Устойчивые методы отыскания особых решений нелинейных задач тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.17, доктор физико-математических наук Измаилов, Алексей Феридович

• Измаилов, Алексей Феридович
• доктор физико-математических наук
• 1997

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Измаилов, Алексей Феридович

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЙ АППАРАТ

§1.1. Понятие устойчивости решений нелинейных

операторных уравнений. Регуляризация

§ 1.2. Элементы теории р-регулярности

1.2.1. Условия р-регулярности (28). 1.2.2. Топологическая характеристика классов р-регулярных отображений (49). 1.2.3. Свойства 2-регулярных отображений (53). 1.2.4. Линейно-квадратичные отображения (68). § 1.3. Вспомогательные сведения из алгебры и ана-

лиза

1.3.1. Матричные срезки и ортопроекторы (ТО). 1.3.2. Некоторые леммы о гладкости (76).

Глава 2. ТЕОРЕМЫ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ

§2.1. Устойчивость регулярных решений

§ 2.2. Устойчивость неизолированных 2-регулярных

решений

§ 2.3. Условия устойчивости 2-регулярных решений

в общем случае

§ 2.4. Возмущенные итерационные процессы и приближенные схемы

2.4.1. Аттракторы итерационных процессов

при наличии помех (11Т). 2.4.2. Итерационные процессы и приближенные схемы (132). 2.4.3. О методах спуска (155). 2.4.4. О методах субградиентного типа (166).

Глава 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ ОТЫСКАНИЯ 2-РЕГУЛЯР-

НЫХ РЕШЕНИЙ

§3.1. Общий подход к регуляризации

3.1.1. Регуляризованное уравнение (180).

3.1.2. О построении операторов Р и h в конечномерном случае (183).

§ 3.2. 2-факторметод и смежные итерационные процессы

3.2.1. Теория 2-факторметода (188). 3.2.2. Модифицированный 2-факторметод (194).

§ 3.3. Методы минимизации

3.3.1. Регуляризующие задачи минимизации (198). 3.3.2. Методы спуска (199). 3.3.3. Методы негладкой минимизации (204). § 3.4. Приложения к некоторым специальным классам

нелинейных операторных уравнений

3.4.1. Краевые задачи (207). 3.4.2. Уравнения с фредгольмовыми производными (216).

Глава 4. МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ ОСОБЫХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ

ЗАДАЧ БЕЗ ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ О 2-РЕГУЛЯРНОСТИ

§ 4.1. Особые решения экстремальных задач

4.1.1. Задача безусловной минимизации (232). 4.1.2. Классическая задача на условный экстремум (235). § 4.2. Методы отыскания 3-регулярных решений ____

-44.2.1. Регуляризованное уравнение (245). 4.2.2. 3-факторметод (252). § 4.3. Методы Лагранжа отыскания особых решений

экстремальных задач

Заключение

Приложение 1. Результаты вычислительных экспериментов

Приложение 2. Некоторые свойства регулярных отображений

Список литературы

Список обозначений

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивые методы отыскания особых решений нелинейных задач»

ВВЕДЕНИЕ

Основная цель настоящей работы - построение устойчивых методов решения гладких нелинейных задач. Далее речь будет идти главным образом о нелинейных операторных уравнениях, хотя многие излагаемые ниже идеи могут быть распространены и на более обшие классы задач. Пусть рассматривается уравнение

FQ(x) = 0, (1)

с оператором FQ: V -» Y, где V - метрическое пространство с метрикой р, Y- любое множество, 0 - фиксированный элемент в Y (ниже, когда Y предполагается линейным пространством, О обозначает обычный нуль в Y). Пусть x^V - решение уравнения (1); такую точку х% будем называть точным решением.

Пусть вместо точного оператора FQ доступно его приближение F: У ->• У, в некотором смысле "мало" отличающееся от FQ. Речь идет о методах построения точек xFtV, мало (в метрике р) отличающихся от точного решения хш. Всякую такую точку xF будем называть приближенным решением. О соотношении подобной постановки с постановками классической теории некорректных задач СЕГо, Мор], а также о природе и причинах возникновения возмущений операторов уравнений будет говориться в главе 1; там же данная задача будет строго формализована. Здесь отметим лишь, что задачи с приближенной информацией составляют важнейший предмет изучения в современной вычислительной математике [ЕГО, БАн, БКТ2, Ва1, Зав, Кар, КЗа, Мол, По13. Если при любом F, "близком" к F , уравнение F(x) =0 (2)

имеет решение, близкое к точному решению то последнее естественно назвать устойчивым. В этом случае для построения приближения х точного решения можно пользоваться непосредственно уравнением (2). Задача аппроксимации неустойчивых решений существенно сложнее.

При локальном рассмотрении в множестве нелинейных отображений (термины "отображение" и "оператор" всюду считаются синонимами), а значит, и в множестве связанных с ними нелинейных задач, можно выделить два класса: регулярные (невырожден-ные, нормальные) и нерегулярные (вырожденные, анормальные, особые) отображения (задачи).

Под регулярным в некоторой точке отображением понимается такое отображение, которое в этой точке удовлетворяет некоторому условию регулярности. Условия регулярности могут быть различны, но сущность всех классических условий регулярности одна - это те дополнительные требования, в которых данное отображение может быть адекватно локально аппроксимировано своим линейным приближением (первым дифференциалом). Более строго, если, например, V - открытое множество в гильбертовом пространстве, У - банахово пространство, отображение V ■*

¥ достаточно гладко и его производная Фреше в точке сюръективна, т.е.

1тР0'(х^)=¥, (3)

то в окрестности точки х^ существует гладкая система криволинейных локальных координат (совпадающая с исходной с точностью до членов высших порядков малости), в которой отображение становится линейным ШТ2,5] (см. также теоремы 5а и 56 в приложении 2). Условие (3) - одно из наиболее распространенных в нелинейном анализе условий регулярности. Саму точку ¿г#

при этом называют регулярной (нормальной) точкой отображения Fq; если же (3) не выполнено, то такую точку называют особой (нерегулярной, анормальной, критической) точкой отображения í'0.

Приведенное простое соображение, по сути, лежит в основе всего классического гладкого нелинейного анализа - аппроксимируя регулярное отображение его линейным приближением, можно применять к этой аппроксимации весь мощный аппарат линейного анализа. Такой подход позволяет доказать важнейшие результаты, такие, как различные теоремы о неявной функции, теорема Люстерника о касательном подпространстве, содержательная фор-мапринципа Лагранжа и т.д. (см. [АТФ, ЙТи, КФо, КЗа, ЛСо, Пше, СТФ, Тих, Тре, ФМк], а также приложение 2).

На тех же идеях линеаризации основано и большинство традиционных численных методов решения нелинейных задач. Совершенно естественно, что результаты о сходимости и скорости сходимости таких методов обычно доказываются в некоторых предположениях о регулярности 1БЖК, БКа, БКТ1,2, Вер, Ва1,2, ДКТ, КАк, Кар, МТр, Но1,3, ОРе, ПДа, СТФ, Тре, Тр5,6, ФМк, Jan].

Всюду далее точное решение уравнения (1), удовлетворяющее (3), будем называть регулярным, а не удовлетворяющее (3) - особым (нерегулярным). Устойчивость регулярных решений вытекает из теоремы о существовании неявной функции [АТФ] (теорема 1 в приложении 2); подробнее об этом будет сказано ниже.

Для нерегулярных в некоторой точке отображений, т.е. таких отображений, которые в данной точке не удовлетворяют некоторым традиционным условиям регулярности, линейной аппроксимации уже не достаточно для сколь-нибудь полного описания их

локальной структуры. В частности, сформулированный выше результат о линеаризации при невыполнении (3) теряет силу. Именно в этом смысле нерегулярные нелинейные отображения иногда называют существенно нелинейными. Ясно, что в вырожденном случае те классические результаты, о которых говорилось выше, уже либо неприменимы, либо бессодержательны (как, например, принцип Лагранжа [АТФ1).

Аналогичное соображение относится и к большинству известных численных методов - в вырожденных ситуациях они либо вообще неработоспособны, либо неэффективны [За2, ЙТЗ,5, Тр4, DK1-3, DKK, Ra1, Re1,2, Ya1,2].

Отыскание особых решений связано еще с одной очень существенной трудностью - как будет показано ниже, в сколь-нибудь общих предположениях особые решения могут быть неустойчивы.

Можно перечислить целый ряд областей знания, в которых возникают прикладные вырожденные задачи; соответствующие примеры будут приводиться по ходу изложения. Однако, вопрос о том, насколько широк класс задач, имеющих особые решения, и, соответственно, достойны ли такие задачи специального рассмотрения, необходимо проанализировать с общих позиций.

