Спектры энергии двухчастичных и трехчастичных связанных состояний в квантовой электродинамике тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Эскин Алексей Владимирович

• Эскин Алексей Владимирович
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Эскин Алексей Владимирович

Введение

Глава 1. Вклад на поляризуемость ядра в спектре энергии

мюонного водорода

1.1 Лептон-нуклонное рассеяние

1.2 Вклад поляризуемости ядра в лэмбовский сдвиг мюонных

атомов

1.3 Вклад поляризуемости ядра в сверхтонкую структуру мюонных

атомов

Глава 2.Стохастический вариационный метод в задаче

о связанных состояниях трех частиц

2.1 Мюонныйкатализ ядерных реакций синтеза

2.2 Стохастический вариационный метод в квантовой механике

2.3 Реализация стохастического вариационного метода в

системе МЛТЬЛБ

2.4 Матричные элементы гамильтониана и уровни энергии системы для Б-и Р-состояний в нерелятивистском приближении в гауссовом

базисе

2.5 Метод комплексного вращения координат в задаче о

квазисвязанных состояниях Hed^и Lid^

Глава 3. Спектры энергии трехчастичных связанных состояний

3.1 Поправки на поляризацию вакуума, структуру ядра и

релятивизм в тонкой структуре спектра

3.2 Электронный лэмбовский сдвиг (2P-2S) и энергетический

интервал (1S-2S) в Hepe, Lipe, Bepe и Bpe

3.3 Сверхтонкая структура спектра основного состоянияptp Hepe

3.4 Сверхтонкая структура спектра основного состояния dtp, dpp, Lipe

Заключение

Список литературы

Приложение А. Пример расчетной программы в пакете Mathematica 9.0 для n-, n-, К-мезонов в лэмбовском сдвиге

Приложение Б. Пример расчетной программы в пакете Mathematica 9.0 для нерезонансного вклада в лэмбовском сдвиге

Приложение В. Пример расчетной программы в пакете Mathematica 9.0 для графиков параметризации Амаудруза и Осипенко

Приложение Г. Пример расчетной программы в системе МЛТЬЛБ

для реализации стохастического вариационного метода

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Спектры энергии двухчастичных и трехчастичных связанных состояний в квантовой электродинамике»

Введение

Точность исследования энергетических уровней в водородоподобных атомах (мюоний, позитроний, атом водорода, дейтерий, ионы гелия и так далее) дает возможность вывести более точные значения фундаментальных параметров соответствующей теории, такие как массы лептонов, отношение масс протона и лептонов, постоянная тонкой структуры, постоянная Ридберга, которые используются для создания эталонных величин [1,2]. Включение новых крайне простых атомов в сферах таких экспериментальных исследований может привести к значительному прогрессу в решении этих проблем. Атом мюонного водорода является одним из таких атомов. Так как мюон тяжелее, чем электрон в 207 раз, то структура энергетических уровней мюонного водорода является высокочувствительной к квантово-механическим эффектам поляризации вакуума, эффекту отдачи и поправки на структуру протона и его поляризацию[3-5]. В лэмбовском сдвиге (2P-2S) для атома мюонного водорода, релятивистская поправка для ядерной структуры составляет порядок (Za)4 , что значительно выше, чем для обычного атома водорода. Поскольку этот вклад также зависит от зарядового радиуса протона, экспериментальные исследования энергетических уровней в атоме мюонного водорода, вместе с экспериментальными данными по электронно-ядерному рассеянию [2,6], может сыграть решающую роль в более точном исследовании структуры протона. В настоящее время эксперимент по измерению лэмбовского сдвига в атоме мюонного дейтерия проводится в институте PSI. В связи с этим представляет интерес пересмотреть некоторые теоретические вклады, которые имеют существенное значение при выводе общего теоретического значения лэмбовского сдвига в атоме мюонного водорода с требуемой точностью. Вклад поляризуемости протона, который ранее был вычислен для атома мюонного водорода на основе экспериментальных данных по

структурным функциям для лептон-нуклонного рассеяния [7], является одним изтаких вкладов. В настоящее время, начинается качественно новый этап в исследовании электромагнитных возбуждений барионных резонансов в CEBAF.

Еще одна важная и интересная проблема в физике мюоных систем связана с мюонными молекулярными ионами водорода ^ц, :рц, dpц и др.), после образования которых происходит слияние их ядер за счет сильного взаимодействия (реакции мюонного катализа [8]). Для теоретического описания протекающих при этом физических процессов, связанных с мезоатомными, мезомолекулярными и ядерными явлениями, необходимо знать структуру уровней энергии мезоатомов и мезомолекул. В случае мезоатомов (Ц:, цр) расчет тонкой и сверхтонкой структуры (СТС) спектра выполнен в последние годы с высокой точностью [9-12].

Исследования многочастичных связанных состояний имеет большое значение и представляет значительный интерес. Это связано с тем, что современные экспериментальные методы позволяют наблюдать всё большее число новых частиц, существование которых предсказывалось в рамках существующих теоретических моделей. Однако конкретный расчёт их параметров был связан с рядом трудностей. Одна из них заключалась в невозможности экспериментальной проверки результатов расчётов в рамках методов, которые использовались для оценки параметров известных состояний. Другая, во многом связанная с первой, сводится к невозможности нахождения аналитического решения задачи для трёх и более тел.

В случае двухчастичных систем зачастую возможно находить решения в аналитическом виде, либо, по крайней мере, задача допускает решение в квадратурах, с помощью которых, используя методы численного, можно напрямую получать решения со сколь угодно высокой точностью. Таким образом описывается большое множество задач как классической - задача Кеплера и орбиты планеты, так и квантовой механики - водородоподобные атомы, мезоны и пр.

Для многочастичных систем, в общем случае, приходится использовать те или иные методы нахождения приближённого решения. В классической механике часто заменяют решения динамических дифференциальных уравнений их разностными аналогами. В квантовой механике для определённого класса задач, допускающих выделение малого параметра, хорошо работают методы теории возмущений. Для более широкого класса задач, а особенно для задач о нахождении энергии связанных состояний, активно применяются вариационные методы. Данный тип методов в отличие от методов теории возмущений намного меньше зависит от характера параметров решаемой задачи, но,в то же время, его результаты во многом определяются надлежащим выбором пробных функций. В данной работе мы используем модификацию классического метода Ритца, метод стохастических вариаций, разработанный в работах [13-15], который позволяет решать задачи, общий вид волновых функций которых заранее неизвестен.

Взаимодействие между квантовыми частицами в общем случае описывается при помощи уравнения Шредингера. При такой постановке задачи система задаётся своим оператором Гамильтона. Для нахождения энергии связанного состояния решается задача на собственные значения и собственные функции заданного оператора.

Построение потенциальных моделей относят к одной из наиболее широко обсуждаемых современных проблем адронной спектроскопии [16, 17]. Квазипотенциальный подход позволяет получить эффективный потенциал взаимодействия между частицами из диаграмм соответствующих процессов. В частности, потенциал типа Брейта-Ферми получают из диаграмм одноглюонного, в КХД, или однофотонного, в КЭД, обмена, которые получаются в результате квантования полей, задающихся соответствующими лангранжианами.

Для нахождения основной энергии связанного состояния и построения спектра масс частиц общая задача на собственные значения сводится к поиску минимального собственного значения. Для этого удобно использовать

упомянутые вариационные методы. Теорема Ритца позволяет находить верхнюю оценку для минимального собственного значения системы. В результате рассчитывается приближённые значения энергии основного состояния и его волновая функция. Полученная волновая функция в дальнейшем может быть использована для расчёта других поправок по теории возмущений и изучения других параметров основного состояния. Вариационные методы так же позволяют находить энергии возбуждённых состояний. При этом необходимо должным образом модифицировать пробную функцию.

Целью работы является прецизионный аналитический и численный расчет тонкой и сверхтонкой структуры спектра двухчастичных и трехчастичных систем в квантовой электродинамике. Был проведен расчет уровней энергии мезомолекул водорода с учетом поправок на поляризацию вакуума, релятивизм, структуру ядра. В соответствии с поставленной целью были выделены следующие задачи:

1. Провести расчет вклада на поляризуемость ядра в лэмбовский сдвиг в мюонном дейтерии;

2. Провести расчет вклада на поляризуемость ядра в сверхтонкую структуру основного состояния в мюонном дейтерии;

3. Провести расчет сверхтонкой структуры спектра основного состояния мезомолекул водорода, мюонного гелия и иона мюонного лития в рамках стохастического вариационного метода с учетом поправок на поляризацию вакуума, структуру ядра и релятивизм.

4. Провести расчет энергии возбужденных состояний мезомолекурных ионов водорода tdд, dpд и tpд.

5. Провести расчет электронного лэмбовского сдвига (2P-2S) и энергетического интервала (1S-2S) в мюонных трехчастичных системах

Liдe, Beдe и Bдe в рамках стохастического вариационного метода.

6. Провести расчет резонансных состояний в мюонном дейтериде гелия Hedд и мюонном дейтериде лития Lidд в рамках стохастического вариационного метода и метода комплексного вращения координат.

Научная новизна:

1. На основе унитарной изобарной модели и экспериментальных данных по структурным функциям глубоко неупругого рассеяния лептонов на нуклонах проведен расчет поправки на поляризуемость дейтрона в лэмбовском сдвиге и сверхтонкой структуре атома мюонного дейтерия. Вычислены вклады однопионных, двухпионных состояний, К- и п- мезонов, учтены вклады 13 нуклонных резонансов в промежуточном состоянии. Построены структурные функции F^(W, Q2) и ^1,2(W, Q2) неполяризованного и поляризованного рассеяния.

2. В рамках стохастического вариационного метода проведен расчет энергий основного и возбужденных состояний, сверхтонкой структуры спектра основного состояния мезомолекул водорода, в котором учтены поправки на поляризацию вакуума, структуру ядра и релятивистские эффекты.

3. В рамках стохастического вариационного метода проведен расчет электронного лэмбовского сдвига (2P-2S) и энергетического интервала (1S-2S) в трехчастичных кулоновских системах He^e, Li^e, Be^e и B^e.

4. В рамках метода комплексного вращения координат получены численные значения энергий квазисвязанных состояний Hed^ и Lid^, которые могут быть полезны для изучения низкоэнергетических реакций. Практическая значимость работы связана с экспериментальными

исследованиями коллаборации CREMA. Полученные теоретические результаты для тонкой и сверхтонкой структуры спектра энергии атома мюонного дейтерия использовались коллаборацией CREMA для анализа экспериментальных данных по частотам перехода между низколежащими уровнями энергии мюонного водорода. Теоретические результаты расчета уровней энергии мезомолекул водорода могут использоваться группой лаборатории ядерных проблем ОИЯИ при экспериментальном исследовании реакций мюонного катализа синтеза.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Вычисление поправки на поляризуемость дейтрона в лэмбовском сдвиге и

сверхтонком расщеплении основного состояния атома мюонного дейтерия на основе унитарной изобарной модели.

2. Расчет энергии основного состояния мюонного гелия и лития с учетом сверхтонкой структуры спектра энергии в рамках стохастического вариационного метода, вычисление релятивистских поправок, поправок на поляризацию вакуума и структуру ядра.

3. Расчет уровней энергии Р-состояний мезомолекул водорода, электронного лэмбовского сдвига (2P-2S) и энергетического интервала (1S-2S) в мюонном гелии Ш^, ионах мюонного лития Liдe, бериллия Beдe и бора Bдe в рамках стохастического вариационного метода.

