Преобразование Дарбу и когерентные состояния тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Шекоян, Ланджик Антонович

• Шекоян, Ланджик Антонович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шекоян, Ланджик Антонович

Содержание

Введение

1 Глава

1.1 Преобразование Дарбу первого порядка

1.2 Преобразование Дарбу порядка N

1.3 Об эквивалентности преобразования Дарбу для стационарного и нестационарного уравнений Шредингера

1.4 Один класс потенциалов баргмановского типа

2 Глава

2.1 'Полуограниченный оператор симл^трии *

2.2 Преобразование когерентных состояний

2.3 Преобразование Дарбу когерентных состояний свободной частицы

2.4 Определение мер при разложении единичного оператора по когерентным состояниям

2.5 Голоморфное представление

3 Глава

3.1 Типы потенциалов

3.2 Когерентные состояния

4 Глава

4.1 Когерентные состояния сингулярного осциллятора

4.2 Преобразованные когерентные состояния

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Преобразование Дарбу и когерентные состояния»

Введение

В настоящее время известны различные аналитические методы интегрирования дифференциальных уравнений, возникающих в теоретической физике, и получены их решения для многих частных случаев.

Например, на основе метода разделения переменных, связанного с отысканием полного набора операторов симметрии, являющихся интегралами движения, в [1] перечислены все внешние поля допускающие точные аналитические решения для уравнений Клейна-Гордона и Дирака. Для целого ряда случаев в [2] проинтегрировано уравнение Шредингера методом И-разделения переменных. Преобразование Кумера-Циувший [3]-[6] является наиболее общим преобразованием, допускающим приведение дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами к уравнению наперед заданного вида того же порядка. Наиболее полное исследование уравнений Шредингера, сводящихся этим преобразованием к уравнению для гипергеометрических функций, содержится в [7, 8]. Сравнительно недавно был предложен новый метод точного решения линейных дифференциальных уравнений — метод некоммутативного интегрирования [9]. Этот метод применен в [10]-[11] к уравнениям Шредингера и Клейна-Гордона. Отметим также, что существуют задачи промежуточные между точно решаемыми и точно нерешаемыми [12]-[14].

Среди методов точного интегрирования квантовой механики особое место занимают методы конструирования точно решаемых потенциалов стационарного уравнения Шредингера. В случае нестационарного уравнения Шредингера они гносеологически проистекают из аналогичных процедур для стационарного случая, суть которых заключена в следующем.

Рассматривается соотношение сплетания ЬЩ = НЬ. связывающее два гамильтонина, Я0 = -д2х + У0(х) и Н = —Ъ\ + У(х), оператором преобразования Ь, переводящим решения одного уравнения Шредингера в решения другого. Связь потенциалов У(х) и Уо(х) оказывается зависящей от вида оператора преобразования.

Известны различные методы конструирования точно решаемых потенциалов уравнения Шредингера. К ним относятся факторизация, преобразование Абрахама-Мозеса, методы суперсимметричной квантовой механики и преобразование Дарбу.

Метод факторизации впервые был применен к решению задач квантовой механики Шредингером [15]. В дальнейшем им пользовался Дирак [16]. Инфельд и Холл [17] развили этот метод для широкого класса дифференциальных уравнений второго порядка с граничными условиями. Миелник [18] разработал модифицированный метод факторизации, который дает возможность построить класс одномерных стационарных потенциалов, имеющих спектр гармонического осциллятора.

Подход Абрахама и Мозеса [19] тесно связан с методом обратной задачи рассеяния в квантовой механике [22] и, в частности с уравнением Гельфанда,-Левитана-Марченко [20]-[22]. Модификации этого метода рассматривались в [23, 24].

Суперсимметричная квантовая механика, впервые введенная Виттеном [25], использовалась в работе Генденштейна [26] для нахождения спектра уравнения Шредингера. В [27] было сделано прямое обобщение простой суперсимметричной конструкции на многомерный случай, которое, по существу, сводится к эквивалентности двух матричных систем, но не устанавливает спектральных связей между скалярными гамильтонианами.

Классический метод Дарбу [28] основан на применении дифференциального оператора первого порядка в качестве оператора

преобразования Ь. Крам [29] обобщил преобразование Дарбу на случай операторов более высокого порядка по производным и его работа стимулировала интерес к этому методу в обратной задаче квантовой теории рассеяния. Оно играет важную роль в солитон-ной теории [30, 31, 32]. Крейн [33] и Фаддеев [22] рассмотрели этот метод для трехмерной обратной задачи, предполагая сферическую симметрию потенциала. Дейфт [34] провел основательное исследование метода и интерпретировал его как пример исследования более общей коммутативной формулы, что связывает метод Дарбу с методом операторов обобщенного сдвига [35]-[37]. Предпринимались попытки обобщения этого метода на трехмерный случай [38], но они не получили дальнейшего развития. Многомерное преобразование Дарбу для матричных гамильтонианов рассмотрено в [39]. В работах [40, 41] показано, что эта техника преобразования может быть существенно расширена, что приводит к новым, весьма нетривиальным результатам.