На первый взгляд вопрос этот исчерпывается теоремой Тома о трансверсальности Е ОЭк 3. Применяя эту теорему к отображению действия

Ф: Cr(7^Rm) х V кт, ®(í», х) = Fix), и многообразию М = {0} в где V - открытое множество в кп, п, т, гф, г ;> max (1, п - т + 1}, получаем, что для типичного отображения FeCr (¥-»Rm) уравнение (2) особых решений иметь не может. Здесь Cr(V-*¡Rm) - пространство отображений множества F скпв простанство кта, г раз непрерывно дифференцируемых на

У, снабженное компактно открытой топологией, т.е. топологией 6,г-сходимости на компактных подмножествах множества У. Как обычно, множество типичности - это массивное (т.е. содержащее счетное пересечение открытых плотных множеств) множество. Пространство Сг(У-*о?т) с указанной топологией топологически

полно (т.е. может быть метризовано так, что станет полным метрическим пространством), а значит, в силу теоремы Бэра, множество типичности в Сг(У-*кт) плотно [ББИ, ОЭк].

Однако, ситуация коренным образом меняется, когда в задаче появляется параметр. Это можно наглядно проинтерпретировать следующим образом (по аналогии с тем, как в [ОЭкЗ интерпретировалось возникновение вырожденных критических точек у функций). Можно представлять себе, что отображения для которых уравнение (2) имеет особые решения, образуют в Сг(У-икт) семейство многообразий, каждое из которых имеет коразмерность не меньше 1. Эти многообразия разбивают пространство Сг(У->кт) на открытые "клетки". Каждое отображение, лежащее на одном из таких многообразий, "почти любым" малым возмущением переводится в одну из клеток. Это значит, что при малом шевелении отображения Р особые решения уравнения (2) либо исчезают, либо перестают быть особыми. Если концы непрерывной кривой в Ог(У->кт), отвечающей некоторому однопараметрическому семейству отображений, лежат в разных "клетках", то такая кривая должна пересекать по крайней мере одну из границ между "клетками". Более того, малым шевелением семейства можно избежать пересечения этой кривой границ коразмерности 2 и выше, однако она всегда будет пересекать некоторую границу коразмерности 1 (в теории нелинейных динамических систем в подобной ситуации говорят, что осуществляется переход от одной грубой системы к

другой через негрубую). Именно такие неустранимые особенности представляют интерес при изучении однопараметрических семейств отображений; их называют особенностями, коразмерности 1 [ОЭкЗ. Разумеется, для семейств с большим числом параметров интересны и особенности более высокой коразмерности.

Иными словами, для параметрических задач существование особых решений вовсе не паталогично; более того, очень часто именно те значения параметра, при которых существуют особые решения, наиболее интересны, так как отвечают критическим, переходным режимам. Именно такие ситуации изучает теория ветвления решений нелинейных уравнений Ш'Гр, ОЭк, Тре, Сга, Ке<1,

эга].

На настоящий момент по вопросам конструктивного описания и и построения методов решения вырожденных задач опубликовано большое число работ как в нашей стране, так и за рубежом. Следует отметить следующую интересную тенденцию: если большинство отечественных авторов пришло к данной проблематике в связи с экстремальными задачами, то для большинства зарубежных инициирующим моментом были задачи теории ветвления.

Подчеркнем, что в приводимом ниже обзоре фактически не затрагиваются работы, посвященных вопросам собственно классической теории особенностей ЕАВГ, Лен, БЛа, Ми1,2, Рам], поскольку предмет этой теории отличается от рассматриваемых здесь постановок (грубо говоря, здесь речь идет не об устойчивости особенностей, а об устойчивости особых решений). Это вовсе не значит, что идеи и результаты теории особенностей не имеют отношения к проблематике данной работе; напротив, они будут использоваться (как, например, уже использовался выше центральный факт теории трансверсальности) в наших построени-

ях. Следует сказать, что прикладной аспект в данном случае очень тесно связан с общетеоретическим.

Датой начала исследований по проблематике вырожденных задач можно считать 1870 г., когда Шредером tShr] было показано, что метод Ньютона локально сходится к кратному (что соответствует вырожденной ситуации) корню одного скалярного уравнения с одним неизвестным лишь с линейной скоростью, но квадратичная скорость сходимости может быть восстановлена путем домножения стандартного шага метода на кратность корня. Эти вопросы были вновь подняты в 1966 г. в работе №а1 ], где была сделана первая попытка распространить результаты Шредера на многомерный случай.

В свою очередь, статья [Ral 3 инициировала целый ряд работ [DKr, DKK, DK1-4, Gri, GOs, Ноу, КеНЗ, OJi, Re1,2, SHu, Sey, Sim, Ya1,23, где было детально исследовано поведение метода Ньютона в окрестности особых решений нелинейных операторных уравнений (в том числе и применительно к задачам теории ветвления) и задач безусловной минимизации (сюда же следует отнести работу СДанЗ, где доказана сходимость метода Ньютона с регулировкой длины шага к вырожденному минимуму строго выпуклой функции, а также более позднюю работу СТр43). Выделены области сходимости, для определенных классов вырожденных задач предложены более эффективные модификации метода. Самым общим (хотя и грубым) образом, результат этих исследований можно сформулировать так: в подобной ситуации в лучшем случае можно гарантировать линейную скорость сходимости методов ньютоновского типа, причем множество подходящих начальных приближений не содержит, вообще говоря, окрестности точного решения. Именно эти два момента имеют ввиду, говоря о неэффек-

тивности методов ньютоновского типа при отыскании особых решений нелинейных задач, даже при точных входных данных.

Что же касается модификаций метода Ньютона, применимых и к вырожденным задачам с приближенными входными данными, то здесь следует отметить работы СВа2, МЗа] где предложена схема метода, сходящегося к особому решению в весьма общих предположениях, и [Ва1-33, где сделана попытка решения данной проблемы в духе итеративной регуляризации. Для этих методов, как и для других, основанных на идеях тихоновской регуляризации ШГо, Мор, ТЛЯ], сохраняется проблема низкой скорости сходимости; кроме того, подобные методы принципиально требуют знания количественной оценки близости приближенных входных данных к точным, что не всегда адекватно реальной ситуации.

Параллельно велась работа по содержательной характеризации особых экстремумов и анализу поведения известных методов оптимизации (градиентных, штрафных функций и т.п.) на вырожденных экстремальных задачах САг1, Ар1,2,4, БК1, ДТ2,3,5, 3а1, 2, Кар, Тр1,5,6, Kre, LZo3. Отмечаем, что для задач условной оптимизации понятие особого экстремума может иметь разное содержание (см. [ГКи, Гур, МТ5, По13), хотя общий смысл понятия особенности везде один - тот, о котором говорилось выше. Во избежание путаницы договоримся вырожденным экстремумом называть такой экстремум, в котором не выполнены соответствующие классические достаточные условия оптимальности второго порядка [АТФ, СТФ]; в случае же невыполнения некоторых классических условий регулярности ограничений [АТФ, ИТи, СТФ, ФМк] будем говорить о нерегулярном экстремуме.

Представляется естественным, что для анализа структуры нерегулярных нелинейных отображений, а также для построения эф-

фективных численных методов решения вырожденных задач, нужно привлекать информацию о старших производных, что, в свою очередь, требует специального математического аппарата. Новые возможности в этом направлении появились в связи с введением в 1984 г. в работе ЕТрЗ] конструкции р-регулярности, которая получила дальнейшее развитие и подверглась анализу и уточнениям в работах ЕАв1-3, AAA, Аг2, АГа, АрЗ,5,7, Ве1,2, БТ1»2, БКТ, Де1,2, ДТ1,4, МзЗ,4,6-9,12,13,16,17, ИТ1,2,5,6, Тр2,4,7, 8, Led, LS1,2], где на основе этой конструкций был доказан ряд результатов, обобщающих на р-регулярный случай многие классические теоремы, о которых говорилось выше. В частности, были даны обобщение обсуждавшегося выше результата о линеаризации, описание поверхности уровня нелинейного отображения в окрестности р-регулярной точки, построена теория необходимых и достаточных условий оптимальности для 2-регулярных экстремальных задач.

В работах [Тр73 и [ВТ13 была предложена схема численного метода, обладающего локальной сходимостью с квадратичной скоростью как к регулярным, так и к 2-регулярным решениям нелинейных операторных уравнений (рассматривался лишь конечномерный случай в условиях точного задания оператора уравнения). Позднее этот метод получил название 2-фашорлетода; он будет играть важную роль в дальнейшем.

Основные конструкции и факты теории р-регулярных нелинейных отображений были изложена с единых позиций в монографии ШТ53 (отметим также недавно опубликованную книгу [АрбЗ, где изложены элементы теории 2-регулярности, связанные с экстремальными задачами). Именно эта теория служит основой для построений данной работы.

