Робастное обращение линейных динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Фомичев, Василий Владимирович

• Фомичев, Василий Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Фомичев, Василий Владимирович

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава 1. Системы с первым относительным порядком

§ 1.1 Постановка задачи. Простейший алгоритм

с использованием глубокой обратной связи

§ 1.2 Алгоритм с разрывной обратной связью

§ 1.3 Неидеальности в релейном элементе

§ 1.4 Ошибки измерения выхода

§ 1.5 Вариация параметров системы

Глава 2. Обращение систем с произвольным относительным порядком

§ 2.1 Системы с максимальным относительным порядком

§ 2.2 Системы с произвольным относительным порядком

Глава 3. Асимптотические алгоритмы обращения

§ 3.1 Обращение систем с первым относительным порядком

§ 3.2 Влияние неидеальностей в релейном элементе

§ 3.3 Ошибки измерения выхода

§ 3.4 Вариация параметров системы

§ 3.5 Асимптотический алгоритм понижения порядка задачи

Глава 4 Обращение систем с неустойчивой нулевой динамикой

§ 4.1 Скалярные системы

§ 4.2 Системы с одним входом и несколькими выходами

Глава 5. Обращение систем при известной

волновой модели

Глава 6 Обращение управляемых систем

§ 6.1 Постановка задачи

§ 6.2 Обращение по состоянию

§ 6.3 Обращение по выходу

Глава 7. Обращение векторных систем

§ 7.1 Постановка задачи

§ 7.2 Вспомогательные уравнения и утверждения

§ 7.3 Обращение по состоянию

§ 7.4 Обращение по выходу

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Робастное обращение линейных динамических систем»

Введение.

Проблемы решения обратных задач динамики становятся в настоящее время все более актуальными. Одной из таких задач является задача обращения динамических систем, т.е. задача восстановления неизвестного входа системы по измерениям ее выхода.

Решению этой проблемы были посвящены многочисленные работы зарубежных и отечественных авторов. Так, например, в работах [70], [68], [72], [74] и [47] решалась задача обращения линейных систем, работы [52], [65-67], [53], посвященны проблеме обращения конечномерных нелинейных динамических систем. Из отечественных авторов отметим циклы работ A.C. Галиуллина [5-9], П.Д. Крутько [27-31], Ю.С. Осипова и A.B. Кряжимского [32-33].

Несомненная значимость решения задачи обращения динамических систем обусловлена тем фактом, что она находит применение при решении целого ряда практических задач таких, как задача управления летательным аппаратом по заданной траектории, задача идентификации динамических параметритов системы и помех, а так же многих других.

При этом можно выделить два класса задач обращения: расчетные задачи, т.е. задача восстановления неизвестного входа в случае, когда известны измерения выхода на всем интервале времени, и задачи обращения в реальном времени (on-line задачи), когда задача обращения решается по текущим измерениям выхода.

Кроме того, важным аспектом при решении проблемы обращения является то, что при практической реализации алгоритмов обращения особенно важна их робастность, т.е. грубость этих алгоритмов к различным факторам неопределенности, как то к погрешности измерения выхода системы, различным классам параметрических возмущений, неидеальностям в работе некоторых динамических элементов (например, релейных элементов) и т.д.

Именно о таких, робастных алгоритмах, решающих задачу обращения линейных конечномерных систем в режиме реального времени и идет речь в данной работе.

Следует отметить, что алгоритмы обращения, предложенные в первых работах (например [70], [71], [74]) не были пригодны для работы в on-line режиме. Позднее появились более практичные алго-

ритмы (например в работах [32-33]) которые могут использоваться для on-line расчетов. Однако эти алгоритмы применимы лишь к системам с полностью определенной динамикой (допускается только погрешность измерений выхода) и требуют информацию о полном фазовом векторе системы. Ситуация качественно меняется, если рассматривается задача обращения по выходу с неточно известной динамикой объекта. При этом многие известные алгоритмы не применимы либо требуют серьезных изменений. Решение проблемы обращения в такой наиболее общей и сложной постановке задачи и составляет главное содержание диссертации.

