Преобразование Дарбу одномерного стационарного уравнения Дирака тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Печерицын, Алексей Анатольевич

• Печерицын, Алексей Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Печерицын, Алексей Анатольевич

Введение

1 Преобразование Дарбу одномерного стационарного уравне ния Дирака

1.1 Оператор преобразования Дарбу.

1.2 Условие самосопряженности преобразованного потенциала

1.3 Взаимно-однозначное соответствие между пространствами решений

1.4 Факторизация полиномов дираковского гамильтониана

1.5 Оператор преобразования Дарбу как оператор в гильберто вом пространстве.

1.6 Скрытая квадратичная суперсимметрия уравнения Дирака

2 Преобразование Дарбу для потенциалов частного вида

2.1 Псевдоскалярный потенциал.

2.1.1 Преобразование Дарбу для псевдоскалярного потенциала

Ф 2.1.2 Соотношения между преобразованиями Дарбу уравнений Дирака и Шредингера

2.2 Скалярный потенциал.

2.2.1 Преобразование Дарбу для скалярного потенциала

2.2.2 Связь с преобразованиями Дарбу уравнения Шредингера.

2.3 Примеры

2.3.1 Прозрачные потенциалы.

2.3.2 Дираковский осциллятор.

2.3.3 Скалярный кулоновский потенциал

2.4 Периодические потенциалы.

2.4.1 Зонная структура релятивистского периодического по тенциала.

2.4.2 Построение периодического скалярного потенциала

2.4.3 Периодический псевдоскалярный потенциал

3 Цепочки преобразований Дарбу

3.1 Обобщение формул Крума-Крейна.

3.1.1 Оператор преобразования n-го порядка.

3.1.2 Преобразованный потенциал.

3.2 Другие формы записи результирующего действия цепочки преобразований.

3.2.1 Замена операции дифференцирования умножением на собственное значение.

3.2.2 Понижение порядка определителей.

3.3 Полиномиальная супералгебра, связанная с цепочками преф образований

3.4 Цепочки преобразований Дарбу матричного уравнения Шре-дингера.

3.4.1 Основная лемма.

3.4.2 Преобразование векторов.

3.4.3 Преобразование потенциала.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Преобразование Дарбу одномерного стационарного уравнения Дирака»

Точные решения основных уравнений квантовой механики, таких как уравнения Шредингера, Клейна-Гордона, Дирака и т.д., играют важную роль в современной теоретической физике. Имеется немало примеров того, что на их основе удается достичь более глубокого понимания физической сущности рассматриваемой модели. Кроме того, в последнее время практикуется аппроксимировать потенциалы уравнения Шредингера, не обладающие точными решениями, точно решаемыми потенциалами, что расширяет область применимости точно интегрируемых моделей (например, до применения в квантовой теории информации [1]). Особо необходимо отметить возможность применения точно решаемых потенциалов одномерных уравнений Шредингера и Дирака для получения решений нелинейных уравнений (см., например, [2]). В связи с этим развитие методов получения точных решений указанных уравнений является актуальным.

В нерелятивистской квантовой механике в последние годы достигнут значительный прогресс в этом направлении. Открытие метода обратной задачи рассеяния [3, 4, 5] позволило значительно увеличить количество точно решаемых потенциалов уравнения Шредингера (см. например, [6] -[8]) и сделало возможным развитие качественной теории управления спектрами нерелятивистских квантовых систем [9] - [11]. Хотя метод обратной задачи рассеяния развит также и для уравнения Дирака [12] - [18], в релятивистском случае подобный прогресс пока не наблюдается. Данная работа имеет свой основной целью частично ликвидировать этот пробел.

Эффективным методом конструирования уравнений, имеющих точное решение, является преобразование Дарбу. Впервые преобразования такого типа исследовались Имшенецким [19] и были систематически изучены Дарбу [20] - [22], после чего стали носить его имя. Впоследствии они многократно переоткрывались. Например, метод факторизации Шредингера [23]-[25], подробно исследованный в [26]—[28], является иной формулировкой преобразования Дарбу (см. обсуждение в [29]). Суперсимметричная квантовая механика, предложенная Виттеном [30, 31], также связана с преобразованием Дарбу, так как операторы, сплетающие отдельные компоненты супергамильтониана, являются преобразованиями Дарбу исходного уравнения Шредингера [32]. Отметим также, что часть результатов, получаемых методом обратной задачи, можно воспроизвести с помощью преобразования Дарбу. В частности, в случае вырожденного ядра, когда решения уравнения Гельфанда - Левитана - Марченко [4, 5] можно получить в замкнутом виде, интегральные преобразования метода обратной задачи эквивалентны частному случаю обобщенных преобразований Дарбу [29, 33]. Таким образом, метод преобразования Дарбу дает в некотором смысле универсальный подход к построению точно решаемых моделей [32, 29].