4. Расчет энергии квазисвязанных состояний в мюонных дейтериде лития Lidд и гелия Hedд в рамках метода комплексного вращения координат и стохастического вариационного метода.

Достоверность обеспечивается использованием строгих математических методов и хорошим согласием с результатами расчета отдельных поправок, полученных в других работах. Полученные результаты базируются на использовании квазипотенциального метода, который успешно применяется при описании связанных состояний в квантовой электродинамике.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на многочисленных конференциях Самарского университета и семинарах кафедры общей и теоретической физики, а также докладывались на следующих всероссийских и международных конференциях: XXV Съезд по спектроскопии, г. Троицк Москва, ИСАН, 3 — 7 октября 2016 г.; XXIII и XXIV Международный семинар по физике высоких энергий и квантовой теории поля (QFTHEP2017, QFTHEP2019), г. Ярославль и Сочи, НИИЯФ МГУ, 26 июня — 3 июля 2017 г. и 22 — 29 сентября 2019 г.; XV, XVI, XVII и XIX Всероссийский молодежный самарский конкурс — конференция научных работ по оптике и лазерной физике, г. Самара, ФИАН, 14 — 18 ноября 2017 г., 13 — 17 ноября 2018 г., 12 — 16 ноября 2019 г. и 9 — 13 ноября 2021 г.; 24-й Международный Балдинский семинар по

проблемам физики высоких энергий «Релятивистская ядерная физика и квантовая хромодинамика», г. Дубна, ЛТФ ОИЯИ, 17 — 22 сентября 2018 г.; XIII Международные Чтения по квантовой оптике, г. Владимир, ВлГУ, 9 — 14 сентября

2019 г.; Международная молодёжная научная конференция «XV Королёвские чтения», посвящённая 100-летию со дня рождения Д. И. Козлова, Самара, Самарский университет, 8 — 10 октября 2019 г.; V Международная конференция и молодежная школа «Информационные технологии и нанотехнологии» (ИТНТ-2019), Самара, Самарский университет 21 — 24 мая 2019 г; V Международная конференция по физике частиц и астрофизике, г. Москва, МИФИ, 5 — 9 октября

2020 г.

Работы по теме диссертации выполнялись в соответствии с планами фундаментальных научно-исследовательских работ по грантам и программам: государственное задание Минобрнауки РФ FSSS-2020-0014.

Личный вклад. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами. Все новые результаты по расчету энергий двухчастичных и трехчастичных связанных систем, представленные в диссертации, получены лично автором или в неразделимом соавторстве. Диссертант лично представил доклады на перечисленных выше научных конференциях.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 26 печатных изданиях, 13 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 11 — в тезисах докладов.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и четырех приложений. Полный объём диссертации составляет 159 страниц, включая 23 рисунков и 13 таблиц. Список литературы содержит 168 наименований.

Глава 1. Вклад на поляризуемость ядра в спектре энергии мюонного

водорода

1.1 Лептон-нуклонное рассеяние

"Фотографирование" объекта в рассеянных электронах-хорошо апробированный метод в физике. Предположим, что мы исследуем распределение заряда на рисунке 1.1 [18], которое может быть, например, электронным облаком атома. Для этого нужно зарегистрировать угловое распределение рассеянных электронов и сравнить его с известным сечением рассеяния электронов на точечном заряде ^аМО)точ:

(1.1)

где д-передача импульса от падающего электрона мишени .

Рисунок 1.1-Рассеяние электрона зарядовым облаком в низшем порядке теории

возмущения

Рассмотрим рассеяние неполяризованных электронов с энергией Е на статическом бесспиновом распределении заряда 7ер(х), нормализованном в

соответствии с условием:

/p(x)d3x=1. (1.2)

В случае статистической мишени формфактор в соотношении (1.1) есть просто фурье-образ распределения заряда:

F(q) = /р(х)е* (4x)d3x , (1.3)

тогда как сечение рассеяния на точечной мишени имеет вид:

(£) н (£) ^_i5^fl-fl2sin2(£))> (1.4)

Vdn/ точ Vd^M0TT 4fc4sin4(f)V W/' V '

где к = = = - и 0 — угол рассеяния электрона.

Из условия нормировки (1.2) имеем:

F(0) = 1. (1.5)

При не слишком больших |q| экспоненту в выражении (1.3) можно разложить в ряд, что дает [18]:

Ffo) = /(1 + i (q ■ *) - ^ + ••• )p(x)d3x =1—1 |q|2(r2> + ••• . (1.6)

Приняли, что распределение заряда сферически-симметрично, то есть р-функция только переменной г = |х|. Поэтому при рассеянии на малые углы мы измеряем средний квадрат радиуса зарядового облака < r2 >. Этоследствие того, что в пределе малых |q| фотон на рисунке 1.1 мягкий, длина его волны велика и он позволяет "разрешить" только общие размеры распределения р(г), но не его детальную структуру.

В рассеянии электронов существен не только заряд, но и магнитный момент протона. Протон испытывает отдачу при бомбардировке электронами, и его нельзя считать статическим. Но если бы протон был точечной частицей с зарядом е и дираковским магнитным моментом е/2М, то ответ был бы известен. В этом случае можно было бы взять выражение для сечения электрон-мюонного рассеяния и

заменить в нем массу мюона массой протона:

2 2М V2

^L = 4F2Srn4(f)n (2) —йй™ \2/J' (17

где множитель^'/Е = 1/(1 + 2Е (^))возникает из-за отдачи мишени.

Повторяя вычисления электрон-мюонного сечения, находим, что амплитуда электрон-нуклонного рассеяния (рисунок1.2) [18] имеет вид:

Тя = -i

(1.8)

где q=N,-N,jц и 1ц- электронный и нуклонный токи перехода. Эти токи записываются следующим образом:

jц = -ей(к')уци(к)е1(к'-к>х, (1.9)

= ей(М')[у]и(М)е1(ы'-ы>х. (1.10)

Рисунок 1.2-Упругое электрон- нуклонное рассеяние в низшем порядке

Так как нуклон протяженный объект, можно заменить квадратные скобки в выражении (1.10) величиной уц, как в случае частицы со спином 1/2 в формуле (1.9). Но зная, что ^ -лоренцев 4-вектор,и, следовательно, должны использовать наиболее общий вид 4-вектора, построенного из N N qи дираковских у матриц, заключенных между и и и. Имеются только 2 независимых члена уц коэффициенты перед которыми есть функции переменной с2 (единственная независимая переменная в протонной вершине). Члены содержащие у5, исключаются в силу требования сохранения четности. Поэтому в совершенно общем виде выражение в квадратных скобках в (1.10) можно записать так:

(1.11)

я

[у]= глч^ + ^^у^чч

где ^ и — два независимых формфактора, х-аномальный магнитный момент.

При ц2 ^ 0, когда зондирование нуклона осуществляется длинноволновыми фотонами, совершенно не существенно, что нуклон имеет структуру в масштабе

~ 1 Ф. Экспериментально наблюдаем частицу с зарядом е и магнитным моментом 2

(1 + х)— (яэксп= 1,79). Поэтому формфакторы в (1.11)для протона должны быть выбраны так, чтобы в этом пределе выполнялись условия:

М0) = 1, ^2(0) = 1. (1.12)

Соответствующие значения для нейтрона равны:

^(0) = 0, ^(0) = 1, *эксп = —1,91. (1.13)

Если пользуясь выражением (1.11), вычислить дифференциальное сечение электрон-нуклонного упругого рассеяния, то получим выражение:

(£) = — ^2)С082 (*) —£(Р1+ Кр2)28т2 (*)]. (1.14) лаб 4Я25Ш4(§) ^ ^ 1 4 М2 2) \2) 2МУ 1 2 ЬЛ V }

Два формфактора ^1,2(д2) в параметрической форме отражают неизвестную нам детальную структуру нуклона, изображенного в виде кружка на рисунке 1.2. Эти формфакторы могут быть определены экспериментально путем измерения da/dП как функции переменных в и д2. Если бы нуклон был точечной частицей, подобной мюону, мы имели бы к = 0 и ^1(^2) = 1 при всех ц2 и выражение (1.14) перешло бы в (1.7).

Практически удобнее пользоваться линейными комбинациями формфакторов иF2:

на2

°Е = Р1^Щ2Р2 ,°м=р1+ Кр2 , (1.15)

определенными таким образом, чтобы в сечении отсутствовали интерференционные члены СЕвМ. Тогда формула (1.14) принимает вид:

а2 Е' вЕ2 + вМ2 _ /0\ _ _ /в"

Ылаб 4Е25Ш4 (в-)Е\ 1 + Т С05 (2> + 2 — (2

2

22

(^) + 2ТСм2^П2^)), (1.16)

где т = —ц2/4М2

Теперь когда исчезли интерференционные члены, введенные нуклонные

формфакторы можно рассматривать как обобщения нерелятивистского формфактора и было бы очень хорошо, если бы было можно интерпретировать их фурье- образы как распределение заряда и магнитного момента в нуклоне. Но отдача нуклона делает это невозможным. Формфакторы вЕ(д2) и £м(д2) тесно связаны с распределениями заряда и магнитного момента в специальной лоренцевой системе Брейта, определенной соотношением р'=—р.

Обобщая формфактор заменим величиной Б(д2). Но при |д2|<< М2 можно тоже интерпретировать формфакторы как фурье-образы.

Величины СЕ и £м называются электрическим и магнитным формфакторами. Данные по угловому распределению рассеяния ер ^ ер могут быть использованы для разделения и вм при различных значениях ц2. Результат для вЕ2 приведен на рисунке 1.3. Формфактор £м имеет такую же зависимость от д2.

Анализ рисунка 1.3 показывает [19], что:

СЕ(ч2) = (1—-^)-2ГэВ2 .

(1.17)

Рисунок 1.3 - Зависимость дипольного формфактора от д2

По зависимости при малых -д2можно определить коэффициенты в разложении (5). В частности, средний квадрат радиуса протона равен:

<Г2>= б( ! 2 ) =(0.81 Ф)2 . (1.18)

Примерно такой же радиус, порядка 0.8 Ф, найден для распределения магнитного момента. Воспользовавшись результатом (1.4), приходим к выводу, что распределение заряда в нуклоне имеет экспоненциальный вид в конфигурационном пространстве [19].

Установив размеры протона, мы хотим более детально исследовать его структуру, повысив величину — д 2 фотона и тем самым повысив разрешение. Для этого можно просто потребовать больших потерь энергии налетающих электронов. Но здесь имеется некоторое усложнение: при большой передаваемой энергии более вероятным будет развал нуклона и диаграмма рисунок 1.2 должна быть обобщена до диаграммы рисунок 1.4 при умеренных значениях-д2нуклон может просто возбудиться в Д-резонанс и, следовательно, возможно рождение дополнительного п- мезона, то есть процесс ер^ еД+ ^ ерп0. В таких событиях инвариантная масса равна W« Мд . Но при очень больших значениях — д2 осколки становятся настолько многочисленными и беспорядочными, что возможность идентификации начального состояния практически полностью теряется и для извлечения информации из данных измерения необходим новый формализм. На рисунке 1.5 показано распределение по инвариантным массам. Здесь мы видим пик при W« М, когда нуклон не разваливается, и более широкие максимумы, соответствующие возбуждению резонансных барионных состояний. За резонансами сложные многочастичные состояния приводят к гладкому распределению по недостающей массе W.

