Теория логарифмических поправок в водородоподобных атомных системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Каршенбойм, Савелий Григорьевич

• Каршенбойм, Савелий Григорьевич
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Каршенбойм, Савелий Григорьевич

Оглавление

Введение

Глава 1. Логарифмы и выбор калибровки §1.1. Различные калибровки §1.2. Вычисление логарифмических вкладов §1.3. Выбор калибровки

Глава 2. Поправки к ширинам уровней

§2.1. Предварительное рассмотрение. 2р-состояние

§2.2. Аналитическое и численное расчеты для произвольных }фов-

ней

§2.3. Эффекты отдачи в радиационных ширинах

§2.4. Обсуждение результатов для радиационных ширин

Глава 3. Лэмбовский сдвиг в атоме водород

§3.1. Предварительное обсуждение экспериментальных данных и

стратегии их обработки

§3.2. Вычисление ведущих двухпетлевых логарифмических поправок

§3.3. Однопетлевые поправки во внешнем поле §3.4. Статус вычислений разности А(п)

§3.5. Статус экспериментальных данных по лэмбовскому сдвигу в атоме водорода

§3.6. Зарядовый радиус протона и сравнение теоретических расчетов лэмбовского сдвига с экспериментом Глава 4. Сверхтонкое расщепление §4.1. Мюоний: ведущие вклады четвертого порядка малости §4.2. Водород: зависящие от структуры протона поправки к сверхтонкому расщеплению

Глава 5. Спектр позитрония и димюония §5.1. Вычисление поправок к сверхтонком}' расщеплению в позитронии

§5.2. Спектр позитрония: сравнение теории и эксперимента §5.3. Димюоний: предварительные замечания

§5.4. Сверхтонкое расщепление в димюонии §5.5. Распад димюония

Глава 6. Эффекты поляризации вакуума в мезоатомах

§6.1. Ширины уровней: оценки радиационных поправок

§6.2. Вычисление радиационных к ширинам

§6.3. Сдвиги уровней энергии: нерелятивисткое рассмотрение

§6.4. Сдвиги уровней без разложения по Za.

§6.5. Состояния с1 = п-1и^' = ! + 1/2

§6.6. Сверхтонкое расщепление

Заключение

Приложения

Приложение 1. Поведение радиационных вставок в электронную линию в ковариантных калибровках специального вида (/¿-калибровка) Приложение 2. Радиационные поправки к эффекту Штарка Приложение 3. Двухфотонный распад метастабильного 2в уровня в водороде

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теория логарифмических поправок в водородоподобных атомных системах»

Введение

Настоящая диссертационная работа посвящена теоретическому исследованию свойств простых атомных систем, таких как водород, мюоний, позитроний, дейтерий и другие легкие водородоподобные системы. Изучение простых атомов сыграло в свое время важную роль в возникновении и развитии квантовой механики и квантовой электродинамики, и оно по-прежнему представляет собой существенный теоретический и экспериментальный интерес. Ряд свойств указанных систем могут быть исследованы с высочайшей точностью. Так, в частности, сверхтонкое расщепление основного состояния атомов водорода и дейтерия и частота двухфотонного бездопплеровского перехода 1б' — 2 б в атомах водорода или дейтерия входят в число величин, измеренных наиболее точно. Успехи эксперимента делают актуальным и необходимым соответствующее развитие теории. В некоторых случаях теория и эксперимент соревнуются на равных (1з — 2в переход в водороде). В других случаях успехи оказываются несопоставимы и тогда ищутся новые системы для исследования. Так сверхтонкое расщепление в водороде и дейтерии может быть измерено на несколько порядков лучше, чем рассчитано (ввиду структуры протона). Сверхтонкое расщепление в мюонии измеряется не со столь высокой точностью, зато теоретические расчеты могут быть проведены более успешно и эксперимент в целом не уступает теории.

С другой стороны простые системы интересны также как инструмент для исследования других явлений. Приложениями являются уточнение значений фундаментальных физических констант (постоянной Ридберга и постоянной тонкой структуры), используемых для создания эталонов единиц, прецизионные проверки квантовой электродинамики, поиски нарушений различных симметрий и проявления экзотических взаимодействий и частиц.

Следует признать, что по нашему мнению сама по себе квантово-электродинамическая теория простых атомных систем не обещает

открытия новых нетривиальных явлении, однако, ее развитие происходит в контексте общего прогресса вычислительных методов и, ожидается, что они окажутся полезными для исследования мезонов, как двухчастичных систем кварк-антикварк. С другой стороны, развитие теории является стимулом и средством контроля экспериментального прогресса, который беспорно включает в себя много нового в различных областях физики, необходимых для реализации эксперимента. Так, например, до последнего времени, слова "лэм-бовский сдвиг" означали или 28]/2 — %Р1/2 расщепление или существенную поправку к тонкой структуре 2р3/2 — 2^/2, поскольку ни в каких измерениях невозможно было с высокой точностью определить лэмбовский сдвиг других состояний. Недавнее развитие нелинейной лазерной спректроскопии сверхвысокого разрешения привело к тому, что точность измерения переходов с разными значениями главного квантового числа п достигла такого уровня, что измерение лэмбовского сдвига основного состояния возможно, по крайней мере, с неменьшей точностью, чем в экспериментах для традиционных расщеплений.

Еще одним существенным элементом физики простых атомных систем является возможность исследования неквантовоэлектроди-намических вкладов в уровни энергии. Так, например, сравнение экспериментальных данных для атома водорода с вычислениями в рамках квантовой электродинамики позволяет нам лучше понять, что мы действительно знаем о структуре протона.

В данной работе мы рассматриваем различные системы (водород, дейтерий, мюоний, позитроний, димюоний, легкие водородопо-добные ионы с одним электроном или мюоном). Некоторая часть результатов получена для водородоподобных ионов с произвольным зарядом ядра. Схема низших уровни энергии водорода, позитрония, мезоводорода и димюония представлена на Рис. 1.

Следует заметить, что в настоящий момент теория простых систем является достаточно развитой и известно большое число по-

2s;

:2p3/2 :2pi/2

23sr

21s0"

'2 Pi

:2рз/2 :2pi/2

2«:

¿Pi

2fsr 2 so"

-

ls= ls= l3si-

lXSO-

1 so-

а б в а

Рис, 1. Спектры простейших водородоподобных атомов: а - водорода, б - позитрония, в - мезоводорода и г - димюоиия.

правок теории возмущений, представляющей собой разложение в ряд по нескольким малым параметрам. Параметр а (постоянная тонкой структуры) отвечает количеству квантовоэлектродинами-ческих петель, параметр Za (константа кулоновского взаимодействия) указывает на степень учета атомных эффектов, а отношение масс электрона и ядра связано с эффектами отдачи. За небольшим исключением теоретические выражения представляют собой конечные полиномы по этим параметрам, коэффициенты которых могут также включать их логарифмы. Одна из возникающих при этом проблем заключается в том, что экспериментаторы, конечно, не могут быть удовлетворены заявлениями, что неизвестные поправки малы по каким-то параметрам малости (например, по значению постоянной тонкой структуры а). Для сравнения теории и эксперимента необходимо так или иначе оценить неизвествые вклады в килогерцах. С другой стороны, дальнейшее разложение по параметру делает задачу как правило существенно более сложной и часто неразрешимой. Одним из компромиссов является оценка старших членов разложения в каком-либо приближении. По нашему мнению, одним из таких приближений может служить приближение ведущих логарифмов, т. е. вычисление вкладов, содержащих большой логарифмический фактор. Им может быть Ina или логарифм отношения масс, которые имеются в задаче. К последним

относится логарифм, связанный с отдачей (логарифм отношения масс электрона и ядра). В мезоатомах и димюонии появляется также ренорм-групповой логарифм от отношения характерного импульса связанного мюона и массы электрона в поляризационной петле. Вычисление поправок в логарифмическом приближении решает сразу две задачи: во-первых, таким образом оцениваются вклады высших порядков, во-вторых, становится ясно прямое вычисление каких поправок является наиболее актуальным.

Значительная часть исследуемых в диссертации поправок содержит низкоэнергетический логарифм 1п(2а) и поэтому вычисления часто связаны друг с другом общими техническими приемами. Другая часть вычислений посвящена нахождению константных вкладов предыдущего порядка, так что по завершению указанных расчетов логарифмические вклады оказываются ведущими. Хотя мы вычисляем различные величины (лэмбовский сдвиг, сверхтонкое расщепление, их специальные разности, радиационные ширины атомных состояний и аннигиляционные ширины экзотических атомов) в различных системах, тем не менее отдельные работы оказались тесно связаны друг с другом не только общностью технических приемов, но и идейно. Так, например, присутствие поправок относительного порядка а^а)21п(^а) в ширине распада р-уровня явилось указанием на наличие вклада а^а)21п2^а) в лэмбовский сдвиг ^-уровня и стало мотивом для вычисления этой поправки к энергии по мнимой части, т. е. как некоторого дисперсионного интеграла от радиационной ширины уровня. Одной из проверок вычисления для поправок к радиационной ширине было то, что полученное нами явное выражение для нерелятивистской редуцированной кулоновской функции Грина позволило вопроиз-вести некоторые более рание результата с квадратом логарифма. Это же вычисление спровоцировало небольшую программу исследований, в ходе которого были рассмотрены радиационные поправки к ширинам мезоатомов, затем спектр димюония, и далее были по-

лучены аналитически некоторые радиационные поправки к энергии уровней, индуцированные однопетлевой вставкой свободной поляризации вакуума. Другим примером взаимосвязи различным вычислений стала попытка понять современный статус данных о структуре протона. Во-первых, это потребовало пересмотра статуса квантовоэлектродимамических расчетов лэмбовского сдвига и сверхтонкого расщепления в водороде. Это немедленно сказалось на нашем понимании оценки теоретической неопределенности в сверхтонком расщеплении в мюонии (в частности, было найдено, что она существенно выше, чем ожидалось ранее). Затем были исследованы зависящие от структуры ядра поправки к сверхтонкому расщеплению в водороде и указано, что наиболее критично на результат для поляризуемости протона из атомных данных влияет зарядовый и магнитный радиус протона. Далее были исследованы различные способы определения радиуса протона.

Диссертационная работа основана в основном на исследованиях, проведенных в 1991-1998 годах, а ее основные результаты опубликованы в работах [1]—[34] и представлены на отечественных и международных конференциях. Работа посвящена в значительной степени лэмбовскому сдвигу и уровням энергии в атоме водорода, однако решение ряда задач получило самостоятельное развитие. Вначале (Глава 1) мы обсуждем выбор калибровки и различные способы появления логарифмов в задаче связанных двухчастичных состояний. Затем, в следующей главе вычисляются логарифмические радиационные поправки к дипольным матричным элементам и ширинам уровней. Мы изучаем в этой же главе поправки к радиационной ширине, связанные с отдачей и рассматриваем приложение результатов для водорода и иона гелия. Третья глава посвящена вычислению ведущих логарифмов в лэмбовском сдвиге для различных уровней. Там же обсуждается современное положение в исследовании лэмбовского сдвига. Особое внимание обращено на роль специально нормированной разности лэмбовских сдвигов

А(п) = — п3 АЕ^пв) и на ее вычисление. Нами была

предложена и развита новая стратегия обработки данных, которая позволила сократить число неизвестных и она активно применяется ведущими экспериментальными командами. Анализируется также определение радиуса протона различными способами. Четвертая глава посвящена сверхтонкому расщеплению в мюонии и водороде. Мы исследуем квантовоэлектродинамическую часть расщепления и обсуждаем неопределенности в ее вычислении, связанные с поправками высших порядков. Последние находятся нами в ведущем логарифмическом приближении. Мы исследуем также зависящие от структуры ядра поправки. Затем, сравнивая экспериментальное и теоретическое значение для расщепления в водороде, мы получаем оценку для поляризуемости протона. В следующей главе мы переходим к связанным системам типа фермион-антифермион. Такие атомы, представленные в диссертации позитронием и димюонием не имеют тяжелого ядра и существенно отличны от обсуждавшихся выше. Они чувствительны к поправкам, которые несущественны для водорода или мюония. Мы обсуждаем сверхтонкое расщепление обеих систем. В случае димюония мы также изучаем аннигиляционные ширины и кратко касаемся вопросов рождения и детектирования системы, тогда как для более традиционного позитрония мы рассматриваем 15 — 25 переход и тонкую структуру. Исследование поправок к уровням энергии и ширинам в мезоатомах проведено в шестой главе. Здесь мы вычисляем радиационные поправки, индуцированные вставкой однопе-тлевой свободной поляризации вакуума. Вначале, мы анализируем поправки к радиационной ширине и интенсивности линии, а затем - поправки к энергии. В Заключении приводятся основные результаты, выносимые на защиту, и обсуждается их актульность. Учитывая, что диссертация посвящена различным квантовоэлек-тродинамическим системам, мы также обсуждаем результаты по каждой системы в конце Главы или параграфа, где эта система

изучается.

Диссертация включает в себя также несколько приложений, которые содержат технические детали или результаты, стоящие особняком и выпадающие из общей структуры изложения. Примером может служить исследование радиационных поправок к эффекту Штарка в атоме водорода и расчеты радиационных поправок к двухфотонному распаду метастабильного уровня 2з, которые явились непосредственным следствием вычислений поправок к диполь-ным матричным элементам. Мы также вынесли в Приложение обсуждение ковариантных калибровок специального вида и асимптотик вставок в электронную линию в этих калибровках.

Актуальность диссертации определяется ее ориентацией на конкретные задачи, решение которых необходимо для сравнения теории и эксперимента, и многочисленные обсуждения с ведущими экспериментаторами в области исследования спектров водорода, дейтерия, мюония и позитрония в значительной степени способствовали такой направленности. В качестве наиболее актуальных результатов выделим стратегию обработки экспериментальных данных для лэмбовского сдвига в водороде с использованием нормированной разности А(п) и результаты по ее вычислению для ряда наиболее важных для эксперимента значений главного квантового числа п; вычисление ведущих логарифмических поправок к сверхтонкому расщеплению в мюонии и адекватную оценку неопределенностей теории; вычисление ряда поправок к уровням энергии позитрония. Вычисление поправки к ширине уровня 2позволило получить из известного эксперимента Соколова новое значение лэмбовского сдвига (п = 2) в атоме водорода.

Научная новизна также связана с выработкой упомянутой стратегии и, следует заметить, что различные вклады в А(п) вычислялись только в рамках данной диссертации; ряд ведущих логарифмических поправок в мюонии и позитронии открывает исследования поправок следующего поколения: третьего порядка по

параметру малости в позитронии и четвертого - в мюонии. Вычисление логарифмических поправок водороде и мюонии продемонстрировало, что при современном уровне точности для ряда вкладов реализуется ситуация, когда разложение по малым параметрам перестает работать: поправки более высоких порядков становятся существенны, а дальнейшее разложение приводит к выражениям, практически невычислимым. После нашего вычисления ведущих логарифмических вкладов в ряде работ других авторов была предпринята попытка найти в таких случаях результат без разложения (по параметру Еа) непосредственно для водорода и мюония. Исследования спектра димюония также представляют собой новое направление: хотя ранее и имели место вычисления радиационных поправок, но все поправки были или тривиальны (т. е. полностью аналогичны поправкам в позитронии) или найдены неправильно. Вычисление ширин распада с высокой точностью явилось стимулом для обсуждения реальных экспериментов по рождению и изучению димюония. Получение аналитических результатов для мезоатомов представляет собой продвижение в такой области, где ранее имелись только численные результаты, а попытки получения аналитических результатов даже не придпринимались. В ряде случаев работы, представленные в диссертации, инициировали новые исследования - по вычислению однопетлевой поправки к сверхтонкому расщеплению при малых Z (для мюония) без разложения по аналогичное вычисление некоторых вкладов в лэмбовский сдвиг в водороде; исследование процессов с рождением димюония; вычисление полного однопетлевого вклада в сверхтонкое расщепление мезоатомов при больших и умеренных Z. Два последних направления включают работы с участием автора диссертации, но с расширенным коллективом соавторов.

Приведем также здесь основные положения диссертации, выносимые на защиту:

• Разработана новая стратегия обработки экспериментальных данных по лэмбовскому сдвигу в атомах водорода и дейтерия. Стратегия основана на том, что теоретический статус величины Д(п) существенно отличается от статуса лэмбов-ского сдвига основного состояния и величина Д(п) известна надежнее и с более высокой точностью. Найдены вклады к А(п) порядка а2(^а)6ш 1п ^а) и а(^а)б?7г в водороде и дейтерии, а также ведущие зависящие от структуры ядра поправки. Результаты позволяют эффективно использовать упомянутую выше стратегию.

• Вычислены ведущие логарифмические двухпетлевые поправки к лэмбовскому сдвигу в водороде. Они имеют порядок для ¿>-уровней - а2(Еа)6т 1пи дляр-уровней - а2^а)&т 1п

• Исследованы ведущие логарифмические радиационные поправки и поправки к отдаче к ширинам распада и интенсивностям од-нофотонных атомных переходов нескольких низших уровней в дипольном приближении (в частности, для уровня 2р]у2). Найдены также в логарифмическом приближении радиационные поправки к распаду уровня 2з.