Важно отметить, что все вышеизложенные методы отнюдь не являются независимыми.

Преобразование сплетающее отдельные компоненты супергамильтониана [27], является лРреобразованием Дарбу исходного уравнения Шредингера. В работе [42] рассматривается связь суперсимметричной квантовой механики с обратной задачей квантовой теории рассеяния в свете преобразования Абрахама-Мозеса. Эквивалентность интегрального и дифференциального методов конструирования точно решаемых потенциалов установлена в [43]. В [44], исходя из общей концепции операторов преобразования, введенных Дельсартом [45], определен оператор преобразования Дарбу порядка N. Показано [44, 46], что этот оператор всегда представим в виде произведения N операторов преобразования Дарбу первого порядка, исследована связь данного преобразования с методом факториза-

ции, введены операторы суперзаряда М-го порядка по производной, установлено, что эти опрераторы совместно с супергамильтонианом образуют супералгебру У-го порядка.

Возвращаясь к нестационарному уравнению Шредйнгера, отметим работы [47, 48], где предложено обобщение интегрального преобразования Абрахама-Мозеса на нестационарный случай, основанное на методе "одевания" [49] линейных дифференциальных операторов. Для указанных работ характерно присутствие неопределенного параметра в конечных формулах. Интегральное преобразование как обратное дифференциальному получено в [50]. В работе [51] для нестационарного гармонического осциллятора рассматриваются операторы преобразования, факторизующие некоторый интеграл движения. Обобщение преобразования Дарбу для нестационарного уравнения Шредйнгера можно найти в [48, 32]. Однако в этих работах совершенно не рассматривается условие вещественности получаемого потенциала, что ограничивает применение этих методов в квантовой механике.

В некоторых работах [52, 53] приводятся процедуры генерации нового уравнения весьма частного характера. Однако, следует ^ *

отметить достаточно общий метод решения нестационарного уравнения Шредйнгера на основе точно решаемых стационарных задач с использованием специально выбранных операторов канонического калибровочного преобразования [54].

Когерентные состояния находят самое разнообразное применение в физике и математике [55, 56]. Они строились и изучались еще Шредингером [57] для исследования связи между классическим и квантовым гармоническими осцилляторами. Затем их свойства основательно изучались Клаудером [58]-[60], Глаубером [61]-[63] и Манько с соавторами [55], [64]-[67]. В работах [68]-[71] концепция когерентных состояний обобщена на произвольные гамильтонианы.

Существует несколько подходов в определении когерентных состояний, приводящих к одинаковому результату для гармонического осциллятора и, как правило, к различным результатам для других систем.

Когерентные состояния можно определить как состояния, минимизирующие соотношение неопределенностей для какой-нибудь пары одновременно неизмеримых физических величин. Такой подход для многих одномерных квантовомеханических задач рассмотрен в цикле работ Ниэто с сотрудниками [72]-[78].

Их можно также определять, как собственные состояния оператора уничтожения а, который совместно с оператором рождения а+ подчинен стандартным коммутационным соотношениям алгебры Гейзенберга-Вейля: [а, а+] = 1 [55, 79].

Наиболее строгое с математической точки зрения определение когерентных состояний связано с алгеброй и группой динамической симметрии рассматриваемой системы [61, 62], [80]-[82].

Другой подход [55, 83, 84], так же широко использующий теоретико-групповые методы, в случае представлений дискретной серии некомпактных полупростых групп Ли основан на отыскании общих собственных векторов у полной системы взаимно коммутирующих понижающих по спектру операторов.

К настоящему времени накоплено значительное количество точно решаемых потенциалов [85], [46]. Мы можем отметить только работы [86]-[90], посвященные исследованию когрентных состояний новообразованных систем. Во всех случаях кардинальной проблемой является проблема полноты системы этих состояний в гильбертовом пространстве решений уравнений Шредингера.

Таким образом, мы видим, что развитие методов конструирования на основе преобразования Дарбу точно решаемых нестационарных потенциалов уравнения Шредингера и исследования его

решений, чему посвящена настоящая работа, является актуальной задачей.

