Метод квазипотенциала в исследовании спектров экзотических атомов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.05, кандидат физико-математических наук Бойкова, Ольга Алексеевна

• Бойкова, Ольга Алексеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бойкова, Ольга Алексеевна

пары

§2. Определение величины сверхтонкого расщепления в аннигиляционном

канале взаимодействий

§3. Вероятность распада парапозитрония и время его жизни

Выводы

Глава 3. Электромагнитное взаимодействие в мюонии и мюонном водороде

§1. Фермионная система в квазипотенциальном подходе

§ 2. Сверхтонкое расщепление в мюонии и мюонном водороде

§ 3. Тонкая структура спектров экзотических атомов

Выводы

Глава 4. О значении сходимости ряда теории возмущений при исследовании

спектров экзотических атомов

§ 1. Устранение инфракрасных особенностей в низкочастотной области

§2. Описание квазипотенциала как функции полной энергии и относительных

импульсов

§3. Сравнение методов вычисления величины тонких сдвигов с точностью до пятого порядка по а

Выводы

Глава 5. Прецизионное исследование логарифмических вкладов в энергетические спектры экзотических атомов. Сходимость ряда теории

возмущений

§1. Компенсация поправок а5\па в сверхтонкий сдвиг уровней энергии

экзотического атома при обменах одним и двумя фотонами

§2. Компенсация поправок а6 lim-1 в тонкий сдвиг уровней энергии

экзотического атома при обменах одним и двумя поперечными фотонами

факторами

Выводы

Заключение

Библиографический список

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод квазипотенциала в исследовании спектров экзотических атомов»

Введение.

Влияние исследований спектров одиночного атома на решение ряда фундаментальных проблем физики очевидно. Первыми успехами теории Бора было объяснение найденных на опыте закономерностей в спектре водорода и вычисление значений постоянной Ридберга (7?). По Бору Я = 109737,42 см"1, эксперимент же давал величину Я - 109677,76 см"1. Считалось, что данные теории и эксперимента находились в хорошем согласии. Важно также, что первая работа Бора, относящаяся непосредственно к строению атома, носила название "Связывание электронов положительным ядром". Из работы вытекало, что описание спектроскопии одиночного изолированного атома, следует начинать с простейшего связанного состояния двух частиц - атома водорода.

В последующее десятилетие на этой основе была создана нерелятивистская квантовая механика, а также теория Дирака. Открытие собственного механического момента частиц - спина - привело к появлению двух важнейших направлений спектроскопии одиночного атома: к задачам о сверхтонком расщеплении уровней энергии и тонкой структуре.

Впечатляет разительное и последовательное увеличение точности результатов измерения постоянной Ридберга (табл. 1).

Таблица. 1. Экспериментальные значения постоянной Ридберга.

Год определения Значение Я, см"1

1986 109737,3150(41)

1987 109737,31571(^7 )

1992 109737,315684\( 42 )

1998 109737,31568549(^83 )

2006 109737,31568527(^73;

От боровской точности - два знака после запятой точность возросла до восьми знаков в 2006 [1] году. За этим стоит интенсивное развитие экспериментальных методов исследования (использование явления Зеемана, радиоспектроскопия,

двухфотонная лазерная спектроскопия, эксперименты с ультрахолодными атомами). В то же время таблица частично отражает выше упомянутую эволюцию квантовой теории.

В основе любого точного измерения значений физических параметров лежит вопрос об эталонах. Роль фундаментальных физических констант в науке и технике неочевидна, но, тем не менее, очень важна [2]. Чтобы сравнить результаты различных исследований, необходимо иметь эталоны измеряемых величин с погрешностями, меньшими, чем допустимая погрешность результатов. В 60—80-е г. прошлого века произошел постепенный переход от механических эталонов длины, времени, массы и электрического заряда к атомным и квантовым эталонам. При этом возник вопрос о переходе от физических величин (частоты лазерного излучения, массы покоя электрона, скорости света в вакууме и т.д.) к более удобным и привычным для применения значениям старых механических эталонов. Основным условием для использования физических констант в качестве эталона является высокая точность их значений. Поскольку они связаны между собой различными соотношениями, то, уточняя одну из констант, мы тем самым повышаем точность других эталонов. Но иногда оказывается и наоборот, неточность в определении одной из фундаментальных констант приводит к тому, что значения всех эталонов оказываются неточными.

В 70-х годах прошлого века в сверхтонкой структуре уровней энергии водорода, на переходах между которыми работает водородный мазер, неожиданно обнаружилось значительное расхождение между теорией и экспериментом. На повторение экспериментальных измерений были потрачены огромные средства, так как уже тогда планировался переход к квантовым эталонам, одним из которых мог стать эталон частоты водородного мазера. Поскольку новые результаты практически совпали с предыдущими, версия об ошибке экспериментаторов была отброшена. К тому времени уже получила признание калибровочная модель Вайнберга-Салама, так что ограничения

квантовой электродинамики также не рассматривались всерьез. Возник вопрос, правильно ли применяется теория возмущений при расчете спектра водорода, или ошибка вызвана неточностью определения входящих в уравнения констант. Несколько групп теоретиков проверяли и перепроверяли расчеты друг друга в течение почти десяти лет, пока не было твердо доказано, что ошибка вызвана неточностью значения постоянной тонкой структуры, взятой из более ранних источников. Кроме того, свою роль сыграло и то, что в теоретическую формулу входят различные степени а, вплоть до шестой, и это вызвало накопление ошибки в конечном результате. Как видим, углубление представлений об атоме тесно связано с увеличением требований к точности определения фундаментальных констант и, в частности, константы тонкой структуры, постоянной Ридберга. Криптоновый эталон частоты, определявшийся с точностью 10~и, оказался слишком грубым и был заменен цезиевым.

Применение оптики холодных атомов к исследованию тонких эффектов взаимодействий в связанных состояниях частиц является экспериментальным стимулом развития теории водородоподобных экзотических атомов. Как известно, измерение лэмбовского сдвига в атоме водорода является одной из важнейших проверок квантовой электродинамики при низких энергиях. Существенного повышения точности экспериментального результата по сравнению с традиционным радиоспектроскопическим методом удалось достигнуть с помощью метода атомного интерферометра. Эта методика позволяет выполнить прецизионное измерение лэмбовского сдвига не только для атомов водорода и дейтерия, но и для ряда водородоподобных ионов, измерить частоты тонкого и сверхтонкого расщепления уровней, определить электрический радиус протона, радиус а частицы и другие характеристики.