Принцип решения задачи обращения основан на идее сведения исходной проблемы к задаче стабилизации неопределенной системы по выходу, что позволяет использовать хорошо разработанный в последние годы аппарат стабилизации сложных систем в условиях существенной неопределенности [11-18], [39-45], [54-64], [75-77]. Именно этот факт и позволяет получить ряд новых алгоритмов, эффективно решающих поставленную задачу.

В диссертации рассматривается следующая неформальная постановка задачи обращения линейной динамической системы. Пусть задан линейный причинно-следственный оператор Р, отображающий входные функции £(t) в выходные w(t), то есть

w(t) = Р№.

Требуется по измерениям выхода сформировать текущую оценку £(t) входного сигнала. Алгоритм формирования оценки и будем называть алгоритмом обращения. Основная проблема заключается в том, что обратный оператор Р-1 физически неосуществим. Поэтому для решения задачи надлежит исследовать его физически реализуемую аппроксимацию Р такую, что функцию

i(t) = Pw(t) = PPt(t) можно принять за оценку неизвестной функции входа, то есть £ ~

т-

Один из способов построения такой аппроксимации основан на использовании управляемой модели

w(t) = Pu{t),

в которой управление u(t) выбирается из условия обнуления разницы между выходными функциями рассматриваемой системы и ее модели y(t) = w(t) — w(t). Если ошибка y(t) = 0, то

р(«-0 = о

и, значит, с точностью до функции £о из ядра оператора Р имеет место равенство u(t) = £(t) + £о(0- ^ этом случае в качестве оценки входа может быть взята функция u(t), то есть = u(t) ~ При этом свойства алгоритма обращения определяются свойствами оператора Р и методом синтеза стабилизирующего управления u(t).

Разумеется, это соображение дает лишь самое общее представление о схеме решения задачи обращение линейной динамической системы. На самом деле все сложнее, в частности, стабилизирующее управление u(t) и функция £(£) могут принадлежать к разным классам функций, и требуется дополнительное преобразование D этого управления u(t) с тем, чтобы результат этого преобразования можно было принять за приемлемое приближение функции то есть № = Du(t) ~ Z(t).

Подобный подход уже описывался в литературе [70], [32-33], причем особенность применяемого метода определялась выбором модели системы и типом стабилизирующего управления. Так, в [70] использовалась точная непрерывная модель, а закон управления состоял из двух компонент: обратной связи по состоянию и прямой связи по многократным производным выхода. Ясно, что такой алгоритм обращения нереализуем точно и не является робастным.

В [32-33] используется дискретная модель системы и кусочно-постоянная стабилизирующая обратная связь, которая при определенных условиях и при устремлении шага дискретизации к нулю аппроксимирует неизвестный вход. Однако, в силу специфики этого метода заранее отвергаются скользящий режим и соответственно разрывные законы управления, которые, как известно, наделяют систему повышенной устойчивостью по отношению к вариациям параметров задачи и различным факторам неопределенности [11]. Именно поэтому в данной работе на ряду с линейными исследуются возможности разрывных управлений в задачах устойчивого обращения.

В диссертации рассматривается следующая основная постановка задачи обращения линейной конечномерной динамической системы с постоянными параметрами. Для системы

г = +

(0.1)

и> = сг,

где г(г) е кп, Ф) 6 к'5, 6 1г (I > к), £ 6 [0, +оо), А, 6, с - известные матрицы с постоянными коэффициентами соответствующих размерностей, требуется по измерениям выхода ио^Ь) системы (0.1) сформировать оценку £(£) неизвестного входа системы £(£). Введем основные понятия.

Определение 1. Система (0.1) является обратимой тогда и только тогда, когда

гапк[сЪ; сАЬ;... ; сАп~1Ь] = к .

Определение 2. Система (0.1) управляема (пара {А, Ь] управляема) тогда и только тогда, когда

гапк[Ь; АЬ;... ; Ап~1Ь] = п .

Определение 3. Система (0.1) наблюдаема (пара {А, с} наблюдаема) тогда и только тогда, когда

(

rank

с \

сА

\ cAn_1

п.