Первая глава диссертации посвящена построению общего формализма преобразования Дарбу ]У-го порядка. Она отражает содержание работ [91]-[93].

В преамбуле первой главы определяется оператор преобразования Дарбу как дифференциальный оператор 7У-го порядка по пространственной переменной, реализующий соотношение спле-тания

- = (¿^ -

йод = - ^о^ОМ), УлтОМ) = ЖМ) + Аы(х^).

где Адг(х,{) — некоторая достаточно гладкая функция. Вводится оператор формально сопряженный оператору Эти операторы осуществляют преобразование решений уравнения Шре-дингера с гамильтонианом /10 в ршения уравнения с гамильтонианом /гдт и обратно.

В разделе 1.1 анализируется преобразование первого порядка; определяется функция преобразования как решение исходного уравнения Шредангера, удовлетворяющая условию, вещественности

л

потенциала, определяющую опретор преобразования Дарбу и разность потенциалов устанавливается соответствие между постранствами решений исходного и преобразованного уравнений Шредингера.

В разделе 1.2 рассматривается преобразование Дарбу ]У-го порядка и для него доказывается теорема о приводимости. Далее конструируется нестационарная суперсимметричная квантовая механика с операторами суперзарядов (2, <2+, оператором симметрии <5 и супералгеброй з\(1/1)\ [2,5] = = 0, {2, £+} =

В разделе 1.3 обсуждается эквивалентность стационарного и нестационарного преобразования Дарбу первого порядка, происте-

кающую из условия вещественности на функцию преобразования [101]. Устанавливается тот факт, что эта эквивалентность в общем случае не имеет места для преобразования Дарбу произвольного порядка.

В разделе 1.4 в рамках развитого формализма рассматривается стационарное преобразование Дарбу порядка /V, как частный случай нестационарного, для построения потенциалов баргманов-ского типа с наперед заданным расположением N уровней дискретного спектра.

Во второй главе изучаются когерентные состояния потенциалов солитонного типа. Её результаты содержатся в работах [94] -[97].

В преамбуле второй главы приводятся известные сведения о когерентных состояниях свободной частицы. Приводится определение Клаудера когерентных состояний, на которое опирается дальнейший анализ.

В разделе 2.1 приводится вид потенциала солитонного происхождения, полученный преобразованием Дарбу первого порядка. Доказывается , что симметричный оператор симметрии свободного уравнения Шредингера, до = Ь+Ь, имеет чисто непрерывный

спектр и самосопряжен в существенном. С его помощью вводятся 1/2 -1/2

операторы д0 и д0 , которые индуцируют два типа когерентных состояний: рг и Показано, что существование мер, реализующих разложение единичного оператора по этим состояниям, связано с разрешимостью некоторой проблемы моментов на комплексной плоскости. Доказаны две теоремы о существовании и единственности мер.

В разделе 2.2 рассматривается преобразование Дарбу когерентных состояний свободной частицы.

В разделе 2.3 доказываются две теоремы, которые, согласно

определению когерентных состояний, позволяют определить две системы когерентных состояний потенциалов солитонного типа.

В разделе 2.4 реализованы различные голоморфные представления гильбертова пространства решений уравнения Шредингера с потенциалом солитонного типа. Для каждого представления найдены голоморфные реализации операторов Ь и 1Л.

В третьей главе [98] получен широкий класс потенциалов ангармонических осцилляторов применением преобразования Дарбу к гамильтониану гармонического осциллятора с переменной частотой.

В разделе 3.1 анализируется алгебра симметрии зсЬ(1,1) гармонического осциллятора. Установлено, что преобразования группы БСН^ 1,1), имеющей алгебру зск( 1,1), не нарушают условия вещественности для потенциала. Это позволяет классифицировать пространство 5с/г(1,1) относительно присоединенного представления Ас1 группы 5СЛГ( 1,1). Пространство 5с/г(1,1) разбивается на пять орбит. Такое разбиение позволяет получить широкий класс решений уравнения Шредингера методом II - разделением переменных, что, в свою очередь, предоставляет разнообразный выбор функций преобразования для конструирования различных типов ангармонических осцилляторов.

В разделе 3.2 доказана теорема о факторизации дифференциального, порядка 2М по пространственной переменной, оператора симметрии уравнения гармонического осциллятора. Для различных типов потенциалов доказано, что преобразование Дарбу когерентных состояний исходной системы приводит к системе когерентных состояний для преобразованного гамильтониана. Явно определены меры, реализующие разложение единицы по этим состояниям. Показано, что гильбертовы пространства решений рассмотренных систем могут быть реализованы как гильбертовы пространства голо-

морфных функций.