• Получены результаты для ряда логарифмических поправок к сверхтонкому расщеплению основного состояния в мюонии, а именно, найдены вклады относительного порядка а(Еа)2(т/М) 1п2(^а), (£а)3(т/М) 1п(2а) ЦМ/т), (га)3(т/М)\п2(га), а2(Иа)21п2(Иа) я а(Еа)3\п(Еа). Найдены зависящие от структуры ядра радиационные поправки к сверхтонкому расщеплению в водороде.

• Найдены некоторые поправки порядка а6ш к уровням энергии в позитронии и все вклады а7т 1п2 а в сверхтонкое расщепление его основного состояния.

• Получены результаты для ведущих радиационных поправок

относительного порядка а21па и а21п2(т^/те) к сверхтонкому расщеплению в димюонии и к ширинам распада орто- и пара- состояний.

• Найдены в аналитическом виде вклады однофотонного обмена со вставкой свободной поляризации вакуума в лэмбовский сдвиг и сверхтонкое расщепление основного состояния электронных и мюонных водородоподобных ионов без разложения по параметру Za. Исследованы аналитические свойства и найдены асимптотики для всех наиболее важных случаев. Исследованы в ведущем нерелятивистском приближении радиационные поправки к волновой функции в легких мезоатомах. Найдены как поправки к волновой функции в начале координат, так и к дипольным матричным элементам атомных переходов, и, как следствие, получены результаты для сверхтонкого расщепления, распадов экзотических атомов, ширин уровней и интен-сивностей линий в легких мезоатомах.

• Проведено детальное исследование ковариантных калибровок специального вида, в которых отсутствуют нефизические инфракрасные и ультрафиолетовые расходимости для широкого класса диаграмм, и, в частности, имеет место равенство — ^2 = 1-

Обозначения

В работе как правило используется релятивистская система единиц, в которой Н = с = 1 и а = е2. В этом случае имеется только одна размерность. Ее выбор зависит от традиций в той или иной области измерений. Для задач атомной спектроскопии (водород, мюоний, позитроний) все выражения для поправок приводятся для их вкладов в энергию, однако, имея в виду связь между энергией и частотой перехода, соответствующие численные значения приводятся в единицах частоты Е¡Н. Некоторые величины для мезо-

татомов и димюония приводятся непопредствено в энергетических единицах (электрон-вольтах).

Мы следуем здесь в значительной степени обозначениям [35, 36]; однако, фазы волновых функций определены согласно [37]. На промежуточном этапе некоторых вычислений удобно пользоваться атомными единицами, как они определены в [35].

Заряд ядра в единицах заряда электрона (%) равен в атомах водорода, дейтерия, мюония, позитрония и димюония единице, однако его традиционно удерживают для классификации вкладов. Приведем также список наиболее часто используемых обозначений: а -постоянная тонкой структуры, И^ - постоянная Ридберга атома водорода с бесконечно тяжелым ядром, с - скорость света, тц -приведенная масса, 1п к$(п1) - бетевский логарифм, Яр ~ среднеквадратичный зарядовый радиус протона, Ус (г) = — ^а)1г - куло-новское взаимодействие. В водородоподобных системах с тяжелым ядром масса частицы (электрона или мюона) обозначается как т, а масса ядра - М. Величина 7 = отвечает характерному

атомному импульсу и в зависимости от характера задачи приведенная масса может быть часто заменена на массу электрона (мюона) т.

Шредингеровские волновые функции обозначаются через </?п/го, а дираковские -

Глава 1. Логарифмы и выбор калибровки §1.1. Различные калибровки

Калибровка может быть фиксирована различными способами и, в частности, выбором фотонного пропагатора. Ниже мы обсуждаем различные формы фотонного пропагатора, отвечающие некоторым часто используемым калибровкам или же калибровкам со специальными свойствами, упрощающими вычисления или отбор графиков.

Стандартные ковариантные калибровки определяются пропага-тором, содержащим безразмерный параметр

= ^ + 00

его выбор приводит к некольким специальным случаям.

Простейший выбор (£ = 0) соотвествует фейнмановской калибровке. Ее достоинствами являются простота и менее инфракрасно сингулярные слагаемые. Мы хотим здесь особо отметить, что речь идет о сингулярностях, а не расходимостях вблизи массовой поверхности. Наличие члена с 1/д4 делает знаменатель более сингулярным, однако, в конечном счете происходит сокращение числителя со знаменателем и расходимость оказывается того же порядка.

Ультрафиолетовые проблемы проще всего решать в калибровке Ландау (£ = —1) [38, 39], тогда как поведение диаграмм вблизи массовой поверхности оказывается наилучшим в калибровке Фрида -Йенни (£ = 2) [40, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 46]. В частности в ней удается провести перенормировку на массовой поверхности, не вводя массы фотона. Внесем краткую историческую справку: впервые преимущества такого выбора пропагатора фотона в теории взаимодействующих электронов и фотонов были отмечены в [40, 39] (см. также [43]), затем в [41] продемонстрировано, что отсутствие инфракрасных расходимостей не зависит от спина частицы. В работе [42] показано, что в данной калибровке не только улучша-

ются аналитические свойства вблизи массовой поверхности, но и существенно упрощаются вычисления квантовоэлектродинамиче-ских поправок к уровням энергии в атоме водорода. В последующих работах [44, 45, 46, 47, 48] были получены некоторые полезные выражения для однопетлевых вставок в электронную линию в ка-

у

либровке Фрида-Иенни.

Существуют также и более сложные калибровки. К ним можно отнести /¿-калибровку, сочетающую в себе достоинства калибровок Ландау и Фрида-Йенни (см. Приложение 1)

= + (2)

Калибровка была впервые введена в работе [49], где также были найдены вычитательные константы Z\ и Zч, причем неправильно. Впоследствии константы были найдены в [1], равно как и явное выражение для однопетлевого массового оператора. Калибровка содержит дополнительный размерный параметр. В случая взаимодействия фотона только с одним сортом фермионов (электроном) можно фиксировать параметр специальным образом [1]

¡_12 = т2л/ё1 (3)

где е - основание натурального логарифма. При этом однократно вычтенный оператор собственной энергии электрона и вершина его взаимодействия с фотоном сразу оказываются перенормированными.

Другие модификации возникли при рассмотрении многопетлевого случая. Так, для двухпетлевых диаграмм, не содержащих вакуумной поляризации, можно фиксировать параметр в £ следующим образом [50, 51]

= + (4)

В данной калибровке (модифицированная калибровка Ландау) полный однократно вычтенный оператор собственной энергии элек-

трона не содержит ультрафиолетовых логарифмов. Соответствующая модификация д-калибровки имеет вид [1] (см. также Приложение 1)

ад=Ь (ьг+(-1+

Зек \ кркт ¡л крк

8тг+"-] к2 к2 ] • (5)

Введение функции а) вместо фиксированного выше значения параметра ¡л также позволяет обеспечить обращение в единицу вычи-тательных констант Z\ и Z<l. Еще большие усложнения позволяют обобщить результаты ^-калибровки на случай диаграмм с поляризацией вакуума [3] (см. также Приложение 1), однако, вставки блока типа рассеяния света на свете остаются нерешенной проблемой.

Наиболее известная нековариантная калибровка в квантовой электродинамике - это кулоновская

1 ( кркт ко (крпт + пркт)^

где п — (1, 0). Можно переписать пропагатор в более привычном виде

п (к)-— л - р т 0 К р т р т) (в)

ирЛК) - 2 дрт , 2 ,2 > V0;

1

Аю(*) -

к2'

Щ(к) = [6',1 -

к2

Д,#)=А'о« = 0. (7)

Прежде всего следует отметить, что кулоновская калибровка явно нековариантна и включает выделенное направление (время). В таком виде ее удобно использовать во многих простых вычислениях, однако, в случае многопетлевых расчетов приходится использовать приведенное выше выражение с единичным времени подобным вектором (возможно зависящим от входящих в поддиаграмму импульсов) или более сложное обобщение кулоновской калибровки

п (и\- — { п2кркт - (кп) (крпт + пркт)\ , .

ирт[к) ~ к2 \дрт ' к2п2 - (кп)2 ) ' ^

где п - некоторый времени подобный вектор с произвольной нормировкой.

К недостаткам калибровки следует отнести более громоздкую процедуру перенормировки (см., например, [52, 53, 54, 55, 56], которая однако может быть проведена без введения массы фотона. Ее достоинством является кроме того отсутствие полюса в 00 компоненте пропагатора, что означает при вычислении мнимой части отсутствие нефизических состояний. В ковариантных калибровках они всегда появляются и в сложных вычислениях сокращение их вклада может происходить между разными диаграммами (см., например, [18] и Главу 3).

Сравним кратко вычисление лэмбовского сдвига в различных калибровках. Напомним, что ведущий вклад имеет порядок, Ы^с Будем обсуждать вклады отдельных фенймановских диаграмм: свободных массового оператора, вершинной фунции и диаграммы с охватом двух и более фотонов. В калибровке Фейнмана или Ландау каждая из двух первых диаграмм приведет к инфракрасно расходящимся вкладам а^а)21п А, где А - регуляризующая масса фотона.

__о

В калибровке Фрида Иенни, кулоновской и /¿-калибровке, ведущие вклады отдельных диаграмм инфракрасно конечны и сразу оказываются порядка а(Еа)21п А, однако, в кулоновской калибровке будет несколько источников таких вкладов, так, например, матричный элемент от свободного массового оператора будет содержать

__и

указанный логарифм. В то же время, в калибровке Фрида-Иенни и //-калибровке только электрический формфатор приводит к обсуждаемому вкладу. Таким образом, в этих калибровках отдельные диаграммы имеют наиболее физические асимптотики и матричные элементы.

§1.2. Вычисление логарифмических вкладов

Рассмотрим различные способы получения поправок к энергии, содержащих низкоэнергетические логарифмы 1п(^а). Данный раз-

дел носит чисто технический характер и посвящен вычислению различных вкладов без какого-то бы ни было обсуждения: отбора диаграмм и т. д. Его цель - систематизировать способы вычисления.

Логарифмы можно разбить на несколько групп. Хотя любые логарифмы суть результаты интегрирования по логарифмической области нерелятивистских импульсов или энергий, однако, с технической точки зрения такой подход не продуктивен. Некоторая часть логарифмов хорошо известна и детально описана и поэтому часто удобно говорить о ряде величин, уже содержащих логарифмы. К таким величинам относятся - значение дираковской волновой функции в окрестности начала координат и потенциалы, индуцированные радиационными поправками. Наиболее известным потенциалом такого типа является потенциал, связанный с электрическим формфактором и отвечающий за ведущий логарифм в лэм-бовском сдвиге. Использование потенциалов, уже содержащих логарифм, позволяет сохранить свободу выбора способа их получения: это может быть расходимость нерелятивистского интегрирования при больших импульсах (как указано выше), или, напротив, мы можем обсуждать инфракрасные расходимости в диаграмме с дираковскими частицами и внешними линиями на массовой поверхности. В итоге, имеются три основных типа логарифмических поправок в технике вычисления по диаграммам - логарифмы от логарифмических потенциалов и шредингеровских волновых функций ((/?), логарифмы от нелогарифмических потенциалов и дираковских волновых функций (ф) и логарифмы, возникающие при логарифмическом интегрировании в приводимых (факторизованных) диаграммах. Последние детально рассмотрены нами в [2].

Вообще говоря, дираковские логарифмы с не логарифмическими потенциалами также можно вычислить в технике факторизованных диаграмм, однако в этом нет необходимости. Если же потенциал содержит логарифм, то для того чтобы правильно найти ко-

эффициент - факторизованная техника необходима. Как правило, потенциалы, приводящие к логарифмическим вкладам, оказываются дельта-образными и имеют вид

2

• 171

Ц = А&т)Ъ>-г, (9)

ч

где д2 - характерная виртуальность, обрезающая инфракрасный логарифм, если он есть. Сформулируем утверждение о дираков-ских логарифмах в более общем виде: если имеются два нелогарифмических дельта-образных потенциала (типа 1/о), то с помощью одного из них можно найти логарифмическую поправку к значению волновой функции вблизи нуля и усреднить второй потенциал с этой функцией. Данный метод был использован для позитрония в работах [57, 58]. Его соотношение с вычислением при помощи фак-торизованных диаграмм дано в [2] (см. также [58], где обсуждается другая техника вычисления факторизованных диаграмм).

Приведенные выше слова относятся к ведущим логарифмам. В ряде задач оказывается необходимым работать с величиной

Д(п) = &Е(и) - п3АЕ(пз), (10)

которая возникает в задачах лэмбовского сдвига и сверхтонкого расщепления (СТР). Эти задачи имеют разную мотивацию. В случае СТР водорода и дейтерия имеются результаты прямых измерений для уровней 15 и 25 с точностью превышающей возможности теориии для вычислений расщепления каждого из уровней по отдельности. Лимитирующим фактором оказывается структура ядра. Для комбинации (10) эти поправки, в основном, сокращаются и появляется хороший шанс проверить квантовоэлектродина-мические вычисления с высокой точностью. В случае лэмбовского сдвига имеется относительно широкий класс экспериментов, направленных на определение лэмбовского сдвига основного уровня и постоянной Ридберга. Возникают различные комбинации лэмбов-ских сдвигов 5-состояний. Как показано в [6, 8, 20] (см. Главу 3),

комбинации вида (10) свободны от многих теоретических проблем и их следует вычислять и использовать для обработки экспериментальных данных. Главное изменение при вычислении поправок разности (10) заключается в том, что ведущие для отдельных уровней логарифмические поправки сокращаются. В факторизованной технике для разности работают только нелогарифмические области интегрирования, а собственно логарифмы происходят лишь от потенциалов [12, 18]. В некоторых случаях, а именно, когда ведущая (сократившаяся) логарифмическая поправка - линейная, действуя аналогичным образом, удается найти константное слагаемое [22].

Другая техника вычислений, развитая в работе [18], пригодна только для некоторых логарифмических поправок. Она основана на стандартном выводе логарифма для лэмбовского сдвига. Так как метод работает в любом потенциале ядра, то в ряде случаев ( а имеено, когда можно говорить об однопетлевой радиационной поправке и о возмущении потенциала) метод работает. Достоинством является то, что метод обладает большей физической наглядностью и может быть обобщен на недельта-образные потенциалы. В том случае, если применение этого метода затруднено, он тем не менее позволяет убедиться, что логарифмы должны быть, хотя и приводит к ошибочным коэффициентам.

Применяя формулы, детально рассмотренные ниже, заранее необходимо убедиться, что:

• полученные выражения дают вклад искомого порядка;

• нет других вкладов этого же порядка;

• эффективные потенциалы выписаны правильно, т. е. при выводе и использовании выражений для поправок они используются только в допустимой области их применения. В частности, для логарифмическихъ потенциалов необходимо убедиться,

что аргумент логарифма выписан точно: как правило он связан с виртуальностью электроных линий, входящих и выходящих из блока, которые лишь для связанных состояний совпадают с атомными.

Отметим также, что ряд вкладов (преимущественно - линейных по логарифму) могут быть получены несколькими способами. Такая избыточность полезна для перекрестной проверки выражений, которые могут быть использованы далее для других поправок. Следует помнить, что все методы связаны с вычислением вклада нерелятивистских импульсов (атомных или логарифмических). Поправки, происходящие от релятивистских импульсов часто оказываются больше, и их следует вычислять отдельно. В случае разности (10) важным является известное свойство шре-дингеровских волновых функций в атоме водорода

Мг) = <М0) (1 - (7г) + 1 (1 + (7г)2 + ...), (11)

которое часто обеспечивает обращение в ноль релятивистских вкладов.

Техника приводимых (факторизованных) диаграмм

Рассмотрим логарифмы, возникающие при интегрировании по логарифмической области в факторизованных диаграммах. Выражение имеет очевидную форму

(12)

Я Ьп - Ьд

Если потенциалы возмущений У^ различны, то необходимо удвоить результат и мы явно ввели симметрийный коэффициент С^, равный единице для совпадающих возмущений и двойке для разных. Сумма берется по всем промежуточным состояниям дискретного и непрерывного спектра, однако для дельта-образных потенциалов вклад дают лишь по б'-соетояния.

Вначале рассмотрим появление ведущих логарифмов; мы следуем здесь [2]. Сумма по состояниям при вычислении ведущих логарифмов превращается в интеграл по логарифмической области

а роль обрезания под знаком логарифма в потенциале играет волновое число д = к. С учетом явного вида потенциалов приходим к выражению

вЕ^пз) = -2тС,А^ (^(0))2(^.(0))2 ^ £ (^Ц)' ¿1д»' ^ .

(14)

Преобразуем полученное выражение

( У?ь(0)\

2

2тгк 1 1

к2 7тк\ 1! +

17- 7

(Щ

\Ы0)) 7 7 1 - ехр(-^) Т

Первый член, как нетрудно понять, приводит к линейно расходящемуся при больших импульсах интегралу и, как правило, отвечает части известных вкладов. Второй член дает логарифм следующего порядка малости по Za по сравнению с вкладом больших импульсов и является предметом нашего исследования. Выпишем логарифмический интеграл

= (щ

где величина

= 1<ри(0)12 А, = ^ А,

7Г

совпадает для j = 0 с поправкой к энергии уровня 18, а при наличии логарифмов 1п(1/(^а)2) - с коэффициентом при них. Окончательный результат имеет вид

Похожая техника была применена в [58], где для вычисления поправок с первой степенью логарифма рассматривались фактори-зованные диаграммы, а в качестве функции Грина была написана сумма - свободный член, вклад с одним кулоновским фотоном и т. д. Логарифм в этом случае происходит от члена с одним обменом.