Рисунок 1.4-Диаграмма низшего порядка для рассеяния еКЫ^ еХ

К (ГаВМг

Рисунок 1.5- Зависимость сечения рассеянияе^Ы^ еХ от недостающей массы

^Ъри Е=10 ГэВ, в = 6°

Проблему, с которой столкнулись, можно проиллюстрировать, вспомнив формулы (1.9) и (1.10) и рисунок 1.2. Переход от мюонной мишени к нуклонной заключается в замене лептонного тока (~йу^и) и в построении наиболее общей формы для Г^. Этого недостаточно для описания неупругих процессов рисунок 1.4. Хотя выше штриховой линии все осталось без изменений, конечное состояние не является отдельным фермионом, который описывается дираковским спинором "ивходящим в матричный элемент тока. Поэтому ток должен иметь более сложную структуру, чем (1.11).

Выражение для сечения:йа~С^у^р)^упереходит в выражение:

, (1.19)

где С^у-лептонный тензор.

Адронный тензор служит для параметризации совершенно неизвестной нам формы тока на другом конце фотонного пропагатора. Наиболее общий вид тензора должен быть построен из и независимых импульсов pи q (р'=p+q) [18]. Матрицы у^ не включаются в рассмотрение, так как параметризуем сечение, которое уже просуммировано и усреднено по спинам. Напишем:

^ = -И^ +^РУ + ^РУ). (1.20)

В (1.20) опущены возможные антисимметричные члены в вклад которых в

сечение обращается в ноль после подстановки в (1.19), так как тензор симметричен.

Таким образом, только два из четырех неупругих формфакторов (1.20) независимы; поэтому можно написать:

^ = ^ (—^ +3^3!) + ^ (рИ — Еу)^ — ЕЗ^, (1.21)

где функции скалярных переменных, которые могут быть построены из 4-векторов в адронной вершине.

В отличии от упругого рассеяния здесь мы имеем две независимые переменные,

качестве которых берем: q2, v = ^

2 „ - p-q

2

Инвариантная масса W конечной адронной системы связана с V и ц соотношением:

Ж2 = (р + ^)2 = M2 + 2Mv + q2. (1.22)

Расчет сечения неупругого рассеяния еКЫ^ еХ проводится точно так же, как и для рассеяния ^ е-ц-(или еКЫ^еК) с подстановкой вместо ¿нЮон(или

). Воспользовавшись выражением:

'ЦУ

/

■'ЦУ

= 0.5Гг(Р y^yV) + 0.5ш2Гг(уЦ7У) =

= 2[№V + fc'V - (fc'fc - m2)^V] (1.23)

для (¿е)ЦУи имея ввиду qЦL<ЦV=qVL(flV = 0, находим:

(¿е)ЦУМЦУ = 4ЕЕ' {cos2 W2(v, q2) + sin2 2W1(v, q2)} . (1.24)

С учетом(1.24) для потока и выражения:

Число конечных состояний Kd3p

Частица (2я)32Е (1.25)

для фазового объема конечного электрона получаем инклюзивное

дифференциальное сечение неупругого электрон-нуклонного рассеяния eN ^ еХ:

1 e4 d3k'

^^ = , ^(í.e)ЦVWЦV4пM}.........(1.26)

4V[(k"P)2-m2M2] {q4 J Ц 2E'(2n)3 ( )

Подставив (1.24) в (1.26) получим:

^=Н © ^ч2)+"п2 (2) ^ ч2)1 . (127)

где выражение в фигурных скобках (1.24) есть величина |М|2. Дополнительный множитель 4пМ возникает вследствие того, что приняли обычное условие нормировки тензора

В настоящее время нейтральное взаимодействие лептона с нуклоном опосредовано главным образом с виртуальным фотоном. Фотон - нуклонное взаимодействие зависящее от поляризаций фотона и нуклона. Поперечное сечение этого взаимодействия связано с мнимой частью амплитуды комптоновского рассеяния фотона на нуклоне у*М ^ у*М . Это дает четыре вида независимых спиральных амплитуд МаЬ,са, са,Ь,си ёзначений спиральности для фотона и нуклона для начального и конечного состояния соответственно. Состояния представлены в [20]:

1 „ 1 I 1 * 1 I 1 ~ 1 I 1 „ 1. ( 1.2о )

1,-1,- ' 1,--,1,— ' 0,-0,- ' 1,-0,— 4 '

'2 2 2 2 2 2 2 2

Все другие возможные комбинации начальных и конечных протонных и нуклонных спиральностей связаны с вышесказанным изменением времени:

Ма,ь,с4 = Мс,^,а,ь (1.29)

и четности преобразования:

Ма,Ь,с4 = М-а,-Ь,-с,-й . (1.30)

Четыре независимых амплитуды могут быть переписаны с точки зрения спин -зависимых структурных функций и у*М сечений:

4 4 2Мх

1 _ 1 =

т

V 1 - V

4 4 2Мх

1 * 1 =

( 2МХ \

(^1+^1——^2), (1.31)

( 2Мх \ (^1-^1--—02), (1.32)

о1п =- М 1 1 =-( Я

3/2 МК 1,- 1,1,-1 МК ( 1 — V

4 4 у2\ 1

а1>2=1йГ ^оТ^Ит^ё*)-«^ (1-33)

4 4

= "Ж" МФ,-, = 1ЙГ V + «2)' (1-34)

где фактор потока виртуального фотона записывается в виде ^ = V — @2/2М.

Сечения поглощения виртуальных фотонов (1.31) - (1.34) содержат надстрочные обозначения: Ь- продольные сечения, Т - поперечные. Индекс ТЬ для случая, когда фотон изменяет направление поляризации при взаимодействии. Полные сечения для поперечно и продольно-поляризованных фотонов записываются:

^1/2 + ^3/2 4 п2а ь

-;;-= —тгтгРл и о> = о;/?.

2 М^ 1 1 1/2

ГТ

=

(1.35)

К тому же структурная функция ЩШ^) есть отношение продольныхи поперечных сечений:

2Мх

72 =

(1.36)

^ 2х "V

Теперь можно использовать сечения поглощения виртуальных фотонов для создания "асимметрии поглощения виртуальных фотонов":

Ал =

ТТ °1/2 а3/2

Т 1/2

оТII + о-

Т

3/2

и А =

°1/2

(1.37)

Используя выражения (1.31) - (1.34) для сечений, эти асимметрии могут быть переписаны следующим образом:

Ал = -г-и А2 =---.

С точки зрения измеренных асимметрий Луи асимметрии примут вид:

(1.38)

1

А>=р

2

л

У У

2 2 tan-

2

А=

У(2 - у) 2£'

л„+л±

у(1 + у22)

(1 — у) sin в

(1.39)

(1.40)

Инвертируя выражения выше, получаем уравнения для спиновых структурных функций §1и §2 с почки зрения асимметрии поглощения виртуальных фотонов:

^2

01 =

2х(1 + Л)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Эскин Алексей Владимирович, 2022 год

Список литературы

1. Karshenboim, S.G. Precision physics of simple atoms: QED tests, nuclear structure and fundamental constants / S. G. Karshenboim // Phys. Rep. —2005.

— Vol. 422. — P. 1—63.

2. Mohr, P.J. CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2010 / P. J. Mohr, B. N. Taylor, D. B. Newell // Rev. Mod. Phys. — 2012. — Vol. 84. — P. 1527—1605.

3. Eides, M.I. Theory of light hydrogenlike atoms / M. I. Eides, H. Grotch, V. A. Shelyuto // Phys. Rep. — 2001. — Vol. 342. — P. 63—261.

4. Borie, E. The energy levels of muonic atoms/ E. Borie, G. A. Rinker// Rev. Mod. Phys. — 1982. — Vol. 54. —Р. 67—118.

5. Pachucki, K. Theory of the Lamb shift in muonic hydrogen/ K. Pachucki// Phys. Rev. A. — 1996. Vol. 53. —Р. 2092—2100.

6. Simon, G. Absolute electron Proton Cross-Sections at Low Momentum Transfer Measured with a High Pressure Gas Target System Text/ G. Simon, C. Schmitt, F. Borkowski // Nucl.Phys.A. — 1980. — Vol. 333. —Р. 381-391.

7. Мартыненко, А.П. Эффект поляризуемости протона в лэмбовском сдвиге атома водорода / А.П. Мартыненко// ЯФ. — 2006. —Vol. 69. — Р. 1309— 1315.

8. Герштейн, С.С. Мюонный катализ и ядерный бридинг / С. С. Герштейн, Ю. В. Петров, Л. И. Пономарев // УФН. — 1990. — Т. 160. — С. 3—46.

9. Corrections of two-photon interactions in the fine and hyperfine structure of the P-energy levels of muonic hydrogen/A. E. Dorokhov [et al.] // Eur. Phys. J. A. -

- 2018. — V. 54. — P. 131.

10. Hyperfine structure of P states in muonic deuterium / R. N. Faustov [et al.] // Physical Review A. — 2015. — Vol. 92. — P. 052512.

11. Мартыненко, А.П.Теория сверхтонкой структуры S-состояний мюонного трития/ А. П.Мартыненко, Ф. А. Мартыненко, Р. Н. Фаустов // ЖЭТФ. — 2017. —Т. 151. — С. 1052—1065.

12. Hyperfine structure of S states in muonic deuterium / R. N. Faustov [et al.] //

Physical Review A. — 2014. — Vol. 90. — P. 012520.

13. Varga, K. Stochastic variational approach to quantum mechanical few — body problems / K. Varga, Y. Suzuki. — Springer, 1998. — 314 p.

14. Varga, K. Solution of few — body problems with the stochastic variational method I. Central forces with zero orbital momentum / K. Varga, Y. Suzuki // Computer Physics Communications. — 1997. — Vol. 106. — P. 157—168.

15. Varga, K. Precise solution of few — body problems with the stochastic variational method on a correlated Gaussian basis / K. Varga, Y. Suzuki // Phys. Rev. C. — 1995. — Vol. 52. — P. 2885—2905.

16. Richard, J.-M. Exotic hadrons: review and perspectives / J.-M. Richard // Few-Body Syst. — 2016. —Vol. 57. — P. 1185.

17. Richard, J.-M. Recent issues in hadron spectroscopy / J.-M. Richard // Nucl. Phys. A. — 2005. — Vol. 752. — P. 129-138.

18. Хелзен, Ф. Кварки и лептоны введение в физику частиц/ Ф. Хелзен, А. Мартин. — М: Мир, — 1987. — 455 с.

19. Исаев, П.С. Квантовая электродинамика в области высоких энергий/ П.С. Исаев. — М.: Энергоатомиздат, —1984. — 264 с.

20. Proton and deuteron f2 structure functions in deep inelastic muon scattering/ P. Amaudruz [et al.] // Phys.Lett. B. — 1992. — Vol. 295. — P. 159-168.

21. Carlson, C.E. Nuclear-structure contribution to the Lamb shift in muonic deuterium/ C.E. Carlson // Phys. Rev. A. — 2014. — Vol. 83. — P. 153—163.

22. Carlson, C.E. Higher order proton structure corrections to the Lamb shift in muonic hydrogen/ C.E. Carlson, M. Vanderhaeghen // Phys.Rev. A. — Vol. 84. -- 2011. — P. 020102.

23. Drechsel, D. Threshold pion photoproduction on nucleons / D. Drechsel, T. Tiator// J.Phys. G. — 1992. — Vol. 18. —Р. 449—497.

24. Chew, G.F. Relavistic Dispersion Relation Approach to Photomeson Production/ G.F.Chew, M.L. Goldberg, F.E. Low, Y. Nambu //Phys. Rev. — 1957. —Vol. 106. —Р. 1345—1355.