Конструирование новых точно решаемых потенциалов уравнения Шредингера с помощью преобразования Дарбу рассматривалось неоднократно (см., например [34] - [36]). Кроме того, это преобразование имеет многочисленные приложения к решению нелинейных уравнений математической физики [2, 37]. Применение метода преобразования Дарбу к нестационарному уравнению Шредингера и связанным с ним нелинейным уравнениям рассмотрено в работах [38, 39, 35].

Для уравнения Дирака наиболее распространенным методом генерации точно решаемых потенциалов является метод обратной задачи рассеяния [40] - [44]. Суперсимметрия уравнения Дирака рассматривалась в работах [45] - [49]. Отметим также цикл работ [50] - [52], в которых точные решения уравнения Дирака находятся с помощью точечных канонических преобразований.

Преобразование Дарбу одномерного уравнения Дирака изучено значительно менее подробно. По-видимому, впервые матричный дифференциальный оператор преобразования Дарбу уравнения Дирака с векторным и скалярным потенциалами был построен в работе Андерсона [53]. Однако определяющие уравнения для оператора преобразования были записаны автором в компонентах, поэтому итоговые выражения получились громоздкими и неудобными для анализа. Следует также отметить работу [54], в которой для отыскания частного решения уравнений обратной задачи используются дифференциальные операторы преобразования, аналогичные операторам преобразования Дарбу.

Другой подход к преобразованию Дарбу развивался в работах Матвеева и Салля [55, 56, 2]. В рамках этого подхода оно определялось как инвариантное матричное преобразование для ряда систем дифференциальных уравнений первого порядка. Основным объектом изучения являлись нелинейные уравнения, ассоциированные с этими системами, но полученные в этих работах результаты справедливы и для одномерного уравнения Дирака.

Доказанные в [2] общие теоремы были использованы в работе [57] для изучения прозрачных потенциалов одномерного безмассового уравнения Дирака. В результате был получен потенциал нового типа, связанные состояния которого погружены в непрерывный спектр. В работе [58] с помощью аналогичного подхода рассматривалось преобразование Дарбу одномерного нестационарного уравнения Дирака с электромагнитным потенциалом.

Общим недостатком всех указанных выше работ является то, что в них рассматриваются потенциалы специального вида, а также не исследованы полностью свойства преобразования Дарбу, такие как условие эрмитовости преобразованного потенциала или соотношение между спектрами исходного и преобразованного гамильтонианов.

Данная диссертация посвящена систематическому исследованию преобразования Дарбу одномерного стационарного уравнения Дирака с самосопряженным потенциалом общего вида. В ней решаются следующие основные задачи:

1. обобщение метода операторов преобразования Дарбу на системы дифференциальных уравнений, такие как одномерная система Дирака и матричное уравнение Шредингера, включающее получение явных выражений для оператора преобразования и потенциалов преобразованных уравнений;

2. исследование основных свойств найденных преобразований, таких как условие эрмитовости преобразованного потенциала, соответствие между пространствами решений исходного и преобразованного уравнений, позволяющее проследить изменение спектра, свойство факторизации операторами преобразования некоторого полинома от оператора Дирака, анализ операторов преобразования, как операторов, действующих в гильбертовом пространстве;

3. изучение особенностей преобразования Дарбу для скалярного и псевдоскалярного потенциалов и связей между преобразованиями Дарбу уравнений Дирака и Шредингера;

4. исследование цепочек преобразований Дарбу первого порядка и их замыкания в одно преобразование более высокого порядка;