Впечатляющие успехи физики элементарных частиц во второй половине прошлого века расширили и углубили представление об атоме. Остановимся на метаморфозе, которую претерпело представление о простейших двухчастичных атомах. Результаты экспериментальных исследований показали, что

отрицательно заряженная частица может заменить электрон в атоме, а положительно заряженная - захватить электрон, образуя систему со свойствами, сходными со свойствами атомов водородоподобного ряда: Я, Не+, Ы2+, .... Так, необычный, экзотический атом можно получить в результате посадки тяжелой отрицательной частицы X (X = ¿и~,к~...) на обычный атом. Такие атомы, где место электронов занимают мезоны, получили название мезоатомов. Поэтому, кроме обычных электронных атомов имеются мюонные, пионные, каонные и прочие атомы.

Рассмотрим теперь другой упомянутый выше способ образования экзотических атомов - положительно заряженная частица захватывает отрицательно заряженную, входящую в электронную оболочку обычного атома. Самая известная система такого типа - позитроний. Свободный позитроний образуется при столкновениях медленного позитрона с атомом газа, в результате чего атомный электрон выхватывается позитроном. Связанное состояние электрона и позитрона аналогично атому водорода, в котором протон заменяется на позитрон. Обе системы состоят из стабильных частиц, однако атом водорода стабилен, а атом позитрония стабильным не является. Особенностью позитрония является наличие аннигиляционного канала, кроме рассеивательного канала взаимодействия. Аналогично процессу образования позитрония, положительные мюоны образованные,

например, при распадах л+ - мезонов, попадая в замедляющую среду (типа аргона), теряют энергию при ионизации атомов, пока она не достигает энергии порядка ЮОэБ. При этом становится вероятным захват мюоном одного из электронов атома аргона с образованием атома мюония, где роль ядра "играет" положительный мюон.

С мезоатомами, в которых электрон заменен отрицательно заряженными мезонами связан новый, возникший в 60-х годах прошлого века метод изучения структуры вещества - мезонная химия. Простейший из мезоатомов - мюонный водород представляет собой связанное состояние протона и отрицательного

мюона. Боровский радиус мюонного водорода определяется выражением

т

где т и е - масса и заряд мюона, Z - заряд ядра. Эта величина в — « 207 раз

те

меньше боровского радиуса атома водорода. Поэтому соответствующие нижним энергетическим уровням мюонные "орбиты" расположены значительно ближе к ядру, чем в случае водорода. Этот факт послужил основанием исследований, в которых мюонные атомы используются для изучения распределения заряда в ядре.

Понятие об экзотических атомах впервые было введено Ферми, Теллером, У ил ером [3]. Оно способствовало объяснению экспериментальных данных, свидетельствующих о том, что время жизни отрицательных мюонов в веществе существенно меньше, чем у свободных мюонов. Экзотический атом, отличается от обычного, рассматриваемого в теории Бора тем, что в его структуру не входят либо электрон, либо протон, а может быть и такая "невероятная" ситуация, когда в атоме нет ни электрона, ни протона.

В 1995 году в ЦЕРНе на накопительном кольце антипротонов LEAR были "синтезированы" впервые атомы антиводорода, что доказало существование антиматерии в природе. Исследование спектроскопических свойств антиводорода неразрывно связано с пониманием фундаментальных свойств материи и, прежде всего, симметрии, которая находит свое отражение в теореме СРТ инвариантности. Экспериментальная проверка СРТ справедливости этой теоремы предполагает определение неизвестных пока параметров античастиц (массы, заряда, магнитных моментов, гиромагнитных отношений и др.) и последующее сравнение их с соответствующими параметрами частиц [4].

Интерес к исследованию спектров водородоподобных и экзотических атомов не ослабевает. Опубликованы обзоры с анализом и систематизацией

теоретических и экспериментальных результатов исследовании атомных спектров [2, 5, 6]. Одно из главных направлений исследований - изучение тонкой структуры и сверхтонкого расщепления спектральных линий. Интервал 2£1/2-1£1/2 в атоме водорода измерен в настоящее время с точностью до

десятка Гц

к15_25 =2 466 061413187103 (46) Гц. (2)

Прогресс, достигнутый в последних экспериментах лазерной спектроскопии, ставит перед теорией задачу повышения точности расчетов энергетических сдвигов в атомах, что тесно связано с решением проблем метрологии и развитием физики элементарных частиц [7].

Приведем структуру ровней энергии в атоме водорода (рис.1). Ридберговская (главная) структура уровней энергии предполагает, что АпфО, и описывается теорией Бора и Шредингера. Теория Дирака позволяет учесть различие уровней энергии по квантовому числу / (А/ ф 0), но не может объяснить энергетический сдвиг уровней энергии с одинаковыми квантовыми числами п, j и разными /.

2рз/г F'ne Aj^O Dirac

structure theory

2pi/2 2pi/2

F=1.

1Si/2

Lamb a 1*0 QED

shift

Gross An?i0 Bohr theory structure Schrodinger theory

F-0 HpS др^о Schrodinger theory

and QED

Рис. 1. Уровни энергии в атоме водороде.

Вычисление сверхтонкого расщепления уровней энергии водородоподобных атомов: я, Не*, Li1+, .... можно привести к скалярному произведению векторов магнитных моментов электрона и многозарядового ядра [8], умноженному на квадрат кулоновской функции. При решении уравнения Шредингера с кулоновским потенциалом получим

I |2 а3м3 т\т7 /<2 4

п (тх + т2)

Учитывая величину магнитных моментов электрона и ядра, для сверхтонкого расщепления основного уровня энергии водородоподобного атома в первом приближении находим

аг иг е 2е 2аА иъ

Е0 = —----=-. (4)

я тх т2 тхтг

Заметим, что величина сверхтонкого расщепления в атоме водорода была определена Ферми еще в начале 30-х годов прошлого века и имела также четвертый порядок по константе тонкой структуры а. Однако, такая точность результата недостаточна для сравнения с имеющимися прецизионными измерениями в квантовой оптике.

Методами квантовой механики можно получить полную характеристику состояний электрона в одноэлектронном атоме. Энергия одноэлектронного атома без учета спина электрона определяется выражением

(5)

П

где п - главное квантовое число.

