Нелинейные регуляризирующие алгоритмы восстановления сигналов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Втюрин, Константин Александрович

• Втюрин, Константин Александрович
• кандидат технических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат технических наук Втюрин, Константин Александрович

Введение

1 Глобальные регуляризирующие алгоритмы

1.1. Вспомогательные алгоритмы и соотношения.

1.2. Регуляризирующие алгоритмы.

1.3. Алгоритмы выбора параметра регуляризации.

1.3.1. Метод перекрестной значимости.

1.3.2. Критерий L-кривой.

1.4. Исследование эффективности методов выбора параметра регуляризации.

1.5. Точностные характеристики регуляризирующих алгоритмов.

1.6. Синтез регуляризирующих алгоритмов по заданным точностным характеристикам.

1.7. Оценка дисперсии шума и априорная информация

Результаты главы

2 Локальный регуляризирующий алгоритм

2.1. Оптимальный локальный регуляризирующий алгоритм

2.2. Итерационное уточнение отношений шум/сигнал».

2.3. Сходимость локально регуляризированных решений

2.4. Результаты вычислительного эксперимента.

Результаты главы

3 Дескриптивные регуляризирующие алгоритмы

3.1. Метод проецирования на допустимые множества

3.2. Построение дескриптивного решения методами квадратичного программирования.

3.3. Сравнение методов дескриптивной глобальной регуляризации

3.4. Алгоритм дескриптивной локальной регуляризации.

3.5. Результаты вычислительного эксперимента.

Результаты главы

4 Решение обратной задачи лазерной спектроскопии

4.1. Постановка задачи.

4.2. Приведение алгоритма регуляризации.

4.3. Вычислительный эксперимент по восстановлению профиля входного сигнала.

Результаты главы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейные регуляризирующие алгоритмы восстановления сигналов»

Рассмотрим измерительную систему, описываемую интегральным уравнением первого рода с разностным ядром t f к{1-т)у{т) dr = f(t), которое определяет связь между входным cp(t) и выходным f(t) сигналами. Ядро системы k(t—r) задает динамическую характеристику преобразователя (инструмента измерения), f(t) - измеренный сигнал, называемый правой частью интегрального уравнения, cp(t) - неизвестный сигнал. В этом случае, обратная измерительная задача формулируется следующим образом: по зарегистрированному сигналу f(t) определить значение функции cp(t), т.е. решить интегральное уравнение относительно <p(t).

К решению интегральных уравнений с разностым ядром приводят многие задачи математической физики из таких областей как геофизика, гидро- и газодинамика, оптика и т.д. Решение интегральных уравнений с разностным ядром является одним из основных этапов в задачах параметрической и непараметрической идентификации динамических систем, обработки экспериментальных данных и численного анализа.

Основной базой для решения уравнения свертки является хорошо известное свойство преобразования Фурье, которое утверждает, что если К(ш), Ф(и) есть Фурье-образы функций k(t), cp(t), то Фурье-образ F(u) функции их свертки f(t) определяется как

Р(ш) = К(ш)Ф(и).

Откуда следует, что Фурье-образ решения и само решение имеют вид

•м - т

1 ~TF(u>)

На практике, как правая часть, так и ядро измеряются с некоторой случайной ошибкой k(t) = k(t) + f{t) = f(t) + £/(f), где £k(t) и £/(£) ~~ реализации случайных шумов, обусловленные погрешностями измерительной аппаратуры, шумами каналов связи, конечностью разрядной сетки вычислительных машин, приближенностью используемых моделей и т.д. В общем случае, обе реализации помех преобразуют, переводят в правую часть и обозначают £(£). Полученную суммарную реализацию £ (t) называют шумом измерения j(t) = m+m

В результате приходится решать уравнение вида t

J k(t-T)(p(r)dT = f{t). о

Формально, и в этом случае оценку решения можно получить обратным преобразованием Фурье:

Т) = / К (и) = fiiт)+i^Шexp^~iшт}dlJJ, где £{ш) - Фурье-образ шума £(£).

