Преобразование Дарбу функции Грина уравнения Дирака и одномерные точно решаемые релятивистские модели тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Поздеева, Екатерина Олеговна

• Поздеева, Екатерина Олеговна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Поздеева, Екатерина Олеговна

Введение

Одномерное четырёхкомпонентное уравнение Дирака

1.1 Одномерное четырехкомпонентное уравнение Дирака

1.2 Преобразование Дарбу одномерного четырехкомпо-нентного уравнения Дирака.

1.3 Точно решаемый гамильтониан взаимодействия нейтральной массивной частицы спина 1/2 с электрическим полем.

1.4 Цепочка преобразований.

1.5 Функции Ляпунова.

1.6 Физическая интерпретация.

1.7 Односолитонные гамильтонианы.

1.8 Многосолитонные форм-инвариантные гамильтонианы

1.9 Структура спектров и собственных функций гамильтонианов

Преобразование Дарбу нестационарного уравнения

Дирака

2.1 Суперсимметрия.

2.1.1 Квадратичная суперсимметрия.

2.1.2 Суперсимметрия одномерного нестационарного уравнения Дирака.

2.2 Преобразование Дарбу нестационарного уравнения Дирака. Оператор преобразования Дарбу.

2.3 Преобразование Дарбу нестационарного уравнения Дирака со скалярным потенциалом.

2.4 Свойства преобразования Дарбу.

2.5 Интегральное преобразование, связанное с преобразованием Дарбу

2.6 Примеры .'.

3 Преобразование Дарбу функции Грина регулярной краевой задачи одномерного двухкомпонентного стационарного уравнения Дирака

3.1 Теорема Саку мара.

3.2 Обобщение теоремы Сакумара на случай уравнения Шредингера с эффективной массой.

3.3 Функция Грина регулярной краевой задачи одномерного уравнения Дирака

3.4 Преобразование Дарбу функции Грина регулярной краевой задачи одномерного стационарного уравнения Дирака.'.

3.5 Формулы полного следа.

3.6 Преобразование Дарбу функции Грина уравнения Дирака с псевдоскалярным потенциалом.

3.7 Обсуждение.

3.8 Формула Сакумара для уравнения Дирака

3.8.1 Формула Сакумара для уравнения Дирака

3.8.2 Пример

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Преобразование Дарбу функции Грина уравнения Дирака и одномерные точно решаемые релятивистские модели»

Метод конструирования аналитически решаемых уравнений с помощью операций дифференцирования из уравнений, которые уже имеют аналитические решения, называется методом преобразования Дарбу[1, 2]. В настоящее время метод преобразования Дарбу [1, 3] широко применяется для построения квантово-механи-ческих моделей, допускающих точные аналитические решения [4, 5, 6, 7, 8].

Идея метода была предложена французким математиком Га-стоном Дарбу. В 1882 г. Г. Дарбу на основе решений одномерного уравнения Штурма-Лиувилля нашел формулы, позволяющие конструировать новые точно решаемые потенциалы уравнения Штурма-Лиувилля и соответствующие решения [1, 2]. В 1926 г. было сформулировано уравнение Шредингера [9] и метод преобразований Дарбу был применен для построения точное решаемых задач квантовой механики.

Значительный вклад в дальнейшее развитие метода был сделан М. Крумом. В 1954 г. М. Крум сконструировал цепочки преобразований Дарбу n-ого порядка уравнения Шредингера [10], независимо от метода факторизаций. Впервые (1873 г.) метод фак-торизаций был предложен Ф. Г. Фробениусом [11, 12], однако, распространение получил как метод факторизаций Шредингера [13, 14, 15].

Современная концепция преобразований Дарбу принадлежит В.Б. Матвееву, обобщившему и переформулировавшему в 1979 году результаты Дарбу—Крума применительно к бесконечным иерархиям линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных и некоторым их обобщениям (например, дифференциально-разностным и матричным), включая нелинейное уравнение Шредингера, уравнения Кортевега-де Фриза, Кадомцева—Петвиашвили и многие другие [16, 17]. Многочисленные конкретные реализации метода [16, 17] суммированы в монографии [18].

