Построение и исследование методов регуляризации для задачи связанного псевдообращения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Архаров, Евгений Валерьевич

• Архаров, Евгений Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Архаров, Евгений Валерьевич

9 Введение

Глава I. Теоретические основы построения методов

§1. Свойства псевдообратных операторов.

§2. Задача связанного псевдообращения.

§3. Аппроксимирующая задача.

Глава II. Методы регуляризации основной задачи

§4. Неявные схемы итерированного и итерационного методов

§5. Явная схема итерационного метода.

§6. Сходимость методов в условиях нормальной разрешимости составного оператора.

• Глава III. Устойчивость методов регуляризации основной за

§7. Устойчивость неявных схем решения основной задачи

§8. Устойчивость явной схемы решения основной задачи

Глава IV. Апостериорный выбор параметров регуляризации

§9. Устойчивость неявных методов в классе корректных возму

• щений псевдообратного Г+

§10. Выбор параметра г.

10.1 Принцип невязки.

10.2 Обобщенный принцип невязки.

§11. Критерии последовательного выбора параметров регуляризации

11.1 Критерий выбора (р; П).

11.2 Критерий выбора (р, 7; П).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Построение и исследование методов регуляризации для задачи связанного псевдообращения»

В начале XX века при выяснении вопроса о соответствии математических и физических моделей задач естествознания впервые было введено понятие некорректной задачи. Часто абстрактной моделью таких задач служит линейное операторное уравнение

Ах = у (0.1) с непрерывным оператором А, действующим между гильбертовыми пространствами X и У. По уравнению (1) требуется найти нормальное относительно заданного элемента xqEX псевдорешение ж* (или просто нормальное псевдорешение х*, если £о=0), принадлежащее множеству {х <= X : \\Ах - у\\ = inf \\Аи - у||}. и£Х

Если А+ - псевдообратный к оператору А, то нормальное псевдорешение уравнения (1) запишется в виде х* = А+у, (0.2) а нормальное относительно а?о псевдорешение х* = х* + PN{A)X0i где Р,у(л) ~ ортопроектор на ядро N(A) оператора А. Поэтому задачу отыскания нормальных псевдорешений уравнения (1) можно назвать задачей псевдообращения.

Не останавливаясь на истории вопроса, отметим, что одним из наиболее важных методов решения задачи псевдообращения является метод регуляризации А.Н. Тихонова, состоящий в аппроксимации решения (2) семейством {ха}, а>0, экстремалей функционала о.з)

Теории и методам решения некорректного уравнения (1) посвящены многочисленные исследования, опубликованные в периодических изданиях, и которые нашли отражение в известных монографиях А.Н. Тихонова и В.Я. Арсенина [45], В.К. Иванова, В.В. Васина и В.П. Тананы [26], М.М. Лаврентьева [29], Ф.П. Васильева [19], Г.М. Вайникко и А.Ю. Вере-тенникова [18], А.Б. Вакушинского и А.В. Гончарского [16], В.В. Васина и А.Л. Агеева [21], а также в работах [17], [30], [31], [36], [38], [43], [47] и многих других.

Начиная с 1970 года, стали появляться практические задачи, абстрактной моделью которых служит уравнение (1), но неизвестная х - не произвольный вектор пространства X, а удовлетворяет некоторым линейным связям, которые можно описать с помощью другого линейного уравнения

Вх = z (0.4) с непрерывным оператором В, действующим между гильбертовыми пространствами X и Z. По уравнениям (1) и (4) требуется найти элемент сс*, ближайший к заданному xq^X, принадлежащий множеству G X! : \\Ах - у\\ = inf \\Аи - (0.5) иех 1 гдеХ!={хбХ: \\Bx-z\\= inf \\Bu-z\\}.

Эта задача по аналогии с предыдущей называется задачей связанного псевдообращения, элемент ближайший к хо, - нормальным относительно xq связанным псевдорешением уравнения (1), а при xq=0 нормальным связанным псевдорешением этого уравнения и обозначается * х .

Задача связанного псевдообращения, когда заданный элемент xq^O, ранее не рассматривалась вообще. При £о=0 задача связанного псевдообращения поставлена независимо в работах N. Minamide и К. Nakamura [58] и В.А. Морозова [37]. Японские математики ввели понятие суженного псевдообратного оператора и записали точный вид нормального решения х* задачи (5): я* = B+z + (АРщв)У(у - AB+z), (0.6) где Pn(b) ~ ортопроектор на ядро N(B) оператора В.