Будем говорить, что система (0.1) находится общем положении если она управляема и наблюдаема. Нетрудно показать [11], что если система (0.1) находится в общем положении, то она обратима.

Передаточной функцией системы (0.1) будем называть ИЧа) = с(*Е (Цз) = ... , (0.2)

где «п(5) = ¿е1(зЕ — А), qij{s) - полиномы от 5, порядок полинома ап(з) равен п, порядок полиномов qij{s) не превосходит (п — 1).

Более подробно рассматривается случай скалярной системы, т.е. системы со скалярными входом и выходом (/ = к = 1). При этом, очевидно, условие обратимости системы (0.1) сводится к существованию целого г такого, что сАгЪ ^0,0<г<п — 1.

Определение 4. Относительным порядком системы (0.1) называется целое число г такое, что

сА1Ь = 0 , г = 0,... , г - 2 , сАг~1Ь ф 0.

Передаточная функция скалярной системы будет иметь вид

1¥(з) =

где /Зта(в) - полином от в порядка т. При этом [11] относительный порядок системы (0.1) г = п — т.

Определение 5. Скалярная система (0.1) называется минимально-фазовой, если числитель передаточной функции этой системы полином (Згп(з) ~ гурвицев.

Как отмечалось выше, обращение линейной динамической системы возможно с точностью до функции из ядра оператора Р. В случае линейной системы (0.1) [1] ядро оператора Р состоит из функций £о(0> являющихся решениями обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

А»фе<>(«) = о.

Таким образом в случае минимально-фазовой системы (0.1) ядро оператора Р состоит только из экспоненциально убывающих функций.

Для обращения системы (0.1) в соответствии с предложенным выше подходом используется управляемая модель

* = М + (0.3)

W — CZ ,

где управление u(t) выбирается из условия стабилизации в нуле системы в отклонениях

х = Ах + Ь(и - £), ■ ,

v У (0.4)

у = сх,

где х = z — z^ у — w — w. Если эта задача решена асимптотически (при t —> оо) или финитно, то lim \и—= 0, и за оценку входа прини-

t—► оо

мается £(t) = u(t). Это позволяет использовать при решении задачи известные методы стабилизации в условиях неопределенности, в том числе получившие развитие в последние годы [11-18], [39-45], [54-64], [75-77].

В Главе 1 рассматриваются скалярные системы с первым относительным порядком. Простейший алгоритм обращения основан на использовании для стабилизации системы (0.4) глубокой обратной связи Пц = —цу при fi —> оо. В этом случае в качестве оценки неизвестного входа £(t) используется

£ = Uoo = lim . (0.5)

Доказана

Теорема I. Пусть система (0.1) находится в общем положении и является минимально-фаз о в ой. Пусть, кроме того, £ G О0 = {ОД : i £ С[0, оо), |£(i)| < £0}. Тогда для £ из (0.5) справедлива оценка: — < Ke~'yi) где К, 7 = const > 0.

Предложенный алгоритм предъявляет минимальные требования к условиям задачи, однако, использование глубокой обратной связи не отвечает требованиям робастности.

В случае минимально-фазовой системы общего положения для построения робастного алгоритма обращения невырожденным преобразованием координат система (0.4) приводится к виду

х[ = А'х' + Ь'у , у = А"х' + Ъ"у + (и - О

где х' Е Rn_1, характеристический полином матрицы А' совпадает с числителем передаточной функции ^(s) полиномом /3n_i(s), т.е. матрица А' - гурвицева. Для восстановления вектора х' используется наблюдатель

£' = А'х' + Ь'у .

Стабилизирующее систему (0.4) управление выбирается в виде

и = Ui + и2 , щ = —А"х — Ъ"у , U2 = —осу — Fsgn(y),

при конечных константах а ж F.