Отметим, что в неявном виде результаты математических работ [16, 18, 19] содержат случаи стационарного и нестационарного двухкомпонентного уравнения Дирака. Результаты, полученные В. Б. Матвеевым, сводятся при определенных упрощениях к преобразованию Дарбу уравнения Дирака свободной частицы. В 1982 г. М. А. Салль рассмотрел преобразование Дарбу уравнения афинной решетки Тода, в том числе и в представлении Лакса [19]. Двухкомпонентное уравнение Дирака может быть получено из уравнения двухмерной некоммутативной решетки Тода в представления Лакса [18, 19]. В явном виде систематическая разработка техники преобразований Дарбу—Крума для одномерного двухкомпонентного стационарного уравнения Дирака представлена в работах [20, 21, 22, 23], где проведен детальный анализ свойств преобразований Дарбу одномерного стационарного уравнения Дирака с потенциалом общего вида. Одной из задач диссертации является разработка в явном виде техники преобразований Дарбу одномерного нестационарного уравнения Дирака с обобщенным матричным потенциалом и детальный анализ свойств полученного преобразования.

Кроме того, метод преобразований Дарбу может быть применен не только к квантово-механическим уравнениям, но и к соот-венствующим функция Грина. К настоящему времени метод преобразований Дарбу (суперсимметричные преобразования) применен к функциям Грина краевой задачи уравнения Шредингера с постоянной массой, получена формула интеграла разности преобразованной и исходной функций Грина [24]. В диссертации рассматривается преобразование Дарбу функции Грина регулярной краевой задачи, получены формулы полного следа (интеграла следа) от разности преобразованной и исходной функций Грина уравнения Дирака. Интересной является также задача распространения аналогичной техники на функции Грина краевой задачи уравнения Шредингера с эффективной массой.

В 1984 г. была обнаружена связь метода преобразований Дарбу с суперсимметричной квантовой механикой [25, 26, 27]. Суперсимметрия играет важную роль в современной математической и теоретической физике. Суперсимметричная квантовая механика [28, 29, 30] является лабораторией суперсимметричной квантовой теории поля [31] и эффективным инструментом для изучения физических систем [32, 33, 34]. Суперсимметричная квантовая механика нашла применение для изучения двухкомпонентного уравнения Дирака в случае атома водорода [35], анализа взаимосвязи между потенциалами, используемыми в ядерной физике [36, 37], для исследования систем электронов в магнитных полях [38, 39].

Важное значение для понимания явлений в физике твердого тела и атомного ядра имеет изучение свойств релятивистской частицы, движущейся в одномерном периодическом потенциале [40, 41, 42]. Этой задаче посвящен ряд работ, в которых рассматривалось релятивистское обобщение классической модели Кронига—Пенни [40, 43]. Одним из видов периодического движения частиц является каналирование.

Методом компьютерного моделирования [44] в 60-х гг. прошлого столетия было открыто каналирование [45] заряженных частиц и ионов. С тех пор для исследования каналирования широко применяется методы компьютерного моделирования, например, метод Монте-Карло [46]. Кроме методов компьютерного моделирования существуют методы теоретического исследования, основанные на квантово-механических моделях, например, модель Линхарда [47] и ее дальнейшее развитие [48].

В работах [49, 50] на основе условий квазипериодичности была построена функция Ляпунова двухкомпонентного уравнения Дирака с точно решаемым потенциалом. На основе функции Ляпунова можно вычислить зонную структуру спектра. В диссертации аналогичная техника приложена к дарбу-преобразованному четырехкомпонентному уравнению Дирака [51, 52], позволяющему выявить когерентно-швингеровекое взаимодействие при кана-лировании нейтральных частиц спина 1/2 в кристалле.