5. обобщение формул, полученных для системы Дирака, на цепочки преобразований Дарбу матричного уравнения Шредингера.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. В первой главе из соотношения сплетения для двух дираковских гамильтонианов ho и hi выводятся формулы для матричного дифференциального оператора преобразования первого порядка и потенциала преобразованного уравнения. Показано, что оператор преобразования определяется функцией преобразования, которая является матричной собственной функцией исходного гамильтониана ho. Затем находится условие эрмитово-сти преобразованного потенциала и устанавливается взаимно-однозначное соответствие между пространствами решений исходного и преобразованного уравнений Дирака. Доказывается, что оператор преобразования Дарбу L и формально сопряженный ему оператор Ь+ факторизуют полиномы от гамильтонианов ho и h\. Далее оператор преобразования Дарбу рассматривается как оператор гильбертова пространства и обсуждаются вопросы

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Печерицын, Алексей Анатольевич

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [59]-[65].

В заключение я считаю своим долгом выразить глубокую признательность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Б.Ф. Самсонову и доктору физико-математических наук, профессору В.Г. Багрову за полезные обсуждения и всестороннюю помощь в работе.

Заключение

В настоящей диссертации получены следующие основные результаты.

1. Произведено обобщение метода операторов преобразования Дарбу на одномерное стационарное уравнение Дирака. Показано, что оператор преобразования и потенциал преобразованного уравнения определяются функцией преобразования и, которая является матричной собственной функцией исходного гамильтониана ho, соответствующей матричному собственному значению Л = diag(Ai, А2). Установлено взаимно-однозначное соответствие между пространствами решений исходного и преобразованного уравнений Дирака, позволившее сделать вывод о том, что спектр преобразованного оператора может отличаться от спектра исходного не более, чем двумя уровнями. Показано, что оператор преобразования L и ему сопряженный L+ факторизуют квадратичную функцию от операторов Дирака ho и hi и обнаружена его скрытая квадратичная суперсимметрия. Оператор преобразования проанализирован, как оператор действующий в гильбертовом пространстве. Найдены квазиспектральные разложения для операторов L и L+.

2. Подробно исследованы важные частные случаи псевдоскалярного и скалярного потенциалов. Найдены условия, при которых преобразованный потенциал остается потенциалом того же типа, что и исходный. Показано, что в данном случае преобразование Дарбу индуцирует соответствующие преобразования систем уравнений Шредингера, к которым сводится система Дирака.

3. Приведены многочисленные примеры новых точно решаемых потенциалов уравнения Дирака, сгенерированные из потенциалов свободной частицы и дираковского осциллятора, а также из скалярного кулоновского потенциала. Ряд полученных потенциалов не имеет аналогов в мировой литературе. Предложено релятивистское обобщение метода конструирования точно решаемых периодических потенциалов. Подробно исследованы периодические скалярный и псевдоскалярный потенциалы. В частности, для них найдено простое выражение для функции Ляпунова через элементарные функции, и показано, что использование этих потенциалы для моделирования зонной структуры в релятивистском случае является не более сложным, чем в нерелятивистском.

4. Подробно изучены цепочки преобразований первого порядка и их замыкания в один оператор более высокого порядка. Получено релятивистское обобщение детерминантных формул Крума-Крейна, значительно облегчающее проведение конкретных расчетов. Установлены условия, при которых полученные выражения сводятся к опубликованным в литературе ранее. Установлено свойство факторизации операторами преобразования высоких порядков некоторого полинома от дираковских гамильтонианов, приводящее к скрытой полиномиальной суперсимметрии уравнения Дирака.

5. Рассмотрено преобразование Дарбу матричного уравнения Шредингера. Построен матричный оператор преобразования первого порядка и получен преобразованный потенциал, которые, как и в случае уравнения Дирака, определяются матричной собственной функцией исходного гамильтониана. Изучены цепочки преобразований Дарбу и доказаны теоремы, обобщающие формулы Крума-Крейна также и на данный случай.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Печерицын, Алексей Анатольевич, 2003 год

1. Pershin Yu.V., Shevchenko S.N., Vagner 1.D., Wyder P. Electronic transport through a nuclear-spin-polarization-induced quantum wire // Phys. Rev. B. - 2002. - V. 66. - P. 035303-1 - 035303-5.

2. Matveev V., Salle M. Darboux Transformations and solitons. New York: Springer, 1991. - 120 p.

3. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спктральную теорию. -М.: Наука, 1970. 671 с.

4. Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М.: Наука. 1984. - 239 с.

5. Марченко В.Ф. Обратная задача рассеяния. Харьков: Изд. ХГУ, 1960. - 268 с.

6. Abraham Р.В., Moses Н.А. Changes in potentials due to changes in the point spectrum: anharmonic oscillators with exact solution // Phys. Rev. A. 1980. - V. 22. - P. 1333-1340.

7. Luban M., Pursey D.L. New Schrodinger equation for old: Inequivalence of the darboux and Abraham Moses constructions // Phys. Rev. A. -1986. - V. 33. - P. 431-436.

8. Purscy D.L. New families of isospectral Hamiltonians // Phys. Rev. A. -1986. V. 33. - P. 1048-1055.

9. Захарьев Б.Н. Уроки квантовой интуиции. Дубна: ОИЯИ, 1996. -299 с.

10. Захарьев Б.Н., Чабанов В.М. Качественная теория управления спектрами, рассеянием, распадами (уроки квантовой интуиции) // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 1994. - Т. 25. - С. 1561-1597.

11. Chabanov V.M., Zakhariev B.N. Theory of resonances and bound-state management // Phys. Rev. A. 1994. - V. 49. - P. R3159-R3161.

12. Гасымов М.Г., Левитан Б.М. Обратная задача для системы Дирака // ДАН СССР. 1966. - Т. 167. - С. 967-970.

13. Гасымов М.Г. Обратная задача теории рассеяния для системы уравнений Дирака порядка 2п // Труды Моск. Мат. общ-ва. 1968. Т. 19. С. 41-12.

14. Фролов И.С. Обратная задача рассеяния для системы Дирака на всей оси // Дан СССР. 1972. - Т. 207. - С. 44-47.

15. Grosse Н. New solitons connected to the Dirac equation // Phys. Repts. 1986. - V. 134. - P. 297-304.

16. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака. М.: Наука, 1988. - 431 с.

17. Hinton D.B., Jordan А.К., Klaus М., Shaw J.К. Inverse scattering on the line for the Dirac system // J. Math. Phys. 1991. - V. 32. - P. 3015-3030.

18. Khater A.H., Abdalla A.A., Callebaut D.K., Ramady A.G. Rational reflection coefficients in the inverse scattering for a Dirac system // Inverse Problems. 1999. - V. 15. - P. 241-251.

19. Имшенецкий В.Г. Распространение на линейные уравнения вообще способа Эйлера для исследования всех случаев интегрируемости одного частного вида линейных уравнений второго порядка // Зап. Имп. Акад. Наук. 1882. - Т. 42. - С. 1-21.

20. Darboux G. Sur la representation spheric des surfaces // Compt. Rend. Acad. Sci. Paris 1882. - V. 94. - P. 1343 - 1345.

21. Darboux G. Sur une proposition relative aux equation lineaires // Compt. Rend. Acad. Sci. Paris 1882. - V. 94. - P. 1456 - 1459.

22. Darboux G. Lemons sur la theorie gdn6rale des surfaces et les application g6om6triques du calcul infinit6simale. Paris: Guatier-Villar et Fils, 1889. - 522 p.

23. Schrodinger E. A method of determining quantum-mechanical eigenvalues and eigenfunctions // Proc. Roy. Irish. Acad. A. 1940. -V. 46. - P. 9-16.

24. Schrodinger E. The factorization of hypergeometric equation // Proc. Roy. Irish. Acad. A. 1941. - V. 47. - P. 53-54.

25. Schrodinger E. Further studies on solving eigenvalue problems by factorization // Proc. Roy. Irish. Acad. A. 1941. - V. 47. - P. 183-206.

26. Infeld Т.Е. On a new treatment of some eigenvalue problems // Phys. Rev. 1941. - V. 59. - P. 737-747.

27. Hull H., Infcld Т.Е. The factorization method, hydrogen intensities and related problems // Phys. Rev. 1948. - V. 74. - P. 905-909.

28. Infield Т.Е., Hull H. The factorization method // Rev. Mod. Phys. 1951. - V. 53. - P. 21-68.

29. Багров В.Г., Самсонов Б.Ф. Преобразование Дарбу, факторизация, суперсимметрия в одномерной квантовой механике // ТМФ 1995. -Т. 104. - С. 356-367.

