 2018. — Vol. 97, no. 1. — P. 012514.

The next generation of laser spectroscopy experiments using light muonic atoms [Текст] / S. Schmidt [et al.] // Journal of Physics: Conference Series. Vol. 1138. — IOP Publishing. 2018. — P. 012010.

74. Мартыненко, А. Теория изотопического сдвига мюонный водород-мюон-III>i il дейтерий [Текст] / А. Мартыненко // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 2005. — Т. 128, № 6. — С. 1169—1183.

75. Hyperfine structure of S states in muonic deuterium [Текст] / R. Faustov [et al.] // Physical Review A. — 2014. — Vol. 90, no. 1. — P. 012520.

76. Фаустов, P. Уровни энергии и электромагнитные свойства водородопо-добных атомов [Текст] / Р. Фаустов // Физика элементарных частиц и атомного ядра. — 1972. — Т. 3, № 1. — С. 238.

77. Ландау, Л. Курс теоретической физики, т. 4.: Квантовая электродинамика [Текст] / Л. Ландау, Е. Лифшиц. — 1989.

Pachucki, K. Nuclear-spin-dependent recoil correction to the Lamb shift [Текст] / K. Pachucki, S. Karshenboim // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. — 1995. — Vol. 28, no. 7. — P. L221.

Jentschura, U. D. Relativistic reduced-mass and recoil corrections to vacuum polarization in muonic hydrogen, muonic deuterium, and muonic helium ions [Текст] / U. D. Jentschura // Physical Review A. — 2011. — Vol. 84, no. 1. — P. 012505.

80. Pachucki, K. a(Za)2Ep correction to hyperfine splitting in hydrogenic atoms [Текст] / K. Pachucki // Physical Review A. — 1996. — Vol. 54, no. 3. — P. 1994.

Friar, J. L. Nuclear corrections to hyperfine structure in light hydrogenic atoms [Текст] / J. L. Friar, G. Payne // Physical Review C. — 2005. — Vol. 72, no. 1. — P. 014002.

Carlson, C. E. Nuclear-structure contribution to the Lamb shift in muonic deuterium [Текст] / C. E. Carlson, M. Gorchtein, M. Vanderhaeghen // Physical Review A. — 2014. — Vol. 89, no. 2. — P. 022504.

Peset, C. Model-independent determination of the two-photon exchange contribution to hyperfine splitting in muonic hydrogen [Текст] / C. Peset, A. Pineda // Journal of High Energy Physics. — 2017. — Vol. 2017, no. 4. — P. 1—19.

84. Nonrelativistic contributions of order abm\ic2 to the Lamb shift in muonic hydrogen and deuterium, and in the muonic helium ion /

S. G. Karshenboim [et al.] // Physical Review A. — 2010. — Vol. 81, no. 6. — P. 060501.

Ab initio calculation of nuclear-structure corrections in muonic atoms [Текст] / C. Ji [et al.] // Journal of Physics G: Nuclear and particle Physics. — 2018. — Vol. 45, no. 9. — P. 093002.

86. Theory of the n= 2 levels in muonic helium-3 ions [Текст] / B. Franke [et al.] // The European Physical Journal D. — 2017. — Vol. 71, no. 12. — P. 1—22.

Uehling, E. Polarization effects in the positron theory /

E. Uehling // Physical Review. — 1935. — Vol. 48, no. 1. — P. 55.

88. Bethe, H. A. Quantum mechanics of one-and two-electron atoms [Текст] / H. A. Bethe, E. E. Salpeter. — Springer Science & Business Media, 2012.

89. Kallen, G. Portrait of Gunnar Kallen [Текст] / G. Kallen, A. Sabry. — Springer International Publishing, Switzerland, 2014.

90. Kinoshita, T. Sixth-order vacuum-polarization contribution to the Lamb shift of muonic hydrogen / T. Kinoshita, M. Nio // Physical review letters. — 1999. — Vol. 82, no. 16. — P. 3240.

