Метод регуляризации решения задачи связанного псевдообращения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Ястребова, Ирина Юрьевна

• Ястребова, Ирина Юрьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ястребова, Ирина Юрьевна

Введение.

Глава I. Вспомогательные понятия и предложения.

§1. Псевдообратный оператор.

§2. Задача псевдообращения.

Глава II. Задача связанного псевдообращения.

§3. Задача n-связанного псевдообращения: постановка и разрешимость.

§4. Регуляризованная задача n-связанного псевдообращения

§5. Сходимость регуляризованных решений.

§6. Устойчивость регуляризованных решений.

Глава III. Выбор параметра г из вспомогательного регуляризирующего алгоритма.

§7. Вспомогательный регуляризирующий алгоритм.

§8. Вспомогательные функции.

§9. Критерии выбора параметра регуляризации.

9.1. Принцип невязки

9.2. Обобщенный принцип невязки.

9.3. Принцип сглаживающего функционала.

9.4. Принцип квазирешений.

§10. Вспомогательная функция р{г): продолжение.

§11. Алгоритм вычисления параметра регуляризации в принципе невязки.

Глава IV. Последовательный выбор параметров регуляризации.

Конечномерная аппроксимация вариационной задачи

§12. Общий регуляризирующий алгоритм при фиксированном г.

§13. Критерии последовательного выбора параметров регуляризации.

§14. Проекционный способ вычисления регуляризованных решений.•.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод регуляризации решения задачи связанного псевдообращения»

Потребности практики вопреки известному высказыванию Ж. Ада-мара привели к необходимости изучения некорректных задач. Часто абстрактной моделью этих задач служит линейное операторное уравнение

Ах = у (0.1) с оператором Л, действующим между гильбертовыми пространствами

X и У, и необязательно непрерывным. По уравнению (1) требуется найти нормальное псевдорешение х: х е А^тт ||Лаг - у|| = ХА, е£>(Л) (0.2) х = а^тш ||а;||. хеХА

Если А+ - псевдообратный к оператору Л, то нормальное псевдорешение х = А+у, (0.3) и задачу его отыскания можно назвать задачей псевдообращения.

Не останавливаясь на истории вопроса, отметим, что одним из наиболее важных методов решения задачи псевдообращения является метод регуляризации Тихонова, состоящий в аппроксимации решения (3) семейством {яа}, ос > 0, экстремалей функционала

Фа(х) = \\Ах-у\\2 + а\\х\\2. (0.4)

Теория методов регуляризации решения уравнения (1) хорошо развита и нашла отражение в монографиях А.Н. Тихонова и В.Я. Арсенина [30], М.М. Лаврентьева [14], В.К. Иванова, В.В. Васина и В.П. Тананы [11], Ф.П. Васильева [6], а также в работах [1], [5], [8], [15], [16], [21], [23], [26], [28], [32] и многих других.

Начиная с 1970 года, стали появляться практические задачи, абстрактной моделью которых служит уравнение (1), но неизвестная х - не произвольный вектор пространства X, а удовлетворяет некоторым линейным связям, которые можно описать с помощью другого линейного уравнения

Bx = z (0.5) с оператором В, действующим между гильбертовыми пространствами X и Z. По уравнениям (1) и (5) требуется найти элемент х*, удовлетворяющий условиям: х* в Argmin ||Вх — z\\ = Х\, xeD

X* е Argmin IIЛяг - y\\ = XA, (0.6) xeXi x* = argmin ||ж||, хбА'л где D - общая часть областей определения операторов Л и В. Эту задачу по аналогии с предыдущей будем называть задачей связанного псевдообращения, а ее решение х* нормальным связанным псевдорешением уравнения (1).

Впервые задача связанного псевдообращения (6) поставлена в работе [56] японских математиков N. Minamide и К. Nakamura. В этой работе авторы ввели понятие суженного псевдообратного оператора и с его помощью представили решение х* задачи (6) в виде, равносильном формуле я* = B+z + [АРЩВ))+(у - AB+z), (0.7) где РЩВ) ~ ортопроектор на ядро N(B) оператора В.