При этом возникает ряд трудностей, связанных с нарушением требований корректности Адамара [84]. Во-первых, функция ф[т) может не существовать, так как последний интеграл может быть расходящимся. Это объясняется разной скоростью сходимости к нулю К{ш) и при и —» со. Ввиду того, что спектр шума измерения S(u>) намного шире спектра ядра К (и), на высоких частотах £(и?)/К(и>) —> оо, поэтому это отношение может не иметь обратного преобразования Фурье. Во-вторых, если характеристики сигналов таковы, что функция £{oj)/К{ш) конечна и имеет обратное преобразование Фурье, то отклонение оценки <р(т) от точного решения может быть сколь угодно большим.

Задачи такого рода, где не выполнено одно или более из требований корректности Адамара, называются некорректными. Теория и методы решения некорректных задач получили широкое развитие после опубликования основополагающих работ А.Н.Тихонова [62, 63, 64]. Важным шагом в развитии методов решения некорректных задач было введение понятия регуляризированного решения.

В общем случае, для решения некорректно поставленных задач в первую очередь обращаются к методу наименьших квадратов (МНК). Псевдорешением (или решением МНК) называется вектор <рнк? который доставляет минимум квадратичному функционалу [67] в Фурье-области: 11^ - кщ2 = Е (Fj ~ Kfrf j=о среди всех векторов евклидова пространства Ем. Используя правила дифференцирования можно получить выражение для определения псевдорешения

К) • Фhkj = Kj • Fj.

К сожалению, алгоритм построения псевдорешения неустойчив к возмущениям правой части. Поэтому используют регуляризирующий подход, который состоит в поиске компромисса между соответствием правой части интегрального уравнения искомому решению и гладкостью этого решения. В общем случае, задача сводится к нахождению минимума функционала

Фа(Ф) = ||F - КФ\\2 + а\\ЦФ - тФ)||2, где а - параметр регуляризации, который должен быть выбран исследователем, ||£(Ф — тф)|| - гладкость регуляризированного решения, \\F — КФ\\ - невязка. Вектор является априорной оценкой Ф. Если априорная оценка отсутствует или не доступна для измерения, равен нулю. Если параметр регуляризации а равен нулю (исключается регуляризация), то функционал Фа(Ф) вырождается в Фя#(Ф), и оценкой решения становится псевдорешение.

Одним из авторов, описавшим схему, которая близка к методу регуляризации Тихонова, является Джеймс Райлей. В своей статье [90], он рассматривал некорректно поставленную задачу в виде системы уравнений = f с симметричными положительными коэффициентами матрицы, и предложил для решения использовать систему (k + oil)ip = f, где а - малая положительная константа. Одной из первых статей посвященной задачам в общем виде на эту тему была публикация Фил-липса [88]. Он определял к как квадратную матрицу из интегрального уравнения Фредгольма первого рода, a L как трехдиагональную матрицу tridiag(l, —2,1). Филлипс предложил вычислять регуляризирован-ное решение по формуле сра = (k + ak-TLTL)1f. Однако, здесь приходилось находить к-1. Твомей в своей статье [92] получил хорошо из-^ вестное выражение <ра = (ктк + aLTL)-1kTf, где L = tridiag(l,-2,l). Он также предложил включить априорную оценку но только при выборе L = I (единичная матрица), таким образом получив формулу <Ра = (kTk + al)"1^ + atrip).

В своих работах [62, 63] Тихонов описывает наиболее общий случай: он рассматривает задачу к(р = /, где <р и / являются функциями, а к -интегральным оператором. Для решения задачи такого вида был введен квадратичный функционал ф0(9) = 11/-ад|2+«ивд||2. где £1(<р) - стабилизирующий функционал, который зависит от поведения искомой функции (р и шума измерения. В этом методе, путем выбора соответствующего значения а, находится разумный компромисс между адекватностью найденного решения заданной правой части (первое слагаемое) и гладкостью (устойчивостью) этого решения (слагаемое Q(ip)).

Устойчивые решения можно получить с помощью методов регуляризации, которые подразделяются по форме задания априорной информации на детерминированные и статистические. В статистических регуляризирующих алгоритмах построение решений основано на статистической модели измерений и статистических способах задания априорной информации об искомом решении, которые носят вероятностный характер. К ним относятся байесовский регуляризирующий алгоритм [37, 56, 73], и оптимальные решающие процедуры [2, 38, 43, 44, 69, 70, 71]. В регуляризирующих алгоритмах детерминизм выражается в постановке задачи, в алгоритме построения и отборе устойчивых решений. Он определяется способом задания априорной информации, выбором метрик как правой части, так и решения. К детерминированным относятся, методы квазирешений, невязки, регуляризации А.Н.Тихонова [40, 62, 63, 65, 66].