30. Witten Е. Dynamical breaking of supersymmetry // Nucl. Phys. B.1981. V. 185. - P. 513-554.

31. Witten E. Constraints on supersymmetry breaking // Nucl. Phys. B.1982. V. 202. - P. 253-316.

32. Андрианов A.A., Борисов H.B., Иоффе M.B., Эйдес М.И. Суперсимметричная квантовая механика: новый взгляд на эквивалентность квантовых систем // ТМФ 1984. - Т. 61. - С. 17-28.

33. Samsonov B.F. On the equivalence of the integral and the differential exact solution generation methods for the radial Schrodinger equation // J. Phys. A. 1995. - V. 28 - P. 6989-6998.

34. Багров В.Г., Шаповалов А.В., Широков И.В. Методы генерации интегрируемых потенциалов уравнения Шредингера и нелокальные симметрии // Изв. ВУЗов, Физика 1991. - № 9 - С. 19-25.

35. Багров В. Г., Самсонов Б. Ф. Преобразование Дарбу уравнения Шредингера // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 1997. -Т. 28. - С. 951-1012.

36. Fernandez С. D.J., Mielnik В., Rosas-Ortis О., Samsonov B.F. New supersymmetric deformations of periodic potentials //J. Phys. A. 2002.- V. 35. P. 4279-4283.

37. Sukumar С. V. Supersymmetric quantum mechanics and the inverse scattering method // J. Phys. A. 1985. - V. 18. - P. 2937 - 2955.

38. Матвеев В.Б., Салль М.А. Нелокальные аналоги уравнений Кортевега- де Фриза и Кадомцева Первиашвили // ДАН. - 1981. - Т. 261. -С. 533-537.

39. Багров В.Г., Самсонов Б.Ф., Шекоян JI.A. Преобразования Дарбу для нестационарного уравнения Шредингера // Изв. ВУЗов, Физика -1995. ДО 7. - С. 59-65

40. Адамян М.Н. О возмущениях потенциала в радиальном уравнении Дирака, приводящих к умножению спектральной плотности на многочлен // Теор. и мат. физ. 1975. - Т. 22. - С. 236-243.

41. Nogarni Y., Toyama F.M. Transparent potential for the one-dimensional Dirac equation // Phys. Rev. A. 1992. - V. 45. - P. 5258-5261.

42. Toyama F.M., Nogami Y., Zhao Z. Relativistic extension of the Kay-Moses method for constructing transparent potentials in quantum mechanics // Phys. Rev. A. 1993. - V. 47. - P. 897-902.

43. Nogami Y., Toyama F.M. Reflectionless potentials for the one-dimensional Dirac equation: Pseudoscalar potentials //Phys. Rev. A. 1998. - V. 57. - P. 93-97.

44. Toyaina F.M., Nogami Y. Harmonic oscillator in relativistic quantum mechanics // Phys. Rev. A. 1999. - V. 59. - P. 1056-1062.

45. Hughes R.J., Kostelecky V.A., Nieto M.M. Supersymmetric quantum mechanics in a first-order Dirac equation // Phys. Rev. D. 1986. -V. 34. - P. 1100-1107.

46. Cooper F., Khare A., Musto R., Wipf A. Supersymmetry and the Dirac equation // Annals of Physics 1988. - V. 187. - P. 1-28.

47. Beckers J., Debergh N. Supersymmetry, Foldy-Wouthusen transformation, and relativistic oscillators // Phys. Rev. D. 1990. -V. 42. - P. 1255-1259.

48. Martinez у Romero R.P., Moreno M., Zentella A. Supersymmetric properties and stability of the Dirac sea // Phys. Rev. D. 1991. - V. 43. - P. 2036-2040.

49. Nogami Y., Toyama F.M. Supersymmetric aspects of the Dirac equation in the one dimension with a Lorentz scalar potential // Phys. Rev. A. -1993. V. 47. - P. 1708-1714.

50. Alhaidari A.D. Graded extension of so(2,1) Lie algebra and the search for the exact solutions of the Dirac equation by point canonical transformations // Phys. Rev. A. 2002. - V. 65. - P. 042109-1 -042109-8.