Диссертация посвящена преобразованию Дарбу функции Грина регулярной краевой задачи одномерного уравнения Дирака, нахождению формул полного следа (интеграла от следа) от разности преобразованной и исходной функций Грина, обобщению формул Сакумара на случай преобразования Дарбу функции Грина регулярной краевой задачи одномерного уравнения Дирака и построению на основе метода преобразования Дарбу точно решаемых одномерных моделей. В диссертации общие идеи метода операторов преобразования применены для развития техники преобразования Дарбу одномерного нестационарного уравнения Дирака с самосопряженным матричным потенциалом общего вида (включающего в себя в качестве частных случаев скалярный, псевдоскалярный и векторный потенциалы), подробно исследованы свойства этого преобразования. Цепочкой преобразований Дарбу сконструирован ряд новых точно решаемых тензорных потенциалов. Для каэюдого потенциала цепочки построена функция Ляпунова, позволяющая определить соответствующую зонную структуру спектра.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Поздеева, Екатерина Олеговна

Заключение

В настоящей диссертации получены следующие результаты.

1. Методом преобразований Дарбу сгенерированы скалярный и тензорный потенциалы одномерного четырехкомпонентного уравнения Дирака. Найдена их физическая интерпретация.

2. Методом преобразований Дарбу сгенерирована цепочка точно решаемых тензорных потенциалов уравнения Дирака. Построены функции Ляпунова для каждого потенциала цепочки.

3. Для каждого периодического продолжения потенциалов цепочки найдено аналитически выраженные через элементарные функции алгебраические конструкции, отвечающие за устойчивость решений стационарного уравнения Дирака с периодическими потенциалами.

4. Методом преобразований Дарбу сконструировано двупара-метрическое семейство точно решаемых дираковских гамильтонианов. Получены соотношения сплетения между различными членами этого семейства.

5. Метод преобразования Дарбу обобщен на одномерное нестационарное уравнение Дирака с самосопряженным потенциалом общего вида. Найдено, что оператор преобразования и потенциал преобразованного уравнения определяются зависящей от времени матричной функцией преобразования, которая является одним из матричных решений исходного нестационарного уравнения Дирака.

6. Исследованы свойства преобразования Дарбу одномерного нестационарного уравнения Дирака.

- Установлено, что, в отличие от стационарного уравнения Дирака, взаимнооднозначное соответствие между пространствами решений исходного и преобразованного уравнений отсутствует. Однако при определенных условиях можно установить взаимнооднозначное соответствие между ядрами операторов преобразования Дарбу и сопряженного оператора преобразования.

- Найдены условия, при которых посредством преобразования Дарбу одномерного нестационарного уравнения Дирака из скалярного потенциала генерируется снова скалярный потенциал.

7. С помощью исследованных свойств преобразования Дарбу построено преобразование, на основе которого конструируются точно решаемые потенциалы интегрального вида нестационарного уравнения Дирака. Найден соответствующий вид решений. Сформулированы условия, при которых интегральное преобразование позволяет сгенерировать из скалярного потенциала снова скалярный потенциал.

8. Рассмотрено преобразование Дарбу функции Грина регулярной краевой задачи одномерного стационарного двухкомпо-нентного уравнения Дирака.

9. Получены формулы полного следа от разности преобразованной и исходной функций Грина регулярной краевой задачи одномерного стационарного двухкомпонентного уравнения Дирака. Показана их эквивалентность.

10. Дано обобщение теоремы Сакумара о следе разности исходной и преобразованной Шредингеровских функций Грина на случай одномерного уравнения Дирака.

11. Теорема Сакумара обобщена на случай преобразования Дарбу регулярной краевой задачи уравнения Шредингера с эффективной массой.

В заключение считаю своим долгом выразить глубокую признательность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору В. Г. Багрову за постановку задач и целенаправленное научное руководство, а также поблагодарить своих коллег, соавторов и друзей за полезные обсуждения, помощь и поддержку при выполнении данной работы. Работа частично поддержана грантом Фонда некоммерческих программ "Династия".