Одной из проблем, возникающей при использовании регуляризирующих алгоритмов, основанных на регуляризации А.Н.Тихонова, является выбор параметра регуляризации а, который вводится в алгоритмы для компенсации существующей неопределенности о характеристиках искомого решения. Изменяя его, можно получить приемлемую точность найденного регуляризированного решения. В основном, существующие алгоритмы выбора параметра регуляризации можно разделить на три группы: алгоритмы, использующие априорную информацию (принцип невязки [34, 51], условие оптимальности [22]); алгоритмы не требующие знания какой-либо дополнительной информации (метод перекрестной значимости [74, 81, 82], метод L-кривой [77, 78, 79, 85]); алгоритмы, для которых необходимо задать точностные характеристики [57]). Необходимо отметить, что последний пункт вынесен отдельно, ввиду того, что используемая в этих алгоритмах информация относится не к сигналам или измерительной системе, а к алгоритму в целом.

Все описанные выше алгоритмы работают с одним управляющим ре-гуляризирующим параметром. Поэтому они получили название глобальных. Применение такого подхода для сигналов в частотной области означает, что все решение подвергается воздействию стабилизатора, которое одинаково на протяжении всего спектра. Очевидно, что повысить точность регуляризированных решений можно, перейдя к методам локальной регуляризации. В связи с этим все большее распространение получают локальные регуляризирующие алгоритмы. Термин «локальные» указывает на то, что скалярный параметр регуляризации в таких алгоритмах заменен некоторой функцией, зависящей от аргумента искомого решения. Такой подход выгодно отличается от методов глобальной регуляризации с точки зрения точности решения и предлагается в данной работе для восстановления сигналов в системах, описываемых уравнением свертки.

Другой способ повышения точности приближенных решений заключается в использовании априорной качественной и количественной информации о характеристиках искомого решения.

Во многих задачах математической физики в качестве априорной информации можно взять известные данные о гладкости решения. В ряде обратных задач геофизики, астрофизики, диагностики плазмы известно, что искомые функции обладают свойством монотонности или выпуклости. Поиск решения, с применением информации такого рода, называют дескриптивной регуляризацией. Термин «дескриптивная регуляризация», объединяет те методы решения некорректно поставленных задач, в которых принципы регуляризации сочетаются с такой качественной информацией о решении, как знакоположительность, монотонность, выпуклость, наличие экстремумов и т.д. Субъективной базой этой информации являются, как правило, интуитивные предположения о простоте структуры искомого решения, а объективной - априори известные общие представления о поведении изучаемого процесса. При работе с негладкими функциями (прямоугольной, треугольной, трапецеидальной формы), которые часто встречаются в приложениях, регуляризированные решения, построенные линейными методами, даже при малом уровне шума содержат осцилляции и принимают, например, отрицательные нефизические значения [36, 59]. Очевидно, что в этих случаях высокочастотная составляющая решения плохо восстановлена, либо вообще исключена из решения. Применение дескриптивных методов регуляризации позволяет устранить такие явления и дает возможность восстановить «тонкую» структуру решения. Дескриптивные методы, в большинстве своем, нелинейны. Можно сказать, что эти методы обладают более высокой разрешающей способностью, по сравнению с линейными регуляризирующи-ми алгоритмами. К сожалению, в литературе отсутствуют описания дескриптивных регуляризирующих алгоритмов для решения интегральных уравнений с разностным ядром на основе дискретного преобразования Фурье.

В диссертационной работе предлагаются новые подходы к построению:

• локальных регуляризирующих алгоритмов, в которых вместо одного параметра регуляризации вводится набор параметров, позволяющих проводить более «тонкую» настройку регуляризирующих алгоритмов;

• дескриптивных регуляризирующих алгоритмов, позволяющих учитывать дополнительную качественную и количественную информацию об искомом решении.