91. Kinoshita, T. Accuracy of calculations involving a3 vacuum-polarization diagrams: Muonic hydrogen Lamb shift and muon g- 2 / T. Ki-noshita, M. Nio // Physical Review D. — 1999. — Vol. 60, no. 5. — P. 053008.

92. Kinoshita, T. Parametric formula for the sixth-order vacuum polarization contribution in quantum electrodynamics / T. Kinoshita, W. Lindquist // Physical Review D. — 1983. — Vol. 27, no. 4. — P. 853.

93. Baikov, P. Three-loop QED Vacuum Polarization and the Four - loop Muon Anomalous Magnetic Moment [Текст] / P. Baikov, D. Broadhurst // arXiv preprint hep-ph/9504398. — 1995.

94. Hoang, A. Radiation of light fermions in heavy fermion production [Текст] / A. Hoang, J. Kiihn, T. Teubner // Nuclear Physics B. — 1995. — Vol. 452, no. 1/2. — P. 173—187.

Double bubble corrections to heavy quark production /

K. Chetyrkin [et al.] //Physics Letters B. — 1996. — Vol. 384, no. 1—4. — P. 233—240.

96. Martynenko, A. Lamb shift in the muonic helium ion [Текст] / A. Marty-nenko // Physical Review A. — 2007. — Vol. 76, no. 1. — P. 012505.

97. Hameka, H. On the use of Green functions in atomic and molecular calculations. I. The Green function of the hydrogen atom [Текст] / H. Hameka // The Journal of Chemical Physics. — 1967. — Vol. 47, no. 8. — P. 2728—2735.

98. Ландау, Л. Курс теоретической физики в 10 томах. Т. 3. Квантовая механика [Текст] / Л. Ландау, Е. Лифшиц // Москва: Физматлит. — 2008.

99. Borie, E. Hadronic vacuum polarization correction in muonic atoms [Текст] / E. Borie // Zeitschrift für Physik A Atoms and Nuclei. — 1981. — Vol. 302, no. 3. — P. 187—189.

100. Friar, J. L. Hadronic vacuum polarization and the Lamb shift [Текст] / J. L. Friar, J. Martorell, D. W. Sprung // Physical Review A. — 1999. — Vol. 59, no. 5. — P. 4061.

101. Мартыненко, А. Эффекты поляризации вакуума и поляризуемости протона в Лэмбовском сдвиге мюонного водорода [Текст] / А. Мартыненко // Ядерная Физика. — 2001. — Т. 64, № 1. — С. 1358.

Faustov, R. Nuclear structure corrections in the energy spectra of electronic and muonic deuterium [Текст] / R. Faustov, A. Martynenko // Physical Review A. — 2003. — Vol. 67, no. 5. — P. 052506.

103. Kelly, J. Simple parametrization of nucleon form factors [Текст] / J. Kelly // Physical Review C. — 2004. — Vol. 70, no. 6. — P. 068202.

104. Leptonic radiative corrections to elastic deuteron-electron scattering [Текст] / G. Gakh [et al.] // Physical Review C. — 2018. — Vol. 98, no. 4. — P. 045212.

Lepage, G. Radiative Corrections to Nuclear Size Corrections to the Lamb Shift [Текст] / G. Lepage, D. Yennie, G. Erickson // Physical Review Letters. — 1981. — Vol. 47, no. 22. — P. 1640.

106. Radiative nonrecoil nuclear finite size corrections of order a(Za)5 to the hyperfine splitting of S-states in muonic hydrogen [Текст] / R. Faustov [et al.] // Physics Letters B. — 2014. — Vol. 733. — P. 354—358.

107. Radiative nonrecoil nuclear finite size corrections of order a(Za)5 to the Lamb shift in light muonic atoms [Текст] / R. Faustov [et al.] // Physics Letters B. — 2017. — Vol. 775. — P. 79—83.