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Поздеева, Екатерина Олеговна, 2008 год

1. G. Darboux, Compt. Rend. Acad. Sci Paris, 94, 1343; ,1456 (1882) physics/9908003].

2. G. Darboux, Compt. Legons sur la theorie дёпёга1е des surfaces et les application geometriques du calcul infinitesimate, Paris: Guatier-Villar et Fils, 522 (1889).

3. H.C. Rosu, Proc. Symmetries in Quantum Mechanics and Optics, Spain, Serv. de Publ. Univ. Burgos., 301 (1999) arXiv:quant-ph/980956].

4. C.V. Sukumar, J. Phys. A, 18, L697 (1985).

5. C.V. Sukumar, J. Phys. A, 18, L57 (1988).

6. В.Г. Багров, Б.Ф. Самсонов, ГЩ 104, 356 (1994).

7. В.Г. Багров, Б.Ф. Самсонов, ЭЧАЯ, 28, 951 (1997).

8. В.Г. Багров, Б.Ф. Самсонов Преобразование Дарбу и точно решаемые задачи в квантовой механике, Лекционные заметки. Казань, 9 (2000).

9. Э. Шредингер, Избранные труды по квантовой механике, М.: Наука (1976).

10. М. Crum, Quat. J. Math., 6, 121 (1955) physics/9908019].

11. F.G. Frobenius, J. fur Math., 76, 214 (1873).

12. F.G. Frobenius, J. fur Math., 77, 245 (1874).

13. E. Schrodinger, Proc. Roy. Irish. Acad. A, 46, 9 (1940).

14. E. Schrodinger, Proc. Roy. Irish. Acad. A, 47, 53 (1941).

15. E. Schrodinger, Proc. Roy. Irish. Acad. A, 47, 183 (1941).

16. V.B. Matveev, Lett. Math. Phys., 3, 213 (1979)

17. V.B. Matveev, Lett. Math. Phys., 3, 217 (1979)

18. V.B. Matveev and M.A. Salle, Darboux Transformations and Solitons, Berlin, Springer (1991).

19. M.A. Salle, Theor. Math. Phys., 185 513 (1982).

20. L. M. Nieto, A.A. Pecheritsin and B.F. Samsonov, Ann. Phys., 305, 151 (2003).

21. Б.Ф. Самсонов, A.A. Печерицын, Изв. ВУЗов. Физика, 11, 48 (2000).

22. Б.Ф. Самсонов, А.А. Печерицын Изв. ВУЗов. Физика, 1, 74 (2002).

23. Б.Ф. Самсонов, А.А. Печерицын Изв. ВУЗов. Физика, 1, 14 (2002).

24. C.V. Sukumar, J. Phys. A: Math. Gen., 37, 10287 (2004).

25. A.A. Адрианов, Н.Б. Борисов, М.В. Иоффе, ТМФ, 61(1), 17 (1984).

26. А.А. Адрианов, Н.Б. Борисов, М.В. Иоффе, ТМФ, 61(2), 183 (1984).