В качестве оценки входного сигнала £(t) используется скользящее среднее управления, т.е.

t

£(f) = uT = I J u(r)dr (0.7)

t-т

Для входного сигнала f Е П1 = {£(*) : £ Е С[0,оо), \ф)\ < <

доказана

Теорема II. Пусть системы (0.1) находится в общем положении и является минимально-фазовой, ее относительный порядок равен 1, £ Е П1. Тогда для любого е > 0 существует Т > 0 такое, что для £ из (0.7), начиная с некоторого момента времени, выполнена оценка |£(i) — £(i)| < е.

Кроме того, показана робастность предложенного алгоритма по отношению к неидеальностям в переключениях релейного элемента и ошибкам измерения выхода системы w(t).

(0.6)

В Главе 2 рассмотрены системы с произвольным относительным порядком. Для обращения систем с максимальным относительным порядком п используется модель

2 = А2 + Ы> (0.8)

W = CZ ,

где вектор / Е Еп подлежит выбору.

При управлении и = —у = w — w для х = z — z, имеем следующее уравнение движения

х = Aix — ,

где Ai = А — lc. В силу наблюдаемости пары {А, с} спектр матрицы Ai, т.е. Spec{Ai} = {Ai, ..., Ап}, может быть назначен по произволу. При А; = — Xiß, Xi+i > Äi, Äi = 1, /i > 0 устанавливается иерархия коэффициентов /г- = /¿/¿п+1-г и доказана

Теорема III. Пусть система (0.1) находится в общем положении, £(t) £ П1, относительный порядок системы равен п. Тогда для любого е > 0 существует такой вектор I, что для £ — у_г

cAt Ь

справедлива оценка — £(t)\ < cie~^tjt£, где с\ и ¡л > 0 некоторые константы.

Предложенный подход распространяется на системы с произвольным относительным порядком.

В Главе 3 описан алгоритм, решающий задачу обращения системы (0.1) асимптотически точно. Для этого используется управляемая модель

z = Az + du, ,

- ~ (0-9)

W = CZ .

Пусть относительный порядок системы (0.1) равен 1. Выберем d из условия cd = 0, с Ad = 1. В этом случае неособым преобразованием координат система в отклонениях приводится к виду

х' = А'х' + Ь'у + d'u ,

Для оценки х' построим наблюдатель х' = А'х' + Ъ'у + d'u. Стабилизирующее управление и выбирается следующем образом:

„ = -кгх' - к2у + щ , ki = {А"А' + Ъ"А"} , к2 = {А"Ъ' + (б")2} , Щ = -h(b"y + А"х') - hy - Fsgny , luh,F > 0.

(0.10)

Доказана

Теорема IV. Пусть система (0.1) находится в общем положении и является минимально-фазо в ой, относительный порядок системы равен 1, £ Е Q1. Тогда при >0 и достаточно большом F > 0 £ = А"х' асимптотически сходится к £(t).

Показано, что предложенный алгоритм устойчив к неидеально-стям в переключениях релейного элемента временного типа, а в случае неидеальностей пространственного типа возникает статическая ошибка, которая, однако, выбором параметров 1\, 12 может быть сделана сколь угодно малой. Кроме того, при наличии ошибки в измерениях выхода w(t) порядка G, предложенный алгоритм решает задачу с погрешностью 0(G).

Описанный алгоритм решает задачу для систем с первым относительным порядком. В случае систем с поизвольным относительным порядком предложена итерационная процедура понижения относительного порядка задачи.

В Главе 4 предложены алгоритмы, решающие задачу обращения для неминимально-фазовых систем.

В Главе 5 рассматривается задача обращения в случае, когда известна волновая модель неизвестного входа

В Главе 6 предложенные выше методы обращения применены к управляемой системе

£ = Az + + du, w = cz,

показано, что в этом случае алгоритмы обращения обладают дополнительной прочностью к вариации параметров системы.

Пусть параметры системы известны с погрешностью АА, т.е.

z = (А + A A)z + b£ + du. (0.12)

0.11

Пусть так же

Ъ = <1, А А = Ъа, \а\<а° (0.13)

Для решения задачи обращения используем поверхность переключений а = кг = 0 и стабилизирующее управление вида

и = -1г + иь , и& = -(М + а°\г\)8дпа ,

где г - некоторая оценка фазового вектора г. В качестве оценки £ используется функция

£=-г4. (0.14)

Особенности алгоритмов обращения определяются теперь способом построения оценки г.