25. Berends, F.A. On the solution of dispersion relations for the photoproduction and electroproduction of the T=J=3/2 isobar/ F.A. Berends, A. Donnachie, D.L. Weaver //Nucl. Phys. B. — 1967. —Vol. 4. —P. 314—315.

26. Nozawa, S.A dynamical model of pion photoproduction on the nucleon/ S. Nozawa, B. Blankleider,. T.-S. H.Lee // Nucl. Phys. A. —1990. — Vol. 513. —P. 459—510.

27. Hanstein, O. Multipole analysis of pion photoproduction based on fixed t dispersion relations and unitarity/ O. Hanstein, D. Drechsel, L. Taitor // Nucl. Phys. A. — 1998. — Vol. 632. —P. 561—606.

28. Blomqvist, I.A Nonrelativistic Operator Convenient for Analysis of Pion Photoproduction on Nuclei in the Delta (1236) Region / I. Blomqvist, J.M. Laget // Nucl.Phys. A. — 1977. — Vol. 280. — P. 405—428.

29. Walker, R.L. Phenomenological Analysis of Single-Pion Photoproduction/ R. L. Walker //Phys. Rev. — 1969.— Vol. 182. —P. 1729—1743.

30. L'vov, A.I. Dispersion theory of proton Compton scattering in the first and second resonance regions/ A.I. L'vov, V.A. Petrun'kin, M. Schumacher //Phys. Rev. C. — 1997. — Vol. 55. —P. 359-377

31. Arndt, R.A. Partial-wave analysis of pion photoproduction/ R.A. Arndt, R.L. Workman, Zh. Li, L.D.Roper // Phys. Rev. C. —1990. — Vol. 42. —P. 1864— 1869.

32. Laget, J.M. On the longitudinal electromagnetic coupling of the A/ J.M. Laget //Nucl.Phys.A. — 1988. — Vol. 481. —P. 765—780.

33. Li, Z.P. Electroproduction of the Roper resonance as a hybrid state/ Z.P. Li, B. Burkert, Zh. Li //Phys. Rev. D. — 1992. —Vol. 46. —P. 1570—1575.

34. Aiello, M. Electromagnetic transition form factors of negative parity nucleon resonances/ M. Aiello, M.M. Giannini, E. Santopinto //J. Phys. G., — 1998. Vol. 24.— P. 753—765.

35. Drechsel, D.A unitary isobar model for pion photo- and electroproduction on the proton up to 1 GeV/ D. Drechsel, T. Tiator// Nucl.Phys.A. — 1999. — Vol. 18. -

-Р. 145—174.

36. Martynenko, A.P. Proton-Polarizability Effect in the Lamb Shift for the Hydrogen Atom / A.P. Martynenko // Phys.Atom.Nucl. — 2006. — Vol. 69. — P. 1309-1316.

37. Bjorken, D.J. Applications of the Chiral U(6)®U(6) Algebra of Current Densities/ D.J. Bjorken //Phys. Rev.— 1966. — Vol. 148. —Р. 1467—1478.

38. Drechsel, D. Dispersion relations in real and virtual Compton scattering/ D. Drechsel, B. Pasquini, M. Vanderhaeghen// Phys. Rev.—2003.— Vol. 378. — P. 99—205.

39. Beringer, J. Review of particle physics/ J. Beringer//Phys. Rev. D. — 2012. — Vol. 86. — P. 1—1526.

40. Pachucki, К. Higher-order, recoil corrections to energy levels of two-body systems/ К. Pachucki // Phys. Rev. А. — 1999. — Vol. 60. — P. 3593—3598.

41. Badelek, B. The low-Q2, low-X region in electroproduction/ B. Badelek, J. Kwiecinski //Rev. Mod. Phys. — 1996. — Vol. 68. —Р. 445—467.

42. Brasse, F.W. Parameterization of the q2 dependence of p total cross sections in the resonance region/ F.W. Brasse, W. Flauger, J. Gayler //Nucl. Phys.B. — 1976. — Vol. 110. —Р. 413—433.

43. Abramowicz, H. The ALLM parameterization of Gtot(y*p) an update/ H. Abramowicz, A. Levy//Preprint DESY 97—251, —2004.

44. Drechsel, D. Unitary Isobar Model - MAID2007/ D. Drechsel, S.S. Kamalov, T. Tiator// Eur.Phys.J. — 2007. — Vol. 34. —Р. 69—97.

45. Chiang, W.-T. An isobar model for n photo- and electroproduction on the nucleon/ W.-T. Chiang, S. N. Yang, L. Tiator, D. Drechsel //Nucl. Phys. A. — 2002. — Vol. 700. —Р. 429—453.

46. Close, F.E. An Introduction to Quarks and Partons/ F.E. Close. —М: Мир, 1982. —481 c.

47. Hadronic deuteron polarizability contribution to the Lamb shift in muonic deuterium / A.V. Eskin[et al]// Mod.Phys.Lett. A. —2006. — Vol. 31. — P.

1650104.

48. Leader, E. An introduction to Gauge theories and the new physics/ E. Leader, E. Predazzi. - Cambridge Univ. Press, — 1982. — P.1—507.

49. Miyama, M. Q2 evolution of structure functions in the nucleon and nuclei/ M. Miyama, S. Kumano //Comput. Phys. Commun. — 1996. —Vol. 94. —Р. 185206.

50. Abe, K. Measurements of R = sigma(L)/sigma(T) for 0.03 < x < 0.1 and fit to world data/ K. Abe, T. Akagi, P.L. Anthony //Phys. Lett. B. — 1999.— Vol. 452. —Р. 194 — 200.

51. The ratio F2(n) / F2(p) in deep inelastic muon scattering / P. Amaudruz[et al] //Nucl.Phys. B. — 1992. — Vol. 371. — P. 3—31.

52. Osipenko, M.Measurement of the deuteron structure function F(2) in the resonance region and evaluation of it's moments/ M. Osipenko // Phys.Rev. C. -2006. — Vol. 73. — 045205.

53. Bosted, P.E. Empirical fit to inelastic electron-deuteron and electron-neutron resonance region transverse cross-sections / P.E. Bosted, M.E. Christy // Phys.Rev. C. - 2008. — Vol. 77. - P. 065206.

54. Faustov, R.N. Proton polarizability contribution to hydrogen hyperfine splitting/ R.N. Faustov, A.P. Martynenko//Eur. Phys.J. — 2002. — Vol. 24. — P. 281— 285.

55. Drell, S.D. Pion photoproduction at 0-degrees/ S.D. Drell, J.D. Sullivan //Phys. Rev.— 1967. —Vol. 154. — P. 268—271.

56. Verganalakis, A.Polarization contribution to the hydrogen hyperfine structure and phenomenology of the electron-proton interaction/ A. Verganalakis, D. Zwanziger // Nuovo Cimento A. — 1965. — Vol. 39. — P. 613—634.

57. Guerin, F. Proton-recoil corrections to the hyperfine splitting of the hydrogen atom/ F. Guerin// Nuovo Cimento A. — 1967. — Vol. 50. — P. 1—34.

58. Зиновьев, ЛМСтруктура протона и сверхтонкое расщепление в атоме водорода/ Г.М.Зиновьев, Б.В.Струминский, Р.Н.Фаустов, В.Л.Черняк // ЯФ.

- 1970. - T. 11. - C. 1284-1297.

59. Abe, K. Improved measurement of the B-and B0 meson lifetimes using semileptonic decays/ K. Abe //Phys. Rev. D. — 1998. — Vol. 58. — P. 1—35.

60. Abe, K.Measurement of the electromagnetic coupling at large momentum transfer/ K. Abe // Phys. Rev. Lett. — 1997. — Vol. 78. — P. 424—427.

61. Anthony, P.L.Inclusive hadron photoproduction from longitudinally polarized protons and deuterons/ P.L. Anthony //Phys. Lett. B. — 1999. — Vol. 458. — P. 536—544.

62. Mitchell, G.S. Spin structure functions g(1) and g(2) for the proton and deuteron/ G.S. Mitchell //Preprint SLAC-PUB 8104 , — 1999.

63. Adams, D. Studies of gauge boson pair production and trilinear couplings/ D. Adams// Phys.Rev. D. — 1997. — Vol. 56. — P. 6742—6778.

64. Adeva, D. Spin asymmetries A(1) of the proton and the deuteron in the low x and low Q**2 region from polarized high-energy muon scattering/ D. Aveda // Phys.Rev. D. — 1999. — Vol. 62. — 079902.

65. Feynman, R.P. Photon-hadron interaction/ R.P. Feynman. — Addison-Wesley, -

- 1972. — 282 c.

66. Teis, S.Pion production in heavy ion collisions at SIS energies/ S. Teis // Z.Phys. A. — 1997. — Vol. 356. — P. 421—435.

67. Photoabsorption on nuclei/ M. Effenberger [el al]// Nucl.Phys. A. — 1997. — Vol. 613. — P. 353—370.

68. Krusche, B.New threshold photoproduction of eta mesons off the proton/ B. Krusche // Phys. Rev. Lett. — 1995. — Vol. 74. — P. 3736—3739.

69. Bianchi, N. Total hadronic photoabsorption cross-section on nuclei in the nucleon resonance region/ N. Bianchi //Phys.Rev. C. — 1996. — Vol. 54. — P. 1688—1699.

70. Dong, Y.-B.Study of nucleon spin dependent properties in the resonance region/ Y.-B. Dong // Eur.Phys.J. A. — 1998. — Vol. 1. — P. 347—354.

71. Photoproduction of pions and etas in nuclei / M. Effenberger [el al]// Nucl.Phys.

A. — 1997. — Vol. 614. — Pp. 501—520.

72. Li, Z.Effects of the quantity sigma(TS) on the spin structure functions of nucleons in the resonance region/ Z. Li, Y.-B. Dong // Phys.Rev. D. — 1996. — Vol. 54. — P. 4301—4311.

73. Koniuk, R.Baryon Decays in a Quark Model with Chromodynamics/ R. Koniuk, N. Isgur // Phys.Rev. D. — 1980. — Vol. 21. — P. 1868.

74. Close, F.E. Photoproduction and Electroproduction of N*N* in a Quark Model With {QCD} / F.E. Close, Z. Li // Phys. Rev. D. —1990.—Vol. 42. — P. 2194— 2206.

75. Capstick, S.Photoproduction amplitudes of P(11) and P(33) baryon resonances in the quark model/ S. Capstick // Phys. Rev. D. — 1992. — Vol. 46.— P. 1965-1972.

76. Warns, M.Helicity and Isospin Asymmetries in the Electroproduction of Nucleon Resonances / M. Warns, W. Pfeil, H. Rollnik //Phys.Rev. D. — 1990. - Vol. 42. — P. 2215—2225.

77. Drechsel, D. Hadron structure at low Q2/ D. Drechsel, T. Walcher //Rev.Mod.Phys. — 2008. — Vol. 80. — P. 731—785.

78. Gerasimov, S.B. A Sum rule for magnetic moments and the damping of the nucleon magnetic moment in nuclei/ S.B. Gerasimov //Sov.J.Nucl.Phys. — 1966. — Vol. 2. — P. 430—433.

79. Khriplovich, I.B. Corrections to deuterium hyperfine structure due to deuteron excitations /I.B. Khriplovich, A.I. Milstein // Zh.Eksp.Teor.Fiz. — 2004. — Vol. 125. — P. 205—209.

80. Мартыненко А.П. Вклад адронной поляризуемости дейтрона в сверхтонкую структуру мюонного дейтерия / А.П. Мартыненко, Е.Н. Элекина, А.В. Эскин //XXV Съезд по спектроскопии Сборник тезисов, (Троицк, 3-7 октября 2016 г.) — М.: МПГУ, 2016. — С. 424—425.