К задаче связанного псевдообращения независимо пришли также В.А. Морозов и H.H. Кирсанова в работе [24]. Их цель состояла в обобщении классической задачи псевдообращения: вместо второго условия в (2) они потребовали условие х = argmin || Вх — z ||, которое при В = I и z = 0 переходит в прежнее. Очевидно, что в постановке В.А. Морозова и H.H. Кирсановой нет определенности (единственности х) и для ее достижения на операторы А и В они накладывают так называемое условие дополнительности операторов:

37>0: ||Ла;||2+||Ва;||2>72|к1|2, Ух е D. (0.8)

К решению поставленной частной задачи связанного псевдообращения В.А. Морозов в [22] применяет метод регуляризации, используя функционал А.Н. Тихонова (4) с естественной заменой стабилизирующей его части на \\Вх — z||2.

Решению задачи связанного псевдообращения методом регуляризации посвящены работы ряда авторов [3], [10], [19], [25], [51], [53], [54], но во всех этих работах предполагается выполненным условие (8) дополнительности операторов Ли В. Принципиально новые результаты получены P.A. Шафиевым в работах [33], [35], [37] и других, которые вошли в монографию [36]. Главное достижение состоит в построении двупараметрического регуляризирующего функционала

Фга(х) = r\\Bx - z||2 + ||Ах - у\\2 + а||я||2, г, а > 0. (0.9)

При выполнении условия (8) в функционале (9) можно положить а = 0, при этом полученный таким образом функционал с точностью до параметризации совпадает с функционалом В.А. Морозова [22]. Кроме того, в [36] задача (6) обобщена на случай, когда имеется не одно уравнение связи (5), а п уравнений: требуется найти элемент х*, удовлетворяющии условиям х* е Ащтт\\Вкх - гк\\ = Хк, А; = 1,2,., п, Х0 = И, ж* € Агёгшп ||Ас - у\\ = ХА, (0.10) хехп х* = argшin ||а;||.

Ха

Эта задача называется задачей п-связанного псевдообращения, а ее решение х* - нормальным п-связанным псевдорешением уравнения (1). Построен п + 1-параметрический функционал, на базе которого исследован метод регуляризации решения задачи п-связанного псевдообращения.

В данной диссертационной работе продолжены исследования метода регуляризации решения задачи связанного псевдообрашения на основе двупараметрического функционала (9). Предполагается, что А: X —> У, В: X Z - замкнутые линейные операторы с непустой общей частью областей определения всюду плотной в X, удовлетворяющие условию обобщенной дополнительности:

3Т > 0 : ||Ас||2 + ||£г||2>72||я||2, Ух е Б1. (0.11) где I)1 = И П №(А) П АГ(Б))1. Вопросы разрешимости задачи, свойства решений, регулярный алгоритм решения в диссертации рассматриваются сразу для общей задачи п-связанного псевдообращения. Полученные для п-связанного псевдообращения результаты обобщают соответствующие результаты из [36] на случай замкнутых операторов (§§3 и 4). Вывод этих результатов основан на известных фактах из теории псевдообратных операторов и теории некорректных уравнений (глава I, §§1 и 2). Из общих результатов следует: при выполнении условия (11) задача связанного псевдообращения имеет единственное решение х* € И1 при любых у ЕУ и 2 £ Я(В)®ЩВ)1 (следствие 3.16); экстремали функционала (9) хга, г, а > 0, определяются однозначно при любых у иг, причем хга £ И1 (теорема 4.1, замечание 4.2). При выполнении условия (11) установлена сходимость рсгуляризованных решений: |жт — ж*| —> О при независимом стремлении а —> 0, г —оо, где |я|2 = ||Ас||2+ ||Вгс||2 + ||ж||2 (теорема 5.1). По-видимому, условие (11) является и необходимым для сходимости хга к х*, когда а —> О, г —> оо независимо. Без предположения (11) доказано: |жга — х*\ —> О при а —> 0, г -> оо и (аг)-1 —> 0 (теорема 5.3), что подтверждает высказанную выше гипотезу.