Для системы (0.11) с относительным порядком т существует неособое преобразование координат Рс, приводящее систему к виду

¿' = А'сг' + д'^ш + (1'си ,

т = с" г"

где г' е г" £ ¿еЬ^Е - А'с) = /Зт(з), матрицы А'с и д"8

имеют форму Фробениуса, Ь" — (0, ..,0,1), с" = (1,0,..., 0). Для оценивания г используется динамическая система

= А'сг' + д'спз + в!си , ¿" = А"2' + дУ + <Х'си - 1"{с"г" - яо). '

В случае минимально-фазовой системы е' —» 0, е' — г' — г'. Асимптотику е" — г" — г" определяет

Лемма. Пусть I" = (/ь...,/п_т)т; и = г = 1, ...,п-

т. Тогда существуют такие, что

|е"№1 < Кге-»* + К2е~^ + , КI, К2, К3 > 0, К3 не зависит от ¡л.

Таким образом при использовании глубокой обратной связи в наблюдателе (0.15) (т.е. при ¡i —> оо) ¡z — z\ —> 0 и верна

Теорема V. Пусть система (0.11) находится в общем положении и является минимально-фаз о в ой, £ £ О1. Тогда для любого е > 0 существует Т > 0 такое, что для £ из (0.14) с некоторого момента времени верна оценка |£(í) — £(í)| < c\e~l1 + е, Ci,J— const > 0.

В Главе 7 алгоритмы обращения управляемых систем, предложенные в Главе 6, обобщены на случай векторных систем, т.е. систем с векторным входами и выходами w(t), £(t) Е R^.

Основные результаты работы:

1. Предложен подход к робастному обращению линейных систем, основанный на современных методах стабилизации неопределенных систем.

2. Предложены алгоритмы робастного обращения линейных конечномерных динамических SISO и MIMO систем по выходу.

3. Исследована сходимость предложенных алгоритмов, а так же их устойчивость по отношению к различным классам параметрических возмущений и ошибкам измерения выхода системы.

4. Предложены алгоритмы обращения управляемых систем, показана их дополнительная грубость по отношению к параметрическим возмущениям.

Основные результаты диссертации изложены в работах [19-21], [23-24],[36-38].

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю члену-корреспонденту РАН, профессору С.К. Коровину за большую помощь, оказанную при работе над диссертацией.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Фомичев, Василий Владимирович

Основные результаты работы заключаются в следующем.

1. Рассмотрен подход к решению задачи обращение линейных динамических систем путем сведения исходной проблемы к задаче стабилизации неопределенной системы по выходу.

2. В рамках предложенного подхода были рассмотрены алгоритмы обращения линейных скалярных систем, опирающиеся на разрывные законы управления.

3. Показана робастность предложенных алгоритмов.

4. Предложенные алгоритмы были модифицированы для обращения различных классов векторных линейных систем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Фомичев, Василий Владимирович, 1999 год

Литература

1. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М., Наука, Физмат лит, 1976.

2. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М., Наука, 1967.

3. Васильева А.Б., Бутусов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М., Наука, Физмат лит, 1989.

4. Гайшун И.В. // Доклады АН Белорусской ССР, 1978.

5. Галиуллин A.C. Методы решения обратных задач динамики. М., Наука, Физмат лит, 1986.

6. Галиуллин A.C. Обратные задачи динамики и задачи управлением движениями материальных систем. // Дифференц. уравнения, 1972, N 9.

7. Галиуллин A.C. Обратные задачи динамики. // Сборник научно - методологических статей по теоретической механике, М. Высшая школа, 1975, выпуск 5.

8. Галиуллин A.C. Построение поля сил по заданным траекториям. // Сборник научно - методологических статей по теоретической механике, М. Высшая школа, 1980, выпуск 10.

9. Галиуллин A.C. Построение поля сил по заданному семейству траекторий. // Дифференц. уравнения, 1981, N 8.

10. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Т. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М., Наука, Физмат лит, 1970.