Цель работы заключается в разработке и исследовании нелинейных регуляризирующих алгоритмов решения интегральных уравнений первого рода с разностным ядром. В соответствии с указанной целью в диссертационной работе поставлены и решены следующие задачи:

1) разработка эффективных глобальных регуляризирующих алгоритмов с выбором параметра регуляризации по точностным характеристикам и L-кривой на основе дискретного преобразования Фурье;

2) разработка локального регуляризирующего алгоритма решения интегрального уравнения с разностным ядром, с уточнением отношений «шум/сигнал»;

3) разработка эффективного нелинейного регуляризирующего алгоритма решения уравнения типа свертки, учитывающего априорную информацию о характеристиках искомого решения;

4) создание алгоритмического и программного обеспечения и решение на его основе практической задачи.

Методы исследований основаны на применении аппарата линейной алгебры, теории сигналов, теории некорректных задач, теории вероятностей и математической статистики, нелинейного программирования и цифрового моделирования.

Научная новизна заключается в следующем:

1) разработан алгоритм локальной регуляризации, в котором для каждого коэффициента дискретного преобразования Фурье решения вычисляется свой регуляризирующий множитель как предельная точка итерационной процедуры уточнения отношений «шум/сигнал»;

2) разработаны эффективные алгоритмы выбора параметра регуляризации по методам L-кривой и перекрестной значимости для решения интегральных уравнений с разностным ядром;

3) предложены аналитические выражения для выбора параметра регуляризации исходя из задаваемых точностных характеристик алгоритма восстановления решения интегральных уравнений с разностным ядром;

4) разработан эффективный дескриптивный регуляризирующий алгоритм, учитывающий априорные ограничения на решение, задаваемые системой линейных неравенств.

Достоверность результатов, полученных аналитически, подтверждается компьтерным моделированием с использованием стандартных и разработанных тестовых примеров, учитывающих специфику задач прикладной спектроскопии, а также согласованностью полученных данных с результатами работ других авторов.

Практическая ценность состоит в том, что:

1) полученные теоретические результаты являются основой для численной реализации построения локальных и дескриптивных регуляризи-рованных решений при различном объеме априорной информации;

2) на основе разработанных алгоритмов решена задача восстановления спектров излучения кристаллов по данным лазерной спектроскопии;

3) разработан пакет прикладных программ, предназначенных для решения интегральных уравнений с разностным ядром методами глобальной, локальной и дескриптивной регуляризации, который может быть использован в составе математического обеспечения в различных системах обработки экспериментальных данных.

Таким образом, на защиту выносятся:

1) алгоритм выбора параметра регуляризации по критерию L-кривой и по требуемым точностным характеристикам регуляризирующего алгоритма;

2) локальный регуляризирующий алгоритм с вычислением отношений шум/сигнал;

3) алгоритм нелинейной регуляризации, учитывающий априорные ограничения на искомое решение, задаваемые системой линейных неравенств.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы были представлены и обсуждены на конференции "Дни науки НГТУ - 2000" (Новосибирск, НГТУ, 2000), на региональной научной конференции студентов, аспирантов, молодых ученых "Наука. Техника. Инновации - 2001" (Новосибирск, НГТУ, 2001), на 59-ой научно-технической конференции НГАСУ (Новосибирск, НГАСУ, 2001), на Всероссийской конференции "Научно-технические проблемы в строительстве" (Новосибирск, НГАСУ,

2002), на 4-ой международной конференции "Обратные задачи: Идентификация, Проектирование, Управление" (Москва, МАИ, 2003).

Публикации. Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах [25]- [31], [93].

Структура и объем диссертациии. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 96 наименований и двух приложений. Объем диссертации составляет 128 страниц.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Втюрин, Константин Александрович

Заключение

В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. Выполнено исследование особенностей существующих алгоритмов выбора глобального параметра регуляризации. Введены величины, характеризующие систематическую и случайную ошибки, а также среднеквадратическую ошибку глобального решения. Важным свойством этих параметров является возможность определения параметра регуляризации до выполнения самого регуляризирующего алгоритма. Это позволило разработать алгоритмы выбора параметра регуляризации по требуемым значениям точностных характеристик.