81. Eskin, A.V. Hadronic deuteron polarizability contribution to the hyperfine structure in muonic deuterium/ A.V. Eskin, A.P. Martynenko, E.N. Elekina //

EPJ Web Conf. — 2017. — Vol. 132. —P. 03055.

82. Eskin, A.V. The correction of hadronic nucleus polarizability to hyperfine structure of light muonic atoms/ A.V. Eskin, A.P. Martynenko, E.N. Elekina // EPJ Web Conf.— 2017.— Vol. 158. —P. 07002.

83. Эскин, А.В. Поправка на адронную поляризуемость ядра в сверхтонкой структуре спектра энергии мюонного дейтерия/ А.В. Эскин, А.П.Мартыненко//ХУ Всероссийский молодежный Самарский конкурс-конференция научных работ по оптике и лазерной физике: сборник трудов конференции, (Самара, 14-18 ноября 2017 г.) — М.: ФИАН им. П.Н. Лебедева, 2017. — С. 217—224.

84. Faustov, R.N. Hyperfine ground-state structure of muonic hydrogen/ R. N. Faustov, A. P. Martynenko// J. Theor. Exp. Phys. — 2004. — Vol. 98. — P. 3952.

85. Martynenko, A.P. Hyperfine Structure of S-States in Muonic Helium Ion /A. P. Martynenko// J. Exp. Theor. Phys. — 2008.— Vol. 106.— P. 691—700.

86. Martynenko, F.A. Hyperfine structure of S-states of muonic tritium/ F. A. Martynenko, R. N. Faustov, A. P. Martynenko// EPJ Web Conf.— 2017. — Vol. 132.— P. 03032.

87. Frank, F.C. Hypothetical Alternative Energy Sources for the 'Second Meson' Events/ F.C. Frank //Nature. — 1947.— Vol. 160.— P. 525-527.

88. Sakharov, A. D. and Lebedev, P. N. Report of the Physics Institute Academy of Sciences, USSR. 1948.

89. Zel'dovich, Ia.B.Reactions Produced by wMesons in Hydrogen/ Ia.B. Zel'dovich, A.D. Sakharov // J. Exper. Theoret. Phys. — 1957. — Vol. 32. — P. 947--949.

90. Zel'dovich, Ia.B. Formation of hydrogen mesic molecules / Ia.B. Zel'dovich, S.S. Gershtein// J. Exptl. Theoret. Phys. - 1958. — Vol. 35. — P. 649—654.

91. Catalysis of nuclear reactions by mu mesons / L.W. Alvarez [et al]// Phys.Rev. -1957. - Vol. 105. - P. 1127—1128.

92. Jackson, J.D. Catalysis of Nuclear Reactions between Hydrogen Isotopes by mu- Mesons / J.D. Jackson// Phys.Rev. — 1957. - Vol. 106. - P. 330—339.

93. Vesman, E.A. A Possible Role of the Gailitis Resonance in Muon Catalyzed Fusion / E.A. Vesman, C. Yu Hu, D. Caballero // JETP. - 1967. - Vol. 5. - P. 9199.

94. Breunlich W.H. Muon-Catalyzed Fusion / W.H. Breunlich, P. Kammel, J.S. Cohen and M. Leon // Annu. Rev. - 1989. - Vol. 39. - P. 311-356.

95. Ponomarev, L.I. Calculation of rates of formation of ^-mesic hydrogen molecules / L.I. Ponomarev, M.P. Faifman // Zh. Eksp. Teor. Fiz. - 1976. - Vol. 71. - P. 1689—1699.

96. Ponomarev, L.I. Calculation of the energy levels of hydrogen mesic molecules by taking into account adiabatic corrections for nuclear motion / L.I. Ponomarev, I.V. Puzynin, T.P. Puzynina // Zh. Eksp. Teor. Fiz. - 1973. -Vol. 65. - P. 28—34.

97. Melezhik, VS. Elastic scattering in a three-particle system with Coulomb interaction/ V.S. Melezhik, L.I. Ponomarev, M.P. Faifman // Zh. Eksp. Teor. Fiz. - 1983. - Vol. 85. - P. 434—446.

98. Gerstein S.S. meson catalysis of nuclear fusion in a mixture of deuterium and tritium /S.S. Gerstein and L.P. Ponomorev // Phys. Lett. B. - 1977. - Vol. 72. -P. 80—82.

99. Филъченков В.В. Физические приложения мю-катализа, захват мюона в водороде / В.В. Фильченков // ЭЧАЯ. - 2016. - Т. 47. - С. 1092—1153.

100. Leon, M.X-ray yields in muonic hydrogen / M. Leon // Phys.Lett. B. - 1971. -Vol. 35. - P. 413—414.

101. Menshikov, L.I. Quasiresonant Formation of DT^ and DD^ Mesic Molecules in Triple Collisions // L.I. Menshikov, L.I. Ponomarev// Phys.Lett. B. - 1986. -Vol. 167. - P. 141—144.

102. Bracci, L. Coulomb Deexcitation of Mesic Hydrogen / L. Bracci, G. Fiorentini // Nuovo Cim. A. - 1978. - Vol. 43. - P. 9.

103. Bracci, L.Meson Transfer To Atoms And Molecules / L. Bracci, G. Fiorentini //

Nuovo Cim. A. - 1979. - Vol. 50. - P. 373.

104. Korobov, V.I. Variational calculation of mesic molecule bound states with orbital momentum J = 1 and spatial parity X = +1 / V. I. Korobov, S. l. Vinitsky // Phys. Lett. B. — 1989. — Vol. 228. — P. 21—23.

105. Korobov, V.I. A variational calculation of weakly bound rotational-vibrational states of the mesic molecules dd^ and dt^ / V. I. Korobov, I. V. Puzynin, S. I. Vinitsky // Phys. Lett. B. — 1987. — Vol. 196. — P. 272—276.

106. Vinitskii, S.I. Variational calculations of the energy levels of p-mesic molecules of hydrogen isotopes / S. I. Vinitskii, V. I. Korobov // Zh. Eksp. Teor. Fiz. — 1986. — Vol. 91. — P. 705—714.

107. Виницкий, С.И. Адиабатическое представление в задаче трех тел с кулоновским взаимодействием / С.И. Виницкий, Л.И. Пономарев //Физ. ЭЧАЯ. - 1982. - Т. 13. - С. 1336—1418.

108. Frolov, A.M. On the bound states in the muonic molecular ions / A. M. Frolov // Eur. Phys. J. D. — 2012. — Vol. 66. — P. 212—223.

109. Calculation of Energy Levels of Hydrogen Isotope \mu^ Mesic Molecules in the Adiabatic Representation of Three-body Problem / V.S. Melezhik [et al.] // Zh. Eksp. Teor. Fiz. — 1980. — Vol. 79. — P. 698—712.

110. Melezhik VS. Elastic Scattering Processes in Three Particle System With Coulomb Interaction / V.S. Melezhik, L.I. Ponomarev, M.P. Faifman// Zh Sov.Phys.JETP. — 1983. — Vol. 58. — P. 254.

111. Matsuzaki T. Evidence for strong n-a correlations in the t+t reaction proved by the neutron energy distribution of muon catalyzed t-t fusion / T. Matsuzaki //Phys.Lett.B. -2003. -Vol.557. -P. 176 -183

112. Experimental investigation of muon-catalyzed t+t fusion /L.N. Bogdanova [et al]// JETP. -2009. -Vol. 108. -No 2. -P. 216-226.

113. Experimental search for the radiative capture reaction d+d^4He+y from the dd^ muonic molecule state J=1/V.V. Baluev [et al]// JETP. -2011. -Vol. 113. -No 1. -P. 68-86.

114. Сколов, А.А. Квантовая механика / А.А. Соколов, И.М. Тернов, В.Ч Жуковский. - М.: Наука, 1979. - 528 с.

115. Energy levels of a helium atom / D.T. Aznabayev [et al.] // Physics of Particles and Nuclei Letters. — 2015. — Vol. 12. — P. 689—694.

116. Bakalov, D. Hyperfine structure of antiprotonic helium energy levels / D. Bakalov, V. I. Korobov // Phys. Rev. A. — 1998. — Vol. 57. —P. 1662—1667.

117. Вращательные и колебательные спектры мезомолекул pdц, ptц, dtц / В. И. Коробов [и др.] // XVI Всероссийский молодежный Самарский конкурс-конференция научных работ по оптике и лазерной физике: сборник трудов конференции, (Самара, 13-17 ноября 2018 г.) — М. : ФИАН им. П.Н. Лебедева, 2018. — С. 189—196.

118. Сорокин, В.В. Исследование уровней энергии мезомолекул pt^, dt^/ В.В. Сорокин, А.В. Эскин //LXVIII Молодежная научная конференция Самарского университета: сборник трудов конференции: тезисы докладов, (Самара, 3-6 апреля 2018 г.) — Самара: Изд-во Самарского университета, 2018. — С. 193-195.

119. Bound states of pd^, ptp and dt^ muonic molecular ions in quantum electrodynamics / V.I. Korobov [et al.] // Relativistic Nuclear Physics and Quantum Chromodynamics: Book of Abstracts of the XXIV International Baldin Seminar on High Energy Physics Problems, (Dubna, September 17-22 2018 ) — Dubna, 2018. — P. 221.

120. Сверхтонкая структура основных состояний мезомолекул / В. И. Коробов [и др.] // XVI Всероссийский молодежный Самарский конкурс-конференция научных работ по оптике и лазерной физике: сборник трудов конференции, (Самара, 13-17 ноября 2018 г.) — М. : ФИАН им. П.Н. Лебедева, 2018. — С. 230—238.

121. Bound states of dt^ pdц and ¿рц mesomolecules / A. V. Eskin [et al.] // EPJ Web Conf. — 2019. — Vol. 204. — P. 05006.

122. Возбужденные состояния мезомолекул dt^, pd^, tp^ в вариационном

подходе / А.П. Мартыненко [и др.] // ЭЧАЯ. — 2019. — Т. 50. — С. 755— 758.

123. Excited states of mesomolecules dt^, pd^, tp^ in variational method / A. V. Eskin [et al.] // Phys. Part. Nuclei. — 2019. — Vol. 50. — P. 633—634.

124. Weakly bound states of dt^ muonic molecular ion in quantum electrodynamics / A. V. Eskin [et al.] // J. Phys.: Conf. Ser. — 2019. — Vol. 1390. — P. 012083.

125. Уровни энергии мезомолекулярных ионов водорода в вариационном подходе / А.П. Мартыненко [и др.] // КСФ ФИАН. — 2019. — Т. 4. — С. 54—60.

126. Energy levels of mesomolecular hydrogen ions in variational approach / A. V. Eskin [et al.] // Bull.Lebedev Phys.Inst.— 2019. — Vol. 46. — P. 143-147.

127. Energy levels in muonic helium / A. V. Eskin [et al.] // V международная конференция и молодежная школа «Информационные технологии и нанотехнологии»: Шорник трудов итнт-2019, тезисы докладов, (Самара, 21-24 мая 2019 г.) — Самара: Новая техника, 2019. — С. 73—76.

128. Hyperfine structure of muonic molecular ions td^, tp^, dp^ / A. V. Eskin [etal.] // V международная конференция и молодежная школа «Информационные технологии и нанотехнологии»: Шорник трудов итнт-2019, тезисы докладов, (Самара, 21-24 мая 2019 г.) — Самара: Новая техника, 2019. — С. 154—157.