11. Емельянов C.B., Коровин С.К. Новые типы обратной связи. Управление при неопределенности. М., Наука, Физмат лит, 1997.

12. Емельянов C.B. Системы автоматического управления с переменной структурой. - М.: Наука, 1967.

13. Емельянов C.B. Бинарные системы автоматического управления. - М.: Мир, 1987. - 296 стр. (на англ.языке)

14. Емельянов C.B., Коровин С.К., Левантовский Л.В. Скользящие режимы высших порядков в бинарных системах управления // ДАН СССР.-1986.-Т. 287, N 6.-С. 1338-1342.

15. Емельянов C.B., Коровин С.К., Мамедов И.Г., Носов А.П. Асимптотическая инвариантность в задачах управления неопределенными объектами // ДАН СССР.-1990.- Т. 311, N 1.-С. 44-49.

16. Емельянов C.B., Коровин С.К., Уланов Б.В. Управление линейными стационарными объектами при внешних воздействиях с применением обратных связей различных типов // Известия АН СССР, Техническая кибернетика.-1984.^ 1,-С. 174-182.

17. Емельянов C.B., Коровин С.К., Нерсисян A.JI. Об асимптотических свойствах наблюдателей состояния для неопределенных систем с выделенной стационарной линейной частью // ДАН СССР.-1990.-Т. 311, N 4.-С. 807-811.

18. Емельянов C.B., Коровин С.К., Нерсисян A.JL, Нисензон Ю.Е. Стабилизация многомерных неопределенных объектов по выходу // ДАН СССР.-1990.-Т. 311, N 5.-С. 1062-1067.

19. Ильин A.B., Коровин С.К., Фомичев В.В.. Алгоритмы обращения линейных скалярных динамических систем: метод управляемой модели // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33, N 3. С. 329—339.

20. Ильин A.B., Коровин С.К., Фомичев В.В.. Алгоритмы обращения линейных управляемых систем // Дифференц. уравнения. 1997, Т. 34, N 6, стр. 744-750.

21. Ильин A.B., Коровин С.К., Фомичев В.В.. Робастное обращение векторных систем // Дифференц. уравнения, 1998, Т.34, 11, стр. 1478-1486.

22. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М., Наука, МИР, 1971.

23. Коровин С.К., Ильин A.B., Фомичев В.В.. Робастное обращение управляемых линейных систем // Доклады РАН, 1998, Т. 356, N 2, стр. 121-123.

24. Коровин С.К., Ильин A.B., Фомичев В.В.. Метод управляемой модели в задачах обращения динамических систем// Доклады РАН, 1997, Т. 354, N 2, стр. 171-173.

25. Коровин С.К., Нерсисян А.Л., Нисензон Ю.Е. Управление по выходу линейными неопределенными объектами. // ДАН СССР, Техническая Кибернетика.-1990.^ 1. -С. 67 - 73.

26. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Нелинейные модели. М., Наука, Физмат лит, 1988.

27. Крутько П.Д. Конструирование алгоритмов управления нелинейными объектами на основе концепции обратных задач динамики. Системы с одной степенью свободы. // Изв. Ан СССР, Техническая

Кибернетика, 1986, N 3.

28. Крутько П.Д. Конструирование алгоритмов управления нелинейными объектами на основе концепции обратных задач динамики. Управление движением относительно центра масс. // Изв. Ан СССР, Техническая Кибернетика, 1987, N 2.

29. Крутько П.Д., Лакота H.A. Метод обратных задач динамики и теории конструирования алгоритмов управления манипуляцион-ных роботов.Задачи стабилизации. // Изв. Ан СССР, Техническая Кибернетика, 1987, N 3.

30. Крутько П.Д., Лакота H.A. Метод обратных задач динамики и теории конструирования алгоритмов управления манипуляцион-ных роботов. Осуществление назначенных траекторий. // Изв. Ан СССР, Техническая Кибернетика, 1987, N 4.

31. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Линейные модели. М., Наука, Физмат лит, 1988.