Четвертая глава [99] посвящена построению и изучению гамильтонианов ангармонических сингулярных осцилляторов, полу-ченых применением преобразования Дарбу к сингулярному осциллятору.

В разделе 4.1 исследуется алебра динамической симметрии сингулярного осциллятора, 5и(1,1) ~ 5/(2, К). Методом Я-разделения переменных получен дискретный базис гильбертова пространства состояний этой системы. Исследованы два типа когерентных состояний: когерентные состояния, полученные оператором сдвига на группе, и когерентные состояния Бару та-Джирарделло.

В разделе 4.2 соответствующим выбором функций преобразования получены ангармонические сингулярные осцилляторы. Найдены меры, осуществляющие разложение единичного оператора по двум типам когерентных состояний.

В заключении кратко сформулированы основные результаты, полученные в диссертации и выносимые на защиту.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Шекоян, Ланджик Антонович

заключение

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации.

1. Построен оператор преобразования Дарбу произвольного порядка для одномерного нестационарного уравнения Шредин-гера. Осуществлено суперсимметричное обобщение нестационарного уравнения Шредингера.

2. Исследован полуограниченный, с непрерывным спектром, оператор симметрии уравнения Шредингера для свободной частицы. Доказаны две теоремы о существовании и единственности мер, осуществляющих разложение единичного оператора по когерентным состояниям. ^ ^

3. Получены два типа когерентных состояний потенциалов соли-тонного типа. Найдены меры для разложения единичного оператора по этим состояниям, одна из которых представляет собой обобщенную функцию, задаваемую своим преобразованием Фурье.

4. Получен широкий класс гамильтонианов ангармонических осцилляторов с переменной частотой. Доказана теорема о факторизации дифференциального, порядка 2 ТУ по пространственной переменной, оператора симметрии уравнения гармонического осциллятора. Найдены меры, реализующие разложение единицы по когерентным состояниям ангармонических осцилляторов, одна из которых представляет собой обобщенную функцию.

5. Получены гамильтонианы ангармонических сингулярных осцилляторов с переменной частотой и найдены меры для двух типов их когерентных состояний.

6. Реализовано голоморфное представление гильбертовых пространств всех рассмотренных систем.

В заключении мне хотелось бы выразить глубокую благодарность В. Г. Багрову и Б. Ф. Самсонову за всеохватывающую помощь в работе над диссертацией.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шекоян, Ланджик Антонович, 1999 год

Сгшсок литературы

[1] Багров В. Г., Гитман Д. М., Тернов И. М., Халилов В. Р., Шаповалов В. Н. Точные решения релятивистских волновых уравнений. - Новосибирск: Наука, 1982, 142 С.

[2] Миллер У. Симметрия и разделение переменных.- М.: Мир, 1981, 342 С.

[3] Kummer Е. F. De generaly quadam equatione differentiali terty ordinue. //Abdruck aus dem program des evangelichen konigl and stadtgunasiums in Liegnits von Jahre, 1834. (J. Reine Angew. Math-1887-V. 100.-P. 1-9.)

[4] Liouville J. Sur Je development des foctions ou parties des fotions

<« ■ . . v

sériés dont les divers termes sont assujetti satisfaire*a une meme

équation différentielle du second ordre contenant un paraméter

variable. (Second memoire). //J. Math. Pures et Appl.-1837.-V.

2.-P. 16-36.

[5] Беркович Л. M. Факторизация и преобразования обыкновеных дифференциальных уравнений. - Саратов: из-во СГУ, 1989, 191 С.

[6] Фаге М. К., Нагнибида Н. И. Проблема эквивалентности обыкновенных линейных дифференциальных операторов. - Новосибирск: Наука, 1987, 277 С.

[7] Натанзон Г. А. Исследование одномерного уравнения ТТТре-дингера, порождаемого гипергеометрическим уравнением. //Вестник ЛГУ.-1971 -N 10,- С. 22-28.

[8] Натанзон Г. А. Общие свойства потенциалов, для которых уравнение Шредингера разрешимо в гипергеометрических функциях. //ТМФ.-1979.-Т. 38-С. 219-229.

[9] Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Интегрирование гамильто-новых систем с некоммутативными симметриями. //Труды семинара по векторному и тензорному анализу -М.: Изд-во МГУ.-1981.-Вып. 20.-С. 5.

[10] Фирстов В. В., Широков И. В. Классификация квадратичных алгебр симметрии уравнения Шредингера. //Изв. вузов. Физика.-1995-N 8.-С. 11-17.