27. A.A. Andrianov, N.V. Borisov, M.J. Ioffe, Phys. Lett B, 181, 141 (1986).

28. E. Witten, Nucl. Phys. B, 185, 513 (1981).

29. E. Witten, Nucl. Phys. B, 202, 253 (1982).

30. H. Nicolai, J. Phys. A: Math. Gen., 9, 1497 (1976).

31. E.Witten. J. Diff. Geom17, 661 (1982).

32. A. Schulze-Halberg, Int. J. Mod. Phys. A, 22, 1735 (2007).

33. A. Schulze-Halberg, Int. J. Mod. Phys. A, 21, 4853 (2006).

34. D.-Y. Song and J.K. Klauder, J. Phys. A, 38, 5831 (2005).

35. C.V. Sukumar, J. Phys. A: Math. Gen., 18, L697 (1985).

36. D. Baye, Phys. Rev. Lett., 58, 2738 (1987).

37. D. Baye, Phys. Rev. Lett., 73, 2789 (1987).

38. A. Khare, J. Mahanara, Nucl. Phys. B, 244, 409 (1984)

39. F. Cooper, A. Khare and U. Sukhatme, Phys.Rept, 251, 267 (1995).

40. H.J. Bruce, B.H.J. McKellar and G.J. Sterpheson, Phys. Rev. C, 35, 2262 (1987).

41. B. Mendez, F. Domingues-Adame, J. Phys. A: Math. Gen., 24, 331 (1991).

42. S. Albeverio, F. Gesztesy, R. Hoegh—Krohn R, H. Holden, Solvable models in quantum mechanics. New York: Springer, 452 (1988).

43. B.H.J. McKellar, G.J. Stephenson, Phys. Rev. A., 36, 2566 (1987).

44. M.T. Robinson , O.S. Oen, Phys. Rev., 132, 2385 (1963).

45. R.S. Nelson, M.W. Thompson, Phil. Mag., 8, 1677 (1963).

46. А.Г. Кадменский , Г.А. Иферов , А.Ф. Тулинов, Тр. VВсесо-юз. совещ. по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами. М. 20 (1974).

47. Д. Линхард, УФЕ, 99, 249 (1969).

48. А.Ф. Тулинов, В.В.Самарин, А.Г. Кадменский, ЭЧАЯ,М, 822 (2003).

49. V.G. Bagrov, A.A. Pecheritsin, Е.О. Pozdeeva, B.F. Samsonov, Соттип. Nonlin. Scien. and Num. Simul, 9, 13 (2004).

50. B. F. Samsonov, A. A. Percheritsin, E. O. Pozdeeva and M. L. Glasser, Eur. J. Phys., 24, 435 (2003).

51. Е.О. Поздеева, Математика и ее приложения, 3, 39 (2006).

52. Е.О. Поздеева, Поверхность, 3, 66 (2007).

53. Е.О. Поздеева, Когерентно—швингеровское взаимодействие из преобразований Дарбу. Поверхность, 4 (2009), принята к печати arXiv: 0708.4000 (hep-th)].

54. Е.О. Поздеева, Новое двупараметрическое семейство точно решаемых дираковских, ТМФ (2009), принята к печати arXiv: 0807.1422 (hep-th)].

55. А.А. Печерицын, Е.О. Поздеева, Б.Ф. Самсонов, Изв. ВУЗов. Физика, 4, 34 (2005).

56. Е.О. Поздеева, Суперсимметричное обобщение одномерного нестационарного уравнения Дирака, Новейшие проблемы теории поля, Казань, 5, 188 (2006).

57. Е.О. Поздеева, Преобразование Дарбу нестационарного уравнения Дирака Материалы международной научной студенческой конференции "Студент и научно—технический прогресс". Физика. Новосибирск, 181 (2004).

58. Е.О. Поздеева, В.Г. Багров, А.А. Печерицын, Точно решаемые потенциалы нестационарного уравнения Дирака, Труды Всероссийской конференции студентов и молодых ученых "Перспективы развития фундаментальных наук". Томск, 150 (2004).

59. Е.О. Поздеева, Математика и ее приложения, 2, 91 (2005).

60. Е. Pozdeeva, Int. J. Mod. Phys. A, 23, 247 (2008).