32. Осипов Ю.С., Кряжимский A.B. Известия АН СССР, Техническая Кибернетика, 1983, т.269, N 3, с. 552 - 556.

33. Осипов Ю.С., Кряжимский A.B. Известия АН СССР, Техническая Кибернетика, 1983, т.269, N 2, с. 51 - 60.

34. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М., Наука, Физматлит, 1992.

35. Уткин В.Н. Скользящие режимы в задачах стабилизации и управления. М., Наука, Физматлит, 1981.

36. Фомичев В.В., Носов А.П. Динамическое понижение относительного порядка системы с неопределенностью (интегрирование). // Дифференц. уравнения, 1999, Т. 35, N 1. стр. 139.

37. Фомичев В.В.. Обращение неопределенных систем с неустойчивой нулевой динамикой. // Дифференц. уравнения, 1998, Т. 34, N 1. стр. 136.

38. Фомичев В.В.. Некоторые алгоритмы обращения линейных динамических систем // Сборник статей "Алгоритмы управления й индетификации", изд-во Диалог-Наука, 1997, стр. 156 - 167.

39. Bartolini G., Ferrara A. and Vsai Е. Output Tracking Control of Uncertain Nonlinear Second-Order Systems // Automatica, 1991, vol. 13, N 3, pp. 2203-2212. :

40. Brockett R.W. Asymptotic Stability and Feedback Stabilization.

Ed. R. Brockett, R. Millman, H. Sussmann. In "Differential Geometric Theory", 1983, pp.181-191, Birkhouser, Boston.

41. Byrnes C.I., Isidori A., Steady State Response, Separation Principle and the Output Regulation of Nonlinear Systems // Proceedings of the 28-th Conference on Decision and Control, 1989, Tampa, Florida, pp. 2247-2251.

42. Byrnes C.I., Delli Priscoli F., Isidori A. and Kang W. Structurally Stable Output Regulation of Nonlinear Systems // Automatica, 1997, vol. 13, N 3, pp.369-385,

43. Byrnes C.I., Isidori A. and Williams Passivity, Feedback Equivalence and the Global Stabilization of Minimum Phase Nonlinear Systems // IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 36, N 11, pp. 12281240.

44. Cesareo G, Marino R. Nonlinear Control Theory and Symbolic Algebraic Manipulation // Lecture Notes in info sci., 1984, Springer -Verlag , Berlin, vol. 58, pp. 725-740.

45. Chen D. An Iteration Solution to Stable Inversion of Nonminimum Phase System // Proc. Amer. Control Conference, San Fransico, 1993, pp. 2960 -2964.

47. Datta K.B. // Linear Algebra and its Applications, Vol. 151, 1991, pp. 57 - 83.

48. Dayanansa W.P., Boothby W.M., Elliot D. Global State and Feedback Equivalence of nonlinear Systems, 1985, vol. 6, pp. 228-234.

49. Derasia S., Chen D., Paden B. Nonlinear Inversion Based Output Tracking. // IEEE Trans. Automatic Control, 1996, AC-41, pp. 930942.

50. Emelyanov S.V., Korovin S.K., Mamedov I.G. Variable Structure Systems: Discrete and Digital. London, CRC, 1995.

51. Haddad W.M., Chellaboina V.S. and Fausz J.L. Optimal Nonlinear Disturbance Rejection Control for Nonlinear cascade Systems // International Journal of Control, 1997, vol. 68, N 5, pp.997-1018.

52. Hirschorn R.M. Inevitability of Nonlinear Control Systems. // SIAM Journal of Control and Optimization, Vol. 17, N 2, pp. 289 - 297.

53. Hunt L.R., Meyer G. Stable Inversion for Nonlinear Systems // Automatica, 1997, Vol 133, N 8, pp. 1549 - 1554.

54. Gil M.I and Ailon A On Global Feedback Stabilsation of Nonlinear

Non-autonomus Systems // International Journal of Control, 1997, vol. 68, N 4, pp.935-941.

55. Johong Wang. Feedback Stabilisation of a Class of Uncertain Nonlinear Dynamical systems // Dynamical Systems and Applications, 1998, N 7, pp. 117-140.