108. Eides, M. I. Radiative-recoil corrections of order a(Za)5(m/M)m to the Lamb shift revisited [Текст] / M. I. Eides, H. Grotch, V. A. Shelyuto // Physical Review A. — 2001. — Vol. 63, no. 5. — P. 052509.

109. Kroll, N. M. Second-order radiative corrections to hyperfine structure [Текст] / N. M. Kroll, F. Pollock // Physical Review. — 1952. — Vol. 86, no. 6. — P. 876.

110. FORM version 4.0 [Текст] / J. Kuipers [et al.] // Computer Physics Communications. — 2013. — Vol. 184, no. 5. — P. 1453—1467.

111. Martynenko, A. Proton polarizability and Lamb shift in the muonic hydrogen atom [Текст] / A. Martynenko, R. Faustov // Physics of Atomic Nuclei. — 2000. — Vol. 63, no. 5. — P. 845—849.

112. Eides, M. Recoil corrections of order (Za)6(m/M) m to the hydrogen energy levels recalculated [Текст] / M. Eides, H. Grotch // Physical Review A. — 1997. — Vol. 55, no. 5.

113. Pachucki, K. Pure recoil corrections to hydrogen energy levels [Текст] / K. Pachucki, H. Grotch // Physical Review A. — 1995. — Vol. 51, no. 3. — P. 1854.

114. Шабаев, В. M. Массовые поправки в сильном поле ядра [Текст] / В. М. Шабаев // Теоретическая и математическая физика. — 1985. — Т. 63, № 3. - С. 394-405.

115. Elkhovskii, A. S. Order (Za)4(m/Mcorrection to the hydrogen energy levels / A. S. Elkhovskii // Journal of Experimental and Theoretical Physics. — 1996. — Vol. 83, no. 2. — P. 230.

Light-by-light-scattering contributions to the Lamb shift in light muonic atoms [Текст] / E. Y. Korzinin [et al.] // Physical Review A. — 2018. — Vol. 98, no. 6. — P. 062519.

Pachucki, K. Nuclear structure corrections in muonic deuterium /

K. Pachucki // Physical Review Letters. — 2011. — Vol. 106, no. 19. — P. 193007.

118. Friar, J. Nuclear polarization corrections to |-d atoms in zero-range approximation [Текст] / J. Friar // Physical Review C. — 2013. — Vol. 88, no. 3. — P. 034003.

119. Frequency metrology of helium around 1083 nm and determination of the nuclear charge radius [Текст] / P. C. Pastor [et al.] // Physical review letters. — 2012. — Vol. 108, no. 14. — P. 143001.

Frequency metrology in quantum degenerate helium: Direct measurement of the 23Si ^ 2:So transition [Текст] / R. Van Rooij [et al.] // Science. — 2011. — Vol. 333, no. 6039. — P. 196—198.

121. Martynenko, A. Hyperfine ground-state structure of muonic hydrogen [Текст] / A. Martynenko, R. Faustov // Journal of Experimental and Theoretical Physics. — 2004. — Vol. 98, no. 1. — P. 39—52.

122. Rose, M. E. Relativistic electron theory [Текст] / M. E. Rose, W. Holla-day // Physics Today. — 1961. — Vol. 14, no. 11. — P. 58.

123. Measurement of e+e-n+n- cross-section with CMD-2 around p - meson [Текст] / R. Akhmetshin [et al.] // Physics Letters B. — 2002. — Vol. 527, no. 3/4. — P. 161—172.

124. Каршенбойм, С. Для радиационных поправок к отдаче [Текст] / С. Кар-шенбойм, В. Шелюто, М. Эйдес // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 1988. — Т. 94, № 4 0. — С. 42.

125. Lepage, G. P. Analytic bound-state solutions in a relativistic two-body formalism with applications in muonium and positronium / G. P. Lepage // Physical Review A. — 1977. — Vol. 16, no. 3. — P. 863.