61. E. Pozdeeva, J. Phys. A, 41, 145208-145217 (2008).

62. E. Pozdeeva, A. Sehulze-Halberg, J. Phys. A, 41, 265201265214 (2008).

63. E. Pozdeeva, A. Sehulze-Halberg, Int. J. Mod. Phys. A, 23, 2635 (2008).

64. F. Cooper, A. Khare, R. Musto and A. Wipf, Ann. Phys., 187, 1 (1988).

65. G.J. Clerk and B.H.J. McKeller, Phys. Rev. B, 47, 6942 (1993).

66. F.A.B. Countinho and Y. Nogami Phys. Lett. A, 124, 211 (1987).

67. N.D. Sen Gupta, Phys. Lett. A, 135, 427 (1989).

68. U. Percoco, V.M. Villalba, Phys. Lett. A, 141, 221 (1989).

69. C.L. Roy, Phys. Rev. A, 47, 3417 (1993).

70. G.J. Clerk, B.H.J. McKeellar, J. Phys. A: Math. Gen., 25, L864l1992).

71. Y. Nogami, F.M. Toyama, Phys. Rev. A, 45, 5258 (1992).

72. F.M. Toyama, Y. Nogami, Z. Zhao, Phys. Rev. A, 47, 8971993).

73. Y. Nogami, F.M. Toyama, Phys. Rev. A, 47, 1708 (1993).

74. C.L. Roy, F.M. Toyama, Phys. Lett. A, 189, 345 (1994).

75. Channeling: theory, observation and application. Ed. by D.V. Morgan, London: Academic Press (1973).

76. В.И. Высоцкий, P.H. Кузьмин, УФК, 162, 2 (1992).

77. В.А. Рябов, Эффект каналирования, М.: Энергоиздат1994).

78. Теория излучения релятивистских частиц. Под ред. В.А. Бордовицина, М.: Физматлит (2002).79. "Channeling 2006" http://www.lnf.infn.it/conference/channe-ling2006.

79. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Квантовая электродинамика, М.: Наука (1989).

80. A. Anderson, Phys. Rev. А, 43, 4602 (1991).

81. A.V. Yurov, Phys. Lett. A, 225, 51 (1997).

82. Th.F. Moutard, C. R. Acad. Sci., Paris 80, 729 (1875).

83. M.J. Ablowitz and H. Segur, Solitons and the Inverse Scattering Transform, Philadelpia: SIAM (1981).

84. C.V. Sukumar, J. Phys., A 18 2917 (1985).

85. A.A. Suzko, Int. J. Mod. Phys. A, 12, 277 (1997).

86. V.G. Bagrovand B.F. Samsonov, Theor. Math. Phys., 104, 3561995).

87. Y. Nogami and F.M. Toyama, Phys. Rev., A 47, 1708 (1992).

88. Y. Nogami and F.M. Toyama, Phys. Rev., A 57, 93 (1998).

89. И.С. Гранштейн и И.М. Рыжик, Таблицы интегралов, ряды и произведения. М.: Наука (1971).

90. V.V. Fedorov, E.G. Lapin, S.Y. Semenikhin, Physica, В 297 293 (2001).

91. V.V. Fedorov, E.G. Lapin, S.Y. Semenikhin, Appl Phys., A 74 Suppl. 1] s91 (2002).

92. В.В. Федоров, В.В. Воронин, Динамическая дифракция и оптика нейтронов в нецентросимметричных кристаллах. Поиск ЭДМ нейтрона: новые возможности, СПб.: Изд-во ПИЯФ (2004).

93. Н.А. Власов, Нейтроны, М.: Наука (1973).

94. В.К. Игнатович, УФН, 150, 144 (1986).

95. F. Partovi and E.L. Lomon, Phys. Rev. D, 5 1192 (1972).

96. J.F. Donoghue, Phys. Lett.B, 643, 165 (2006).

97. Л.Д. Ландау и E.M. Лифшиц, Квантовая механика, М.:Наука (1974).

98. G. Poschl and Е. Teller, Z. Phys., 83, 143 (1933).

99. V. Matveev and P. Gaillard Wronskian additional formula and its applications, Preprint 02-31 of Max-Planck Institut fur Mathematik in den Naturwissenschaften Leipzig, Bonn, 1-17 (2002), http://www.mpim-bonn.mpg.de.

100. T.T. Khachidze and A.A. Khelashvili, Supersymmetry in the Dirac equation for generalized Coulomb potential, arXiv:hep-th/0701259.