Перейдем к логарифмам для разности Д(п), следуя методу, развитому в [б, 12]. Факторизованный вклад по-прежнему определяется выражением (12). Вклады происходят от дискретного спектра и непрерывного.

Вклад дискретного спектра в 5E(ns) легко найти; основным отличием от проделанных ранее преобразований является замена:

1 2т 1 ,

q Еп — Eq 72 п>фп l/п2 ~ 1 /П'2 '

Подставляя сумму в выражение (12) и вычисляя матричные элементы от дельта-образных потенциалов, получаем

Ornf-f- . . 1 11 1

SE3(ns) = -CiP=p-\it+> ~ £ 2 1 (19)

J jz (Za)z п'фп n6n'5 l/nz — lfn'z

или __

9 mff- 1 1

SE?3(ns) = m^' , (20)

где

1 n2

Sn= E -J • (21)

п1фпп'п'г - nz Возникшая сумма легко вычисляется

п-111 1

Sn = - Е - + — = -ф(п) + ф( 1) + —, (22)

1 q in 4n

где ip(z) - логарифмическая производная от Г-функции и

Вклад непрерывного спектра удобно сразу искать для разности. При этом в логарифмической и жесткой (к ~ т) областях потенциалы не зависят от импульсов и энергий "наружных" волновых функций, а в энергетическом знаменателе энергией Еп также

можно пренебречь. В результате получим ноль. Таким образом, остается область атомных импульсов, в которой во всех логарифмах в потенциале Уг, как и в случае дискретного спектра, можно в качестве импульса обрезания д сразу подставить 7. В итоге имеем

*(£?•(I») - П3Щ3(П8)) = 1п'+' -щ-21(п), (23)

где

1 1

ч roodk2ir kh

l + P/72 l/n2 + /c2/72_

(24)

/0 27Г 7 1 — exp(—27Г7/&) Интеграл берется аналитически [59] (см. формулу 3.415.1.)

I(n) = (ln(n) - 5 + ^ + VK») - V-(l)) . (25) Полный результат имеет вид

6(Ец(и) - n3Et](ns)) = ■< bi+J

72 (^а)2

х - 1п(п) + ф(п) - ^(1)) • (26)

Эта поправка может быть также найдена в другой технике. В самом деле, необходимо найти разность

ии(Е1з10,0)-Ъпз(Епз-,0,0) (27)

нерелятивистских кулоновских редуцированных функций Грина

ЩЕ) = 0{Е) - ММ , (28)

ь — ьп

результаты для которых почти известны. Наиболее простой способ заключается в следующем: найдем разность

С15(^ь;0,г)-СП5(^;0,г), (29)

а затем устремим второй аргумент к нулю. Следует заметить, что это правильно не во всех задачах. Имеются дельта-функции,

"внешние" для кулоновской задачи, как, например, эффективные потенциалы, индуцированные радиационными поправками. В этом случае указанный выше прием законен. Мы может ввести аппроксимацию для дельта-функции, сохраняя известные выражения для кулоновских функций Грина. Другой тип задач связан с дельта-функциями, индуцированными при участие кулоновского потенциала, как например, контактная форма для сверхтонкого взаимодействия. В этом случае регуляризация дельта-функции означает некоторую модификацию кулоновского потенциала, что может привести к несогласованности потенциалов и функции Грина. Необходимо также изменить функции Грина и волновую функцию и это может привести к дополнительным поправкам. В данной работе мы обсуждаем задачу, где по крайней мере одна из дельта-функций не связана с кулоновским потенциалом и это позволяет пользоваться разностью (27) без дополнительных проблем.

Для нередуцированной кулоновской функции Грина есть простое представление в виде произведения функций Уиттекера [60, 61, 62], согласно которому -

С(Е- г, 0) = -~Г(1 - , (30)

где введен аналог главного квантового числа.

V = ^-(га)2т/2Е.

Для вычисления поправок нам нужна редуцированная функция Грина при Е — Еп. Вблизи целых значений и функция Уиттекера может быть представлена в виде [19, 14] (см. также Главу 2) конечной суммы

_ -г/2 „п+е ^ ( 1)'

Фп+е,1/2(г) = е-'"г™ £

Г(п + 1+г) Г (га + !-* + £:)

П — 8 + £ . ^ / 2

П + £

+ оИ. (31)

Не составляет труда удалить полюсное слагаемое и найти редуцированную кулоновскую функцию Грина

т п (_7 V

ШГ П\ в_о 5!

п\

.(п-в)!

2

где

(ф(п + 1) — 2ф(п — й + 1)) —

п-в Ъ — хг,

п

2 п

- + 1п(*„) +1} , (32)

27 Г

п

Теперь можно найти разность для двух состояний и устремить радиус г к нулю

т

х

О, г —> 0) 1 — 27Г [ф(п + 1) — 2^(2) +

2ж г

п- 2

п

+ 1п (7 г/п)

(33)

и

С^ь О, г 0) - Сп{Еп-О, г 0) ~

777-7

7Г

X

л — 1

ч/>(п) — -0(1) Н-----1п (7г/п)

п

(34)

Результат соответствует полученному выше (26). Мы использовали приведенную процедуру для проверки явных выражений для редуцированных функций Грина в нашей работе [14, 19].

Диаграммы с эффективным неприводимым потенциалом

Начнем в дираковской поправки для уровней пз. Дираковская поправка к значению волновой функции в начале координат находится очевидным образом:

\ф(0)\2 « |9?(0)|2 х

1 +

{га)2

1п-

1 ^

или

дЕ = е0х -—

(35)

(36)

2 ~ (га)2 '

Вообще говоря, возможности применения этой техники несколько шире. Как указано выше, факторизованный вклад двух нелогарифмических дельта-образных потенциалов может быть также найден

/

подобным способом (см. [58]). Так потенциал "Ц приводит в случае 5-уровней к поправке

г|#))|2^М0)|2х(-^)1п^. (37)

В результате можно найти вклады факторизованных диаграмм с двумя потенциалами типа Ц).

С другой стороны, следует отметить, что поправка (35) может быть использована только для внешних дельта-функций. В случае упомянутого выше примера для контактного сверхтонкого взаимодействия, которое возникает за счет действия малых компонент свободных спиноров на кулоновский потенциал, подобный способ приводит, конечно, к неправильным результатам.

Для логарифмических поправок к разности А(тг) и сдвигам уровней I ф 0 соответствующий метод был развит нами в [18]. Вычисляются вклады потенциалов с производными от дельта-функций:

~ Д • тг?

V,- = ах —г£(г) Ь7 — . (38)

и 771 у

Прежде всего отметим, что потенциал по-прежнему остается центральным и поэтому лапласиан Д можно заменить на его радиальную часть Дг. Известно (11), что волновые функции ^-состояний устроены так, что их первые (логарифмические) производные не зависят от 77, и вклад дают только вторые производные. С другой стороны, для I ф 0 только состояния могут привести к отличным от нуля значениям первых производных в начале координат. Таким образом, нетрудно получить результаты [22]

6(Щ(1з) - п'Щпв)) = а>1в(0)|2 х 2 — ^ ^ ^

,2 , ,

, , ч , , .,2 2п — 1 1 7 . 1 ЬЕ^пр) = 0) х -----. (40

3 пг п6т,1 \ZOLY

При более высоких значениях I логарифмическая поправка обращается в ноль.

Действуя аналогичным образом можно находить и константые слагаемые для Д(п) и I ф 0 (в том случае, когда для уровней ns имеютсмя лишь линейные логарифмические вклады). Константы могут возникать двумя способами: во-первых, в духе изложенного для логарифма в предыдущем разделе (если потенциал содержит производные), и, во-вторых, за счет релятивистских поправок к простым дельта-образным потенциалам типа Vq. Забегая вперед, отметим, что для старших I отличен от нуля только вклад р-состояний, который набирается на малых компонентах и хорошо известен (например, вклад распределения заряда, поляризации вакуума и т. д.).

Вернемся к нашему обсуждению. Заметим, что точная дира-ковская волновая функция не нужна: достаточно первых членов разложения вблизи нуля. Непосредственное вычисление приводит к результатам (см. [22, 20])

¿(£(ls) - n3E(ns)) =S0x (Zaf

(n - l)(n + 9)'

x

ф(п + 1) - ф(2) - ln(ra)

An2

(41)

и

Eq 2n — 1

= ^ х (2аУ^г6№ ■ (42)

При более высоких значениях I поправка обращается в ноль.

Альтернативой является вычисление ведущих вкладов с точными дираковскими функциями. В частности, таким образом были получены результаты для вкладов 2р] уровней, отвечающих некоторым дельта-образным потенциалам (поляризация вакуума рассмотрена в [63], поправка на конечные размеры ядра найдена в [64, 65]). Отметим, что вычисление матричного элемента для ведущего вклада в потенциал с точной дираковской функцией не позволяет найти поправку к разности (10).

Техника правила сумм

Линейная логарифмическая поправка в лэмбовском сдвиге имеет, как известно, вид (ср. [36])

6Е1°°(п13) = . (43)

На самом деле при получении этого выражения использовано только то, что мы имеем дело с некоторым центральным потенциалом, не зависящим от спинов. Понимая данное выражение в широком смысле, мы полагаем, что V представляет собой сумму кулоновского потенциала и некоторого возмущения (Т/о). Тильда указывает на то, что волновые функции - не кулоновские, а также отвечают полному потенциалу V. Главным достоинством данного метода является то, что возмущение может отвечать любому потенциалу, не зависящему от энергии (и, в частности, не содержащему логарифма). Имеется также и методическое преимущество: для вычислений достаточно знать квантовую механику. Правая часть возникла благодаря соответствующим правилам сумм, что и определило наше название данного способа вычислений.

В работе [18] продемонстрировано, что в случае дельта-образного потенциала (Уд) результат совпадает с полученным по факторизо-ванным диаграммам х 1/о). Мы не будем поэтому приводить здесь других формул. Важно отметить, что применение данного метода оказалось возможным, потому, что в линейных по логарифму поправках имеет место логарифмическое интегрирование по частотам, тогда как в сумме по состояниям вклад дают атомные импульсы.

§1.3. Выбор калибровки

Теперь можно обсудить выбор калибровки для тех или иных вычислений. Заметим, что имеются фотоны двух сортов: радиационные (т. е. фотоны, связанные с радиационной вставкой в электрон-

ную линию и присоединенные обоими концами к электронной линии) и обменные (соединяющие частицу и ядро). Большая часть диаграмм найдена нами в приближении внешнего поля, которое возникает наиболее естественным образом, если фиксировать калибровку для обменным фотонов как кулоновскую. Радиационные фотоны могут быть рассмотрены в другой калибровке. Это допустимо потому, что фотоны отвечают разным параметрам: а (радиационные) и Za (обменные), что в свою очередь связано с абеле-вой природой квантовой электродинамики. Важным исключением является вычисление так называемых аннигиляционных диаграмм для позитрония и димюония, где одна линия отвечает и частице (электрону, мюону) и ядру (позитрону, антимюону). В этом случае мы обсудим выбор калибровки отдельно.

Вернемся к обсуждению выбора калибровки для нахождения логарифмических вкладов. Начнем с обсуждавшейся последней техники правила сумм. Эта техника имеет наиболее ясный физический смысл в кулоновской калибровке, где нет нефизических состояний. Может показаться, что техника " калибровочно инвариантна" и не требует фиксации калибровки. Это так, однако, может возникнуть необходимость интерпретации полученных результатов в терминах диаграммной техники. Отдельные вклады (поправка к потенциалу, поправка к волновой функции) можно сопоставить диаграммам только в кулоновской калибровке, где отсутствуют внутренние сокращения. Подробно этот вопрос рассмаривается нами в Главе 3 [18].

Во всех других логарифмических вычислениях мы используем

для радиационного фотона калибровку Фрида-Йенни. Это позволяет нам применять простые эффективные потенциалы, как, например, однопетлевой потенциал (Рис. 2 а)

т

2

. 4 а(Еа)

Ух^ЬатЬ) = А\(ЬатЬ) 6(т) 1п

■2 '

Рис. 2. Диаграммы для некоторых дельта образных потенциалов.

приводящий к лэмбовскому сдвигу. Здесь д = 7 в чисто атомных вычислениях, однако, для недиагональным матричных элементов между связанными состояниями и состояниями непрерывного спектра д следует заменить на волновое число, отвечающее непрерывному спектру. Некоторые диаграммы, отвечающие важным для дальнейших вычислений дельта-образным потенциалам собраны на Рис. 2. Графики а и 6 соответствуют логарифмическим потенциалам, не зависящие от спина, а г-д представляют нелогарифмические потенциалы, зависящие от спина. Поправка на отдачу (6) включает оба типа потенциалов. Аннигиляционная диаграмма (е) имеет место только для позитрония и сдвигает энергию триплет-ного уровня.

Несколько особая ситуация возникла с поправками к радиационным ширинам и дипольным матричным элементам. При вычислении поправок на отдачу, мы, конечно, пользуемся кулонов-ской калибровкой. Логарифмические радиационные поправки к ширинам и матричным элементам не обсуждались выше. Дело в том, что они возникают во втором порядке теории возмущений и только один блок является логарифмическим, тогда как остальная часть диаграммы отвечает характерным атомных импульсам. Квантовоэлектродинамическая часть задачи исчерпывается здесь выписыванием эффективного потенциала и остальная часть вычислений относится к квантовой механике. Однако, как указано выше возникают полезные для вычисления других логарифмических поправок выражения для нерелятивитстских редуцированных

кулоновских функций Грина разных уровней и лучшее понимание происхождения вкладов в лэмбовский сдвиг р-состояний. Для получения эффективного потенциала (44) мы использовали калибровку Фрида-Иенни.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Каршенбойм, Савелий Григорьевич

Заключение

Подведем кратко итоги диссертации. В диссертационной работе развита теория вычисления радиационных поправок к уровням энергии в водородоподобных системах. Исследования были направлены на нахождение различных вкладов в лэмбовский сдвиг в атоме водорода, сверхтонкое расщепление в водороде, мюонии и позитронии, в радиационные ширины уровней в водородоподобных атомах. Мы также рассмотрели отдельные вопросы, связанные с мезоатомами и экзотическими атомами.

Работы по лэмбовскому сдвигу имеют мотивировку, тесно связанную с экспериментом. Прежде всего отмечено, что для получения из оптических измерений самосогласованных и не зависящих от других экспериментов данных необходимо воспользоваться специально нормированной разностью лэмбовских сдвигов

А(п) = AEl(1s1/2) - n3AEL(ns1/2).

Найден ряд поправок к этой величине и показано, что ее теоретический статус существенно отличается от статуса лэмбовского сдвига основного состояния: разность А(п) свободна от большинства проблем для сдвига Ls\ Работы, направленные на ее исследования, цитируются как теоретиками, так и экспериментаторами и использованы при так называемом Согласовании значений фундаментальных физических констант - процедуре, проводимой Международной группой по константам для совокупной обработки всех прецизионных данных. Необходимость этой процедуры для лэмбовского сдвига связана с тем, что часть данных требует определения постоянной Ридберга и данная задача имеет, таким образом, метрологические приложения. Были также найдены новые поправки к сдвигу р-уровней. Получены результаты и для лэмбовского сдвига уровня ls и проведено детальное обсуждение проблем определения зарядового радиуса протона, входящего в теоретическое выражение для сдвига.

Исследования по сверхтонкому расщеплению в мюонии имели своей целью корректно найти погрешность теоретического выражения, путем вычисления радиационных поправок, поправок к отдаче и радиационных поправок к отдаче четвертого порядка по всем комбинациям малых параметров (а, Ъа и т/М) в ведущием логарифмическом приближении. Были найдены поправки в несколько раз большие, чем наивные оптимистические оценки, опубликованные разными авторами. Кроме того, было обнаружено, что чисто радиационные однопетлевые поправки найдены некорректно, а их погрешность занижена. После того, как был поднят вопрос о корректности старых однопетлевых расчетов, новые вычисления были независимо проведены сразу несколькими авторами, после чего радиационные поправки были найдены с высокой точности. Результат получен с учетом найденной в диссертации логарифмической поправки. Работы по мюонию также цитируются теоретиками и экспериментаторами и использованы в Согласовании, для которого сверхтонкое расщепление в мюонии является одним из источников для определения постоянной тонкой структуры а. Найденные в данной работе зависящие от структуры протона поправки к сверхтонкому расщеплению в атоме водорода позволили существенно пересмотреть оценку вклада поляризуемости протона.

Исследования спектра позитрония представляют особый интерес и эта система открывает разные возможности. Во-первых, можно существенно проверить вычисления поправок на отдачу, что может плодотворно повлиять на расчеты для водорода и мюония. Во-вторых, система является квантовоэлектродинамическим аналогом кваркония и часть методов, опробованных на позитронии, находит применение в теории таких систем. В-третьих, имеются серьезные проблемы в противоречии теории и эксперимента для распада ортопозитрония, и аннигиляционные вклады в сверхтонкое расщепление являются хорошей модельной задачей на пути развития теории поправок к трехфотонному распаду. Выше найдены некоторые вклады к сверхтонкому расщеплению в позитронии и проведено детальное сравнение теории и эксперимента для всех измеряемых частот переходов.