В.А. Морозов предложил и исследовал вариационный однопараметри-ческий регуляризирующий алгоритм построения этого решения, используя функционал А.Н. Тихонова (3) с естественной заменой стабилизирующей его части на ^\Bx—z\\2. Решению задачи связанного псевдообращения методом регуляризации посвящены также работы ряда авторов [3], [23], [33], [40], [55], [56], но во всех этих работах предполагается выполненным условие дополнительности операторов А и В:

37>0: \\Ах\\2 + \\Вх\\2>^\\х\\2 УхеХ, (0.7) из которого в частности следует, что множество Хд одноэлементно. При отсутствии условия дополнительности задачу (5) рассмотрел Р.А. Ша-фиев в работах [48], [49], [50] и других, которые вошли в монографию [51].

Он предложил регуляризирующий алгоритм ее решения, основанный на двупараметрическом функционале

Фга(я;) = г\\Вх - г||2 + ||Ах - у\\2 + аЦхЦ2, г,а>0. (0.8)

Этот вариационный метод регуляризации рассмотрели его ученики М.Я. Кугель [28] и И.Ю. Ястребова [54]. При выполнении условия (7) в функционале (8) можно положить а=0, при этом полученный таким образом функционал с точностью до параметризации совпадает с функционалом В.А. Морозова [37].

Для решения уравнения (1), кроме вариационных регуляризирующих методов, известны удобные в вычислительной практике итерационные процедуры. Многие из этих алгоритмов представляют собой методы решения уравнения

А*{Ах-у) = 0, (0.9) которое, как известно, равносильно задаче псевдообращения уравнения (1). Примеры таких итерационных методов можно найти в работах Г.М. Вайникко и А.Ю. Веретенникова [18], А.Б. Бакушинского и А.В. Гончарского [16] и других авторов.

В данной диссертационной работе исследуется проблема распространения итерационных методов регуляризации для решения задачи связанного псевдообращения. Предполагается, что А: X—>Y, В: X—>Z -линейные ограниченные операторы, X, Y, Z - гильбертовы пространства. Способ построения итерационных методов базируется на аппроксимирующей задаче, вывод которой основан на замене в точной формуле (6) псевдообратного оператора аппроксимирующим его семейством (§3) и опирается на известные факты из теории псевдообратных операторов и теории некорректных уравнений (глава I, §§1 и 2). Аналогом уравнения (9) в случае задачи связанного псевдообращения может служить параметрическое уравнение, которое равносильно аппроксимирующей задаче. С помощью оператора Гг и вектор дг:

Гг = фв А

X -л Z хУ = G, дг = frz У

ZG это уравнение можно записать в виде r;(rr®-0r) = o.

0.10)

Именно это уравнение предлагается использовать для построения методов решения задачи (5). Таким образом построены итерированный и итерационные методы регуляризации задачи связанного псевдообращения (глава II, §4).

Под итерированным методом регуляризации понимается последовательное вычисление элементов x\jra,.хт<га по формулам аХп,га+К^гХп,га=ахп^га-{-Г*дг, г, с*>0, п=1, 2,.m=const, (0.11) исходя из начального приближения xqjTCX=xq. Элемент хт>га принимается за приближенное решение основной задачи. Итерационный метод заключается в последовательном вычислении элементов хП)Г по формулам о;жП)Г+Г*Гг£П)Г=а;жп1)Г+Г*#г, г>0, п=1, 2,., a=const>0 (0.12) при заданном начальном приближении хо^г=хо.

Методы (11) - (12) относятся к неявным итерационным схемам решения уравнения (10). Явная итерационная схема приводит к следующему методу: хп^г — хп—1)Г nrY Г(Г rxn—i>r Qr)i (0.13) где ж0)Г=а;о, г>0, п=1,2,., 0</ir<p£jp

Построенные методы являются двупараметрическими и ни при каких значениях параметров не совпадают с задачей связанного псевдообращения (5).

Во второй главе рассматриваются вопросы сходимости методов, вывода оценок погрешностей и априорного выбора параметров при точных входных данных при общих предположениях относительно операторов А и В (§§4, 5). В этом случае сходимость методов достигается за счет согласованного стремления к своим пределам параметров регуляризации. Например, для итерационного метода (12) жП)Г—при п—>оо, г—оо, и ^—>0 (теорема 4.5). Приведенные для задачи псевдообращения (В=0, z=0) следствия, соответствуют известным результатам из [18].