Bodwin, G. T. Hyperfine splitting in positronium and muonium /

G. T. Bodwin, D. R. Yennie // Physics Reports. — 1978. — Vol. 43, no. 6. — P. 267—303.

127. Bodwin, G. T. Recoil effects in the hyperfine structure of QED bound states [Текст] / G. T. Bodwin, D. Yennie, M. Gregorio // Reviews of modern physics. — 1985. — Vol. 57, no. 3. — P. 723.

Experimental detection and investigation of muon catalyzed fusion of deuterium and tritium [Текст] / V. Bystritsky [et al.] // Physics Letters B. — 1980. — Vol. 94, no. 4. — P. 476—479.

Lin, C.-D. Review of fundamental processes and applications of atoms and ions [Текст] / C.-D. Lin. — World Scientific, 1993.

130. Герштейн, С. Мюонный катализ и ядерный бридинг [Текст] / С. Гер-штейн, Ю. Петров, Л. Пономарев // Успехи физических наук. — 1990. — Т. 160, № 8. - С. 3 46.

131. Л.И. Меньшиков Л.Н. Сомов, Л/. Ф. / М. Ф. Л.И. Меньшиков Л.Н. Сомов // ЖЭТФ. - 1988. - Т. 94, № 6.

Measurement of the Resonant d t Molecular Formation Rate in Solid HD [Текст] / T. Porcelli [et al.] // Physical Review Letters. — 2001. — Vol. 86, no. 17. — P. 3763.

133. Experimental investigation of muon-catalyzed dt fusion in wide ranges of D/T mixture conditions [Текст] / V. Bom [et al.] // Journal of Experimental and Theoretical Physics. — 2005. — Vol. 100, no. 4. — P. 663—687.

Resonant formation of mesie molecules of hydrogen / S. Vinitskii

[et al.] // JETP. — 1978. — Vol. 47, no. 3. — P. 444—449.

135. Мильштейп, А. Поправки к сверхтонкой структуре и лэмб-сдвигу дейтерия, обусловленные структурой ядра [Текст] / А. Мильштейп, С. I le i росян. И. Хриплович // Журнал экспериментальной и теоретической физики. _ 1996. _ т. 109, № 4. - С. 1146-1158.

136. Khriplovich, I. Corrections to deuterium hyperfine structure due to deuteron excitations / I. Khriplovich, A. Milstein // Journal of Experimental and Theoretical Physics. — 2004. — Vol. 98, no. 2. — P. 181—185.

137. Friar, J. L. The nuclear physics of hyperfine structure in hydrogenic atoms [Текст] / J. L. Friar, G. Payne // Physics Letters B. — 2005. — Vol. 618, no. 1—4. — P. 68—76.

Eides, M. I. Weak-interaction contributions to hyperfine splitting and Lamb shift in light muonic atoms / M. I. Eides // Physical Review A. —

2012. — Vol. 85, no. 3. — P. 034503.

139. Knecht, M. Resonance estimates of 0(p6) low-energy constants and QCD short-distance constraints [Текст] / M. Knecht, A. Nyffeler // The European Physical Journal C-Particles and Fields. — 2001. — Vol. 21, no. 4. — P. 659—678.

140. Dorokhov, A. The pseudoscalar hadronic channel contribution of the light-by-light process to the muon (g- 2) ц within the nonlocal chiral quark model [Текст] / A. Dorokhov, A. Radzhabov, A. Zhevlakov // The European Physical Journal C. — 2011. — Vol. 71, no. 7. — P. 1—12.

141. Dorokhov, A. The light-by-light contribution to the muon (g-2) from lightest pseudoscalar and scalar mesons within nonlocal chiral quark model [Текст] / A. Dorokhov, A. Radzhabov, A. Zhevlakov // The European Physical Journal C. — 2012. — Vol. 72, no. 11. — P. 1—12.