Мы также провели исследования ведущих радиационных логарифмических поправок к дипольным матричным элементам в атоме водорода. Мотивом для этой работы явились с одной стороны предложения по прецизионным исследованиям эффекта Штарка в атоме водорода в тривиальной области малых полей (в смысле шредин-геровского атома), но больших, чем эффекты тонкой структуры и лэмбовский сдвиг. Другим стимулом, явилась попытка найти радиационную ширину распада состояния 2отношение которой к лэмбовскому расщеплению п = 2 было ранее измерено с высокой точностью. Радиационные поправки были найдены, а результаты упомянутого эксперимента пересмотрены. Впоследствии работы получили самостоятельное развитие и в диссертации представлены также аналитические выражения для логарифмических поправок к радиационным ширинам однофотонных Е1 переходов и численный результат для поправки к двухфотонной ширине уровня 2з. Учтены эффекты отдачи для однофотонных дипольных переходов. Затем были проведены вычисления для мезоатомов, которые, на наш взгляд, могут найти применение. Дело в том, что в атомных системах с умеренным значением Е, когда нерелятивистское рассмотрение еще применимо и полученные выше результаты справедливы, проводятся измерения отношения интен-сивностей линий переходов в мезоатомов с целью изучения химической структуры вещества. Рассмотренные выше поправки должны рассматриваться в подобных экспериментах как систематические ошибки и влиять на их окончательную интерпретацию.

Исследования мезоатомов и позитрония нашли продолжение в исследовании экзотических атомных систем: димюония и пиония. Для димюония найдены аннигиляционные ширины для орто- и пара- состояний с поправками порядка а и а21п(а) и а21п2(т^/ше), а также сверхтонкое расщепление с такой же точностью. Оценки, касающиеся рождения этой системы, оказались оптимистическими - система может быть произведена и детектирована, а ее параметры измерены. Точность измерений зависит от их продолжительности и, следовательно, числа событий. Однако, проблема рождения и детектирования выходит за пределы данной диссертации, и мы упомянули здесь об этом в связи с актуальностью прведенных выше вычислений. Пионий, напротив, уже наблюдался и несколько групп намерены продолжать его исследования с целью измерения пионных длин рассеяния, через которые выражается амплитуда распада пиония. Имеется некоторое количество работ на тему радиационных поправок к ширине его распада и выше найдена одна из радиационных поправок, не рассмотренная ранее.

Полученный в диссертации результат для поправок к ширине димюония, индуцированных электронной поляризацией вакуума, находится в противоречии с ранними результатами и было проведено отдельное исследование, подтвердившее результат диссертации. Оно получило продолжение в виде точного аналитического вычисления поправок к энергии, происходящих от однопетлевой поляризации вакуума свободных электронов. Поправки вычислены для энергии дираковской частицы в кулоновском поле ядра в нулевом и первом порядке по магнитному полю ядра (т. е. к лэмбов-скому сдвигу и сверхтонкому расщеплению). Поправки найдены точно: для произвольного заряда ядра г и произвольного отношения массы электрона (в поляризационной петле) и составляющей атом дираковской частицы (на орбите). Кроме общего результата был получен также ряд простых асимптотик и, в частности, для электронной поляризации в мезоатоме.

Остановимся теперь на области, где полученные выше результаты могут найти применение. Все проведннные исследования относятся к прецизионной теории простых атомных систем. Результаты, полученные для водорода, мюония и позитрония - необходимы для сравнения теории и эксперимента. Заметим, что эксперимент и теория развиваются очень динамично и имеется реальное соревнование. В последнее время наметилась тенденция к сближению теории водородоподобных систем с большими и малыми Я. Это связано, с одной стороны, с повышение точности экспериментов при больших г и необходимостью включать в расчеты все большую часть квантовой электродинамики, а, с другой стороны, оказывается, что для ряда поправок в водороде необходимо точное вычисление без разложения по Еа. При этом выясняется, что некоторые поправки, не будучи существенными сами по себе, могут оказаться полезными при сравнении данных для больших и малых 2. К таким результатам диссертации относятся, например, зависящие от структуры ядра поправки к сверхтонкому расщеплению и ширинам распада. Заметим, что для больших Е вычисления, как правило, проводятся для протяженного ядра, и поэтому для сшивки результатов для малых 2 и точечного ядра и результатов для больших ¿V такие асимптотики необходимы. Вычисления ряда логарифмических асимптотик старших порядков также существенно улучшает экстраполяции и интерполяции по Сверхтонкое расщепление в мюонии и лэмбовский сдвиг в водороде играют важную роль для определения значений таких фундаментальных физических констант, как постоянная тонкой структуры, постоянная Ридберга, отношение масс электрона и мюона. Эти константы в свою очередь нужны для других исследований. Так, например, значение отношение масс электрона и мюона необходимо для прецизионных измерений аномального магнитного момента. Исследования спектра водорода - это один из путей лучше понять структуру протона. Если интерес к димюонию может быть связан прежде всего с возможностью его рождения, то исследования ширины пиония с точностью, при которой будут заметны радиационные поправки является целью уже существующих экспериментальных проектов.

Приведем здесь сводку основных результатов, полученных в диссертации.

• Разработана новая стратегия обработки экспериментальных данных по лэмбовекому сдвигу в атомах водорода и дейтерия. Стратегия основана на том, что теоретический статус величины А(п) существенно отличается от статуса лэмбовского сдвига основного состояния, а величина А(п) известна надежнее и с более высокой точностью.

• Найдены вклады порядка а2(^а)6т 1п2(^а) и а(2Ъ)6т к А(п) в водороде и дейтерии, а также, ведущие зависящие от структуры ядра поправки. Результаты позволяют эффективно использовать упомянутую выше стратегию.

• Вычислены ведущие двухпетлевые поправки к лэмбовекому сдвигу в водороде. Они имеют порядок а2(^а)6ш1п3(^а) для з-уровней и а2 (И а)6т 1п2(^а) для ^-уровней.

• Исследованы ведущие логарифмические радиационные поправки и поправки к отдаче к ширинам распада и интенсивностям од-нофотонных атомных переходов нескольких низших уровней в дипольном приближении (в частности, для уровня 2рг/2) ■ Найдены также в логарифмическом приближении радиационные поправки к распаду уровня 2з.

• Получены результаты для ряда логарифмических поправок к сверхтонкому расщеплению в мюонии, а именно, найдены члены относительного порядка а(Еа)2 (т/М) 1п2(^а), (£а)3(т/М) 1п2(^а), (^)3(ш/М) 1п(£а) 1п(М/ш), а2(га)21п2(га) и а{г

• Найдены зависящие от структуры ядра радиационные поправки к сверхтонкому расщеплению в водороде.

• Найдены некоторые поправки относительного порядка а2 и все вклады а31п2 а в сверхтонком расщеплении в позитронии.

• Вычислены вклады порядка а6т к частотам переходов 15 — 25 и 25 — 2Р в позитронии.

• Получены результаты для ведущих радиационных поправок относительного порядка а, а2 Ina и a2 ln2(m/i/me) к сверхтонкому расщеплению в димюонии и к ширинам распада орто- и пара- состояний.

• Найдены в аналитическом виде вклады однофотонного обмена со вставкой свободной поляризации вакуума в лэмбовский сдвиг и сверхтонкое расщепление основного состояния электронных и мюонных водородоподобных ионов без разложения по параметру (Za). Исследованы аналитические свойства и найдены удобные асимптотики для всех наиболее важных случаев.

• Исследованы в ведущем нерелятивистском приближении радиационные поправки к волновой функции в легких мезоатомах. Найдены как поправки к волновой функции в начале координат, так и к дипольным матричным элементам атомных переходов, и, как следствие, получены результаты для сверхтонкого расщепления, распадов экзотических атомов, ширин уровней и интенсивностей линий в легких мезоатомах.

• Проведено детальное исследование ковариантных калибровок специального вида, в которых для широкого класса диаграмм отсутствуют нефизические инфракрасные и ультрафиолетовые расходимости, а также имеет место равенство Z\ = Z2 = 1.

• Найдены поправки на конечные размеры ядра к величине разности Ahfs{n) для сверхтонкого расщепления.

• Найдены поправки на конечные размеры ядра к величине разности Also(n) для изотопического сдвига водород-дейтерий.

• Найдены логарифмические поправки порядка a3 In2 а к ширинам распада орто- и пара- позитрония.

• Найден вклад адронной и мюонной поляризации вакуума в сверхтонкое расщепление и лэмбовский сдвиг в атоме водорода.

Я глубоко признателен сотрудникам Отдела квантовой метрологии ВНИйМ им. Д. И. Менделеева и Теоретического отдела физического факультета СПбГУ, оказавших заметное влияние на формирование моих научных взглядов. Многолетнее общение с экспериментаторами водородной группы Лаборатории лазерной спектроскопии Макс-Планк-института квантовой оптики и мюонной группы Института физики Гайдельбергского университета также оказалось для меня очень важным и в значительной степени определило направленность большинства работ по спектру водорода и мюония. Особенно я бы хотел отметить многолетнее сотрудничество с В. А. Шелюто и М. И. Эйдесом, бывшее для меня чрезвычайно полезным и плодотворным, и многочисленные обсуждения с Т. В. Хэншем, В. М. Шабаевым и К. Юнгманном, явившиеся важным стимулом для моих работ. Сотрудничество с В. Г. Иванок» вым, К. Пахуцким, У. Иентшурой, Г. Зоффом, И. Гинзбургом и В. Сербо в 1997-1998 годах было особенно интенсивным. Всем моим друзьям и коллегам, перечисленным и не перечисленным выше, я искренне благодарен за помощь и поддержку. Часть работ, на основе которых подготовлена диссертация, была выполнена при поддержке грантов Международного научного фонда, Российского фонда фундаментальных исследований и Государственный научной программы " Фундаментальная метрология", и я признателен им за поддержку.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Каршенбойм, Савелий Григорьевич, 1998 год

Литература

С. Г. Каршенбойм. Ковариантные калибровки специального вида и поведение радиационных вставок в электронную линию. Яд. физика 50 (1989) 1374-1383.

С. Г. Каршенбойм. Новые логарифмические вклады в мюонии и позитронии. ЖЭТФ 103 (1993) 1105-1117.

С. Г. Каршенбойм. Поведение радиационных вставок в электронную линию в ковариантных калибровках специального вида. Яд. физика 56 (1993) 115-122.

С. Г. Каршенбойм. Поправки порядка а2 к сверхтонкому расщеплению в позитронии. Яд. физика 56 (1993) 155-171.

S. G. Karshenboim. New leading logarithmic corrections to the muonium hyperfine splitting and to the hydrogen Lamb shift. 25th E.G.A.S. Conference. Abstracts. Caen (1993) Pl-010.

С. Г. Каршенбойм. Лэмбовский сдвиг в атоме водорода. ЖЭТФ 106 (1994) 414-424.

S. G. Karshenboim. Leading logarithmic corrections to the muonium hyperfine splitting and to the hydrogen Lamb shift. 1994 Conference oil Precision Electromagnetic Measurements. Digest. Boulder (1994) 225-226.

С. Г. Каршенбойм. Лэмбовский сдвиг в атоме водорода. Сдвиг S-уровней. Яд. физика 58 (1995) 309-313.

S. G. Karshenboim. Muonic vacuum polarization contribution to the energy levels of the atomic Hydrogen. J. Phys. B28 (1995) L77-L79.

K. Pachucki and S. G. Karshenboim. Nuclear-spin-dependent recoil correction to the Lamb shift. J. Phys. B28 (1995) L221-L224.

[11] С. Г. Каршенбойм. Радиационные логарифмические поправки к дипольным матричным элементам в атоме водорода. ЖЭТФ 107 (1995) 1061-1079.

[12] С. Г. Каршенбойм. Лэмбовский сдвиг в атоме водорода. Ведущие двухпетлевые поправки. Яд. физика 58 (1995) 707-711.

[13] С. Г. Каршенбойм. Лэмбовский сдвиг в атоме водорода. Время жизни уровня 2р\ j2• Яд. физика 58 (1995) 901-905.

[14] V. G. Ivanov and S. G. Karshenboim. Radiative corrections to dipole matrix elements in hydrogen-like atoms. Phys. Lett. A210 (1996) 313-316.

[15] S. G. Karshenboim. Leading logarithmic corrections and uncertainty of muonium hyperfine splitting calculations. Z. Phys. D36 (1996) 11-15.

[16] S. G. Karshenboim. Two-loop logarithmic corrections in the hydrogen Lamb shift. J. Phys. B29 (1996) L21-L31.

[17] S. G. Karshenboim. The muonium hyperfine structure: uncertainties of theoretical calculations. Hyperfine Interactions (C), vol. 1 (1996). Proceedings of 10^ International Conference on Hyperfine Interactions. Part II. Ed. by M. Rots et al., 517-521.

[18] С. Г. Каршенбойм. Правила сумм и ведущие двухпетлевые логарифмы в лэмбовском сдвиге в атоме водорода. ЖЭТФ 110 (1996) 752-761.

[19] В. Г. Иванов, С. Г. Каршенбойм. Радиационные логарифмические поправки к дипольным матричным элементам в атоме водорода. ЖЭТФ 109 (1996) 1219-1233.

[20] S. G. Karshenboim. The Lamb shift of excited 5-levels in hydrogen and deuterium atoms. Z. Phys. D39 (1997) 109-113.

[21] S. G. Karshenboim. Nuclear structure-dependent radiative corrections to the hydrogen hyperfine splitting. Phys. Lett. A225 (1997) 97-106.

[22] В. Г. Иванов, С. Г. Каршенбойм. Вклады поляризации вакуума порядка a(Za)6mc2 к уровням энергии в атоме водорода. Яд. физика 60 (1997) 333-335.

[23] В. Г. Иванов, С. Г. Каршенбойм. Радиационные поправки к ширине 25-уровня в атоме водорода. Опт. и спектр. 83 (1997) 5-9.

[24] В. Г. Иванов, С. Г. Каршенбойм. Радиационные логарифмические поправки к ширинам уровней легких мезоатомов. ЖЭТФ (1997) 112 (1997) 805-816.

[25] S. G. Karshenboim. Two-body effects in the decay rate of atomic levels, Phys. Rev. A56 (1997) 4311-4313.

[26] S. G. Karshenboim and V. G. Ivanov. Radiative corrections to the light muonic atoms decay rate. Phys. Lett. A 235 (1997) 375-378.

[27] U. Jentschura, G. Soff, V. G. Ivanov and S. G. Karshenboim. The theory of the decay and spectrum of the bound system Phys. Rev. A56 (1997) 4483-4495.

[28] S. G. Karshenboim. Comments to On the accuracy of Lamb shift measurements in hydrogen (Phys. Scripta 55 (1997) 3340) by V. G. Palchikov, Yu. L. Sokolov, and V. P. Yakovlev, Phys. Scripta 57 (1998) 213-214.

[29] С. Г. Каршенбойм, В. Г. Иванов, У. Д. Йентшура, Г. Зофф. Связанные состояния системы мюон-антимюон: времена жизни и сверхтонкое расщепление. ЖЭТФ 113 (1998) 409-432.

[30] S. G. Karshenboim. What do we actually know on the proton radius? MPQ report N. 230 (1998), 24 p.

[31] K. Pachucki and S. G. Karshenboim. Complete result for positro-nium energy levels at order a6m. Phys. Rev. Lett. 80 (1998) 2101-2104.

[32] S. G. Karshenboim, U. Jentschura, V. G. Ivanov and G. Soff. Next-to-leading and higher order corrections to the decay rate of dimuonium. Phys. Lett. B424 (1998) 397-404.

[33] S. G. Karshenboim. Some analytic results on the Uehling correction in a muonic atom. Can. J. Phys. 76 (1998) 168-171.

[34] U. Jentschura, G. Soff, V. G. Ivanov and S. G. Karshenboim. Wave function correction to the decay of pionium and heavy fermionium. Phys. Lett. A241 (1998) 351-356.

[35] Л. Д. Ландау, E. M. Лифшиц. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. Наука, М. (1974).

[36] В. Б. Берестецкий, Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский. Квантовая электродинамика. Наука, М., 1980.

[37] Е. U. Condon and G. Н. Shortley. The Theory of Atomic Spectra. Cambridge Univ. Press., 1953; Перевод: E. Кондон, Г. Шорт ли. Теория атомных спектров. ИЛ, М., 1949.

[38] Л. Д. Ландау, А. А. Абрикосов, И. М. Халатников. Асимптотическое выражение для гриновской функции электрона в квантовой электродинамике. ДАН СССР 95 (1954) 773-776.

[39] L. D. Landau, A. A. Abrikosov and I. М. Khalatnikov. On the quantum theory of fields. Nuovo Cim. Suppl. 3 (1956) 80-104.

[40] А. А. Абрикосов. Об инфракрасной катастрофе в квантовой электродинамике. ЖЭТФ 30, 96 (1956).

[41] Л. П. Горьков. Функции Грина заряженных частиц в области "инфракрасной катастрофы". ЖЭТФ 30 (1956) 790-791.

[42] Н. М. Fried and D. R. Yennie. New Techniques in Lamb Shift Calculation. Phys. Rev. 112, 1391 (1958).

[43] M. А. Браун. О градиентной инвариантности и инфракрасных особенностях фукнции Грина электрона. Вестник ЛГУ 22 (1968) 19-24.