2. Разработан алгоритм локальной регуляризации, в котором для каждой проекции дискретного преобразования Фурье системы вычисляется свой регуляризирующий множитель. Для этого была предложена итерационная процедура уточнения отношения шум/сигнал, которое входит в регуляризирующие множители. Кроме того, были получены явные выражения для определения предельных точек итерационной процедуры, что позволило снизить вычислительные затраты.

3. Разработан алгоритм дескриптивной глобальной и локальной регуляризации с использованием методов математического программирования, в которых учитывается дополнительная простейшая априорная информация о характеристиках восстанавливаемого сигнала.

4. Разработан пакет прикладных программ, предназначенный для решения следующих задач:

• решения интегральных уравнений с разностным ядром алгоритмами глобальной регуляризации (метод перекрестной значимости, критерий L-кривой, точностные характеристики), локальной регуляризации с уточнением отношений шум/сигнал, дескриптивными алгоритмами;

• проведения вычислительных экспериментов по решению интегральных уравнений с разностным ядром первого рода алгоритмами глобальной и локальной регуляризации;

• проведения лабораторных работ по курсам «Численные методы» и «Вычислительная математика».

5. Решена обратная задача лазерной спектроскопии излучения и поглощения кристаллов с использованием алгоритмов локальной и дескриптивной регуляризации, что позволило существенно повысить точность восстанавливаемых профилей и снизить вероятность ложного определения спектральных линий. Акт о внедрении результатов диссертационной работы на предприятии ФГУП Сибирский научно-исследовательский институт метрологии (г. Новосибирск) представлен в приложении.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Втюрин, Константин Александрович, 2004 год

1. Анисимов А.С., Чикильдин Г.П. Алгоритмы преобразования линейных математических моделей. - Новосибирск: Издательство НГТУ, 1996. - 93 с.

2. Арефьева М.В. Некоторые ассимтотические оценки оптимальной погрешности для уравнений типа свертки// ЖВМиМФ, 1975, т.15, №5, с.1310-1317.

3. Арсенин В.Я., Загонов В.П., Трахониотовская Р.А. О численном решении интегральных уравнений I рода типа свертки на нерав-намерных сетках. Препринт №141. М: Изд-во института прикладной математики АН СССР, 1978.

4. Арсенин В.Я., Криксин Ю.А., Тимонов А.А. Метод локальной регуляризации линейных операторных уравнений I рода и его приложения// ЖВМиМФ, 1988, т.28, №6, с.793-802.

5. Арсенин В.Я., Тимонов А.А. О построении регуляризующихоператоров, близких к оптимальному, для одномерных и многомерных интегральных уравнений I рода типа свертки// Докл. АН СССР, -1985. т.284,№6, с.1289-1293.

6. Ахманов С.А., Коротеев Н.И. Методы нелинейной оптики в спектроскопии рассеяния света. М: Наука, 1981.

7. Базара М., Шетхи К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы // Пер. с англ. М.: Мир, 1982. - 584 с.

8. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. М: Высшая школа, 1988. - 448 с.

9. Васин В.В. Методы решения неустойчивых задач. Екатеринбург: Наука, 1989.

10. Васин В.В. Методы решения операторных уравнений с априорной информацией / В кн. «Численные методы и оптимизация». Таллин, 1988. - с.70-80.

11. Васин В.В., Агеев А.Л. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: Наука, 1993. - 264 с.

12. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М: Наука, 1969.

13. Возенкрафт Дж., Джекобе И. Теоретические основы техники связи. М: Мир, 1969.

14. Воскобойников Ю.Е. Критерий оптимальности построения статистически регуляризующих алгоритмов при решении линейных некорректно поставленных задач. В кн.:Некоторые обратные задачи атомной физики. Новосибирск: изд. ИТПМ СО АН СССР, 1976, с. 96-105.

15. Воскобойников Ю.Е. Методы решения некорректных задач параметрической идентификации: Учебное пособие. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1996. - 90 с.

16. Воскобойников Ю.Е. Оценивание оптимального параметра ре-гуляризующего алгоритма восстановления изображений// Автометрия. 1995. - №3. - с.64-72.

17. Воскобойников Ю.Е. Регуляризующий алгортим обращения уравнения Абеля// ИФЖ, 1980. - т.34, №. - с.270-274.