[11] Вараксин О. JL, Фирстов В.В., Шаповалов А. В., Широков И. В. Квадратичные алгебры и некоммутативное интегрирование уравнения Клейна-Гордона в римановых пространствах нештекелева вида. //Изв. вузов. Физика.-1995 -N 5.-С. 83-87.

[12] Турбинер А. В. Квантовая механика:-задачи, промежуточные по отношению к точно решаемым и точно нерешаемым. //ЖЭТФ-1988.-Т. 92.-N 2.-С. 33-44.

[13] Ушверидзе А. Г. О некоторых точных решениях одномерного уравнения Шредингера. //Краткие сообщения по физике.-1989.-N 6.-С. 31-33.

[14] Ушверидзе А. Г. Точно решаемые многомерные квантовые системы с полиномиальным ангармонизмом. //Сообщ. АН СССР.-1988.-Т. 129.-N 1-С. 61-63.

[15] Шредингер Э. Избранные труды по квантовой механике. - М.: Наука, 1976, 424 С.

[16] Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. - М.: Наука, 1979, 480 С.

[17] Infeld L. and Hull Т. Е. The factorization method. //Rev. of Modern Physics-1951.-V. 23.-N l.-P. 21-68.

[18] vlielnik В. Factorization method and new potentials with oscillator spectrum. //J. Math. Phys.-1984.-V. 25 - N 12.-P. 3387-3389.

[19] Abraham P. В., Moses H. E. Changes in potentials due to the point spectrum: anharmonic oscillators with exact solution. //Phys. Rev.-1980.-V. A22.-P. 1333-1340.

[20] Шадан К., Сабатье П. Обратные задачи в квантовой теории рассеяния. - М.: Мир, 1980, 480 С.

[21] Агранович 3. С., Марченко В. А. Обратная задача рассеяния. - Харьков, 1960, 265 С.

[22] фаддеев Л. Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния. //УМН.-1959.-Т. XIV.-N 4(88),-С.*57-119.

[23] Luban М. and Pursey D. L. New Schrodinger equations for old: inequivalence of the Darboux and Abraham-Moses constructions. //Phys. Rev. D.-1986.-V.-33.-N 2.-P. 431-436.

[24] Pursey D. L. New families of isospectral Hamiltonians. //Phys. Rev. D.-19 .-V. 33.-N 4.-P. 1048-1055.

[25] Генденштейн JI. Э., Криве И. В. Суперсимметрия в квантовой механике. //УФН.-1985.-Т. 146.-N 4.-С. 553-590.

[26] Генденштейн Л. Э. Нахождение точных спектров уравнения Шредингера с помощью суперсимметрии. //Письма в ЖЭТФ.-Т. 38.-N 6.-С. 299-302.

[27] Андрианов А. А., Борисов Н. В., Иоффе М. В. Метод факторизации и преобразование Дарбу для многомерных гамильтонианов. //ТМФ.-1984.-Т. 61.-N 2.- С. 183-198.

[28] Darboux G. Sur la representation spherique des Surfaces. //Compt. Rend.-1982.-V. 94.-P. 1343-1345.

[30

[31

[32

[33

[34

[35

[36

[37

[38

[39

Crum M. M. Associated Sturm-Liouvüle systems. //Quart. J. Math. Ser. 2.-1955.-V. 6.-P. 121-127.

Ныоэлл А. Солитоны в математической физике. - М.: Мир, 1989, 323 С.

Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны. - М.: Мир, 1985, 469 С.

Matveev V. В., Salle М. A. Darboux transformations and solitons, Berlin: Springer, 1991, 112 P.

Крейн M. Г. О континуальном аналоге одной формулы Кристофеля из теории ортогональных многочленов. //ДАН СССР.-1957.-Т. 113.-N 5.-С. 970-973.

Deift P. Application of a commutation formula. //Duke Math. J.-1978.-V. 45.-P. 267-310.

Левитан Б. М. Операторы обобщенного сдвига. - М.: Наука, 1973, 235 С.

Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля. - М.: Наука, 1984, 240 С.

Левитан Б. М., Саргсян И. С. Операторы Штурма- Лиувилля и Дирака. - М.: Наука, 1988, 432 С.

Humi М. Darboux transformations for Schrödinger equation in three dimensions. //J. Phys. A: Math, and Gen.-1988.-V. 21.-P. 2075-2084.

Gonzalez-Lopez A. and Kamran N. The multidimensional Darboux trancformstion.//hep-th/9612100, 1997.