Уравнение Дирака с кулоновским потенциалом для водорода решается точно. Описание электрона в кулоновском поле атомного ядра приводит к дискретному спектру энергии, зависящему от двух квантовых чисел п и 7,7-полный момент количества движения частицы

(п-£]У

где Е]= у + ^ - л/(/+ 1/2 )2 -г2еА . Главное квантовое число п принимает все целые

положительные значения, а полный момент количества движения у - все

13 1

полуцелые значения 7 = Если выражение (8) разложить в ряд по

степеням 2ге\ то получим

21е' п 3

2 п2 2 п4 0 + 1/2; 4

^ а ^ е п з

где первое слагаемое - масса электрона, второе - в точности совпадает с результатом нерелятивистской теории. Следующее слагаемое определяет релятивистские поправки, отвечающие тонкой структуре уровней энергии.

Отклонение величины сверхтонкого расщепления основного состояния от дираковской теории (аномальный магнитный момент электрона) и расщепление уровней 251/2 и 2Ри2 (лэмбовский сдвиг) потребовало развития квантовой теории. Физической основой лэмбовского сдвига является поляризация вакуума, которая получила математическое описание в полевой теории. Сверхтонкое расщепление (М^О) в нерелятивистской теории определяется энергией Ферми (ЕР), которая при описании в квантовой электродинамике приобретает дополнительную поправку. Для сравнения с прецизионными оптическими измерениями требуется получить теоретический результат, содержащий поправки не только пятого, но и шестого порядка по константе тонкой структуры. Такое описание атомных спектров возможно только на основе квантовополевых методов, одним из которых является квазипотенциальный подход, используемый в данной работе.

Рассмотрим замкнутую систему двух частиц. Энергия такой системы имеет следующий вид

Е2 = л/-Р2 +М2 , (12)

где М = т1 + т2. В системе центра масс имеем

Е = Ех+Е2=тх+т2+]¥, (13)

2

где ]¥ = -^т- - энергия связи частиц. Учитывая малость энергии связи, 2 п

получим

Аналогично, для Е2 имеем

Е2-т22+т2 ц ,

Е}=--(14)

2 Е т,

Е2-т2+т2 ц

2 ~-гЬ-2~ = т2+^-Ж. (15)

2Ь т2

Используем основное уравнение квазипотенциального подхода [9, !0] для определения собственных значений полной энергии Е системы двух фермионов

(Е - - е2р)<рф) = -Ц- \У(р,д,Е) , (16)

(1п)

где (р - собственная функция, соответствующая собственному значению полной энергии Е. Квазипотенциал определяется через амплитуду Т+ вне массовой поверхности и в низшем порядке теории возмущений для связанных состояний квазипотенциал V будет определяться выражением

уП)=т< V, (17)

где индекс означает удвоенный заряд электрона, соответствующий однофотонному обмену. В общем случае

7 = —^—, (18)

(\ + ЕТ+)

* *

где Т+ф,^,Е) = ш(р)и2(- р)Тф,д,Ръ40,Е)щ(фи2( - ф ? Р~хф,д;Е) = (2к)г8ъф - ф(Е - е1р - £2р),

Ро' Чй — временные компоненты, соответствующие четырехимпульсам.

Полная энергия Е системы, удовлетворяющей квазипотенциальному уравнению (16), находится по теории возмущений. Построение этой теории в исследованиях, основанных на уравнении Бете - Солпитера, далеко не тривиальная задача. Она остается таковой и в формализме трехмерных уравнений в релятивистской теории. За исходные приближения этой теории возмущения в указанном формализме могут быть приняты точные решения уравнений Шредингера или Дирака с кулоновским потенциалом. Функции Грина различных по сложности уравнений квантовой теории составляют основу исследований дискретных спектров энергии.

В квазипотенциальном подходе тонкая структура получается в расчетах сдвига уровней АЕ путем усреднения квазипотенциала по волновым функциям уравнения Шредингера с кулоновским потенциалом. Как и в случае наибольшего вклада в сверхтонкое расщепление основного уровня энергии,

тонкая структура имеет четвертый порядок по константе а [11]. Однако, экспериментальные данные по определению величины тонкого и сверхтонкого сдвига намного превышают указанную точность. На основе развития методов квантовой теории появляется возможность получения спектроскопических результатов, сравнимых по точности с прецизионными измерениями квантовой оптики.

Методы квантовой электродинамики оказывают влияние на теорию сильных взаимодействий - квантовую хромодинамику. Так, в квантовой хромодинамике различие масс пионов определяется как сверхтонкое расщепление уровней энергии связанной системы кварк-антикварк в пределе асимптотической свободы, когда константа связи много меньше единицы. В этом случае, описание сверхтонкой структуры может быть выполнено методами, проверенными в квантовой электродинамике на экзотических системах. Результаты проведенных расчетов совпадают с экспериментальными значениями с высокой степенью точности.

Цель диссертационной работы состоит в описании тонкой и сверхтонкой структуры спектров экзотических атомов на основе метода квазипотенциала.

Выше говорилось о сходстве собственных значений энергии экзотического атома и атома водорода без учета спиновых взаимодействий. После того как было установлено наличие спина у элементарных частиц, задачи о тонкой и сверхтонкой структуре уровней энергии приобрели особую актуальность. Известно, что механический момент частицы связан с магнитным моментом. Пусть имеем двухчастичную систему. Частица с орбитальным моментом

создаёт магнитное поле Н. Вторая частица в этом поле приобретает дополнительную потенциальную энергию

ш = (19)

Эта потенциальная энергия возникает вследствие спин - орбитального взаимодействия и приводит к появлению тонкой структуры уровней энергии. Если же ]лх и ]л1 связаны со спином, то потенциальная энергия возникает в

результате взаимодействия спинов и определяет сверхтонкую структуру уровней энергии. Таким образом, наличие спина у элементарных частиц вызывает появление тонкой и сверхтонкой структуры уровней энергии связанных состояний частиц и необходимость их учёта при описании взаимодействия частиц.

Проблема сходимости ряда теории возмущений, рассматриваемая в диссертации и используемая при расчетах, показывает значимость выполняемых расчетов. Без ее решения невозможно углубленное исследование тонкого и сверхтонкого расщепления в спектрах одиночных атомов, имеющее фундаментальное значение. На достаточно простой модели двух заряженных частиц проверяются методы квантовой теории с высокой точностью.