-140 учетом сказанного, еще раз возвращаясь к основной цели данной диссертации, отметим, что она состоит в создании не только устойчивых, но и эффективных (главным образом, в плане скорости сходимости соответствующих итерационных процессов, простоты определения подходящих начальных приближений и вычислительной трудоемкости) методов для отыскания особых решений нелинейных операторных уравнений. Подчеркнем, что все рассмотрения будут носить локальный характер; в частности, на оператор уравнения не накладывается никаких нелокальных требований (типа монотонности, компактности, биективности, единственности решения и т.п.). Вместе с тем, всюду предполагается нужная гладкость этого оператора.

К числу достоинств рассматриваемого в работе локального подхода к регуляризации следует отнести также то, что получаемые с его помощью методы обычно не используют количественной информации о близости имеющихся входных данных к точным (именно поэтому при общей постановке задачи будем говорить о возмущениях оператора уравнения в некотором топологическом, но не обязательно метрическом простанстве) и какой-либо нестандартной априорной информации о точном решении. Следует также отметить наличие явных оценок погрешности получаемого приближенного решения.

Коротко остановимся на структуре работы.

Диссертация состоит из этого введения, четырех глав, заключения и приложений; последние содержат результаты вычислительных экспериментов, а также сводку необходимых результатов о структуре регулярных нелинейных отображений.

В главе 1 дается строгая постановка рассматриваемой задачи (§ 1.1) и приводятся вспомогательные факты. Некоторые резуль-

таты, которые не являются новыми, даются без доказательств (разумеется, в таких случаях всегда делаются ссылки на доступные источники). Важнейшую роль в дальнейших построениях играет § 1.2 - он содержит необходимые конструкции и факты теории р-регулярности (в том числе и новые), являющейся теоретической базой данного исследования. Что касается § 1.3, то он носит скорее технический характер, хотя и в нем содержатся некоторые факты, представляющие общетеоретический интерес.

Глава 2 содержит анализ устойчивости решений нелинейных операторных уравнений. Если для регулярных (§ 2.1) и неизолированных 2-регулярных (§ 2.2) решений условия устойчивости легко строятся с помощью соответствующих теорем о неявной функции, то для изолированных 2-регулярных (а тем более не 2-регулярных) решений вопрос об устойчивости значительно более сложен (§ 2.3). Оказывается, гарантировать устойчивость решений последнего типа можно лишь в очень жестких предположениях и для неестественно узких классов возмущений оператора уравнения. Иными словами, задача отыскания таких решений нуждается в регуляризации.

В § 2.4 речь идет о влиянии помех на аттракторы итерационных процессов (имеются ввиду помехи, возникающие в результате необходимости использования на каждой итерации приближенных схем для решения вспомогательных задач, в результате неточного вычисления значений и дифференциалов оператора решаемого уравнения, в результате ошибок округления и т.д.).

Глава 3 - центральная в диссертации. Она содержит описание предлагаемого способа регуляризации рассматриваемой задачи и его реализаций. Идея данного подхода к регуляризации состоит в следующем. Исходное уравнение заменяется другим, имеющим ту

же точку в качестве регулярного решения (§ 3.1), после чего для решения регуляризованного уравнения применяются специальные (§§ 3.2, 3.3), либо, когда это возможно, традиционные методы. Для конечномерного случая описывается универсальный способ построения регуляризованного уравнения. Кроме того, в § 3.4 описаны реализации данного подхода для важных классов бесконечномерных нелинейных операторных уравнений - краевых задач и уравнений, производные операторов которых являются фредгольмовыми линейными операторами (сюда относятся, например, многие интегральные уравнения).

Наконец, глава 4 посвящена методам отыскания таких особых решений нелинейных операторных уравнений, в которых не предполагается выполнение условий 2-регулярности. Необходимость рассмотрения данного случая определяется тем, что существуют важные классы уравнений, представляющие интерес решения которых не могут быть 2-регулярными. Такой класс образуют, например, уравнения, порождаемые экстремальными задачами (§ 4.1). В § 4.2 рассматриваются методы отыскания 3-регулярных решений нелинейных операторных уравнений; в § 4.3 речь идет о методах, специально ориентированных на отыскание особых решений экстремальных задач.

Все предложенные в работе алгоритмы были реализованы программно; их высокая эффективность подтверждается вычислительными экспериментами. Постороения работы дают мощный аппарат для отыскания особых решений нелинейных задач. Кроме того, сам рассмотренный подход к регуляризации представляется весьма перспективным как в плане создания новых методов, так и в плане расширения круга решаемых задач.

Для удобства ссылок в диссертации применяется следующая

система нумерации ее разделов. Номер параграфа состоит из двух цифр, первая из которых обозначает номер главы, в которой находится этот параграф; аналогично, номер пункта состоит из трех цифр, первые две из которых обозначает номер параграфа, в котором находится этот пункт. В каждом параграфе применяется независимая нумерация формул, определений, результатов и т.п. Соответственно, при ссылке на некоторый объект извне параграфа, в котором он находится, используется номер этого объекта, состоящий из трех цифр, первые две из которых обозначают номер параграфа.

Ряд стандартных обозначений специально не оговаривается. Эти и другие обозначения, наиболее часто используемые в работе, вынесены в список обозначений.

В диссертации используется не вполне стандантартная система ссылок на литературу - буквенно-цифровая, где буквы суть аббревиатура фамилии автора (или фамилий авторов), а цифра -номер работы данного автора (или группы авторов).

Оговорим некоторые общие обозначения и предположения.

Если нужно подчеркнуть, что топологическое (метрическое) пространство 2 снабжено именно топологией т (метрикой р), то будем обозначать его (2, т) (соответственно, (2, р)).

Метрика (и топология) в линейном нормированном пространстве всегда считается порожденной нормой, если не оговорено иное.

Всюду в работе для заданных метрического пространства (2, р), элемента и вещественного числа б>0 через б)

обозначается открытый, а через б) - замкнутый шар ра-

диуса б с центром в точке в пространстве 2: б) =

= ШЩ p(S#> |)<б>, В2(^, б) = i£&\ * б> (в слу-

чае ö = + оо формально полагаем 8) = 8)

подчеркнем, что, вообще говоря, 8) * б) ЕББМЗ).

Кроме того, положим Ро(£#» *> = in* DI £€*> - рассто-

яние от точки |ж€3 до множества I с 2; при этом, по определению, 0) = + 00 (если объемлющее пространство 2 очевидно из контекста, то соответствующий индекс в этик обозначениях будем опускать).

Все рассматриваемые в работе линейные пространства предполагаются вещественными. За исключением особо оговоренных случаев, норма в пространстве полилинейных (в частности линейных) отображений одного линейного нормированного пространства в другое - всегда подчиненная, т.е. та норма, которая порождает в данном пространстве отображений равномерную операторную топологию [АТФ, ИТиЗ. В прямом произведении линейных нормированных пространств норма всегда определена аддитивно (за исключением особо оговоренных случаев); норма в факторпро-странстве линейного нормированного пространства по его замкнутому линейному подпространству определяется стандартным образом ЕАТФЗ.

Под конусол в линейном пространстве X понимается всякое множество К <z X такое, что КхеЛ V , V хtK (подчеркнем, что при таком определении К = -СО) - минимальный непустой конус в I). Под конической оболочкой cone 3 множества 2 с х понимается минимальный конус (а не выпуклый конус!) в I, содержащий 2.

Будем отождествлять линейные операторы, действующие между арифметическими пространствами, с их матрицами в стандартных (если не указаны иные) базисах таких пространств. Именно в этом смысле будем говорить об образе Im А, ядре Кег А и т.п.

матрицы А. Запись <•, ♦> будет обозначать как спаривание элементов сопряженного и исходного линейных пространств, так и скалярное произведение элементов гильбертова пространства (если нужно подчеркнуть, что речь идет о скалярном произведении именно в пространстве Я, то будем писать <♦, •> ). В арифметических пространствах скалярное произведение всегда стандартное (сумма произведений соответствующих компонент векторов).

Через {2->2) будем обозначать пространство всех отображений множества S в множество 2. Всюду 2 2 - тождественный

UI

оператор (и здесь будем опускать индекс, когда это не может вызвать недоразумений), Е - единичная тхм-матрица. Всякому

771»

отображению Ф: 2-2 отвечает правое обратное (многозначное, или точечно-множественное) отображение

Ф-1: 2 - 22, Ф~1 (а) = Ш3\ Ф(£) = а), сопоставляющее каждому элементу ое2 его полный прообраз при отображении Ф. Если X и Y - линейные пространства, А: X •* Y -обратимый (в классическом смысле) линейный оператор, то А~л превращается в классический обратный оператор к оператору А. Если X - линейное метрическое, аГ - линейное нормированое пространство, то для каждого отображения Ф: X Y определим величину

||ф-1|| = sup {рх(0, Ф"1 (у))] убГ, \\yi = 1>. Очевидно, если пространство X линейно, необходимым условием конечности величины ||Ф~11 для однородного некоторой натуральной степени отображения Ф (а именно ради таких отображений и вводится эта величина) является его сюръективность: Ф(Х) = Y. Если пространство X к тому же нормировано, то для обратимого линейного оператора А: X -> Y величина 1 - стандартная

норма линейного оператора А~1: Y -* X.