18. Воскобойников Ю.Е. Эффективный алгоритм решения плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений // Автометрия. 1988. - №5. - с.104-110.

19. Воскобойников Ю.Е., Мухина И.Н. Локальные регуляризующие алгоритмы решения систем линейных алгебраических уравнений. Препринт №1(1). Новосибирск: Изд-во НГАСУ, 2001. - Збс.

20. Воскобойников Ю.Е., Преображенский Н.Г. Построение дескриптивного решения обратной задачи теплопроводности в базисе В-сплайнов// ИФЖ. 1983. - т.45, №5. - с.760-765.

21. Воскобойников Ю.Е., Преображенский Н.Г., Седельников

22. А.И. Математическая обработка эксперимента в молекулярной газодинамике. Новосибирск: Наука, 1984, 238 с.

23. Воскобойников Ю.Е., Томсонс Я.Я. Алгоритм численного решения интегрального уравнения 1-го рода типа свертки. В кн.: Алгоритмы обработки теплофизического эксперимента. Новосибирск: изд. Института теплофизики СО АН СССР, 1975, с.23-60.

24. Воскобойников Ю.Е., Томсонс Я.Я. Построение регуляризован-ного решения одной обратной задачи теплопроводности при случайных ошибках в исходных данных// ИФЖ, 1997, т.ЗЗ, №6, с. 10961102.

25. Втюрин К. А. Дескриптивные алгоритмы восстановления сигналов на основе дискретного преобразования Фурье// Сборник научных трудов НГТУ. Новосибирск: НГТУ, 2000, - №5, с. 51-56.

26. Втюрин К.А. Исследование дескриптивных регуляризирующих алгоритмов восстановления сигналов// Дни науки НГТУ 2000, материалы студенческой конференции, Новосибирск, 2000, с. 16.

27. Втюрин К.А. Регуляризирующий алгоритм с уточнением спектра решения// Наука. Техника. Инновации 2001, материалы региональной научной конференции, Новосибирск: НГТУ, 2001, с. 7.

28. Втюрин К.А. Втюрин К.А. Локальный регуляризирующий алгоритм восстановления сигналов// Труды НГАСУ. Новосибирск: НГАСУ, 2002, - Т.5, с. 135-139.

29. Втюрин К.А. Локальный регуляризирующий алгоритм идентификации импульсной переходной функции динамической системы//Материалы 59-ой научно-технической конференции НГАСУ. Новосибирск: НГАСУ, 2002, с. 49.

30. Втюрин К.А. Дескриптивный алгоритм восстановления сигналов// Научно-технические проблемы в строительстве, материалы Всероссийской конференции, Новосибирск: НГАСУ, 2003, с. 47.

31. Втюрин К.А. Регуляризирующий алгоритм восстановления сигналов с выбором параметра регуляризации по L-кривой // Сборник научных трудов НГТУ. Новосибирск: НГТУ, 2003, с. 41-49.

32. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М: Наука, 1972, 872 с.

33. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. М: Радио и связь, 1986.

34. Гончарский А.В., Леонов А.С. и др. О регуляризации некорректных задач с приближенно заданным оператором// ЖВМиМФ, 1974, т.14, №4, с.1022-1027.

35. Гончарский А.В., Леонов А.С. и др. Обобщенный принцип невязки// ЖВМиМФ, 1973, т.13, №2, с.294-302.

36. Гончарский А.В., Черепащук A.M., Ягола А.Г. Численные методы решения обратных задач астрофизики. М: Наука, 1978.

37. Жуковский Е.Л. Статистическая регуляризация алгебраических систем уравнений// ЖВМиМФ, 1973, т.12, №2, с.185-191.

38. Жуковский Е.Л., Морозов В.А. О последовательной байесовской регуляризации алгебраических систем уравнений// ЖВМиМФ, 1972, т.12, №2, с.464-465.

39. Заикин П.Н., Меченов А.С. Некоторые вопросы численной реализации регуляризирующего алгоритма для линейных интегральных уравнений. В кн.: Вычислительные методы и программирование. М: МГУ, 1973, вып.21.

40. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М: Наука, 1978. - 206 с.