Важный вопрос, касающийся спектроскопии экзотических атомов состоит в следующем: можно ли спектры всех экзотических атомов изучать методами квантовой электродинамики, как это делается в диссертации? Ядро водорода -протон является адроном. Позитроний и мюоний представляют собой чисто лептонные атомы. Мюон нестабилен и живет приблизительно 2 микросекунды. Время жизни позитрония на несколько порядков меньше, чем у мюона. Мюонный водород - связанное состояние отрицательно заряженного мюона и протона, то есть включает лептон и адрон. Как видим, частицы, образующие экзотические атомы участвуют в самых разнообразных взаимодействиях. Имея дело с экзотическими атомами, необходимо убедиться путем теоретических расчетов и сравнений с экспериментальными данными, что спектроскопические свойства этих атомов несут черты сходства и обнаруживают своеобразие при сравнении со спектром атома водорода и между собой.

Обратимся к сравнению с данными эксперимента. Полная поправка, учитывающая взаимодействия, как в прямом канале, так и в аннигиляционных каналах, к основному уровню позитрония с точностью до а5 равна

Ш = 1¥(Ъ3)-1¥(180) = — (---(—■+1п2;; = 2,0337х105 МГц. (20)

2 6 п 9

Эта величина была измерена экспериментально с помощью эффекта Зеемана в позитронии. Эксперимент с большой точностью дает значение

AW3KC =f2,0336±0,0002;xlО5 МГц, (21)

которое находится в отличном согласии со значением, рассчитанным теоретически методом квазипотенциала [11].

Возвратимся к ряду обстоятельств, имеющих важное значение для дальнейших исследований. Во-первых, выражение для уровней энергии одиночных атомов содержит константы связи, характеризующие силу взаимодействия частиц. Во-вторых, константы связи определяются через амплитуду рассеяния двух частиц при данных энергиях и импульсах. Наконец, собственные значения энергии двухчастичного атома в квазипотенциальном подходе находятся посредством усреднения квазипотенциала, который строится через амплитуду рассеяния двух частиц. Указанные обстоятельства в целом, говорят о том, что применение метода квазипотенциала - наиболее прямой путь к исследованию спектроскопии экзотического атома.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи

1. Получение аналитического выражения для определения поправок к кулоновскому уровню энергии экзотического атома, обусловленных взаимодействием как спиновых, так и орбитальных моментов фермионов.

2. Сравнительный анализ результатов исследования электромагнитного взаимодействия в группе экзотических атомов.

3. Изучение аннигиляционного канала взаимодействия в атоме позитрония.

4. Анализ причин различия результатов для поправки а6 Ina в сверхтонкий сдвиг спектров мюонного водорода и позитрония при исследовании однофотонного взаимодействия.

5. Изучение тонкой структуры спектров атомов мюония и мюонного водорода на основе сходства спектров экзотических атомов и устранение аномального вклада а5 Ina.

6. Уточнение теории возмущений, позволяющей в квазипотенциальном подходе получить логарифмические поправки а6 Ina при исследовании тонких сдвигов уровней энергии.

7. Анализ двухфотонных аннигиляционных диаграмм и определение вероятности распада парапозитрония и его времени жизни. Актуальность. При обосновании COD ATE [12] рекомендуемого значения

универсальной мировой константы - постоянной Ридберга - учитывалась работа [13] о прецизионном вкладе в тонкий сдвиг S уровней энергии мюония, рассчитанного квазипотенциальным методом. Теоретическое исследование тонкой структуры и сверхтонкого расщепления в спектрах одиночных атомов имеет фундаментальное значение, так как на модели двух заряженных взаимодействующих частиц позволяет рассчитать энергетические спектры атомов с высокой точностью и выполнить тестовую проверку методов квантовой электродинамики. При сравнении теоретических результатов с высокоточными экспериментальными данными квантовой оптики возникает возможность определения значений фундаментальных постоянных и параметров элементарных частиц с высокой степенью точности [14]. В последние десятилетия повышение точности экспериментальных данных тесно связано с исследованиями лазерной спектроскопии холодных атомов, которые интенсивно проводятся в метрологических и лазерных центрах США, Германии, России, Франции, Англии.

Научная новизна работы состоит в следующем

1. Установлена симметрия квазипотенциала по массам взаимодействующих частиц, указывающая на сходство спектров экзотических атомов.

2. Исследованы индивидуальные особенности спектра позитрония в прямом, так и в аннигиляционном каналах взаимодействия.

3. Построена квазипотенциальная теория возмущений для прецизионного исследования спектров экзотических атомов, свободная от инфракрасных расходимостей.

4. Исследованы два варианта построения квазипотенциала при анализе энергетических спектров экзотических атомов и обоснована необходимость использования релятивистской амплитуды рассеяния.

5. Детально решена задача описания тонкой структуры уровней энергии атома мюония. Впервые в квазипотенциальном подходе доказана компенсация логарифмических вкладов а6 Ina.

6. Выполнен сравнительный анализ аналитических выражений для сверхтонкого сдвига в спектрах мюонного водорода и позитрония. Получена значительная поправка к сверхтонкому сдвигу основного уровня энергии в мюоном водороде, составляющая 0,021 мэВ .

7. Впервые в квазипотенциальном подходе получено аналитическое выражение и выполнен расчет сверхтонкого сдвига основного уровня энергии в антиводороде.

8. Доказана необходимость учета нормировочных факторов при расчете логарифмических поправок порядка а6 Ina к энергетическим сдвигам экзотических атомов.

К теоретически значимым результатам диссертации относится

1. Развитие математического аппарата теории возмущений, свободной от расходимостей до порядка а6 Ina.

2. Вычисление логарифмической поправки порядка а6 Ina к сверхтонкому расщеплению основного уровня энергии мюонного водорода на основе анализа эффекта запаздывания при исследовании однофотонного взаимодействия.

Практическая значимость работы состоит

1. в применении квазипотенциальной теории к решению спектроскопических задач описания тонкой и сверхтонкой структуры различных экзотических атомов, позволяющей обеспечить высокую точность результатов;

2. в возможности прецизионных сравнении данных квазипотенциальнои теории и эксперимента для атомов антиводорода и мюонного водорода.

Содержание работы

Диссертация содержит пять основных глав, введение, заключение. Во введении дан краткий обзор по экзотическим атомам и спектроскопии одиночного атома, как о задаче на связанные состояния системы двух частиц. Формулируется цель диссертации, отмечаются преимущества квазипотенциального метода в решении задач диссертации, заключающиеся в его универсальности и симметрии по отношению к массам частиц, входящих в состав экзотических атомов. Аргументируется актуальность задачи об исследовании экзотических атомов. Отмечается, что повышение точности теоретических результатов стимулируется развитием и совершенствованием как экспериментальной базы ускорительной техники, так и лазерной физики холодных атомов. Сравнение теоретических и экспериментальных значений спектроскопических параметров экзотических атомов позволяет решать широкий круг задач метрологии, физики элементарных частиц, выполнить тестовую проверку положений квантовой электродинамики, достичь более глубокого понимания квантовой физики.