Пусть C(V->Y) - множество непрерывных отображений топологического пространства У в топологическое пространство Y. Если пространство Y линейно, то и C(V-*Y) имеет естественную линейную структуру. Если Y к тому же нормировано, то на C(V->Y) стандартным образом вводится С'-норма, которая в случае некомпактного У может принимать и бесконечные значения, а в случае компактного У действительно является нормой.

Пусть Tf (У-ОГ) (СГ(У->Л) - линейное пространство всех отображений множества У с х в простанство У, г раз (непрерывно) дифференцируемых по Фреше на У, re in, где I и Г - линейные нормированные пространства. Если множество У не является открытым, то речь идет об отображениях, определенных на некотором открытом множестве в I, содержащем У. На СГ(У-»У) стандартным образом вводится Сг-норма (как максимум из С-нормы и С-норм производных до порядка г включительно). Топологию в С'г(У-+Y) введем, задав ее базу как семейство множеств

U(F, £) = {Ф€СГ(У-У)| |Ф - F\cr < е), Р€СГ(У-У), 8€К+\Ш}. Если множество У компактно, то Сг-норма действительно является нормой, которой и порождается введенная топология.

Формально полагаем, что нулевая производная отображения -это само отображение.

Заканчивая введение, автор выражает свою глубокую признательность В.А.Березневу, Е.А.Гребеникову, В.Г.Карманову, B.C. Панферову, А.В.Родионову, В.В.Федорову и другим сотрудникам отдела методов нелинейного анализа ВЦ РАН и кафедры исследования операций факультате ВМиК МГУ за помощь и создание благоприятной для работы атмосферы. Следует особо поблагодарить А.А.Третьякова, влияние которого на формирование научных ин-

тересов автора трудно переоценить (некоторые из приводимых ниже результатов получены в соавторстве с А.А.Третьяковым), а также А.В.Арутюнова и С.К.Завриева за полезное сотрудничество.

Заключение диссертации по теме «Теоретические основы информатики», Измаилов, Алексей Феридович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение перечислим основные результаты, представленные в диссертации.

1. Установлен ряд новых важных фактов, описывющих структуру нелинейного отображения в окрестности 2-регулярной особенности. Прежде всего, имеются ввиду результаты о локальном представлении нелинейных отображений, являющиеся естественной идейной основой всей теории р-регулярности.

2. Изучен вопрос об условиях устойчивости 2-регулярных решений нелинейных операторных уравнений (говоря строго, охарактеризованы классы возмущений операторов уравнений, по отношению к которым такие решения гарантированно устойчивы). В основе этих построений лежат специальные теоремы о неявной функции для 2-регулярных отображений. Получен ряд результатов об устойчивости решений нелинейных краевых задач и интегральных уравнений, а также об устойчивой обратимости квадратичных отображений.

3. Разработаны удобные средства анализа свойств траекторий для важных классов итерационных процессов, в том числе при воздействии регулярных возмущений и нерегулярных помех. Рассмотрены приложения к некоторым традиционным итерационным процессам.

4. Предложен подход к регуляризации, состоящий в замене исходного уравнения другим, имеющим ту же точку в качестве регулярного (а значит, устойчивого по отношению к широким классам возмущений оператора регуляризованного уравнения) решения. Подход основан на использовании конструкций р-регуляр-ности. Предложены конструктивные способы построения регуляризованного уравнения для конечномерного случая, а также для некоторых важных классов нелинейных бесконечномерных задач (краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнения с "фредгольмовой вырожденностью").

5. На основе предложенного подхода к регуляризации построены и исследованы новые эффективные и устойчивые итерационные процессы, ориентированные на отыскание р-регулярных решений нелинейных операторных уравнений.

6. Разработан специальный подход к отысканию нерегулярных решений экстремальных задач.

Некоторые из представленных результатов используются автором в курсе лекций "Теория оптимизации", который в течение ряда лет читается им на факультете ВМиК МГУ им. М.В.Ломоносова.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Измаилов, Алексей Феридович, 1997 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

А

1. Авсшов Е.Р. Необходимые условия минимума для нерегулярных задач в банаховых пространствах. Принцип максимума для анормальных задач оптимального управления // Труды МИ АН СССР.- 1988.- Т.185.- С.3-29. САв1]

2. Аваков Е.Р. Необходимые условия экстремума для гладких анормальных задач с ограничениями типа равенств и неравенств // Мат. заметки.- 1989.- Т.45, вып.6.- С.3-11. САв2]

3. Абаков Е.Р. Теоремы об оценках в окрестности особой точки отображения // Мат. заметки.- 1990.- Т.47, вып.5.- С.З-13. [АвЗЗ

4. Аваков Е.Р. Условия экстремума для гладких задач с ограничениями типа равенств /У ЖВМ и МФ.- 1985.- Т.25, 15.-С.680-693. [Ав43

5. Аваков Е.Р., Аграчев A.A., Арутюнов A.B. Множество уровня гладкого отображения в окрестности особой точки и нули квадратичного отображения // Мат. сб.- 1991.- Т.182, $8.-G.1091-1104. САААЗ

6. Аграчев A.A. Еще одно условие условного экстремума // УШ.- 1989.- Т.44, вып.5.- С.153-154. ЕАг1 3

7. Аграчев A.A. Топология квадратичных отображений и гессианы гладких отображений // Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия.- 1988.- Т.26.- С.85-124. [Аг23

8. Аграчев A.A., Гажкрелидзе Р.В. Вычисление эйлеровой ха-

рактеристики пересечения вещественных квадрик // ДАН GCGP.-1988.- Т.299, Ji1.- С.11-14. [АГаЗ

9. Алексеев В.Ш., Тихомиров B.I., Фомин C.B. Оптимальное управление.- М.: Наука, 19Т9. САТФЗ

10. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов.- М.: Наука, 1982. [АВГ]

11. Арутюнов A.B. Возмущения экстремальных задач с ограничениями и необходимые условия оптимальности // Итоги науки и техники. Мат. анализ.- 1989.- Т.27.- С.147-235. [Ар1 3

12. Арутюнов A.B. К теории анормальных экстремальных задач с конечномерным образом / / ДАН.- 1996.- Т.348, ЖЗ.- С.295-298. ЕАр23

13. Арутюнов A.B. К теории квадратичных отображений в банаховых пространствах // ДАН ССОР.- 1990.- Т.314, Jfi6.-С.1290-1293. [АрЗЗ

14. Арутюнов A.B. Необходимые условия экстремума в анормальной задаче с равенственными ограничениями // УМН.- 1990.-Т.45, вып.5.- С.181-182. [Ар43

15. Арутюнов A.B. О свойствах квадратичных отображений в банаховом пространстве // Мат. заметки.- 1991.- Т.50, вып.4.-С.10-20. [Ар53

16. Арутюнов A.B. Условия экстремума. Анормальные и вырожденные задачи.- М.: Факториал, 1997. [Арб]

17. Арутюнов A.B. Условия экстремума высших порядков в анормальных задачах оптимизации // Сиб. мат. журнал.- 1992.-Т.ЗЗ, *4.~ С.15-23. [Ар73

Б

1. Бабич М.Д. Об одном аппроксимащонно-итерационном методе решения нелинейных операторных уравнения // Кибернетика.-1991.- Ш .- С.21-28. Шаб]

2. Бакушинский А.Б. Итерационные методы решения нелинейных операторных уравнений при отсутствии регулярности. Новый подход // ДАН.- 1993.- Т.330, ЯЗ.- 0.282-284. [Ба1]

3. Бакушинский А.Б. К проблеме линейной аппроксимации решений нелинейных операторных уравнений // ЖВМ и МФ.- 1996.-Т.36, №9.- С.6-12. [Ба2]

4. Бакушинский А.Б. К проблеме сходимости итеративно-регу-ляризованного метода Гаусса-Ньютона // ЖВМ и МФ.- 1992.-Т.32, *9.- 0.1503-1509. ЕБаЗ]

5. Бакушинский А.Б., Гончарский A.B. Итеративные методы решения некорректных задач.- М.: Наука, 1989. [БГо]

6. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.Н. Численные методы.- М.: Наука, 1987. ЕБЖК]

7. Белом K.M. Построение численных методов решения р-регу-лярных систем нелинейных уравнений и задач безусловной минимизации. Дисс. ... канд. физ.-мат. наук.- М., 1990.- 102 с. [Бе1 ]

8. Белаш К.Н. Решение систем нелинейных уравнений общего вида /У ЖВМ и МФ.- 1990.- Т.30, *6,- 0.837-843. ЕБе2]

9. Белаш К.Н., Третьяков A.A. Методы решения вырожденных задач // ЖВМ и МФ.- 1988.- Т.28, ШТ.- 0.1097-1102. ЕБТ1]

10. Белаш К.Е., Третьяков A.A. Р-регулярность и Р-мажори-руемость нелинейных отображений // Вопросы кибернетики. Анализ больших систем.- М.: Научный совет по компл. пробл. "Ки-

бернетика" РАН, 1992.- С.67-Т5. [БТ23

11. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи.- М.: Мир, 1968. [БКаЗ

12. Белоусов Е.Г., Андронов В.Г. Разрешимость и устойчивость задач полиномиального программирования.- М.: Мзд-во МГУ, 1993. [БАнЗ

13. Березнев В.А., Завриев С.К., Третьяков A.A. Взаимосвязь теоремы Лагранжа с геометрией допустимых множеств // ДАН СССР.- 1988.- Т.30, С.1289-1291. ЕБЗТЗ

14. Березнев В.А., Каржтов В.Т., Третьяков A.A. О безусловной минимизации невыпуклых функций // IBM и МФ.- 1987.Т. 27, Л11. - С. 1757-1761 . СБКТ1 3

15. Березнев В.А., Карманов В.Т., Третьяков A.A. Устойчивые методы решения экстремальных задач с приближенной информацией." Препринт / Научный совет по компл. пробл. "Кибернетика" АН СССР.- М., 1987.- 56 с. [БКТ23

16. Бертсекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа.- М.: Радио и связь, 1987. СБер3

17. Бобылев H.A., Красносельский Ш.А. Анализ на экстремум. Вырожденные случаи.- Препринт / ИЛУ АН СССР.- М., 1981.52 с. ШК13

18. Бобылев H.A., Красносельский Ш.А. Об одной схеме исследования экстремалей многомерных вариационных задач // Функц. анлиз и его прил.- 1994.- Т.28, вып.4.- С.1-15. [БК23

19. Бобылев H.A., Кутузов A.A. О методе проекции градиента в задачах бесконечномерной оптимизации // АиТ.- 1995.- Л5.~ С.19-33. [БКуЗ

20. Борисович Ю.Г, Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. Введение в топологию.- М.: Наука, 1995. [ББИЗ

-2 8621. Брекер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы.- М.: Мир, 1977. СБЛаЗ

В

1. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений.- М.: Наука, 1969. [ВТрЗ

2. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач.- М.: Наука, 1981. 1Ва13

3. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач.- М.: Наука, 1988. [Ва23

4. Воеводин В.В. Линейная алгебра.- М.: Наука, 1974. ЕВоеЗ

5. Волков Е.А. О поиске решений нелинейного интегрального уравнения// Труды ММ АН СССР.- 1976.- Т.142.- С.101-121. [ВолЗ

Г

1. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления.- М.: Наука, 1973. [ГКиЗ

2. Раевский X., Ррегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения.-М.: Мир, 1978. ÜT33

3. Гупал A.M. Стохастические методы решения негладких задач.- Киев: Наук, думка, 1979. [ГупЗ

4. Гурман В.И. Вырожденные задачи оптимального управления.- М.: Наука, 1977. СГурЗ

Д

1. Данилин Ю.М. Метод Ньютона с регулировкой шага для вырожденных задач минимизации // ДАН GCCP.- 1981.- Т.259, Ш.-С.530-532. [Дан]

2. Денисов Д.В. О необходимых условиях экстремума в задачах математического программирования // Вопросы кибернетики. Вычислительные вопросы анализа больших систем.- М.: Научный совет по компл. пробл. "Кибернетика" АН СССР, 1989.- С.78-83. [Де1]

3. Денисов Д.В. Параметрическое условие минимума второго порядка // Тез. докл. 3 шк.-сем. "Численные методы для высокопроизводительных систем". Фрунзе, 1988.- С.24. [Де23

4. Денисов Д.В., Карманов В.Г., Третьяков A.A. Ускоренный метод Ньютона для решения функциональных уравнений // ДАН СССР.- 1985.- Т.281, Мб.- С.1293-1297. [ДКТ]

5. Денисов Д.В., Третьяков A.A. Вырожденные экстремальные задачи. Условия оптимальности решения // Исслед. операций и АСУ. ВЫП.24.- Киев: КГУ, 1984.- С.41-47. [ДТ1 3

6. Денисов Д.В., Третьяков A.A. Некоторые критерии регулярности множеств // Вычислительные методы и программирование. Вып.39.- М.: Изд-во МГУ, 1983.- С.197-201. [ДТ23

?. Денисов Д.В., Третьяков A.A. О свойствах регулярных множеств /У Вопросы оптимизации и управления.- М.: Изд-во МГУ, 1979.- С.13-19. [ДТЗЗ

8. Денисов Д.В., Третьяков A.A. Описание структуры вырожденных функциональных систем и методы их решения // Методы и алгоритмы в численном анализе.- М.: Изд-во МГУ, 1984.- С. 8695. [ДТ43

9. Денисов Д.В., Третьяков A.A. Свойства регулярных множеств в евклидовых пространствах // Вычислительные методы и программирование. Вып.35.- М.: Изд-во МГУ, 1981.- С.187-205. [ДТ53

10. Дьедонне Ш. Основы современного анализа.- М.: Мир,

-2881964. [Дье]

3

1. Завриев C.K. Помехоустойчивость методов нелинейной оптимизации. Дисс. ... д-ра физ.-мат. наук (в форме научного доклада).- М., 1992.- 49 с. [Зав]

2. Задании В.М. Условия оптимальности при вырожденном минимуме // Численный анализ: методы, алгоритмы, программы.-М.: Мзд-во МГУ, 1986.- С.118-122. С3а13

3. Задачин В.М. Модифицированные методы Ньютона и квазиньютоновского типа с псевдообращениями для решения вырожденных задач. Дисс. ... канд. физ.-мат. наук.- Харьков, 1987.152 с. [3а23

И

1. Измайлов А.Ф. Аттракторы итерационных процессов при на-помех // IBM и МФ.- 1997.- Т.37, $8.- С.908-913. Шз1]

2. Измаилов А.Ф. Необходимые условия высших порядков в задачах на экстремум // ЖВМ и МФ.- 1992.- Т.32, Ш.- С.1310-1313. Шз2]

3. Измаилов А.Ф. О вырожденных экстремальных задачах с ограничениями типа неравенств // ЖВМ и МФ.- 1992.- Т.32, МО.- 0.1570-1581 . ШзЗ]

4. Измаилов А.Ф. О методах высших порядков для отыскания особых решений нелинейных операторных уравнений // ЖВМ и МФ.-1996.- Т.36, Ш.- С.20-29. Шз4]

5. Измаилов А.Ф. О методах Лагранжа для отыскания вырожденных решений задач на условный экстремум // ЖВМ и МФ.-1996.- Т.36, М.- G.10-17. Шз5]

6. Измаилов А.Ф. О методах отыскания особых решений нели-

нейных операторных уравнений при отсутствии 2-регулярности // ЖВМ и МФ.- 1997.- Т.37, JS10.- С.1157-1162. [Изб]

7. Измайлов А.Ф. О методах решения нелинейных операторных уравнений с вырожденными фредгольмовыми производными // ЖВМ и МФ.- 1997.- Т.37, Jf£.- 0.145-152. Шз7]

8. Измаилов А.Ф. О некоторых обобщениях леммы Морса // Тр. МИМ. В печати. Шз8]

9. Измаилов А.Ф. Об одном классе устойчивых методов решения нелинейных операторных уравнений с гладкими операторами // Вестник МГУ. Сер. 15.- 1995.- №2.- С.42-48. Шз91

10. Измаилов А.Ф. Оптимизационные методы второго порядка // ЖВМ и МФ.- 1993.- Т.33, №.- С.163-178. ШзЮ]

11. Измаилов А.Ф. Проблема корректности нелинейных операторных уравнений // ЖВМ и МФ.- 1994.- Т.34, J«11.- С.1567-1584. Шз113

12. Измаилов А.Ф. Условия оптимальности для вырожденных экстремальных задач с ограничениями типа неравенств // ЖВМ и МФ.- 1994.- Т.34, *6.- С.837-854. Шз12]