129. Тонкая и сверхтонкая структура мюонного гелия / А.В. Эскин [и др.] // XIII международные чтения по квантовой оптике (IWQO - 2019): Сборник тезисов, (Владимир, 9-14 сентября 2019 г.) — Москва: Тровант, 2019. — С. 248—251.

130. Тонкая и сверхтонкая структура мюонного гелия/ А.В. Эскин [и др.] // Известия РАН. Сер. Физ. — 2020. — Т. 84. — С. 336—340.

131. Fine and Hyperfine Structure of Muonic Helium / A.V. Eskin [et al] // Bull.RAS:Phys.— 2020. — Vol. 84. — P. 258-262.

132. Hyperfine structure of muonic mesomolecules td^, tp^, dp^ in variational

method / A.V. Eskin [et al] // // EPJ Web Conf.— 2019. — Vol. 222. — P. 03011.

133. Energy levels in muonic helium / A.V. Eskin [et al] // // EPJ Web Conf.— 2019.

— Vol. 222. — P. 03009.

134. Сверхтонкая структура мезомолекулярных ионов водорода / В. И. Коробов [и др.] // XVII Всероссийский молодежный Самарский конкурс-конференция научных работ по оптике и лазерной физике: сборник трудов конференции, (Самара, 12-16 ноября 2019 г.) — М. : ФИАН им. П.Н. Лебедева, 2019. — С. 175—182.

135. Уровни энергии мюонных молекул 3Ьще6, 3Ьще7 в квантовой электродинамике / В. И. Коробов [и др.] // XVII Всероссийский молодежный Самарский конкурс-конференция научных работ по оптике и лазерной физике: сборник трудов конференции, (Самара, 12-16 ноября 2019 г.) — М. : ФИАН им. П.Н. Лебедева, 2019. — С. 199—206.

136. Friar, J.L. The structure of light nuclei and its effect on precise atomic measurements / J.L. Friar // Can. J. Phys. — 2002. — Vol.80.— P. 1337-1346.

137. Boesgaard, A.M. Big bang nucleosynthesis: Theories and observations / A.M. Boesgaard, G. Steigman// Annu. Rev. Astron. Astrophys. — 1985. — Vol.3.— P.313-378.

138. Big bang nucleosynthesis: Present status / R.H. Cyburt [et al] // Rev. Mod. Phys.

— 2016. — Vol.88.— P.015004.

139. A novel laser-collider used to produce monoenergetic 13.3 MeV 7Li(d; n) neutrons / J.R. Zhao [et al] // Nature Sci. Rep. — 2016. — Vol.6.— P.27363.

140. Bogdanova, L.N. Nuclear fusion in the mesic molecule d^3He / L.N. Bogdanova, S.S. Gershtein, and L.I. Ponomarev // JETP Lett. — 1998. — Vol.67.— P. 89-94.

141. Новосадов Б.К. Методы математической физики молекулярных систем/ Б.К. Новосадов. - Москва: URSS, 2018. - 384 с.

142. Комаров И.В. Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции/ И. В. Комаров, Л. И. Пономарев и С. Ю. Славянов. - М.: Наука, 1976. - 320 с.

143. Weisskopf, V. Berechnung der natürlichen Linienbreite auf Grund der Diracschen Lichttheorie / V. Weisskopf and E. Wigner // Zeitschrift für Physik.

— 1930. — Vol. 63. — P. 54-73.

144. Gamov, G. Constitution of Atomic Nuclei and Radioactivity/ K. Varga, Y. Suzuki. — Oxford: Oxford Univ. Press., 1931. — 114 p.

145. Siegert, A.J.F. On the Derivation of the Dispersion Formula for Nuclear Reactions / A.J.F. Siegert //Phys.Rev. — 1939. — Vol. 56. — P. 750-752.

146. Ho, Y.K. The Method of Complex Coordinate Rotation and its Applications to Atomic Collision Processes / Y.K. Ho // Phys. Reports — 1983. — Vol.99.— P. 1-68.

147. Mezei, J.Zs.Charged exciton resonances in two and three dimensions // J.Zs. Mezei, A.T. Kruppa, K. Varga // Few Body Syst. — 2007. — Vol. 41. — P. 233-244.

148. Frolov, A.M.Accurate solution method in the three-body problem and binding energies of mesic molecules / A.M. Frolov and V.D. Efros, //Pis'ma Zh. Eksp. Teor. Fiz. — 1984. — Vol.39. — P.449-452.

149. Alexander, S.A. High-accuracy calculation of muonic molecules using random-tempered basis sets / S.A. Alexander and H.J. Monkhorst // Pis'ma Zh. Eksp. Phys. Rev. A. — 1988. — Vol. 38. — P. 26-32.

150. Nonrelativistic energies and predissociation widths of quasibound states in the Li3+ -d^ molecular ions /V.I. Korobov [et al]// J.Phys. B. — 2020. — Vol. 53. -P. 065001.

151. Kravtsov, A.V. Calculation of the decay rates of hydrogen-helium mesic molecules / A.V. Kravtsov, A.I. Mikhailov, V.I. Savichev //Hyp. Inter. — 1993. -

- Vol. 82. - P. 205-210.

152. Formation of the Muonic Helium Atom, alphamu-e-, and Observation of Its Larmor Precession / P.A. Souder [et al] // Phys.Rev.Lett.— 1975. — Vol. 34. -P. 1417-1420.

153. Precise Measurement of the Hyperfine-Structure Interval and Zeeman Effect in

the Muonic Helium Atom/ C.J. Gardner [et al] // Phys.Rev.Lett.— 1982. — Vol. 48. - P. 1168-1171.

154. Huang, K.-N. Theoretical hyperfine structure of muonic helium / K. -N. Huang and V. W. Hughes //Phys.Rev.A.— 1979. — Vol. 20. - P. 706-717.

155. Borie, E. On the hyperfine structure of neutral muonic helium / E. Borie // Z.Phys.A.— 1979. — Vol. 291. - P. 107-112.

156. Lakdawala, S.D. Perturbation theory calculation of hyperfine structure in muonic helium / S.D. Lakdawala and P.J. Mohr //Phys.Rev.A.— 1984. — Vol. 29. - P. 1047-1054.

157. Amusia, M.Ya. Computation of the hyperfine structure in the (a-^-e-)° atom / M.Ya. Amusia, M.Ju. Kuchiev and V.L. Yakhontov// J.Phys.B:At.Mol.Phys. — 1983. — Vol. 16. - P. L71.

158. Pachucki, K.Logarithmic two-loop corrections to the Lamb shift in hydrogen / K. Pachucki // Phys.Rev.A. — 2001. — Vol. 63. - P. 042503.

159. Frolov, A.M.The hyperfine structure of the ground states in the helium-muonic atoms / A.M. Frolov // Phys.Lett.A. — 2012. — Vol. 376. - P. 2548-2551.

160. Formation of Muonium and Observation of its Larmor Precession / V.W. Hughes [et al] //Phys.Rev.Lett. — 1960. — Vol. 5. - P. 63-65.

161. Status of the muonic hydrogen Lamb-shift experiment / T. Nebel [et al] // Can.J.Phys. — 2007. — Vol. 85. - P. 469-478.

162. Measurement of the 1s - 2s energy interval in muonium / V. Meyer [et al] //Phys.Rev.Lett. — 2000. — Vol. 84. - P. 1136.

163. A measurement of the 1S-2S transition frequency in muonium / F.E. Maas [et al]//Phys.Lett.A. — 1994. — Vol. 187. - P. 247-254.

164. Muonium emission into vacuum from mesoporous thin films at cryogenic temperatures /A. Antognini [et al] //Phys.Rev.Lett. — 2012. — Vol. 108. - P. 143401.

165. Karshenboim, S.G. Low energy levels in neutral muonic helium within a nonrelativistic approach / S.G. Karshenboim, V.G. Ivanov and V.I. Korobov //

Phys.Rev.A. — 2018. — Vol. 97. - P. 022504.

166. Aznabaev, D.T. Nonrelativistic energy levels of helium atoms / D.T. Aznabaev, A.K. Bekbaev, and V.I. Korobov //Phys.Rev.A. — 2018. — Vol. 98. - P. 012510.

167. Hu,Chi-Yu.Variational calculation of the energy levels of the (dt^)+molecule / Chi-Yu Hu //Phys.Rev.A. — 1985. — Vol. 32. - P. 1245.

168. Variational calculation of the energy levels for the dt^ ion / K. Szalewicz [et al] // Phys.Rev.A. — 1987. — Vol. 36. - P. 5494.

Приложение А

Пример расчетной программы в пакете Mathematica 9.0 для п-, п-, К-

мезонов в лэмбовском сдвиге

(*" Считываем таблички из текстовых файлов, адрес и реакция указаны"*) х00=КеаёЬ1в1:["0:\\81:иёу\ШК\\рго§гатт МАГО\\рш1:0п\\е1аМе80п\\§атта+ рго1оп= eta+proton\\Q=0.0.txt",Number,RecordLists^•Tme];

х01=КеаёЫв1["0:\\81иёу\\КК\\рго§гатт MAID\\proton\\etaMeson\\gamma +proton=eta+proton\\Q=0.1.txt",Number,RecordLists^True]; x02=ReadList["G:\\Study\\NR\\programm MAID\\proton\\etaMeson\\gamma +proton=eta+proton\\Q=0.2.txt",Number,RecordLists^True];

x50=ReadList[мG:\\Study\\NR\\programm MAID\\proton\\etaMeson\\gamma +proton=eta+proton\\Q=5.0.txt",Number,RecordLists^•Tme];

XI = Drop[x00, {}, {2}];(*Отброс 2 столбца*) Х2 = Drop[X1, {}, {4}];(*Отброс 4 столбца*) Х3 = Drop[X2, {}, {4}];(*Отброс 4 столбца*) Х4 = Drop[X3, {}, {4}];(*Отброс 4 столбца*) Х5 = Drop[X4, {}, {4}];(*Отброс 4 столбца*) Х6 = Drop[X5, {}, {4}];(*Отброс 4 столбца*) Х7 = Drop[X6, {}, {4}];(*Отброс 4 столбца*) Х8 = Drop[X7, {}, {1}];(*Отброс 4 столбца*)

\[Sigma]L00 = Drop[X8, {}, {1}];(*Отброс 1. Остался столбец с \[Sigma]L*) \[Sigma]T00 = Drop[X8, {}, {2}];(*Отброс 2. Остался столбец с \[Sigma]T*) \[Sigma]00 = \^та^00 + \[Sigma]T00; (*Получаем результирующий столбец*)

(*Также поступаем со всеми остальными файлами*) X! = ^^01, {}, {2}]; X2 = Drop[X1, {}, {4}]; X3 = Drop[X2, {}, {4}];

X4 = Drop[X3, {}, {4}]; X5 = Drop[X4, {}, {4}]; X6 = Drop[X5, {}, {4}]; X7 = Drop[X6, {}, {4}]; X8 = Drop[X7, {}, {1}]; \[Sigma]L01 = Drop[X8, {}, {1}]; \[Sigma]T01 = Drop[X8, {}, {2}]; \[Sigma]01 = \[Sigma]L01 + \[Sigma]T01;

X1 = Drop[x50, {}, {2}];

X2 = Drop[X1, {}, {4}];

X3 = Drop[X2, {}, {4}];

X4 = Drop[X3, {}, {4}];

X5 = Drop[X4, {}, {4}];

X6 = Drop[X5, {}, {4}];

X7 = Drop[X6, {}, {4}];