51. Alhaidari A.D. Solution of the Relativistic Dirac-Morse Problem // Phys. Rev. Lett. 2001. - V. 87. - P. 210405-1 - 210405-1.

52. Alhaidari A.D. Relativistic extension of shape-invariant potentials //J. Phys. A. 2001. - V. 34 - P. 9827-9833.

53. Anderson A. Intertwining of exactly solvable Dirac equations with one-dimensional potentials // Phys. Rev. A 1991. - V. 43. - P. 4602-4610.

54. Daskalov V.B., Khristov E.Kh. Explicit formulae for the inverse problem for the regular Dirac operator // Inverse Problems. 2000. -V. 16 - P. 247-258.

55. Салль M.A. Преобразования Дарбу для неабелевых и нелокальных уравнений типа цепочки Тоды // ТМФ. 1982. - Т. 53. - С. 227-237.

56. Салль M.A. L-A пары с рациональной зависимостью от спектральных параметров. Преобразование Дарбу // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1987. Т. 161. С. 72-75.

57. Stahlhofen А.А. Supertransparent potentials for the Dirac equation // J. Phys. A. 1994. - V. 27. - P. 8279-8290.

58. Yurov A.V. Darboux transformation for the Dirac equation with (1+1) potentials // Phys. Lett. A. 1997. - V. 225. - P. 51-59.

59. Самсонов Б.Ф., Печерицын А.А. Преобразование Дарбу одномерного стационарного уравнения Дирака // Изв. ВУЗов, Физика. 2000. -Т. 43. - С. 48 - 54.

60. Debergh, N., Pecheritsin, А.А., Samsonov, B.F., Van Den Bossche, B. Darboux transformations of the one-dimensional stationary Dirac equation // J. Phys. A. 2002. - V. 35. - P. 3279-3287.

61. Nicto L.M., Pecheritsin A.A., Samsonov B. F. Intertwining technique for the one-dimensional stationary Dirac equation // Ann. Phys. 2003. -V. 305. -P. 151 - 189.

62. Самсонов Б.Ф., Печерицын A.A. Преобразование Дарбу для одномерного стационарного уравнения Дирака с псевдоскалярным потенциалом // Изв. ВУЗов, Физика. 2002. Т. 45. - С. 14 - 19.

63. Самсонов Б.Ф., Печерицын А.А. Преобразование Дарбу для одномерного стационарного уравнения Дирака со скалярным потенциалом // Изв. ВУЗов, Физика. 2002. Т. 45. - С. 74 - 79.

64. Samsonov B.F., Petcheritsin A.A., Pozdeeva E.O., Glasser M.L. New exactly solvable periodic potentials for the Dirac equation // Eur. J. Phys. 2003. - V. 24. - P. 435-441.

65. Samsonov B.F. Pecheritsin A.A. Chains of Darboux Transformations for the Matrix Schrodinger Equation. J. Phys. A. 2004. - V. 37. - P. 239-250.

66. Рид M., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. - 357 с.

67. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 5. М.: Физматгиз, 1959.- 655 с.

68. Данфорд Н, Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. Т. 2.- М.: Мир, 1966. 1063 с.

69. Beckers J., Debergh N., Gotti С. On generalized Darboux transformations and symmetries of Schrodinger equations // Helv. Phys. Acta. 1998. -V. 71. - P. 214-232.

70. Bagchi B.K. Supersymmetry in Quantum and Classical Mechanics. New York: Chapman and Hall, 2001. - 240 p.

71. Thaler B. The Dirac Equation. Berlin: Springer, 1992. - 357 p.

72. Toyama F.M., Nogami Y., Coutinho F.A.B. Behavior of wavepackets of the "Dirac oscillator": Dirac representation versus Foldy-Wouthuysen representation // J. Phys. A 1997. - V. 30. - P. 2585-2595.

73. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1971. - 1108 с.

74. Soff G., Muller В., Rafelski J., Greiner W. Solution of the Dirac equation for the scalar potentials and its implications in atomic physics // Z. f. Naturforsch. A. 1973. - V. 26. -P. 1389-1396.

75. Benvegnu S. Relativistic point interaction with Coulomb potential in one dimension // J. Math. Phys. 1997. - V. 38. - P. 556-570.