13. Измаилов А.Ф. Устойчивые методы для отыскания особых решений нелинейных многоточечных краевых задач // Вестник МГУ. Сер. 15.- 1995.- т.- С.14-20. Шз13]

14. Измаилов А.Ф. Устойчивые методы для отыскания особых решений нелинейных операторных уравнений // Вестник РУДН. Сер. Математика.- 1996.- $3, вып.2.- С.55-85. [Из143

15. Измаилов А.Ф. Устойчивые методы для отыскания 2-регу-лярных решений нелинейных операторных уравнений // ЖВМ и МФ.-1996.- Т.36, Я9.- С.22-34. Шз153

16. Измаилов А.Ф. Фактор-методы решения нелинейных задач. Дисс. ... канд. физ.-мат. наук.- М., 1993.- 151 с. Шз16]

-29017. Измаилов А.Ф. 2-фактор-метод и многоточечные краевые задачи /7 ЖВМ и МФ.- 1995.- Т.35, №11.- С.1603-1614. Шз173

18. Измаилов А.Ф., Третьяков A.A. К вопросу об обратимости однородных степени р полиномиальных отображений // ЖВМ и МФ.-1993.- Т.33, JK3.- С.323-334. ЕМТ13

19. Измаилов А.Ф., Третьяков A.A. Леммы о представлении вырожденных нелинейных отображений // Вестник МГУ. Сер.15.-1993.- Ш.- G.59-65. [МТ23

20. Измаилов А.Ф., Третьяков A.A. Метод градиентного спуска для минимизации невыпуклых функций // ЖВМ и МФ.- 1994.-Т.34, ЯЗ.- 0.344-359. СМТЗЗ

21. Измаилов А.Ф., Третьяков A.A. О локальной регуляризации некоторых классов нелинейных операторных уравнений // ЖВМ и МФ.- 1996.- Т.36, Ш.- 0.15-29. ШТ43

22. Измаилов А.Ф., Третьяков A.A. Факторанализ нелинейных отображений.- М.: Наука, 1994. СМТ53

23. Измаилов А.Ф., Третьяков A.A. Фактор-анализ нелинейных отображений и обобщение понятия 2-регулярности // ЖВМ и МФ.-1993.- Т.33, J#4.- 0.637-641. ЕМТ63

24. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ.- М.: Наука, 1979. ШССЗ

25. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач.- М.: Наука, 1974. ШТиЗ

К

1. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.- М.: Наука, 1971. [КамЗ

2. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ.-

М.: Наука, 1977. ЕКАкЗ

-2913. Каржтоб В.Г. Математическое программирование.- М.: Наука, 1986. [Кар]

4. Кото Т. Теория возмущений линейных операторов.- М. : Мир, 19Т2. [Кат]

5. Кибистик Л. О методе наискорейшего спуска для решения нелинейных уравнений // Мзв. АН Эст. ССР. Сер. физ.-мат. и технич. наук.- 1960.- Т.9, №2.- С.145-157. [Ки13

6. Кибистик Л. О некоторых итерационных методах для решения операторных уравнений в пространстве Гильберта // Изв. АН Эст. ССР. Сер. физ.-мат. и технич. наук.- 1960.- Т.9, ЛЗ.-0.145-157. [Ки2]

7. Кибистик Л.А. Об одной модификации метода с минимальными невязками для решения нелинейных операторных уравнений // ДАН СССР.- 1961.- Т.136, ЛИ.- С.22-25. [КиЗ]

8. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа,- М.: Наука, 1989. [КФоЗ

9. Костришн А.И., Шанин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия.- М.: Наука, 1986. СКМаЗ

10. Красносельский М.А., Вайникко P.M., Забрейко П.П., Ру-тицкийЯ.Б., Стеценко В. Я. Приближенное решение опера торных уравнений.- М.: Наука, 1969. [КВЗЗ

11. Красносельский Ж.А., Забрейко U.U. Геометрические методы нелинейного анализа.- М.: Наука, 1975. [КЗаЗ

12. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. О некоторых приближенных методах решения нелинейных операторных уравнений, основанных на линеаризации // ДАН СССР.- 1961.- Т.141, М.-С.785-788. [КРу]

13. Кусакин И.А. О сходимости некоторых итерационных методов // Ученые записки АзГУ.- 1965.- *б.- С.19-23. [Кус]

Л

1. Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий.- М.: Мир, 1967. [Лен!

2. Локуциевский О.В., Габршоб И.Б. Начала численного анализа.- М.: ТОО "Янус", 1995. [ЛГа]

3. Лоусон Ч., Кенсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов.-М.: Наука, 1986. [Же]

4. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа.- М.: Высш. шк., 1982. [ЛСо]

м

1. Максимова P.A., Третьяков A.A. Свойства регулярных задач математического программирования // ЖВМ и МФ.- 1992.-Т.32, №1.- С.162-167. [МТр]

2. Мелешо В.И., Задачин В.М. О возмущениях регуляризован-ной симметричной факторизации и модифицированном методе Ньютона // ДАН СССР.- 1986.- Т.288, М.- С.779-784. [МЗаЗ

3. Мелшов Т.К. О необходимых условиях оптимальности высокого порядка // ЖВМ и МФ.- 1995.- Т.35, Ш.- С.1134-1138. [Мел]

4. Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний.- М.: Наука, 1988. [МММ]

5. Милнор Дж. Особые точки комплексных гиперповерхностей.-М.: Мир, 1971. СМи1 ]

6. Милнор Дж. Теория Морса.- М.: Мир, 1965. [Ми2]

7. Михалевич B.C., Гупал A.M., Норкин В.И. Методы невыпуклой оптимизации.- М.: Наука, 1987. [МГШ

8. Молодцов Д.А. Устойчивость принципов оптимальности.-М.: Наука, 1987. [Мол]

9. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач.- М.: Наука, 198Т. [Мор]

О

1. ОбенШ.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ.-М.: Мир, 1988. [ОЭкЗ

2. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными.- М.: Мир, 1975. [ОРе]

П

1. Полям Б.Т. Введение в оптимизацию.- М.: Наука, 1983. [По1 ]

2. Полям Б.Т. Градиентные методы решения уравнений и неравенств // ЖВМ и МФ.- 1964.- Т.4, *6.- С.995-1005. СПо2]

3. Поляк Б.Т. О скорости сходимости метода штрафных функций /У ЖВМ и МФ.- 1971.- Т.11, М .- 0.3-11. [ПоЗ]

4. Пошрягин J1.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- М.: Наука, 1970. Шон]

5. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений.-М.: Мир, 1979. [Пре]

6. Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума.- М.: Наука, 1969. Шше]

7. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах.- М.: Наука, 1975. [ЦДаЗ

8. Пшеничный Б.Я., Соболенко Л.А. Метод линеаризации для обратно-выпуклого программирования // Кибернетика и системный анализ.- 1995.- Я6,- 0.86-97. [ПСоЗ

Р

1. Рал Ж. Дифференцируемые многообразия.- М.: ИЛ, 1956. [Рам!

2. Родионов A.B., Третьяков A.A. Один метод решения задачи выпуклого программирования // Вопросы кибернетики. Методы и алгоритмы анализа больших систем.- М.: Научный совет по компл. пробл. "Кибернетика" АН СССР, 1988.- С.111-117. [РТр]

С

1. Садовничий В.А. Теория операторов.- М.: Изд-во МГУ, 1986. [Сад]

2. Сухарев А.Р., Тилохов A.B., Федоров В.В. Курс методов оптимиз ации.- М.: Наука, 1986. [СТФ]

Т

1. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений.-М.: Мзд-во МГУ, 1976. [Тих]

2. Тихонов А.Н., Леонов A.C., Ягола А.Р. Нелинейные некорректные задачи.- М.: Наука. Физматлит, 1976. [ТЛЯ]

3. Треногин В.А. Функциональный анализ.- М.: Наука, 1980. [Тре]

4. Третьяков A.A. Критерии регулярности множеств в задачах оптимизации // Численный анализ на ФОРТРАНе.- М.: Изд-во МГУ, 1980.- С.55-63. [Тр1]

5. Третьяков A.A. Некоторые схемы методов решения вырожденных задач // Оптимизация и управление.- М.: Изд-во МГУ, 1985.- С.45-49. [Тр23

6. Третьяков A.A. Необходимые и достаточные условия оптимальности Р-го порядка // ЖВМ и МФ.~ 1984.- Т.24, С.203-

-295209. [ТрЗЗ

7. Третьяков A.A. 0 сходимости метода Ньютона в вырожденных задачах // Оптимизация и управление.- М.: йзд-во МГУ, 1983.- С.23-27. [Тр4]