[44] J. Tomozawa. Note on the Fried-Yennie gauge. Ann. Phys. 128 (1980) 491-500.

[45] С. Г. Каршенбойм, В. А. Шелюто, M. И. Эйдес. Однопетлевые перенормировки и свойства радиационных поправок в калибровке Фрида-Йенни. Яд. физика 47 (1988) 454-463.

[46] М. I. Eides, S. G. Karshenboim and V. A. Shelyuto. Analytic calculation of radiative-recoil corrections to muonium hyperfine splitting: electron-line contribution. Ann. Phys. 205 (1991) 231 290.

[47] G. S. Adkins. Fried-Yennie gauge in dimensionally regularized QED. Phys. Rev. D47 (1993) 3647-3650.

[48] G. S. Adkins, M. Lymberopoulos and D. D. Velkov. One-loop vertex function in Yennie gauge. Phys. Rev. D50 (1994) 41944200.

[49] F. Urrutia. The Photon propagator in a class of gauges in quantum electrodynamics. Lett. Nuovo Cim. 5 (1972) 788-792.

[50] K. Johnson, M. Baker and R. Willey. Quantum Electrodynamics. Phys. Rev. Lett. 11 (1963) 518-520.

[51] M. Baker and K. Johnson. Asymptotic form of the electron propagator and the self-mass of the electron. Phys. Rev. Lett. 11 (1963) 518-520.

[52] G. S. Adkins. One-loop renormalization in Coulomb-gauge QED. Phys. Rev. D27 (1983) 1814-1820.

[53] G. S. Adkins. One-loop vertex function in Coulomb-gauge QED. Phys. Rev. D34 (1986) 2489-2492.

[54] G. S. Adkins. Feynman rules of Coulomb-gauge QED and the electron magnetic moment. Phys. Rev. D36 (1987) 1929-1932.

[55] G. S. Adkins, P. M. Mitrikov and R. N. Fell. Two-loop renormalization in Coulomb gauge QED. Phys. Rev. D78 (1997) 9-12.

[56] В. А. Шелюто. Однопетлевые радиационные поправки в калибровке с улучшенными инфракрасными и ультрафиолетовыми свойствами. ЖЭТФ 111 (1996) 1153-1167.

[57] I. В. Khriplovich and A. S. Yelkhovsky. On the radiative corrections a2 In a to the positronium decay. Phys. Lett. B246 (1990) 520-522.

[58] I. B. Khriplovich, A. I. Milstein and A. S. Yelkhovsky. Logarithmic corrections in the two-body QED problem. Phys. Scripta T46 (1993) 252-260.

[59] Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Наука, М., 1971.

[60] L. Hostler and R. Н. Pratt. Coulomb Greeen's function in closed form. Phys. Rev. Lett. 10 (1963) 469-470.

[61] L. Hostler. Coulomb Greeen's functions and the Furry approximation. J. Math. Phys. 5 (1964) 591-611.

[62] С. А. Запрягаев, H. Л. Манаков, В. Г. Пальчиков. Теория многозарядных ионов с одним и двумя электронами. Энергоатом-издат, М., 1985.

[63] H. JI. Манаков, А. А. Некипелов, А.Г. Файнштейн. Поляризация вакуума сильным кулоновским полем и ее вклад в спектры многозарядных ионов. ЖЭТФ 95 (1989) 1167-1177.

[64] В. М. Шабаев. Сверхтонкая структура и изотопический сдвиг уровней одноэлектронных ионов с произвольным зарядом ядра. Опт. и спектр. 56 (1984) 397-401.

[65] V. М. Shabaev. Finite nuclear size corrections to the energy levels of the multicharged ions. J. Phys. B26 (1993) 1103-1108.

[66] V. Kose, H. Rinneberg, G.-D. Willenberg and H. Bachmair. A novel method for the determination of the fine structure constant based on Rydberg atoms. Europ. Sci. Metrol. Conf. " 150th Anniversary of D. I. Mendeleev Institute for Metrology". Abstracts. St. Petersburg, 1992, 18.

[67] M. G. Littman and W. D. Phillips. A new method for measuring the fine structure constant using Stark spectroscopy. In "Prec. Meas. Fund. Const. IF', ed. B. N. Taylor and W. D. Phillips. NBS Spec. Publ. 6 17 (1984) 173-176.

[68] Ю. Л. Соколов, В. П. Яковлев. Измерение лэмбовского сдвига в атоме водорода (п = 2). ЖЭТФ 83 (1982) 15-32.

[69] G. W. F. Drake, J. Kwela and A. van Wijngaaraen. He+ 2p state lifetime by a quenching-asymmetry measurement. Phys. Rev. A46 (1982) 113-124.

[70] M. А. Браун, А. Д. Гурчумелия, У. И. Сафронова. Релятивистская теория атома. Наука, М., 1984.

[71] G. Feinberg and J. Sucher. Calculation of the decay rate for 235i -> 1350 one photon in helium. Phys. Rev. Lett. 26 (1971) 681-684.

[72] G. W. F. Drake. Leading radiative correction to the magnetic dipole transition probability. Phys. Rev. A9 (1974) 2799-2801.

[73] R. Barbieri and J. Sucher. General theory of radiative corrections to atomic decay rates. Nucl. Phys. B134 (1978) 155-164.

[74] E. J. Kelsey. Quantum electrodynamic correction to the 2Si/2 2pi/2+ one photon transition rate in helium and heliumlike ions. Ann. Phys. 98 (1976) 462-489.

[75] E. J. Kelsey. The 2si/2 —> 2Pi/2+ one photon transition in hydrogen and hydrogenlike ions. Phys. Rev. A15 (1977) 647-650.

[76] В. Г. Пальчиков, Ю. JI. Соколов, В. П. Яковлев. Время жизни 2р-состояния и лэмбовский сдвиг в атоме водорода. Письма в ЖЭТФ 38 (1983) 347-349.

[77] V. G. PaFchikov, Yu. L. Sokolov, V. P. Yakovlev. Measurement of the Lamb shift in H, n = 2. Metrologia 21 (1985) 99-105.

[78] V. G. Palchikov, Yu. L. Sokolov, and V. P. Yakovlev. On the accuracy of Lamb shift measurements in hydrogen. Phys. Script a, 55 (1997) 33-40.

[79] H. A. Bethe. Quantenmechanik der Ein- und Zwei-Eleetronprob-leme. Springer-Verlag, Berlin (1933); Перевод: Г. Бете. Квантовая механика простейших систем. ОНТИ, М., 1935.

[80] Н. A. Bethe and Е. Е. Salpeter. Quantum Mechanics of One- and Two-Electron Atoms. Springer-Verlag, Berlin, 1957; Перевод: Г. Бете, Э. Солпитер. Квантовая механика атомов и молекул с одним и двумя электронами. Изд. физ.-мат. лит., М., 1960.

[81] W. J. Karzas and R. Latter. Electron radiative transiitons in a Coulomb field. Astrophys. J. Suppl. Ser. 6 (1961) 167-212.

[82] J. C. Garreau, M. Allegrini, L. Julien and F. Biraben. High resolution spectroscopy of the hydrogen atom. II. Study of line profile. J. Phys. France 51 (1990) 2275-2292.

W. Gordon. Zur Berechnung der Matrizen beim Wasserstoffatom. Ann. d. Phys. 5 (1929) 1031-1056.

L. Hostler. Coulomb Greeen's function in /-dimentional space. J. Math. Phys. 11 (1970) 2966-2970.

П. П. Павинский, А. И. Шерстюк,. Уровни энергии многозарядных ионов на основе водородоподобной модели. Вестник ЛГУ, 22 (1968) 11-19.

С. В. Христенко, С. И. Ветчинкин. Асимптотические разложения в теории возмущений по 1 ¡Z для вероятностей резонансных переходов в атомах. Опт. и спектр. 31 (1971) 503-509.

Б. А. Запрягаев, Н. Л. Манаков, Л. П. Раппопорт. Кулонов-ские функции Грина в ^-представлении и релятивистская поляризуемость водородоподобного атома. Яд. физика 15 (1972) 508-517.

Э. Т. Уиттекер, Дж. Н. Ватсон. Курс современного анализа, т. 2. Физматгиз, М., 1963.

К. Pachucki. Radiative correction to the electron charge density in the hydrogen atom. Phys. Rev. A48 (1993) 120-128.

Z. Fried and A. D. Martin. Center-of-mass effect on electromagnetic transition rates in mesic atoms. Nuovo Cim. 29 (1963) 574575.

R. Bacher. Decay rates of the metastable states of one-electron atoms and of the 25-states of muonic atoms. Z. Phys. 315 (1984) 135-136.

E. E. Salpeter. Mass corrections to the fine structure of hydrogenlike atoms. Phys. Rev. 87 (1952) 328-343.

T. Fulton and P. C. Martin. Two-body system in quantum electrodynamics. Energy levels of positronium. Phys. Rev. 95 (1954) 811-822.

[94] D. L. Lin and G. Feinberg. Radiative corrections to relativists magnetic-dipole decays of hydrogenlike ions. Phys. Rev. A10 (1974) 1425-1429.

[95] P. J. Mohr. Self-energy correction to one-electron energy levels in a strong Coulomb field. Phys. Rev. A46 (1992) 4421-4424.

[96] W. E. Lamb and R. C. Retherford. Fine structure of the hydrogen atom. Part I. Phys. Rev. 79 (1950) 549-572.

[97] W. E. Lamb and R. C. Retherford. Fine structure of the hydrogen atom. Part II. Phys. Rev. 81 (1951) 222-232.

[98] W. E. Lamb. Fine structure of the hydrogen atom. III. Phys. Rev. 85 (1952) 259-276.

[99] W. E. Lamb and R. C. Retherford. Fine structure of the hydrogen atom. IV. Phys. Rev. 86 (1952) 1014-1022.

[100] S. Triebwasser, E. S. Dayhoff and W. E. Lamb. Fine structure of the hydrogen atom. V. Phys. Rev. 89 (1953) 98-106.

[101] E. S. Dayhoff, S. Triebwasser and W. E. Lamb. Fine Structure of the Hydrogen atom. VI. Phys. Rev. 89 (1953) 106-115.

[102] R. T. Robiscoe. Observation of level crossing in H, n = 2. Phys. Rev. 138 (1965) A22-A34.

[103] R. T. Robiscoe and B. L. Cosens. Remeasurement of the Lamb shift in H, n = 2. Phys. Rev. Lett. 17 (1966) 69-72.

[104] R. T. Robiscoe. Reconciliation of experimental Lamb shifts. Phys. Rev. 168 (1968) 4-11.

[105] R. T. Robiscoe and T. W. Shyn. Kinematic corrections to atomic beam experiments. Phys. Rev. Lett. 24 (1970) 559-562.

[106] D. A. Andrews and G. Newton. Observation of radio-frequency three quantum resonances for the 2251/2 — 22PL/2 (Lamb shift) transition in atomic hydrogen. Phys. Lett. A57 (1976) 417-418.

[107] D. A. Andrews and G. Newton. Radio-frequency atomic beam measurement of the (2251/2,F = 0) - (22P1/2, F = 1) Lamb-shift interval in hydrogen. Phys. Rev. Lett. 37 (1976) 1254-1257.

[108] D. A. Andrews, G. Newton and R. Golub. Some estimates of the proton charge radius from measurements of the Lamb-shift interval in hydrogen. J. Phys. G3 (1977) L91-L92.

[109] D. A. Andrews and G. Newton. Corrections to microwave atomic-beam experiments due to standing waves. J. Phys. Bll (1978) 975-978.

[110] G. Newton, D. A. Andrews and P. J. Unsworth. A precision determination of the Lamb shift in hydrogen. Philos. Trans. Roy. Soc. London 290 (1979) 373-404.

[111] Ю. Jl. Соколов. Интерференция 2pi/2-состояния атома водорода. ЖЭТФ 63 (1972) 461-476.

[112] S. R. Lundeen and F. M. Pipkin. Separated-oscillatory-fields measurement of the Lamb shift in H, n —2. Phys. Rev. Lett. 34 (1975) 1368-1370.

[113] S. R. Lundeen and F. M. Pipkin. Measurement of the Lamb shift in hydrogen, n =2. Phys. Rev. Lett. 46 (1981) 232-235.

[114] S. R. Lundeen and F. M. Pipkin. Separated oscillatory field measurement of the Lamb shift in H, n =2. Metrologia 22 (1986) 9-54.

[115] A. van Wijngaarden, F. Holuj and G. W. F. Drake. Lamb shift measurement in hydrogen by the anisotropy method. Can. J. Phys. 76 (1998) 95-103.

[116] S. L. Kaufman, W. E. Lamb, Jr., K. R. Lea and M. Leventhal. Measurement of the 22Si/2 — 22Рз/2 interval in atomic hydrogen. Phys. Rev. Lett. 22 (1969) 507-509.

[117] T. W. Shyn, W. L. Williams, R. T. Robiscoe and T. Rebane. Experimental value of AЕн — in hydrogen. Phys. Rev. Lett. 22 (1969) 1273-1275.

[118] T. W. Shyn, T. Rebane, R. T. Robiscoe and W. L. Williams. Measurement of the 225^2 — 22P3/2 energy separation AE — S in hydrogen (n = 2). Phys. Rev. A3 (1971) 116-122.

[119] B. L. Gosens and T. V. Vorburger. Remeasurement of AE — S in Atomic hydrogen. Phys. Rev. Lett. 23 (1969) 1273-1275.

[120] B. L. Cosens and T. V. Vorburger. Remeasurement of the 225i/2 — 22P\ß splitting in atomic hydrogen. Phys. Rev. A2 (1970) 16-26.

[121] E. W. Hagley and F. M. Pipkin. Separated Oscillatory Field Measurement of Hydrogen 25i/2—2P3//2 Fine Structure Interval. Phys. Rev. Lett. 72 (1994) 1172-1175.

[122] K. A. Safinya, К. K. Chan, S. R. Lundeen and F. M. Pipkin. Measurement of the 22Рз/2 — 22Si/2 fine-structure interval in atomic hydrogen. Phys. Rev. Lett. 45 (1980) 1934-1937.

[123] В. С. Летохов, В. П. Чеботаев. Нелинейная лазерная спектроскопия сверхвысокого разрешения. Наука, М., 1990.

[124] T. Andreae, W. König, R. Wynands, D. Leibfried, F. Schmidt-Kaier, С. Zimmermann, D. Meschede and T. W. Hänsch. Absolute frequency measurement of the hydrogen 15 — 25 transition and a new value of the Rydberg constant. Phys. Rev. Lett. 69 (1992) 1923-1926.

[125] F. Schmiat-Kaler, D. Leibfried, S. Seel, С. Zimmermann, W. König, M. Weitz and T. W. Hänsch. High-resolution spectroscopy of the 15 — 25 transition of atomic hydrogen and deuterium. Phys. Rev. A 51 (1995) 2789-2800.

[126] Th. Udem, A. Huber, B. Gross, J. Reichert, M. Prevedelli, M. Weitz and T. W. Hänsch. Phase-coherent measurement of the

hydrogen 15 — 25 transition frequency with an optical frequency interval divider Chain. Phys. Rev. Lett. 79 (1997) 2646-2650.

[127] F. Nez, M. D. Plimmer, S. Bourzeix, L. Julien, F. Biraben, R. Felder, 0. Acef, J. J. Zondy, P. Laurent, A. Clairon, M. Abed, Y. Millerioux and P. Juncar. Precise Frequency Measurement of the 2S—SS/SD Transitions in Atomic Hydrogen: New Determination of the Rydberg Constant. Phys. Rev. Lett. 69 (1992) 2326-2329.

[128] F. Nez, M. D. Plimmer, S. Bourzeix, L. Julien, F. Biraben, R. Felder, Y. Millerioux and P. De Natale. First pure frequency measurement of an optical transition in atomic hydrogen: Better détermination of the Rydberg constant. Europhys. Lett. 24 (1993) 635-640.

[129] F. Nez, M. D. Plimmer, S. Bourzeix, L. Julien, F. Biraben, R. Felder, Y. Millerioux arid P. De Natale. Determination of the Rydberg constant by direct frequency measurement. IEEE Trans. IM-44 (1995) 568-571.

[130] R. G. Beauvoir, F. Nez, L. Jullien, В. Cagnac, F. Bireben, D. Touahri, L. Hilico, 0. Acef, A. Clairon and J. J. Zondy. Absolute frequency measurement of the 25 — 85/D transitions in hydrogen and deuterium: new determination of the Rydberg constant. Phys. Rev. Lett. 78 (1997) 440-443.

[131] E. V. Baklanov and V. P. Chebotaev. On the precise measurement of the frequency transition 15 — 25 of the hydrogen atom. Opt. Comm. 12 (1974) 312-314.

[132] E. В. Бакланов, В. П. Чеботаев. О постановке прецизионных физических экспериментов в оптике. УФН 122 (1977) 513-524.

[133] M. Weitz, F. Schmidt-Kaler, and T. W. Hânsch. Precision optical Lamb shift measurement in atomic hydrogen. Phys. Rev. Lett. 68 (1992) 1120-1123.

[134] M. Weitz, A. Huber, F. Schmidt-Kaler, D. Leibfried, and T. W. Hansch. Precision measurement of the hydrogen and deuterium 15 ground state Lamb shift. Phys. Rev. Lett. 72 (1994) 328-331.