Для сходимости хщг к я*, когда п—Уоо, г—>оо независимо (§6, следствие 6.2), потребовалось, чтобы операторы А и В были обобщенно дополнительные:

Зу > 0 : \\Axf + \\Bxf > 72||а;||2 Уж € (N(A) П iV(5))x. (0.14)

Но для метода (13) даже это условие не обеспечивает сходимости без согласования параметров. Этому препятствуют релаксационные множители цг (замечание 6.4).

В случае, если известны приближенные данные задачи: At, Bh, ут, то предполагаются выполненными следующие условия аппроксимации:

Л-Л||<*, ||ДА-В||<Л, \\ут-у\\<т, \\Z6-Z\\<5. (0.15)

При выполнении условия (15) установлена устойчивость регуляризиру-ющих алгоритмов (§§7, 8). Так, для неявного итерационного метода (12) в возмущенном случае доказано хщг—при h, t, 5, г—>0, со, г-^оо и выполнении условий согласования >0, rn(S2+h)—>0, п(т2-И)—»0 (теорема 7.5). Для рассматриваемых методов выведены оценки погрешности при обычном условии истокопредставимости начальной погрешности. Априорный выбор параметров осуществлен по полученным оценкам при условии, что точность приближенных оператора В^ и вектора z$ выше, чем оператора At и вектора ут.

Для итерационных процедур более удобным и практичным является апостериорный выбор параметров, выбор момента останова. В диссертации для решения этой проблемы используется идея последовательного выбора параметров регуляризации, предложенная в работе Р.А. Шафие-ва и И.Ю. Ястребовой [52]: параметр гд выбирается по принципу невязки или обобщенному принципу невязки из регуляризирующего алгоритма, который заключается в построении семейства {хг}, где хг - решение вариационной задачи

Fr(xr)= inf Fr(x), Fr(x)=\\rrx-gr\\2=r\\Bhx-z5\\2-\-\\Atx~yT\\, xeN(f)L

0.16) где оператор Гг составлен из приближенных данных аналогично Гг, а оператор Ti обозначается без индекса Г. Второй параметр п выбирается по правилу останова в итерационном методе (12) при фиксированном г=гд. Проблема выбора параметра г в методе регуляризации (16) была рассмотрена ранее в монографии В.А. Морозова [37] при ограничении (7), и И.Ю. Ястребовой [54] при условии (14). В этих работах поведение нормы невязки \\BhXr—zs|| изучается при 0<г<оо, что приводит к необходимости исследования так называемой двойственной задачи и введением связанных с ней дополнительных ограничений, в частности, требования, чтобы оператор А и вектор у были вычислены точно.

В отличие от работ В.А. Морозова и И.Ю. Ястребовой, мы рассматриваем параметр г в промежутке [1,+оо), в связи с чем становятся излишними рассмотрение двойственной задачи и дополнительные ограничения. Последовательному выбору параметров посвящена четвертая глава диссертации, состоящая из трех параграфов (§§9 - 11). Здесь предполагается, что как сами операторы А, В, так и приближенные операторы At, Bh удовлетворяют обобщенному условию дополнительности. Полное описание класса возмущений, для которых приближенные операторы At, Вь - обобщенно дополнительные, приводится в §1. Отсюда, в частности, следует, что если уровни возмущений из этого класса t и h малы: \/t2jrh2<\7, где 7 - константа из (14), то справедлива оценка

Atx\\2 + \\Bhx\\2 > i72|И|2 Vz g (N(At) П N(Bh))L .

Указанные ограничения обеспечивают независимость параметров в случае возмущенных данных (§9).

Далее, исследуя свойства функции-невязки p(r)=\\BhXr—zs\\, приходим к выводу, что р{г) непрерывная и строго убывающая на [1,+оо) функция, значения которой заполняют промежуток (Д^Аг] (лемма 10.8). С помощью этих результатов установлена возможность выбора параметра регуляризации г по принципу невязки как корня уравнения р(г) = А. (0.17)

Зафиксируем параметр г=гд и перепишем возмущенный метод (12): жо,д=Я(ь ажп>д+ГдГд5п,д—д<7д, п = 1,2,., a=const>0, (0.18) где обозначено хп^=хЩГл, Гд=ГГд, <7д=<7-Гд. Очевидно, метод (18) является итерационным методом построения псевдорешения u*=x&+Qxq уравнения Гдж=^д нормального относительно xq. Здесь Q - ортопроек-тор на ядро оператора Гд.