8. Третьяков A.A. Оценка сходимости метода штрафных функций в задачах с ограничениями из класса С(р)(Ета) // Вопросы оптимизации и управления.- М.: Изд-во МГУ, 1980.- С.25-35. [Тр53

9. Третьяков A.A. Регулярность допустимых множеств в оценках скорости сходимости метода штрафных функций // Численный анализ: методы, алгоритмы, приложения.- М.: Изд-во МГУ, 1985.- 0.108-116. СТрбЗ

10. Третьяков A.A. Структуры нелинейных вырожденных отображений и их применение к построению численных методов. Дисс. ... д-ра физ.-мат. наук.- М., 1987.- 167 с. [Тр73

11. Третьяков A.A. Теорема о неявной функции в вырожденных задачах // ШК.~ 1987.- Т.42, вып.5.- 0.215-216. [Тр8]

12. Третьяков A.A., Флейдервиш М.С. Теоремы об эквивалентности в экстремальных задачах // Тез. докл. 3 шк.-еем. "Численные методы для высокопроизводительных систем".- Фрунзе, 1988.- С.27. СТФлЗ

Ф

1. Фиакко А., Мак-Корлик Г. Нелинейное программирование. Методы последовательной безусловной минимизации.- М.: Мир, 1972. [ФМкЗ

2. Флейдервиш М.С. Эквивалентные условия для принципа Ла-гранжа // Оптимизация и управление.- М.: Изд-во МГУ, 1985.-С.73-75. [ФлеЗ

ц

1. Царьков И.Г. О правом обратном операторе и е-выборках // УМН.- 1995.- Т.50, вып.2.- C.2QT-208. [Цар!

Ч

1. Черников С.Н. Линейные неравенства.- М.: Наука, 1968. [ЧерЗ

Ю

1. Юдович В.И. Теорема о неявной функции для косимметри-ческих уравнений // Мат. заметки.- 1996.- Т.60, вып.2.- С.313 -31 Т. [ЮдоЗ

1. Afiues У., Tellas I. Refinement methods of Newton type for approximate eigenelements of integral operators // SIAM J. Numer. Analys.- 1986.- ¥.23, *1.- P.144-159. ЕАТеЗ

2. Allgower E.L., BoTmer K., Potra F.A., Rhetriboldt W.C. A mesh-independence principle for operator equations and their discritizations // SIAM J. Numer. Analys.- 1986.- V.23, m .- P.160-169. EABP3

3. Baker G.T.H. The numerical treatment of integral equations.- Oxford: Clarendon Press, 1977. ЕВакЗ

4. Bond G.R., Siewert C.E. On the nonconservative equation of transfer for a combination of Rayleigh and isotropic scattering // Astrophys. J.- 1971.- V.164.- P.97-110. EBSil

5. Gharidrasekhar S. Radiative transfer.- New York: Dover, 1960. [Cha3

6. Crandall M.G. An introduction to constructive aspects of bifurcation and the implicit function theorem // Applications of Bifurcation Theory.- New York: Academic Press,

-2971977.- P.1-35. [Oral

7. Decker D.W., Keller H.B. Path following near bifurcation // Comm. Pure Appl. Math.- 1981.- ¥.32, J§2.~ P.149-175 [DKrl

8. Decker D.W., Keller H.B., Kelley G.T. Convergence rates for Newton's method at singular points // SIAM J. Numer. Analys.- 1983.- ¥.20, 12.- P.296-314. CDKK3

9. Decker D.W., Kelley G.T. Convergence acceleration for Newton's method at singular points // SIAM J. Numer. Analys. -1981.- ¥.19, *1.- P.219-229. [DK1 ]

10. Decker D.W., Kelley G.T. Newton's method at singular points. 1 // SIAM J. Numer. Analys.- 1980.- ¥.17, J#1.- P.66-70. [DK23

11. Decker D.W., Kelley G.T. Newton's method at singular points. 2 // SIAM J. Numer. Analys.- 1980.- ¥.17, P.465-471. IDK3]

12. Decker D.W., Kelley G.T. Sublinear convergence of the chord method at singular points // Numer. Math.- 1983.-¥.42.- P.147-154. [DK4J

13. Dines L.L. On linear combinations of quadratic forms /7 Bull, of the American Math. Society.- 1943.- ¥.49, №3.-P.388-393. LDi13

14. Dines L.L. On the mapping of quadratic forms // Bull, of the American Math. Society.- 1941.- ¥.47, £6.- P.494-498. [I)i23

15. Dines L.L. On the mapping of n quadratic forms // Bull, of the American Math. Society.- 1942.- ¥.48, №>.-P.494-498. [DI33

16. Griewank A.O. Starlike domains of convergence for New-

ton's method at singularities // Numer. Math.- 1980.- ¥.35.-P.95-111. [Gri]

1T. Grtewank A.O., Osborne M.R. Analysis of Newton's method at irregular singularities // Numer. Math.- 1983.- ¥.20, M.- P.747-773. [GGs]

18. Hoy A. A relation between Newton and Gauss-Newton steps for singular nonlinear equations // Computing.- 1988.-¥.40, J#1.- P. 19-27. [Hoy]

19. Jankowski T. Approximate solutions of boundary value problems for systems of ordinary differential equations // IBM H M§.- 1995.- T.35, Jf?'.- C.1050-1057. [Jan]

20. Keller H.B. Accurate difference methods for nonlinear two-point boundary value problems // SIM J. Numer. Analys.-1974.- ¥.11, P.305-320. [KeH1 ]

21. Keller H.B. Numerical methods for two-point boundary value problems.- Blaisdell Publishing Company: Waltham, 1968. [KeH2]

22. Keller H.B. Numerical solution of bifurcation and nonlinear eigenvalue problems // Applications of Bifurcation Theory.- New York: Academic Press, 1977.- P.359-384. [KeH3]

23. Keller J.B. Bifurcation theory for ordinary differential equations // Bifurcation Theory and Nonlinear Eigenvalue Problems.- New York: W.A.Benjamin, 1969.- P.17-48. [KeJ]

24. Kelley G.T., Northrup J.I. A Pointwise Quasi-Newton Method for Integral Equations // SIAM J. Numer. Analys.-1988.- ¥.25, $5.~ P.1138-1155. tKNo]

25. Kelley G.T., Sachs E.W. Broyden's Method for Approximate Solution of Nonlinear Integral Equations // J. of Integral Equations.- 1985.- ¥.9, № P.25-43. [KSa]

-29926. Krener A.J. The high order maximum principle and applications to singular extremals // SIAM J. Control and Optimization.- 1977.- V. 15, m.- P.256-293. [KreJ

27. Ledzewtcz U. An extension of the local maximum principle to abnormal optimal control problems // JOTA.- 1993.-V.77.- P.661 -681. [LedJ

28. Ledzewtcz U., Scrtattler H. High-order tangent cones and their applications in optimization // Proceedings of the World Congress on Nonlinear Analysis.- Athens, 1996. [LS13

29. Ledzewtcz U., Schattler H. Second-order conditions for extremum problems with nonregular equality constraints // JOTA.- 1995.- ¥.86.- P.113-144. [LS23

30. Lempto P., Zome J. Higher order optimality coditions // Modern Applied Mathematics - Optimization and Operations Research.- North Holland Publishing Company, 1982.- P. 147193. [LZo3

31. Mulltktn T.W. Some probability distributions for neutron transport in a half space // J. Appl. Prob.- 1968.- V.5,

P.357-374. [Mull

32. McCormtc G.P., Zarigu>t 11 W.I. A technique for calculating second-order optima // Res. Analysis Corp., McLean, Virginia (mimeo), 1967. [MZa3

33. Ojika T. Modified deflation algorithm for the solution of singular problems // J. Math. Analysis and Applic.- 1987.-V.123, 11.- P.199-237. [0^13

34. Peters G., Wtlktnson J.H. Inverce Iteration, ill-conditioned equations and Newton's method // SIAM Rev.- 1979.-V.21, m.- P.339-360. [PW13

35. Rail L.B. Convergence of the Newton process to multi-

ple solutions // Numer. Math.- 1966.- V.9, J1.- P.23-37. №a13

36. Ball L.B. Quadratic equations in Banach spaces // Ren-diconti del Gircolo Matematico di Palermo. Serie 2.- 1961.-¥.10, ЯЗ.- P.314-332. [Ra23

37. Readien G.W. Newton's method and high order singularities // Computers and Math, with Appl.- 1979.- ¥.5,

P.79-86. [Re13

38. Reddien G.W. On Newton's method for singular problems // SIAM J. Numer. Analys.- 1978.- ¥.15, Л5.- P.993-996. [Re23

39. Retss E.L. Imperfect bifurcation // Applications of Bifurcation Theory.- New York: Academic Press, 1977.- P. 3771. №ei3