[40] Багров В. Г., Овчаров И. Н., Самсонов Б. Ф. Игры с одномерным уравнением Шредингера. //Труды физического общества PA-1996.-N 1.-С. 3-12.

[41] Самсонов Б. Ф., Овчаров И. Н. Некоторые свойства преобразования Дарбу высших порядков. //Изв. вузов. Физика.-1995 -N 7.-С. 3-8.

[42] Березовой В. П., Пашнев А. И. N=2 суперсимметричная квантовая механика и обратная задача рассеяния. //ТМФ.-1988.-Т. 74.-N З.-С. 392-398.

[43] Samsonov В. F. On the equivalence of the integral and differential exact solution generation methods for the one-dimensional Schrödinger equation. //J. Phys. A: Math, and Gen.-1995.-V. 28.-P. 6989-6998.

[44] Багров В. Г., Самсонов Б. Ф. Преобразование Дарбу, факто-

à-

ризация, суперсимм^етрия в одномерной квантовой механике.' //ТМФ-1995 -T. 104.-N 2,- С. 356-367.

[45] Delsart J. Sur une extansion de la formule de Taylor. //J. Math. Pures et Appl.-1938.-V. 17.-P. 213-230.

[46] Багров В. Г., Самсонов Б. Ф. Преобразование Дарбу уравнения Шредингера. //ЭЧАЯ.-1997.-Т. 28,-Вып. 4.-С. 951-1012.

[47] Багров В. Г., Шаповалов А. В., Широков И. В. Гнерация новых точно решаемых потенциалов нестационарного уравнения Шредингера. //ТМФ.-1991.-Т. 87.-N З.-С. 426-433.

[48] Багров В. Г., Шаповалов А. В., Широков И. В. Методы генерации интегрируемых потенциалов уравнения Шредингера и нелокальные симметрии. //Изв. вузов. Физика.-1991.-К 9.-С. 19-25.

[49] Захаров Е. Метод обратной задачи рассеяния /Солитоны/. Ред. Буллаф Р., Кодри Ф. - М.: Мир, 1983, С. 270-309.

60] Bagrov V. G. and Samsonov B. F. Coherent states for anharmonic oscillator Hamiltonians with equidistant and quasi-equidistant spectra. //J. Phys. A: Math, and Gen.-1996.-V. 29.-P. 10111023.

[51] Агаева P. Г. Метод квантовых интегралов движения и точные решения нестационарного уравнения Шредингера. /Современный групповой анализ. Методы и приложения/: Сб. статей под ред. Максудова Ф. Г. и Рустамова К. А. - Баку: Из-во "Элм", 1989, С. 3-9.

[52] Ablowitz М. J. and Villarroel J. Solutions to the time dependent Schrödinger and the Kadomtsev-Petviashvili equations. //Phys. Rev. Let.-19j97--V. 78-N 4.-P. 570-575. * . -

[53] Lai Y.-Z., Liang J.-Q., Müller-Kirsten H. J. W. and Jian-Ge Zhou. Time evolution of quantum systems with time-dependent Hamiltonian and the invariant Hermitian operator. //J. Phys. A: Math, and Gen.-V. 29.-P. 1773-1779.

[54] Величева E. П., Сузько А. А. Точные решения нестационарного уравнения Шредингера. //ТМФ.-Т. 115.-N З.-С. 410-415.

[55] Малкин И. А., Манько В. И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем.. - М.: Наука, 1979, 293 С.

[56] Переломов А. М. Обобщенные когерентные состояния и их применение. - М.: Наука, 1987, 269 С.

[57] Schrödinger Е. Der stetiga Ubergang von der Mikro- zur Makromehanik. //Naturwissenschaften.-1926.-Bd. 14-s. 664-668.(Рус. пер. в [15]).

[58] Klauder J. R. Continuous representation theory. 1. Postulates of continuous representation theory. //J. Math. Phys.-1963.-V. 4.-P. 1055-1058.

[59] Klauder J. R. Continuous representation theory. 2. Generalized relation between quantum and classical dynamics. //J. Math. Phys.-1963.-V. 4.-P. 1058-1073.

[60] Klauder J. R. Continuous representation theory. 3. On functional quantization of classical system. //J. Math. Phys.-1964.-V. 5.-P. 177-187.

[61] Glauber R. J. The quantum theory of optical coherence. // Phys.

Rev.-1963.-V. 130.-P. 2529-2539. t,

¥

[62] Glauber R. J. Coherent and incoherent states of radiation field. // Phys. Rev.-1964.-V. 131.-P. 2766-2788.

[63] Глаубер P. Когерентность и детектирование квантов. /Когерентные состояния в квантовой теории/. - М.: Мир, 1972.-С. 26-70.