[135] M. Weitz, A. Huber, F. Schmidt-Kaler, D. Leibfried, W. Vassen, C. Zimmermann, K. Paehuchi, T. W. Hansch, L. Julien and F. Biraben. Precision measurement of the 15 ground state Lamb shift in atomic hydrogen and deuterium by frequency comparison. Phys. Rev. A 52 (1995) 2664-2681.

[136] D. J. Berkeiand, E. A. Hinds and M. G. Boshier. Precise optic measurement of Lamb shift in atomic hydrogen. Phys. Rev. Lett. 75 (1995) 2470-2473.

[137] S. Bourzeix, B. de Beauvoir, F. Nez, M. D. Plimmer, F. de Tornasi, L. Julien, F. Biraben and D. N. Stacey. High resolution spectroscopy of the hydrogen atom: determination of the 15 Lamb shift. Phys. Rev. Lett. 76 (1996) 384-387.

[138] T. W. Hansch, S. A. Lee, R. Wallenstein and C. Wieman. Doppler-Free Two-Photon Spectroscopy of Hydrogen 15 — 25. Phys. Rev. Lett. 34 (1975) 307-309.

[139] E. A. Hildum, U. Boesl, D. H. Mclntyre, R. G. Beausoleil and T. W. Hansch. Measurement of 15 — 25 Frequency in Atomic Hydrogen. Phys. Rev. Lett. 56 (1986) 576-579.

[140] J. R. M. Barr, J. M. Girkin, J. M. Tolchard and A. I. Ferguson. Inteferometric measurements of 1 5i/2 —25^2 transition frequency in atomic hydrogen. Phys. Rev. Lett. 56 (1986) 580-583.

[141] R. G. Beausoleil, D. H. Mclntyre, C. J. Foot, E. A. Hildum, B. Couillaud and T. W. Hansch. Continuous-wave measurement of the 15 Lamb shift in atomic hydrogen. Phys. Rev. A 35 (1987) 4878-4881.

[142] D. H. Mclntyre, R. G. Beausoleil, C. J. Foot, E. A. Hildum, B. Couillaud and T. W. Hansch. Continuous-wave measurement of the hydrogen 15 — 25 transition frequency. Phys. Rev. A39 (1989) 4591-4598.

[143] M. G. Boshier, P. E. G. Baird, C. J. Foot, E. A. Hinds, M. D. Plim-irier, D. N. Stacey, J. B. Swan, D. A. Tate, D. M. Warrington and G. K. Woodgate. Precision spectroscopy of hydrogen and deuterium. Nature 330 (1987) 463-465

[144] M. G. Boshier, P. E. G. Baird, C. J. Foot, E. A. Hinds, M. D. Piimmer, D. N. Stacey, J. B. Swan, D. A. Tate, D. M. Warrington abd G. K. Woodgate. Laser spectroscopy of the 15—25 transition in hydrogen and deuterium: Determination of the 15 Lamb shift and the Rydberg constant. Phys. Rev. A40 (1989) 6169-6184.

[145] J. Sapirstein and D. R. Yennie. Theory of hydrogenic bound state. In "Quantum Electrodynamics", ed. by T. Kinoshita, World Sci., Singapore, 1990, 560-672.

[146] P. J. Mohr. Self-energy radiative correction hydrogen-like systems. Ann. Phys. 88 (1974) 26-51.

[147] P. J. Mohr. Numerical evaluation of the 15i/2~state radiative level shift. Ann. Phys. 88 (1974) 52-87.

[148] P. J. Mohr. Lamb shift in a strong Coulomb potential. Phys. Rev. Lett. 34 (1975) 1050-1052.

[149] P. J. Mohr. Self-energy of the n = 2 in a strong Coulomb field. Phys. Rev. A26 (1982) 2338-2354.

[150] G. W. Erickson. Improved Lamb-shift calculation for all of Z. Phys. Rev. Lett. 27 (1971) 780-783.

[151] G. Wr. Erickson. Energy levels of one-electron atoms. J. Phys. Chem. Ref. Data 6 (1977) 831-869.

[152] J. Sapirstein. Higher-order binding corrections to the Lamb shift. Phys. Rev. Lett. 47 (1981) 1723-1725.

[153] K. Pachucki. Analytical evaluation of higher-order binding corrections to the Lamb shift. Phys. Rev. A46 (1992) 648-651.

[154] K. Pachucki. Higher-order binding corrections to the Lamb shift. Ann. Phys. 226 (1993) 1-87.

[155] L. Hand, D. I. Miller and R. Willson. Electric and Magnetic Form Factors of the Nucléon. Rev. Mod. Phys. 35 (1963) 335-349.

[156] G. G. Simon, Ch. Schmitt, F. Borkowski and V. H. Wather. Absolute Electron-Proton Cross Sections at Low Momentum Transfer Measured with a High Pressure Gas Target System. Nucl. Phys. A333 (1980) 381-391.

[157] J. Bhatt and H. Grotch. Recoil contribution to the Lamb shift in the external-field approximation. Phys. Rev. A31 (1985) 27942805.

[158] J. Bhatt and H. Grotch. Proton recoil and level shifts. Phys. Rev. Lett. 58 (1987) 471-474.

[159] J. Bhatt and H. Grotch. Radiative-recoil contributions to the Lamb shift. Ann. Phys. 178 (1987) 1-47.

[160] K. Pachucki. Radiative recoil corrections to the Lamb shift. Phys. Rev. A52 (1995) 1079-1085.

[161] G. W. Erickson and H.Grotch. Lamb-shift recoil effects in hydrogen. Phys. Rev. Lett. 60 (1988) 2611-2613.

[162] A. Doncheski, H. Grotch and D. Owen. Pure recoil corrections to the Lamb shift in hydrogenic atoms. Phys. Rev. A43 (1991) 2152-2170.

[163] R. N. Fell, I. B. Khriplovich, A. I. Milstein and A. S. Yelkhovsky. On the reeoil correction in hydrogen. Phys. Lett. A181 (1994) 172-174.

[164] K. Pachucki and H. Grotch. Pure recoil corrections to hydrogen energy levels. Phys. Rev. A51 (1995) 1854-1862.

[165] M. I. Eides and H. Grotch. Recoil corrections of order (Za)Q(m/M)m to the hydrogen energy levels recalculated. Phys. Rev. A55 (1997) 3351-3360.

[166] A. N. Artemyev, V. M. Shabaev and V. A. Yerokhin. Relativistic nuclear recoil corrections to the energy levels of multicharged ions. Phys. Rev. A52 (1995) 1884-1894.

[167] А. С. Елховский. Поправки порядка (Za)4(m/M)R00 к уровням энергии атома водорода. ЖЭТФ 110 (1996) 431-442.

[168] A. S. Yelkhovsky. Recoil corrections to hydrogen energy levels: A revision. "29th E.G.A.S." Conference. Abstracts. Berlin, 1997, 439.

[169] R. Mills and N. Kroll. Fourth-order radiative corrections to atomic energy levels. II. Phys. Rev. 98 (1955) 1489-1500.

[170] M. I. Eides, S. G. Karshenboim and V. A. Shelyuto. First corrections to hyperfine splitting and Lamb shift induced by diagrams with two external photons and second order radiative insertions in the electron line. Яд. физика 57 (1994) 1309-1325.

[171] H. A. Bethe. The electromagnetic shift of energy levels. Phys. Rev. 72 (1947) 339-341.

[172] L. N. Labzovsky and A. O. Mitrushenkov. Renormalization of the second-order self-energy for a tightly bound atomic electron. Phys. Lett. A198 (1994) 333-340.

[173] Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика. Наука, М., 1969.

[174] I. Lindgren, Н. Persson, S. Salomonson, V. Karasiev, L. Lab-zovsky, A. Mitrushenkov arid M. Tokinan. Second-order QED corrections for few-electron heavy ions: reducible Breit Coulomb correction and mixed self-energy-vacuum polarization correction. J. Phys. B26 (1993) L503-L509.

[175] M. I. Eides and H. Grotch. An a2(Za)5m correction to the Lamb shift from radiative factor and Coulomb line polarization. Phys. Lett. B301 (1993) 127-130.

[176] K. Pachucki. Contributions to the binding, two-loop corrections to the Lamb shift. Phys. Rev. A48 (1993) 2609-2614.

[177] K. Pachucki. Complete two-loop binding corrections to the Lamb shift. Phys. Rev. Lett. 72 (1994) 3154-3157.

[178] M. I. Eides, S. G. Karshenboim and V. A. Shelyuto. First corrections of order a2(Za)5 to hyperfine splitting and Lamb shift induced by two-loop insertions in the electron line. Phys. Lett. B312 (1993) 358-366.

[179] M. I. Eides and V. A. Shelyuto. New corrections to hyperfine splitting and Lamb shift the value of the Rydberg constant. Письма в ЖЭТФ 61 (1995) 465-470.

[180] M. I. Eides and V. A. Shelyuto. Corrections of the order a2(Zaf to hyperfine splitting and Lamb shift. Phys. Rev. A52 (1995) 954-961.

[181] E. A. Uehiing. Polarization effects in the positron theory. Phys. Rev. 48 (1935) 55-63.

[182] E. H. Wichmann and N. M. Kroll. Vacuum polarization in a strong Coulomb field. Phys. Rev. 101 (1956) 843-859.

[183] К. Pachucki, D. Leibfried, M. Weitz, A. Huber, W. König and T. W. Hänsch. Theory of the energy levels and two-photon spectroscopy of atomic hydrogen and deuterium. J. Phys. В 29 (1996) 177-195; Corrigendum, 1573.

[184] P. J. Möhr and Y.-K. Kim. Self-energy of excited states in a strong Coulomb field. Phys. Rev. A45 (1992) 2727-2735.

[185] G. W. Erickson and D. R. Yennie. Radiative level shifts, I. Formulation and lowest order Lamb shift. Ann. Phys. 35 (1965) 271-313.

[186] G. W. Erickson and D. R. Yennie. Radiative level shifts II: Higher order contributions to the Lamb shift. Ann. Phys. 35 (1965) 447510.

[187] S. Klarsfeld and A. Maquet. Bethe sums for Lamb shift calculations in higher excited states. Phys. Lett. B43 (1973) 201-203.

[188] G. W. F. Drake and R. A. Swainson. Bethe logarithms for hydrogen up to n = 20, and approximations for two-electron atoms. Phys. Rev. A41 (1990) 1243.

[189] J. L. Friar. Nuclear finite-size effects in light muonic atoms. Ann. Phys. (N.Y.) 122 (1979) 151-196.

[190] P. Mergell, U. G. Meissner and D. Drechsel. Dispersion-theoretical analysis of the nucleón electromagnetic form factor. Nucl. Phys. A596 (1996) 367-396.

[191] E. А. Голосов, И. Б. Хриплович, А. И. Мильштейн, А. С. Ел-ховский. Поправки порядка a4(m/M)R00 к р-уровням водорода. ЖЭТФ 107 (1995) 393-400.

[192] К. Pachucki. Nuclear recoil effects in atomic spectra. In "Laser Spectroscopy XII International Conference". Ed. by M. Inguscio, M. Allegrini and A. Sasso. World Sei., Singapore, 1996, 103-104.

[193] A. N. Artemyev, V. M. Shabaev and V. A. Yerokhin. Nuclear recoil corrections to the energy levels of of hydrogenlike and high-Z lithiumlike atoms in all orders of aZ. J. Phys. B28 (1995) 5201-5206.

[194] W. A. Barker and F. N. Glover. Reduction of relativistic two-particle wave equations to approximate forms. III. Phys. Rev. 99 (1955) 317-324.

[195] U. D. Jentschura and K. Pachucki. Higher-order binding corrections to the Lamb shift of 2P states. Phys. Rev. A54 (1996) 1853-1861.

[196] U. D. Jentschura, G. Soif and P. J. Moh. Lamb shift of 3P and 4P states and the determination of a. Phys. Rev. A56 (1997) 1739-1755.

[197] E. A. Hinds. Radiofrequency Spectroscopy. In "The Spectrum of Atomic Hydrogen: Advances." Ed. by. G. W. Series. World Sci., Singapore, 1988, 243-292.

[198] M. I. Eides, S. G. Karshenboim and V. A. Shelyuto. Corrections to the hyperfine splitting and Lamb shift induced by diagrams with second-order radiative insertions in the electron line. IEEE Trans. IM-44 (1995) 481-483.

[199] M. I. Eides, H. Grotch and P. Pebler. a2(Za)hm contribution to the Lamb shift from virtual light-by-light scattering. Phys. Rev. A50 (1994) 144-170.

[200] T. Draper, R. M. Woloshin, and K.-F. Liu. Electromagnetic Properties of Nucléons from Lattice QCD. Phys. Lett. B234 (1990) 121-126.

[201] D. B. Leinweber and T. D. Cohen. Chiral corrections to lattice calculations of charge radii. Phys. Rev. D47 (1993) 2147.

[202] P. Lehmann, R. Taylor and R. Wilson. Electron-proton scattering at low momentum transfers. Phys. Rev. 126 (1962) 1183-1188.

[203] B. Dudelzak, G. Sauvage and P. Lehmann. Measurement of the form factors of the proton ar momentum transfers q2 < 2 fermi-2. Nuovo Cim. XXVIII (1963) 18-24.

[204] J. J. Murphy, II, Y. M. Shin and D. M. Skopik. Proton form factor from 0.15 to 0.79"2. Phys. Rev. C9 (1974) 2125-2129.

[205] Ch. W. Wong. Deuteron Radius and Nuclear Forces in Free Space. Int. J. Mod. Phys. 3 (1994) 821-907.

[206] W. E. Lamb and M. Skinner. The fine structure of singly ionized helium. Phys. Rev. 78 (1950) 539-550.

[207] B. L. Cosens. Remeasurement of the Lamb shift in D, n = 2. Phys. Rev. 173 (1968) 49-55.

[208] F. Schmidt-Kaler, D. Leibfried, M. Weitz and T. W. Hansch. Precision measurement of the isotope shift of the 15 — 25 transition of atomic hydrogen and deuterium. Phys. Rev. Lett. 70 (1993) 2261-2264.

[209] A. Huber, Th. Udem, B. Gross, J. Reichert, M. Kourogi, K. Pachucki, M. Weitz and T. W. Hansch. Hydrogen-Deuterium 15 — 25 Isotope Shift and the Structure of the Deutron. Phys. Rev. Lett, xx (1998) xxx.

[210] A. van Wijngaarden, J. Kwela and G. W. F. Drake. Measurement of the n = 2 Lamb shift in He+ by the anysotropy method. Phys. Rev. A43 (1991) 3325-3342.

[211] C. J. Oram, J. M. Bailey, P. W. Schmor, C. A. Fry, R. F. Kiefl, J. B. Warren, G. M. Marshall and A. Olin. Measurement of the Lamb shift in muonium. Phys. Rev. Lett. 52 (1984) 910-913.

[212] K. A. Woodle, A. Badertscher, V. W. Hughes, D. C. Lu, M. W. Ritter, M. Gladisch, H. Orth, G. zu Putlitz, M. Eckhause, J. Kane and F. G. Mariam. Measurement of the Lamb shift in the n — 2 state of muonium. Phys. Rev. A41 (1990) 93-105.

[213] G. Breit. Possible effects of nuclear spin on X-ray terms. Phys. Rev. 35 (1930) 1477-1451.

[214] D. E. Zwanziger. Radiative corrections to the hyperfine structure in hydrogen. Nuovo Cim. 34 (1964) 77-80.

[215] A. Layzer. New logarithmic radiative corrections to the hyperfine splitting in hydrogenic atoms. Nuovo Cim. 33 (1964) 1538-1543.

[216] S. J. Brodsky and G. W. Erickson. Radiative level shifts. III. Hyperfine structure in hydrogenic atoms. Phys. Rev. 148 (1966) 26-46.

[217] J. A. Sapirstein. a(Za)2Ep binding corrections to hyperfine splitting in hydrogen atoms. Phys. Rev. Lett. 51 (1983) 985-987.

[218] J. R. Sapirstein, E. A. Terray, D. R. Yennie. Radiative-recoil corrections to the muonium and positronium hyperfine splitting. Phys. Rev. D29 (1984) 2290-2314.

[219] S. M. Schneider, W. Greiner and G. Soff. Vacuum-polarization contribution to the hyperfiiie-structure of hydrogenlike atoms. Phys. Rev. A50 (1994) 118-122.

[220] T. Kinoshita and M. Nio. Improved theory of the muonium hyperfine structure. Phys. Rev. Lett. 72 (1994) 3803-3806.

[221] R. Karplus, A. Klein and J. Schwinger. Electrodynamic displacement of atomic energy levels. II. Lamb shift. Phys. Rev. 86 (1952) 288-301.

[222] M. Baranger, H. A. Bet he and R. P. Feynman. Relativistic corrections to the Lamb shift. Phys. Rev. 92 (1953) 482-491.

[223] N. Kroll and F. Pollock. Radiative corrections to the hyperfine structure and fine structure constant. Phys. Rev. 84 (1951) 594595.

[224] N. Kroll and F. Pollock. Second-order radiative corrections to hyperfine structure. Phys. Rev. 86 (1952) 876-888.

[225] R. Karplus, A. Klein and J. Schwinger. Electrodynamic displacement of atomic energy levels. Phys. Rev. 84 (1951) 597-598.