В случае, если известны приближенные данные задачи: Л/, В/1} ?/г, то предполагаются выполненными следующие условия аппроксимации:

Ъ-Ут\\<т, \\г — «¿И < 6,

ЦГя - Гх||2 < (¿2 + Л2) (И2 + ||Г*||2) Ух е Д ||Г*9 - Г# < (г2 + л2) (1Ы12 + Гз||2) Уд е я(г-),

Зт = т(<,й) > 0: |И,а;||2 + ||В,,а;||2>72||а:||2 Ух 5 где, как и прежде, Г)1 — ИГ\ (Ы^А^ П Ы{В}1))1' (см. замечание 6.1), а операторы Г: X Z х У и Г: X Z х У определяются равенствами: Вх В)хх

Гх = , Гх =

Ах Аъх

При выполнении условий (11) и (12) установлена устойчивость рсгуляризованных решений: \хга — х*\ —> 0 при а, <5, т, Ъ, —)■ 0, г —>• оо и выполнении условия согласования г И + у/г8 —> 0 (теорема 6.7).

В диссертации впервые рассматривается проблема алгоритмического выбора параметров в двупараметрическом методе регуляризации. Предложен алгоритм последовательного выбора параметров регуляризации: параметр г выбирается из вспомогательного регуляри-зирующего алгоритма с использованием различных известных принципов выбора; параметр а - из исходного алгоритма, в котором параметр г фиксируется выбранным значением, и также с использованием известных принципов выбора параметра регуляризации.

Вспомогательный регуляризирующий алгоритм определяется на основе функционала

ВД = г\\Вх - г\\2 + \\Ах - у\\\ г > О, (0.13) как метод, состоящий в аппроксимации х* семейством {хг} решений вариационной задачи:

Гг(хг) = т£ РЛх).

Исследование этого метода представляет и самостоятельный интерес, так как он рассмотрен ранее В.А. Морозовым в [22] при более сильном, чем (11) ограничении (8).

Вспомогательному регуляризирующему алгоритму (13) посвящена третья глава диссертации, состоящая из пяти параграфов (§§7-11). Оказалось, что принципы выбора параметра регуляризации, рассмотренные в [22], - это принцип невязки, обобщенный принцип невязки, принципы сглаживающего функционала и квазирешений, - применимы и в этом более общем случае. Некоторые из принципов исследованы в случае точных данных, некоторые - при возмущенных данных (§§ 8 и 9). Далее, исследуются дифференциальные свойства функции-невязки р(г) = ||В®г-*|| и ее степеней. Для этого рассматриваются сначала вопросы дифференцирования регуляризованных решений хг по г. С помощью оператора Гг:Х->^х7 = С?и вектора дг Е (2:

У/гВХ — , дг —

Ах у/гг У регуляризованные решения записываются в виде: хг — Гг дг.

0.14)

Используя представление псевдообратного г+ = (д + г;ггг1г;> <э = р, теорема 1.2, замечание 1.11), установлена двукратная непрерывная дифференцируемость абстрактной функции (14) в каждой точке г > 0 и получены формулы лемма 10.2, следствие 10,3). Это позволило установить, что функция р(г) дважды непрерывно дифференцируема и рч(г) при > 0 убывающая выпуклая вниз функция, а при — 1 < я < 0 - возрастающая выпуклая вверх (теоремы 10.5 и 10.6). С помощью этих результатов установлено, что при 5 > — 1 для приближенного решения скалярного уравнения которое возникает при выборе параметра регуляризации по принципу невязки, может быть примемен метод Ньютона, причем при в = — 1 скорость сходимости метода Ньютона наибольшая (следствие 11.1, лемма 11.2). Результаты, касающиеся дифференциальных свойств функции р(г) и приближенного решения уравнения (15), остаются справедливыми и для возмущенного случая. В

Вхг - г\\8 = 5^0,

0.15)

Возможность применения метода Ньютона для приближенного решения уравнения (15) рассмотрена В.А. Морозовым в [22] лишь в конечномерном случае и при выполнении более сильного условия (8). Зафиксируем г = г и перепишем функционал (9) в виде:

Фг-а(х) = ||Гг-х-Ы|2 + ^Ц2. (0-16)

Очевидно, алгоритм, состоящий в построении экстремалей функционала (16), является методом регуляризации Тихонова вычисления ре-гуляризованного решения (14):

Xf — Yf gf задачи связанного псевдообращения (6).