56. Kailath T. Linear Control Systems. Prentic Hall, 1980.

57. Kanellakopoulos I., Kokotovic P.V. and Mores A.S. Systematic Design of Adaptive Controllers for Feedback Linearizable Systems // IEEE Transactions on Automatic Control, 1991, vol. 36, N 11, pp. 1241-1253.

58. Kokotovic P.V., Sussmann H.J. A Posivive Real Condition for Global Stabilization of Nonlinear Systems // Systems and Control Letters vol. 13, N 2, pp. 125-133.

59. Kon-Cheng Hsu Decentzalized Variable-Structure Control Design for uncertain large-scale systems with series nonlinearities // International Journal of Control, 1997, vol. 68, N 6, pp. 1231-1240.

60. Krener A.J., Isidori A., Linearization by Output Injection and Nonlinear Observers // Systems and Control Letters, 1983, N 3, pp.4752.

61. Marino R., Tomei P., Computer Algebra for Nonlinear output feedback stabilization, 1991.

62. Marino R. Adaptive Observers for Single Output Nonlinear Systems // IEEE Transactions on Automatic Control, 1990, vol. 35, pp. 1054-1058.

63. Marino R. Feedback Stabilization on Single-Input Nonlinear Systems // Control Letters,' 1988, vol. 40, N3, pp. 201-206.

64. Nijmeijer H., vander Schaft A. Nonlinear Dynamical Control Systems. Springr-Verlag, 1990, Berlin.

65. Respondek W. Global Aspects of Linerization, Equivalence of Polynomial Forms and Decomposition of Nonlinear Control Systems. In Algebraic and Geometric Matherials in Nonlinear Control Theory. Eds. M. Fliess and M Hazewinkel, D. Reidel Publ.Comp, 1986.

66. Respondek W. Linerization, Feedback and Lie brackets // Press of International Conference "Geometric Theory of Nonlinear Control Systems" Wroclaw Tech. Univ. Press, Wroclaw, 1985, pp. 131-166.

67. Resondek W., Nijmeijer H. On Local Right-Invertiobility of Nonlinear Contol Systems // Control Theory and Advanced Technology, 1988, vol. 4, N 3 pp. 325-348, MITA-PRESS.

68. Sain K.M., Massey J.L. Inevitability of Linear Time-Invariant Dynamical Systems. // IEEE Trans. Automatic Control, 1969, AC-14, N 2, pp. 141-149.

69. Sanutti P., Saberi A. //International Journal of control. 1987. Vol. 45 pp. 1655-1704.

70. Silverman L. M. // Transaction On Automatic Control, 1969, Vol. Ac-14, N 3, pp.270 - 276.

71. Singh S.N. Decomposition Of Invertible Nonlinear Systems with State Feedback and Precomposition. // IEEE Trans. Automatic Control, 1980, AC-25, N 6, pp. 1237-1239.

72. Singh S.N. A Modified Algorithm for Inevitability in Nonlinear Systems. // // IEEE Trans. Automatic Control, 1981, AC-26, N 2, pp. 595-598.

73. Wei Lin. Global Robust Stabilization of Minimum-Phase Nonlinear Systems with Uncertainty // Automatica, 1997, vol. 33, N 3, pp. 453-462, Elsevier.

74. Whillsky A.S. On the Invertibility of Linear Systems Ibid // IEEE Trans. Automatic Control, 1974, AC-19, pp. 272-274.

75. Zak S.H. On the Stabilization and Observation of Nonlinear Uncertain Dynamic Control // IEEE Transactions on Automatic Control, 1990, vol. 35, N 5, pp. 604-607.

76. Zhao Y.D. and Huang L. Local Stabilization of Nonlinear Systems // Control Theory and Advanced Technology, 1990, vol. 6, N 4, pp. 543-557, MITA PRESS.

77. Zhihua Qu and John Dorsey Comments on the Stabilization and Observation of Nonlinear Uncertain Dynamic Control // IEEE Transactions on Automatic Control, 1991, vol. 36, N 6, pp. 1342-1343.