[226] R. Karplus and A. Klein. Electrodynamic displacement of atomic energy levels. I. Hyperfine structure. Phys. Rev. 85 (1952) 972984.

[227] K. Pachucki. a(Za)2Ep correction to hyperfine splitting in hy-drogenic atoms. Phys. Rev. A54 (1996) 1994-1998.

[228] M. Nio and T. Kinoshita. Radiative corrections to the muonium hyperfine structure. II. The a(Za)2 correction. Phys. Rev. D55 (1997) 7267-7290.

[229] S. F. Blundell, К. T. Cheng and J. Sapirstein. All-order binding corrections ot rnuoiiiurn hyperfine structure. Phys. Rev. Lett. 78 (1997) 4914-4916.

[230] H. Persson, S. M. Schneider, W. Greiner, G. Soff and I. Lind-gren. Self-energy correction to the hyperfine structure splitting oof hydrogenlike atoms. Phys. Rev. Lett. 76 (1996) 1433-1436.

[231] S. F. Blundell, К. T. Cheng and J. Sapirstein. Radiative corrections in atomic physics in the presence of perturbing potentials. Phys. Rev. A55 (1997) 1857-1865.

[232] С. Г. Каршенбойм, В. А. Шелюто, M. И. Эйдес. Новые поправки к сверхтонкому расщеплению в мюонии и водороде. Письма в ЖЭТФ 50 (1989) 3-6.

[233] M. I. Eides, S. G. Karshenboim and V. A. Sheîyuto. New contributions to muonium and hydrogen hyperfine splitting induced by vacuum polarization insertions in external photons. Phys. Lett. B229 (1989) 285-288.

[234] С. Г. Каршенбойм, В. А. Шелюто, M. И. Эйдес. Первые поправки порядка a{Za)2Ep к сверхтонкому расщеплению в мюонии и водороде. Яд. физика 49 (1989) 1636-1645.

[235] С. Г. Каршенбойм, В. А. Шелюто, М. И. Эйдес. Еще один вклад порядка a(Za)2Ep в сверхтонкое расщепление в мюонии и водороде. Письма в ЖЭТФ 50 (1990) 937-939.

[236] M. I. Eides, S. G. Karshenboim and V. A. Shelyuto. Last vacuum polarization contribution of order a2(Za)Ep to muonium and hydrogen hyperfine splitting. Phys. Lett. B249 (1990) 519-522.

[237] M. I. Eides, S. G. Karshenboim and V. A. Shelyuto. Purely radiative contribution to muonium and hydrogen hyperfine splitting induced by light by light scattering insertion in external photons. Phys. Lett. B268 (1991) 433-436.

[238] С. Г. Каршенбойм, В. А. Шелюто, M. И. Эйдес. Вклад диаграмм рассеяния света на свете в сверхтонкое расщепление в мюонии и водороде. Яд. физика 55 (1992) 466-474.

[239] T. Kinoshita and M. Nio. Radiative corrections to the muonium hyperfine structure: The a2(Za) correction. Phys. Rev. D53 (1996) 4909-4929.

[240] R. Arnowitt. The hyperfine structure of hydrogen. Phys. Rev. 92 (1953) 1002-1009.

[241] W. A. Newcomb and E. E. Salpeter. Mass corrections to the hyperfine structure in hydrogen. Phys. Rev. 97 (1955) 1146-1158.

[242] G. P. Lepage. Analytic Bound State Solutions in Relativistic two Body Formalism with Applications in Muonium and Positronium Phys. Rev. A16 (1977) 863-875.

[243] G. T. Bodwin, D. R. Yennie and M. Gregorio. Corrections to the muonium hyperfine splitting of order a6(m3/m2) ln(m^/me). Phys. Rev. Lett. 41 (1978) 1088-1091.

[244] W. E. Caswell and G. P. Lepage. New theoretical prediction of the ground-state hyperfine splitting in muonium. Phys. Rev. Lett. 41 (1978) 1092-1094.

[245] G. T. Bodwin, D. R. Yennie, and M. Gregorio. Corrections to the muonium hyperfine splitting of relative order a2(me/mPhys. Rev. Lett. 48 (1982) 1799-1802.

[246] G. T. Bodwin, D. R. Yennie and M. A. Gregorio. Recoil effects in the hyperfine structure of QED bound states. Rev. Mod. Phys. 57 (1985) 723-782.

[247] E. A. Terray and D. R. Yennie. Radiative-recoil corrections to the muonium hyperfine splitting. Phys. Rev. Lett. 48 (1982) 18031807.

[248] J. A. Sapirstein, E. A. Terray and D. R. Yennie. Corrections to muonium and positronium hyperfine splitting. Phys. Rev. Lett. 51 (1983) 982-984.

[249] M. I. Eides, S. G. Karshenboim and V. A. Shelyuto. Analytical calculation of the electron-line radiative-recoil corrections to muonium hyperfine splitting. Phys. Lett. B177 (1986) 425-428.

[250] С. Г. Каршенбойм, В. А. Шелюто, M. И. Эйдес. Аналитические результаты для радиационных поправок в мюонии. ЖЭТФ 92 (1987) 1188-1200.

[251] V. Yu. Brook, M. I. Eides, S. G. Karshenboim and V. A. She-lyuto. Fried-Yennie gauge recalculation of the electron-line induced radiative-recoil corrections to muonium hyperfine splitting. Phys. Lett. B216 (1989) 401-404.

[252] С. Г. Каршенбойм, В. А. Шелюто, M. И. Эйдес. Полные аналитические результаты для радиационных поправок к отдаче в сверхтонком расщеплении основного состояния мюо-ния. ЖЭТФ 94 (1988) 42-50.

[253] M. I. Eides, S. G. Karshenboim and V. A. Shelyuto. All analytic radiative-recoil corrections to ground state muonium hyperfine splitting. Phys. Lett. B202 (1988) 572-574.

[254] M. I. Eides, S. G. Karshenboim and V. A. Shelyuto. Analytic calculation of radiative-recoil corrections to muonium hyperfine splitting: muon-line contribution. Ann. Phys. 205 (1991) 291308.

[255] M. I. Eides and V. A. Shelyuto. New term in muonium hyperfine splitting. Phys. Lett. B146 (1984) 241-243.

[256] M. I. Eides, S. G. Karshenboim and V. A. Shelyuto. Logarithmic terms in muonium hyperfine splitting. Phys. Lett. B216 (1989) 405-408.

[257] С. Г. Каршенбойм, В. А. Шелюто, M. И. Эйдес. Эффективный заряд и сверхтонкое расщепление в мюонии. Яд. физика 49 (1989) 493-498.

[258] M. I. Eides, H. Grotch and V. A. Shelyuto. Second order in mass ratio radiative-recoil corrections to hyperfine splitting in muonium. Preprint PSU/TH/193 (1998) 22p.

[259] А. Каримходжаев, P. H. Фаустов. Вклад адронной поляризации вакуума в сверхтонкое расщепление в мюонии. Яд. физика 53 (1991) 1012-1014.

[260] M. A. B. Beg and G. Feinberg. Exotic interactions of charged leptons. Phys. Rev. Lett. 33, (1974) 606-610; 35 (1975) 130 (E).

[261] W. Keiis, P. M. Mclntyre, J. Roehrig and V. L. Telegdi. Ramsey resonance in high field; a novel method for the measurement of hyperfine Zeeman frequencies of Muonium. Nuovo Cim. 35A (1976) 289.

[262] D. Favart, P. M. Mclntyre, D. Y. Stowell, V. L. Telegdi, R. De-Voe and R. A. Swanson. Precision experiments on muonium. II Ramsey resonance in zero field. Phys. Rev. A8 (1973) 1195-1218.

[263] D. E. Casperson, T. W. Crane, V. W. Hughes, P. A. Souder, R. D. Starribaugh, P. A. Thompson, H. Orth, G. zu Putlitz, H. F. Kaspar, H. W. Reist and A. B. Denison. A new high precision measurement of the muonium hyperfine structure interval Aza Phys. Lett. B59 (1975) 397-400.

[264] D. E. Casperson, T. W. Crane, A. B. Denison, P. O. Egan, V. W. Hughes, F. G. Mariam, H. Orth, H. W. Reist, P. A. Souder, R. D. Stambaugh, P. A. Thompson and G. zu Putlitz. New precise value for the muon magnetic moment and sensitive test of the theory of hfs interval in muonium. Phys. Rev. Lett. 38 (1977) 956-959; Erratum: 1504.

[265] F. G. Mariam, W. Beer, P. R. Bolton, P. 0. Tgan, C. J. Gardner, V. W. Hughes, D. C. Lu, P. A. Soudr, H. Orth, J. Vetter, U. Motter and G. zu Putlitz. Higher Precision measurement of the hfs interval of muonium and of the muon magnetic moment. Phys. Rev. Lett. 49 (1982) 993-996.

[266] K. Jungmann, V. Ebert, V. W. Hughes, M. Janousch, S. Kirches,, S. Knoppe, F. Maas, G. zu Putlitz, J. Rosenkranz, W. Schäfer, G. Schiff and W. Schwarz. Measurement of the muonium hyperfine structure in vacuo: a test of fundamental electromagnetic interactions. Appl. Phys. B60 (1995) S159-S164.

[267] I. Reinhard. Precision spectroscopy of the muonium hyperfine structure with the "old muonium" technique. Ph. D. Thesis. Heidelberg university (1996).

[268] M. G. Boshier, S. Dhawan, X. Fei, V. W. Hughes, M. Janousch K. Jungman, W. Liu, C. Pillai, R. Prigl, G. zu Putlitz, I. Reinhard, W. Schwarz, P. A. Souder, O. van Dyck, X. Wang, K. A. Woodle and Q. Xu. Observation of resonance line narrowing for old muonium. Phys. Rev. A52 (1995) 1948-1953.

[269] R. S. van Dyck, Jr., P. B. Schwinberg and H. G. Dehmelt. New High-Precision Comparison of Electron and Positron g Factors. Phys. Rev. Lett. 59 (1987) 26-29.

[270] T. Kinoshita. Theory of the anomalous magnetic moment of the electron. Numerical approach. In "Quantum Electrodynamics", ed. by T. Kinoshita. World Sci., Singapore, 1990, 218-321.

[271] T. Kinoshita. New value of the a3 electron anomalous magnetic moment. Phys. Rev. Lett. 75 (1995) 4728-4731.

[272] S. Laporta and E. Remiddi. The analytic value of (ge — 2) at three pools in QED. Nucl. Phys. B. (Proc. Suppl.) C51 142-147.

[273] T. Kinoshita. The fine structure constant. Rep. Prog. Phys. 59 (1996) 1459-1492.

[274] H. Grotch. Electron g factor in hydrogenic atoms. Phys. Rev. Lett. 24 (1970) 39-42.

[275] R. Faustov. Magnetic moment of the hydrogen atom. Phys. Lett. B33 (1970) 422-424.

[276] R. Faustov. Magnetic moment of relativistic composite system. Nuovo Cim. A69 (1970) 37-46.

[277] H. Grotch and R. A. Hegstrom. Hydrogenic atoms in a magnetic field. Phys. Rev. A4 (1971) 59-69.

[278] K. M. Crowe, J. F. Hague, J. E. Rothberg, A. Schenck, D. L. Williams, R. W. Williams and K. K. Young. Precision measure-mentof the magnetic moment of the muon. Phys. Rev. D5 (1972) 2145-2161.

[279] J. Bailey, K. Borer, F. Combley, H. Drumm, C. Eck, F. J. M. Fraley, J. H. Field, W. Flegel, P. M. Hattersley, F. Krienen, F. Lange, E. Picasso and W. von Rüden. The anomalous magnetic moment of positive and negative muons. Phys. Lett. B68 (1977) 191-196.

[280] J. Bailey, K. Borer, F. Combley, H. Drumm, C. Eck, F. J. M. Fraley, J. H. Field, W. Flegel, P. M. Hattersley, F. Krienen, F. Lange, G. Lebee, E. McMillan, G. Petrucci, E. Picasso, 0. Runolfsson, W. von Rüden, R. W. Williams and S. Wojcicki. Fianl report on the CERN muon storage ring including the anomalous magnetic moment and the electric dipole moment of the muon and a direct test of relativistic dilation. Nucl. Phys. B150 (1979) 1-75.

[281] E. Klempt, R. Schulze, H. Wolf?, M. Camani, F. N. Gygax, W. Rüegg, A. Schenck and H. Schilling. Measurement of the magnetic moment of the positive muon by a stroboscopic muon-spin-rotation technique. Phys. Rev. D25 (1982) 652-676.

[282] I. Beltrami, B. Aas, W. Beer et al. New presicion measurement of the muonic 3<i5/2 — 2p3/2 X-ray transition in 24Mg and 28Si: Vacuum polarization test and search for muon-hadron interactions beyond QED. Nucl. Phys. A451 (1986) 679-700.

[283] F. Maas, B. Braun, H. Geerds, K. Jungmann, B. E. Matthias, G. zu Putlitz, I. Reinhard, W. Schwarz, L. Williams, L. Zhang, P. E. G. Baird, P. G. H. Sandars, G. Woodman, G. H. Eaton, P. Matousek, T. Toner, M. Towrie, J. R. M. Barr, A. I. Ferguson, M. A. Persaud, E. Riis, D. Berkeland, M. Boshier and V. W. Hughes.

A measurement of the 15 — 25 transition frequency in inuoniuin. Phys. Lett. A187 (1994) 247-254.

[284] G. Basile, A. Bergamin, G. Cavagnero, G. Mana, E. Vittone and G. Zosi. Measurement of the silicon (220) lattice spacing. Phys. Rev. Lett. 49 (1994) 3133-3136.

[285] H. Hellwig, R. Vessot, M. Levine, M. W. Levine, P. W. Zitzewitz, D. W. Allan and D. J. Glaze. Measurement of the unperturbed transition frequency. IEEE Trans. IM-19 (1970) 200-209.

[286] L. Essen, P. W. Donaldson, M. J. Bangham and E. G. Hope. Frequency of the Hydrogen Maser. Nature. 229 (1971), 110.

[287] G. T. Bodwin and D. R. Yennie. Some recoil corrections to the hydrogen hyperfine splitting. Phys. Rev. D37 (1988) 498-523.

[288] D. R. Yennie. Two-body QED bound states. Z. Phys. C36 (1992) S13-S23.

[289] A. C. Zemach. Proton structure and the hyperfine shift in hydrogen. Phys. Rev. 104 (1956) 1771-1781.

[290] С. K. Iddings and P. M. Platzman. Nuclear structure correction to the hyperfine structure in hydrogen. Phys. Rev. 113 (1959) 192-197.

[291] H. Grotch and D. R. Yennie. Nuclear motion corrections to the binding energy in hydrogen. Z. Phys. 202 (1967) 425-435.

[292] H. Grotch and D. R. Yennie. Effective potential model for calculating nuclear corrections to the energy levels of hydrogen. Rev. Mod. Phys. 41 (1969) 350-374.

[293] Г. M. Зиновьев, Б. В. Струминский, Р. Н. Фаустов, В. JL Черняк. Структура протона и сверхтонкое расщепление в атоме водорода. Яд. физика 11 (1970) 1284-1297.

[294] R. P. Feynman. Photon-Hadron Interactions. W. A. Benjamin, Inc. Reading, Massachusetts, 1972.

[295] P. E. Bosted, L. Andivahis, A. Lung, L. M. Stuart, J. Alster, R. G. Arnold, C. C. Chang, F. S. Dietrich, W. Dodge, R. Gearhart, J. Gomez, R. A. Griffioen, R. S. Hicks, C. E. Hyde-Wright, C. Keppel, S. E. Kuhn, J. Liehtenstadt, R. A. Miskimen, G. F. Peterson, G. G. Petratos, S. E. Rock, S. Rokni, W. K. Sakumoto, M. Spen-gos, K. Swartz, Z. Szalata and L. H. Tao. Measurement of the electric and magnetic form factor of the proton from Q2 = 1.75 to 8.83 (Gev/c)2. Phys. Rev. Lett. 68 (1992) 3841-3844.

[296] V. W. Hughes and J. Kuti. Internal spin structure of the nucleon. Ann. Rev. Nucl. Part. Sei. 33 (1983) 611-644.

[297] E. de Rafael. The hydrogen hyperfine structure and inelastic electron proton scattering experiments. Phys. Lett. B37 (1971) 201203.

[298] P. Gnädig and J. Kuti. Proton structure and hyperfine splitting in the hydrogen atom. Phys. Lett. B42 (1972) 241-245.

[299] D. L. Farnham, R. S. Van Dyck, Jr., and P. B. Schwinberg. Determination of the electron's atomic mass and proton/electron mass ratio vai Penning trap mass spectroscopy. Phys. Rev. Lett. 75 (1995) 3598-3601.

[300] E. R. Carlson, V. W. Hughes, M. L. Lewis, and L. Lindgren. High-precision determination of the fine-structure interval in the ground state in positronium, and the fine-structure density shift in nitrogen. Phys. Rev. Lett. 29 (1972) 1059-1061.

[301] A. P. Mills, Jr., and G. H. Bearman. New measurement of the positronium hyperfine interval. Phys. Rev. Lett. 34 (1975) 246249.

[302] E. R. Carlson, V. W. Hughes and L. Lindgren. Precision determination of the fine-structure interval in the ground state of positro-nium. III. Phys. Rev. A15 (1977) 242-250.