142. Dorokhov, A. Complete structure-dependent analysis of the decay P ^ l+l [Текст] / A. Dorokhov, M. Ivanov, S. Kovalenko // Physics Letters B. — 2009. — Vol. 677, no. 3/4. — P. 145—149.

143. Karshenboim, S. G. Hadronic light-by-light scattering in muonium hyper-fine splitting [Текст] / S. G. Karshenboim, V. Shelyuto, A. Vainshtein // Physical Review D. — 2008. — Vol. 78, no. 6. — P. 065036.

144. Q2 duality and rare pion decays [Текст] / L. Bergstrom [et al.] // Physics Letters B. — 1983. — Vol. 126, no. 1/2. — P. 117—121.

145. Dorokhov, A. E. Rare decay п0 ^ e+e- Theory confronts KTeV data [Текст] / A. E. Dorokhov, M. A. Ivanov // Physical Review D. — 2007. — Vol. 75, no. 11. — P. 114007.

146. Dorokhov, A. On mass corrections to the decay P ^ l+l- [Текст] / A. Dorokhov, M. Ivanov // JETP letters. — 2008. — Vol. 87, no. 10. — P. 531—536.

Measurements of the meson-photon transition form factors of light pseu-doscalar mesons at large momentum transfer [Текст] / J. Gronberg [et al.] // Physical Review D. — 1998. — Vol. 57, no. 1. — P. 33.

148. Lepage, G. P. Exclusive processes in perturbative quantum chromodynam-ics [Текст] / G. P. Lepage, S.J. Brodsky // Physical Review D. — 1980. — Vol. 22, no. 9. — P. 2157.

149. Masjuan, P. n and n' decays into lepton pairs [Текст] / P. Masjuan, P. Sanchez-Puertas // Journal of High Energy Physics. — 2016. — Vol. 2016, no. 8. — P. 1—35.

150. Pauk, V. Single meson contributions to the ц anomalous magnetic moment [Текст] / V. Pauk, M. Vanderhaeghen // The European Physical Journal C. — 2014. — Vol. 74, no. 8. — P. 1—8.

151. Cahn, R. N. Production of spin-one resonances in у y/emPh> collisions [Текст] / R. N. Cahn // Physical Review D. — 1987. — Vol. 35, no. 11. — P. 3342.

152. /i(1285) formation in two-photon collisions at LEP [Текст] / P. Achard [et al.] // Physics Letters B. — 2002. — Vol. 526, no. 3/4. — P. 269—277.

Formation of spin-one mesons by photon-photon fusion / H. Aihara

[et al.] // Physical Review D. — 1988. — Vol. 38, no. 1. — P. 1.

154. Workman, R. Particle Data Group [Текст] / R. Workman // Prog. Theor. Exp. Phys. — 2022. — Vol. 2022. — P. 083C01.

155. Schuler, G. Meson-photon transition form factors and resonance cross-sections in e+e— collisions [Текст] / G. Schuler, F. A. Berends, R. Van Gu-lik // Nuclear Physics B. — 1998. — Vol. 523, no. 3. — P. 423—438.

Anomalous i exchange in vector meson photoproduction asymmetries [Текст] / Y. Oh [et al.] // Physical Review D. — 2000. — Vol. 62, no. 1. — P. 017504.

New anomalous trajectory in Regge theory / N. I. Kochelev

[et al.] // Physical Review D. — 2000. — Vol. 61, no. 9. — P. 094008.

158. Borisyuk, D. Meson exchange in lepton-nucleon scattering and the proton radius puzzle [Текст] / D. Borisyuk // Physical Review C. — 2017. — Vol. 96, no. 5. — P. 055201.

159. Volkov, M. 2y decays of scalar mesons a(600), f0(980),anda0(980) in the Nambu-Jona-Lasinio model [Текст] / M. Volkov, E. Kuraev, Y. M. Bystrit-skiy // Physics of Atomic Nuclei. — 2010. — Vol. 73, no. 3. — P. 443—447.