После нахождения параметра f из вспомогательного алгоритма параметр а находится с помощью метода регуляризации Тихонова по принципу невязки или по принципу сглаживающего функционала. Свойства функций ip(a) = ||rfa;r-a - gf ||, ф(а) = ||rfzr-Q - 9f\\2 + <*lkfa||2 и, вообще, все нужные факты теории метода регуляризации Тихонова в диссертации выводятся из построенной в главе III теории для вспомогательного регуляризирующего алгоритма (§12). Критерии последовательного выбора параметров регуляризации формулируются и обосновываются в §13 главы IV.

Рассмотрена проекционная схема численного нахождения регуляри-зованных решений задачи связанного псевдообращения. Для этого множество D аппроксимируется семейством конечномерных пространств Dn и определяется оператор проектирования. Найдены условия, при которых точки минимума хМ функционала (9), рассмотренного на Ип, аппроксимируют регуляризованное решение хга. Эти результаты получены как в невозмущенном, так и в возмущенном случаях (теоремы 14.4 и 14.5).

В заключение отметим, что формулировки некоторых практических задач, абстрактной моделью которых служит задача связанного псевдообращения, можно найти в [53]. Одна из этих задач рассмотрена в [56]. Суть этой задачи состоит в том, что требуется найти управление системой обыкновенных дифференциальных уравнений, которое за заданное время Т переведет эту систему из начального состояния х(Ь0) в состояние я^), ¿1 = £0 + Т, наименее уклоняющееся от заданной точки фазового пространства, и при этом минимизирующее энергетические затраты. Приведенное в [56] решение связано с обращением ряда операторов (см. замечание 15.3). В главе V диссертации эта задача решена методом регуляризации и его конечномерным аналогом. Приводится пример.

В диссертации принята следующая система нумерации. Нумерация параграфов в работе сквозная. Формулы в работе занумерованы двумя числами, разделенными точкой. Первое число в номере формулы - номер параграфа, в котором приводится данная формула, второе - номер формулы в параграфе. Во введении номер формул начинается с нуля. При ссылке на формулы внутри параграфа указывается только ее номер в данном параграфе. Нумерация определений, теорем, следствий, лемм и замечаний единая в параграфе и состоит из двух чисел, разделенных точкой. Первое число - номер параграфа, в котором сформулировано предложение, второе - номер предложения в параграфе. При ссылке на предложение указывается полный его номер.

Основные результаты диссертационной работы являются новыми и вносят определенный вклад в теорию методов решения некорректных задач. Они опубликованы в [38] - [50] и докладывались на Всероссийской научной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (г. Екатеринбург, 2001 г.), на IV, V, VII Нижегородской сессии молодых ученых (математические науки) (г. Саров, Нижегородская область, 1999, 2000, 2002 г.г.), на научных конференциях Нижегородского государственного педагогического университета (19982002 г.г.), на научном семинаре кафедры математического анализа Нижегородского государственного педагогического университета (1998, 1999, 2002, 2003 г.г.).

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Ястребова, Ирина Юрьевна

Заключение

Подводя итог изложенному, сформулируем основные результаты, выносимые на защиту.

1. Для задачи гс-связанного псевдообращения в случае замкнутых операторов в гильбертовых пространствах исследованы вопросы разрешимости, свойства решений, регулярный алгоритм решения. Установлена сходимость регуляризованных решений к нормальному связанному псевдорешению и их устойчивость в классе возмущений, рассматриваемых в работе.

2. Предложен алгоритм последовательного выбора параметров регуляризации в двупараметрическом методе регуляризации решения задачи связанного псевдообращения.

3. Исследован вспомогательный регуляризирующий алгоритм при условии обобщеной дополнительности операторов А и В. Сформулированы и обоснованы принципы выбора параметра г из вспомогательного регуляризирующего алгоритма.

4. Исследованы дифференциальные свойства функции-невязки и ее степеней в бесконечномерном случае. Установлена возможность применения метода Ньютона для приближенного решения скалярного уравнения, возникающего в процессе выбора параметра г по принципу невязки.

5. Сформулированы и обоснованы критерии последовательного выбора параметров в двупараметрическом методе регуляризации.