После нахождения параметра гд из уравнения (17), параметр п=п(а) находится по правилу останова для итераций из (18) как номер, для которого впервые ||жП)д—жп^д||<о", где а - наперед заданное число.

В заключение отметим, что формулировки некоторых практических задач, абстрактной моделью которых служит задача связанного псевдообращения, можно найти в [56]. Одна из этих задач рассмотрена в [58]. Суть этой задачи состоит в том, что требуется найти управление системой обыкновенных дифференциальных уравнений, которое за заданное время Т переведет эту систему из начального состояния x(t0) в состояние ti=t0+T, наименее уклоняющееся от заданной точки <p(t 1) фазового пространства, и при этом минимизирующее энергетические затраты. Приведенное в [58] решение связано с обращением ряда операторов. В главе V диссертации эта задача и аналогичная ей решена итерационного методом.

Применение итерационного метода к решению задач оптимального управления иллюстрируется на примере.

В диссертации принята следующая система нумерации. Нумерация параграфов в работе сквозная. Формулы в работе занумерованы двумя числами, разделенными точкой. Первое число в номере формулы - номер параграфа, в котором приводится данная формула, второе - номер формулы в параграфе. Во введении номер формул начинается с нуля. При ссылке на формулы внутри параграфа указывается только ее номер в данном параграфе. Нумерация определений, теорем, следствий, лемм и замечаний единая в параграфе и состоит из двух чисел, разделенных точкой. Первое число - номер параграфа, в котором сформулировано предложение, второе - номер предложения в параграфе. При ссылке на предложение указывается полный его номер.

Основные результаты предложенной работы являются новыми и вносят определенный вклад в теорию методов решения некорректных задач. Они опубликованы в [4] - [14] и докладывались на Всероссийской конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (г. Екатеринбург, 2004 г.), на научном семинаре "Методы оптимизации" кафедры оптимального управления факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (руководители - проф. Ф.П. Васильев, доктор физ.-мат. наук А.С. Антипин, доц. М.М. Потапов) (2005 г.), на научном семинаре "Математическая теория оптимального управления" Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского (руководители -проф. В.И. Сумин, проф. М.И. Сумин) (2005 г.), на научном семинаре кафедры прикладной математики Нижегородского государственного технического университета (руководитель - проф. И.П. Рязанцева) (2005 г.), на VI, VII, VIII, IX Нижегородской сессии молодых ученых (математические науки) (г. Саров, Нижегородская область, 2001 - 2004 г.г.), на научных конференциях Нижегородского государственного педагогического университета (2000 - 2005 г.г.), на научных семинарах кафедры математического анализа Нижегородского государственного педагогического университета (2000 - 2005 г.г.).

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Архаров, Евгений Валерьевич

Заключение

Подводя итог изложенному, сформулируем основные результаты, выносимые на защиту.

1. Для задачи связанного псевдообращения в случае непрерывных операторов в гильбертовых пространствах предложен способ построения регулярных методов ее решения, базирующийся на аппроксимирующей задаче.

2. Построены итерированный вариант двупараметрического метода регуляризации, а также неявные и явные схемы итерационных методов решения задачи связанного псевдообращения. Исследована сходимость и устойчивость этих методов в классе любых малых по норме возмущений операторов.

3. Установлены оценки погрешности методов и на основе принципа минимума мажорантных оценок решена проблема априорного выбора параметров регуляризации.

4. Исследована проблема выбора параметра г в регуляризирующем алгоритме, порожденном аппроксимирующей задачей, в случае, когда оба оператора заданы приближенно. Обоснован выбор параметра по принципу невязки и по обобщенному принципу невязки в суженном классе возмущений обоих операторов.

5. Сформулированы и обоснованы критерии апостериорного последовательного выбора параметров регуляризации для случая неявного итерационного метода в суженном классе возмущений операторов.

6. Рассмотрено применение построенной теории к решению задач оптимального управления с минимальными затратами энергии.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Архаров, Евгений Валерьевич, 2006 год

1. Агеев A.J1. Регуляризованный спектральный анализ и решение уравнений I рода с конечномерной нелинейностью: Автореф. дис. . доктора физ.-мат. наук. Екатеринбург: 1997. - 24 с.

2. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. - 432 с.

3. Алиев Б. Об обобщенном принципе невязки для L-псевдообращений // Докл. АН ТаджССР. 1989. - Т. 32, № 3. - С. 147-152.

4. Архаров Е.В. Итерационные методы в задаче связанного псевдообращения // Седьмая Нижегородская сессия молодых ученых (Математические науки): Тез. докл., г. Саров, 19-23 мая 2002 года. -Н.Новгород: Изд. Гладкова О.В., 2002. С. 34-35.

5. Архаров Е.В. Итерационные методы регуляризации задачи связанного псевдообращения. // Известия вузов. Математика. 2005. -№ 8. - С. 6-13.

6. Архаров Е.В. Неявная итерационная схема в задаче связанного псев-дообрашения // Восьмая Нижегородская сессия молодых ученых (Математические науки): Тез. докл., г. Саров, 19-23 мая 2003 года. Н.Новгород: Изд. Гладкова О.В., 2003. - С. 24-25.

7. Архаров Е.В. О двух задачах оптимального управления // Девятая Нижегородская сессия молодых ученых (Математические науки): Тез. докл., г. Саров, 23-27 мая 2004 года. Н.Новгород: Изд. Гладкова О.В., 2004. - С. 39-40.

8. Архаров Е.В., Бондарь Е.А. Явная итерационная схема решения задачи связанного псевдообращения. //Н.Новгород: 2003. 8 с. - Деп. в ВИНИТИ за № 604-В2003.

9. Архаров Е.В., Уваров В.Е. Методы регуляризации задачи 2-связан-ного исевдообращения //Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тез. докл. Всерос. науч. конф., Екатеринбург, 2-6 февр. 2004 года. Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2004. - С. 10-11.

10. Архаров Е.В., Уваров В.Е. О некоторых задачах оптимального управления // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тез. докл. Всерос. науч. конф., Екатеринбург, 2-6 февр. 2004 года. Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2004. - С. 146-147.

11. Архаров Е.В., Шафиев Р.А. Регулярные и итерационные методы связанного псевдообращения //Математический вестник педвузов Волго-Вятского региона. Периодический сборник научно-методических работ. Выпуск 5. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2003. - С. 68-80.

12. Архаров Е.В., Шафиев Р.А. О выборе параметров в итерационном методе регуляризации задачи связанного псевдообращения // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. Серия Математика. Вып. 1(3). Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 2005. -С. 135-149.

13. Архаров Е.В., Шафиев Р.А. Методы регуляризации задачи связанного псевдообращения с приближенными данными //ЖВМ и МФ. 2003, - Т. 43, № 3. - С. 347-353.

14. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966. - 544 с.

15. Бакушинский А.В., Гончарский А.В. Итеративные методы решения некорректный задач. -М.: Наука, 1989. 189 с.

16. Вайникко Г.М. Методы решения некорректно поставленных задач в гильбертовых пространствах. Тарту: Изд-во Тарт. гос. ун-та, 1983. -45 с.

17. Вайникко Г.М., Веретенников А.Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. М.: Наука, 1986. - 184 с.

18. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. - 400 с.

19. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. -М.: Наука, 1988. 552 с.

20. Васин В.В., Агеев A.JI. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: Наука, 1993. - 261 с.

21. Гавурин М.К. Лекции по методам вычислений. М.: Наука, 1971. -248 с.

22. Джумаев С., Назимов А. Об одном способе приближенного вычисления квазирешений // Докл. АН ТаджССР. 1983. - Т. 26, 4. -С. 195-198.

23. Емелин И.В. Красносельский М.А. Правило останова в итерационных процедурах решения некорректных задач // АиТ. 1978. - № 12.- С. 59-63.

24. Емелин И.В. Красносельский М.А. К теории некорректных задач // ДАН СССР. 1979. - Т. 244, № 4. - С. 805-808.

25. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. - 206 с.

26. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.- 740 с.

27. Кугель М.Я. Вариационные методы L псевдообращения линейных операторов: Дис. . кандид.физ.-мат. наук. - Баку, 1985. 110 с.

28. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: СО АН СССР, 1962. - 92 с.

29. Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Линейные операторы и некорректные задачи. М.: Наука, 1991. - 331 с.

30. Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Теория операторов и некорректные задачи. Новосибирск: Изд-во ин-та математики, 1999. - 702 с.