Giacosa, F. Two-photon decay width of the sigma meson / F. Gi-

acosa, T. Gutsche, V. E. Lyubovitskij // Physical Review D. — 2008. — Vol. 77, no. 3. — P. 034007.

161. Branz, T. Two-photon and one-photon-one-vector meson decay widths of the /o(1370), /2(1270), /o(1710), f2(1525),andK*(1430) [Текст] / T. Branz, L. S. Geng, E. Oset // Physical Review D. — 2010. — Vol. 81, no. 5. — P. 054037.

162. Achasov, N. N. Light scalar mesons in photon - photon collisions [Текст] / N. N. Achasov, G. N. Shestakov // Physics-Uspekhi. — 2011. — Vol. 54, no. 8. — P. 799.

163. Amplitude analysis of high statistics results on yy ^ n— and the two photon width of isoscalar states [Текст] / M. Pennington [et al.] // The European Physical Journal C. — 2008. — Vol. 56, no. 1. — P. 1—16.

164. Oh, Y. p meson photoproduction at low energies [Текст] / Y. Oh, T.-S. Lee // Physical Review C. — 2004. — Vol. 69, no. 2. — P. 025201.

165. Zhou, H.-Q. The a exchange effect in the Lamb shift of muonic hydrogen by two photons and two pions exchange [Текст] / H.-Q. Zhou // arXiv preprint arXiv:1608.06460. — 2016.

166. Huong, N. T. Single pion contribution to the hyperfine splitting in muonic hydrogen [Текст] / N. T. Huong, E. Kou, B. Moussallam // Physical Review D. — 2016. — Vol. 93, no. 11. — P. 114005.

167. Zhou, H.-Q. One-pion-exchange effect in the energy spectrum of muonic hydrogen [Текст] / H.-Q. Zhou, H.-R. Pang // Physical Review A. — 2015. — Vol. 92, no. 3. — P. 032512.

168. Friar, J. L. Zemach moments for hydrogen and deuterium [Текст] / J. L. Friar, I. Sick // Physics Letters B. — 2004. — Vol. 579, no. 3/ 4. — P. 285—289.

169. Distler, M. O. The RMS charge radius of the proton and Zemach moments [Текст] / M. O. Distler, J. C. Bernauer, T. Walcher // Physics Letters B. — 2011. — Vol. 696, no. 4. — P. 343—347.

170. Zemach and magnetic radius of the proton from the hyperfine splitting in hydrogen [Текст] / A. V. Volotka [et al.] // The European Physical Journal D-Atomic, Molecular, Optical and Plasma Physics. — 2005. — Vol. 33, no. 1. — P. 23—27.

Proton Zemach radius from measurements of the hyperfine splitting of hydrogen and muonic hydrogen [Текст] / A. Dupays [et al.] // Physical Review A. — 2003. — Vol. 68, no. 5. — P. 052503.

172. Zhou, H.-Q. Two-photon-exchange effects in the unpolarized ц p scattering within a hadronic model [Текст] / H.-Q. Zhou // Physical Review C. — 2017. — Vol. 95, no. 2. — P. 025203.

Nucleon - meson coupling constants and form factors in the quark model [Текст] / C. Downum [et al.] // Physics Letters B. — 2006. — Vol. 638, no. 5/6. — P. 455—460.

174. Aliev, T. Scalar form factor of the nucleon and nucleon-scalar meson coupling constant in QCD [Текст] / T. Aliev, M. Savci // Physical Review D. — 2007. — Vol. 75, no. 4. — P. 045006.

175. Nozawa, S. Electromagnetic form factors of spin - 1/3 baryons [Текст] / S. Nozawa, D. B. Leinweber // Physical Review D. — 1990. — Vol. 42, no. 10. — P. 3567.