В главе I приводится схема проведения эксперимента по образованию атомов антиводорода, доказавшего существование их как физического объекта. Описаны два направления экспериментальных исследований атомов антиводорода, среди которых особое место занимают различные способы лазерного охлаждения атомов, позволяющие достичь ультранизких температур: доплеровское, субдоплеровское, испарительное охлаждения.

В связи с тем, что появилась возможность экспериментального получения антиводорода и планируется измерение сверхтонкого расщепления основного уровня, актуальным является его теоретическое исследование, которое выполняется в данной работе на основе квазипотенциального подхода. В выражении для квазипотенциала выделяется часть, ответственная за сверхтонкое расщепление. Затем выполняются аналитические расчеты сверхтонкого расщепления основного уровня энергии антиводорода в низшем

приближении. Полученный результат сравнивается с соответствующим выражением для атома водорода, оказывается идентичным ему и может быть использован в качестве основного приближения при сравнении с экспериментальными данными.

В главе II исследуется аннигиляционный канал взаимодействия. Выявляется необходимость учета обменного взаимодействия в аннигиляционном канале для позитрония, анализируется превращение электрон - позитронной пары в фотон и обратный процесс - рождение электрон - позитронной пары. Показано, что применение теоремы Фирца позволяет обменное взаимодействие свести к сумме прямых взаимодействий. Обосновывается вывод о том, что виртуальные превращения фотона в электрон - позитронную пару и пары электрон -позитрон в фотон оказывают существенное влияние на электромагнитное взаимодействие в позитронии. Проводится сравнение экспериментального значения и теоретического результата с учетом обменного взаимодействия для сверхтонкого расщепления с точностью а4 в позитронии.

В главе III используются два варианта построения квазипотенциала. Выполняется их анализ в отношении сохранения спектроскопических закономерностей экзотических атомов. На основе решения квазипотенциального уравнения с помощью теории возмущений получено аналитическое выражение, которое позволяет определить поправки к кулоновскому уровню энергии экзотического атома, обусловленные взаимодействием, как спиновых моментов фермионов, так и спиновых и орбитальных моментов частиц. Показано, что формула для основного вклада в сверхтонкое расщепление от электромагнитного взаимодействия в мюоном водороде имеет общий характер и может быть применена к любому из рассматриваемых экзотических атомов. Для мюонного водорода исследуется выражение для сверхтонкого расщепления основного уровня энергии от однофотонного кулоновского взаимодействия. Выясняется причина различия результатов аб Ina от обмена одним поперечным фотоном на основе амплитуд

т0 и Т+, она заключается в учете эффекта запаздывания при взаимодействии фермионов в экзотическом атоме с помощью амплитуды г0. Проведен сравнительный анализ логарифмических вкладов (а6In«) для мюонного водорода и позитрония. На его основе доказывается общность результатов при исследовании электромагнитного взаимодействия в группе экзотических атомов. Исследована зависимость тонкой структуры энергетического спектра экзотического атома от константы тонкой структуры а. Величина логарифмической поправки Ina, вычисленная для мюонного водорода, оказалась значительной и составила 0,02 \мэВ, что численно совпадает с вкладом электронной поляризации вакуума и поправкой на структуру ядра. Показано, что ядро Брейта позволяет вычислить наибольшую поправку порядка а4. Для получения полного логарифмического вклада (a6 Ina) в тонкий сдвиг оказывается необходимо учесть точные выражения для нормировочных множителей.

Четвёртая глава диссертации посвящена исследованию сходимости ряда теории возмущений в задачах о тонких сдвигах уровней энергии экзотических атомов. Проблемы со сходимостью возникают при описании связанных состояний с помощью амплитуды рассеяния вблизи массовой поверхности. Их устранение можно выполнить либо введением параметра обрезания виртуального импульса, либо использованием точной зависимости амплитуды рассеяния от энергии связи и импульсов частиц. Первый способ был применен при исследовании влияния движения ядра на тонкую структуру и позволил учесть эффекты отдачи с точностью а5. Однако, дальнейший анализ показал неполноту приведенного ранее расчета, что оказалось связанным с отсутствием учета кинематической части квазипотенциала. Для двухфотонных взаимодействий кинематическая часть квазипотенциала была рассмотрена с использованием £-приближения кулоновских волновых функций. При этом был выявлен вклад порядка а5/Г1, который нарушает сходимость ряда теории

возмущений. Однако, он оказывается промежуточным результатом и компенсируется с выражением, содержащим кинематическую часть квазипотенциала. Итак, в четвёртой главе исследование величины тонкого сдвига с точностью а5 было выполнено на основе двух вариантов определения квазипотенциала. Достоверность полученных результатов подтверждается сравнением с работами других авторов.

В главе V рассмотрена диаграмма прямого взаимодействия в позитронии. Получено аналитическое выражение для сверхтонкого расщепления основного уровня позитрония и выполнено детальное вычисление матричной структуры с учетом симметрии выражения. Основной вклад, как показано в работе, имеет четвертый порядок по а. Повышение точности результата приводит к поправке пятого порядка по а, содержащей логарифмический фактор. Первоначально анализ выполнен с использованием S -приближения для волновой функции, что приводит к необходимости использовать параметр обрезания в инфракрасной области. Проведен тщательный анализ границ параметра обрезания и показана неоднозначность результатов в зависимости от конкретного выбора этого параметра. Обосновано, что происхождение аномально большого вклада а5 Ina связано с эффектом запаздывания. Используя сходство спектров экзотических атомов, получено значение соответствующей логарифмической поправки (a5 Ina) для мюонного водорода и рассмотрен вопрос о компенсации этого вклада.

Исследование логарифмических поправок шестого порядка по а проведено на основе сравнения с интегралом Фелла при рассмотрении однофотонного и двухфотонных взаимодействий. Показано, что суммарная логарифмическая поправка a6 Ina оказывается равна нулю. Отмечено, что техника Фелла, рациональная при анализе вкладов a6 Ina, не позволяет определить поправки порядка а6. В то же время, квазипотенциальный подход дает возможность выделить аналитические выражения, сопутствующие логарифмическим интегралам. Дальнейший анализ аналитического выражения показал, что

полный учет логарифмических поправок а6 Ina требует детального рассмотрения влияния нормировочных множителей дираковских биспиноров. Корректность квазипотенциального подхода связана с разработкой специфической теории возмущений, учитывающей отличие нормировочных множителей от единицы. Ее использование приводит к дополнительным логарифмическим поправкам.