X8 = Drop[X7, {}, {1}];

\[Sigma]L50 = Drop[X8, {}, {1}];

\[Sigma]T50 = Drop[X8, {}, {2}];

\[Sigma]50 = \[Sigma]L50 + \[Sigma]T50;

(*Объединяем все общие сечения и получаем матрицу*) table = Join[{\[Sigma]00}, {\[Sigma]01}, {\[Sigma]02}, {\[Sigma]03}, \ {\[Sigma]04}, {\[Sigma]05}, {\[Sigma]06}, {\[Sigma]07}, {\[Sigma]08}, \ {\[Sigma]09}, {\[Sigma]10}, {\[Sigma]11}, {\[Sigma]12}, {\[Sigma]13}, \ {\[Sigma]14}, {\[Sigma]15}, {\[Sigma]16}, {\[Sigma]17}, {\[Sigma]18}, \ {\[Sigma]19}, {\[Sigma]20}, {\[Sigma]21}, {\[Sigma]22}, {\[Sigma]23}, \ {\[Sigma]24}, {\[Sigma]25}, {\[Sigma]26}, {\[Sigma]27}, {\[Sigma]28}, \ {\[Sigma]29}, {\[Sigma]30}, {\[Sigma]31}, {\[Sigma]32}, {\[Sigma]33}, \

{\[Sigma]34}, {\[Sigma]35}, {\[Sigma]36}, {\[Sigma]37}, {\[Sigma]38}, \ {\[Sigma]39}, {\[Sigma]40}, {\[Sigma]41}, {\[Sigma]42}, {\[Sigma]43}, \ {\[Sigma]44}, {\[Sigma]45}, {\[Sigma]46}, {\[Sigma]47}, {\[Sigma]48}, \ {\[Sigma]49}, {\[Sigma]50}];

inter = ListInterpolation[ table, {{0, 5}, {1.49, 2.00}}]; (*Интерполяция по QA2^ 0 до 5) и W^ 1.1 до 1.8)*)

Plot3D[inter[Q, W], {Q, 0.0, 5.0}, {W, 1.49, 2.00}, PlotRange -> 20] (*Построение графика интерполяционной функции*)

table\[Sigma]T = Join[{\[Sigma]T00}, {\[Sigma]T01}, {\[Sigma]T02}, {\[Sigma]T03},

{\

\[Sigma]T04}, {\[Sigma]T05}, {\[Sigma]T06}, {\[Sigma]T07}, \ {\[Sigma]T08}, {\[Sigma]T09}, {\[Sigma]T10}, {\[Sigma]T11}, \ {\[Sigma]T12}, {\[Sigma]T13}, {\[Sigma]T14}, {\[Sigma]T15}, \ {\[Sigma]T16}, {\[Sigma]T17}, {\[Sigma]T18}, {\[Sigma]T19}, \ {\[Sigma]T20}, {\[Sigma]T21}, {\[Sigma]T22}, {\[Sigma]T23}, \ {\[Sigma]T24}, {\[Sigma]T25}, {\[Sigma]T26}, {\[Sigma]T27}, \ {\[Sigma]T28}, {\[Sigma]T29}, {\[Sigma]T30}, {\[Sigma]T31}, \ {\[Sigma]T32}, {\[Sigma]T33}, {\[Sigma]T34}, {\[Sigma]T35}, \ {\[Sigma]T36}, {\[Sigma]T37}, {\[Sigma]T38}, {\[Sigma]T39}, \ {\[Sigma]T40}, {\[Sigma]T41}, {\[Sigma]T42}, {\[Sigma]T43}, \ {\[Sigma]T44}, {\[Sigma]T45}, {\[Sigma]T46}, {\[Sigma]T47}, \ {\[Sigma]T48}, {\[Sigma]T49}, {\[Sigma]T50}]; (*Создаем матрицу для \[Sigma]T *)

\[Sigma]T = ListInterpolation[table\[Sigma]T, {{0.0, 5.0}, {1.49, 2.00}}];

table\[Sigma]L = Join[{\[Sigma]L00}, {\[Sigma]L01}, {\[Sigma]L02}, {\[Sigma]L03}, {\\[Sigma]L04}, {\[Sigma]L05}, {\[Sigma]L06}, {\[Sigma]L07}, \ {\[Sigma]L08}, {\[Sigma]L09}, {\[Sigma]L10}, {\[Sigma]L11}, \

{\[Sigma]L12}, {\[Sigma]L13}, {\[Sigma]L14}, {\[Sigma]L15}, \ {\[Sigma]L16}, {\[Sigma]L17}, {\[Sigma]L18}, {\[Sigma]L19}, \ {\[Sigma]L20}, {\[Sigma]L21}, {\[Sigma]L22}, {\[Sigma]L23}, \ {\[Sigma]L24}, {\[Sigma]L25}, {\[Sigma]L26}, {\[Sigma]L27}, \ {\[Sigma]L28}, {\[Sigma]L29}, {\[Sigma]L30}, {\[Sigma]L31}, \ {\[Sigma]L32}, {\[Sigma]L33}, {\[Sigma]L34}, {\[Sigma]L35}, \ {\[Sigma]L36}, {\[Sigma]L37}, {\[Sigma]L38}, {\[Sigma]L39}, \ {\[Sigma]L40}, {\[Sigma]L41}, {\[Sigma]L42}, {\[Sigma]L43}, \ {\[Sigma]L44}, {\[Sigma]L45}, {\[Sigma]L46}, {\[Sigma]L47}, \ {\[Sigma]L48}, {\[Sigma]L49}, {\[Sigma]L50}]; (*Создаем матрицу для \\[Sigma]L *)

\[Sigma]L = ListInterpolation[table\[Sigma]L, {{0.0, 5.0}, {1.49, 2.00}}];

sigma = inter[k, W]; sigmaT = \[Sigma]T[k, W]; sigmaL = \[Sigma]L[k, W]; n = 1; Z = 1;

\[Alpha] = 1./137.0359895;

Mp = 0.938272;(*Масса Протона*)

M\[Mu] = 0.105658;(*МассаМюона*)

\[CapitalLambda] = 0.898 Mp;

\[Mu] = (Mp M\[Mu])/(Mp + M\[Mu]);

y = (WA2 + kA2 - MpA2)/(2 Mp);

t = (kA2)/M\[Mu]A2;

s = yA2 /(kA2);

R0 = sigmaL/sigmaT;

KG = Sqrt[kA2 + yA2];

F2 = (((kA2) KG y sigma)/(4 (PiA2) \[Alpha] (kA2 +

yA2))) 0.00256819;(*Структурная функция F2*) (*1 \Микробарн=0.00256819 ГэВ*)

HelpF = 1/( 2 (1 + R0) sA2 (4 s - t) tA( 5/2)) \[Pi] (8 (3 + R0) sA3 t + 16 sA4 t -

16 Sqrt[sA5 (1 + s)] t + s (Sqrt[tA5 (4 + t)] - t (8 R0 Sqrt[s (1 + s)] + 16 Sqrt[sA5 (1 + s)] + tA2 + 2 Sqrt[t (4 + t)])) + sA2 (-tA2 (2 + t) + 8 Sqrt[t (4 + t)] + Sqrt[tA5 (4 + t)] + 2 R0 (4 Sqrt[t (4 + t)] + t (-4 Sqrt[s (1 + s)] - t + Sqrt[ t (4 +t)])))); (*Частьструктурнойфункции F*) F = HelpF W F2/Mp;

(*W/Mp-проводя замену переменных мы получаем этот коэффициент*) ser = Normal[Series[F, {k, 0, 1}]];

a = NIntegrate[ser, {k, 0.0001, 0.001}, {W, 1.49, 2.00}, MaxPoints -> 500000]; b = NIntegrate[F, {k, 0.001, 0.01}, {W, 1.49, 2.00}, MaxPoints -> 500000]; c = NIntegrate[F, {k, 0.01, 0.1}, {W, 1.49, 2.00}, MaxPoints -> 500000]; d = NIntegrate[F, {k, 0.1, 1}, {W, 1.49, 2.00}, MaxPoints -> 500000]; e = NIntegrate[F, {k, 1, 3}, {W, 1.49, 2.00}, MaxPoints -> 500000]; p = NIntegrate[F, {k, 3, 5}, {W, 1.49, 2.00}, MaxPoints -> 500000]; Integr1 = a + b + c + d + e + p;

j = -(4 (10A15) (\[Mu]A3) ((Z \[Alpha])A5)/(PiA2 (nA3) (M\[Mu]A4)))\ Integr1 (*Для вычитательного члена*)

\[Beta] = 0.072 (5.06773A3);(*1 Ферми=5.06773 ГэВА-1*) h = 1 + (1 - t/2) (Sqrt[1 + (4/t)] - 1);

\[Beta]m = \[Beta] (\[CapitalLambda]A8)/(((\[CapitalLambda]A2) + \(kA2))A4) ;

F3 = h \[Beta]m k;

ser = Normal[Series[F, {k, 0, 1}]];

a = NIntegrate[ser, {k, 0.0001, 0.001}, {W, 1.49, 2.00}, MaxPoints -> 500000]; b = NIntegrate[F, {k, 0.001, 0.01}, {W, 1.49, 2.00}, MaxPoints -> 500000]; c = NIntegrate[F, {k, 0.01, 0.1}, {W, 1.49, 2.00}, MaxPoints -> 500000]; d = NIntegrate[F, {k, 0.1, 1}, {W, 1.49, 2.00}, MaxPoints -> 500000]; e = NIntegrate[F, {k, 1, 3}, {W, 1.49, 2.00}, MaxPoints -> 500000];

р = КМевга!е|Т, {к, 3, 5}, 1.49, 2.00}, МахРо^Б -> 500000]; 1п1е§г2 = а + Ь + с + ё + е + р;

] = -(4 (10А15) (\[Ми]л3) ((7 \[Л1рЬа])л5)/(Р1л2 (пл3) (М\[Ми]л4))) \Integr2

Приложение Б

Пример расчетной программы в пакете Mathematica 9.0 для нерезонансного вклада в лэмбовском сдвиге

R0 = 0;Mpi = 0.13497б4;

Nu = Mpi + (kЛ2 + MpiЛ2)/(2 Mp);

Bp1 = 0.36292;Bp2 = 1.S917;Bp3 = 1.S437;

Br1 = 0.01147;Br2 = 3.75S2;Br3 = 0.4933S;

Ar1 = 0.5S4;Ar2 = 0.37SSS;Ar3 = 2.6063;

Ap1 = -0.0S0S;Ap2 = -0.44S12;Ap3 = 1.1709;

Cr1 = 0.S0107;Cr2 = 0.97307;Cr3 = 3.4942;

Cp1 = 0.2S067;Cp2 = 0.22291;Cp3 = 2.1979;

Q0 = Sqrt[0.52544];

\[CapitalLambda] = Sqrt[0.06527];

M0 = Sqrt[0.319S5];

Mpom = Sqrt[49.457];

Mreg = Sqrt[0.15052];

T0 = Log[Log[(kЛ2 + Q0Л2)/\[CapitalLambda]Л2]/

Log[Q0Л2/\[CapitalLambda]Л2]]; Ar = Ar1 + Ar2 T0ЛAr3; Br = Br1 + Br2 T0лBr3; Bp = Bp1 + Bp2 T0лBp3; Cr = Cr1 + Cr2 T0лCr3; Cp = Cp1 + (Cp1 - Cp2) (1/(1 + ^Cp3) - 1); Ap = Ap1 + (Ap1 - Ap2) (1/(1 + T0ЛAp3) - 1); W = Sqrt[MpЛ2 - kЛ2 + 2 Mp y]; Xr = (1 + (W2 - MpЛ2)/(kЛ2 + Mregл2))л-1; Xp = (1 + (W2 - MpЛ2)/(kЛ2 + MpomЛ2))Л-1; F2r = Cr (X^Ar) (1 - x)лBr; F2p = Cp (Xp лAp) (1 - x^Bp; F2 = (kЛ2/(kЛ2 + M0Л2)) (F2r + F2p);