[64] Dodonov V. V., Kurmyshev Е. V., Man'ко V. I. Generalized uncertainty relation and correlated coherent states. //Phys. Lett. A.-1980.-V. 79.-P. 150-152.

[65] Додонов В. В., Курмышев Е. В., Манько В. И. Коррелированные когерентные состояния. //Тр. ФИАН.-1986.-Т. 176.-С. 128-150.

[66] Dodonov V. V., Malkin I. A., Man'ko V. I. Coherent states and Green functions of relativistic quantum systems. //Physica A.-1976.-V. 82.—P. 113-133.

i Dodonov V. V., Man'ko V. I. Coherent States and the resonance

L J '

of a quantum damped oscillator. //Phys. Rev. A.-1979.-V. 20.-P. 550-560.

[68] Манько В. И. Метод когерентных состояний для произвольных динамических систем. //Когерентные состояния в квантовой теории. М.: Мир, 1972.-С. 5-25.

[69] Dodonov V. V., Malkin I. A., Man'ko V. I. Integrals of motion, Green functions, and coherent states of dinamical systems. //Int. J. Theor. Phys.-1975.-V. 14.-P. 37-54.

[70] Додонов В. В., Манько В. И., Чумаков С. М. Теория представлений и параметрическое возбуждение квантовых систем. //Тр. ФИАН.-1986.-Т. 167.-С. 162-Г79.

[71] Man'ko V. I. Invariants and coherent states in fibre optics. //Lie methods in optics.-Lect. Notes Phys.-1986.-V. 250.-P. 193-207.

[72] Nieto M., Simmons L. Coherent states for general potentials. //Phys. Rev. Lett-1978-V. 41.-P. 207-210.

[73] Nieto M., Simmons L. Coherent states for general potential. I. Formalism. //Phys. Rev. D.-1979.-V. 20.-P. 1321-1331.

[74] Nieto M., Simmons L. Coherent states for general potential. II. Confinig one-dimensional examples. //Phys. Rev. D.-1979.-V. 20.-P. 1332-1341.

[75] Nieto M., Simmons L. Coherent states for general potential. III. Nonconfining one-dimensional examples. //Phys. Rev. D.-1979.-V. 20-P. 1342-1350.

[76] Nieto M. Coherent states for general potential. IV. Three-dimensional systems. //Phys. Rev. D.-1980.-V. 22.-P. 391-402.

[77] Gutschick V. P., Nieto M. Coherent states for general potential. V. //Phys. Rev. D.-1980.-V. 22.-P. 403-413.

[78] Nieto M., Simmons L. M., Gutschick V. P. Coherent states for general potential. VI. Conclusion about the classical motion and the WKB approximation. //Phis. Rev. D.-1981.-V. 23.-P. 927933.

[79] Каррузерс П., Ньето M. Пременные фаза-угол в квантовой механике. //Когерентные состояния в квантовой теории. М.: Мир, 1972, С. 71-146.

[80] Perelomov А. М. Coherent states for abitrary Lie group. //Comm. Math. Phys.-1972.-V. 26.-P. 222-236.

[81] Rasetti M. Generalized coherent states. //Int. J. Theor. Phys.-1973.-V. 13.-P. 425-430.

[82] Преломов A. M. Когерентные состояния для плоскости Лобачевского. //Функ. анализ и его приложен.-1973.-Т. 7.-N З.-С. 57-66.

[83] Barut А. О., Girardelo L. New "coherent" states associated with non-compact Groups. //Commun. Math. Phys.-1971.-V. 21.-P. 41-55.

[84] Delbourgo R. Minimal uncertainty states for the rotation and allied groups. //J. Phys. A: Math, and Gen.-1977.-V. 10-P.1837-1846.

[85] Cooper F., Khare A., Sukhatme U. Supersymmetry and quantum mechanics. // Phys. Rep.- 1995.-V. 251.-P. 267-385.

[86] Fernandez C. D. J., Hussin V., Nieto L. M. Coherent states for isospectral oscillator Hamiltonians. //J. Phys. A: Math, and Gen-1994.-V. 27.-P. 3547-3564.

[87] Fernandez С. D. J., Nieto L. M., Rosas-Ortiz O. Distorted Heisenberg algebra and coherent states for isospectral oscillator Hamiltonians. //J. Phys. A: Math, and Gen.-1995-V. 28.-P. 2963-2708.

[88] Rosas-Ortis J. O. Fock-Bargman representation of the distorted Heisenberg algebra. //J. Phys. A: Math, and Gen -1996-V. 29-P. 3281-3288.