В заключении сформулированы основные выводы и результаты, полученные в ходе исследований.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту

1. Вычислена квантовоэлектродинамическая поправка к сверхтонкому сдвигу основного уровня энергии мюонного водорода, которая составила 0,021 мэВ .

2. При вычислении тонких сдвигов в спектрах экзотических атомов применима методика устранения инфракрасных особенностей посредством обрезания импульсов в низкочастотной области.

3. Доказана компенсация аномально больших логарифмических по а вкладов в тонкий сдвиг уровней энергии экзотических атомов.

4. Метод квазипотенциала применим к анализу взаимодействий в двухчастичных экзотических атомах, как в прямом, так и в аннигиляционном каналах.

Список опубликованных по теме диссертации работ

По теме диссертации опубликованы 12 работ, из которых 5 в рецензируемых научных журналах и изданиях, включенных в Перечень ВАК РФ.

1. Бойкова O.A., Клещевская С.В., Тюхтяев Ю.Н., Фаустов Р.Н. Особенности квазипотенциального подхода к исследованию высших по константе тонкой структуры поправок к тонким сдвигам уровней энергии водорода // Ядерная физика 2010г. №6. т.73. с. 1024-1032.

2. Boikova O.A., Kleshchevskaya S.V., Tyukhtyaev Y.N., Faustov R.N. Special features of the quasipotential approach to studying higher order corrections in the fine constant to fine shift of hydrogen energy levels // Physics of atomic nuclei

2010. №6. vol.73. p.988-995.

3. Бойкова H.A., Бойкова O.A., Тюхтяев Ю.Н. Исследование тонких сдвигов уровней энергии в водородоподобных атомах с точностью до ай1па~{ методом квазипотенциала // Известия Саратовского университета 2010г. вып.2. т. 10. с.55-62.

4. Бойкова O.A., Тюхтяев Ю.Н. Квазипотенциальная теория ряда экзотических атомов // Известия Саратовского университета 2011г. вып.1. т.11. с.31-37.

5. Бойкова H.A., Бойкова O.A., Тюхтяев Ю.Н. Электромагнитное взаимодействие в мюонии и мюоном водороде // Известия Саратовского университета 2011г. вып.1. т.11. с.54-59.

Заключение диссертации по теме «Оптика», Бойкова, Ольга Алексеевна

Выводы.

Вычисления вкладов а5 In а, выполненные в квазипотенциальном методе, необходимы в связи с вопросом о сходимости ряда теории возмущений. Развитие теории возмущений, связанное с анализом логарифмических вкладов порядка а6, требует детального учета явного вида нормировочных факторов в аналитическом выражении для сдвигов. Исследования, проведенные в последней главе, позволили показать, что при использовании обрезания невозможно получить однозначного значения величины сверхтонкого расщепления порядка а3 In а, что корректирует ранее полученные результаты; выяснить природу аномального вклада а5 Ina, связанную с учетом эффекта запаздывания; рассмотреть детально вопрос о компенсации аномального вклада порядка а5 Ina в сверхтонкое расщепление; получить аналитическое выражение для тонкого сдвига основного уровня энергии мюонного водорода и позитрония; выполнить анализ поправок а6 Ina для системы двух фермионов и показать, что их полный учет требует детального рассмотрения влияния нормировочных множителей дираковских биспиноров.

Заключение.

В отличие от водородоподобных атомов понятие "экзотические" атомы стало складываться во второй половине прошлого века с открытием новых лептонов и адронов. Важной особенностью новых атомов являлось теоретическое включение в их состав открытых в ходе экспериментов античастиц: позитрона (е+) и антипротона (/?"), мюонов и ц~. Как закономерное следствие существования античастиц были обнаружены связанные состояния двух частиц: позитроний (е+е~), антиводород (р~е+), а также мюонный водород (р+р~), мюоний (//+е~) и подобные им атомы, относящиеся к экзотическим атомам.

В диссертации метод квазипотенциала распространен на описание спектров экзотических атомов. При этом широко использован принцип общности спектроскопических закономерностей экзотических атомов. На этом пути получены следующие основные результаты

1. Впервые в квазипотенциальном подходе рассчитана величина сверхтонкого расщепления основного уровня энергии экзотического атома антиводорода на основе релятивистской теории электромагнитных взаимодействий.

2. Получено теоретическое значение величины сверхтонкого расщепления уровней энергии мюонного водорода на основе релятивистской амплитуды рассеяния.

3. Выявлено, что энергия Ферми для атома позитрония характеризует только часть сверхтонкого расщепления, относящуюся к прямому каналу взаимодействий. Остальная часть, обусловленная взаимодействием в аннигиляционном канале, вычислена в диссертации с помощью теоремы Фирца.

4. Рассмотрены два варианта построения квазипотенциала, используемых для исследования структуры уровней энергии экзотического атома. Показано, что в низшем порядке по константе тонкой структуры а оба варианта дают идентичное значение величины тонкого сдвига, которое хорошо согласуется с экспериментальными данными. Однако, поправки порядка a6 In а оказываются различными.

5. Вычислена величина логарифмической поправки в сверхтонкий сдвиг основного уровня мюонного водорода, которая составляет 0,021 мэВ, и численно совпадает с вкладом электронной поляризации вакуума и поправкой на структуру ядра порядка а6.

6. Проведено устранение аномально больших вкладов aslna, что подтверждает достоверность результатов расчета сверхтонкого сдвига уровней энергии в атоме мюонного водорода. Устранены неточности в работе [38] по изучению влияния движения ядра на тонкую структуру уровней энергии атома водорода.

7. В качестве апробации развитого в диссертации метода квазипотенциала установлено точное значение величины тонкого сдвига уровней энергии одиночного атома в пятом порядке по а. Результаты расчетов совпадают с известными данными теории и эксперимента.

8. Впервые в квазипотенциальном подходе обоснована компенсация вкладов о;6 Ina в тонкий сдвиг уровней энергии при электромагнитном взаимодействии фермионов в экзотическом атоме. Анализ выполнен при учете точных выражений для нормировочных множителей дираковских биспиноров.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук Тюхтяеву Ю.Н. за постановку задачи, внимание к работе и научному консультанту доктору физико-математических наук Фаустову Р.Н. за ценные замечания и плодотворные обсуждения полученных результатов.