176. Deser, S. Massive spin 3/2 electrodynamics [Текст] / S. Deser, A. Waldron, V. Pascalutsa // Physical Review D. — 2000. — Vol. 62, no. 10. — P. 105031.

177. Uberall, H. Electron Scattering From Complex Nuclei V36A [Текст] / H. Uberall. — Academic Press, 2012.

178. Fuller, G. H. Nuclear spins and moments [Текст] / G. H. Fuller // Journal of physical and chemical reference data. — 1976. — Vol. 5, no. 4. — P. 835—1092.

179. Hyperfine structure of P states in muonic deuterium [Текст] / R. Faustov [et al.] // Physical Review A. — 2015. — Vol. 92, no. 5. — P. 052512.

180. Drake, G. W. Lamb shifts and fine-structure splittings for the muonic ions ц-Li, ц-Be, and ц-B: A proposed experiment [Текст] / G. W. Drake, L. L. Byer // Physical Review A. — 1985. — Vol. 32, no. 2. — P. 713.

Pachucki, K. Nuclear vector polarizability correction to hyperfine splitting [Текст] / K. Pachucki // Physical Review A. — 2007. — Vol. 76, no. 2. — P. 022508.

182. Собельмащ И. Введение в теорию атомных спектров [Текст] / И. Собель-мин. - Физматгиз, М., 1963.

183. Bergstrom, L. D-wave quarkonium production and annihilation decays: Formalism and applications [Текст] / L. Bergstrom, H. Grotch, R. W. Robi-nett // Physical Review D. — 1991. — Vol. 43, no. 7. — P. 2157.

Pachucki, K. Long-wavelength quantum electrodynamics /

K. Pachucki // Physical Review A. — 2004. — Vol. 69, no. 5. — P. 052502.

Pachucki, K. Nuclear mass correction to the magnetic interaction of atomic systems [Текст] / K. Pachucki // Physical Review A. — 2008. — Vol. 78, no. 1. — P. 012504.

186. Zatorski, J. Electrodynamics of finite-size particles with arbitrary spin [Текст] / J. Zatorski, K. Pachucki // Physical Review A. — 2010. — Vol. 82, no. 5. — P. 052520.

187. Elekina, E. Fine and hyperfine structure of the muonic 3He ion [Текст] / E. Elekina, A. Martynenko // Physics of Atomic Nuclei. — 2010. — Vol. 73, no. 11. — P. 1828—1837.

188. Relativistic quantum mechanics [Текст]. Vol. 2 / W. Greiner [et al.]. — Springer, 2000.

189. Swainson, R. Lamb shifts and fine-structure splittings for light muonic ions: Hyperfine-structure corrections [Текст] / R. Swainson, G. W. Drake // Physical Review A. — 1986. — Vol. 34, no. 1. — P. 620.

190. Yakhontov, V. Hyperfine splitting computation in the lS\/2 (e) 2s\/2 (mu) state of the exotic (4He2+ — \i~e—)0 and (3He2+ — \i~e—)0 atoms [Текст] / V. Yakhontov, M. Y. Amusia // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. — 1994. — Vol. 27, no. 16. — P. 3743.

191. Martynenko, A. Ground state hyperfine structure in muonic lithium ions [Текст] / A. Martynenko, A. Ulybin // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. — 2015. — Vol. 48, no. 19. — P. 195003.

192. Huang, K.-N. Theoretical hyperfine structure of the muonic He 3 and He 4 atoms [Текст] / K.-N. Huang, V. W. Hughes // Physical Review A. — 1982. — Vol. 26, no. 5. — P. 2330.

193. Chen, M.-K. Correlated wave functions and hyperfine splittings of the 2s state of muonic He 3, 4 atoms [Текст] / M.-K. Chen // Physical Review A. — 1992. — Vol. 45, no. 3. — P. 1479.