6. Предложена проекционная схема численного нахождения регуляризованных решений задачи связанного псевдообращения. Сформулированы и доказаны теоремы аппроксимации регуляризован-ных решений семейством конечномерных регуляризованных решений в случае точных и возмущенных данных.

7. Рассмотрено применение построенной теории к решению задачи оптимального управления с минимальными затратами энергии. Приведен пример решения задачи оптимального управления.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ястребова, Ирина Юрьевна, 2003 год

1. Агеев A.J1. Регуляризованный спектральный анализ и решение уравнений 1 рода с конечномерной нелинейностью: Автореф. дис. . доктора физ.-мат. наук. Екатеринбург, 1997. 24 с.

2. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. - 432 с.

3. Алиев Б. Об обобщенном принципе невязки для L-псевдообращений // Докл. АН ТаджССР. 1989. - Т. 32, № 3. - С. 147-152.

4. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966. - 544 с.

5. Вайникко Г.М. Методы решения некорректно поставленных задач в гильбертовых пространствах. Тарту, 1983. - 45 с.

6. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. - 400 с.

7. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988. - 552 с.

8. Васин В.В., Агеев A.JI. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: Наука, 1993. - 261 с.

9. Гавурин M.K. Лекции по методам вычислений. М.: Наука, 1971.- 248 с.

10. Джумаев С., Назимов А. Об одном способе приближенного вычисления квазирешений // Докл. АН ТаджССР. 1983. - Т. 26, № 4.- С. 195-198.

11. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. - 206 с.

12. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. - 624 с.

13. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. - 740 с.

14. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: СО АНСССР, 1962. - 92 с.

15. Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Линейные операторы и некорректные задачи. М.: Наука, 1991. - 331 с.

16. Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Теория операторов и некорректные задачи. Новосибирск: Изд-во ин-та математики, 1999. -702 с.

17. Лисковец O.A. Вариационные методы решения неустойчивых задач. Мн.: Наука и техника, 1981. - 343 с.

18. Мелешко В.И. Возмущения неограниченных замкнутых псевдообратных операторов //Дифференциальные уравнения. 1979. -Т. 15, № 4. - С. 681-694.

19. Мелешко В.И. Исследование устойчивых L-псевдообращений неограниченных замкнутых операторов методом регуляризации // Дифференциальные уравнения. 1979. - Т. 15, № 5. - С. 921-935.

20. Мелешко В.И. Псевдообратные операторы и рекуррентное вычисление псевдорешений в гильбертовых пространствах // СМЖ. -1978. Т. 19, № 1. - С. 108-121.

21. Морозов В.А. Методы регуляризации неустойчивых задач. М.: Изд-во МГУ, 1987. - 215 с.

22. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987. - 360 с.

23. Морозов В.А., Гребенников А.И. Методы решения некорректно поставленных задач. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1992. - 319 с.

24. Морозов В.А., Кирсанова H.H. Об одном обобщении метода регуляризации // Вычислительные методы и программирование. М.: МГУ, 1970. - Вып. 14. - С. 40-45.

25. Морозов В.А., Назимов A.B. К теории L-псевдообращения // Численный анализ: методы, алгоритмы, программы. М.: МГУ, 1983. - С. 20-29.

26. Потапов М.М. Об устойчивом методе решения операторного уравнения при наличии ограничений // ДАН СССР. 1990. - Т. 313, № 6. - С. 1352-1355.

27. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979. - 587 с.

28. Танана В.П. Методы решения операторных уравнений. М.: Наука, 1981. - 157 с.

29. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // ДАН СССР. 1963. - Т. 151, № 3. - С. 501504.

30. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.- М.: Наука, 1986. 288 с.

31. Тихонов А.Н., Гончарский A.B., Степанов В.В., Ягола А.Г. Регу-ляризирующие алгоритмы и априорная информация. М.: Наука, 1983. - 200 с.

32. Тихонов А.Н., Гончарский A.B., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990.- 229 с.

33. Шафиев P.A. К теории методов регуляризации Тихонова-Лаврентьева // ДАН СССР. 1985. - Т. 282, № 4. - С. 804-808.

34. Шафиев P.A. О многоэтапной лексикографической задаче. // Баку, 1986. 28 с. - Деп. в ВИНИТИ за № 3266-В86.