40. Schroder E. Uber unendlich viele algorithmen zur auflosung der gleichungen //' Math. Annalen.- 1870.- ¥.2.- P.317-365. [Shr3

41. Schulze R. A method to solve systems of nonlinear equations with singularities // Z. angew. Math, und Mech.-1987.- ¥.67, Л2.- P.121-128. CShu3

42. Seydel R. Numerical computation of branch points in ordinary differential equations // Numer. Math.- 1979.- ¥.32, *1.- P.51-68. [Sey3

43. Simpson R.B. A method for the numerical determination of bifurcation states of nonlinear systems of equations // SIAM J. Numer. Analys.- 1975.- ¥.12, JfQ.- P.439-451. [Sim]

44. Stakgold I. Branching of solutions of nonlinear equations // SIM Rev.- 1971.- ¥.13, ЖЗ.- P.289-332. [Sta3

45. Test examples of systems of nonlinear equations. ¥er-sion 3-90.- Tallin: Estonian Software and Computer Service

Company, 1990. [TesJ

46. Yamamoto N. A note on solutions of nonlinear equations with singular Jacobian matrices // J. Math. Analys. and. Ap-plic.— 1987.- ¥.123, №.- P.152-160. [Ya1 3

47. Yamamoto N. Newton's method for singular problems and its applications to boundary value problems // J. Math. Toku-shima Univ.- 1983.- ¥.17.- P.26-88. [Ya2]

СГШСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

Здесь приводится список некоторых использованных обозначений, которые могут оказаться не общеупотребительными. Многие из этих обозначений более подробно пояснены во введении и основном тексте работы.

гч

2Ш - множество всех подмножеств множества 2;

w - множество натуральных чисел;

2 - множество целых чисел;

z - множество неотрицательных целых чисел;

er - множество вещественных чисел;

к - множество неотрицательных вещественных чисел;

кп - гг-мерное арифметическое пространство;

ш{т, п) - пространство вещественных ш*?г-матриц;

х , ..., х - компоненты вектора x<=¡Rn в стандартном базисе

1 TV

пространства кп (если не оговорен иное);

(2, i) или (2, р) - множество 2, снабженное топологией i или метрикой р;

б) = {§€2j р(С*, £)<8> - открытый шар радиуса ö с центром в точке | в метрическом пространстве (2, р);

£(£#» ö) = {f62¡ p(f#, f) ^ 5> - замкнутый шар радиуса б с центром в точке f в метрическом пространстве (2, р);

р(£#, М) = Inf |)| UM) - расстояние от точки до

множества м в метрическом пространстве (2, р);

рн(21, &,) = max {sup íp(£, 22)t €eS1 >, sup Cp(|, S^l a2» - хаусдорфово расстояние между множествами а, и 22 в пространстве с метрикой р; 2 - замыкание множества 2;

int 2 - внутренность множества 2;

lin 2 - линейная оболочка множества S (минимальное линейное подпространство, содержащее 2);

cone 2 - коническая оболочка множества 2 (минимальный конус, содержащий 2);

dim X - размерность линейного пространства X;

Х/М - факторпространство пространства X по подпространству

I;

codim I = dim Х/М - коразмерность подпространства М в пространстве X;

= ..., ...} - последовательность;

-*• I (&-»<») - последовательность сходится к

элементу £ (для числовых последовательностей ia^} используется также обозначение а& а (&-*«>));

{2->2} - множество всех отображений, действующих из 2 в 2;

Е - единичная т*т-матрица;

I - тождественный оператор;

g Ф(§): 2 2 - отображение Ф: 2 2 сопоставляет элементу | элемент Ф(|);

Г(Ф) = {(£, Ф(£))| £€2} с 2 х 2 - график отображения Ф:

2 -> 2;

Ф(2) - образ множества 2 при отображении Ф (для линейных отображений используется также обозначение Ф2, для отображений степени р - ФС2]Р);

Ф|с - сужение отображения Ф на множество 2;

Ф~1 (а) = {|е2| Ф(|) = о) - полный прообрзз элемента а при отображении Ф, определенном на 2;

Ф~1 - правое обратное отображение, сопоставляющее каждому элементу его полный прообраз при отображении Ф (если отображение Ф биективно, то Ф~1 - классическое обратное отображе-

ние);

|Ф~1I = sup {р(0, Ф~1(у))| yeY, |у| = 1} - "норма" правого обратного оператора к отображению Ф, действующему из линейного пространства с метрикой р в линейное нормированное пространство Y;

%

Ф(£) - о* (I £*) - равносильно записи lim Ф(|) = о^,

которая означает, что для любой окрестности W точки о^ найдется такая окрестность U точки ^ в топологии т, что Ф(11) с с иг (если топология ясна из контекста, то она не указывается);

X* - пространство, сопряженное к линейному нормированному пространству 1;

х* - элемент пространства X*;

<•, •> - спаривание элементов сопряженного и исходного пространств, или скалярное произведение в гильбертовом пространстве ;

21 - аннулятор или ортогональное дополнение множества 2;

Р^ - оператор ортогонального проектирования на подпространство I;

Ах - действие линейного оператора А на элемент х;

С{Х, Y) - пространство непрерывных линейных операторов, действующих из X в Y (I и Y - линейные нормированные пространства; в пространстве С(Х9 Y) всегда используется норма Ml = sup {¡Ar||| arel, W\ = 1>);

Im A - образ (множество значений) линейного оператора А;

Кег А - ядро (множество нулей) линейного оператора А;

Ат - матрица, траспонированная к матрице А;

det А - определитель матрицы А;

зК

А - оператор, сопряженный с линейным оператором А;

nul A = dim Ker A - "nullity" линейного оператора A; rang A = dim Im A - ранг линейного оператора A; corang A = codim Im A - коранг линейного оператора A; ВЕзг1, з^З - действие р-лшейного отображения В на упорядоченный набор (з;1, ..., а?);

Bixlp - действие р-линейного (степени р) отображения В на набор (х, ..., х) (на элемент х);

В[£1 - действие р-линейного отображения В на упо-

рядоченный набор (х1, хр), в котором х1 = ... = хк = £1,

4-1 ___ лг^? _ •

«X* ~ • • • —* IV "** ^ J

BEf1, ..., - для р-линейного (степени р) отображения В и заданного упорядоченного набора (§1, ..., так обозначается (р - &)-линейное отображение, которое определяется формулой Bi, ..., ^Ux\ ..., з^З = £Е£1, • • •, I1*, х\ ...,

£Р(Х, Г) - пространство непрерывных р-линейных отображе-

р

ний, действующих из ® X в Y (X и Y - линейные нормированные

i-1

пространства; в пространстве £Р(Х, Г) всегда используется норма ||В|| = sup {¡БЕз:1, ..., з^ЗЩ хЧх, \х1\ = 1, i = 1, .... р>);

МР(Х, Y) - пространство непрерывных отображений степени р, действующих из X в Y (I и Г - линейные нормированные пространства; в пространстве Лр(1, Y) всегда используется норма \\Q\\ = sup {¡QE37]p| I ха, \х\ = 1));

Ker& Q = Qix]^ = 0} - Je-ядро определенного на X ото-

бражения степени р;

Im1* Q = iqe£p~k(X, Y) J q = Q[x]k, xeX} - ie-образ отображения степени p, действующего из I в Г;

G(V-*Y) - множество непрерывных отображений, действующих из V в Y;

\\Ф\\С = sup С|Ф(т)|Ц хеУУ - С-норма отображения Ф множества

У;

С (СО, 13->tRm) - пространство отображений, компоненты которых принадлежат 010, 11, снабженное С-нормой;

Vr (Y->Y) (Gr(V-*Y)) - множество отображений, действующих из V в Y, г раз (непрерывно) дифференцируемых по Фреше на У;

|Ф||сг = max {||Ф(4)||С| I = 0, 1, ..., г> - Сг-норма отображения Ф, г раз дифференцируемого на множестве V;

Cr([Q, 13->o?m) - пространство отображений, компоненты которых принадлежат СГ1О, 13, снабженное (/"-нормой;

Up

- L^-норма отображения Ф мно-

н-их,

жества У;

Р V у

J |Ф(т)||р öx

Ьр(С0» 1 ]-»к ) - пространство отображений, компоненты которых принадлежат Ьр£0, 13, снабженное £ -нормой;

Y j 1Ф(П(х)\\р ах г=о V

1 /р

- w -норма отображения Ф

р

множества У;

Wr ([0, 13-*кт) - пространство отображений, компоненты которых принадлежат fr[0, 13, снабженное -нормой;

Р Р

Arg min Сф(^)| хеУУ = (р(х) = Inf {<p(£)l |€7)> - мно-

жество (глобальных) минимумов функции <р на У; ■ - знак окончания доказательства.