194. Huang, K.-N. Theoretical hyperfine structure of muonic helium [Текст] / K.-N. Huang, V. Hughes // Physical Review A. — 1979. — Vol. 20, no. 3. — P. 706.

195. Drachman, R. J. Nonrelativistic hyperfine splitting in muonic helium by adiabatic perturbation theory [Текст] / R. J. Drachman // Physical Review A. — 1980. — Vol. 22, no. 4. — P. 1755.

196. Frolov, A. M. Properties and hyperfine structure of helium-muonic atoms [Текст] / A. M. Frolov // Physical Review A. — 2000. — Vol. 61, no. 2. — P. 022509.

197. Aznabayev, D. The Hyperfine Structure of the Ground State in the Muonic Helium Atoms [Текст] / D. Aznabayev, A. Bekbaev, V. Korobov // Physics of Particles and Nuclei Letters. — 2018. — Vol. 15, no. 3. — P. 236—239.

198. Karshenboim, S. G. Low energy levels in neutral muonic helium within a nonrelativistic approach [Текст] / S. G. Karshenboim, V. G. Ivanov, V. I. Korobov // Physical Review A. — 2018. — Vol. 97, no. 2. — P. 022504.

199. Krutov, A. Hyperfine structure of the excited state ls1/2(e)2s1/2 |i of the muonic helium atom [Текст] / A. Krutov, A. Martynenko // Physical Review A. — 2012. — Vol. 86, no. 5. — P. 052501.

200. Yerokhin, V. Lamb shift of n = 1 and n = 2 states of hydrogen-like atoms, 1 ^ Z ^ 110 [Текст] / V. Yerokhin, V. Shabaev // Journal of Physical and Chemical Reference Data. — 2015. — Vol. 44, no. 3. — P. 033103.

201. Теория лэмбовского сдвига в ионах мюонного гелия [Текст] / А. Крутов [и др.] // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 2015. — Т. 147, № 1. - С. 85-104.

Proceedings of the 8th International Conference on Atomic Physics, edited by I. Lindgren, A. Rosen, and S. Svanberg [Текст] / M. Gladish [et al.]. — 1983.

203. Stone, N. Table of nuclear magnetic dipole and electric quadrupole moments [Текст] / N. Stone // Atomic Data and Nuclear Data Tables. — 2005. — Vol. 90, no. 1. — P. 75—176.

204. Angeli, I. Table of experimental nuclear ground state charge radii: An update [Текст] / I. Angeli, K. P. Marinova // Atomic Data and Nuclear Data Tables. — 2013. — Vol. 99, no. 1. — P. 69—95.

205. Brodsky, S. J. Radiative Level Shifts. III. Hyperfine Structure in Hydro-genic Atoms / S. J. Brodsky, G. W. Erickson // Physical Review. — 1966. — Vol. 148, no. 1. — P. 26.

206. Kroll, N. M. Radiative corrections to the hyperfine structure and the fine structure constant [Текст] / N. M. Kroll, F. Pollock // Physical Review. — 1951. — Vol. 84, no. 3. — P. 594.

207. Karplus, R. Electrodynamic displacement of atomic energy levels [Текст] / R. Karplus, A. Klein, J. Schwinger // Physical Review. — 1951. — Vol. 84, no. 3. — P. 597.

208. Newcomb, W. Mass Corrections to the Hyperfine Structure in Hydrogen [Текст] / W. Newcomb, E. Salpeter // Physical Review. — 1955. — Vol. 97, no. 4. — P. 1146.

209. Arnowitt, R. The hyperfine structure of hydrogen [Текст] / R. Arnowitt // Physical Review. — 1953. — Vol. 92, no. 4. — P. 1002.

210. Frolov, A. M. Hyperfine splitting in the ground states of the lithium-muonic ions and in the 2S3 states of the lithium-muonic atoms / A. M. Frolov // Physics Letters A. — 2006. — Vol. 357, no. 4/5. — P. 334—338.