35. Шафиев P.A. О регулярных методах вычисления L-псевдообратных операторов // ЖВМ и МФ. 1983.- Т. 23, № 3. С. 536-544.

36. Шафиев P.A. Псевдообращение операторов и некоторые приложения. Баку: Элм, 1989. - 152 с.

37. Шафиев Р.А.,Кугель М.Я. О двупараметрическом методе регуляризации L-псевдообращения и принципе выбора параметров регуляризации // Изв.АН АзССР, Сер. физ.-техн. и мат. н. 1984. -№ 6. - С. 24-29.

38. Шафиев P.A., Ястребова И.Ю. О выборе параметров в методе регуляризации L-псевдообращения // Известия вузов. Математика. 2001. - № 11. - С. 71-76.

39. Шафиев P.A., Ястребова И.Ю. Проблемы устойчивости и выбора параметров регуляризации в задаче связанного псевдообращения. // Н.Новгород, 2000. 20 с. - Деп. в ВИНИТИ за № 954-В00.

40. Ястребова И.Ю. Алгоритм вычисления параметра регуляризации в задаче связанного псевдообращения // ЖВМ и МФ. 2002. -Т. 42, № 10. - С. 1466-1474.

41. Ястребова И.Ю. Выбор параметра в методе регуляризации L-псевдообращения // Четвертая нижегородская сессия молодых ученых (математические и гуманитарные науки): Тез. докл. Часть I. Н.Новгород: Нижегородский гуманитарный центр, 2000. -С. 64-65.

42. Ястребова И.Ю. Конечномерная регуляризация задачи связанного псевдообращения // Математический вестник педвузов Волго-Вятского региона. Периодический сборник научно-методических работ. Выпуск 4. Киров: Изд-во Вятского гос. пед. ун-та, 2002.- С. 57-60.

43. Ястребова И.Ю. Нормальное п-связное псевдорешение уравнения и регулярные методы его вычисления. // Н.Новгород, 1999. 19 с.- Деп. в ВИНИТИ за № 3388-В99.

44. Ястребова И.Ю. Проекционный способ решения задачи связанного псевдообращения // Седьмая нижегородская сессия молодых ученых (Математические науки): Тез. докл., 19-23 мая 2002 года. -Н.Новгород: Изд. Гладкова О.В., 2002. С. 71-72.

45. Ястребова И.Ю. Способ вычисления параметра регуляризации // Вестник математического факультета. Н.Новгород: Изд-во НГПУ, 2001. - № 1. - С. 89-96.

46. Ястребова И.Ю. Численный алгоритм выбора параметра регуляризации // Пятая Нижегородская Сессия молодых ученых. Математика и математическое моделирование. Тез. докл. Саров: Изд-во СарФТИ, 2000. - С. 25-26.

47. Elden L. A weighted pseudoinverse, generalized singular values, and constrained least squares problems // BIT. 1982. - V. 22. - P. 487502.

48. Greville T.N.E. Note on the generalized inverses of a matrix product // SIAM Rev. 1966. - V. 3, № 11. - P. 518-521.

49. Groetsch C.W. Regularization with linear equality constraints // Lect. Notes Math. 1986. - № 1225. - P. 168-181.

50. Hartung J. A note on restricted pseudoinverses // SIAM J. Math. Anal. 1979. - V. 10, № 2. - P. 266-273.

51. Holmes R.B. Course on optimization and best approximation. Berlin: Springer-Verlag, 1972. - 233 p.

52. Minamide N. Nakamura K. A restricted pseudoinverse and its application to cotrained minima // SIAM J. Appl. Math. 1970. - V. 19. -P. 167-177.

53. Moore E.H. On the reciprocal of the general algebraic matrix // Bull. Amer. Math. Soc. 1920. - V. 26. - P. 394-395.

54. Penrose R. On a generalized inverse for matrices // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1955. - V. 51, Part 3. - P. 406-413.

55. Petryshyn W.V. On generalized inverses and on the Uniform convergence of (/ — (5K)n with application to iterative methods // J.Math.Anal.Appl. 1967. - V. 18. - P. 417-439.

56. Wedin P. Perturbation theory for pseudo-inverses // BIT(SVER). -1973. V. 13, № 2. - P. 217-232.