76. Dominguez-Adame F. Dirac particles in the potential — l/|x| // Am. J. Phys. 1990. - V. 58. - P. 886-888.

77. Choon-Lin Ho, Khalilov V. R. Fractional fermion number in a (l+l)-dimensional Dirac equation with a scalar Coulomb field // Phys. Rev. D. 2000. - V. 63. - P. 027701-1-027701-2.

78. Mendez B. and Dorningues-Adame F. A simple numerical method for the determination of relativistic one-dimensional band structures //J. Phys. A. 1991. - V. 24. - P. L331-L336.

79. McKellar В. H. J. and Stephenson G. J. Relativistic quarks in one-dimensional periodic structures // Phys. Rev. C. 1987. - V. 35 - P. 2262-2271.

80. McKellar В. H. J. and Stephenson G. J. Klein paradox and the Dirac-Kronig-Penney model // Phys. Rev. A. 1987. - V.36. - P. 2566-2569.

81. Glasser M. L. A class of one-dimensional relativistic band models Am. J. Phys. 1983. - V. 51. - P. 936-939.

82. Samsonov B. F. On periodic continuation of soliton potentials beyond a bounded interval // Eur. J. Phys. 2001. - V. 22. - P. 305-313.

83. Crum M.M. Assotiated Sturm-Liouvillc systems // Quart. J. Math., Ser 2. 1955. - V. 6. - P. 121-126.

84. Крейн М.Г. О континуальном аналоге одной формулы Кристоффеля из теории ортогональных многочленов // ДАН СССР. -1957. Т. 113. - С. 970-973.

85. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М: Наука, 1967. - 576с.

86. Daskalov V. В. On the inverse problem for the regular Sturm-Liouville operator // Inverse Problems 1996. -V. 12. - P. 207-217.

87. Beckers J. Debergh N. Lie structures in parasupersymmetric quantum mechanics. I. The standard supersymmetrization procedure //J. Math. Phys. 1991. - V. 32. - P. 1808-1814.

88. Andrianov A.A., Ioffe M.V., Spiridonov V.P., Vinet L. Parasupersymmetry and truncated supersymmetry in quantum mechanics // Phys. Lett. B. 1991. - V. 272. - P. 297-304.

89. Ньютон P. Теория рассеяния волн и частиц. М: Мир, 1969. - 608 с.

90. Sparenberg J.-M., Вауе D. Supersymmetry between phase-equivalent coupled-channel potentials // Phys. Rev. Lett. 1997. - V. 79. -P. 3802-3805.

91. Sparenberg J.-M., Baye D., Imatishi B. Coupled-reaction-channel calculations of the 160 + 170 and 160 + 17F charge symmetric systems // Phys. Rev. C. 2000 - V. 61. - P. 054610-1 - 054610-10.

92. Lccb H., Sofianos S.A., Sparenberg J.-M., Baye D. Supersymmctric transformations in coupled-channel systems // Phys. Rev. C. 2000 -V. 62. - P. 064003-1 - 064003-5.

93. Calogero F., Degasperis A. Nonlinear evolution equations solvable by inverse spectral transform // Lett. Nuovo Cimento B. 1977. - V. 39. -P. 1-53.

94. Gibbons J., Hermsen Th. A generalization of the Calogero-Moser system // Physica. D. 1984. - V. 11. - P. 337-348.

95. Krichever I., Babelon O., Billey E., Talon M. Spin generalization of the Calogero-Moser system and the matrix KP equation // Am. Math. Soc. Transl. 1995. - V. 170. - P. 83-119.

96. Goncharenko V.M., Veselov A.P. Monodromy of the matrix Schrodinger equations and Darboux transformations //J. Phys. A. 1998. - V. 31. -P. 5315-5326.

97. Samsonov B.F., Stancu Fl. Phase equivalent chains of Darboux transformations in scattering theory // Phys. Rev. C. 2002 - V. 66. - P. 034001-1 - 034001-12.

98. Samsonov B.F., Stancu Fl. Phase shift effective range expansion from supersymmctric quantum mechanics // Phys. Rev. C. 2003 - V. 67. -P. 054005-1 - 054005-6.

99. Гельфанд И.М., Ретах B.C. Детерминанты матриц над некоммутативными кольцами // Функц. ан. и его приложения. 1991. - Т. 25. - С. 13-25.