41. Колмогоров А.И., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1972.

42. Кочетов И.И. О новом способе выбора параметра регуляризации// ЖВМиМФ, 1976, т.16, №2, с.499-503.

43. Куке Я.П., Ольман В. Минимаксная линейная оценка коэффициентов регрессии// Известия АН ЭССР, 1972, т.21, №1, с.66-72.

44. Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Линейные операторы и некорректные задачи. М: Наука, 1991. - 331 с.

45. Леонов А.С. О критериях выбора параметра регуляризации при решении некорректных задач / Сб. под ред. А.Н. Тихонова. Новосибирск: Наука, 1982.

46. Леонов А.С., Ягола А.Г. Метод L-кривой всегда дает неустранимую систематическую ошибку// Вестн. Моск. ун-та. Физ.Астрон., 1997, т 3, №6, с.17-19.

47. Летохов B.C., Чеботаев В.П. Принципы нелинейной лазерной спектроскопии. М: Мир, 1975.

48. Марпл Дж. Мл. Цифровой спектральный анализ и его применение. М: Мир, 1985.

49. Миберн Дж. Обнаружение и спектрометрия слабых источников света. М: Мир, 1979.

50. Мирошников М.М. Теоретические основы оптико-электронных приборов. Л: Наука, 1983. «

51. Морозов В.А. О принципе невязки при решении операторных уравнений методом регуляризации// ЖВМиМФ, 1968, т.8, №2, с.295-309.

52. Морозов В.А. Об оптимальной регуляризации операторных уравнений// ЖВМиМФ, 1979, т.10, №4, с.818-829.

53. Морозов В.А., Гольдман Н.Л. Об алгоритмах дескриптивной регуляризации решений интегральных уравнений Фредгольма I рода. М.: Изд-во МГУ, 1976. с.52-72.

54. Морозов В.А., Гольдман Н.Л., Самарин М.К. Метод дескриптивной регуляризации и качество приближенных решений// ИФЖ, 1977, т.33, №6, с.1117-1120.

55. Морозов В.А., Гребенников А.И. Методы решения некорректно поставленных задач М: Наука, 1992. - 319 с.

56. Муравьев М.В. Об оптимальных и предельных свойствах байесовского решения системы линейных алгебраических уравнений// ЖВМиМФ, 1973, т.13, №4, с.819-828.

57. Мухина И.Н. Точностные характеристики алгоритма решения систем линейных уравнений// Сборник научных трудов НГТУ. Но-восиборск: Изд-во НГТУ, 2000, №5(22), с.39-44.

58. Сизиков B.C. Анализ методов локальной регуляризации и формулировка методов субоптимальной фильтрации решения уравнений I рода// ЖВМиМФ, 1999, т.39, №5, с.718-733.

59. Пикалов В.В., Преображенский Н.Г., Тамбовцев Б.З. Статистическая регуляризация и некоторые новые методы решения условно-корректных задач. В кн: Некорректные обратные задачи атомной физики. Новосибирск: изд. ИТПМ СО АН СССР, 1976, с.17-33.

60. Рабинер JI., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М: Мир, 1978.

61. Тамбовцев Б.З., Дробышевич В.И. О восстановлении истинного контура спектральной линии из реальных измерений// Журнал прикладной спектроскопии. 1976. - т.24, №2, с.310-315.

62. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач// Докл. АН СССР, 1963, т.153, №1, с.49-52.

63. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации// Докл. АН СССР, 1963, т.153, №3, с.501-504.

64. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач// Докл. АН СССР, 1943, т.39, №5, с.195-198.

65. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М: Наука, 1979. - 288 с.

66. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В. и др. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация. М: Наука, 1988.

67. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В. и др. Численные методы решения некорректных задач. М: Наука, 1990.

68. Турчин В.Ф., Туровцева JI.C. Восстановление оптических спектров и других неотрицательных функций по методу статистической регуляризации// Оптика и спектроскопия. 1974. - т.36, №2. - с.280-287.

69. Федотов A.M. Линейные некорректные задачи со случайными ошибками в данных. Новосибирск: Наука, 1982. - 189 с.

70. Федотов A.M. Некорректные задачи со случайными ошибками в данных. Новосибирск: Наука, 1990. - 279 с.