Автор приносит благодарность проректору по научной работе Усанову Д.А. за внимание и поддержку при выполнении поставленных в диссертации задач, декану физического факультета Аникину В.М. за ценные, стимулирующие исследование советы, а также выражает признательность Чурочкиной C.B.,

Бойковой Н.А., Нюнько Н.Е. за сотрудничество и помощь в работе, заведующему кафедрой теоретической физики Бабкову Л.М. за содействие в выполнении диссертационной работы, сотрудникам кафедры за плодотворные обсуждения и дискуссии.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бойкова, Ольга Алексеевна, 2012 год

Библиографический список.

1.Mohr P. J., Taylor B.N., Newell D.V. COD ATE recommended value of fundamental physical constants: 2006 // Review of modern physic. 2008. Vol.80. P.633-730.

2. Двоеглазов B.B., Тюхтяев Ю.Н., Фаустов P.H. Уровни энергии водородоподобных атомов и фундаментальные константы // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 1994. Т.25. Вып.1. С. 144-228.

3. Бархоп Э. Экзотические атомы // Успехи физических наук. 1972. Т. 106. №3. С.527-547.

4. Меньшиков Л.И., Ландау Р. Состояние исследований по "холодному" антиводороду // Успехи физических наук. 2003. Т. 173. №3. С.233-263.

5. Eides М., Shelyuto V.A. Theory of light hydrogen like atoms // Physical reports. 2001. Vol.342. P.63-261.

6. Karshenboim S.G. Simple atoms, quantum electrodynamics and fundamental constants. In precision physics of simple atomic systems // Berlin, Heidenberg: Springer. 2009. 22p.

7. Фритцш X. Фундаментальные физические постоянные // Успехи физических наук. 2009. Т.179. №4. С.383-392.

8. Фриш С.Э. Оптические спектры атомов / Москва: Физматлит. 1963. 641с.

9. Фаустов Р.Н. Квазипотенциальный метод в задаче о связанных состояниях // Теоретическая и математическая физика. 1970. Т.З. №2. С.240-254.

10. Мартыненко А.П., Фаустов Р.Н. Релятивистская приведенная масса и квазипотенциальное уравнение // Теоретическая и математическая физика. 1985. Т.64. №2. С.179-185.

11. Фаустов Р.Н. Уровни энергии и электромагнитные свойства водородоподобных атомов // Физика элементарных частиц и атомного ядра 1972. Т.З, вып.1. С.238-268.

12. Mohr Р.J., Taylor B.N. CODATE recommended value of fundamental physical constants: 1998 // Review of modern physic. 2000. Vol.72. P.351^195.

yyl

13. Бойкова H.A., Тюхтяев Ю.Н., Фаустов Р.Н. О вкладах порядка аь 1п(—) в

т2

тонкий сдвиг S уровней энергии мюония // Ядерная физика. 1998. Т.61 №5. С.866-870.

14. Колачевский Н.Н. Прецизионная лазерная спектроскопия холодных атомов и поиск дрейфа постоянной тонкой структуры // Успехи физических наук. 2008. Т.178. №11. С.1125-1235.

15. Baur G., Boero G., Oeler W. et. al. Production of antihydrogen // Physics letters

B. 1996. Vol.368. P.251-258.

16. Blanford G. et. al. Observation of atomic antihydrogen // Physics review letters. 1998. Vol.80. P.3037-3040.

17. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика / Москва: Наука. 1974. 752с.

18. Соколов Ю.Л. Интерференционный метод измерения параметров атомных состояний // Успехи физических наук. 1999. Т. 169. С.559-583.

19. Мешков И.Н. Экспериментальные исследования физики антиводорода и позитрония. Проблемы и возможности // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 1997. Т.28, вып.2. С.495-540.

20. Виницкий С.И., Дербов В.Л., Серов В.В. Лазерно-стимулированная радиационная рекомбинация антиводорода в магнитном поле через квазистационарное состояние // Оптика и спектроскопия. 2007. Т. 102. №4.

C.612-616.

21. Андреев С.В., Балыкин В.И., Летохов B.C., Миногин В.Г. Радиационное замедление до 1.5 К и монохроматизация пучка атомов Na встречным лазерным лучом // Письма в журнал экспериментальной и теоретической физики. 1981. Т.34. С.463-467.

22. Letokhov V.S., Minogin V.G. Laser radiation pressure on free atoms // Physical reports. 1981. Vol.73. №1. P. 1-65.

23. Каршенбойм С.Г. Новые рекомендованные значения фундаментальных

физических постоянных (КОДАТА 2006) // Успехи физических наук. 2008. Т. 178. №Ю. С.1057-1064.

24. Grotch Н., Yennie D.R. Effective potential model for calculating nuclear corrections to the energy levels of hydrogen // Review of modern physic. 1969. Vol.41. №2. P.350-374.

25. Gross F. Three dimensional covariant integral equations for low energy systems //Physical review. 1969. Vol.186. P. 1448-1462.

26. Дульян JI.C., Фаустов P.H. Модификационное уравнение Дирака в квантовой теории поля // Теоретическая и математическая физика. 1975. №3. С.314-322.

27. Шабаев В.М. Эффект отдачи ядра в релятивистской теории многозарядных ионов // Ядерная физика. 1988. Т.47, вып.1. С. 107-112.

28. Salpeter Е.Е. Mass corrections to the fine structure hydrogen like atoms // Physical review. 1952. Vol.87. P.328-343.

29. Fulton Т., Martin P.C. Two-body system in quantum electrodynamics. Energy levels of positronium // Physical review. 1954. Vol.95. №3. P.811-822.

30. Бойкова O.A., Тюхтяев Ю.Н. Квазипотенциальная теория ряда экзотических атомов // Известия Саратовского университета. 2011. Т. 11, вып. 1. С.31-37.

31. Fermi Е. Über die magnetischen momenter der atomkerne // Zeitschrift fur physic. 1930. Vol.60. P.320-335.

32. Окунь JI.Б. Лептоны и кварки / Москва: Наука. 1990. 346с.

33. Боголюбов H.H., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей / Москва: Наука. 1980. 321с.

34. Logunov A.A., Tavkhelidze A.N. Quasioptical approach in quantum field theory // Nuovo cimento 1963. Vol.29. №2. P.380-390.

35. Zemach A.C. Proton structure and hyperfme shift in hydrogen // Physical review 1956. Vol.104. №6. P.1771-1781.

36. Мильстейн А.И., Петросян С.С., Хриплович И.Б. Поправки к сверхтонкой

структуре и лэмб сдвигу дейтерия, обусловленные структурой ядра // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1996. Т.109. С.1146-1158.