31. Мелешко В.И. Возмущения неограниченных замкнутых псевдообратных операторов //Дифференциальные уравнения. 1979. -Т. 15, № 4. - С. 681-694.

32. Мелешко В.И. Исследование устойчивых L псевдообращений неограниченных замкнутых операторов методом регуляризации // Дифференциальные уравнения. - 1979. - Т. 15, № 5. - С. 921-935.

33. Мелешко В.И. Псевдообратные операторы и рекуррентное вычисление псевдорешений в гильбертовых пространствах // СМЖ. 1978. -Т. 19, № 1.-С. 108-121.

34. Мелешко В.И. Устойчивое к возмущениям псевдообращение замкнутых операторов // ЖВМ и МФ. 1977. - Т. 17, № 5. - С. 1132-1143.

35. Морозов В.А. Методы регуляризации неустойчивых задач. М.: Изд-во МГУ, 1987. - 215 с.

36. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987. - 360 с.

37. Морозов В.А., Гребенников А.И. Методы решения некорректно поставленных задач. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1992. - 319 с.

38. Морозов В.А., Кирсанова Н.Н. Об одном обобщении метода регуляризации // Вычислительные методы и программирование. М.: МГУ, 1970. - Вып. 14. - С. 40-45.

39. Морозов В.А., Назимов А.Б. К теории L-псевдообращения // Численный анализ: методы, алгоритмы, программы. М.: МГУ, 1983. -С. 20-29.

40. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу.- М.: Мир, 1979. 587 с.

41. Садовничий В.А. Теория операторов: Учеб. для вузов. М.: Дрофа, 2001. - 384 с.

42. Танана В.П. Методы решения операторных уравнений. М.: Наука, 1981. - 157 с.

43. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // ДАН СССР. 1963. - Т. 151, № 3. - С. 501-504.

44. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.- М.: Наука, 1986. 288 с.

45. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Регу-ляризирующие алгоритмы и априорная информация. М.: Наука, 1983. - 200 с.

46. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990. - 229 с.

47. Шафиев Р.А. К теории методов регуляризации Тихонова Лаврентьева // ДАН СССР. - 1985. - Т. 282, № 4. - С. 804-808.

48. Шафиев Р.А. О многоэтапной лексикографической задаче. // Баку, 1986. 28 с. - Деп. в ВИНИТИ за № 3266-В86.

49. Шафиев Р.А. О регулярных методах вычисления L-псевдообратных операторов // ЖВМ и МФ. 1983. - Т. 23, № 3. - С. 536-544.

50. Шафиев Р.А. Псевдообращение операторов и некоторые приложения. Баку: Элм, 1989. - 152 с.

51. Шафиев Р.А., Ястребова И.Ю. О выборе параметров в методе регуляризации L-псевдообращения // Известия вузов. Математика. -2001. № 11. - С. 71-76.

52. Ястребова И.Ю. Алгоритм вычисления параметра регуляризации в задаче связанного псевдообращения // ЖВМ и МФ. 2002. - Т. 42, № 10. - С. 1466-1474.

53. Ястребова И.Ю. Метод регуляризации решения задачи связанного псевдообращения: Дис. . кандидата физ.-мат. наук. Екатеринбург: 2003. 134 с.

54. Elden L. A weighted pseudoinverse, generalized singular values, and constrained least squares problems // BIT. 1982. - V. 22. - P. 487-502.

55. Groetsch C.W. Regularization with linear equality constraints // Lect. Notes Math. 1986. - № 1225. - P. 168-181.

56. Holmes R.B. Course on optimization and best approximation. Berlin: Springer-Verlag, 1972. - 233 p.

57. Minarnide N. Nakarnura K. A restricted pseudoinverse and its application to cotrained minima // SIAM J. Appl. Math. 1970. - V. 19. -P. 167-177.

58. Moore E.H. On the reciprocal of the general algebraic matrix // Bull. Amer. Math. Soc. 1920. - V. 26. - P. 394-395.

59. Penrose R. On a generalized inverse for matrices // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1955. - V. 51, № 3. - P. 406-413.

60. Petryshyn W.V. On generalized inverses and on the Uniform convergence of (/ — /3K)n with application to iterative methods //J. Math. Anal. Appl. 1967. - V. 18. - P. 417-439.

61. Wedin P. Perturbation theory for pseudo-inverses // BIT(SVER). -1973. V. 13, № 2. - P. 217-232.