101. T.T. Khachidze and A.A. Khelashvili, Algebraic derivation of spectrum of the Dirac Hamiltonian for arbitrary combination of Lorentz-scalar and Lorentz-vector Coulomb potentials, arXiv:hep-th/0612199.

102. A. Schulze-Halberg, Int. J. Mod. Phys. A, 21, 1359 (2006).

103. D.-Y. Song, J.K. Klauder, J. Phys. A, 36, 8673 (2003).

104. D.-Y. Song, J.K. Klauder, J. Phys. A, 38, 5831 (2005).

105. B.F. Samsonov, Phys. Lett, A 558, 105 (2006).

106. D.J. Fernandez С. and E. Salinas-Hernandez, Phys. Lett., A 338, 13 (2005).

107. S.P. Maydanyuk, Ann. Phys., 316, 440 (2005).

108. Q.-H. Park, H. J. Shin, M. A., Physica D, 157, 1 (2001).

109. Qiu-Yan Li, Zheng-Wei Xie, Lu Li, Zai-Dong Li, Jiu-Qing Liang, Ann. Phys., 312, 128 (2004).

110. A.B. Юров, С.Д. Верещагин, ТМФ, 139, 404 (2004) arXiv: hep-th/0502099].

111. A.B. Юров, С.Д. Верещагин, Матпемат. модел18, 111 (2006).

112. С.Д. Верещагин, Вестник РГУ,, 4, 19 (2006).

113. A.V. Yurov, V.A. Yurov, S.D. Vereshchagin, Can we escape from the big rip in the achronal cosmic future? arXiv:astro-ph/0503433.

114. A.M. Гудименко, А.Д. Захаренко, Письма в ЖЭТФ, 31, 1 (2006).

115. А.И. Гудименко, К.Г. Купцов, Письма в ЖЭТФ, 31, 60 (2006).

116. D. Gomez-Ullate, N. Kamran, R. Milson, J. Phys. A: Math. Gen., 37, 10065 (2004).

117. C.V. Sukumar, J. Phys., 21, L455 (1988).

118. В.Ф. Марченко, Обратная задача рассеяния, Харьков, Изд. ХГУ (1960).

119. Б.М. Левитан, И.С. Саргсян, Введение в спектральную теорию, М., Наука (1970).

120. В. Thaller, The Dirac Equation. Berlin: Springer, 357 (1992).

121. Y. Nogami, F.M. Toyama, Phys. Rev. A, 47, 1708 (1993).

122. Б.М. Левитан, И.С. Саргсян, Операторы Штурма— Лиувилля и Дирака, М.: Наука (1988).

123. B.F. Samsonov, J. Negro, J. Phys. A, 37, 10115 (2004).

124. B.F. Samsonov, J. Phys. A, 28, 6989 (1995).

125. A. Sehulze-Halberg, Cent. Eur. J. Phys., 6(1), 153 (2008).

126. Б.Ф. Самсонов, A.M. Пупасов, Изв. ВУЗов. Физика, 10, 1020 (2005).

127. Р.П. Старовойтова, В.Н. Понаморева, Функция Грина., Томск: Изд. ТГУ (1984).

128. Ф.М. Морс, Г. Фешбах, Методы теоретической физики, 1, М.: ИЛ (1958).

129. Д. Иваненко, А. Соколов, Классическая теория поля, М.: Гостехиздат (1951).

130. Н.Н. Боголюбов, Д.В. Ширков, Квантовые поля, М.: Наука (1980).

131. К. Ициксон, Ж.-Б. Зюбер, Квантовая теория поля, 1, Н.: ИО НФМИБ (2000).

132. Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский, Статистическая физика, 2, М.: Физматлит, 2000.

133. B.F. Samsonov, C.V. Sukumar, A.M. Pupasov, J. Phys. A, 38, 7557 (2005).

134. E. Kamke, Differentialgleichungen Losungsmethoden und Losungen, B.G. Teubner: Stuttgart (1983).