37. Мартыненко А.П. Сверхтонкая структура S-уровней мюонного водорода // Теоретическая и математическая физика. 2004. Т.5. С.27-45.

38. Мартыненко А.П., Фаустов Р.Н. Сверхтонкая структура основного состояния мюонного водорода // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2004. Т.125, вып.1. С.48-62.

39. Тюхтяев Ю.Н. Учет эффектов связанности позитрония // Теоретическая и математическая физика. 1978. Т.36. №2. С.264-270.

40. Тюхтяев Ю.Н. Новый метод учета кулоновского взаимодействия в квазипотенциальном подходе Логунова-Тавхелидзе // Теоретическая и математическая физика. 1982. Т.53. №3. С.419-428.

41. Бойкова Н.А., Бойкова О.А., Тюхтяев Ю.Н. Электромагнитное взаимодействие в мюонии и мюоном водороде // Известия Саратовского университета. 2011. Т.11, вып.1. С.54-59.

42. Бойкова Н.А., Двоеглазов В.В., Тюхтяев Ю.Н., Фаустов Р.Н.. Квазипотенциал в четвертом порядке теории возмущений и инфракрасные особенности // Теоретическая и математическая физика. 1991. Т.89. №2. С.228-

43. Бойкова Н.А., Клещевская С.В., Тюхтяев Ю.Н., Фаустов Р.Н. К вопросу о влиянии движения ядра на тонкую структуру водородоподобного атома с различными массами частиц. // Теоретическая и математическая физика. 2006. Т.149. №3. С.325-338.

44. Boykova N.A., Boykova О.А., Kleshchevskaya S.V., Tyukhtyaev Y.N. On the possibility of precise correction calculations to the effect of nuclear motion influence on fine energy shifts of hydrogen-like atoms // SPIE Laser physics and photonics, spectroscopy and molecular modeling VII. 2006. Vol.6537. P. 191-198.

45. Бойкова H.A., Бойкова O.A., Клещевская C.B., Тюхтяев Ю.Н. К вопросу о новых вкладах в тонкий сдвиг уровней энергии водородоподобных атомов с

точностью до шестого порядка по константе тонкой структуры // Теоретическая физика. 2007. Т.8. С.124-129.

46. Бойкова H.A., Бойкова O.A., Клещевская C.B., Тюхтяев Ю.Н. Исследование аномально больших логарифмических вкладов при решении задачи об отдаче ядра квазипотенциальным методом // Проблемы оптической физики и биофотоники. 2009. С. 118-124.

47. Бойкова H.A., Бойкова O.A., Клещевская C.B., Тюхтяев Ю.Н. Исследование поправок к тонкому сдвигу уровней энергии в водородоподобных атомах // Известия Саратовского университета. 2008. Т.8, вып.2. С.42-46.

48. Бойкова H.A., Бойкова O.A., Тюхтяев Ю.Н. Квазипотенциальный подход к исследованию тонкого расщепления энергетических уровней в водородоподобных атомах // Проблемы оптической физики и биофотоники. 2009. С.126-131.

49. Бойкова H.A., Бойкова O.A., Клещевская C.B., Тюхтяев Ю.Н. Квазипотенциальная теория в задаче о тонком сдвиге уровней энергии водородоподобных атомах // Казань: Когерентная оптика и оптическая спектроскопия. 2007. С.217-221.

50. Нюнько Н.Е., Тюхтяев Ю.Н., Фаустов Р.Н. Влияние движения ядра на тонкую структуру водорода. Сообщение ОИЯИ Р2-7493 / Саратов: Саратовский государственный университет. 1973. 16с.

51. Бойкова O.A., Клещевская C.B., Тюхтяев Ю.Н., Р.Н. Фаустов Особенности квазипотенциального подхода к исследованию высших по константе тонкой структуры поправок к тонким сдвигам уровней энергии водорода // Ядерная физика. 2010. Т.73. №6. С.1024-1032.

52. Бойкова H.A., Бойкова O.A., Клещевская C.B., Тюхтяев Ю.Н. Исследование поправок к известному значению тонкого сдвига в высших порядках теории возмущений // Проблемы оптической физики SFM-2007. 2008. С.145-151.

53. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2 / Москва: Наука. 1964. 810с.

54. Khriplovich I.B., Milstein A.I., Yelkhovsky A.S. Corrections of (a6 In a) in two-body QED problem // Physics letters B. 1992. Vol.282. P.237-242.

55. Fell R.N. Single transverse photon correction to the 2S energy levels of positronium / Preprint BUW 01742. 1992. 40p.

56. Khriplovich I.B., Milstein A.I., Yelkhovsky A.S. Logarifmic corrections in the two-body QED problem // Physica scripta. 1993. Vol.46. P.252-260.

57. Niering M., Holzwarth R., Reichert J., etc. Measurement of the hydrogen IS - IS transition frequency by phase coherent comparison with a microwave cesium fountain clock // Physical review letters. 2000. Vol.84. №24. P.5496-5499.

58. Meyer V., Bagayev S.N., etc. Measurement of the hydrogen IS -25" energy interval in muonium // Physical review letters. 2000. Vol.84, is.6. P. 1136-1139.

59. Fell R.N., Khriplovich I.B., Milstein A.I., Yelkhovsky A.S. On the recoil corrections in hydrogen // Physics letters A. 1993. Vol.181. P.172-174.

60. Бойкова H.A., Тюхтяев Ю.Н., Фаустов P.H. Компенсация логарифмических поправок при расчете тонкой структуры уровней водородоподобного атома // Ядерная физика. 2011. Т.74. №1. С.68-71.

61. Doncheski М., Grotch Н., Erickson G. W. Pure recoil corrections to the Lamb shift in hydrogenic atoms // Physical review. 1991. Vol.43. P.2152-2170.

62. Boikova O.A., Kleshchevskaya S.V., Tyukhtyaev Y.N., Faustov R.N. Special features of the quasipotential approach to studying higher order corrections in the fine constant to fine shift of hydrogen energy levels // Physics of atomic nuclei. 2010. Vol.73. №6. P.988-995.

63. Бойкова H.A., Бойкова O.A., Тюхтяев Ю.Н. Исследование тонких сдвигов уровней энергии в водородоподобных атомах с точностью до а6 In а~[ методом квазипотенциала // Известия Саратовского университета. 2011. Т.10, вып.2. С.55-62.