HelpF = 1/(2 (1 + R0) sЛ2 (4 s - t) tA(5/2)) \[Pi] (S (3 + R0) sЛ3 t + 16 sЛ4 t - 16 Sqrt^5

(1 + б)] t (Sqгt[tА5 (4 + t)] - t (8 Я0 Sqгt[s (1 + Б)] + 16 Sqгt[sЛ5 (1 + Б)] + tл2 + 2

Sqгt[t (4 + t)])) + БЛ2 (^2 (2 + ^ + 8 Sqгt[t (4 + t)] + Sqгt[tл5 (4 + t)] + 2 Я0 (4 Sqгt[t

(4 + ф] + t (-4 Sqгt[s (1 + Б)] - t + Sqгt[ t (4 + ф]))));

Poгog = (1.8л2 - 0.938л2 + кл2)/2/0.938;

Б = ШрБ W Б2/Мр;

Бег = Когша^епеБр, (к, 0, 1}]];

а = NIntegгate[seг, (к, 0.0001, 0.001}, (^ 1.49, 2.00}, MaxPoiпts -> 500000]; Ь = NIntegгate[F, (к, 0.001, 0.01}, (^ 1.49, 2.00}, МахРо^Б -> 500000]; с = NIntegгate[F, (к, 0.01, 0.1}, (^ 1.49, 2.00}, MaxPoiпts -> 500000]; ё = NIпtegгate[F, (к, 0.1, 1}, (^ 1.49, 2.00}, MaxPoiпts -> 500000]; е = NIntegгate[F, (к, 1, 3}, {W, 1.49, 2.00}, MaxPoiпts -> 500000]; р = NIntegгate[F, (к, 3, 5}, (^ 1.49, 2.00}, MaxPoiпts -> 500000];

= а + Ь + с + ё + е + р; ] = -(4 (10л15) (\[Ми]л3) ((7 \[Л1рЬа])л5)/^л2 (пл3) (М\[Ми]л4)))\ Iпtegг1

Приложение В

Пример расчетной программы в пакете Mathematica 9.0 для графиков параметризации Амаудруза и Осипенко

а)параметризация Амаудруза 1

£ =

(1+—)

V 0.71/

■; Q02 = 2;! = 0.2;

а^а1 = 0.75966; alpha2 = 3.52;а^а3 = 0.83691; alpha4 = 12.876; ЬеШ = -0.18202; beta2 = 0.46256;beta3 = 0.97906; beta4 = -2.9558; т = 0.9382; М = 0.9382; Ж2 + £2 -т2

У =

ss = Log

2т

; Ma = Sqгt[0.351]; МЬ = Sqгt[1.512];

Log "й2+Ма2"

. ь2 .

Log Q02+Ma2

I2

eta1 = alpha1 + beta1 * ss; eta2 = alpha2 + beta2ss; eta3 = alpha3 + beta3ss; eta4 = alpha4 + beta4ss; + Ma2

= о-"ГТТйг ; а = 4.177; Wth = 1.03;

2 ту + МЬ2

S1 = 1 — Ехр[-а(Ж - Wth)]; 53

Fdis =

1

v18Beta[eta1,eta2 + 1] Mdelta = 1.232; Ga = 0.0728;alpha5 = 0.89456;

(Ж - Mdelta)2

Хше1а1(1 - Хш)е1а2 + :^3(1 - Xw)eta4) ;

Fгes = alpha52G1.5Exp

Ga2

;Ь = 0.5; с = 0.05;

alpha6 = 0.16452; Mpi = 0.1349;

[((Ж + с)2 + М2 - Mpi2)2

ksi = Sqгt

4(Ж + с)2

-М2

Fbg = alpha62GiksiExp[-Ь(Ж - Wth)2]; F2d = (1 - С2)^^ + Fгes + Fbg);

2

б) Осипенко

<<мD:\\PгogгamsFi1es\\9.0Mathematica\\AddOпs\\Packages\\GгaphUti1ities\\GгaphUti1i ^еБ.ш"

<<мD:\\PгogгamsFi1es\\9.0Mathematica\\AddOпs\\Packages\\EггoгBaгP1ots\\EггoгBaгP1 ots.mм

opeп=ReadList[мC:\\Useгs\\A1ex\\Desktop\\Q2=0.375.txtм,NumЬeг,RecoгdLists->True];

X1=Dгop[opeп,{},{4}];X2=Dгop[X1,{},{3}];x375=Dгop[X2,{},{2}];

F2d375=Dгop[X2,{},{1}];X3=Dгop[X1,{},{2}];stat375=Dгop[X3,{},{1}];

X1=Dгop[opeп,{},{1}];X2=Dгop[X1,{},{1}];sys375=Dгop[X2,{},{1}];

pogг=sys375+stat375;

Мр=0.938; Q2exp=0.375;1eпgth=Leпgth[x375];W2exp=TaЬ1e[0*i,{i,1eпgth}]; Wexp375=W2exp;Foг[i=1,i<1eпgth+1 ,i++, W2exp[[i]]=Mp2+Q2exp (1/x375[[i]]-1); Wexp375[[i]]=Sqrt[W2exp[[i]]]]; exp375=EггoгListP1ot[{{{Wexp375[[1]][[1]],F2d375[[1]][[1]]},EггoгBaг[pogг[[1]][[1]] ]},{{Wexp375[[2]][[1]],F2d375[[2]][[1]]},EггoгBaг[pogг[[2]][[1]]]},{{Wexp375[[3]][[ 1]],F2d375[[3]][[1]]},EггoгBaг[pogг[[3]][[1]]]},{{Wexp375[[4]][[1]],F2d375[[4]][[1]]} ,EггoгBar[pogг[[4]][[1]]]},{{Wexp375[[5]][[1]],F2d375[[5]][[1]]},EггoгBaг[pogг[[5]][[ 1]]]},{{Wexp375[[6]][[1]],F2d375[[6]][[1]]},EггoгBaг[pogг[[6]][[1]]]},{{Wexp375[[7] ][[1]],F2d375[[7]][[1]]},EггoгBaг[pogг[[7]][[1]]]},{{Wexp375[[8]][[1]],F2d375[[8]][[1 ]]},EггoгBaг[pogг[[8]][[1]]]},{{Wexp375[[9]][[1]],F2d375[[9]][[1]]},EггoгBaг[pogг[[9] ][[1]]]},{{Wexp375[[10]][[1]],F2d375[[10]][[1]]},EггoгBaг[pogг[[10]][[1]]]},{{Wexp3 75[[11]][[1]],F2d375[[11]][[1]]},EггoгBaг[pogг[[11]][[1]]]},{{Wexp375[[12]][[1]],F2d 375[[12]][[1]]},EггoгBaг[pogг[[12]][[1]]]},{{Wexp375[[13]][[1]],F2d375[[13]][[1]]},E ггoгBar[pogг[[13]][[1]]]}}];k=Sqrt[Q2exp];F2=f2[k];

f2d375=P1ot[F2,{W,1.08,2},P1otRaпge->{{1,2},{0,0.4}},Fгame->True,FгameLaЬe1->{MW, GeVм,м м},P1otLaЬe1->Sty1e[Q2->0.375

Приложение Г

Пример расчетной программы в системе МЛТЬЛБ для реализации

стохастического вариационного метода

clc();

format long;

global mnbas;

mnbas=1000;

global lambdaAmount;

lambdaAmount=5;

global EnergyLabel;

file=textread('StartData.txt',,%f,18);

EnergyLabel=file( 18);

file=fopen('ener1svm1.txt,,,w'); fclose(file);

file=fopen('ener2svm1 .txt','w'); fclose(file);

file=fopen('ener1svm2.txt,,,w'); fclose(file);

file=fopen('ener2svm2.txt,,,w'); fclose(file);

file=fopen('delta12r.txt,,,w'); fclose(file);

file=fopen('delta13r.txt,,,w'); fclose(file);

file=fopen('delta23r.txt,,,w'); fclose(file);

file=fopen('dr41r.txt,,,w'); fclose(file);

fïle=fopen('dr42r.txt,,,w'); fclose(file);

file=fopen('dr43r.txt,,,w'); fclose(file);

file=fopen(,dlin1r.txt',W); fclose(file);

fïle=fopen('dlin2r.txt,,,w'); fclose(file);

fïle=fopen('dlin3r.txt,,,w'); fclose(file);

[nbas0,mnpar,xm,h2m,npar,pot,mm0,kk0,mnb,amin,amax,bmin,bmax,cmin,cmax,irand] =input_date();

[ti,t,xla]=cm_rel_tr(mnpar,xm,h2m,npar); e=zeros(mnbas,1);

[he,oe,xn,a,nbas0,nbas 1 ,dl,v,ierr,r,e,u,iff,iy,ir,ener]=svm1(e,nbas0,npar,mnb,irand,amin, amax,bmin,bmax,cmin,cmax,mm0,kk0,mnpar,ti,xla,pot,xm);

function[nbas0,mnpar,xm,h2m,npar,pot,mm0,kk0,mnb,amïn,amax,bmin,bmax,cmin,cm

ax,ii] = input_date( )

mnpar=3;

z=zeros(mnpar,1);

xm=zeros(mnpar,1);

pot=zeros(mnpar,1);

nbas0=0;

fïle=textread('StartData.txt,,,%f,31);

npar=file(1);

xm(1,1)=fïle(2);

xm(2,1)=fïle(3);

xm(3,1)=fïle(4);

z(1,1)=fïle(5);

z(2,1)=fïle(6);

z(3,1)=fïle(7);

ii=fïle(S);

h2m=0.5;

mm0=fïle(9);

kk0=fïle(10);

mnb=fïle(11);

amin=fïle(12);

amax=file(13);

bmin=fïle(14);

bmax=fïle(15);

cmin=fïle(16);

cmax=file(17);

end

function [ ti,t,xla ] = cm_rel_tr(mnpar,xm,h2m,npar)

xma=zeros(mnpar,1

a=zeros(mnpar,mnpar);

y=zeros(mnpar,mnpar);

indx=zeros(mnpar,1);

xred=zeros(mnpar,1);

t=zeros(mnpar,mnpar);

ti=zeros(mnpar,mnpar);

xla=zeros(mnpar, 1 );

a(1:npar,1:npar)=0;

sum=O;

for j=1:npar

sum=sum+xm(j); xma(j)=sum; end

for j=1:npar-1

a(j,j+1)=1;

for k=1:j

a(j,k)=-xm(k)/xma(j); end

xred(j)=xma(j )*xm(j+1 )/xma(j+1 ); end

for j=1:npar

a(npar,j)=xm(j)/xma(npar); end

xred(npar)=xma(npar); t=a;

ti=inv(a);

for j=1:npar

xla(j )=h2m/xred(j); end end

function [ he,oe,xn,a,mnb,nbas0,dl,v,ierr,r,e,u,iff,iy,ir,ener ] =

svm1(e,nbas0,npar,mnb,irand,amin,amax,bmin,bmax,cmin,cmax,mm0,kk0,mnpar,ti,xla,

pot,xm )

global mnbas;

elo=1e+10;

label=0;