[89] Kumer M. S., Khare A. Coherent states for isospectral Hamiltonians. //E-print quant-ph/9509008.

[90] Spiridonov V. Universal superpositions of coherent states and self-similar potentials. //Phys. Rev-1995.-V. A52.-P. 1909-1935.

4¥ ■ ¥

[91] Багров В. Г., Самсонов Б. Ф., Шекоян JI. А. Преобразование Дарбу для нестационарного уравнения Шредингера // Известия вузов. Физика.-1995.-К 6.-С. 59 - 65.

[92] Bagrov V. G., Samsonov В. F., Shekoyan L. А. N order Darboux transformation and a spectral problem on semiaxis //E-print: quant - ph/9804032, 1998.

[93] Самсонов Б. Ф., Шекоян Л. А. Исследование одного класса потенциалов баргмановского типа // Известия вузов. Физика.-

1998.-N о .-С. 34 - 39.

[94] Багров В. Г., Самсонов Б. Ф., Шекоян Л. А. Когерентные состояния нестационарных солитонных потенциалов // Известия вузов. Физика-1998 -N 1-С. 84 - 90.

[95] Самсонов Б. Ф., Шекоян Л. А. Преобразование полуограниченным оператором симметрии когерентных состояний нерелятивистской свободной частицы. // Известия вузов. Физика.-

1999.-N 2.-С. 17 - 23.

[96] Самсонов Б. Ф., Шекоян JI. А. Преобразование Дарбу когерентных состояний нерелятивистской свободной частицы. // Известия вузов. Физика.-1999-N 2.-С. 24 - 30.

[97] Bagrov V. G., Samsonov В. F., Shekoyan L. A. Darboux transformation of coherent states //The Proceedings of XI International Conference "Problems of Quantum Field Theory", JINR, Dubna.-1999.-P. 277 - 281; e-print: math - ph/9809020, 1998. .......

[98] Samsonov B. F., Shekoyan L. A. Supersymmetry of the nonstationary Schrodinger equation and time dependent exactly solvable quantum models //E-print: quant - ph/9709039, 1997.

4-

[99] Bagrov V. G.^* Samsonov B. F., Shekoyan L. A. Holomorphic representation for anharmonic singular oscillator with a time-varying frequency //Proc. Int. Conf. " Geometrization of Phisics III", "Heter".- 1997.-P. 10 - 26.

[100] Самсонов Б. Ф., Овчаров И. Н. Некоторые свойства преобразований Дарбу высших порядков. //Изв. вузов. Физика.-1995-N 7.-С. 3-8.

[101] Finkel F., Gonzalez-Lopez A., Kamran N., Rodriguez M. A. On

the Darboux transformation for the time-dependent Schrodinger equation, //math-ph/9809013, 1998.

[102] Итс A. P., Матвеев В. Б. Операторы Шредингера с конечно-зонным спектром и /V-солитонные решения уравнения Корте-вега Де Фриса. //ТМФ.-1975.-Т. 23.-С. 51-68.

[103] Березовой В. П., Пашнев А. И. Одномерная расширенная суперсимметричная квантовая механика. //ТМФ.-1989.-Т. 78-С. -289 296.

[104] Sukumer С. V. Supersimmetry and potentials with bound states at arbitrary energies. II. //J. Phys. A: Math, and Gen.-1987.-V'. 20.-P. 2461-2481.

[105] Самсонов Б. Ф. Когерентные состояния солитонных потенциалов. //ЯФ.-1996.-Т. 59.-N 4.-С. 753-759.

[106] Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. V. - М.: ГИФМЛ, 1959, 655 С.

[107] Плеснер Л. И. Спектральная теория линейных операторов. -М.: Наука, 1965, 624 С.

[108] Никольский Н. К. Лекции об операторе сдвига. - М.: Наука, 1980, 383 С. -

[109] Ахиезер Н. И. Классическая проблема моментов. - М.: ГИФМЛ, 1961, 310 С.

[110] Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Пространства основных и обобщенных функций. - М.: Физматгиз, 1958, 307 С.

[111] Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Т. 2. -М.: Наука, 1968, 624 С.

[112] Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. - М.: Наука, 1974, 295 С.

[113] Прудников А. П., Брычков Ю. А., Марычев О. И. Интегралы и ряды. Специальные функции. - М.: Наука, 1983, 750 С.

[114] Brif С., Vourdas A., Mann A. Analytic representations based on SLT(l.l) coherent states and their applications. // J. Phys. A: Math, and Gen. - 1996. - V. 29. - P. 5873-5885.