[303] P. O. Egan, V. W. Hughes, and M. H. Yam. Precision determination of the fine-structure interval in the ground state of positron-iurn. IV. Measurement of positronium fine-structure density shifts in noble gases. Phys. Rev. A15 (1977) 251-260.

[304] A. Rich. Corrections to the measured n = 1 hyperfine interval of positronium due to annihilation effects. Phys. Rev. A23 (1981) 2747-2750.

[305] A. P. Mills. Line-shape effects in the measurement of the positronium hyperfine interval. Phys. Rev. A2T (1983) 262-267.

[306] M. W. Ritter, P. O. Egan, V. W. Hughes, and K. A. Woodle. Precision determination of the hyperfine-structure interval in the ground state of positronium. V. Phys. Rev. A30 (1984) 13311338.

[307] V. Rojansky. On theory of the Stark effect in hydrogenic atoms. Phys. Rev. 33 (1929) 1-15.

[308] G. S. Adkins, R. N. Fell and P. M. Mitrikov. Calculation of the positronium hyperfine interval. Phys. Rev. Lett. 79 (1997) 33833386.

[309] A. H. Hoang, P. Labelle and S. M. Zebarjad. Single photon annihilation contribution to the positronium hyperfine splitting to order mea6. Phys. Rev. Lett. 79 (1997) 3387-3390.

[310] R. Karplus and A. Klein. Electrodynamic displacement of atomic energy levels. III. The hyperfine structure of positronium. Phys. Rev. 87 (1952) 848-858.

[311] R. Barbieri, P. Christillin and E. Remiddi. Vacuum polarization and positronium-ground-state splitting. Phys. Rev. A8 (1973) 2266-2271.

[312] M. А. Браун. Позитрониевые особенности в квантовой электродинамике и теории возмущений. ЖЭТФ 54 (1968) 12201227.

[313] G. S. Adkins and Y. Shiferaw. Two-loop corrections to the or-thopositronium and parapositronium decay rates due to vacuum polarization. Phys. Rev. A52 (1995) 2442-2245.

[314] W. E. Caswell and G. P. Lepage. 0(a2 ln(a_1)) correction in positronium: Hyperfine splitting and decay rate. Phys. Rev. A 20 (1979) 36-43.

[315] M. A. Samuel. An order-«2 correction to the hyperfine structure of positronium due to the Kallen-Sabry potential. Phys. Rev. A10 (1974) 1450-1451.

[316] G. S. Adkins, M. H. T. Bui, and D. Zhu. New calculation of the three-photon-annihilation contribution to the positronium hyperfine interval. Phys. Rev. A37 (1988) 4071-4078.

[317] G. S. Adkins, Y. M. Aksu, and M. H. T. Bui. Calculation of the two-photon-annihilation contribution to the positronium hyperfine interval at the order ma6. Phys. Rev. A47 (1993) 2640-2652.

[318] W. E. Caswell and G. P. Lepage. Effective lagrangians for bound state problems in QED, QCD and other field theories. Phys. Lett. B167 (1986) 437-442.

[319] K. Pachucki. Effective Hamiltonian approach to the bound state: Positronium hyperfine structure. Phys. Rev. A 56 (1997) 297304.

[320] K. Pachucki. Recoil effects in positronium energy levels to order a6. Phys. Rev. Lett. 79 (1997) 4120-4123.

[321] P. Pyykko, E. Pajanne, and M. Inokuti. Hydrogen-like relativistic corrections for electric and magnetic hyperfine integras. Int. J. Quantum Chem. 7 (1973) 785-806.

[322] M. M. Sternheim. State-dependent mass corrections to hyperfine structure in hydrogenic atoms. Phys. Rev. 130 211 (1963) 211— 222.

[323] А. С. Елховский, А. И. Мильштейн, И. Б. Хриплович. Поправки порядка a4Roc к Р-уровням позитрония. ЖЭТФ. 105 (1994) 299-310.

[324] К. Danzmann, М. S. Fee and S. Chu. Doppler-free laser spectroscopy of positronium and muoniurn: Reanalysis of the 15 — 25 measurement. Phys. Rev. A39 (1989) 6072-6073.

[325] M. S. Fee, A. P. Mills, Jr., S. Chu, E. D. Shaw, and K. Danzmann, R. J. Chichester, and D. M. Zuckerman. Measurement of the positronium l35i — 235i interval by continuous-wave two-photon excitation. Phys. Rev. Lett. 70 (1993) 1397-1400.

[326] M. S. Fee, S. Chu, A. P. Mills, Jr., R. J. Chichester, D. M. Zuckerman, E. D. Shaw, and K. Danzmann. Measurement of the positronium l35i — 235i interval by continuous-wave two-photon excitation. Phys. Rev. A48 (1993) 192-219.

[327] S. Hatamian, R. S. Conti and A. Rich. Measurement of the 235i — 23Pj (J = 0,1,2). Phys. Rev. Lett. 58 (1987) 1833-1836.

[328] E. W. Hagena, R. Ley, D. Weil, G. Werth, W. Arnold and H. Schneider. Precise measurement of n = 2 positronium fine-structure intervals. Phys. Rev. Lett. 72 (1993) 2887-2890.

[329] E. W. Hagena, R. Ley, D. Weil, G. Werth, W.Arnold, M. Ruckert and H. Schneider. Positronium spectroscopy at LINAC-based positron source. Hyp. Int. 76 (1993) 297-303.

[330] R. Ley, D. Hagena, D. Weil, G. Werth, W. Arnold and H. Schneider. Spectroscopy of excited state positronium. Hyp. Int. 89 (1994) 327-341.

[331] A. R Mills, Jr., S. Berko, and K. F. Canter. Fine-structure measurement in the first excited state of positronium. Phys. Rev. Lett. 34 (1975) 1541-1544.

[332] R. S. Conti, S. Hatamian, L. Lapidus, A. Rich and M. Scalsey. Search for C-violating, P-conserving interactions and observation of 23Si to 2lP\ transitions in positronium. Phys. Lett. A177 (1993) 43-48.

[333] R. Coombes, R. Flexer, A. Hall, R. Kennelly, J. Kirkby, R. Pic-cioni, D. Porat, M. Schwartz, R. Spitzer, J. Toraskar, S. Wiesner, B. Budnick and J. W. Kats. Detection of 7r-/x Coulomb bound states. Phys. Rev. Lett. 37 (1976) 249-252.

[334] S. H. Aronson, R. H. Bernstein, G. J. Bock, R. D. Cousins, Jr., J. F. Greenhalgh, D. Hedin, M. Schwartz, Т. K. Shea, G. B. Thomson and B. Winstein. Measurement of the rate of formation of pi-mu atoms in K\ decay. Phys. Rev. D33 (1986) 3180-3198.

[335] Г. Д. Алексеев, А. И. Барановский, О. E. Горчаков, К. И. Гу-бриенко, В. В. Карпухин, В. И. Котов, В. В. Круглов, А. В. Куликов, А. В. Купцов, Л. Л. Неменов, В. М. Плотко, Е. Е. Полбенников, С. В. Трусов, Д. М. Хазин, А. С. Чвыров, М.

|Н. Шумаков, С. М. Фроликов. Наблюдение релятивистских позитрониев. Яд. физика 40, 139 (1984).

[336] Л. Г. Афанасьев, Н. И. Балалыкин, О. Е. Горчаков, К. И. Губриенко, В. В. Карпухин, В. И. Комаров, А. В. Коломый-ченко, В. И. Котов, В. В. Круглов, А. В. Куликов, А. В. Купцов, Л. Л. Неменов, М. В. Никитин, Ж. П. Пустыльник, А. В. Скрыпник, С. В. Трусов, А. С. Чвыров, М. Н. Шумаков,

С. М. Фроликов. Измерение сечения взаимодействия ультрарелятивистских атомов позитрония с углеродом. Яд. физика 50 (1989) 7-18.

[337] L. G. Afanasyev, A. S. Chvyrov, V. V. Karpukhin, V. I. Komarov, A. V. Kolomyichenko, V .V. Kruglov, A. V. Kuptsov, L. L. Ne-menov, M. V. Nikitin, M. N. Shuinakov, S. M. Frolikov, Zh. P. Pustylnik, О. E. Gorchakov, A. V. Kulikov, S. V. Trusov, К. I. Gubrienko and V. I. Kotov. Measurement of the branching ratio for 7r°-meson decay into a photon and a positronium atom. Phys. Lett. B236 (1990) 116-120.

[338] Jl. Г. Афанасьев, О. E. Горчаков, В. В. Карпухин, В. И. Комаров, А. В. Коломыйченко, В. В. Круглов, А. В. Куликов, А. В. Купцов, Л. Л. Неменов, М. В. Никитин, Ж. П. Пустыльник, С. В. Трусов, М. Н. Шумаков, С. М. Фроликов, А. С. Чвыров. Измерение коэффициента внутренней конверсии 7-кванта в атом позитрония А2е и вероятность распада 7г° —У у + А2е. Яд. физика 51 (1990) 1040-1046.

[339] L. G. Afanasyev, A. S. Chvyrov, О. Е. Gorchakov, М. A. Ivanov, V. V. Karpukhin, А. V. Kolomyichenko, V. I. Komarov, V .V. Kruglov, A. V. Kuptsov, L. L. Nemenov, M. V. Nikitin, Zh. P. Pustylnik, A. V. Kulikov, S. V. Trusov, V. V. Yazkov, G. G. Mkrtchyan, and A. P. Kurov. Observation of atoms consisting of 7Г+ and 7r" mesons. Phys. Lett. B308 200 (1993) 200-206.

[340] L. G. Afanasyev, A. S. Chvyrov, О. E. Gorchakov, V. V. Karpukhin, A. V. Kolomyichenko, V. I. Komarov, V .V. Kruglov, A. V. Kuptsov, L. L. Nemenov, M. V. Nikitin, Zh. P. Pustylnik, A. V. Kulikov, S. V. Trusov and V. V. Yazkov. Experimental estimation of the lifetime of atoms formed by 7r+ and ix~ mesons. Phys. Lett. B338 (1994) 478-482.

[341] R. M. Barnett, С. D. Carone, D. E. Groom, T. G. Trippe, С. G. Wohl, В. Armstrong, R S. Gee, G. S. Wagman, F. James, M. Mangano, K. Mönig, L. Montanet, J. L. Feng, H. Murayama,, J. J. Hernandez, A. Manohar, M. Aguilar-Benitez, G. Caso, R. L. Crawford, M. Roos, N. A. Törnqvist, К. G. Hayes, К. Hagiwara, R. Nakamura, M, Tanabashi, К. Olive, R. Honscheid, P. R. Burchat, R. E. Shrock, S. Eidelman, R. H. Schindler, A. Gurtu, K. Hikasa, G. Confort о, R. L. Workman, С. Grab and С. Amsler. Review of particle physics. Phys. Rev D54, Part I (1996) 1-720.

[342] С. M. Биленький, H. В. Хьеу, Jl. Л. Неменов, Ф. Г. Ткебучава. Образование и рапад (/i+/i~)-aTOMOB. Яд. физика 10 (1969) 812-814.

[343] S. Wycech and A. M. Green. The production of the exotic atoms 7Г+7Г-, К+1Г- and K+K~. Nucl. Phys. A562 (1993) 446-460.

[344] 3. К. Силагадзе. Пионий в распадах элементарных частиц. Письма в ЖЭТФ, 60 (1994) 673-677.

[345] V. Lyubovitskij and A. Rusetsky. Lifetime of (tt+/jt~) atom: analysis of the role of strong interactions. Phys. Lett. B389 (1996) 181-186.

[346] О. E. Gorchakov, A. V. Kuptsov, L. L. Nemenov and D. Yu. Riabkov. Rate of 7г+7г~ atom prodaction in high-energy collisions. Яд. физика 59 (1996) 2015-2020.

[347] Л. Л. Неменов. Атомные распады элементарных частиц. Яд. физика 15 (1972) 1047-1050.

[348] Г. А. Козлов. К вопросу о рождении связанных релятивистских лептонных состояний в распадах легких мезонов. Яд. физика 48 (1988) 265-271.

[349] Л. Л. Неменов. Атомные распады il ¿-мезонов. Яд. физика 16 (1972) 125-128.

J1. Л. Неменов. Элементарные релятивистские атомы. Яд. физика 41 (1985) 980-990.

Е. Holvik and Н. A. Olsen. Creation of relativisitc fermionium in collisions of electrons with atoms. Phys. Rev. 35 (1987) 21242129.

В. Л. Любошиц. О фоторождении позитрония в кулоновском поле ядра. Яд. физика 45 (1987) 1099-1104.

J. Malenfant. Cancellation of the divergence of the wave function at the origin in leptonic decay rates. Phys. Rev. D36 (1987) 863-

877.

A. Ore and J. Powell. Three-photon annihilation of an electron-positron pair. Phys. Rev. 75 (1949) 1696-1699.

G. J. Gounaris and J. J. Sakurai. Finite-width corrections to the vector-meson-dominance prediction for p —> e+e~. Phys. Rev. Lett. 21 (1968) 244-247.

Т. H. Bauer, R. D. Spital, D. R. Yennie and F. M. Pipkin. The hadronic properties of the photon in high-energy interactions. Rev. Mod. Phys. 50 (1978) 261-436.

D. A. Owen and W. W. Repko. Vacuum-polarization corrections to the hyperfine structure of the bound system/ Phys. Rev. 5 (1972) 1570-1572.

I. Harris and L. M. Brown. Radiative corrections to pair annihilation. Phys. Rev. 105 (1957) 1656-1661.

C. J. Orth, M. E. Schilaci, J. D. Knight, L. F. Mausner, R. A. Naumann, G. Schmidt and H. Daniel. Muonic Lyman x-ray intensities in pure elements. Phys. Rev. A25 (1982) 876-880.

Г. E. Пустовалов. Поляризация вакуума в мезоатомах. ЖЭТФ 32 (1957) 1519-1527.

[361] M. Sternheim. Vacuum polarization corrections to hyperfine structure in muonic atoms. Phys. Rev. 138 (1965) B430-B432.

[362] E. Borie and G. A. Rinker. The energy levels of muonic atoms. Rev. Mod. Phys. 54 (1982) 67-118.

[363] R. Schlapp. The Stark effect of the fine-structure of hydrogen. Proc. Roy. Soc. A119 (1928) 313-334.

[364] G. Lüders. Der Starkeffect des Wasserstoffs bei kleinen Feldstärken. Ann. d. Phys. 8 (1951) 301-321.

[365] R. G. Kulkarni, N. V. V. J. Swamy and E. Chaffin. First-order Stark shifts for low electric fields. Phys. Rev. AT (1973) 27-33.

[366] J. A. Biackman and G. W. Series. The Stark effect in hydrogen and precision measurements of the Rydberg constant. J. Phys. B6 (1973) 1090-1096.

[367] M. I. Zimmerman, M. C. Littman, M. M. Kash and D. Kleppner. Stark structure of the Rydberg states of alkali-metal atoms. Phys. Rev. A20 (1979) 2251-2275.

[368] С. А. Запрягаев. Эффект Штарка уровней тонкой структуры водородоподобного атома. Опт. и спектр. 44 (1978) 892-899.

[369] P. G. Н. Sandars. Differential polarizability in the ground state of the hydrogen atom. Proc. Phys. Soc. 92 (1967) 857-861.

[370] H. Л. Манаков, В. Д. Овсянников, Л. П. Раппопорт. Эффект Штарка на сверхтонкой структуре атомов. Опт. и спектр. 38 (1975) 424-427.

[371] Б. А. Зон, Б. Г. Кацнельсон, Ю. В. Митин, Е. И. Шолохов. Радиационные ширины штарковских компонент кровней тонкой структуры атома водорода. Опт. и спектр. 40 (1976) 639-642.

[372] D. Park. Relation between the parabolic and spherical eigenfunc-tions of hydrogen. Z. Phys. 159 (1960) 155-157.

[373] L. С. Biedenharn and J. D. Louck. Angular Momentum in Quantum Physics. Theory and Application. Addison Westly Publishing Company. Massachusets, 1981; Перевод: Л. Биденхарн, Дж. Лаук. Угловой момент в квантовой физике, т. 1; т. 2. Мир. М., 1984.

[374] G. Racah. Theory of complex spectra. II. Phys. Rev. 62 (1942) 438-462.

[375] L. C. Biedenharn and P. J. Brussard. Coulomb Excitation. Clarendon Press, Oxford, 1965.

[376] Б.А. Зон, Л. П. Раппопорт. Двухфотонный распад 2з-уровня водорода. Письма в ЖЭТФ 7 (1968) 70-72.

[377] S. Klarsfeld. Radiative decay of metastable hydrogenic atoms. Phys. Lett. A30 (1969) 382-383.

[378] W. R. Johnson. Radiative decay rates of metastable one-electron atoms. Phys. Rev. Lett. 29 (1972) 1123-1128.

[379] S.P. Goldman and G. W. F. Drake. Relativistic two-photon decay rates in 2si/2 hydrogenic ions. Phys. Rev. A24 (1981) 183-191.

[380] F.A. Papria and W.R. Johnson. Radiative decay rates of metastable one-electron atoms. Phys. Rev. A26 (1982) 11421145.

[381] G. W. F. Drake. Spontaneous two-photon decay rates in hydrogenlike and heliumlike ions. Phys. Rev. A34 (1986) 2871-2880.