71. Федотов A.M. Оптимальные линейные решающие процедуры для линейных операторных уравнений со случайными данными.// ЖВ-МиМФ, 1981, т.21, №5, с.66-72.

72. Турчин В.Ф., Туровцева Л.С. Восстановление оптических спектров и других неотрицательных функций по методу статистической регуляризации. Опт. и спектр., 1974, т.36, №2, с. 280-287.

73. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М: Мир, 1975. - 688 с.

74. Allen D.M. Mean square error of predication as an criterion for selecting variables// Technometrics. 1973, v.13, №3, pp.469-475.

75. Allen D.M. The relationship between variable selection and data augmentation and method for prediction// Technometrics. 1974, v.16, №1, pp.125-127.

76. Bertero M., Dovi V. Regularized and positive-constrained inverse methods in the problem of object restoration// Opt. Act. 1981. - v.28, №12, pp.1635-1649.

77. Carasso A.S. Overcoming Holder discontinuity in ill-posed continuation problems// SIAM J. Numer. Anal. 1994, №31, pp.1535-1557.

78. Chen L.Y., Chen J.T., etc. Application of Cesaro mean and the Incurve for the deconvolution problem// Soil Dynamics and Earthquake Engineering 1995, №14, pp.361-373.

79. Engl H.W., Gfrerer H. A posteriori parameter choice methods for general methods for solving linear ill-posed problems// Appl. Numer. Math. 1988, №4, pp.395-417.

80. Engl H.W., Gfrerer H. Using the L-curve for determining optimal regularization parameter// Appl. Numer. Math. 1994, №69, pp.25-31.

81. Golub G.H., Heath M., Wahba G. Generalized cross validation as a method for choosing a good ridge parameter// Technometrics. 1979, v.21, pp.215-222.

82. Graven C., Wahba G. Smoothing noisy date with spline functions: estimating the correct degree of smoothing by the method of generalized cross validation// Numer. Math. 1979, v.31, №3, pp.377-403.

83. Gubin L.G., Polyak B.T., Raik E.V. The method of projection for finding the common point of convex sets// Comput.Math.&Math.Phis. 1967. - v.7, №6. - p.1-24.

84. Hadamard J. Le probleme de Cauchy et les equations aux derives particlee lineaires hyperbolique. Paris: Hermann, 1932.

85. Hansen P.C. Analysis of discrete ill-posed problems by means of the L-curve// SIAM Review. 1999, v.34, pp.561-580.

86. Hansen P.C. Rank-Deficient and Discrete Ill-Posed Problems// SIAM Review, Philadelphia, 1998.

87. Herman G.T., Lent A., Lutz P. Relaxation methods for image reconstruction// Commun.ACM-21. 1978. - p.152-158.

88. Phillips D.L. A technique for the numerical solution of certain integral equations of the first kind// J. Assoc. Comput. Mach., 1962, v.9, pp. 84-97.

89. Podilchuk C.I., Mammone R.J. Image recovery by convex projections using a least square constraint// Journal of Optical Society of American Academy. 1990. - v.7, №3. - p.517-521.

90. Riley J.D. Solving systems of liner equations with a positive definite, symmetric, but possibly ill-conditioned matrix// Math. Tables Aids Comput., 1955, v.9, pp. 96-101.

91. Sullivan B.J., Katsaggelos А.К. New termination rule for linear iterative image restoration algorithms// Optical Engineering. 1990. - v.29,№5. - pp. 471-477.

92. Twomey S. On the numerical solution of Fredholm integral equations of the first kind by inversion of the linear system produced by quadrature// J. Assoc. Comput. Mach., 1963, v.19, pp. 97-101.

93. Wahba G., Wold S. A completely automatic trench curve: fitting spline functions by cross validation// Comm. Statist., 1975, v.4, №1, pp.1-17.

94. Youla D.C. Generalized image restoration by the method of alternating orthogonal projections // IEEE Trans. Circuits Syst. CS-25. 1978. -p.694-702.

95. Youla D.C., Webb H. Image restoration by the method of convex projections // IEEE Trans. Medical Imaging. 1982. - v.MI-1, №2. -p.81-103.